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数学物理学报, 2020, 40(3): 619-630 doi:

论文

具有尖点的四次Liénard系统的极限环分支

邵仪,, 阿春香,

Limit Cycles Bifurcations of Liénard System of Degree Four with One Nilpotent Cusp

Shao Yi,, A Chunxiang,

通讯作者: 阿春香, E-mail: acxgmaria@hotmail.com

收稿日期: 2019-04-16  

基金资助: 国家自然科学基金.  11571379
国家自然科学基金.  11661017
国家自然科学基金.  71801186
广东省自然科学基金.  2017A030310660
教育部人文社会科学基金.  18YJC630001

Received: 2019-04-16  

Fund supported: the NSFC.  11571379
the NSFC.  11661017
the NSFC.  71801186
the NSF of Guangdong Province.  2017A030310660
the Science Foundation of Ministry of Education.  18YJC630001

作者简介 About authors

邵仪,E-mail:mathsyishao@126.com , E-mail:mathsyishao@126.com

摘要

该文研究了一类形如=y=fx)+εgxy的Liénard系统的Poincaré分支和Hopf分支,其中fx)和gx)分别是4次和3次多项式,证明了该系统绕原点最多能够产生3个极限环.

关键词: Liénard系统 ; 极限环 ; 分支

Abstract

In this paper, we study Poincaré bifurcation and Hopf bifurcation of a class of Liénard system of the form =y, =f(x)+εg(x)y, where f(x) and g(x) are polynomials of degree 4 and 3, respectively. It is proven that this system can produce at most three limit cycles surrounding the origin.

Keywords: Liénard system ; Limit cycles ; Bifurcations

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本文引用格式

邵仪, 阿春香. 具有尖点的四次Liénard系统的极限环分支. 数学物理学报[J], 2020, 40(3): 619-630 doi:

Shao Yi, A Chunxiang. Limit Cycles Bifurcations of Liénard System of Degree Four with One Nilpotent Cusp. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(3): 619-630 doi:

1 引言及主要结果

在常微分方程分支问题中,主要研究内容之一就是平面多项式系统在多项式扰动下产生的极限环最大个数问题.此问题是希尔伯特第十六问题第二部分的内容.过去几十年来,已经有许多关于这个问题的研究成果,但由于此问题的研究难度较大,截至目前,就二次多项式系统的极限环上界问题还没有完全解决.因此Arnold[1]提出了所谓弱化的希尔伯特第十六问题:就是研究多项式n次1 -形式沿卵形线的阿贝尔积分的孤立零点最大个数问题.

考虑哈密尔顿系统的扰动系统Xε=XH+εY,其中

XH=HyxHxy,Y=Px+Qy,
(1.1)

H(x,y)是一个n+1次的多项式, P(x,y)Q(x,y)均为关于x,y的最高m次多项式, ε>0是一个充分小的扰动参数.设Γh是卵形线{(x,y)|H(x,y)=h,h(h1,h2)}所表示的闭曲线族,则阿贝尔积分定义为

I(h)=ΓhP(x,y)dyQ(x,y)dx.
(1.2)

如果I(h) (称为一阶Melnikov函数)不恒等于零,那么阿贝尔积分的最大零点个数给出了系统(1.1)极限环个数的一个上界.从系统(1.1)未绕系统的周期环域分支出极限环称为Poincaré分支,而从系统(1.1)未绕系统的中心奇点附近分支出极限环,称为Hopf分支.

据我们所知,在系统(1.1)的极限环分支研究中,有许多成果是关于二次或三次系统的,也有许多是研究其他系统的,读者可参见论文[2, 8, 11, 13, 15, 18-19, 25]、综述文章[12]以及这些文章中的参考文献.除此之外,也有许多学者研究(m,n)型Liénard系统˙x=y,˙y=f(x)+εyg(x)的极限环分支,这里f(x)g(x)分别是关于xm次和n次多项式. Dumortier和Li在系列文章[4-7]中对(3,2)型的Liénard系统做了完整的研究. Wang等分别研究了(4,3)型和(4,2)型Liénard系统的极限环数目[20-21],其中所研究两类系统的哈密尔顿函数都是超椭圆型的,而且未绕系统分别具有一个幂零鞍点和退化多环. Xiao在论文[22]中研究了具有5个参数的四次平面系统的分支,此系统是一类余维5的幂零尖点的开折,其哈密尔顿函数的正规形为

H(x,y)=12y2+αβ2x2α+β+αβ3x3+1+α+β4x415x5.
(1.3)

哈密尔顿函数(1.3)所对应的Liénard系统有12类不同的相图. Yang等[24]研究了参数α,β满足某些条件时该系统在n(20<n<24)次扰动下的极限环最大个数.

我们考虑(1.3)式中β=10<α<1的情形,对应系统如下:

{˙x=y,˙y=x(xα)(x1)2+ε(a0+a1x+a2x2+x3)y,
(1.4)

其中a0,a1a2是任意实数, ε>0是一个充分小的扰动参数.

本文将对上述(4,3)型Liénard系统的极限环分支做全面的研究.为了方便计算,我们取α=12,运用坐标变换

2xx,42yy,dt=22dτ,

系统(1.4)拓扑等价于下面的系统

{˙x=y,˙y=x(x1)(x2)2+ε(a0+a1x+a2x2+x3)y.
(1.5)

ε=0时,系统(1.5)的首次积分为

H(x,y)=12y2+2x283x3+54x415x5=h.
(1.6)

我们容易看出系统(1.5)的未绕系统有一个初等中心(0,0),一个双曲鞍点(1,0)及尖点(2,0).卵形线Γh={(x,y)|H(x,y)=h,h(0,2360)}是绕中心(0,0)的闭轨线, Γ0对应中心点, Γ2360对应过鞍点的同宿轨线. Γhx轴上的投影区间为(x0,1),这里x00.3516007083.系统(1.5)的未绕系统的相图见图 1.由(1.2)式可知,系统(1.5)的阿贝尔积分是

图 1

图 1   系统(1.5)未绕系统的相图


I(h)=Γh(a0+a1x+a2x2+x3)ydx=a0I0(h)+a1I1(h)+a2I2(h)+I3(h),
(1.7)

其中Ii(h)=Γhxiydx,i=0,1,2,3.

本文的主要目标就是研究系统(1.5)绕原点的闭轨的Poincaré分支和原点附近的Hopf分支.通过对阿贝尔积分I(h)的考查,发现如果I(h)不恒等于零,则I(h)最多有3个零点(考虑到重数),这说明从(1.5)未绕系统的周期环域最多能够产生3个极限环.同时,系统(1.5)在原点小邻域也会出现Hopf分支,对于参数的某些值,从原点小邻域能够产生最多3个小振幅极限环.

本文的主要结果如下:

定理1.1  从系统(1.5)未绕系统周期环域的Poincaré分支最多产生3个极限环,并且对于充分小的ε>0,存在参数(a0,a1,a2)的值,使得从(1.5)未绕系统的周期闭轨分支出的极限环个数的上界3是可达的.

在原点附近,系统(1.5)也可以产生Hopf分支.应用常微分方程有关分支理论,我们可以得到下面的结果.

定理1.2  在参数(a0,a1,a2)=(0,4047,8047)的小邻域,从系统(1.5)在原点附近的Hopf分支可以最多产生3个极限环.并且在这个小邻域,存在参数(a0,a1,a2)的值,使得3个极限环是可以达到的.

本文的写作结构如下:在第二部分我们利用切比雪夫判别法和阿贝尔积分I(h)在端点h=0的渐近展式,证明I(h)的最大零点个数,得到从周期环域可以分支出最多3个极限环,并且存在参数(a0,a1,a2)的值,使得3个极限环是可以达到的,从而完成定理1.1的证明.第三部分,通过分析奇点的性质,证明从系统(1.5)的Hopf分支可以产生最多3个极限环,完成定理1.2的证明.

2 系统(1.5)的Poincaré分支

在这部分,我们将证明定理1.1.由于阿贝尔积分I(h)的最大零点个数可以给出系统(1.5)的极限环个数的上界,因此我们首先需要知道I(h)的最大零点个数,故有下面的命题.

命题2.1  对于任意的参数(a0,a1,a2)及任意小的ε>0,当h(0,2360)时,系统(1.5)的阿贝尔积分I(h)最多有3个零点(考虑到重数).并且存在参数(a0,a1,a2)的值,使得I(h)的3个零点是可以达到的.

命题2.1是这部分的主要结果.注意到当ε=0时,系统(1.5)的首次积分(1.6)满足一定的形式H(x,y)=Φ(x)+12y2,因此我们可以利用文献[9]中纯代数的方法获得阿贝尔积分I(h)的最大零点个数.为此我们需要证明(1.7)式中的(I0,I1,I2,I3)是一个ECT -系统(见定义2.1).另一方面,通过计算I(h)在区间端点h=0处的渐近展式,我们可以证明存在参数(a0,a1,a2)的值,使得I(h)有确切的3个零点.但要证明上述的这些结论,我们还需要引入相关的几个定义及切比雪夫系统的一些性质.需要详细了解这些性质的读者,可参阅文献[9]和[16].命题2.1的证明过程我们将在这部分的最后给出.

定义2.1  设g0(x),g1(x),,gn1(x)是开区间DR上的解析函数.

(i)如果对于所有的k=1,2,,n,任意非平凡的线性组合

a0g0(x)+a1g1(x)++an1gk1(x)

D上最多有k1个孤立零点(考虑重数),称(g0(x),g1(x),,gn1(x))是一个D上的ECT (extend complete Chebyshev)系统.

(ii) (g0(x),g1(x),,gk1(x))xD上的连续朗斯基行列式定义为

W[g0,g1,,gk1](x)=Det(g(i)j(x))0i,jk1=|g0(x)gk1(x)g0(x)gk1(x)g(k1)0(x)g(k1)k1(x)|,

其中gj(x)g(i)j(x)(i2)分别表示g(x)的一阶导数和i阶导数.

引理2.1[9, 17]  若(g0(x),g1(x),,gn1(x))是一个定义在D上的ECT -系统,当且仅当对于每个k=1,2,,n,朗斯基行列式

W[g0,g1,,gk1](x)0,xD.

为了得到阿贝尔积分I(h)的零点个数,由引理2.1可知,我们需要检验(1.7)式中的(I0,I1,I2,I3)是一个ECT -系统.于是将(1.6)式的哈密尔顿函数改写为

H(x,y)=Φ(x)+12y2,
(2.1)

其中

Φ(x)=2x283x3+54x415x5.

因为H(x,y)=h在开区间h(0,2360)是解析的, H(0,0)=0是一个极小值,而且容易看出对任意x(x0,1)0 (x00.3516007083), xΦ(x)=x2(x1)(x2)2>0,所以存在一个解析对合函数z=σ(x)使得对所有的x(0,1),

Φ(x)=Φ(σ(x)),

这里,对合函数σ(x)是指σ[σ(x)]=Id, σ(x)Idx0<σ(x)<0.运用文章[9]中的定理B,我们有下面的引理.

引理2.2  设fi(x), i=0,1,2,,n1在区间(0,1)是解析函数,且

Ji(h)=Γhfi(x)y2k1dx,

其中Γh是由卵形线{Φ(x)+12y2=h}确定的绕原点的闭轨线族, h(0,2360).

gi(x)=(42fiΦ)(x)(42fiΦ)(σ(x)).

如果k>n2(g0,g1,,gn1)x(0,1)上是一个ECT -系统,则(J0,J1,,Jn1)在区间h(0,2360)上也是一个ECT -系统.

由引理2.2可知,如果我们能够检验k>n2=2(g0,g1,g2,g3)是一个ECT -系统,那么容易知道(1.7)式中的(I0,I1,I2,I3)也是一个ECT -系统,这样运用引理2.1,我们就可以证明(1.7)式中阿贝尔积分I(h)的最大零点个数.由于Ii(h)=Γhxiydx, i=0,1,2,3,我们发现引理2.2中的条件k>n2=2不成立,因此我们需要提高Ii(h)的被积函数中y的次数.于是我们又利用文献[9]中的引理4.1,可以得到下面的引理.

引理2.3  设Γh由卵形线{Φ(x)+12y2=h}确定的绕原点的闭轨线族.如果存在解析函数A(x),使得AΦx=0解析,那么,对任意mN

ΓhA(x)ym2dx=ΓhB(x)ymdx,

其中B(x)=1m(AΦ)(x).

根据引理2.2的条件k>2,我们取k=3升高Ii(h)中被积函数y次方到5次.运用引理2.3,我们变换(1.7)式中的Ii(h)

Ii(h)=1hΓh(Φ(x)+12y2)xiydx=1hΓh[xiΦ(x)y+12xiy3]dx=1hΓhUi(x)y3dx,i=0,1,2,3,

其中

Ui(x)=xiμi(x)180(x2)3(x1)2,

这里

μi(x)=960240i+(3040+680i)x(3950+750i)x2+(2561+409i)x3(816+111i)x4+(102+12i)x5.

我们再次运用引理2.3,得到

Ii(h)=1h2Γh(Φ(x)+12y2)Ui(x)y3dx=1h2Γh[Ui(x)Φ(x)y3+12Ui(x)y5]dx=1h2Γhfi(x)y5dx,

其中

fi(x)=xiνi(x)54000(x2)6(x1)4,
(2.2)

这里

νi(x)=1382400+576000i+57600i2(8832000+3456000i+326400i2)x+(25776000+9358400i+822400i2)x2(44846720+15020160i+1216320i2)x3+(51223340+15784400i+1172020i2)x4(39985380+11328360i+770220i2)x5+(21549573+5617346i+350101i2)x6(7904142+1899357i+108798i2)x7+(1886376+419031i+22137i2)x8(264384+54468i+2664i2)x9+(16524+3168i+44i2)x10.

ˉJi(h)=h2Ii(h)=Γhfi(x)y5dx,h(0,2360).

我们容易看出fi(x)在区间(x0,1)上是解析的,而且(I0,I1,I2,I3)在区间(0,2360)是一个ECT系统,当且仅当(ˉJ0,ˉJ1,ˉJ2,ˉJ3)是一个ECT -系统.

运用引理2.2有

gi(x)=Gi(x,σ(x))=ˉgi(x)ˉgi(z)=(42fiΦ)(x)(42fiΦ)(z),i=0,1,2,3,
(2.3)

其中

ˉgi(x)=2xi1νi(x)13500(x2)6(x1)5(x+2)2,

ˉgi(z)=2zi1νi(z)13500(z2)6(z1)5(z+2)2,

以及z=σ(x)是一个对合函数.并且,由于

Φ(x)Φ(z)=160(xz)q(x,z),

这里

q(x,z)=(120+160x75x2+12x3)x(120160x+75x212x3)z+(16075x+12x2)z2(7512x)z3+12z4,
(2.4)

z=σ(x)是由隐函数q(x,z)=0所确定的函数.通过计算易知

qx(x,z)=120+320x225x2+48x3+(160150x+36x2)z(7524x)z2+12z3,qz(x,z)=120+160x75x2+12x3+(320150x+24x2)z(22536x)z2+48z3.
(2.5)

由于qz(x,z)q(x,z)关于x的结式有

R(qz,q,x)=4478976000z3(z2)6(z1)3.

我们容易看出R(qz,q,x)z(x0,0)时没有零点,即对任意的x0<z<0<x<1, qz(x,z)0.因此由隐函数定理可知

dzdx=σ(x)=qx(x,z)qz(x,z).
(2.6)

接下来由引理2.2,我们需要检验(g0,g1,g2,g3)在区间(0,1)上是一个ECT -系统,从而根据引理2.1,对每个k=1,2,3,4,只需检验(g0,g1,g2,g3)的朗斯基行列式在(0,1)上没有零点.为此,我们有下面的引理.

引理2.4   (g0,g1,g2,g3)在区间(0,1)上是一个ECT -系统.

  运用引理2.1和(2.3)式,利用软件Maple直接计算可知

W[g0](x)=ϕ0(x,z)=2(xz)ω0(x,z)13500p0(x)p0(z),z=σ(x),

这里ω0(x,z)是一个关于x,z的23次多项式,

p0(x)=x(x2)8(x1)5p0(z)=z(z2)8(z1)5.

多项式ω0(x,z)q(x,z)关于z的结式为

R(ω0,q,z)=(x2)14(x1)4φ0(x),

这里φ0(x)是一个关于x的74次多项式.借助Maple,我们发现φ0(x)(0,1)上没有零点.这说明ω0(x,z)=0q(x,z)=0没有公共的根,即对所有的x(0,1), W[g0](x)0.

同样运用引理2.1, (2.3)、(2.5)和(2.6)式,可以得到

W[g0,g1](x)=(zx)3ω1(x,z)91125000p1(x)p1(z)qz(x,z),
(2.7)

其中ω1(x,z)是关于x,z的46次多项式, qz(x,z)见(2.5)式,且

p1(x)=x2(x2)16(x1)9p1(z)=z2(z2)16(z1)9.

由于对任意的x0<z<0<x<1, qz(x,z)0,因此W[g0,g1](x)对于x(0,1)有定义.通过计算ω1(x,z)q(x,z)关于x的结式,我们得到

R(ω1,q,x)=57600(z2)28(z1)6φ1(z),

其中φ1(z)是关于z的150次多项式.应用Maple,我们发现φ1(z)在点z10.3458986899有一个零点,且z1(x0,0).z1代入方程q(x,z)=0,可得到一个近似根x10.8355561135.这时将z1x1的值代入ω1(x1,z1),得到ω1(x1,z1)2.150908×1015,这意味着ω1(x,z)=0q(x,z)=0在平面区域D=(0,1)×(x0,0)没有公共的根.故对于任意的x(0,1), W[g0,g1](x)0.

类似于W[g0,g1](x)的计算方法,我们得到

W[g0,g1,g2](x)=2(zx)6ω2(x,z)30746875000p2(x)p2(z)(qz(x,z))3,
(2.8)

其中ω2(x,z)是关于x,z的67次多项式,

p2(x)=x3(x2)23(x1)12p2(z)=z3(z2)23(z1)12.

ω2(x,z)q(x,z)关于z的结式为

R(ω2,q,z)=15479341056000000(x2)40(x1)6φ2(x),

这里φ2(x)是关于x的222次多项式,它在区间(0,1)有4个零点,分别是

x10.2354716493,x20.4399082426,x30.5547917098x40.9882983699.

将这4个零点的值代入q(x,z)=0,分别得到属于区间(x0,0)内的4个z的根

z10.1780779701,z20.2690481975,z30.3026590361以及z40.3515744535.

幸运的是,将(xi,zi), i=1,2,3,4代入ω2(x,z),我们得到

ω2(x1,z1)5.60885×1031,ω2(x2,z2)1.97533×1029,ω2(x3,z3)2.96969×1029,ω2(x4,z4)9.01496×1026,

这说明对于所有的x(0,1), W[g0,g1,g2](x)0.

最后,运用与上面相似的方法直接计算,我们得到四阶朗斯基行列式为

W[g0,g1,g2,g3](x)=(zx)10ω3(x,z)172995117187500p3(x)p3(z)(qz(x,z))6,
(2.9)

其中ω3(x,z)是一个关于x,z为90次的多项式,

p3(x)=x4(x2)30(x1)15p3(z)=z4(z2)30(z1)15.

ω3(x,z)q(x,z)关于z的结式为

R(ω3,q,z)=184884258895036416000000000000(x2)52(x1)6φ3(x),

这里φ3(x)是一个关于x的302次多项式.应用与上面相同的方法,我们得到方程组φ3(x)=0p(x,z)=0在区域D=(0,1)×(x0,0)有四组根

(x1,z1)(1.3848859847,0.2488767799),(x2,z2)(1.5516800116,0.3018874848),(x3,z3)(1.5521373666,0.3020013445),(x4,z4)(1.6014945952,0.3133826841).

但将这4组根代入ω3(x,z),有

ω2(x1,z1)1.08218×1045,ω2(x2,z2)1.98435×1043,ω2(x3,z3)1.97213×1043,ω2(x4,z4)4.75176×1042,

这说明了对任意x(0,1), W[g0,g1,g2,g3](x)0.

总结上面的讨论可知,对每个k=1,2,3,4,朗斯基行列式W[g0,g1,,gk1](x)在区间(0,1)没有零点,即(g0,g1,g2,g3)是一个ECT -系统,这样我们就完成了引理2.4的证明.

为了较为详细的说明,当参数(a0,a1,a2)取得某个值时,阿贝尔积分I(h)有确切的3个零点,我们下面考虑I(h)h=0处的渐近展式.

引理2.5  当h0+时,阿贝尔积分I(h)的渐近展式为

I(h)=πh[a0+(115a0384+a14+a28)h+(548+131593a0442368+613a12304+895a24608)h2+(772136864+2084184599a05096079360+1332037a13538944+2156497a27077888)h3]+O(h5).
(2.10)

  运用极坐标变换

x=12rcosθ,y=rsinθ,

我们重写(1.6)式的H(x,y)=h

r2(123rcos3θ+532r2cos4θ180r3cos5θ)=2h,0<h2360.

τ=2h, A(r,τ)=r(123rcos3θ+532r2cos4θ180r3cos5θ)12τ.由隐函数定理可知, A(r,τ)=0在点(0,0)的邻域可以确定一个光滑函数r=λ(τ),使得A(λ(τ),τ)0λ(0)=0.借助Maple进行符号运算,将λ(τ)展开成关于τ的幂级数是

λ(τ)=τ+cos3θ3τ2+5576(9cos4θ+32cos6θ)τ3+(1160cos5θ532cos7θ+827cos9θ)τ4+(4417122880cos8θ35128cos10θ+77216cos12θ)τ5+(1256cos9θ+5034608cos11θ2554cos13θ+112243cos15θ)τ6+(951200cos10θ12573524288cos12θ+197483737280cos14θ35754608cos16θ+24313888cos18θ)τ7+O(τ8).

运用格林公式, (1.7)式中的I(h)可以化为

I(h)=Γh(a0+a1x+a2x2+x3)ydx=intΓh(a0+a1x+a2x2+x3)dxdy=2π0dθλ(τ)0(12a0+14a1rcosθ+18a2r2cos2θ+116r3cos3θ)rdr=2π0(14a0(λ(τ))2+112a1(λ(τ))3cosθ+132a2(λ(τ))4cos2θ+180(λ(τ))5cos3θ)dθ.
(2.11)

注意到

2π0cos2n+1θdθ=0,2π0cos2nθdθ=(2n1)!!(2n)!!2π,nN.

λ(τ)代入(2.11)式,得到

I(h)=12πa0τ2+π(11923200a0+9953280a1+4976640a2)159252480τ4+π(2073600+5921685a0+5296320a1+3866400a2)159252480τ6+7π(152478720+297740657a0+274019040a1+221811120a2)5096079360τ8+O(τ10).
(2.12)

然后将τ=2h代入(1.12)式,我们就得到渐近展式(2.10).引理证毕.

从上面引理2.5的渐近展式,容易算出当0<h2360时,阿贝尔积分I(h)(a0,a1,a2)=(0,4047,8047)的邻域有3个零点.

命题2.1的证明  引理2.4证明了(g0,g1,g2,g3)在区间(0,1)上是一个ECT -系统.运用引理2.2可知, (ˉJ0,ˉJ1,ˉJ2,ˉJ3)在区间(0,2360)上也是一个ECT -系统.由于h2Ii(h)=ˉJi(h),因此(I0,I1,I2,I3)(0,2360)上是一个ECT -系统.由定义2.1(i)可知,对任意的参数(a0,a1,a2),阿贝尔积分I(h)在区间(0,2360)上最多有3个零点.另一方面,从引理2.5中的渐近展式,我们容易看出存在参数值(a0,a1,a2)=(0,4047,8047),使得当0<h2360时,在参数(0,4047,8047)的邻域I(h)有3个零点,即命题2.1成立.

定理1.1的证明  由于系统(1.5)的一阶Melnikov函数的最大零点个数给出了从系统(1.5)未绕系统的周期环域分支出的极限环个数的上界,因此运用命题2.1可知定理1.1成立.

3 系统(1.5)的Hopf分支

这部分我们研究系统(1.5)的Hopf分支,对于一些参数(a0,a1,a2)的值,系统(1.5)在原点附近最多产生3个极限环.

从第一部分我们知道系统(1.5)的未绕系统有3个奇点O(0,0), S(1,0)C(2,0),其中奇点O(0,0)是一个初等中心.由常微分方程稳定性理论可知,当ε充分小时,对一些参数(a0,a1,a2)的值,中心O(0,0)能够产生Hopf分支,为此,我们有下面的引理.

引理3.1  当ε充分小时,对一些参数(a0,a1,a2)的值,中心奇点O(0,0)是一个双曲焦点或最多3阶的细焦点,具体细节如下:

(i)如果a00|εa0|<4,那么O(0,0)是一个双曲焦点,当a0<0时,这个焦点是稳定的;当a0>0时,它是不稳定的.

(ii)如果a0=02a1+a20,那么O(0,0)是一个一阶细焦点,当2a1+a2<0时,它是稳定的;当2a1+a2>0时,它是不稳定的.

(iii)如果a0=0, 2a1+a2=0a14047,那么O(0,0)是一个二阶细焦点,当a2<8047时,它是稳定的;当a2>8047时,它是不稳定的.

(iv)如果(a0,a1,a2)=(0,4047,8047),那么O(0,0)是一个三阶的不稳定细焦点.

  通过直接计算系统(1.5)在中心O(0,0)的特征值可知(i)成立.

为了证明其他情形,我们运用坐标变换

xx,yε(12a1x2+13a2x3+14x4)y,

系统(1.5)就可化为下面的Liénard系统

dxdt=y+εF(x),dydt=G(x)
(3.1)

其中F(x)=12a1x2+13a2x3+14x4G(x)=x(x1)(x2)2.

我们可以看出F(x)G(x)在原点的邻域是解析的,且F(0)=F(0)=G(0)=0, G(0)>0.Q(x)=x0G(s)ds,运用Conti变换[3],有

v=sign(x)2Q(x)=2x143x+58x2110x3.
(3.2)

由隐函数定理,等式(3.2)确定一个解析的反函数x=ϕ(v),使得v=sign(ϕ(v))2G(ϕ(v)).x=ϕ(v)=i=0αivi,运用待定系数法就有

x=ϕ(v)=v2+16v2+1151152v3+791080v4+1315932211840v5+12839248832v6+2977406576370099200v7+O(v8).
(3.3)

dt=vG(x)dτ,系统(3.1)化为

dvdτ=y+εF(ϕ(v)),dydτ=v,
(3.4)

其中F(ϕ(v))=k=1βkvk.运用形式幂级数的方法,我们得到系统(3.1)的焦点量如下:

\begin{eqnarray} q_{1}&#38; = &\varepsilon \beta_{3} = \varepsilon \bigg(\frac{a_{1}}{12}+\frac{a_{2}}{24}\bigg), \\ q_{2}& = &\varepsilon \beta_{5} = \varepsilon \bigg(\frac{1}{48}+\frac{613a_{1}}{11520}+ \frac{179a_{2}}{4608}\bigg), \\ q_{3}& = &\varepsilon \beta_{7} = \varepsilon \bigg(\frac{1103}{46080}+\frac{190291a_{1}}{4423680}+\frac{308071a_{2}}{8847360}\bigg). \end{eqnarray}

从上面的焦点量,易知引理3.1的情形(ii)–(iv)成立.

由上面的引理3.1可知,在参数(a0,a1,a2)=(0,4047,8047)的小邻域,系统(3.1)在原点附近有3个极限环,这与第二部分系统(1.5)的Poincaré分支值是一致的.

定理1.2的证明  由引理3.1和Hopf分支理论,我们可以看出当参数值a0,a1a2(a0,a1,a2)=(0,4047,8047)的邻域变化时,奇点O(0,0)产生一系列的Hopf分支.具体地,当a0=0, a2=2a1, a14047增大时,从系统(1.5)的奇点O(0,0)分支出一个唯一稳定的极限环;当a0=0, a1>4047a28047增大时,从奇点O(0,0)分支出一个唯一不稳定的极限环;当a1>4047, a2>8047a00增大时,从奇点O(0,0)分支出一个唯一稳定的极限环.因此,当a0>0, a1>4047a2>8047时,系统(1.5)产生3个绕原点的极限环,其中两个极限环是稳定的,一个极限环是不稳定的.这样我们就证明了定理1.2.

参考文献

Arnold V I .

Some unsolved problems in the theory of diferential equations and mathematical physics

Russian Math Surveys, 1989, 44, 157- 171

DOI:10.1070/RM1989v044n04ABEH002139      [本文引用: 1]

Cen X , Liu C , Yang L , Zhang M .

Limit cycles by perturbing quadratic isochronous centers inside piecewise polynomial differential systems

J Differ Equ, 2018, 265, 6083- 6126

DOI:10.1016/j.jde.2018.07.016      [本文引用: 1]

Conti R , Sansone G . Nonlinear Differential Equations. London: Pergamon, 1964

[本文引用: 1]

Dumortier F , Li C .

Perturbations from an elliptic Hamiltonian of degree four:(Ⅰ) Saddle loop and two saddle cycle

J Differ Equ, 2001, 176, 114- 157

DOI:10.1006/jdeq.2000.3977      [本文引用: 1]

Dumortier F , Li C .

Perturbations from an elliptic Hamiltonian of degree four:(Ⅱ) Cuspidal loop

J Differ Equ, 2001, 175, 209- 243

DOI:10.1006/jdeq.2000.3978     

Dumortier F , Li C .

Perturbations from an elliptic Hamiltonian of degree four:(Ⅲ) Global center

J Differ Equ, 2003, 188, 473- 511

DOI:10.1016/S0022-0396(02)00110-9     

Dumortier F , Li C .

Perturbations from an elliptic Hamiltonian of degree four:(Ⅳ) Figure eight-loop

J Differ Equ, 2003, 188, 512- 514

DOI:10.1016/S0022-0396(02)00111-0      [本文引用: 1]

Gautier S , Gavrilov L , Iliev I D .

Perturbations of quadratic centers of genus one

Discrete Contin Dyn Syst, 2009, 25, 511- 535

DOI:10.3934/dcds.2009.25.511      [本文引用: 1]

Grau M , Mañosas F , Villadelprat J .

A Chebyshev criterion for Abelian integrals

Trans Amer Math Soc, 2011, 363, 109- 129

DOI:10.1090/S0002-9947-2010-05007-X      [本文引用: 5]

Han M , Yang J , Tarta A A , Gao Y .

Limit cycles near homoclinic and heteroclinic loops

J Dyn Diff Equa, 2008, 20, 923- 944

DOI:10.1007/s10884-008-9108-3     

Iliev I D .

Perturbations of quadratic centers

Bull Sci Math, 1998, 122, 107- 161

DOI:10.1016/S0007-4497(98)80080-8      [本文引用: 1]

Li C .

Abelian integrals and limit cycles

Qual Theory Dyn Syst, 2012, 1, 111- 128

URL     [本文引用: 1]

梁海华, 陈玉明, 岑秀丽.

一类拟齐次多项式中心的极限环分支

数学物理学报, 2018, 38A (1): 1- 9

URL     [本文引用: 1]

Liang H , Chen Y , Cen X .

Limit cycles bifurcating from a class of quasi-homogeneous polynomial center

Acta Math Sci, 2018, 38A (1): 1- 9

URL     [本文引用: 1]

Li C , Mardešić P , Roussarie R .

Perturbations of symmetric elliptic Hamiltonians of degree four

J Differ Equ, 2011, 231, 78- 91

URL    

Li C , Zhang Z .

Remarks on 16th weak Hilbert problem for n=2

Nonlinearity, 2002, 15, 1975- 1992

DOI:10.1088/0951-7715/15/6/310      [本文引用: 1]

Mardešić P . Chbyshev System and the Versal Unfolding of the Cusp of Order n. Paris: Hermann, 1998

[本文引用: 1]

Pontryagin L S .

On dynamic systems closed to Hamiltonian systems (in Russian)

Zh Eksper Teoret Fiz, 1934, 4, 234- 238

[本文引用: 1]

Shao Y , Zhao Y .

The cyclicity and period function of a class of quadratic reversible Lotka-Volterra system of genus one

J Math Anal Appl, 2011, 377, 817- 827

DOI:10.1016/j.jmaa.2010.11.048      [本文引用: 1]

吴奎霖, 邵仪.

亏格一双中心的二次Lotka-Volterra系统的二次扰动

数学物理学报, 2014, 34A (5): 1275- 1286

URL     [本文引用: 1]

Wu K , Shao Y .

Quadratic perturbations of a quadratic reversible Lotka-Volterra system of genus one with two centers

Acta Math Sci, 2014, 34A (5): 1275- 1286

URL     [本文引用: 1]

Wang J , Xiao D .

On the number of limit cycles in small perturbations of a class of hyper-elliptic Hamiltonian systems with one nilpotent saddle

J Differ Equ, 2011, 250, 2227- 2243

DOI:10.1016/j.jde.2010.11.004      [本文引用: 1]

Wang J , Xiao D. Han M .

The number of zerosof Abelian integrals for a hyperelliptic Hamiltonian systems with degenerated polycycle

Int J Bifurcation Chaos, 23013, 23, 1350047

URL     [本文引用: 1]

Xiao D .

Bifurcations on a five-parameter family of planar vector field

J Dynam Differ Equ, 2008, 20, 961- 980

DOI:10.1007/s10884-008-9109-2      [本文引用: 1]

Xiao D , Zhang Z .

On the uniqueness and nonexistence of limit cycles for predator-prey systems

Nonlinearity, 2003, 16, 1185- 1201

DOI:10.1088/0951-7715/16/3/321     

Yang J , Zhou L .

Limit cycle bifurcations in a kind of perturbed Liénard system

Nonlinear Dyn, 2016, 85, 1695- 1704

DOI:10.1007/s11071-016-2787-0      [本文引用: 1]

Żoladek H .

Quadratic systems with centers and their perturbations

J Differ Equ, 1994, 109, 223- 273

DOI:10.1006/jdeq.1994.1049      [本文引用: 1]

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