设$1< p< +\infty$, $\Omega$是${{\Bbb R}} ^{n}$中的有界域,本文考虑如下非齐次椭圆方程

其中算子$A = A(x, \xi ):{{\Bbb R}} ^{n}\times {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{n}$,满足通常的可测性条件(Carathéodory条件),并且对几乎所有的$x, y \in \Omega$和所有的$\xi , \eta \in {{\Bbb R}} ^{n}$满足下列条件

算子$B = B(x, \xi):{{\Bbb R}} ^{n}\times {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$满足自然增长条件

其中$C_{i}> 0, i = 1, 2, 3, 4$为正常数.这里的连续模$\omega (x):{{\Bbb R}} ^{+}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{+}$非减,而且满足

考虑自然增长条件下的非齐次$A$ -调和方程$(1.1)$的弱解,给出如下定义.

定义1.1   设算子$A, B$满足条件(1.2)–(1.6)式,称$u \in W_{loc}^{1, p} (\Omega)\cap L^{\infty }(\Omega )$是方程$(1.1)$的局部弱解,若

对于任意的$\varphi \in W_{0}^{1, p} (\Omega )$都成立.

Dibenedetto等^[1]和Iwaniec^[2]获得了$L^{q}$空间($q\geq p$)上$p$-Laplace型拟线性椭圆方程

弱解的梯度估计; Acerbi和Mingione^[3]研究了上述方程在变指数空间中的情况;之后Byun, Kinnunen等^[4-5]在不同假设条件下,获得了$p$-Laplace型拟线性椭圆方程

弱解的梯度估计; Byun和Wang^[7]获得了非线性椭圆方程

的弱解的$W^{1, p}$ ($2\leq p< \infty$)正则性; Jia等^[8]基于标准的$W^{2, p}$估计方法及Hardy-Littlewood极大函数,建立了泊松方程

在Orlicz空间中的正则性理论; Yao^[7]研究了一类非线性椭圆方程

通过假设算子$A$满足一些合适条件和向量$f$满足适当增长条件,得到了其在Orlicz空间弱解的梯度估计;后来又获得了抛物型$A$ -调和方程

的弱解在Sobolev空间和Orlicz空间的梯度估计^[9];最近李慧珍和郑神州^[10]研究了具有小的部分BMO系数的非散度型线性椭圆方程

强解的Hesssian矩阵在Orlicz空间的内部估计; Liang和Zheng^[11]得到了具有部分BMO系数的非线性椭圆型障碍问题在Orlicz空间中的梯度估计.

Zheng等^[12]在$2008$年获得了右端为非散度型的自然增长条件下椭圆方程弱解的$L^{p}$估计,其研究成果中关于自然增长条件下的处理方法,对本文研究的$A$ -调和方程的$L^{p}$估计具有很强的参考价值.另外,由于经典的$L^{\phi }$空间中的极大函数比较繁琐,本文采用了文献[8]中的迭代覆盖逼近方法,将$L^{p}$估计推广到Orlicz空间,避免了使用极大函数算子.

另外，关于$A$ -调和方程及其相关问题的结论,可参见文献[13-16].

本文首先得到自然增长条件下非齐次$A$ -调和方程$(1.1)$的$L^{p}$估计,再将其扩展到Orlicz空间.

下面是本文主要结论.

定理1.1  假设$\phi \in\triangle _{2}\cap \triangledown _{2}$,如果$u \in W_{loc}^{1, p} (\Omega)\cap L^{\infty }(\Omega )$是方程$(1.1)$的局部弱解,算子$A$和$B$满足(1.2)–(1.6)式,那么

且有估计式

其中$B_{2R}\subset \Omega$,且$C$是独立于$u$的常数.

本文具体内容组织如下:在第二节给出预备知识和迭代覆盖方法;在第三节给出主要结论的证明.

Orlicz空间是$L^{ p}$空间的推广,自$1932$年波兰著名数学大师Orlicz引进以来, Orlicz空间理论已应用于诸多领域.下面简单介绍Orlicz空间中的基本定义和一些相关的重要结论.

用$\Phi$表示所有函数$\phi :\left [ 0, + \infty \right )\rightarrow \left [ 0, + \infty \right )$组成的函数类,其中$\phi$是递增的凸函数.

定义2.1^{[7-8, 17]}  如果存在一个正常数$K$,使得对于任意的$t> 0$,都有

那么,函数$\phi \in \Phi$满足全局$\triangle _{2}$条件,表示为$\phi \in \triangle _{2}$.同时,如果存在一个常数$a>1$,使得对于任意的$t>0$,都有

那么,函数$\phi \in \Phi$满足全局$\triangledown _{2}$条件,表示为$\phi \in \triangledown _{2}$.

注2.1   $(1)$注意到全局$\triangle _{2}\cap \triangledown _{2}$条件使函数适当增长.例如, $\phi (t) = \left | t \right |^{\alpha }(1+\left | \log \left | t \right | \right |)\in \triangle _{2}\cap \triangledown _{2}, \alpha > 1$.像$t\log (1+t)$这样的例子不满足$\triangledown _{2}$条件,而像$\exp (t^{2})$这样的例子不满足$\triangle_{2}$条件.

$(2)$事实上,如果$\phi \in \triangle _{2}\cap \triangledown _{2}$,那么$\phi$满足对于$0< \theta _{2}\leq 1\leq \theta _{1}< \infty$,都有

其中$\alpha _{1} = \log _{2}K, \alpha _{2} = \log _{a }2+1$.

$(3)$在条件(2.3)式下,很容易得到$\phi \in \Phi$,且满足$\phi(0) = 0$以及

定义2.2^{[7-8, 17]}    令$\phi \in \Phi$,则$\rm Orlicz$类$K^{\phi }(\Omega )$是满足

的所有可测函数$g:\Omega \rightarrow {{\Bbb R}}$组成的集合.

Orlicz空间$L^{\phi }(\Omega )$是$K^{\phi }(\Omega )$的线性闭包.

注2.2  注意到, $\rm Orlicz$空间$L^{\phi }(\Omega )$是$L^{q }$空间的推广形式.如果$\phi (t) = t^{q}, t\geq 0$,那么$\phi \in \triangle _{2}\cap \triangledown _{2}$,于是得到一个特例

关于Orlicz空间有如下重要引理.

引理2.1^{[7, 18-19]}   假设$\phi \in\triangle _{2}\cap \triangledown _{2}$以及$g \in L^{\phi }(\Omega )$,那么

$(1)$$K^{\phi } = L^{\phi }$,且$C_{0}^{\infty }$在$L^{\phi }$中稠密;

$(2)$$L^{\alpha _{1}}(\Omega )\subset L^{\phi }(\Omega )\subset L^{\alpha _{2}} (\Omega )\subset L^{1}(\Omega )$,其中$\alpha _{1}, \alpha _{2}$取自(2.3)式;

$(3)$

$(4)$

其中$a, b>0, C = C(a, b, \phi )$.

设$u$为方程$(1.1)$的局部弱解.先考虑定理1.1中在$R = 1$的情况,然后可通过缩放论证得到(1.10)式.设

对于任意的$x \in \Omega$和$\rho > 0$,令

由(7)式,选择合适的常数$R_{0} = R_{0}(\epsilon ) \in (0, 1)$使得

不妨限定$\epsilon \in (0, 1)$,且由(3.48)式决定.

下面借鉴文献[8],给出迭代覆盖逼近引理.

引理2.2  令$\lambda \geq \lambda _{*} = :(\frac{10}{R_{0}})^{n/p}\lambda _{0}+1$,则存在一族不相交的球$\left \{ B_{\rho _{i}}(x_{i}) \right \}$, $x_{i} \in E(1)$,使得$0< \rho _{i} = \rho (x_{i})\leq R_{0}/10$,且

而且,有

证   $(1)$首先需证

为证明上式,给定任意的$\omega \in B_{1}$且$\frac{R_{0}}{10}\leq \rho \leq R_{0}$,令$\lambda \geq \lambda _{*} = :(\frac{10}{R_{0}})^{n/p}\lambda _{0}+1$,则有

即对任意的$\omega \in B_{1}$及$R_{0}/10\leq \rho \leq R_{0}$, (2.16)式成立.

$(2)$对几乎处处$\omega \in E(1)$,由Lebesgue微分定理得

则存在$\rho > 0$,满足

由(2.16)式,选择半径$\rho _{\omega } \in (0, \frac{R_{0}}{10}]$使得

由于$J\left [ B_{\rho } (\omega )\right ]$是关于$\rho$的连续函数,则

于是,对$\rho _{\omega }< \rho \leq R_{0}$有

对于几乎处处$\omega \in E(1)$,存在一个球$B_{\rho _{\omega }}(\omega )$满足上述论证.因此,应用Vitali覆盖引理,有一族互不相交的球$\left \{ B_{\rho _{i }}(x_{i}) \right \}_{i \in {\Bbb N}}$,其中$x_{i} \in E(1), \rho _{i} = \rho (x_{i})\in (0, R_{0}/10]$,使得(2.13)式和(2.14)式成立.

$(3)$由(2.13)式有

即

于是将(2.24)式进行积分区域分割,得

移项整理得

引理2.2证毕.

下面的引理来自文献[20-21].

引理2.3  设$f (\tau )$是定义在$0\leq R_{0}\leq t\leq R_{1}$上的非负有界函数,若对$R_{0}\leq \tau < t\leq R_{1}$有

这里$A, B, \alpha, \theta$为非负常数且$\theta < 1$,则存在只依赖于$\alpha$和$\theta$的常数$C$,使得对于每个$\rho , R, R_{0}\leq \rho < R\leq R_{1}$,有

本节内容组织如下:在3.1小节,通过添加假设条件$\left | \nabla u \right |^{p} \in L_{loc}^{\infty }(\Omega ) \subset L_{loc}^{\phi}(\Omega)$给出定理$1.1$的证明;在3.2小节,利用逼近方法将上述添加的假设条件移除.

本小节在假设$\left | \nabla u \right |^{p} \in L_{loc}^{\infty }(\Omega )\subset L_{loc}^{\phi}(\Omega)$的条件下,考虑定理$1.1$的证明.首先建立自然增长条件下方程$(1.1)$的局部$L^{p}$估计.

引理3.1   假设$B_{2R}\subset \Omega$,令$u \in W_{loc}^{1, p}(\Omega) \cap L^{\infty }(\Omega )$为方程$(1.1)$的局部弱解,算子$A$和$B$满足(1.2)–(1.6)式,则

证  选取适当的检验函数$\varphi = (u-u_{2R})e^{\beta \left |u-u_{2R} \right |}\eta ^{p}$,其中$\beta$为待定常数, $u_{2R} = \frac{1}{|B_{2R}|}\int _{B_{2R}}u{\rm d}x$, $\eta \in C_{0}^{\infty }(\Omega)$为截断函数,满足

将检验函数代入定义1.1,得

并移项整理得

上述等式左边利用(1.2)及(1.4)式得

将(3.4)式右边利用(1.3)式和(1.6)式得

估计$I_{1}$.由Young不等式得

综合(3.4), (3.5), (3.6)及(3.7)式,得

令$\beta$满足$C_{2} \beta > C_{4}$,将上式移项整理得

令$\tau >0$且满足$C_{2} - p C_{1}\tau > 0$.上式利用(3.2)式得

由于$u \in L^{\infty }(\Omega ),$故存在充分大的正常数$M$,使得$\left | u \right |\leq M$.代入上式,得

其中$C = C(C_{1}, C_{2}, C_{4}, p, M)$,引理3.1证毕.

令$v$是下列边值问题的弱解:

其中$x^{*} \in B_{\widetilde{R}}$为定点,且$B_{\widetilde{R}} = B_{10\rho_{i}}(x_{i})$.

下面给出全局弱解的定义.

定义3.1  假设$v \in W^{1, p}(B_{\widetilde{R}}),$于是$v-u \in W_{0}^{1, p}(B_{\widetilde{R}})$,则称$v \in W^{1, p}(B_{\widetilde{R}})$是边值问题(3.12)在$B_{\widetilde{R}}$中的弱解,如果有

对于任意的$\varphi \in W_{0}^{1, p}(B_{\widetilde{R}} )$成立.

下面借鉴文献[12],给出$v$的有界性引理.

引理3.2  令$v \in W^{1, p}(B_{\widetilde{R}})$是边值问题(3.12)的弱解,则有

证  设${ } M = \sup _{\partial B_{\widetilde{R}}}u$, ${ } m = \inf _{\partial B_{\widetilde{R}}}u$,则$s = \min \left \{ v, M \right \}$是边值问题(3.12)的弱上解.取非负函数$\varphi _{1} = v- s \in W_{0}^{1, p}(B_{\widetilde{R}})$为检验函数,代入边值问题(3.12),结合$(1.4)$式得

于是有

由于$\varphi _{1} = v- \min \left \{ v, M \right \} \in W_{0}^{1, p}(B_{\widetilde{R}})$,则$v = \min \left \{ v, M \right \}$,于是

同理可证得$v\geq m = \inf _{\partial B_{\widetilde{R}}}u$.引理3.2得证.

由定义3.1很容易获得如下引理.

引理3.3  若$v \in W^{1, p}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是边值问题(3.12)在$B_{10\rho _{i}}(x_{i})$中的弱解,其中$x_{i} \in E(1)$, $\rho _{i}$与在引理$2.2$中的定义相同,则有

证  取检验函数$\phi = u-v \in W_{0}^{1, p}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$,由定义3.1,得

即

由(1.2)及(1.4)式得

由(1.3)式及Young不等式,得

综合(3.17), (3.18)和(3.19)式,得

令常数$\tau_{1} >0$足够小,满足$C_2>C_1\tau_1$,则有

其中$C = C(C_{1}, C_{2})$,于是引理3.3证毕.

在证明主要结论之前,给出如下引理.

引理3.4  若$v \in W^{1, p}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是边值问题(3.12)在$B_{10\rho _{i}}(x_{i})$中的弱解, $u \in W_{loc}^{1, p} (\Omega)\cap L^{\infty }(\Omega )$是方程$\rm (1.1)$的局部弱解,算子$A$和$B$满足(1.2)–(1.6)式.若

则存在$N_{0}> 1$,使得

证  若结论(3.23)式成立,则结论(3.24)式可证(参见文献[22,引理5.1]).

下面只需证明$(3.24)$式.选取检验函数$\varphi_{2} = u-v \in W_{0}^{1, p}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$,代入定义1.1及定义3.1,得

其中$x^{*} \in B_{10\rho _{i}}(x_{i})$为定点.直接计算得

其中

先估计$K_{1}.$由(1.4)式得

再估计$K_{2}.$由$\rho _{i} \in (0, R_{0}/10]$, (1.5)式, Young不等式和(2.12)式,得

由引理3.3得

再利用(3.22)式得

最后估计$K_{3}$.利用(1.6)式得

由$\left | u \right |\leq M$和引理3.2得

其中$C = C(C_{4}, M)$.综合所有$K_{i}(i = 1, 2, 3)$,得

再由(3.22)式得

其中$C = C(C_{2}, C_{3}, C_{4}, M).$引理3.4证毕.

现在开始证明定理1.1.

证  对于任意的$\lambda \geq \lambda _{*} = (10/R_{0}) ^{n/p}\lambda _{0}+1$,取$N_{0}>1$如引理3.4所述.利用引理3.4有

于是,由(2.15)式得

其中$C = C(n, p, N_{0}).$考虑一族互不相交的球$\left \{ B_{\rho _{i}}(x_{i}) \right \}$,由引理2.2有

对任意的$\lambda \geq \lambda _{*} = (10/R_{0})^{n/p}\lambda _{0}+1$成立.综合(3.39)和(3.38)式,并注意到$\rho_{i} \leq \frac{R_{0}}{10}$且$R_{0} \in (0, 1)$,得

利用(2.7)式得

估计$J_{1}$.由$\lambda _{*}$的定义及(2.9)式,得

其中$C = C(n, p)$.由引理3.1得

因此,由(2.3)和(3.43)式得

其中$C = C(n, p, \phi, N_{0} ).$

再估计$J_{2}.$由(3.40)式得

设$\mu = \lambda ^{p}$代入上述不等式,再利用(2.8)式得

其中$C = C(n, p, \phi , N_{0}).$

于是综合估计$J_{1}$和$J_{2}$,得

选择适当的$\epsilon$,使得

再通过引理2.3,将上述不等式最后一项积分重新吸收,得

最后通过缩放讨论,证毕.

现参考^{[18, 23]}采用逼近方法将3.1小节添加的假设条件$\left | \nabla u \right |^{p} \in L_{loc}^{\infty }(\Omega )\subset L_{loc}^{\phi}(\Omega)$移除.

考虑Dirichlet问题

对所有$k = 1, 2, 3, \cdot\cdot\cdot$,存在唯一弱解$u_{k} \in W^{1, p}(B_{2R})$,且$u_{k} \in L^{\infty}(B_{2R})$.由梯度的正则性理论知, $\nabla u_{k} \in L^{\infty}(B_{2R})$ (参见文献[23-24]).于是上一节在Orlicz空间的估计成立,即

由于$u_{k} \in L^{\infty}(B_{2R})$及$\nabla u_{k} \in L^{\infty}(B_{2R})$,因此存在一个子列$\left \{ u_{k} \right \}$ (仍表示为$\left \{ u_{k} \right \}$)和函数$v \in W^{1, p}( B_{2R} )$,使得

则有

稍后给出证明过程.

由(3.53)式可知, $v \in W^{1, p}(B_{2R} )$是Dirichlet问题(3.50)的弱解.已知$u \in W^{1, p}(B_{2R} )$也是Dirichlet问题(3.50)的弱解.从而由弱解的唯一性得$v = u$,则(3.53)式即为

于是

因此存在$\{u_{k}\}_{k = 1}^{\infty}$的子列(用$\{u_{k}\}$表示),使得

于是由Fatou引理, $|u_{k}|^{p} \in L^{\infty} (B_{2R}) \subset L^{\phi} (B_{2R})$, (3.51)式以及(3.55)式,得

这就是说,为证明定理1.1,只需增加一个假设($\nabla u_{k}$是局部有界的)证明(1.10)式即可.一旦(1.10)式在一般情况下成立,则可经由标准覆盖讨论得到$|\nabla u|^{p} \in L_{loc}^{\phi} (\Omega)$.

现证明(3.53)式.下面主要考虑$p\geq 2$的情形, $1<p<2$时,可参考文献[25]中相同的方法处理.取检验函数$\varphi _{3} = (u_{k}-v)e^{\theta |u_{k}-v|}$,其中$\theta$为待定正常数,代入Dirichlet问题(3.50)弱解的定义,得

两式相减整理得

其中

估计$J_{3}$.由(1.4)式得

估计$J_{4}$.由(1.4)式得

最后估计$J_{5}$.由(1.6)式得

由于$u_{k}, v \in L^{\infty }( B_{2R} )$,故存在充分大的正常数$M$,使得$|u_{k}|\leq M, |v| \leq M$.综合(3.56), (3.57), (3.58)和(3.59)式,并且令$\theta$满足$C_{2} \theta > C_{4}$,移项整理得

利用Hölder不等式得

其中$\alpha_{2}$如(2.3)式所述.由引理2.1及(2.3)式,对任意$g \in L^{\phi } (B_{2R})$,有

其中常数$a$取自定义2.1, $a>1$.由于$|\nabla u_{k}|^{p} \in L^{\phi}(B_{2R})$,于是

代入(3.61)式,再利用(3.52)式得

其中$C = C( C_{2}, C_{4}, M, n, p, a)$.于是(3.53)式得证.