自然增长条件下的非齐次A-调和方程弱解的梯度估计
Gradient Estimates for Weak Solutions to Non-Homogeneous A-Harmonic Equations Under Natural Growth
Received: 2018-12-28
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该文主要研究一类自然增长条件下的非齐次A-调和方程弱解的梯度估计,首先获得自然增长条件下的非齐次A-调和方程弱解的Lp估计,然后使用迭代覆盖逼近等方法,将其推广到Orlicz空间.
关键词:
The gradient estimates for weak solutions to non-homogeneous A-harmonic equations under natural growth is obtained. The Lp-type estimates for such equation is derived under natural growth, and then the Lφ-type estimate in Orlicz space is derived by a new iteration-covering approach.
Keywords:
本文引用格式
张雅楠, 闫硕, 佟玉霞.
Zhang Yanan, Yan Shuo, Tong Yuxia.
1 引言
设
其中算子
算子
其中
考虑自然增长条件下的非齐次
定义1.1 设算子
对于任意的
弱解的梯度估计; Byun和Wang[7]获得了非线性椭圆方程
的弱解的
在Orlicz空间中的正则性理论; Yao[7]研究了一类非线性椭圆方程
通过假设算子
强解的Hesssian矩阵在Orlicz空间的内部估计; Liang和Zheng[11]得到了具有部分BMO系数的非线性椭圆型障碍问题在Orlicz空间中的梯度估计.
本文首先得到自然增长条件下非齐次
下面是本文主要结论.
定理1.1 假设
且有估计式
其中
本文具体内容组织如下:在第二节给出预备知识和迭代覆盖方法;在第三节给出主要结论的证明.
2 预备知识
Orlicz空间是
用
那么,函数
那么,函数
注2.1
其中
的所有可测函数
Orlicz空间
注2.2 注意到,
关于Orlicz空间有如下重要引理.
其中
设
对于任意的
由(7)式,选择合适的常数
不妨限定
下面借鉴文献[8],给出迭代覆盖逼近引理.
引理2.2 令
而且,有
证
为证明上式,给定任意的
即对任意的
则存在
由(2.16)式,选择半径
由于
于是,对
对于几乎处处
即
于是将(2.24)式进行积分区域分割,得
移项整理得
引理2.2证毕.
引理2.3 设
这里
3 主要定理的证明
本节内容组织如下:在3.1小节,通过添加假设条件
3.1 假设条件下定理1.1的证明
本小节在假设
引理3.1 假设
证 选取适当的检验函数
将检验函数代入定义1.1,得
并移项整理得
上述等式左边利用(1.2)及(1.4)式得
将(3.4)式右边利用(1.3)式和(1.6)式得
估计
综合(3.4), (3.5), (3.6)及(3.7)式,得
令
令
由于
其中
令
其中
下面给出全局弱解的定义.
定义3.1 假设
对于任意的
下面借鉴文献[12],给出
引理3.2 令
证 设
于是有
由于
同理可证得
由定义3.1很容易获得如下引理.
引理3.3 若
证 取检验函数
即
由(1.2)及(1.4)式得
由(1.3)式及Young不等式,得
综合(3.17), (3.18)和(3.19)式,得
令常数
其中
在证明主要结论之前,给出如下引理.
引理3.4 若
则存在
证 若结论(3.23)式成立,则结论(3.24)式可证(参见文献[22,引理5.1]).
下面只需证明
其中
其中
先估计
再估计
由引理3.3得
再利用(3.22)式得
最后估计
由
其中
再由(3.22)式得
其中
现在开始证明定理1.1.
证 对于任意的
于是,由(2.15)式得
其中
对任意的
利用(2.7)式得
估计
其中
因此,由(2.3)和(3.43)式得
其中
再估计
设
其中
于是综合估计
选择适当的
再通过引理2.3,将上述不等式最后一项积分重新吸收,得
最后通过缩放讨论,证毕.
3.2 逼近
考虑Dirichlet问题
由于
则有
稍后给出证明过程.
由(3.53)式可知,
于是
因此存在
于是由Fatou引理,
这就是说,为证明定理1.1,只需增加一个假设(
现证明(3.53)式.下面主要考虑
两式相减整理得
其中
估计
估计
最后估计
由于
利用Hölder不等式得
其中
其中常数
代入(3.61)式,再利用(3.52)式得
其中
参考文献
On the higher integrability of the gradient of weak solutions of certain degenerate elliptic systems
,
Projections onto gradient fields and Lp-estimates for degenerated elliptic operators
,
Gradient estimates for the p(x)-Laplacean system
,
Quasilinear elliptic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains
,
A local estimate for nonlinear equations with discontinuous coefficients
,
Lp-estimates for general nonlinear elliptic equations
,
Regularity in Orlicz spaces for the Poisson equation
,
Gradient estimate in Orlicz spaces for elliptic obstracle problems with partially BMO nonlinearities
,
Regularity for a class of degenerate elliptic equations with discontinuous coefficients under natural growth
,
一类A -调和方程的障碍问题的很弱解的全局正则性
,
Global regularity for very weak solutions to obstacle promlems corresponding to a class of A-harmonic equations
Weighted Lorentz estimates for nondivergence linear elliptic equations with partially BMO coefficients
,
弱A -调和张量的奇点可去性
,
Removable singularities of weakly A-harmonic tensors
Weighted estimates for nondivergence parabolic equations in Orlicz spaces
,
Gradient estimates in Orlicz space for nonlinear elliptic equations
,
Optimal regularity for the Poisson equation
,
障碍问题解的局部正则性和局部有界性
,
Local regularity and local boundedness for solutions to obstacle problems
The natural generalization of the natural conditions of Ladyzhenskaya and Urall'tseva for elliptic equations
,
Gradient estimates in Orlicz spaces for quasilinear elliptic equation
,
Regularity for more general class of quasilinear elliptic equations
,
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