在随机微分方程参数统计推断的研究中,经常遇到这种情况,假设所讨论的过程可以在时间上连续观察.然而,实践中这种假设并不总是成立.即使可以连续观察这个过程,为了计算参数的估计值,必须用有限Riemann-Stieltjes和来逼近随机和普通积分.因此,有必要知道这个参数是否可以通过离散数据进行合理的估计.在某种概率分布下受经典布朗运动扰动线性随机微分方程参数估计问题可参见文献[2, 20, 28].基于Hu和Nualart的工作^[16], Shen等^[29]进一步讨论加权分数布朗运动扰动Ornstein-Uhlenbeck过程参数的最小二乘估计.

另一方面,根据Knight著名不确定性的分析^[19],有两种不确定性.第一个不确定称为风险,对应于所有事件相关的决策依据明确的概率分布.第二个不确定称为Knight不确定性,或模糊性(采用Ellsberg^[7]术语),对应于某些事件没有明显概率分配的情况.此外,由于未观测到的因素可以随机响应,所以布朗运动基于该因素具有条件分布.我们称之为分布不确定性.文献[17]中有一个相关的例子.人们常常忽视未观察到或忽略的因素对响应的冲击.在Knight不确定（模糊性）的框架下,不同的观测结果可能来自从一类分布中产生的不同分布,有关问题分析是基于这种分布不确定(参见文献[21-22]).

事实上,经典统计或概率模型的所有假设条件中,最重要的一个可能是分布确定性,在这个意义上,每个相关的随机变量都有一个可能已知也可能未知的概率分布.经典的线性期望就是基于这样一个关键假设.但是, "分布是确定的"在实践中并非总是如此,比如在风险度量和稳健的金融投资组合决策中(参见文献[4, 8, 11-13]).在分布不确定性下,得到的期望通常是非线性的.早期关于次线性期望的工作可追溯到Huber^[17]的稳健统计,他考虑了不确定分布下的静态稳健统计分析.近几十年来,非线性期望理论和方法得到了很好的发展和应用,在一些应用领域,如金融风险度量和投资组合决策(见文献[1, 6])受到了广泛关注. Peng^[27]最近提出了次线性期望理论,其中次线性期望是动态一致的.在分布不确定性下, Lin等^[21-22]利用Fan和Peng^[9]提出的非凹惩罚似然的思想,研究了上期望参数回归和$ k $ -样本上期望线性回归模型. Sun和Ji^[30]讨论了次线性期望下随机变量的最小二乘估计.与非线性概率论的快速发展相反,就我们所知,在分布不确定性下随机微分方程的参数统计推断研究较少.

在现实中,由于一些复杂的环境,模糊不确定系统可以用$ G $布朗运动驱动的随机微分方程($ G $-SDE)来刻画.最近,有关调查可参见文献[10, 14-15, 23-25]等.类似经典情形,我们面临$ G $-SDE的参数估计问题.

本文讨论了$ G $-SDE,其中需要估计漂移项中的一个未知参数.利用次线性期望理论,得到了基于离散观察数据的参数稳健最小二乘估计的相合性,这是本文的主要贡献.据我们所知,这是第一次尝试讨论分布不确定性下$ G $-SDE的参数估计问题.为此,证明了次线性期望下的指数鞅不等式和几个关键引理.所建立的概念和方法是非经典和独特的,其理论框架为$ G $ -布朗运动驱动随机微分方程的分布不确定统计研究提供了基础.

论文安排如下.第2节对次线性期望和$ G $ -布朗运动作了初步介绍,并给出了相关的引理.第3节研究了$ G $-SDE参数的强相合性.为了证明定理,第4节进一步给出了几个引理并加以证明.在第5节中,我们讨论了一个示例.最后,第6节给出总结.

在本节中,我们首先给出了次线性期望空间$ (\Omega, {\cal H}, \hat{{\Bbb E}}) $的概念,其中$ \Omega $是给定的状态集, $ \cal H $是在$ \Omega $上定义的实值函数的线性空间.空间$ \cal H $可以看作是随机变量的空间.以下概念源于文献[27].

定义2.1   次线性期望是一泛函$ \hat{\mathbb E} $: $ {\cal H}\rightarrow {\mathbb R} $满足

(ⅰ)单调性: $ \hat{{\Bbb E}}[X]\geq \hat{{\Bbb E}}[Y] $如果$ X\geq Y $;

(ⅱ)保常性: $ \hat{{\Bbb E}}[c] = c $;

(ⅲ)次可加性:对任意$ X, Y\in {\cal H} $,有$ \hat{{\Bbb E}}[X+Y]\leq \hat{{\Bbb E}}[X]+\hat{{\Bbb E}}[Y] $;

(ⅳ)正齐次性: $ \hat{{\Bbb E}}[\lambda X] = \lambda \hat{{\Bbb E}}[X] $对$ \lambda\geq 0 $.

定义2.2   设$ (\Omega, {\cal H}, \hat{{\Bbb E}}) $是次线性期望空间.如果对$ t\geq0 $, $ X(t) $是$ \cal H $中的$ d $维随机向量,则称$ (X(t))_{t\geq0} $为$ d $维随机过程.

称次线性期望空间$ (\Omega, {\cal H}, \hat{{\Bbb E}}) $上$ d $维过程$ (B(t))_{t\geq0} $为$ G $ -布朗运动,如果下列性质成立

(ⅰ) $ B_0(\omega) = 0 $;

(ⅱ)对$ t, s\geq 0 $,增量$ B(t+s)-B(t) $是$ {\cal N}(\{0\}\times s\Sigma) $ -分布且独立于$ (B(t_1), B(t_2), \cdots, B(t_n)) $,对任意$ n\in {\mathbb N} $和$ 0\leq t_1\leq \cdots\leq t_n\leq t $,其中$ \Sigma $是$ d\times d $非负定矩阵族上的有界、凸闭子集而且刻画$ G $ -布朗运动协方差的不确定性.

有关次线性期望空间$ (\Omega, {\cal H}, {\hat{{\Bbb E}}}) $上$ G $ -期望$ {\hat{\mathbb E}} $和$ G $ -布朗运动更多细节见文献[27].设$ ({\cal F}_t)_{t\geq 0} $是由$ G $ -布朗运动$ (B(t))_{t\geq0} $生成的$ \sigma $域流.定义下期望$ {\cal E}[X]: = -\hat{\mathbb E}[-X], X\in {\cal H} $.

为了表达的简明性,以下所有过程为取$ {\mathbb R} $上的实值.引入关于$ G $ -布朗运动的伊藤积分,定义$ G(\alpha): = \frac{1}{2}\hat{{\Bbb E}}[\alpha B(1)^2] = \frac{1}{2}(\bar{\sigma}^2\alpha^+-\underline{\sigma}^2\alpha^-) $,其中$ \hat{{\Bbb E}}[B(1)^2] = \bar{\sigma}^2, {\cal E}[B(1)^2] = \underline{\sigma}^2 $, $ 0 < \underline{\sigma}\leq \bar{\sigma} < \infty $.

对给定的$ p\geq1 $,考虑下列简单过程:对$ [0, T] $上的一个划分$ \pi_T = (t_0, \cdots, t_N) $,取

$ \eta_t(\omega) = \sum\limits_{k = 0}^{N-1}\xi_k(\omega)I_{[t_k, t_{k+1})}(t), $

其中$ \xi_k\in L^p_G({\cal F}_{t_k}), k = 0, 1, \cdots, N-1 $是给定的.用$ M_G^{p, 0}(0, T) $表示这些过程集合.空间$ M_G^p(0, T) $是$ M_G^{p, 0}(0, T) $的完备化,范数定义为

$ \|\eta\|_{M_G^p(0, T)}: = \left\{\hat{{\Bbb E}}\int_0^T|\eta(t)|^p{\rm d}t\right\}^{1/p}<\infty. $

Knight不确定性由概率测度的弱紧族$ \cal P $加以刻画(见文献[27]).尤其,如果$ \cal P $仅有一个元素,那么模型的模糊性消失,退化成经典的概率模型.现定义$ G $ -上容度$ {\Bbb V}(\cdot) $和$ G $ -下容度$ \mathcal{V}(\cdot) $

$ {\mathbb V}(A) = \sup\limits_{P\in {\cal P}}P(A), \; \forall A\in {\cal B}(\Omega), $

$ {\mathcal V}(A) = \inf\limits_{P\in {\cal P}}P(A), \; \forall A\in {\cal B}(\Omega). $

称一个性质是拟必然(q.s.)成立如果存在一个极集$ D_0 $使得$ {\mathbb V}(D_0) = 0 $并且该性质对所有$ \omega\in D_0^c $成立.称一个性质$ \cal P $-q.s.成立如果对所有$ P\in {\cal P} $该性质成立.设广义非线性期望空间是$ (\Omega, {\mathcal H}, \hat{\mathbb E}, {\mathbb V}, ({\mathcal F}_t)_{t\geq0}) $.用$ C_{l, Lip}({\mathbb R}^n) $表示$ {\mathbb R}^n $上所有有界、李普希兹(Lipschiz)实值函数空间.

定义2.3   (1)称一个实值过程$ (X(t) $, $ t\in [0, \infty)) $在次线性期望下是遍历的,其中$ X(t)\in L_G^2({\cal F}_t), t\in [0, \infty) $,如果下式成立

$ {\mathcal V}\bigg\{{\mathcal E}[X_0]\leq\inf\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^TX(t){\rm d}t\leq\sup\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^TX(t){\rm d}t\leq\hat{\mathbb E}[X_0]\bigg\} = 1. $

(2)称一个实值过程$ (X(t) $, $ t\in [0, T]) $在次线性期望下是平稳的,其中$ X(t)\in L_G^2({\cal F}_t), $$ t\in [0, T] $,如果对$ t_0, t_1, \cdots, $$ t_n\in[0, T] $且$ t_0+t_i\in[0, T], i = 1, \dots, n $,有

$ \hat{\mathbb E}[\varphi(X(t_1), \cdots, X(t_n))] = \hat{\mathbb E}[\varphi(X(t_0+t_1), \cdots, X(t_0+t_n))], \forall\varphi\in C_{l, Lip}({\mathbb R}^n). $

显然,如果实值过程$ (X(t), t\in [0, T]) $是平稳的,那么,对任意$ t\in [0, T] $,有

$ \hat{\mathbb E}[\varphi(X(t))] = \hat{\mathbb E}[\varphi(X(0))], \; \varphi\in C_{l, Lip}({\mathbb R}). $

尤其, $ \hat{\mathbb E}[|X(t)|^p] = \hat{\mathbb E}[|X(0)|^p], \; p\geq 0. $

以下,给出$ G $ -鞅定义和有关不等式.在带流次线性期望空间$ (\Omega, {\cal H}, ({\cal F}_t)_{t\in [0, T]}, {\widehat{{\Bbb E}}}) $上, $ G $ -鞅定义如下.

定义2.4  称一个实值过程$ (X(t) $, $ t\in [0, T]) $关于$ ({\cal F}_t) $是$ G $-(上,下)鞅,其中$ X(t)\in L_G^1({\cal F}_t), t\in [0, T] $,如果$ \hat{{\Bbb E}}[X(t)\mid{\cal F}_s](\leq, \geq) = X_s $, q.s.对任意$ s, t $且$ s < t $.

引理2.1(Borel-Cantelli引理^[3])  设$ \{A_n, n\geq1\} $是$ \cal F $上事件序列且$ ({\mathbb V}, {\mathcal V}) $是由次线性期望$ \hat{\mathbb E} $生成的容度对.如果$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\mathbb V}(A_n) < \infty, $那么$ {\mathbb V}\left(\bigcap\limits_{n = 1}^\infty\bigcup\limits_{k = n}^\infty A_k\right) = 0 $.即, $ \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}A_n $是一极集.

引理2.2 (容度$ \mathbb V $下指数鞅不等式)  设$ g = (g_1, \cdots, g_m)\in{\mathcal L}^2_G({\mathbb R}_+; {\mathbb R}^m) : = \{f: $随机过程$ f: {\mathbb R}_+\rightarrow{\mathbb R}^m, $满足$ \hat{\mathbb E}\left[\int_0^\infty|f(t)|^2{\rm d}t\right] < \infty\} $,且假设$ T, \alpha, \beta $是正数.则

$ {\mathbb V}\Big\{\sup\limits_{0\leq t\leq T}\Big[\int_0^tg(s){\rm d}B(s)-\frac{\alpha}{2}\int_0^t|g(s)|^2{\rm d}s\Big]>\beta\Big\}\leq e^{-\alpha\beta/\bar\sigma^2}. $

证  表示$ {\rm d}B(t) = \sigma_t{\rm d}W^{(\sigma_\cdot)}(t) $,其中,对每一线性概率测度$ P^{(\sigma_\cdot)}\in {\mathcal P} $, $ W^{(\sigma_\cdot)}(t) $是标准的布朗运动且$ \sigma_t^2\in[\underline{\sigma}^2, \bar\sigma^2] $是$ {\cal F}_t $ -适应随机过程.根据经典指数鞅不等式(见文献[26, Theorem 1-7.4]),有

$ \begin{eqnarray*} & &P^{(\sigma_\cdot)}\Big\{\sup\limits_{0\leq t\leq T}\Big[\int_0^tg(s){\rm d}B(s)-\frac{\alpha}{2}\int_0^t|g(s)|^2{\rm d}s\Big]>\beta\Big\}\\ &\leq& P^{(\sigma_\cdot)}\Big\{\sup\limits_{0\leq t\leq T}\Big[\int_0^tg(s)\sigma_s {\rm d}W^{(\sigma_\cdot)}(s)-\frac{\alpha}{2\bar\sigma^2}\int_0^t\sigma_s^2|g(s)|^2{\rm d}s\Big]>\beta\Big\}\\ &\leq& e^{-\alpha\beta/\bar\sigma^2}. \end{eqnarray*} $

因此,依据上容度定义可得结论.

现给出如下Burkholder-Davis-Gundy不等式(见文献[14, Theorems 2.1, Theorems 2.2]).

引理2.3 (Burkholder-Davis-Gundy不等式)  设$ p\geq2 $和$ \zeta = \{\zeta(s), s\in[0, T]\}\in M_G^p(0, T) $.于是对所有$ t\in[0, T] $,有

$ \hat{\mathbb E}\sup\limits_{s\leq u\leq t}\Big|\int_s^u\zeta(v){\rm d} \langle B\rangle (v)\Big|^p\leq(t-s)^{p-1}C_1(p, \bar\sigma)\hat{\mathbb E}\int_s^t|\zeta(v)|^p{\rm d}v, $

$ \hat{\mathbb E}\sup\limits_{s\leq u\leq t}\Big|\int_s^u\zeta(v){\rm d}B(v)\Big|^p\leq C_2(p, \bar\sigma)\hat{\mathbb E}\Big(\int_s^t|\zeta(v)|^2{\rm d}v\Big)^{p/2}, $

其中正常数$ C_i(p, \bar\sigma), i = 1, 2 $依赖参数$ p, \bar\sigma $.

现考虑线性随机微分方程

(3.1) $ \begin{eqnarray} {\rm d}X(t) = &a(\theta^0 , X(t)){\rm d}t +b(X(t)) {\rm d}<B>(t)+{\rm d}B(t), \quad X(0) = X_0, \end{eqnarray} $

其中$ X_0 $是随机变量,且$ (B(t))_{t\geq0} $是广义空间$ (\Omega, {\mathcal H}, \hat{\mathbb E}, {\mathbb V}, ({\mathcal F}_t)_{t\geq0}) $实值$ G $ -布朗运动.已知函数$ a(\cdot), b(\cdot) $使得方程(3.1)在空间$ C([0, T], {\mathbb R}) $中存在.假设方程(3.1)满足下列条件.

假设3.1   (A1)参数空间$ \Theta $在$ \mathbb R $上是紧的.

(A2)函数$ a(\theta, x), b(x) $是李普希兹的,即,存在非负连续函数$ K_1(\cdot), D(\cdot) $和正常数$ K_2 $使得

$ |a(\theta, x)-a(\theta, y)|\leq K_1(\theta) |x-y|, $

$ |\rho(t)(b(x)-b(y))|\leq K_2|x-y|, $

$ |a(\theta, x)-a(\psi, x)|\leq D(x)|\theta-\psi| $

对所有$ \theta, \psi\in{\Theta}, x, y\in {\mathbb R} $,其中$ \rho(\cdot): [0, T]\rightarrow [\underline{\sigma}^2, \bar{\sigma}^2] $是连续函数且

$ \sup\limits_{\theta\in \Theta}K_1(\theta) = K_1<\infty, \quad \hat{\mathbb E}|D(X_0)|^k = C_k<\infty, \; k>8. $

并且有下列增长条件

$ |a(\theta, x)|^2\vee|b(x)|^2\leq L(1+|x|^2) $

对某个常数$ L $.

(A3)随机过程$ (X(t), t\in[0, T]) $在次线性期望下平稳遍历(见定义2.3),且

$ \hat{\mathbb E}|X_0|^k<\infty $

对某个$ k > 8. $

(A4)对方程(3.1)的参数真值$ \theta^0 $,有

$ \hat{\mathbb E}|a(\theta, X_0)-a(\theta^0, X_0)|^2 = 0\quad \mbox{当且仅当}\quad \theta = \theta^0. $

接下来,我们讨论基于离散观察

$ X(t_0), X(t_1), \cdots, X(t_n), 0 = t_0<t_1<\cdots<t_n = T $

来估计参数$ \theta^0 $.

设$ \Delta_it = t_i-t_{i-1} $.根据经典最小二乘估计的思想,考虑下列误差

(3.2) $ \begin{eqnarray} {\mathbb S}_{n, T}(\theta): = \sum\limits_{i = 1}^n\frac{|X(t_i)-X(t_{i-1})-a(\theta, X({t_{i-1}}))\Delta_it-b(X(t_{i-1}))\sigma^2_{t_{i-1}}\Delta_it|^2}{\sigma^2_{t_{i-1}}\Delta_it}, \end{eqnarray} $

其中不确定分布导致$ G $ -布朗噪音,它的均值是0且不确定二次变差$ {\rm d}\langle B\rangle (t): = \sigma_t^2{\rm d}t, \sigma_t^2\in[\underline\sigma^2, \bar\sigma^2] $ q.s.知道(3.2)式中$ {\mathbb S}_{n, T}(\theta) $值随着$ \sigma_t $变化,这里$ \sigma_t $刻画了概率测度$ P^{(\sigma_\cdot)}\in {\cal P} $.定义如下最小二乘估计(LSE)

(3.3) $ \begin{eqnarray} \hat{\theta}_{n, T}: = \arg\min\limits_{\theta\in \Theta}{\mathbb S}_{n, T}(\theta), \end{eqnarray} $

其中$ \Theta $是不确定分布随机系统的参数空间.

假设$ \Delta_it = t_i-t_{i-1} = T/n $和$ T = \Delta n^{1/2} $,对某个固定的实数$ \Delta > 0 $.然而,为了记号的方便使用$ T $.分解$ {\mathbb S}_{n, T}(\theta) $的和为三项

$ {\mathbb S}_{n, T}(\theta) = {\mathbb S}_{n, T}(\theta^0)-2\sum\limits_{i = 1}^n\frac{v_i\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_i-1}}+\varphi_n^2(\theta), $

其中

$ v_i = X(t_i)-X(t_{i-1})-a(\theta^0, X(t_{i-1}))\Delta_it-b(X(t_{i-1}))\sigma^2_{t_{i-1}}\Delta_it, $

$ \phi(\theta, x) = a(\theta, x)-a(\theta^0, x), $

$ \varphi_n^2(\theta) = \sum\limits_{i = 1}^n|\phi(\theta, X(t_{i-1}))|^2\Delta_it/\sigma^2_{t_{i-1}}. $

定义如下函数

(3.4) $ \begin{eqnarray} {\mathbb Q}_{n, T}(\theta): = T^{-1}({\mathbb S}_{n, T}(\theta)-{\mathbb S}_{n, T}(\theta^0)) = T^{-1}\varphi_n^2(\theta)-2T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}v_i\phi(\theta, X(t_{i-1}). \end{eqnarray} $

现在给出本文的主要结果,其证明由第四节的几个引理完成.

定理3.1  如果假设3.1成立且

$ \sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n \frac{\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^{2}_{t_{i-1}}}\Delta_i B\Big|\rightarrow 0\quad \mbox{q.s.}\; \mbox{as}\; n\rightarrow\infty. $

则$ \hat\theta_{n, T}\rightarrow\theta^0 $ q.s.当$ n\rightarrow\infty $时.即,最小二乘估计拟必然强相合于$ G $ -随机微分方程(3.1)的真实参数$ \theta^0 $.

证  从方程(3.1)可得下列分解

(3.5) $ \begin{eqnarray} &&T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\frac{v_i\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}\\ & = & T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n[X(t_i)-X(t_{i-1})-a(\theta^0, X(t_{i-1}))\Delta_it-b(X(t_{i-1}))\sigma^2_{t_{i-1}}\Delta_it]\frac{\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}\\ & = &T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}a(\theta^0, X(s)-a(\theta^0, X(t_{i-1}))]\frac{\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}{\rm d}s\\ && +T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\frac{\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}\Delta_iB, \end{eqnarray} $

其中$ \Delta_iB = B(t_i)-B(t_{i-1}) $.依据引理4.2-4.3,拟必然一致地有

$ T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^nv_i\frac{\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}\rightarrow0, \; \theta\in\Theta. $

依据引理4.4和(3.4)式,关于$ \theta $一致地有

$ {\mathcal V}\Big\{{\mathbb Q}_l(\theta)\leq \inf\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\mathbb Q}_{n, T}(\theta)\leq\sup\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\mathbb Q}_{n, T}(\theta)\leq{\mathbb Q}_u(\theta)\Big\} = 1, $

其中,依据假设3.1 (A3),极限函数

$ {\mathbb Q}_l(\theta) = \bar\sigma^{-2}{\mathcal E}|a(\theta, X_0)-a(\theta^0, X_0)|^2 $

和

$ {\mathbb Q}_u(\theta) = \underline\sigma^{-2}\hat{\mathbb E}|a(\theta, X_0)-a(\theta^0, X_0)|^2 $

满足条件引理4.5中(C2)和(C3).于是完成了定理的证明.

为证明上节主要定理引进几个引理.为此,推导一个给出$ \hat{\Bbb E}|X_t-X_s|^{2q} $的估计命题.现讨论更为一般的伊藤随机微分方程

(4.1) $ \begin{equation} {\rm d}X(t) = f(t, X(t)){\rm d}t+g(t, X(t)){\rm d}\langle B\rangle (t)+h(t, X(t)){\rm d}B(t), \; X(0) = x_0, \; t\in[0, T], \end{equation} $

其中$ (B(t))_{t\geq0} $是一维$ G $ -布朗运动.假设函数$ f, g $满足下列李普希兹条件和线性增长条件.

存在常数$ \bar K > 0 $使得

(ⅰ)对所有$ t\in[0, T], x\in {\mathbb R} $

$ |f(t, x)-f(t, y)|\vee|g(t, x)-g(t, y)|\vee|h(t, x)-h(t, y)|\leq \bar K|x-y|; $

(ⅱ)对所有$ t\in[0, T], x \in {\mathbb R} $

$ |f(t, x)|^2\vee|g(t, x)|^2\vee|h(t, x)|^2\leq \bar K^2(1+|x|^2). $

引理4.1  如果上述条件(ⅰ), (ⅱ)和假设3.1成立,那么对所有$ q\geq1, s, t\in [0, T], |t-s| < 1, $有

$ \hat{\mathbb E}|X(t)-X(s)|^{2q}\leq K_3(t-s)^{q}, $

其中常数$ K_3 $依赖$ q, \bar K, \bar\sigma $.

证  增长条件(ⅱ)意味着

(4.2) $ \begin{eqnarray} |f(t, x)|^{2q}\vee|g(t, x)|^{2q}\vee|h(t, x)|^{2q}\leq \bar K^{2q}(1+|x|^2)^q \leq 2^{q-1}\bar K^{2q}(1+|x|^{2q}). \end{eqnarray} $

依据(4.1)式和Hölder不等式,得

(4.3) $ \begin{eqnarray} \hat{\mathbb E}|X(t)-X(s)|^{2q}&\leq& 2^{2q-1}\hat{\mathbb E}\Big\{\Big|\int_s^{t}f(u, X(u)){\rm d}u\Big|^{2q}\\ &&+\Big|\int_s^{t}g(u, X(u)){\rm d}\langle B\rangle (u)\Big|^{2q}+\Big|\int_s^{t}h(u, X(u)){\rm d}B(u)\Big|^{2q}\Big\}\\ &\leq & 2^{2q-1}\Big\{(t-s)^{2q-1}\int_s^{t}\hat{\mathbb E}|f(u, X(u))|^{2q}{\rm d}u\\ &&+\hat{\mathbb E}\Big|\int_s^{t}g(u, X(u)){\rm d}\langle B\rangle (u)\Big|^{2q}+\hat{\mathbb E}\Big|\int_s^{t}h(u, X(u)){\rm d}B(u)\Big|^{2q}\Big\}. \end{eqnarray} $

基于$ |t-s| < 1 $和假设3.1,结合(4.2)-(4.3)式和Burkholder-Davis-Gundy不等式(见引理2.3),得

$ \begin{eqnarray*} \hat{\mathbb E}|X(t)-X(s)|^{2q} &\leq & 2^{2q-1}\Big\{(t-s)^{2q-1}\int_s^{t}2^{q-1}\bar K^{2q}(1+\hat{\mathbb E}|X(u)|^{2q}){\rm d}u \nonumber\\ && +C_1(q, \bar\sigma)(t-s)^{2q-1}\int_s^{t}\hat{\mathbb E}|g(u, X(u))|^{2q}{\rm d}u\\ &&+C_2(q, \bar\sigma)\hat{\mathbb E}\Big(\int_s^{t}|h(u, X(u))|^2{\rm d}u\Big)^q\Big\}\\ &\leq & 2^{2q-1}\Big\{(t-s)^{2q}2^{q-1}\bar K^{2q}(1+\hat{\mathbb E}|X_0|^{2q})\\ &&+C_1(q, \bar\sigma)(t-s)^{2q-1}\int_s^{t}2^{q-1}\bar K^{2q}(1+\hat{\mathbb E}|X(u)|^{2q}){\rm d}u\\ && +C_2(q, \bar\sigma)(t-s)^{q-1}\int_s^{t}2^{q-1}\bar K^{2q}(1+\hat{\mathbb E}|X(u)|^{2q}){\rm d}u\Big\}\\ &\leq & 2^{3q-2}\bar K^{2q}(1+\hat{\mathbb E}|X_0|^{2q})(1+C_1(q, \bar\sigma)+C_2(q, \bar\sigma))(t-s)^q\\ &: = &K_3(q, \bar K, \bar\sigma)(t-s)^q, \end{eqnarray*} $

其中利用了次线性期望下Hölder不等式(见文献[27, p95, Proposition 1.16]).于是证得结论.

引理4.2  如果假设3.1成立.则

$ \sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}[a(\theta^0, X(s))-a(\theta^0, X(t_{i-1}))]\frac{\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}{\rm d}s\Big|\rightarrow0\quad\mbox{q.s.} \; \mbox{as}\; T\rightarrow\infty. $

证   对$ k > 0 $,有

(4.4) $ \begin{eqnarray} & &\hat{\mathbb E}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}[a(\theta^0, X(s))-a(\theta^0, X(t_{i-1}))]\frac{\phi(\theta, X(t_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}{\rm d}s\Big|^{2k}\Big\}\\ & = &\hat{\mathbb E}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\int_0^TY_n(s){\rm d}s\Big|^{2k}\Big\}, \end{eqnarray} $

其中$ Y_n(s) = [a(\theta^0, X(s))-a(\theta^0, X(t_{i-1}))]\phi(\theta, X(t_{i-1}))/\sigma^2_{t_{i-1}} $对$ t_{i-1}\leq s < t_i $.利用Cauchy-Schwartz不等式和假设3.1 (A2),可得(4.4)式被下列式子控制

(4.5) $ \begin{eqnarray} (4.4)&\leq & T^{-2k}\hat{\mathbb E}\Big(\sup\limits_{\theta\in\Theta}T^{2k-1}\int_0^T|Y_n(s)|^{2k}{\rm d}s\Big)\\ &\leq& T^{-2k}\hat{\mathbb E}\Big(\sup\limits_{\theta\in\Theta}T^{2k-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\int_{t_{i-1}}^{t_i}|a(\theta^0, X(s))-a(\theta^0, X(t_{i-1}))|^{2k}|\phi(\theta, X(t_{i-1}))|^{2k}{\rm d}s\Big)\\ &\leq & T^{-1}\underline{\sigma}^{-2}Q_k\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}\hat{\mathbb E}(|a(\theta^0, X(s))-a(\theta^0, X(t_{i-1}))|^{2k}|D(X(t_{i-1}))|^{2k}){\rm d}s, \end{eqnarray} $

其中$ Q_k = :\sup\limits_{\theta\in\Theta}|\theta-\theta^0|^{2k} < \infty $.由次线性期望下Hölder不等式和假设3.1 (A2)和(A3),可得(4.5)式由下列式子控制

$ \begin{eqnarray*} (4.5) &\leq & T^{-1}\underline{\sigma}^{-2}Q_k\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}(\hat{\mathbb E}|a(\theta^0, X(s))-a(\theta^0, X(t_{i-1}))|^{4k})^{1/2}(\hat{\mathbb E}D(X(t_{i-1}))|^{4k})^{1/2}{\rm d}s\nonumber\\ &\leq & T^{-1}\underline{\sigma}^{-2}Q_k(K(\theta^0))^{2k}(\hat{\mathbb E}D(X_0)^{4k})^{1/2}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}(\hat{\mathbb E}|X(s)-X(t_{i-1})|^{4k})^{1/2}{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

依据假设3.1,知道方程(4.1)系数的条件成立.因此,根据引理4.1,可得(4.4)被下式界住

$ \begin{eqnarray*} (4.4)&\leq & T^{-1}\underline{\sigma}^{-2}Q_k(K(\theta^0))^{2k}(\hat{\mathbb E}D(X_0)^{4k})^{1/2}K_3^{1/2}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}(s-t_{i-1})^k{\rm d}s\\ &\leq & \underline{\sigma}^{-2}Q_k(K(\theta^0))^{2k}(\hat{\mathbb E}D(X_0)^{4k}K_3)^{1/2}T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\frac{(\Delta_it)^{k+1}}{k+1}\\ &\leq & \frac{\underline{\sigma}^{-2}Q_k(K(\theta^0))^{2k}}{k+1}(\hat{\mathbb E}D(X_0)^{4k}K_3)^{1/2}\Delta^kn^{-k/2}, \; k>2. \end{eqnarray*} $

由上容度Markov不等式$ {\mathbb V} $ (见文献[27]),假设3.1和上述不等式,知道,对$ k > 2 $, $ \forall \varepsilon > 0 $,有

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\mathbb V}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}[a(\theta^0, X(s))-a(\theta^0, X(t_{i-1}))]\frac{\phi(\theta, X(_{i-1}))}{\sigma^2_{t_{i-1}}}{\rm d}s\Big|>\varepsilon\Big\}<\infty. \end{eqnarray*} $

由此,结合次线性期望下的Borel-Camtelli引理(见引理2.1),获得所需要的结果.

引理4.3  假设对每个$ x $, $ \phi(\cdot, x) $在Hilbert空间$ \mathbb H $取值并且$ \mathbb H $连续嵌入$ \Theta $上连续函数空间$ C(\Theta) $.令$ \{e_k\} $是$ \mathbb H $的完备正交基且

(4.6) $ \begin{equation} \phi(\theta, x) = \sum\limits_{k}\lambda_k(x)e_{k}(\theta) \end{equation} $

满足

(4.7) $ \begin{equation} |\lambda_k(x)|\leq c_k|x|\; \mbox{和}\; \sum\limits_{k}k^{1+\beta}c_k^4<\infty \end{equation} $

对某个正数$ \beta $.那么

$ \sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\phi(\theta, X(t_{i-1}))\Delta_iB\Big|\rightarrow0\quad\mbox{q.s.}\; \mbox{as}\; T, n\rightarrow\infty. $

证  由于$ {\mathbb H}\hookrightarrow C(\Theta), $仅需表明

$ \Big\|T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\phi(\theta, X(t_{i-1}))\Delta_iB\Big\|_{\mathbb H}\rightarrow0\quad\text{q}.\text{s}.\ \text{as}\; T, n\rightarrow\infty. $

根据表达式(4.6),有

$ \Big\|T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\phi(\theta, X(t_{i-1}))\Delta_iB\Big\|_{\mathbb H}^2 = \sum\limits_k\Big(T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\lambda_k(X(t_{i-1}))\Delta_iB\Big)^2\quad\mbox{q.s.}. $

设

$ \Lambda_{kn} = \sum\limits_{k}\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\lambda_k(X(t_{i-1}))\chi_{[t_{i-1}, t_i)}(s), $

其中$ \chi_{[t_{i-1}, t_i)}, i = 1, \cdots, n $,是示性函数.则

(4.8) $ \begin{eqnarray} T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\lambda_i(X(t_{i-1})\Delta_iB = T^{-1}\int_0^T\Lambda_{kn}(s){\rm d}B(s) \end{eqnarray} $

且由于$ \Lambda_{kn} $是适应的,所以(4.8)右边的积分是有定义的.利用指数鞅不等式(见引理2.2),可得,对任意$ \alpha, \gamma > 0 $,有

$ {\mathbb V}\Big\{\int_0^T\Lambda_{kn}(s){\rm d}B(s)-\frac{\alpha}{2}\int_0^T\Lambda^2_{kn}(s){\rm d}s>\gamma\Big\}\leq e^{-\alpha\gamma/\bar\sigma^2}. $

于是

(4.9) $ \begin{eqnarray} && {\mathbb V}\Big\{\frac{1}{T}\int_0^T\Lambda_{kn}(s){\rm d}B(s)>\frac{\gamma}{T}+\frac{\alpha}{2T}\int_0^T\Lambda^2_{kn}(s){\rm d}s\Big\}\leq e^{-\alpha\gamma/\bar\sigma^2}, \\ && {\mathbb V}\Big\{\Big|\frac{1}{T}\int_0^T\Lambda_{kn}(s){\rm d}B(s)\Big|>\frac{\gamma}{T}+\frac{\alpha}{2T}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-4}_{t_{i-1}}\lambda_k^2(X(t_{i-1}))\Delta_it\Big\}\leq2e^{-\alpha\gamma/\bar\sigma^2}. \end{eqnarray} $

依据条件(4.7),得

$ T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-4}_{t_{i-1}}\lambda_i^2(X(t_{i-1}))\Delta_it\leq c_k^2T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}X^2(t_{i-1})\Delta_it. $

由假设3.1 (A3),知道$ (X(t), t\geq 0) $是次线性期望下平稳遍历过程.进而

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal V}&\bigg\{&\bar\sigma^{-4}{\mathcal E}[X_0^2] \leq T^{-1}\inf\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\sum\limits_{i = 1}^nX^2(t_{i-1})\Delta_it\\ & &\leq T^{-1}\sup\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\sum\limits_{i = 1}^nX^2(t_{i-1})\Delta_it\leq \underline\sigma^{-4}{\mathbb E}[X_0^2]\bigg\} = 1. \end{eqnarray*} $

于是存在随机变量$ \zeta $使得$ {\mathcal V}(\zeta < \infty) = 1 $且

$ T^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-4}_{t_{i-1}}X^2(t_{i-1})\Delta_it\leq\zeta\quad\mbox{q.s.}\; \forall T>0, n = 1, 2, \cdots. $

假设

$ \Psi_{kn}: = \frac{1}{t_n}\int_0^{t_n}\Lambda_{kn}(s){\rm d}B(s). $

为了强调$ T $对$ n $的依赖性,用$ t_n $代替$ T $.选择

$ \alpha = \frac{k^\mu}{t_n^\delta}, \quad \gamma = \frac{t_n^\eta}{k^\nu}, $

其中$ \delta < \eta < 1 $和$ 1/2 < \nu < \mu: = (1+\beta)/2 $.为了方便,取充分大的整数$ n, k $使得$ \frac{1}{t_n^{\eta-\delta}}+\frac{1}{k^{\mu-\nu}}\leq 1 $,即, $ t_n^{\eta-\delta}k^{\mu-\nu}\geq k^{\mu-\nu}+t_n^{\eta-\delta} $.因此

(4.10) $ \begin{equation} {\mathbb V}\Big(|\Psi_{kn}|>\frac{1}{t_{n}^{1-\eta}k^{\nu}}+\frac{k^\mu c_k^2\zeta}{2t_n^\delta}\Big)\leq2\exp(-k^{\mu-\nu}t_n^{\eta-\delta}/\bar\sigma^2). \end{equation} $

(4.10)式表明

$ \begin{eqnarray*} {\mathbb V}\Big(\sum\limits_{k}\Psi_{kn}^2>\sum\limits_{k}\Big(\frac{1}{t_n^{1-\eta}k^\nu}+\frac{k^\mu c_k^2\zeta}{2t_n^\delta}\Big)^2\Big) &\leq&\sum\limits_{k}{\mathbb V}\Big(\Psi_{kn}^2>\Big(\frac{1}{t_n^{1-\eta}k^\nu}+\frac{k^\mu c_k^2\zeta}{2t_n^\delta}\Big)^2\Big)\\ & = &\sum\limits_{k}{\mathbb V}\Big(|\Psi_{kn}|>\frac{1}{t_n^{1-\eta}k^\nu}+\frac{k^\mu c_k^2\zeta}{2t_n^\delta}\Big)\\ &\leq&2\sum\limits_k\exp(-k^{\mu-\nu}t_n^{\eta-\delta}/\bar\sigma^2)\\ &\leq&2\exp(-t_n^{\eta-\delta}/\bar\sigma^2)\sum\limits_k\exp(-k^{\mu-\nu}/\bar\sigma^2). \end{eqnarray*} $

进而,由于$ \eta-\delta > 0 $和$ \mu-\nu > 0 $,所以

(4.11) $ \begin{equation} \sum\limits_n{\mathbb V}\Big(\sum\limits_k\Psi_{kn}^2>\sum\limits_k\Big(\frac{1}{t_n^{1-\eta}k^\nu}+\frac{k^\mu c_k^2\zeta}{2t_n^\delta}\Big)^2\Big) \leq2\sum\limits_n\exp(-t_n^{\eta-\delta})\sum\limits_k\exp(-k^{\mu-\nu})<\infty. \end{equation} $

从(4.11)式,可得

$ \sum\limits_n{\mathbb V}\Big(\sum\limits_k\Psi_{kn}^2>\frac{2}{t_n^{2(1-\eta)}}\sum\limits_kk^{-2\nu}+\frac{\zeta^2}{t_n^{2\delta}}\sum\limits_kk^{2\mu}c_k^4\Big)<\infty. $

依据条件(4.7), $ \delta < \eta < 1 $和$ 1/2 < \nu < \mu: = (1+\beta)/2 $,容易推得

$ \frac{2}{t_n^{2(1-\eta)}}\sum\limits_kk^{-2\nu}+\frac{\zeta^2}{t_n^{2\delta}}\sum\limits_kk^{2\mu}c_k^4\rightarrow0\quad{\rm q.s.}\; \mbox{as}\; n\rightarrow\infty. $

根据引理2.1和定理的假设,可得

$ \sum\limits_k\Big(t_n^{-1}\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}\lambda_k(X(t_{i-1}))\Delta_iB\Big)^2\rightarrow0\quad\mbox{q.s. as}\; n\rightarrow\infty. $

于是定理得证.

引理4.4  在假设3.1下,以$ \theta $一致地有

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal V} \bigg\{\bar\sigma^{-2}{\mathcal E}|\phi(\theta, X_0)|^2\leq \inf\lim\limits_{T\rightarrow\infty}T^{-1}\varphi_n^2(\theta) \leq\sup\lim\limits_{T\rightarrow\infty}T^{-1}\varphi_n^2(\theta)\leq\underline\sigma^{-2}\hat{\mathbb E}|\phi(\theta, X_0)|^2\bigg\} = 1. \end{eqnarray*} $

证  依据假设3.1 (A3),可得

(4.12) $ \begin{eqnarray} {\mathcal V}&\bigg\{&\bar\sigma^{-2}{\mathcal E}|\phi(\theta, X_0)|^2\leq \inf\lim\limits_{T\rightarrow\infty}T^{-1}\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\theta, X_s)|^2{\rm d}s\\ &&\leq\sup\lim\limits_{T\rightarrow\infty}T^{-1}\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\theta, X_s)|^2{\rm d}s\leq\underline\sigma^{-2}\hat{\mathbb E}|\phi(\theta, X_0)|^2\bigg\} \end{eqnarray} $

对每个$ \theta\in\Theta $和$ \tilde{\sigma}_t = \sum_i\sigma_{t_{i-1}}^{-2}\chi_{[t_{i-1}, t_i)}(t), t\in[0.T] $.由假设3.1 (A1)-(A3),对正有限随机变量$ \xi_1 $,拟必然有

$ \begin{eqnarray*} T^{-1}\int_0^T|\phi(\theta, X_s)|^2{\rm d}s& \leq & T^{-1}|\theta-\theta^0|^2\int_0^T|D(X_s)|^2{\rm d}s \nonumber \\ &\leq&\sup\limits_{\theta\in\Theta}|\theta-\theta^0|^2T^{-1}\int_0^T|D(X_s)|^2{\rm d}s \nonumber \\ &\leq& \xi_1. \end{eqnarray*} $

根据假设3.1,对$ \xi_2 $和$ \theta_1, \theta_2\in\Theta $,拟必然地有

$ \Big|T^{-1}\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\theta_1, X_s)|^2{\rm d}s-T^{-1}\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\theta_2, X_s)|^2{\rm d}s\Big|\leq \xi_2|\theta_{1}-\theta_{2}|. $

因此,函数族$ \Big\{T^{-1}\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\cdot, X_s)|^2{\rm d}s, T\geq 0\Big\} $是等度连续的,进而,依据Arzelà-Ascoli定理, (4.12)式中收敛是一致的.接下来表明,以$ \theta $拟必然一致地有

$ T^{-1}\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\theta, X_s)|^2{\rm d}s-T^{-1}\varphi_n^2(\theta)\rightarrow 0. $

因此

$ \begin{eqnarray*} &&\hat{\mathbb E}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\theta, X_s)|^2{\rm d}s-\varphi_n^2(\theta)\Big|^{2q}\Big\}\nonumber\\ & = &\hat{\mathbb E}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|\int_0^T\tilde{\sigma}_t|\phi(\theta, X_s)|^2{\rm d}s-\sum\limits_{i = 1}^n\sigma^{-2}_{t_{i-1}}|\phi(\theta, X(t_{i-1}))|^2\Delta_{i}t\Big|^{2q}\Big\} \nonumber \\ & = &\hat{\mathbb E}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\sigma^{-2}_{t_{i-1}}[\phi(\theta, X_s)-\phi(\theta, X(t_{i-1}))][\phi(\theta, X_s)+\phi(\theta, X(t_{i-1}))]{\rm d}s\Big|^{2q}\Big\}. \end{eqnarray*} $

使用次线性期望下Hölder不等式,可得上式由下列式子控制

$ \begin{eqnarray*} &\leq& \underline\sigma^{-4q}T^{2q-1}\hat{\mathbb E}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}|\phi(\theta, X_s)-\phi(\theta, X(t_{i-1}))|^{2q}|\phi(\theta, X_s)\\ &&+\phi(\theta, X(t_{i-1}))|^{2q}{\rm d}s\Big\} \\ &\leq & \underline\sigma^{-4q}T^{2q-1}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}\hat{\mathbb E}[\sup\limits_{\theta\in\Theta}|\phi(\theta, X_s)-\phi(\theta, X(t_{i-1}))|^{2q}\sup\limits_{\theta\in\Theta}|\phi(\theta, X_s)\\ &&+\phi(\theta, X(t_{i-1}))|^{2q}]{\rm d}s\\ &\leq & \underline\sigma^{-4q}T^{2q-1}K^{2q}2^{2q-1}D_q\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}\hat{\mathbb E}[|X_s-X(t_{i-1})|^{2q}(|D(X_s)|^{2q}\\ &&+|D(X(t_{i-1}))|^{2q})]{\rm d}s \\ &\leq & \underline\sigma^{-4q}T^{2q-1}K^{2q}2^{2q}D_q\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}(\hat{\mathbb E}|X_{s}-X(t_{i-1})|^{4q})^{1/2}(\hat{\mathbb E}|D(X_s)|^{4q}\\ &&+\hat{\mathbb E}|D(X(t_{i-1}))|^{4q})^{1/2}{\rm d}s, \end{eqnarray*} $

其中$ D_q = \sup\limits_{\theta\in\Theta} |\theta-\theta^0|^{2q} < \infty $.依据引理4.1,可得上式由下列式子控制

$ \begin{eqnarray*} &\leq & \underline\sigma^{-4q}T^{2q-1}K^{2q}2^{2q+1}D_qK_3^{1/2}({\mathbb E}|D(X_0)|^{4q})^{1/2}\sum\limits_{i = 1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i}(s-t_{i-1})^{q}{\rm d}s \\ &\leq &L_qT^{2q-1}n(T/n)^{q+1}, \end{eqnarray*} $

其中$ L_{q} = \underline\sigma^{-4q}K^{2q}2^{2q+1}D_qK_3^{1/2}(\hat{\mathbb E}|D(X_0)|^{4q})^{1/2} $.于是,对$ q > 2 $,

$ \begin{eqnarray*} \hat{\mathbb E}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\int_0^T\tilde\sigma_t|\phi(\theta, X_s)|^{2}{\rm d}s-T^{-1}g_n^2(\theta)\Big|^{2q}\Big\}\leq L_q(T/n)^q\leq L_q\Delta^{q/2}n^{-q/2}. \end{eqnarray*} $

进而,对$ q > 2 $,任意$ \varepsilon > 0 $,依据次线性期望下Markov不等式,得

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_n{\mathbb V}\Big\{\sup\limits_{\theta\in\Theta}\Big|T^{-1}\int_0^T\tilde\sigma_t|\phi(\theta, X_s)|^{2}{\rm d}s-T^{-1}g_n^2(\theta)\Big|^{2q}>\varepsilon\Big\}\leq L_q\Delta^{q/2}\sum\limits_n n^{-q/2}/\varepsilon<\infty. \end{eqnarray*} $

由Borel-Cantelli引理(引理2.1)得所需要的结果.

引理4.5  假设随机变量$ L_n $满足三个下列条件

(C1)下列不等式关于$ \theta\in \Theta $一致地成立($ n\rightarrow\infty $)

$ {\mathcal V}\Big\{\underline{L}(\theta)\leq\lim\inf\limits_{n\rightarrow\infty}L_n(\theta)\leq\lim\sup\limits_{n\rightarrow\infty}L_n(\theta)\leq\bar{L}(\theta)\Big\} = 1, $

$ {\mathbb V}\Big\{\lim\inf\limits_{n\rightarrow\infty}L_n(\theta) = \underline{L}(\theta)\Big\} = 1, \quad{\mathbb V}\Big\{\lim\sup\limits_{n\rightarrow\infty}L_n(\theta) = \bar{L}(\theta)\Big\} = 1. $

(C2)极限非随机函数$ \underline{L}(\cdot) $和$ \bar{L}(\cdot) $满足$ \underline{L}(\theta^0)\leq \underline{L}(\theta), $$ \bar{L}(\theta^0)\leq\bar{L}(\theta), $$ \forall\; \theta\in{\Theta}. $

(C3) $ \underline{L}(\theta) = \underline{L}(\theta^0)\; \mbox{和}\; \bar{L}(\theta) = \bar{L}(\theta^0) $当且仅当$ \theta = \theta^0. $

则$ \hat\theta_n\rightarrow\theta^0 $ q.s.当$ n\rightarrow\infty $时,其中$ L_n(\hat\theta_n) = \min\limits_{\theta\in\Theta}L_n(\theta). $

证由文献[18, Theorem 2],结论容易得证.

本节给出在次线性期望下Ornstein-Uhlenbeck过程的例子.对$ t\in[0, T] $,有

(5.1) $ \begin{eqnarray} {\rm d}X(t) = -\theta^0X(t){\rm d}t+{\rm d}B(t), X(0) = \eta, \end{eqnarray} $

其中$ \eta\sim {\cal N}(0, [0.4/\theta^0, 0.6/\theta^0]), B(t)\sim {\cal N}(0, [0.5, 1]t) $.郎之万(Langevin)方程(5.1)的解

$ X^\eta(t): = e^{-\theta^0 t}\Big(\eta+\int_0^te^{\theta^0 u}{\rm d}B(u)\Big). $

利用引理2.2的证明方法,结合文献[26, p101, Example 5.1]的思想,能够推演$ X^\eta(t) $是次线性期望下平稳遍历的.事实上, (5.1)式对应经典情形可见文献[2, p95, Example 5.3], [5]和[16].设Ornstein-Uhlenbeck过程(5.1)被相同时间间隔观察,于是

(5.2) $ \begin{eqnarray} X(t_{i}) = &X(t_{i-1})-\theta^0X(t_{i-1})\Delta_i t+(B(t_{i})-B(t_{i-1})) \end{eqnarray} $

且$ X(0) = \eta, \Delta_it = \Delta t = T/n $.依据公式(3.3),参数$ \theta^0 $最小二乘估计为

$ \begin{eqnarray*} \hat{\theta}_{n, T} = - \frac{\sum\limits_{i = 1}^nX(t_{i-1})(X(t_i)-X(t_{i-1}))/\sigma^2_{t_{i-1}}}{\sum\limits_{i = 1}^nX^2(t_{i-1})\Delta t/\sigma^2_{t_{i-1}}}. \end{eqnarray*} $

现首先引入$ G $ -布朗运动$ (B(t), t\in[0, T]) $模拟算法.考虑随机变量$ \xi = B({t_i})-B({t_{i-1}})\sim {\cal N}(0, [\underline\sigma^2, \bar\sigma^2]\Delta t), i = 1, \cdots, n $,且构造一个试验.取等距点$ \sigma_k (k = 1, \cdots, m) $使得$ \underline\sigma = \sigma_1 < \sigma_k < \cdots < \sigma_m = \bar\sigma $.对第$ k $轮采样($ k = 1, \cdots, m $), $ \xi^{kj}_i\ (i = 1, \cdots, n;j = 1, \cdots, J) $是经典正态分布$ {\cal N}(0, \sigma_k^2\Delta t) $.根据(5.2)式,定义$ X^{kj}(t_i) $

(5.3) $ \begin{eqnarray} X^{kj}(t_{i}) = X^{kj}(t_{i-1})-\theta^0 X^{kj}(t_{i-1})\Delta t +\xi^{kj}_i, \; X_0 = \zeta^{kj}, \end{eqnarray} $

其中$ \zeta^{kj} $服从$ G $ -正态分布$ {\cal N}(0, [0.4, 0.6]) $, $ i = 1, \cdots, n; j = 1, \cdots, J; k = 1, \cdots, m $.

现定义

(5.4) $ \begin{equation} \hat{\theta}_{n, T}^{kj} = - \frac{\sum\limits_{i = 1}^nX^{kj}(t_{i-1})(X^{kj}(t_i)-X^{kj}(t_{i-1}))}{\sum\limits_{i = 1}^n(X^{kj}(t_{i-1}))^2\Delta t}. \end{equation} $

于是能够获得$ \hat{\mathbb E}[\hat\theta_{n, T}] $估计$ \bar{\hat\theta}_{n, T}(m, J) $等于$ \max\limits_{1\leq k\leq m}\{\frac{1}{J}\sum\limits_{j = 1}^J|\hat\theta_{n, T}^{kj}|\} $,且$ {\mathcal E}[\hat\theta_{n, T}^{kj}] $估计$ \underline{\hat\theta}_{n, T}(m, J) $等于$ \min\limits_{1\leq k\leq m}\{\frac{1}{J}\sum\limits_{j = 1}^J|\hat\theta_{n, T}^{kj}|\}, i = 1, \cdots, n $.

假设(5.1)中$ \theta^0 = 1, T = 0.01 n $.注意到$ \underline{\sigma}^2 = 0.5, \bar\sigma^2 = 1 $.如果固定$ m = 10, J = 2^9 $,对不同的$ n $,依据(5.3)-(5.4)式,能获得参数最小二乘估计(LSE) $ \hat\theta_{n, T} $上、下期望对$ (\bar{\hat\theta}_{n, T}(m, J), $$ \underline{\hat\theta}_{n, T}(m, J)) $的数值结果如表 1.如果固定$ m = 10, n = 10^3, T = 50 $,对不同的$ J $,根据(5.3)-(5.4)式,能获得参数最小二乘估计(LSE) $ \hat\theta_{n, T} $上、下期望对$ (\bar{\hat\theta}_{n, T}(m, J), \underline{\hat\theta}_{n, T}(m, J)) $的数值结果如表 2.表 1和2表明未知参数$ \theta^0 $的LSE拟必然强相合于参数的真值且随着$ n\rightarrow\infty $, $ J\rightarrow\infty $,收敛误差越来越小.于是,数值上验证了本文的定理.

现实中,常常面临概率和Knight两种不确定性.一个具有模糊性不确定的真实系统,通常可以用次线性期望框架来描述$ G $ -布朗运动.因此,需要考虑一个由$ G $ -布朗运动驱动的随机微分方程.此外,如果一个$ G $ -随机微分方程有未知的参数,那么我们需要估计它.本文给出了未知参数最小二乘估计,并证明了强相合定理.此外,为了完成定理的证明,我们准备了几个引理.最后,我们讨论了一个Ornstein-Uhlenbeck过程的例子,给出了最大和最小估计量.通过数值模拟,研究了$ G $ -随机微分方程的最小二乘估计特性,表明该参数估计在数值上具有强相合性.

由于观测者具有多先验,因此参数的最小二乘估计常取多值.现实中,一个厌恶Knight不确定的经济代理人在金融领域寻找一个稳健的投资组合决策.假设具有分布不确定性随机系统的观测者厌恶估计误差的不确定性,这将导致如何确定未知参数的唯一估计值问题,这取决于观测者对多估计值的态度.然而,本文只研究了(3.3)中的最小二乘估计,而没有体现观察者对多重估计值的态度.今后,将研究$ G $ -随机微分方程未知参数的稳健最小二乘估计量的强相合性和极限分布.