除非特别说明,本文总假设$ X $, $ C $, $ Y $, $ P $满足以下条件.

(A1) $ X $为偏序集, $ C $为$ X $的链完备子集,其中$ X $上的偏序关系记为$ \preccurlyeq_{X} $.

(A2) $ Y $为拓扑向量空间,且$ P $为$ Y $中的真点凸体锥,其中由$ P $诱导的偏序关系记为$ \preccurlyeq_{P} $.

对于二元集值映射$ F:C\times C\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $,本文所考虑的广义向量均衡问题(简记为GVEP)为:寻找$ \bar{x}\in C $使得

(1.1) $ \begin{eqnarray} F(\bar{x}, y)\nsubseteq {\rm -int}P, \ \ \forall y\in C, \end{eqnarray} $

其中$ {\rm int}P $表示$ P $的内部.此类问题最早由Ansari等^[1]在1997年提出.过去二十余年,关于该问题解的存在性、拓扑连续性、迭代算法已获得丰硕成果(参见文献[2-12]及其参考文献).同时也极大的驱动了相关非线性分析方法的发展,例如:拓扑不动点定理、Ekeland变分原理、极大元定理、KKM引理等^[2-13].这些方法大多要求二元映射$ F $满足一定的半连续性或凸性.最近, Nishimura和Ok^[14]、Zhang和Wang^[16]、Xie等^[15]为研究优化问题和博弈问题提出了一类半序方法,这种方法不再要求相关映射具有拓扑连续性.

基于Nishimura和Ok等人的工作,本文关注GVEP的一个全新课题:解映射的保序性.这对于分析参数扰动下均衡解的变化趋势具有重要应用价值.余文安排如下:第二节介绍关于偏序集的相关概念和引理;第三节在链完备偏序集上研究GVEP解的存在性和上保序性;第四节指出本研究与文献[24]的主要区别.

本文的分析工具主要为序不动点定理和保序选择定理,因此以下回顾偏序集的相关概念和几个后文需要使用的引理.更多相关概念和结论请参见文献[17-18].

定义2.1^[19-20]  如果对偏序集$ X $中的任意链$ C $, $ lub C $均存在,则称$ (X, \preccurlyeq_{X}) $为链完备的.此外,令$ D $为$ X $的子集,若$ x\in D $且$ x $为$ D $的$ \preccurlyeq_{X} $ -上界,则称$ x $为$ D $的$ \preccurlyeq_{X} $ -最大元.类似地,可以定义$ D $的$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元.若对任意非空$ Z\subseteq D $,都有$ lub Z\in D $且$ glb Z\in D $,则称$ D $为$ X $的子完备$ \preccurlyeq_{X} $ -子格.此处$ lub $和$ glb $分别表示最小上界和最大下界.

定义2.2^[21]  设$ G:X\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为集值映射,且$ g:X\rightarrow Y $为单值映射.

(ⅰ)若对任意$ x_{1}, x_{2}\in X $, $ x_{1}\preccurlyeq_{X} x_{2}\Rightarrow g(x_{1})\preccurlyeq_{P} g(x_{2}) $,则称$ g $为保序的;

(ⅱ)若对任意$ x\in X $,都有$ g(x)\in G(x) $且$ g $是保序的,则称$ g $为$ G $的保序选择;

(ⅲ)若对任意$ x_{1}\preccurlyeq_{X}x_{2} $和任意$ y_{1}\in G(x_{1}) $,都存在$ y_{2}\in G(x_{2}) $使得$ y_{1}\preccurlyeq_{P}y_{2} $,则称$ G $为上保序的;

(ⅳ)若对任意$ x_{1}\preccurlyeq_{X}x_{2} $和任意$ y_{1}\in G(x_{1}) $,都存在$ y_{2}\in G(x_{2}) $使得$ y_{2}\preccurlyeq_{P}y_{1} $,则称$ G $为上逆序的;

(ⅴ)若对任意$ x_{1}\preccurlyeq_{X}x_{2} $和任意$ y_{2}\in G(x_{2}) $,都存在$ y_{1}\in G(x_{1}) $使得$ y_{1}\preccurlyeq_{P}y_{2} $,则称$ G $为下保的.类似地,可以定义下逆序;

(ⅵ)若对任意$ x_{1}\preccurlyeq_{X}x_{2} $和任意$ y_{2}\in G(x_{2}) $,都存在$ y_{1}\in G(x_{1}) $使得$ y_{2}\ll_{P}y_{1} $,则称$ G $为$ s $ -严格下逆序的(这里$ y_{2}\ll_{P}y_{1} $表示$ y_{1}-y_{2}\in {\rm int}P $).

显然,关于上保序映射、下保序映射、上逆序映射和下逆序映射的例子有很多.设$ X $和$ Y $为$ ({\Bbb R} , \leq) $.

(1)若定义$ G:X\rightarrow 2^{Y} $为$ G(x) = [0, 2^{x}] $,则$ G $为上保序的.

(2)若定义$ G:X\rightarrow 2^{Y} $为$ G(x) = [-(\frac{1}{2})^{x}, 0] $,则$ G $为下保序的.

(3)若定义$ G:X\rightarrow 2^{Y} $为$ G(x) = [0, (\frac{1}{2})^{x}] $,则$ G $为上逆序的.

(4)若定义$ G:X\rightarrow 2^{Y} $为$ G(x) = [-2^{x}, 0] $,则$ G $为下逆序的.

定义2.3  设$ F:C\times C\rightarrow 2^{Y} $为二元集值映射.

(ⅰ)若对任意$ x, y\in C $,都有$ F(x, y)\nsubseteq {\rm int}P\Rightarrow F(y, x)\subseteq P $,则称$ F $为$ P $ -伪单调的;

(ⅱ)若对任意$ x, y\in C $,都有$ F(x, y)\nsubseteq {\rm int}P \Rightarrow F(y, x)\nsubseteq-{\rm int}P $,则称$ F $为弱$ P $ -伪单调的;

(ⅲ)若对任意$ x, y\in C $及$ x\neq y $,都有$ F(x, y)\nsubseteq {\rm int}P\Rightarrow F(y, x)\subseteq{\rm int}P $,则称$ F $为严格$ P $ -伪单调的.

注2.1  由上述定义易知:严格$ P $ -伪单调$ \Rightarrow $$ P $ -伪单调$ \Rightarrow $弱$ P $ -伪单调.

定义2.4  设$ K $为$ X $的子集, $ H:C\rightarrow 2^{X}\setminus\{\emptyset\} $为集值映射.若$ lub K $存在且$ lub K\in K $,则称$ K $为$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的.若对任意$ x\in C $, $ lub H(x) $存在且$ lub H(x)\in H(x) $,则称$ H $具有$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭值.

引理2.1^[21]  设$ X $为偏序集, $ G:X\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为上保序的集值映射.若$ G $具有$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭值,则$ G $存在保序选择.

下面的序不动点定理最初由Abian和Brown给出,因此通常称之为Abian-Brown不动点定理.

引理2.2^[20-22]  设$ X $为链完备偏序集, $ h:X\rightarrow X $为$ X $上的保序映射.若存在$ e\in X $使得$ e\preccurlyeq h(e) $,则$ h $存在不动点.

本节首先利用序不动点定理和保序选择定理证明GVEP (1.1)解的存在性.

定理3.1  设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足第一节中的假设(A1)-(A2), $ F:C\times C\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为集值二元映射.假设下列条件成立

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x)\nsubseteq{\rm -int}P $;

(ⅱ) $ F $和$ -F $为弱$ P $ -伪单调的,且对任意$ x\in C $, $ F(x, \cdot) $为下保序的;

(ⅲ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \{y\in C:F(x, y)\subseteq{\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y)\subseteq{\rm -int}P\} $为$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的.

那么, GVEP (1.1)至少存在一个解.

证  构造如下集值映射$ \Phi:C\rightarrow 2^{C} $

(3.1) $ \begin{eqnarray} \Phi(x) = \{y\in C:F(x, y)\subseteq{\rm -int}P\}. \end{eqnarray} $

则存在$ \bar{x}\in C $使得$ \Phi(\bar{x}) = \emptyset $.倘若不然,假设对任意$ x\in C $,都有$ \Phi(x)\neq\emptyset $,则$ \Phi $即为从$ C $到$ 2^{C}\setminus\{\emptyset\} $的集值映射.下面证明$ \Phi $存在不动点.为此,首先证明$ \Phi $为上保序的.

任取$ x_{a}, x_{b}\in C $且$ x_{b}\preccurlyeq_{X} x_{a} $,对任意$ y_{b}\in \Phi(x_{b}) $,由$ \Phi $的定义可知

(3.2) $ \begin{eqnarray} F(x_{b}, y_{b})\subseteq {\rm -int}P. \end{eqnarray} $

因为$ F $为弱$ P $ -伪单调的,故

(3.3) $ \begin{eqnarray} F(y_{b}, x_{b})\subseteq{\rm int}P. \end{eqnarray} $

注意到$ F(x, \cdot) $为下保序的.则对任意$ q_{a}\in F(y_{b}, x_{a}) $,存在$ q_{b}\in F(y_{b}, x_{b}) $使得$ q_{b}\preccurlyeq_{P} q_{a} $,即

(3.4) $ \begin{eqnarray} q_{a}-q_{b}\in P. \end{eqnarray} $

又因为$ q_{a} = (q_{a}-q_{b})+q_{b} $且$ P+{\rm int}P\subseteq{\rm int}P $,所以$ q_{a}\in {\rm int}P $.由$ q_{a} $的任意性可得

(3.5) $ \begin{eqnarray} F(y_{b}, x_{a})\subseteq{\rm int}P. \end{eqnarray} $

此外,由于$ -F $也是弱$ P $ -伪单调的,故

(3.6) $ \begin{eqnarray} F(x_{a}, y_{b})\subseteq{\rm-int}P. \end{eqnarray} $

由此可知$ y_{b}\in \Phi(x_{a}) $.将$ y_{b} $记为$ y_{a} $,则存在$ y_{a}\in \Phi(x_{a}) $使得$ y_{b}\preccurlyeq_{X}y_{a} $.因此, $ \Phi $是上保序的.

由条件(ⅲ)可知$ \Phi $具有$ lub $-$ \preccurlyeq_{X} $ -闭值.利用引理2.1可得, $ \Phi $存在保序选择$ \phi $.此外,因为$ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小值,所以$ {\rm min}C\preccurlyeq_{X}\phi({\rm min}C) $.由引理2.2可知存在$ \hat{x}\in C $使得$ \hat{x} = \phi({\hat{x}})\in \Phi(\hat{x}) $,从而$ F(\hat{x}, \hat{x})\subseteq{\rm -int}P $,而这与条件(ⅰ)矛盾.

因此,存在$ \bar{x}\in C $使得$ \Phi(\bar{x}) = \emptyset $,即: GVEP (1.1)至少存在一个解.

特别的,如果$ F $为一个单值映射,则可立即得到一个关于向量均衡问题(寻找$ \bar{x}\in C $使得$ F(\bar{x}, y)\notin {\rm -int}P $, $ \forall $$ y\in C $)的结果.

推论3.1  设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足第一节中的(A1)–(A2), $ F:C\times C\rightarrow Y $为向量值映射.假设下列条件成立

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x)\notin {\rm -int}P $;

(ⅱ) $ F $和$ -F $都是弱$ P $ -伪单调的,且对任意$ x\in C $, $ F(x, \cdot) $是保序的;

(ⅲ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \{y\in C:F(x, y)\in {\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y)\in{\rm -int}P\} $是$ lub $-$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的.

那么,上述向量均衡问题至少存在一个解.

在定理3.1的证明过程中,存在如下蕴含关系$ x_{b}\preccurlyeq_{X}x_{a}\Rightarrow \Phi(x_{b})\subseteq\Phi(x_{a}) $.这比上保序性的定义要强.事实上,为保证$ \Phi $是上保序的,定理3.1中的条件是充分非必要的.下面探索一些关于$ F $的新条件.利用这些新的假设,可以得到一些新的选择$ y_{a} $的方法,而非必须等于$ y_{b} $.

推论3.2  设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足第一节中的条件(A1)–(A2). $ F:C\times C\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为二元集值映射.假设下列条件成立

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x)\nsubseteq{\rm -int}P $;

(ⅱ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \Phi(x): = \{y\in C:F(x, y)\subseteq{\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \Phi(x) $为$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的;

(ⅲ)对任意$ x\in C $,若$ \Phi(x)\neq\emptyset $,则$ F(\cdot, lub\Phi(x)) $为下逆序的(注:由假设(ⅱ)可知:当$ \Phi(x)\neq\emptyset $时, $ lub\Phi(x) $存在).

那么, GVEP (1.1)至少存在一个解.

证  按条件(ⅱ)中的方式定义映射$ \Phi $.下面只证明$ \Phi $在新的假设条件下仍为上保序的.其余证明与定理3.1类似,此处省略.任取$ x_{b}, x_{a}\in C $且$ x_{b}\preccurlyeq_{X}x_{a} $,则必有$ lub\Phi(x_{b})\in \Phi(x_{a}) $.事实上,由条件(ⅱ)可知对任意$ x_{b}\in C $, $ lub\Phi(x_{b}) $存在.由假设(ⅲ)可知$ F(\cdot, lub\Phi(x_{b})) $为下逆序的,因此对任意$ q_{a}\in F(x_{a}, lub\Phi(x_{b})) $,存在$ q_{b}\in F(x_{b}, lub\Phi(x_{b}))\subseteq -{\rm int}P $使得$ q_{a}\preccurlyeq_{X}q_{b} $,即, $ q_{b}-q_{a}\in P $.因为$ q_{a} = (q_{a}-q_{b})+q_{b} $且$ -P-{\rm int}P\subseteq-{\rm int}P $,所以$ q_{a}\in -{\rm int}P $.由$ q_{a} $的任意性可知$ F(x_{a}, lub\Phi(x_{b})\subseteq-{\rm int}P $,从而可得$ lub\Phi(x_{b})\in \Phi(x_{a}) $.任取$ y_{b}\in \Phi(x_{b}) $,令$ y_{a}: = lub\Phi(x_{b})\in \Phi(x_{a}) $,则$ y_{b}\preccurlyeq_{X}y_{a} $.因此, $ \Phi $是上保序的.

由推论3.2可知定理3.1的条件(ⅱ): $ F $的弱$ P $ -伪单调性和$ F(x, \cdot) $的下保序性,并未使用.另外,在定理3.1和推论3.1中,映射$ F $需要满足三种类型的单调性.事实上,满足这些条件的二元映射有很多.以推论3.1为例.

例3.1  设$ X $和$ Y $为$ ({\Bbb R} , \leq) $, $ C: = [1, 5] $.按以下方式定义二元映射$ F:C\times C\rightarrow {\Bbb R} $

$ \begin{eqnarray*} F(x, y) = x^{2}(y-x). \end{eqnarray*} $

容易验证$ F $满足推论3.1中的所有条件.此外,如果定义$ g:X\rightarrow X $为$ g(x) = x^{2} $,则$ g $在$ C $上是单调的,即: $ (g(u)-g(v))(u-v)\geq0, \ \ \forall u, v\in C $.此时,均衡问题即为单调变分不等式问题:寻找$ \bar{x}\in C $使得

$ \begin{eqnarray*} \langle g(\bar{x}), y-\bar{x}\rangle\geq0, \ \ \forall y\in C. \end{eqnarray*} $

目前已有很多关于单调变分不等式的结果,且这些研究大都需要$ g $为连续的或者$ C $为闭凸的.在此例中,若令$ C $为离散点集,例如: $ C: = \{x:x = 1+0.01(n-1), n = 1, 2, \cdots, 401\} $,则多数拓扑方法将难以应用,但推论3.1仍适用于该情形.

接下来考虑参数广义向量均衡问题,其中映射$ F $受参数$ \theta $的扰动.设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足第一节中的假设(A1)–(A2), $ \Theta $为一个偏序集,其偏序关系记为$ \preccurlyeq_{\Theta} $.设$ F:C\times C\times\Theta\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为一个集值映射.参数广义向量均衡问题(简记为PGVEP)是指:寻找$ \bar{x}(\theta)\in C $使得

(3.7) $ \begin{eqnarray} F(\bar{x}(\theta), y;\theta)\nsubseteq{\rm -int}P, \ \ \forall\ y\in C. \end{eqnarray} $

定义关于PGVEP (3.7)的解映射为$ S:\Theta\rightarrow 2^{C} $, $ S(\theta) $表示PGVEP关于参数$ \theta $的解集.本节主要探索$ S $的上保序性.

定理3.2  设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足(A1)–(A2), $ \Theta $为偏序集. $ F:C\times C\times\Theta\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为一个集值映射且对任意$ (x, y)\in C\times C $, $ F(x, y;\cdot) $为$ s $ -严格下逆序的.假设对任意$ \theta\in \Theta $,下列条件成立.

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x;\theta)\nsubseteq{\rm -int}P $;

(ⅱ) $ F(\cdot, \cdot;\theta) $和$ -F(\cdot, \cdot;\theta) $均为$ P $ -伪单调的,且对任意$ x\in C $, $ F(x, \cdot;\theta) $是下保序的;

(ⅲ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\} $为$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的.

那么,对任意$ \theta\in \Theta $, $ S(\theta)\neq\emptyset $,且$ S $是上保序的.

证  容易验证对任意$ \theta\in \Theta $, $ F $满足定理3.1中的所有条件,因此,对任意$ \theta\in \Theta $, $ S(\theta)\neq\emptyset $.

下面证明$ S $为上保序的.任取$ \theta_{1}, \theta_{2}\in \Theta $且$ \theta_{1}\preccurlyeq_{\Theta}\theta_{2} $.对于任意的$ \bar{x}(\theta_{1})\in S(\theta_{1}) $,下面的目标是寻找$ \bar{x} \in S(\theta_{2}) $使得$ \bar{x}(\theta_{1})\preccurlyeq_{X}\bar{x} $.注意到这等价于寻找$ \bar{x}\in [\bar{x}(\theta_{1}))\cap C $使得$ \{y\in C:F(\bar{x}, y;\theta_{2})\subseteq{\rm-int}P\} = \emptyset $,其中序区间$ [\bar{x}(\theta_{1})) = \{z:\bar{x}(\theta_{1})\preccurlyeq_{X}z\} $.

倘若不然,则可构造由$ C $到$ 2^{C}\setminus\{\emptyset\} $的集值映射$ \Psi $如下

(3.8) $ \begin{eqnarray} \Psi(x) = \left\{\begin{array}{ll} \{y\in C:F(x, y;\theta_{2})\subseteq{\rm-int}P\}, \ \ & x\in[\bar{x}(\theta_{1}))\cap C, \\ \{\bar{x}(\theta_{1})\}, \ \ &\ x\in C\setminus[\bar{x}(\theta_{1})). \end{array}\right. \end{eqnarray} $

下面利用引理2.1和引理2.2证明$ \Psi $存在不动点,为此分以下三个步骤.

步骤一  证明$ \Psi $在$ C $上是上保序的.

任取$ x_{a}, x_{b}\in C $且$ x_{b}\preccurlyeq_{X} x_{a} $,任选$ y_{b}\in \Psi(x_{b}) $.根据上保序的定义,只需寻找$ y_{a}\in \Psi(x_{a}) $使得$ y_{b}\preccurlyeq_{X} y_{a} $.因为$ \Psi $的定义域由两部分构成,下面分三种情况讨论$ \Psi $的上保序性.

情形Ⅰ  $ x_{a}\in[\bar{x}(\theta_{1}))\cap C $且$ x_{b}\in C\setminus[\bar{x}(\theta_{1})) $.

因为$ x_{b}\in C\setminus[\bar{x}(\theta_{1})) $,故有$ y_{b} = \bar{x}(\theta_{1}) $,由此可得

(3.9) $ \begin{eqnarray} F(\bar{x}(\theta_{1}), y;\theta_{1})\nsubseteq{\rm-int}P, \ \ \forall y\in C. \end{eqnarray} $

特别的, $ F(\bar{x}(\theta_{1}), x_{a};\theta_{1})\nsubseteq{\rm-int}P $.因此,对任意$ \theta\in \Theta $, $ -F(\cdot, \cdot;\theta) $是$ P $ -伪单调的,于是

(3.10) $ \begin{eqnarray} F(x_{a}, \bar{x}(\theta_{1});\theta_{1})\subseteq -P. \end{eqnarray} $

任取$ q_{2}\in -F(x_{a}, \bar{x}(\theta_{1});\theta_{2}) $,则$ -q_{2}\in F(x_{a}, \bar{x}(\theta_{1});\theta_{2}) $.因为$ F(x, y;\cdot) $为$ s $ -严格下逆序的,且$ \theta_{1}\preccurlyeq_{\Theta}\theta_{2} $,所以存在$ q_{1}\in F(x_{a}, \bar{x}(\theta_{1});\theta_{1}) $使得

(3.11) $ \begin{eqnarray} -q_{2}\ll_{P} q_{1}, \end{eqnarray} $

这等价于$ q_{1}+q_{2}\in {\rm int}P $.由于$ q_{1}\in F(x_{a}, \bar{x}(\theta_{1}); \theta_{1}) $,联立(3.10)式可得$ -q_{1}\in P $.因此, $ q_{2} = -q_{1}+(q_{1} +q_{2})\in {\rm int}P $ (这里用到$ P+{\rm int}P\subseteq{\rm int}P $).由$ q_{2} $的任意性可得

(3.12) $ \begin{eqnarray} -F(x_{a}, \bar{x}(\theta_{1});\theta_{2})\subseteq{\rm int}P, \end{eqnarray} $

进而可得$ \bar{x}(\theta_{1})\in \Psi(x_{a}) $.将$ \bar{x}(\theta_{1}) $记为$ y_{a} $,则已找到$ y_{a}\in \Psi(x_{a}) $使得$ y_{b}\preccurlyeq_{X}y_{a} $,即: $ \Psi $在这种情形下是上保序的.

情形Ⅱ  $ x_{a}, x_{b}\in[\bar{x}(\theta_{1}))\cap C $.

此时, $ \Psi(x) = \{y\in C:F(x, y;\theta_{2})\subseteq{\rm-int}P\} $.由定理3.1的证明可知:当$ F $和$ -F $为弱$ P $ -伪单调并且$ F(x, \cdot) $是下保序时,集值映射$ \Phi(x) = \{y\in C:F(x, y)\subseteq{\rm-int}P\} $是上保序的.注意到对任意$ \theta\in\Theta $, $ F(\cdot, \cdot;\theta) $和$ -F(\cdot, \cdot;\theta) $为$ P $ -伪单调的且$ P $ -伪单调必为弱$ P $ -伪单调的,因此, $ \Psi $在这种情形下也是的上保序的.

情形Ⅲ  $ x_{a}, x_{b}\in C\setminus[\bar{x}(\theta_{1})) $.

此时, $ \Psi(x) = \{\bar{x}(\theta_{1})\} $.显然, $ \Psi $是上保序的.

综合上述三种情况可知$ \Psi $在整个定义域$ C $上是上保序的.

步骤二  证明$ \Psi $具有$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭值.

因为对任意$ \theta\in\Theta $,若$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm-int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm-int}P\} $是$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的,且$ \{\bar{x}(\theta_{1})\} $是单点集,因而也是$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的,所以$ \Psi $具有$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭值.

步骤三  证明$ \Psi $存在不动点.

由步骤二和步骤三可知$ \Psi $是上保序的且具有$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭值.因此,利用引理2.1可知$ \Psi $存在保序选择.将该保序选择记为$ \psi $.由于$ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,故$ {\rm min}C\preccurlyeq_{X}\psi({\rm min}C) $.由引理2.2可得存在$ \hat{x}\in C $使得$ \hat{x} = \psi(\hat{x})\in \Psi(\hat{x}) $.由集值映射$ \Psi $的构造可知$ \hat{x} $必在$ [\bar{x}(\theta_{1}))\cap C $中,因而$ F(\hat{x}, \hat{x};\theta_{2})\subseteq{\rm-int}P $.这与假设(ⅰ)相矛盾.

综上所述,存在$ \bar{x}\in [\bar{x}(\theta_{1}))\cap C $使得$ \{y\in C:F(\bar{x}, y;\theta_{2})\subseteq{\rm-int}P\} = \emptyset $,即:存在$ \bar{x}\in C $使得$ \bar{x}(\theta_{1})\preccurlyeq\bar{x} $并且对任意$ y\in C $,都有$ F(\bar{x}, y;\theta_{2})\nsubseteq{\rm-int}P $.因此, $ S $在$ C $上是上保序的.

特别的,若对任意$ \theta\in \Theta $, $ F(\cdot, \cdot;\theta) $为严格$ P $ -伪单调的,则对任意$ \theta\in \Theta $, PGVEP (3.7)存在唯一解.此时,集值映射$ S $退化为单值映射,由此可以得到如下结果.

推论3.3  设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足(A1)–(A2), $ \Theta $为偏序集. $ F:C\times C\times\Theta\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为集值映射,且对任意$ (x, y)\in C\times C $, $ F(x, y;\cdot) $是$ s $ -严格下逆序的.假设对任意$ \theta\in \Theta $,下列条件成立.

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x;\theta)\nsubseteq{\rm -int}P $;

(ⅱ) $ F(\cdot, \cdot;\theta) $是严格$ P $ -伪单调的且$ -F(\cdot, \cdot;\theta) $是$ P $ -伪单调的;对任意$ x\in C $, $ F(x, \cdot;\theta) $是下保序的;

(ⅲ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\} $是$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的.

那么, $ S $为单值映射且$ S $为保序的.

2014年, Li^[20]将Abian-Brown不动点定理从单值映射的情形推广到链完备偏序集上集值映射的情形,获得如下结果.

引理3.1^[20]  设$ (X, \preccurlyeq_{X}) $为链完备偏序集且$ G:X\rightarrow 2^{X}\setminus\{\emptyset\} $为集值映射.假设$ G $满足如下三个条件

(B1) $ G $是上保序的;

(B2)对任意$ x\in X $, $ G(x) $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最大元;

(B3)存在$ y\in X $对某个$ u\in G(y) $有$ y\preccurlyeq_{X}u $.

则$ G $存在不动点.

引理3.2^[20]  设$ (X, \preccurlyeq_{X}) $为链完备偏序集且$ G:X\rightarrow 2^{X}\setminus\{\emptyset\} $为集值映射.假设$ G $满足下列三个条件

(B1) $ G $是上保序的;

(B2$ ' $)对任意$ x\in X $, $ G(x) $是链完备格;

(B3)存在$ y\in X $对某个$ u\in G(y) $有$ y\preccurlyeq_{X}u $.

则$ G $存在不动点.

下面利用引理3.1和引理3.2证明GVEP (1.1)解的存在性,并在不借助保序选择定理的条件下证明PGVEP (3.7)解的保序性.

引理3.3  设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足第一节的(A1)–(A2),且$ F:C\times C\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为二元集值映射.假设下列条件成立

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x)\nsubseteq{\rm -int}P $;

(ⅱ) $ F $和$ -F $均为弱$ P $ -伪单调的,而且对任意$ x\in C $, $ F(x, \cdot) $是下保序的;

(ⅲ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \{y\in C:F(x, y)\subseteq{\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y)\subseteq{\rm -int}P\} $存在$ \preccurlyeq_{X} $ -最大元.

那么, GVEP (1.1)至少存在一个解.

证  按定理3.1的方式构造集值映射$ \Phi:C \rightarrow 2^{C} $,则必存在$ \bar{x}\in C $使得$ \Phi(\bar{x}) = \emptyset $.倘若不然,假设对任意$ x\in C $, $ \Phi(x)\neq\emptyset $,则$ \Phi $即为从$ C $到$ 2^{C}\setminus\{\emptyset\} $的集值映射.由定理3.1可知,在条件(ⅱ)的条件下, $ \Phi $是上保序的.由条件(ⅲ)可知对任意$ x\in C $, $ \Phi $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最大元.由于$ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,则对任意$ u\in \Phi({\rm min}C) $有$ {\rm min}C\preccurlyeq_{X}u $.由引理3.1可知存在$ \hat{x}\in C $使得$ \hat{x}\in \Phi(\hat{x}) $,进而$ F(\hat{x}, \hat{x})\subseteq-{\rm int}P $.这与条件(ⅰ)相矛盾.因此,存在$ \bar{x}\in C $使得$ \Phi(\bar{x}) = \emptyset $,即: GVEP (1.1)至少存在一个解.

定理3.3  设$ X $、$ C $、$ Y $、$ P $满足第一节中的(A1)–(A2), $ \Theta $为偏序集. $ F:C\times C\times\Theta\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为集值映射,且对任意$ (x, y)\in C\times C $, $ F(x, y;\cdot) $为$ s $ -严格下逆序的.假设对任意$ \theta\in \Theta $,下列条件成立

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x;\theta)\nsubseteq{\rm -int}P $;

(ⅱ) $ F(\cdot, \cdot;\theta) $和$ -F(\cdot, \cdot;\theta) $均为$ P $ -伪单调的且对任意$ x\in C $, $ F(x, \cdot;\theta) $为下保序的;

(ⅲ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\} $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最大元.

那么,对任意$ \theta\in \Theta $, $ S(\theta)\neq\emptyset $且$ S $是上保序的.

证  因为对任意$ \theta\in \Theta $, $ F $满足引理3.3的所有条件,故对任意$ \theta\in \Theta $, $ S(\theta)\neq\emptyset $.下面证明$ S $是上保序的.为此任取$ \theta_{1}, \theta_{2}\in \Theta $且$ \theta_{1}\preccurlyeq_{\Theta}\theta_{2} $,任选$ \bar{x}(\theta_{1})\in S(\theta_{1}) $.根据上保序的定义,只需寻找$ \bar{x} \in S(\theta_{2}) $使得$ \bar{x}(\theta_{1})\preccurlyeq_{X}\bar{x} $.注意到这等价于寻找$ \bar{x}\in [\bar{x}(\theta_{1}))\cap C $使得$ \{y\in C:F(\bar{x}, y;\theta_{2})\subseteq{\rm-int}P\} = \emptyset $.倘若不然,假设对任意$ x\in [\bar{x}(\theta_{1}))\cap C $, $ \{y\in C:F(x, y;\theta_{2})\subseteq{\rm-int}P\}\neq\emptyset $,则可按定理3.2中的方式定义集值映射$ \Psi:C\rightarrow 2^{C}\setminus\{\emptyset\} $.下面只需证明$ \Psi $在新的条件下仍存在不动点.在定理3.2的证明过程中已论证了:若对任意$ (x, y)\in C\times C $, $ F(x, y;\cdot) $是$ s $ -严格下逆序的且条件(ⅱ)成立,则$ \Psi $是上保序的.由条件(ⅲ)可知对任意$ x\in C $, $ \Psi $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最大元,且存在$ y: = {\rm min}C $使得对任意$ u\in \Psi(y) $都有$ y\preccurlyeq_{X}u $.利用引理3.1可知存在$ \hat{x}\in C $使得$ \hat{x}\in \Psi(\hat{x}) $.其余证明过程与定理3.2的证明类似,此处略之.

利用引理3.2易证下面结果.

定理3.4  设$ X $, $ C $, $ Y $, $ P $满足第一节中的(A1)–(A2)且$ \Theta $为偏序集.设$ F:C\times C\times\Theta\rightarrow 2^{Y}\setminus\{\emptyset\} $为集值映射且对任意$ (x, y)\in C\times C $, $ F(x, y;\cdot) $为$ s $ -严格下逆序的.假设对任意$ \theta\in \Theta $,下列条件成立

(ⅰ)对任意$ x\in C $, $ F(x, x;\theta)\nsubseteq{\rm -int}P $;

(ⅱ) $ F(\cdot, \cdot;\theta) $和$ -F(\cdot, \cdot;\theta) $均为$ P $ -伪单调的,且对任意$ x\in C $, $ F(x, \cdot;\theta) $为下保序的;

(ⅲ) $ C $具有$ \preccurlyeq_{X} $ -最小元,且对任意$ x\in C $,若$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\}\neq\emptyset $,则$ \{y\in C:F(x, y;\theta)\subseteq{\rm -int}P\} $为链完备格.

则对任意$ \theta\in \Theta $, $ S(\theta)\neq\emptyset $且$ S $是上保序的.

注3.1  定理3.2–3.4均建立在链偏序集上.此外,易见引理3.1和定理3.3分别等价于定理3.1和定理3.2.事实上,若使用Tarski不动点定理(参见文献[23])和引理2.1,则可在完备格上获得一些关于PGVEP解映射保序性的新结果.此时,条件“$ C $具有$ \preccurlyeq $ -最小元”可以去掉.

注3.2  本节只研究了PGVEP解映射的上保序性.另一方面,利用定理$ \rm3.1 $和定理$ \rm3.2 $中的技巧,可类似研究PGVEP (3.7)解映射的下保序性.

本文关注了GVEP的一个新课题,即:解映射的保序性.相关思想主要基于文献[14]和[24],但与已有的相关研究存在以下三方面区别

(ⅰ)关注的非线性问题不同.

本文主要研究广义向量均衡问题,传统的向量均衡问题、变分不等式问题均为其特例.然而,文献[14]关注的问题为广义变分不等式问题.一般而言,它并非GVEP (1.1)的特殊形式.此外,在文献[24]中,参数广义变分不等式的解受参数$ \omega $和$ \theta $的扰动.然而,本文关注的PGVEP (3.7)只受参数$ \theta $的扰动.

(ⅱ)考虑的空间框架不同.

在文献[24]中,空间框架为Banach格,该空间兼具序结构和拓扑结构.因此,相关集值映射的紧值性可以被使用.然而,本文的空间框架为链完备偏序集,它只具有序结构.因此,本文获得的结果并未使用相关映射的拓扑性质,取而代之的使用了一些序性质,例如: $ lub $-$ \preccurlyeq_{X} $ -闭性、$ P $ -伪单调性等.

(ⅲ)主要研究方法不同.

由于空间框架的差异,本文的研究方法也与文献[24]具有很大不同.在文献[24]中,主要利用的是Banach格上的一些序不动点定理,为使用这些定理,相关映射需要是具紧值的且$ C $需要是$ X $的子完备$ \preccurlyeq_{X} $ -子格.然而,本文的主要工具为(广义) Abian-Brown不动点定理和保序选择定理.因此, $ C $只需是$ X $的链完备子集并且去掉了关于紧性的假设.为此, $ \Phi $要求是$ lub $ -$ \preccurlyeq_{X} $ -闭的,该条件在序理论的层面上强于文献[24].