本文考虑以下prey-taxis模型

(1.1) $\begin{eqnarray}\label{1-1}\left\{ \begin{array}{ll}u_t=\Delta u^{m_1}-\chi\nabla\cdot(u\nabla w), & \mbox{in}\ Q, \\ w_t=\Delta w-\mu w+\alpha vF_0(u), & \mbox{in}\ Q, \\ v_t=\Delta v^{m_2}+\lambda v\left(1-\frac{v}{k}\right)-vF_0(u), & \mbox{in}\ Q, \\ \left.(\nabla u^{m_1}-\chi u\cdot\nabla w)\cdot{\bf n}\right|_{\partial\Omega} =\nabla w\cdot{\bf n}|_{\partial\Omega}=\left.\nabla v^{m_2}\cdot{\bf n}\right|_{\partial\Omega}=0, \\ u(x, 0)=u_0(x), w(x, 0)=w_0(x), v(x, 0)=v_0(x), & x\in\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray}$

其中${{m}_{1}}>1,{{m}_{2}}>1,Q=\Omega \times {{\mathbb{R}}^{+}},\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$是一个有界的光滑区域. $u, w, v$分别代表捕食者的密度,猎物释放的趋化因子浓度和猎物种群密度, $\chi$是趋化灵敏度系数, $\mu$是趋化因子的衰减率, $\lambda$猎物种群的增长率和$k$代表环境的承载容量. $F_0$是如下的Holling Ⅱ型函数

$F_0(u)=\frac{F_mu}{A+u}, \hspace{2mm}\mbox{其中}\quad A, \ F_m>0, $

其中, $F_0(u)$为由于捕食者活动而导致的猎物死亡率, $A$为猎物被捕食者捕杀的半饱和常数, $F_m$为最大死亡率.

Prey-taxis模型首先由Karevia和Odell在文献[6]中提出.不同于经典的捕食者-食饵模型,捕食者和猎物除了受随机扩散的影响,捕食者的运动也受猎物密度梯度的影响,即prey-taxis项$-\nabla\cdot(\chi(u, v)u\nabla v)$.此后,许多研究者对具有prey-taxis项的捕食-食饵模型进行了广泛的研究.在2008年,文献[1]研究了如下系统

(1.2) $ \begin{eqnarray}\label{eq-2} \left\{ \begin{array}{ll} &u_t=d_1\Delta u-\nabla\cdot(\chi(u)\nabla v)-au+bg(v)u, \\ &v_t=d_2\Delta v++k(v)-g(v)u \end{array}\right. \end{eqnarray} $

弱解的存在唯一性,并且通过数值模拟显示了班图形成的有趣现象.随后,文献[10]得到了空间维数为1, 2和3时古典解的整体存在性和唯一性.对于多个物种的存在性结果,请参考文献[6, 17].在2009年, Lee等在文献[7]对于如下模型

(1.3) $ \begin{eqnarray}\label{eq-3} \left\{ \begin{array}{ll} &u_t=\Delta u-\nabla\cdot(\chi(v)u\nabla v)+\gamma u(h(v, u)-\delta(u)), \\ &v_t=\varepsilon\Delta v+vf(v)-uh(v, u), \end{array}\right. \end{eqnarray}$

研究了一维空间中捕食者和猎物的运动对捕食者-食饵系统空间班图形成的作用,并针对不同的情况建立了班图形成的必要条件.更多关于这类模型的研究,我们也可以参考文献[2, 5, 13-14]等.近年来,一种带有间接信号产生的捕食模型被提出,其中捕食者跟随猎物释放的某些化学物质的梯度移动.例如,猎物在捕获过程中分泌的化学引诱物或受伤猎物血液的气味.在文献[11]中, Tello和Wrzosek提出如下模型

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} u_t=d_u\Delta u-\chi\nabla\cdot(u\nabla w), \\ w_t=d_w\Delta w-\mu w+\alpha vF_0(u), \\v_t=\lambda v\left(1-\frac{v}{k}\right)-vF_0(u), \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

其中,猎物的随机运动被忽略.在对系数施加适当的假设条件下,对任意空间维数作者证明了解的整体存在性和局部渐近稳定性,特别是在1维空间中,证明了非常数稳态解的存在性.

然而,从生物学的角度来看,捕食者和猎物的迁移应该被认为是非线性扩散,而渗流扩散是最常用的模型.本文受文献[11]的启发,我们考虑了一个具有渗流慢扩散的捕食模型,其中,捕食者或猎物的迁移率依赖于它们自身的密度.对任意的$m_1>1, m_2>1$,我们首先在3维空间中给出了弱解的全局存在和有界性结果.在此基础上,进一步研究了不同系数假设条件下的平衡态的稳定性.

我们首先给出了本文的假设.

(H) $\left\{ \begin{array}{ll} & u_0, v_0\in L^\infty(\Omega), \nabla u_0^{m_1}, \nabla v_0^{m_2}\in L^2(\Omega), w_0\in W^{2, \infty}(\Omega), \\ & u_0, w_0, v_0\ge 0. \end{array}\right. \$

下面我将给出本篇文章的主要定理.

定理1.1  假设(H)成立, $m_1>1, m_2>1$.那么对任意的$\chi>0, \mu>0, \alpha\ge 0, \lambda\ge 0$,问题(1.1)存在一个非负弱解$(u, w, v)$满足$u\in{\cal X}_1, w\in{\cal X}_2, v\in {\cal X}_3$,其中

$\begin{eqnarray*} {\cal X}_1&=&\Big\{u\in L^\infty(\Omega\times {\mathbb R}^+);\nabla u^{m_1}\in L^\infty([0, \infty);L^2(\Omega)), \left(u^\frac{m_1+1}{2}\right)_t, \\& & \nabla u^\frac{m_1+1}{2}\in L_{loc}^2([0, \infty);L^2(\Omega))\Big\}, \end{eqnarray*} $

$\begin{eqnarray*}{\cal X}_2=\Big\{w\in L^\infty((0, \infty);W^{1, \infty}(\Omega));w_t, \Delta w\in L_{loc}^p([0, \infty);L^p(\Omega)), \ \forall p>1\Big\},\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {\cal X}_3&=&\Big\{v\in L^\infty(\Omega\times {\mathbb R}^+);\nabla v^{m_2}\in L^\infty([0, \infty);L^2(\Omega)), \left(v^\frac{m_2+1}{2}\right)_t, \\& & \nabla v^\frac{m_2+1}{2}\in L_{loc}^2([0, \infty);L^2(\Omega))\Big\}, \end{eqnarray*}$

且

(1.4) $ \begin{equation} \label{1-2} \sup\limits_{t\in(0, \infty)}\left(\|u(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|w\|_{W^{1, \infty}}+\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty}\right)\leq M_1, \end{equation}$

(1.5) $\begin{equation} \label{1-3} \sup\limits_{t\in (0, +\infty)}\int_\Omega(|\nabla u^{m_1}|^2+|\nabla v^{m_2}|^2){\rm d}x+ \sup\limits_{t\in (0, +\infty)}\|(u^{\frac{m_1+1}2}, v^{\frac{m_2+1}2}) \|_{W_2^{1, 1}(Q_1(t))} \le M_2, \end{equation}$

(1.6) $ \begin{equation} \label{1-4} \sup\limits_{t\in (0, +\infty)}\|w\|_{W_p^{2, 1}(Q_1(t))} \le M_3, \quad \forall p>1, \end{equation} $

其中$M_i$$(i=1, 2, 3)$仅依赖于$\Omega$, $\chi, \mu, \alpha, \lambda, u_0, w_0, v_0$.

定理1.2  假设$u_0\not\equiv0, v_0\not\equiv0$.令$(u, w, v)\in {\mathcal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是问题(1.1)的一个整体解.那么对任意的初值,对任意的$\chi>0, \mu>0, \lambda=0, \alpha\geq0$,我们有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left(\|u(\cdot, t)-\bar u_0\|_{L^p}+\|w(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty}\right)=0, \quad \forall p\ge 1.$

定理1.3  假设$u_0\not\equiv0, v_0\not\equiv0$.令$(u, w, v)\in {\mathcal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是问题(1.1)的一个整体解.那么对任意的初值,对任意的$\chi>0, \mu>0, \lambda>0, \alpha=0$,如果$\lambda<F_0(\bar{u})$,我们有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}(\|u(\cdot, t)-\bar u_0\|_{L^p}+\|w(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty})=0, \quad \forall p\ge 1.$

如果$\lambda>F_0(\bar{u})$,对任意的$p\ge 1$,我们有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left(\|u(\cdot, t)-\bar u_0\|_{L^p}+\|w(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\left\|v(\cdot, t) -k\left(1-\frac{F_0(\bar{u})}{\lambda}\right)\right\|_{L^p}\right)=0.$

为了读者方便,我们首先引入一些本文中使用的记号.

记号:$\|\cdot\|_{L^p}=\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}$, $Q_{\tau}(t)=\Omega\times(t, t+\tau)$, $Q_T:=Q_T(0)=\Omega\times (0, T)$, $\bar{\varphi}:=\frac{1}{|\Omega|}\displaystyle\int_\Omega\varphi {\rm d}x$.

接下来,我们给出弱解的定义.

定义2.1  称$(u, w, v)$为问题(1.1)的弱解,如果$(u, v, \omega)\in{\cal X}_{1}\times{\cal X}_{2}\times{\cal X}_{3}$且$u, v, \omega\geq0$,使得对任意给的$T>0$,我们有

$\begin{eqnarray*}&&-\iint_{Q_T}u\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega u(x, 0)\varphi(x, 0){\rm d}x+\iint_{Q_T}(\nabla u^{m_1}-\chi u\nabla w)\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t=0, \\&&-\iint_{Q_T}w\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega w(x, 0)\varphi(x, 0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla w\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&&+\iint_{Q_T}(\mu w-\alpha vF_0(u))\varphi {\rm d}x{\rm d}t=0, \\&&-\iint_{Q_T}v\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega v(x, 0)\varphi(x, 0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla v^{m_2}\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&&+\iint_{Q_T}vF_0(u)\varphi {\rm d}x{\rm d}t=\lambda\iint_{Q_T}v\left(1-\frac{v}{k}\right)\varphi {\rm d}x{\rm d}t.\end{eqnarray*}$

其中$\varphi\in C^{\infty}(\overline{Q_{T}})$且$\left.\frac{\partial\varphi}{\partial{\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=0$和$\varphi(x, T)=0$.

根据文献[4],我们有下面两个引理.

引理2.1  对常数$T>0$,假设$f\geq0, f(t)\in L^1(T, \infty)$并且

$f(t)-f(s)\leq A(t-s) \quad (\mbox{或}\geq-A(t-s)), \quad \forall t>s>T.$

那么

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}f(t)=0.$

引理2.2  对常数$T\geq0$,假设$f(t), g(t) \ge 0, \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } g(t) = 0$和$f(t)\in L^1(T, \infty)$.令$F(t)=f(t)-g(t)$,有

$F(t)-F(s)\geq -A(t-s), \quad \forall t>s>T.$

那么$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f(t) = 0.$

我们首先考虑以下的正则化问题

(3.1) $\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{ll}u_{\varepsilon t}=\Delta((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon)-\chi\nabla\cdot(u_\varepsilon\nabla w_\varepsilon), \ \mbox{in}\ Q, \\w_{\varepsilon t}=\Delta w_\varepsilon-\mu w_\varepsilon+\alpha v_\varepsilon F_0(u_\varepsilon), \ \mbox{in}\ Q, \\v_{\varepsilon t}=\Delta((v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1} v_\varepsilon)+\lambda v_\varepsilon\left(1-\frac{v_\varepsilon}{k}\right)-v_\varepsilon F_0(u_\varepsilon), \ \mbox{in}\ Q, \\\left.\frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial {\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=\left.\frac{\partial w_{\varepsilon}}{\partial {\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=\left.\frac{\partial v_{\varepsilon}}{\partial {\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=0, \\ u_{\varepsilon}(x, 0)=u_{\varepsilon 0}(x), w_{\varepsilon}(x, 0)=u_{\varepsilon 0}(x), v_{\varepsilon}(x, 0)=v_{\varepsilon 0}(x), \quad x\in\Omega, \end{array}\right.\end{eqnarray}$

其中$u_{\varepsilon 0}, w_{\varepsilon 0}, v_{\varepsilon 0}$满足

(H1) $\left\{\begin{array}{ll}u_{\varepsilon 0}, w_{\varepsilon 0}, v_{\varepsilon 0} \in C(\overline\Omega)\cap C^{2+\alpha}(\Omega), \left.\frac{\partial u_{\varepsilon 0}}{\partial{\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=0, \left.\frac{\partial w_{\varepsilon 0}}{\partial{\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=0, \left.\frac{\partial v_{\varepsilon 0}}{\partial{\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=0, \\\|u_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\|\nabla u_{\varepsilon 0}^{m_1}\|_{L^2}+\|w_{\varepsilon 0}\|_{W^{2, \infty}}+\|v_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\|\nabla v_{\varepsilon 0}^{m_2}\|_{L^2}\\\leq2(\|u_0\|_{L^\infty}+\|\nabla u_0^{m_1}\|_{L^2}+\|w_0\|_{W^{2, \infty}}+\|v_0\|_{L^\infty}+\|\nabla v_0^{m_2}\|_{L^2}), \\u_{\varepsilon 0}\to u_0, w_{\varepsilon 0}\to w_0, v_{\varepsilon 0}\to v_0, \quad \mbox{一致收敛}.\end{array}\right.$

运用不动点定理,我们可以证明以下局部存在结果,参考文献[9, 12, 16].如下,我们给出了问题(3.1)古典解的局部存在性结果.

引理3.1  假设$u_{\varepsilon 0}$, $w_{\varepsilon 0}$, $v_{\varepsilon 0}$满足(H1).那么存在$T_{\max}\in(0, +\infty]$使得问题(3.1)存在唯一的古典解$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon)\inC(\overline\Omega \times[0, T_{\max}))\cap C^{2+\alpha, 1+\alpha/2}(\Omega \times(0, T_{\max}))$满足

(3.2) $\begin{equation}u_\varepsilon\ge 0, \quad w_\varepsilon\ge 0, \quad v_\varepsilon\ge 0, \ \forall (x, t)\in \Omega\times (0, T_{\max}), \end{equation}$

使得要么$T_{max} = \infty$,要么

$\limsup\limits_{t\nearrow T_{\max}}\left(\|u_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|w_\varepsilon\|_{W^{1, \infty}}+\|v_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}\right)= \infty.$

在本文中,我们证明了正则化问题古典解的整体存在性.我们给出以下命题.

命题3.1  假设$u_{\varepsilon 0}$, $w_{\varepsilon 0}$, $v_{\varepsilon 0}$满足(H1).那么对任意的$\varepsilon>0$,问题(3.1)存在唯一的古典解$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon)$,满足

(3.3) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in(0, \infty)}\left(\|u_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|w_\varepsilon\|_{W^{1, \infty}}+\|v_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}\right)\leq M_1, \end{equation}$

(3.4) $\begin{eqnarray}&&\sup\limits_{t\in (0, +\infty)}\int_\Omega(|\nabla((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}v_\varepsilon)|^2+|\nabla((v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)|^2) {\rm d}x\nonumber\\&&+\sup\limits_{t\in (0, +\infty)}\|(u_\varepsilon^{\frac{m_1+1}2}, v_\varepsilon^{\frac{m_2+1}2})\|_{W_2^{1, 1}(Q_1(t))}\le M_2, \end{eqnarray}$

(3.5) $\begin{equation}\label{add3}\sup\limits_{t\in (0, +\infty)}\|w_\varepsilon\|_{W_p^{2, 1}(Q_1(t))}\le M_3, \quad \forall p>1, \end{equation}$

其中$M_i (i=1, 2, 3)$都不依赖于$\varepsilon$.

接下来,我们给出$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon)$的一些先验估计,我们令$\tau=\min\left\{1, \frac{T_{\max}}{2}\right\}$.容易发现$\tau\le 1$.在下文中,所有的常数$C$, $C_i$, $\tilde C$, $\tilde C_i$, $M$都不依赖于$\tau$和$T_{\max}$.

引理3.2  假设$u_{\varepsilon 0}$, $w_{\varepsilon 0}$, $v_{\varepsilon 0}$满足(H1).令$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon)$是模型(3.1)在$(0, T_{\max})$上的古典解.那么

(3.6) $\begin{equation} \|u_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^1}=\|u_{\varepsilon0}\|_{L^1}, \end{equation}$

(3.7) $\begin{equation} \|w_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|v_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}\leq C, \end{equation}$

其中$C$不依赖于$\varepsilon$.

证  模型(3.1)的第一个方程直接积分,可得(3.6)式.

令$\tilde{V}:=\max\{k, \|v_0\|_{L^\infty}\}$,显然, $\tilde{V}$是模型(3.1)第三个方程的一个上解.根据比较原理,我们有$v_\varepsilon\le \tilde{V}$.类似地,令

$\tilde{W}:=\max\left\{\frac{\alpha\tilde{V}F_m}{\mu}, \|w_0\|_{L^\infty}\right\}, $

那么$\tilde{W}$是模型(3.1)第二个方程的一个上解.那么,容易发现(3.7)式成立.证毕.

引理3.3  假设$u_{\varepsilon 0}$, $w_{\varepsilon 0}$, $v_{\varepsilon 0}$满足(H1).令$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon)$是模型(3.1)在$(0, T_{\max})$上的古典解.那么

(3.8) $\begin{equation}\|w_\varepsilon\|_{W^{1, \infty}}\leq C, \end{equation}$

其中$C$不依赖于$\varepsilon$.

证  根据Duhamel's原理,我们发现解$w_\varepsilon$可以被如下表示

$ w_\varepsilon=e^{-\mu t}e^{t\Delta}w_{\varepsilon0}+\int_0^te^{-\mu(t-s)}e^{(t-s)\Delta}\alpha v_\varepsilon(s)F_0(u_\varepsilon(s)){\rm d}s, $

其中$\{e^{t\Delta}\}_{t\geq0}$是在$\Omega$上的Neumann热半群,更多关于Neumann热半群的知识,请参考文献[15].根据(3.7)式,对所有的$t\in(0, T_{\max})$我们有

$\begin{eqnarray*} \|\nabla w_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty} & \leq &e^{-\mu t}\|\nabla w_{\varepsilon0}\|_{L^\infty}+\int_0^te^{-\mu(t-s)}(t-s)^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\alpha\|v_\varepsilon(s)\|_{L^4}\|F_0(u_\varepsilon(s))\|_{L^\infty}{\rm d}s \\ &\le & e^{-\mu t}\|\nabla w_{\varepsilon0}\|_{L^\infty}+C\int_0^\infty e^{-\mu s}s^{-\frac{7}{8}}{\rm d}s\leq C. \end{eqnarray*}$

结合(3.7)式可得引理3.3.证毕.

引理3.4  假设$u_{\varepsilon 0}$, $w_{\varepsilon 0}$, $v_{\varepsilon 0}$满足(H1),并且$m_1>1, m_2>1$.令$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon)$是模型(3.1)在$(0, T_{\max})$上的古典解.则

(3.9) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in(0, T_{max})}\|u_\varepsilon\|_{L^r}\leq C(r), \end{equation}$

其中$C(r)$依赖于$r$.

证  对任意的$r>m_1$,在模型(3.1)的第一个方程两边同时乘以$r u_\varepsilon^{r-1}$,然后在$\Omega$上积分,并且结合(3.8)式,可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x+\frac{4r(r-1)}{(m_1+r-1)^2}\int_\Omega|\nabla u_\varepsilon^\frac{m_1+r-1}{2}|^2{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x\\&\le &\chi r(r-1)\int_\Omega u_\varepsilon^{r-1}\nabla u_\varepsilon\nabla w_\varepsilon {\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x\\&\le & \frac{r(r-1)}{2}\int_\Omega u_\varepsilon^{m_1+r-3}|\nabla u_\varepsilon|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2r(r-1)}{2}\int_\Omega u_\varepsilon^{r+1-m_1}|\nabla w_\varepsilon|^2{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x\\&\le &\frac{2r(r-1)}{(m_1+r-1)^2}\int_\Omega |\nabla u_\varepsilon^\frac{m_1+r-1}{2}|^2{\rm d}x+Cr^2\int_\Omega u_\varepsilon^{r+1-m_1}{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x.\end{eqnarray*}$

根据Gagliardo-Nirenberg插值不等式,对任意小的$\eta>0$有

$\begin{eqnarray*}&&Cr^2\|u_\varepsilon\|_{L^{r+1-m_1}}^{r+1-m_1}=Cr^2\|u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^{\frac{2(r+1-m_1)}{r+m_1-1}}}^\frac{2(r+1-m_1)}{r+m_1-1}\\&\le &C_1r^2\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^\frac{6(r-m_1)}{3(r+m_1-1)-1}\|u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^\frac{2}{m_1+r-1}}^\frac{4(2m_1+r-2)}{(3(m_1+r-1)-1)(r+m_1-1)}+C_2r^2\|u_\varepsilon\|_{L^1}^{r+1-m_1}\\&\le & \eta\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^2+C_\eta r^\frac{3r+3m_1-4}{3m_1-2}\|u_\varepsilon\|_{L^1}^\frac{2m_1+r-2}{3m_1-2}+C_2r^2\|u_\varepsilon\|_{L^1}^{r+1-m_1}\end{eqnarray*}$

和

$\begin{eqnarray*}&&\|u_\varepsilon\|_{L^r}^r=\|u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^{\frac{2r}{r+m_1-1}}}^\frac{2r}{r+m_1-1}\\&\le &C_3\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^\frac{6(r-1)}{3(r+m_1-1)-1}\|u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^\frac{2}{m_1+r-1}}^\frac{2(3m_1+2r-3)}{(r+m_1-1)(3(m_1+r-1)-1)}+C_4\|u_\varepsilon\|_{L^1}^r\\&\le & \eta\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^2+\tilde C_\eta \|u_\varepsilon\|_{L^1}^\frac{3m_1+2r-3}{3m_1-1}+C_4\|u_\varepsilon\|_{L^1}^r.\end{eqnarray*}$

结合上面三个不等式,同时利用(3.7)式,我们可得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x\leq C_5, $

这意味着(3.9)式成立.证毕.

下面,我们证明$u_\varepsilon$的$L^\infty$估计.

引理3.5  假设$u_{\varepsilon 0}$, $w_{\varepsilon 0}$, $v_{\varepsilon 0}$满足(H1),并且$m_1>1, m_2>1$.令$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon)$是模型(3.1)在$(0, T_{\max})$上的古典解,则

(3.10) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in(0, T_{max})}\|u_\varepsilon\|_{L^\infty}\leq C.\end{equation}$

证  对任意的$r\ge2m_1$,在模型(3.1)的第一个方程两边同时乘以$r u_\varepsilon^{r-1}$,然后在$\Omega$上积分,并且结合(3.8)式,可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x+\frac{4r(r-1)}{(m_1+r-1)^2}\int_\Omega|\nabla u_\varepsilon^\frac{m_1+r-1}{2}|^2{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r {\rm d}x\\&\le &\chi r(r-1)\int_\Omega u_\varepsilon^{r-1}\nabla u_\varepsilon\nabla w_\varepsilon {\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r {\rm d}x\\&\le & \frac{r(r-1)}{2}\int_\Omega u_\varepsilon^{m_1+r-3}|\nabla u_\varepsilon|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2r(r-1)}{2}\int_\Omega u_\varepsilon^{r+1-m_1}|\nabla w_\varepsilon|^2{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r {\rm d}x\\&\le &\frac{2r(r-1)}{(m_1+r-1)^2}\int_\Omega |\nabla u_\varepsilon^\frac{m_1+r-1}{2}|^2{\rm d}x+Cr^2\int_\Omega u_\varepsilon^{r+1-m_1}+\int_\Omega u_\varepsilon^r {\rm d}x.\end{eqnarray*}$

这意味着

(3.11) $\begin{eqnarray}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_\varepsilon^{r} {\rm d}x+\frac{2r(r-1)}{(m_1+r-1)^2}\int_\Omega |\nabla u_\varepsilon^{\frac{r+m_1-1}2}|^2 {\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^{r} {\rm d}x \nonumber\\\label{3-8}&\le &Cr^2\int_\Omega u_\varepsilon^{r+1-m_1}{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^{r} {\rm d}x.\end{eqnarray}$

根据Gagliardo-Nirenberg插值不等式,可得

$\begin{eqnarray*}&&Cr^2\|u_\varepsilon\|_{L^{r+1-m_1}}^{r+1-m_1}=Cr^2\|u_\varepsilon^{\frac{r+m_1-1}2}\|_{L^{\frac{2(r+1-m_1)}{r+m_1-1}}}^{\frac{2(r+1-m_1)}{r+m_1-1}}\\&\le &C_1r^2\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^\frac{6(r+2-2m_1)}{6(m_1-1)+5r}\|u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^\frac{r}{m_1+r-1}}^\frac{4r(r+2(m_1-1))}{(6(m_1-1)+5r)(r+m_1-1)}+C_2r^2\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^{r+1-m_1}\\&\le & \eta\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^2+C_\eta r^\frac{6(m_1-1)+5r}{6(m_1-1)+r}\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^\frac{r(2m_1+r-2)}{6m_1+r-6}+C_2r^2\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^{r+1-m_1}\\&\le & \eta\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^2+C_\eta r^5\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^\frac{r(2(m_1-1)+r)}{6(m_1-1)+r}+C_2r^2\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^{r+1-m_1}\end{eqnarray*}$

和

$\begin{eqnarray*}\|u_\varepsilon\|_{L^r}^r&=&\|u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^{\frac{2r}{r+m_1-1}}}^\frac{2r}{r+m_1-1}\\&\le &\tilde C_1\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^\frac{6r}{6(m_1-1)+5r}\|u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^\frac{r}{m_1+r-1}}^\frac{4r^2+6r(m_1-1)}{(r+m_1-1)(6(m_1-1)+5r)}+\tilde C_2\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^r\\&\le & \eta\|\nabla u_\varepsilon^\frac{r+m_1-1}{2}\|_{L^2}^2+\tilde C_\eta\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^\frac{r(3(m_1-1)+2r)}{6(m_1-1)+2r}+\tilde C_2\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^r.\end{eqnarray*}$

将上面两个不等式代入(3.11)式,可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x\\&\leq& C_3r^5\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^\frac{r(2m_1+r-2)}{6m_1+r-6}+C_4r^2\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^r+C_5 \|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^\frac{r(3(m_1-1)+2r)}{6(m_1-1)+2r}+C_6\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^r, \end{eqnarray*}$

其中$C_i$$(i=3, 4, 5, 6)$都不依赖于$r$.注意到

$\frac{r(2(m_1-1)+r)}{6(m_1-1)+r}<\frac{r(3(m_1-1)+2r)}{6(m_1-1)+2r}<r, $

进一步可得

(3.1.2) $\begin{eqnarray}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x+\int_\Omega u_\varepsilon^r{\rm d}x\leq C_7r^5\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^\frac{r(2(m_1-1)+r)}{6(m_1-1)+r}+C_8r^2\|u_\varepsilon\|_{L^\frac{r}{2}}^r.\end{eqnarray}$

令$r_j=2r_{j-1}=2^jr_0, r_0=2m_1, M_j=\max\Big\{1, \|u_0\|_{L^\infty}, \sup\limits_{t\in(0, T_{\max})}\|u_\varepsilon\|_{L^{r_j}}\Big\}$,那么有

$\begin{eqnarray*}M_j&\le & (C_7+C_8)^{\frac 1{r_j}}r_j^{\frac 5{r_j}}M_{j-1}= (C_7+C_8)^{\frac 1{r_02^j}}r_0^{\frac {5}{r_02^j}}2^{\frac {5j}{r_02^j}}M_{j-1}\\&\le & (C_7+C_8)^{\sum\limits_{k=1}^j\frac 1{r_02^k}}r_0^{\sum\limits_{k=1}^j\frac {5}{r_02^k}}2^{\sum\limits_{k=1}^j\frac {5k}{r_02^k}}M_0\le C, \end{eqnarray*}$

其中$C$不依赖于$j$.令$j\to\infty$,则(3.10)式得证.证毕.

命题3.1的证明  根据引理3.1和引理3.5,对任意的$\varepsilon>0$, $T_{\max}=+\infty$,模型(3.1)存在一个整体的古典解.这意味着$\tau=1$.

注意到$v_\varepsilon F_0(u_\varepsilon)$有界.那么根据线性抛物型方程的$L^p$理论,对任意的$p>1$,我们可得

(3.13) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in(1, \infty)}\int_{t-1}^t\int_\Omega|\Delta w|^p{\rm d}x{\rm d}t\leq C.\end{equation}$

在模型(3.1)的第一个方程两边同时乘以$u_\varepsilon$,然后在$\Omega$上积分,可得

$\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_\varepsilon^2{\rm d}x+\int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}|\nabla u_\varepsilon|^2{\rm d}x\le -\chi\int_\Omega u_\varepsilon^2\Delta w{\rm d}x\le C\left(1+\int_\Omega|\Delta w|^2{\rm d}x\right), \end{eqnarray*}$

根据(3.3)和(3.13)式,易得

(3.14) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in(1, \infty)}\int_{t-1}^t\int_\Omega (u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}|\nabla u_\varepsilon|^2 {\rm d}x {\rm d}s\le C.\end{equation}$

在模型(3.1)的第三个方程两边同时乘以$v_\varepsilon$,然后在$\Omega$上积分,可得

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega v_\varepsilon^2{\rm d}x+\int_\Omega(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}|\nabla v_\varepsilon|^2{\rm d}x\leq \lambda\int_\Omega v_\varepsilon^2\left(1-\frac{v_\varepsilon}{k}\right){\rm d}x-\int_\Omega v_\varepsilon^2F_0(u_\varepsilon){\rm d}x\leq C, $

根据(3.3)式,易得

(3.15) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in(1, \infty)}\int_{t-1}^t\int_\Omega (v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}|\nabla v_\varepsilon|^2 {\rm d}x {\rm d}s\le C.\end{equation}$

在模型(3.1)的第一个方程两边同时乘以$\frac{\partial( (u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon)}{\partial t}$,然后在$\Omega$上积分可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon)|^2{\rm d}x+\int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}\left|\frac{\partial u}{\partial t}\right|^2{\rm d}x\\&\le &-\chi\int_\Omega\nabla\cdot(u_\varepsilon\cdot\nabla w_\varepsilon)\frac{\partial( (u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon)}{\partial t}{\rm d}x\\&\le & m_1^2\chi^2\int_\Omega|\nabla\cdot(u_\varepsilon\cdot\nabla w_\varepsilon)|^2(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}\left|\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x\\&\le & C\int_\Omega(|\Delta w_\varepsilon|^2+(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}|\nabla u_\varepsilon|^2){\rm d}x+\frac{1}{2}\int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}\left|\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

这意味着

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla ((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon)|^2 {\rm d}x+\int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1} \left|\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}\right|^2 {\rm d}x+\int_\Omega|\nabla ((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon)|^2 {\rm d}x\\&\le & C\int_\Omega(|\Delta w_\varepsilon|^2+(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}|\nabla u_\varepsilon|^2){\rm d}x.\end{eqnarray*}$

根据(3.13)和(3.14)式,进一步有

(3.16) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in (0, +\infty)}\int_\Omega|\nabla( (u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon)|^2 {\rm d}x+\sup\limits_{t\in (1, +\infty)}\int_{t-1}^t\int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1} \left|\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}\right|^2 {\rm d}x\le C.\end{equation}$

在模型(3.1)的第三个方程两边同时乘以$\frac{\partial( (v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)}{\partial t}$,然后在$\Omega$上积分可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla((v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)|^2{\rm d}x+\int_\Omega(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|^2{\rm d}x\\&\le &\lambda\int_\Omega v_\varepsilon\left(1-\frac{v_\varepsilon}{k}\right)\frac{\partial( (v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)}{\partial t}{\rm d}x-\int_\Omega v_\varepsilon F_0(u_\varepsilon)\frac{\partial( (v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)}{\partial t}{\rm d}x\\&\le & m_2^2\lambda^2\int_\Omega v_\varepsilon^2\left(1-\frac{v_\varepsilon}{k}\right)^2(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_\Omega(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}\left|\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x\\&&+\int_\Omega v_\varepsilon^2 (F_0(u_\varepsilon))^2(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}{\rm d}x\\&\le & C+\frac{1}{2}\int_\Omega(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}\left|\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

即

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla((v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)|^2{\rm d}x+\int_\Omega(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}\left|\frac{\partial u}{\partial t}\right|^2{\rm d}x+\int_\Omega|\nabla((v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)|^2{\rm d}x\\&\le& C\left(1+\int_\Omega(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}|\nabla v_\varepsilon|^2{\rm d}x\right).\end{eqnarray*}$

根据(3.15)式,进一步有

(3.17) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in(0, \infty)}\int_\Omega|\nabla((v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon)|^2{\rm d}x+\sup\limits_{t\in(1, \infty)}\int_{t-1}^t\int_\Omega(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}\left|\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x{\rm d}s\leq C.\end{equation}$

结合(3.16)式和(3.17)式,可得(3.4)式.

定理1.1的证明  由于$(u_\varepsilon, w_\varepsilon, v_\varepsilon, )$是模型(3.1)的古典解,对任意的$\varphi\in C^\infty(\overline Q_T)$,有

$\begin{eqnarray*}&&-\iint_{Q_T}u_\varepsilon\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega u_{\varepsilon 0}\varphi(x, 0){\rm d}x-\iint_{Q_T}(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_{\varepsilon}\Delta\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&&-\iint_{Q_T}\chi u_\varepsilon\nabla w_\varepsilon\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t=0, \\&&-\iint_{Q_T}w_\varepsilon\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega w_{\varepsilon 0}\varphi(x, 0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla w_\varepsilon\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&&+\iint_{Q_T}(\mu w_\varepsilon-\alpha v_\varepsilon F_0(u_\varepsilon))\varphi {\rm d}x{\rm d}t=0, \\&&-\iint_{Q_T}v_\varepsilon\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega v_{\varepsilon 0}\varphi(x, 0){\rm d}x-\iint_{Q_T}(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_{\varepsilon}\Delta\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&&+\iint_{Q_T}v_\varepsilon F_0(u_\varepsilon)\varphi {\rm d}x{\rm d}t=\lambda\iint_{Q_T}v_\varepsilon\left(1-\frac{v_\varepsilon}{k}\right)\varphi {\rm d}x{\rm d}t, \end{eqnarray*}$

其中$\left.\frac{\partial\varphi}{\partial {\bf n}}\right|_{\partial\Omega}=0$和$\varphi(x, T)=0$.

根据Aubin-Lions定理,利用命题3.1,对任意$T>0$,我们有

$\begin{eqnarray*}&&u_\varepsilon \to u, \ \mbox{在$C([0, T]; L^p(\Omega))$中,对任意的$p\in (1, +\infty)$}, \\&&u_\varepsilon \stackrel{*}{\rightharpoonup} u, \ \mbox{在$L^\infty(Q_T)$中}, \\&&u_\varepsilon^{\frac{m_1+1}2} \rightharpoonup u^{\frac{m_1+1}2}, \ \mbox{在$W^{1, 1}_2(Q_T)$中}, \\&&w_\varepsilon \to w, \ \mbox{一致收敛}, \\&&w_\varepsilon \rightharpoonup w, \ \mbox{在$W^{2, 1}_p(Q_T)$中,对任意的$p\in (1, +\infty)$}, \\&&v_\varepsilon \to v, \ \mbox{在$C([0, T]; L^p(\Omega))$中,对任意的$p\in (1, +\infty)$}, \\&&v_\varepsilon \stackrel{*}{\rightharpoonup} v, \ \mbox{在$L^\infty(Q_T)$中}, \\&&v_\varepsilon^{\frac{m_2+1}2} \rightharpoonup v^{\frac{m_2+1}2}, \ \mbox{在$W^{1, 1}_2(Q_T)$中}, \end{eqnarray*}$

并且对于$u, w, v$,有(1.4)-(1.6)式成立.注意到$u_\varepsilon$和$u$都是一致有界的,那么

$\begin{eqnarray*}|(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon-u^{m_1}| \leq|(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1}-u^{m_1}|+|\varepsilon(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}|\le C\varepsilon.\end{eqnarray*}$

因此,在$L^\infty(Q_T)$中,对任意的$p\in (1, +\infty)$有

$(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m_1-1}u_\varepsilon\rightarrow u^{m_1}.$

类似地,在$L^\infty(Q_T)$中,对任意的$p\in (1, +\infty)$也有

$(v_\varepsilon+\varepsilon)^{m_2-1}v_\varepsilon\rightarrow v^{m_2}.$

令$\varepsilon\to 0$,那么可得

$\begin{eqnarray*}&&-\iint_{Q_T}u\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega u_0(x)\varphi(x, 0){\rm d}x-\iint_{Q_T}u^{m_1}\Delta\varphi {\rm d}x{\rm d}t-\iint_{Q_T}\chi u\nabla w\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t=0, \\&&-\iint_{Q_T}w\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega w_0(x)\varphi(x, 0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla w\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&&+\iint_{Q_T}(\mu w-\alpha vF_0(u))\varphi {\rm d}x{\rm d}t=0, \\&&-\iint_{Q_T}v\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega v_0(x)\varphi(x, 0){\rm d}x-\iint_{Q_T}v^{m_2}\Delta\varphi {\rm d}x{\rm d}t+\iint_{Q_T}vF_0(u)\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&=&\lambda\iint_{Q_T}v\left(1-\frac{v}{k}\right)\varphi {\rm d}x{\rm d}t.\end{eqnarray*}$

注意到$\nabla u^{m_1}\in L^2(Q_T)$, $\nabla v^{m_2}\in L^2(Q_T)$,那么也有

$-\iint_{Q_T}u\varphi_t {\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega u(x, 0)\varphi(x, 0){\rm d}x+\iint_{Q_T}(\nabla u^{m_1}-\chi u\nabla w)\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t=0$

和

$\begin{eqnarray*}&&-\iint_{Q_T}v\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega v(x, 0)\varphi(x, 0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla v^{m_2}\nabla\varphi {\rm d}x{\rm d}t+\iint_{Q_T}vF_0(u)\varphi {\rm d}x{\rm d}t\\&=&\lambda\iint_{Q_T}v\left(1-\frac{v}{k}\right)\varphi {\rm d}x{\rm d}t.\end{eqnarray*}$

这意味着满足$u\in{\cal X}_1$, $w\in{\cal X}_2$, $v\in{\cal X}_3$的$(u, w, v)$是模型(1.1)的一个整体弱解.证毕.

在这部分,我们基于$\lambda=0$, $\alpha\geq 0$研究弱解的大时间行为.首先有以下引理.

引理4.1  令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(4.1) $\begin{equation} \int_0^\infty\int_\Omega vF_0(u){\rm d}x{\rm d}t\leq C_1, \end{equation}$

(4.2) $\begin{equation} \int_0^\infty\int_\Omega w^2{\rm d}x{\rm d}t+\int_0^\infty\int_\Omega |\nabla w|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq C_2, \end{equation}$

(4.3) $\begin{equation} \int_0^\infty\int_\Omega u^{r+m_1-2}|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq C_3, \quad \forall r>(m_1-2)_+, \end{equation}$

其中$C_1$, $C_2$, $C_3$依赖于$u_0, w_0, v_0, \mu, \alpha, \chi, \Omega$.

证  模型(1.1)的第三个方程直接在$\Omega\times (0, t)$上积分,对所有的$t>0$,可得

$\int_\Omega v(\cdot, t){\rm d}x+\int_0^t\int_\Omega vF_0(u){\rm d}x{\rm d}t=\int_\Omega v_0{\rm d}x, $

从中可得(4.1)式成立.此外,模型(1.1)的第二个方程两端同时乘以$w$,然后在$\Omega\times(0, t)$上积分,结合(4.1)式,对所有的$t>0$,可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{1}{2}\int_\Omega w^2(\cdot, t){\rm d}x+\mu\int_0^t\int_\Omega w^2{\rm d}x{\rm d}t+\int_0^t\int_\Omega|\nabla w|^2{\rm d}x{\rm d}t\\&=&\frac{1}{2}\int_\Omega w_0^2{\rm d}x+\int_0^t\int_\Omega\alpha v\omega F_0(u){\rm d}x{\rm d}t, \end{eqnarray*}$

从而验证(4.2)式成立.

对任意的$(r+1)u^r$,在模型(1.1)的第一个方程两边同时乘以$(r+1)u^r$,可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u^{r+1}{\rm d}x+r(r+1)\int_\Omega u^{m_1+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x\\& \le&\chi r(r+1)\int_\Omega u^r\nabla u\nabla w{\rm d}x\\& \le&\frac{r(r+1)}{2}\int_\Omega u^{m_1+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2r(r+1)}{2}\int_\Omega u^{r+2-m_1}|\nabla w|^2{\rm d}x\\& \le&\frac{r(r+1)}{2}\int_\Omega u^{m_1+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2r(r+1)}{2}\|u\|_{L^\infty}^{r+2-m_1}\int_\Omega|\nabla w|^2{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

利用(1.4)和(4.2)式,并且上面的不等式从$0$到$\infty$上积分,可得(4.3)式.证毕.

引理4.2  令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(4.4) $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega(|\nabla w(x, t)|^2+w^2(x, t)){\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

证  在模型(1.1)中第二个方程两边分别乘以$-\Delta w$, $w$,然后它们在$\Omega$上积分,可得

$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega (|\nabla w|^2+w^2){\rm d}x+\int_\Omega |\Delta w|^2{\rm d}x+(\mu+1)\int_\Omega|\nabla w|^2{\rm d}x+\mu\int_\Omega w^2{\rm d}x\\& =&-\alpha\int_\Omega vF_0(u)\Delta w{\rm d}x+\alpha\int_\Omega wvF_0(u){\rm d}x\\& \le&\frac{1}{2}\int_\Omega|\Delta w|^2{\rm d}x+\frac{\mu}{2}\int_\Omega w^2{\rm d}x+C_2\int_\Omega v^2(F_0(u))^2{\rm d}x\\& \le&\frac{1}{2}\int_\Omega|\Delta w|^2{\rm d}x+\frac{\mu}{2}\int_\Omega w^2{\rm d}x+C, \end{eqnarray*}$

这意味着

(4.5) $\begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega(|\nabla w|^2+w^2){\rm d}x+\int_\Omega |\Delta w|^2{\rm d}x+2(\mu+1)\int_\Omega|\nabla w|^2{\rm d}x+\mu\int_\Omega w^2{\rm d}x\le C.\end{eqnarray}$

那么有

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega(|\nabla w(x, t)|^2+w^2(x, t)){\rm d}x-\int_\Omega(|\nabla w(x, s)|^2+w^2(x, s)){\rm d}x\le C(t-s).\end{eqnarray*}$

根据引理2.1和(4.2)式,可得(4.4)式.证毕.

引理4.3  令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(4.6) $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|w(\cdot, t)\|_{L^\infty}=0.\end{eqnarray}$

证  根据Gagliardo-Nirenberg插值不等式,我们有

$\|w(\cdot, t)\|_{L^\infty}\leq C_1\|\nabla w(\cdot, t)\|_{L^\infty}^\frac{3}{5}\|w(\cdot, t)\|_{L^2}^\frac{2}{5}+C_2\|w(\cdot, t)\|_{L^2}, $

利用引理4.2和(1.4)式,我们有(4.6)式.证毕.

引理4.4  令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么对任意的$p>1$有

(4.7) $\begin{eqnarray}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|u(x, t)-\bar u_0\|_{L^p}{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

证  令$b^{m_1}(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u^{m_1}{\rm d}x$.利用(1.4)和(1.5)式,可得

$\begin{eqnarray*}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |u^{m_1}-b^{m_1}|^2{\rm d}x&=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u^{2m_1}{\rm d}x-2|\Omega|b^{m_1}(b^{m_1})'\\& =&2m_1^2(m_1-1)b^{m_1}\int_\Omega u^{2m_1-3}|\nabla u|^2{\rm d}x\\&&-2(2m_1-1)\int_\Omega u^{m_1-1}|\nabla u^{m_1}|^2{\rm d}x -(2m_1-1)\chi\int_\Omega u^{2m_1}\Delta w{\rm d}x\\ &&+2\chi (m_1-1)b^{m_1}\int_\Omega u^{m_1}\Delta w{\rm d}x\\& \ge&-C-\int_\Omega|\Delta w|^2{\rm d}x.\end{eqnarray*}$

结合(4.5)式,可得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega(|u^{m_1}-b^{m_1}|^2 -w^2-|\nabla w|^2){\rm d}x\geq-C, $

这意味着对任意的$t>s>0$,有

(4.8) $\begin{eqnarray}&&\int_\Omega(|u^{m_1}(x, t)-b^{m_1}(t)|^2-|\nabla w(x, t)|^2-|w(x, t)|^2){\rm d}x\nonumber\\&&-\int_\Omega(|u^{m_1}(x, s)-b^{m_1}(s)|^2-|\nabla w(x, s)|^2-| w(x, s)|^2){\rm d}x\geq-C(t-s).\end{eqnarray}$

进一步,根据Poincaré不等式,并且令(4.3)式中$r=m_1$,我们发现

$\int_0^\infty\int_\Omega|u^{m_1}-b^{m_1}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq C\int_0^\infty\int_\Omega|\nabla u^{m_1}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq \tilde{C}.$

根据(4.4)式和(4.8)式,结合引理2.2,可得

(4.9) $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega|u^{m_1}(x, t)-b^{m_1}(t)|^2{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

根据Hölder不等式,对所有的$t>0$,我们发现

$\bar u_0|\Omega|=\int_\Omega u(\cdot, t){\rm d}x\leq\left(\int_\Omega u^{m_1}(\cdot, t){\rm d}x\right)^\frac{1}{m_1}\cdot|\Omega|^{1-\frac{1}{m_1}}, $

这意味着$b(t)\geq \bar u_0$.像对所有的$\xi\geq0$和$\eta\geq0$有$|\xi^{m_1}-\eta^{m_1}|\geq\eta^{m_1-1}\cdot|\xi-\eta|$一样,对所有的$t>0$,在$ \Omega$上处处有

$|u^{m_1}(\cdot, t)-b^{m_1}(t)|^2\geq b^{2m_1-2}(t)\cdot|u(\cdot, t)-b(t)|^2 \ge\bar u_0^{2m_1-2}\cdot|u(\cdot, t)-b(t)|^2, $

因此从(4.9)式可得

(4.10) $\begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega|u(x, t)-b(t)|^2{\rm d}x=0.\end{equation}$

注意到

$|\bar u_0-b(t)|\cdot|\Omega|=\left|\int_\Omega(u(\cdot, t)-b(t)){\rm d}x\right| \le\left(\int_\Omega(u(\cdot, t)-b(t))^2{\rm d}x\right)^\frac{1}{2}\cdot|\Omega|^\frac{1}{2}, $

因此

$\int_\Omega(\bar u_0-b(t))^2{\rm d}x\leq\int_\Omega(u(\cdot, t)-b(t))^2{\rm d}x.$

因此

$\begin{eqnarray*}\int_\Omega(u(\cdot, t)-\bar u_0)^2{\rm d}x&\leq&2\int_\Omega(u(\cdot, t)-b(t))^2{\rm d}x+2\int_\Omega(\bar u_0-b(t))^2{\rm d}x\\&\le &4\int_\Omega(u(\cdot, t)-b(t))^2{\rm d}x.\end{eqnarray*}$

结合(4.10)式,可得

(4.11) $\begin{equation}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|u(x, t)-\bar u_0\|_{L^2}{\rm d}x=0.\end{equation}$

当$1\le p\le 2$时,根据这个不等式我们显然有(4.7).注意到对任意的$p\ge 2$有

$\|u(\cdot, t)-\bar u_0\|_{L^p}\leq\|u(\cdot, t)-\bar u_0\|_{L^2}^\frac{2}{p}\|u(\cdot, t)-\bar u_0\|_{L^\infty}^\frac{p-2}{p}, $

并且利用(4.11)式,我们完成了定理的证明.证毕.

引理4.5  令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(4.12) $\begin{eqnarray}\label{4-12} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega v{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

证  由模型(1.1)的第三个方程,可得

$v_t=\Delta v^{m_2}+v(F_0(\bar{u})-F_0(u))-vF_0(\bar{u}).$

根据上面的方程,对任意的$\eta>0$,存在$t>T$,使得

$\begin{eqnarray*}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega v{\rm d}x+F_0(\bar{u})\int_\Omega v{\rm d}x=\int_\Omega v(F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x\leq C\int_\Omega|\bar{u}-u|{\rm d}x<\eta.\end{eqnarray*}$

解这个不等式,当$t\rightarrow\infty$时,可得

$\begin{eqnarray*}\int_\Omega v{\rm d}x\leq\int_\Omega v(T)e^{F_0(\bar{u})(T-t)}{\rm d}x+\frac{\eta}{F_0(\bar{u})}(1-e^{F_0(\bar{u})(T-t)})\rightarrow C\eta, \end{eqnarray*}$

由于$\eta>0$是任意的,我们可得(4.12)式.证毕.

定理1.2的证明  根据Hölder不等式,当$t\to\infty$时,我们可得

$\|v(\cdot, t)\|_{L^p}\leq\|v\|_{L^1}^\frac{1}{p}\|v\|_{L^\infty}^\frac{p-1}{p}\leq C\|v\|_{L^1}^\frac{1}{p}\to 0, $

类似于文献[4,引理3.4]的证明或者本文中引理5.7的证明,根据Morse迭代技术,我们进一步得到

$\lim\limits_{t\to\infty}\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty}=0.$

利用引理4.3,引理4.4和引理4.5,我们完成了定理1.2的证明.

在这部分,我们基于$\lambda>0, \alpha=0$研究弱解的大时间行为.首先有以下引理.

引理5.1  令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(5.1) $\begin{equation} \int_0^\infty\int_\Omega w^2{\rm d}x{\rm d}t+\int_0^\infty\int_\Omega |\nabla w|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq C_1, \end{equation}$

(5.2) $\begin{equation} \int_0^\infty\int_\Omega u^{r+m_1-2}|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq C_2, \quad \forall r>(m_1-2)_+, \end{equation}$

其中$C_1, C_2$依赖于$u_0, w_0, v_0, \chi, \mu, \lambda, \Omega$.利用上面的不等式,进一步有

(5.3) $\begin{equation}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega (w^2(x, t)+|\nabla w(x, t)|^2){\rm d}x=0, \end{equation}$

(5.4) $\begin{equation}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega|u(x, t)-\bar u_0|^2{\rm d}x=0, \end{equation}$

这意味着

(5.5) $\begin{equation}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|w(\cdot, t)\|_{L^\infty}=0, \end{equation}$

(5.6) $\begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|u(\cdot, t)-\bar u_0\|_{L^p}=0, \ \forall \ p>1.\end{equation}$

证  在模型(1.1)的第二个方程两边同时乘以$w$,然后在$\Omega\times(0, t)$上积分,可得

$\frac{1}{2}\int_\Omega w^2(\cdot, t){\rm d}x+\mu\int_0^t\int_\Omega w^2{\rm d}x{\rm d}t+\int_0^t\int_\Omega|\nabla w|^2{\rm d}x{\rm d}t=\frac{1}{2}\int_\Omega w_0^2{\rm d}x, \quad \forall\ t>0, $

从中可验证(5.1)式成立.

对任意的$r>(m_1-2)_+$,在模型(1.1)的第一个方程两边同时乘以$u^r$,可得

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u^{r+1}{\rm d}x+r(r+1)\int_\Omega u^{m_1+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x\\& \le&\chi r(r+1)\int_\Omega u^r\nabla u\nabla w{\rm d}x\\& \le&\frac{r(r+1)}{2}\int_\Omega u^{m_1+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2r(r+1)}{2}\int_\Omega u^{r+2-m_1}|\nabla w|^2{\rm d}x\\& \le&\frac{r(r+1)}{2}\int_\Omega u^{m_1+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2r(r+1)}{2}\|u\|_{L^\infty}^{r+2-m_1}\int_\Omega|\nabla w|^2{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

利用(1.4)和(5.1)式,并且上面的不等式从0到$\infty$上积分,可得(5.2)式.那么类似于引理4.2和引理4.4的证明,进一步有(5.3)-(5.6)式.证毕.

由模型(1.1)的第三个方程,可得

(5.7) $\begin{eqnarray}\label{5-8} v_t=\Delta v^{m_2}+v\left((\lambda-F_0(\bar{u}))-\frac{\lambda v}{k}\right)+v(F_0(\bar{u})-F_0(u)).\end{eqnarray}$

接下来,我们将分两种情况证明$v$的大时间行为.

首先,考虑$\lambda<F_0(\bar{u})$的情形.

引理5.2  假设$\lambda<F_0(\bar{u})$,并且令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(5.8) $\begin{equation}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty}=0.\end{equation}$

证  根据(5.7)式,对任意的$\eta>0$,存在$t>T$,使得

$\begin{eqnarray*}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega v{\rm d}x+A_1\int_\Omega v{\rm d}x\leq\int_\Omega v(F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x\leq C\int_\Omega|\bar{u}-u|{\rm d}x<\eta, \end{eqnarray*}$

其中$A_1:=F_0(\bar{u})-\lambda>0$.解这个微分不等式,当$t\rightarrow\infty$时可得

$\begin{eqnarray*}\int_\Omega v{\rm d}x\leq\int_\Omega v(T)e^{A_1(T-t)}{\rm d}x+\frac{\eta}{A_1}\left(1-e^{A_1(T-t)}\right)\rightarrow C\eta, \end{eqnarray*}$

由于$\eta>0$是任意的,我们有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega v{\rm d}x=0.$

这意味着对任意的$p\ge 1$有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|v(x, t)\|_{L^p}=0.$

那么,类似于引理5.7的证明,进一步有(5.8)式.证毕.

接下来,考虑$\lambda>F_0(\bar{u})$的情况.令$A_2:=1-\frac{F_0(\bar{u})}{\lambda}$,那么(5.7)式等价于

(5.9) $\begin{equation}\label{5-11} v_t=\Delta v^{m_2}+\lambda v\left(A_2-\frac{v}{k}\right)+v(F_0(\bar{u})-F_0(u)).\end{equation}$

引理5.3  假设$\lambda>F_0(\bar{u})$,并且令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(5.10) $\begin{eqnarray}\label{5-12}\int_0^\infty\int_\Omega|u-\bar{u}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq C, \end{eqnarray}$

其中$C$仅依赖于$u_0, w_0, v_0, \chi, \mu, \lambda, \Omega$.

证  令$a(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u(x, t){\rm d}x, b^\frac{m_1+r}{2}(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u^\frac{m_1+r}{2}{\rm d}x$.注意到

$b^\frac{m_1+r}{2}(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u^\frac{m_1+r}{2}{\rm d}x\geq\left(\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u{\rm d}x\right)^\frac{m_1+r}{2}=a(t)^\frac{m_1+r}{2}, $

这意味着$a(t)\le b(t)$.

根据Poincaré不等式,并且利用(5.2)式,我们发现

(5.11) $\begin{eqnarray}\label{5-13} \int_0^\infty\int_\Omega|u^\frac{m_1+r}{2}-b^\frac{m_1+r}{2}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leqC\int_0^\infty\int_\Omega|\nabla u^\frac{m_1+r}{2}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq \tilde{C}.\end{eqnarray}$

注意到$\frac{u^\frac{m_1+r}{2}-b^\frac{m_1+r}{2}}{u-b}\geq b^\frac{m_1+r-2}{2}$,那么

$a(t)^{m_1+r-2}\int_\Omega|u-b|^2{\rm d}x\leq b^{m_1+r-2}(t)\int_\Omega|u-b|^2{\rm d}x\leq\int_\Omega|u^\frac{m_1+r}{2}-b^\frac{m_1+r}{2}|^2{\rm d}x, $

结合(5.11)式,可得

$\int_0^\infty a(t)^{m_1+r-2}\int_\Omega|u-b|^2{\rm d}x\leq\int_0^\infty\int_\Omega|u^\frac{m_1+r}{2}-b^\frac{m_1+r}{2}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq \tilde{C}.$

由于$a(t)=\frac{1}{|\Omega|}\|u_0\|_{L^1}>0$是一个常数,有

(5.12) $\begin{eqnarray} \int_0^\infty\int_\Omega|u-b|^2{\rm d}x\leq C.\end{eqnarray}$

注意到

(5.13) $\begin{eqnarray} |a(t)-b(t)|^2=\left|\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega(u-b){\rm d}x\right|^2\leq\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega|u-b|^2{\rm d}x, \end{eqnarray}$

结合(5.12)式和(5.13)式,可得

$\begin{eqnarray*}\int_0^\infty\int_\Omega|u-a|^2{\rm d}x{\rm d}t&\leq &2\int_0^\infty\int_\Omega|u-b|^2{\rm d}x{\rm d}t+2\int_0^\infty\int_\Omega|b-a|^2{\rm d}x{\rm d}t\\& \le &4\int_0^\infty\int_\Omega|u-b|^2{\rm d}x{\rm d}t\le C.\end{eqnarray*}$

证毕.

引理5.4  假设$\lambda>F_0(\bar{u})$,并且令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么对任意的$\beta\ge 1$有

(5.14) $\begin{eqnarray}\label{5-16}\int_0^\infty\int_\Omega v^{\beta+m_2-2}|\nabla v|^2{\rm d}x{\rm d}t+\int_0^\infty\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x{\rm d}t \le C, \end{eqnarray}$

其中$C$仅依赖于$u_0, w_0, v_0, \chi, \mu, \lambda, \Omega$.

证  对任意的$\beta\ge 1$, (5.9)式的两边同时乘以$v^\beta-(A_2k)^\beta$,那么有

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\left(\frac{1}{1+\beta}v^{\beta+1}-(A_2k)^\beta v\right){\rm d}x+\beta m_2\int_\Omega v^{\beta+m_2-2}|\nabla v|^2{\rm d}x\\&&+\lambda\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x\\& =&\int_\Omega v(v^\beta-(A_2k)^\beta)(F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x\\& \le& \varepsilon\int_\Omega v(v^\beta-(A_2k)^\beta)^2{\rm d}x+C_\varepsilon\int_\Omega v|\bar{u}-u|^2{\rm d}x\\& \le &C\varepsilon\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta) {\rm d}x+C_\varepsilon\int_\Omega v|\bar{u}-u|^2.\end{eqnarray*}$

取$\varepsilon$足够小,使得$C\varepsilon<\frac \lambda 2$,那么有

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\left(\frac{1}{1+\beta}v^{\beta+1}-(A_2k)^\beta v\right){\rm d}x+\beta m_2\int_\Omega v^{\beta+m_2-2}|\nabla v|^2{\rm d}x\\&&+\frac \lambda 2\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x\\& \le& C\int_\Omega|\bar{u}-u|^2{\rm d}x.\end{eqnarray*}$

结合(5.10)式,对上面的不等式从0到$\infty$上积分,我们完成了定理的证明.证毕.

引理5.5  假设$\lambda>F_0(\bar{u})$,并且令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么有

(5.15) $\begin{eqnarray}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x=0, \quad \forall \beta\ge m_2.\end{eqnarray}$

证  根据(1.4)式,我们发现

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega \left(v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta)\right){\rm d}x\\&=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\left(\frac{v^{\beta+2}}{k}-A_2^\beta k^{\beta-1}v^2-A_2v^{\beta+1}+A_2^{\beta+1}k^\beta v\right){\rm d}x\\& =&A_2\beta(\beta+1)m_2\int_\Omega v^{m_2+\beta-2}|\nabla v|^2{\rm d}x-2A_2^\beta k^{\beta-1}m_2\int_\Omega v^{m_2-1}|\nabla v|^2{\rm d}x\\&& -\frac{(\beta+2)(\beta+1)m_2}{k}\int_\Omega v^{m_2+\beta-1}|\nabla v|^2{\rm d}x\\&&+\int_\Omega\lambda\left(\frac{\beta+2}{k}v^{\beta+2}-A_2(\beta+1)v^{\beta+1}\right)\left(A_2-\frac{v}{k}\right){\rm d}x\\& &-\int_\Omega\lambda(2A_2^\beta k^{\beta-1}v^2-A_2^{\beta+1}k^\beta v)\left(A_2-\frac{v}{k}\right){\rm d}x\\&&+\int_\Omega\left(\frac{\beta+2}{k}v^{\beta+2}-A_2(\beta+1)v^{\beta+1}\right)(F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x\\&& -\int_\Omega(2A_2^\beta k^{\beta-1}v^2-A_2^{\beta+1}k^\beta v)(F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x\\& \le& A_2\beta(\beta+1)m_2\int_\Omega v^{m_2+\beta-2}|\nabla v|^2{\rm d}x+C.\end{eqnarray*}$

在上面的不等式中令$\beta\ge m_2$,并且结合(1.4)式和(1.5)式,我们有

$\begin{eqnarray*}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x\le \tilde C.\end{eqnarray*}$

那么$\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x$是lipschitz连续.根据(5.14)式,利用2.1,我们有(5.15)式.证毕.

接下来,我们致力于证明

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega v(x, t){\rm d}x=k\left(1-\frac{F_0(\bar{u})}{\lambda}\right).$

首先证明下面的引理.

引理5.6  假设$\lambda>F_0(\bar{u})$,令$\tilde a(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega v(x, t){\rm d}x$, ${\tilde b}^{m_2}(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega v^{m_2}{\rm d}x$.那么

(5.16) $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega|v^{m_2}(x, t)-{\tilde b}^{m_2}(x, t)|^2{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

并且如果存在一个序列$t_j$满足$t_j\nearrow\infty$和一个正常数$\sigma_0$,使得

$\lim\limits_{j\rightarrow\infty}\tilde a(t_j)=\sigma_0, $

那么$\sigma_0=A_2k$,这意味着

$\lim\limits_{j\rightarrow\infty}\tilde a(t_j)=\lim\limits_{j\rightarrow\infty}\tilde b(t_j)=A_2k$

和

(5.17) $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega|v(x, t)-A_2k|^2{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

证  注意到

${\tilde b}^{m_2}(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega v^{m_2}{\rm d}x\geq\left(\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega v{\rm d}x\right)^{m_2}=\tilde a(t)^{m_2}, $

这意味着$\tilde a(t)\le \tilde b(t)$.接下来,根据一个直接计算,利用(1.4)和(1.5)式,可得

$\begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |v^{m_2}-{\tilde b}^{m_2}|^2{\rm d}x&=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega v^{2m_2}{\rm d}x-2|\Omega|{\tilde b}^{m_2}({\tilde b}^{m_2})'\\& =&2m_2^2(m_2-1){\tilde b}^{m_2}\int_\Omega v^{2m_2-3}|\nabla v|^2{\rm d}x\\&&-2(2m_2-1)\int_\Omega v^{m_2-1}|\nabla v^{m_2}|^2{\rm d}x +2m_2\lambda\int_\Omega v^{2m_2}\left(A_2-\frac{v}{k}\right){\rm d}x\\ &&+2m_2\int_\Omega v^{2m_2}(F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x -2m_2{\tilde b}^{m_2}\lambda\int_\Omega v^{m_2}\left(A_2-\frac{v}{k}\right) {\rm d}x\\ &&-2m_2{\tilde b}^{m_2}\int_\Omega v^{m_2}(F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x\\& \ge& -C.\end{eqnarray*}$

那么有

$\int_\Omega|v^{m_2}(x, t)-{\tilde b}^{m_2}(t)|^2{\rm d}x-\int_\Omega|v^{m_2}(x, s)-{\tilde b}^{m_2}(s)|^2{\rm d}x\geq-C(t-s).$

另一方面,根据Poincaré不等式,并且在(5.14)式中令$\beta=m_2$,我们发现

(5.18) $\begin{eqnarray}\label{5-20} \int_0^\infty\int_\Omega|v^{m_2}-{\tilde b}^{m_2}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq C\int_0^\infty\int_\Omega|\nabla v^{m_2}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq \tilde{C}, \end{eqnarray}$

根据引理2.1,得到(5.16)式.注意到$\frac{v^{m_2}-{\tilde b}^{m_2}}{v-\tilde b}\geq {\tilde b}^{m_2-1}$和$\tilde a(t)\le \tilde b(t)$,那么有

(5.19) $\begin{eqnarray}\label{5-21} \tilde a(t)^{2m_2-2}\int_\Omega|v-\tilde b|^2{\rm d}x\leq {\tilde b}^{2m_2-2}(t)\int_\Omega|v-\tilde b|^2{\rm d}x\leq\int_\Omega|v^{m_2}-{\tilde b}^{m_2}|^2{\rm d}x.\end{eqnarray}$

如果$\lim_{j\rightarrow\infty}\tilde a(t_j)=\sigma_0>0$,注意到

(5.20) $\begin{eqnarray}\label{5-22} |\tilde a(t)-\tilde b(t)|^2=\left|\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega(v-\tilde b){\rm d}x\right|^2\leq\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega|v-\tilde b|^2{\rm d}x, \end{eqnarray}$

结合(5.19)式和(5.20)式,可得

(5.21) $\begin{eqnarray}\label{5-23} \lim\limits_{j\rightarrow\infty}(\tilde b(t_j)-\tilde a(t_j))=0.\end{eqnarray}$

我们注意到

$\begin{eqnarray*}&&\int_\Omega|v(x, t_j)-\sigma_0|^2{\rm d}x\\&\leq&3\int_\Omega|v(x, t_j)-\tilde b(t_j)|^2{\rm d}x+3\int_\Omega|\tildeb(t_j)-\tilde a(t_j)|^2{\rm d}x+3\int_\Omega|\tilde a(t_j)-\sigma_0|^2{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

根据(5.16), (5.19)和(5.21)式,可得

(5.22) $\begin{eqnarray}\label{5-24} \lim\limits_{j\rightarrow\infty}|v(x, t_j)-\sigma_0|^2{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

另一方面,我们发现

$\begin{eqnarray*}&& \int_\Omega \tilde b(t)\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x\\& =&\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x-\int_\Omega (v-\tilde b(t))\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x\\& \le& \int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x+\frac{1}{2}\int_\Omega\frac{(v-\tilde b(t))^2}{\tilde b(t)}\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x\\&& +\frac{1}{2}\int_\Omega \tilde b(t)\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x, \end{eqnarray*}$

这意味着

$\begin{eqnarray*}&&\int_\Omega \tilde b(t)\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x\\&\leq&2\int_\Omega v\left(\frac{v}{k}-A_2\right)(v^\beta-(A_2k)^\beta){\rm d}x+C\int_\Omega\frac{(v-\tilde b(t))^2}{\tilde b(t)}{\rm d}x.\end{eqnarray*}$

根据(5.15), (5.16)和(5.19)式,可得

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{j\rightarrow\infty}\int_\Omega\left(\frac{v(x, t_j)}{k}-A_2\right)(v^\beta(x, t_j)-(A_2k)^\beta){\rm d}x=0, \end{eqnarray*}$

由于$\mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } \tilde b({t_j}) = {\sigma _0} > 0$.进一步,我们发现对任意的$m_2>1$,必存在一个正整数$i\ge 0$使得$\beta=2^{i}\ge m_2$,那么

$\left(\frac{v(x, t_j)}{k}-A_2\right)(v^\beta(x, t_j)-(A_2k)^\beta)\geq \frac{1}kA_2^{2^i-1}(v(x, t_j)-A_2k)^2.$

因此,我们有

(5.23) $\begin{eqnarray} \lim\limits_{j\rightarrow\infty}\int_\Omega(v(x, t_j)-A_2k)^2{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

根据(5.22)和(5.23)式,并且注意到

$|\Omega||\sigma_0-A_2k|^2\leq2\int_\Omega(v(x, t_j)-A_2k)^2{\rm d}x+2\int_\Omega(v(x, t_j)-\sigma_0)^2{\rm d}x, $

那么我们有$\sigma_0=A_2k$.证毕.

从上面引理可知,如果$\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}a(t_j)$存在,那么等于$A_2k$或$0$.接下来,我们证明$\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}a(t_j)=0$是不可能的.利用文献[4]的思路,我们有

引理5.7  假设$\lambda>F_0(\bar{u})$,并且令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.如果$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\left\| {v( \cdot ,t)} \right\|_{{L^1}}} = 0$,那么

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty}=0.$

证  根据(1.4)式,并注意到

$\|v(\cdot, t)\|_{L^r}\leq\|v(\cdot, t)\|_{L^1}^\frac{1}{r}\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty}^\frac{r-1}{r}, $

那么对任意固定的$r>1$,有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|v(\cdot, t)\|_{L^r}=0.$

因此,对任意的足够小的常数$\varepsilon_0>0$,存在一个常数$T>0$,使得

(5.24) $\begin{eqnarray} \|v(\cdot, t)\|_{L^{3m_2}}<\varepsilon_0.\end{eqnarray}$

令一个切断函数$\eta(t)\in C^1[T, +\infty)$,对于$t>T+1$满足$\eta(T)=0$, $0\le\eta(t)\le 1$, $|\eta'(t)|\leq C$和$\eta(t)=1$.对任意的$r>3m_2$,在模型(1.1)的第三个方程两边同时乘以$r\eta^rv^{r-1}$,然后在$\Omega$上积分,利用(1.4)式,可得

(5.25) $\begin{eqnarray}&& \frac{\rm d}{{\rm d}t}\displaystyle\int_\Omega\eta^rv^r{\rm d}x+m_2r(r-1)\int_\Omega\eta^rv^{m_2+r-3}|\nabla v|^2{\rm d}x+\int_\Omega\eta^rv^r{\rm d}x \nonumber\\& \le& (\lambda r+1)\displaystyle\int_\Omega\eta^rv^r{\rm d}x+r\int_\Omega\eta'\eta^{r-1}v^r{\rm d}x \nonumber\\& \le& Cr\displaystyle\int_\Omega\eta^{r-1}v^r{\rm d}x.\end{eqnarray}$

注意到对任意的足够小的$\sigma>0$,

$\begin{eqnarray*} Cr\eta^{r-1}\|v\|_{L^r}^r&=&Cr\eta^{r-1}\|v^\frac{r+m_2-1}{2}\|_{L^\frac{2r}{r+m_2-1}}^\frac{2r}{r+m_2-1}\\& \leq &C_1r\eta^{r-1}\|\nabla v^\frac{r+m_2-1}{2}\|_{L^2}^\frac{6r}{6(m_2-1)+5r}\|v^\frac{r+m_2-1}{2}\|_{L^\frac{r}{m_2+r-1}}^\frac{4r^2+6r(m_2-1)}{(6(m_2-1)+5r)(r+m_2-1)}+C_2r\eta^{r-1}\|v\|_\frac{r}{2}^r\\& \leq &\sigma \eta^r\|\nabla v^\frac{r+m_2-1}{2}\|_{L^2}^2+C_\sigma\eta^{r-\frac{6(m_2-1)+5r}{6(m_2-1)+2r}}r^\frac{6(m_2-1)+5r}{6(m_2-1)+2r}\|v\|_{L^\frac{r}{2}}^\frac{r(3(m_2-1)+2r)}{6(m_2-1)+2r}\\&&+C_2r\eta^{r-1}\|v\|_\frac{r}{2}^r\\& \leq& \sigma \eta^r\|\nabla v^\frac{r+m_2-1}{2}\|_{L^2}^2+\tilde{C}_\sigma r^{5/2}\|\eta v\|_{L^\frac{r}{2}}^{r-3m_2}+C_2r\|\eta v\|_\frac{r}{2}^{r-1}, \end{eqnarray*}$

使$\sigma$适当地小,并且将上面的两个不等式代入到(5.25)式.我们有

(5.26) $\begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\eta^rv^r{\rm d}x+\int_\Omega\eta^rv^r{\rm d}x\leq C_3r^\frac{5}{2}\|\eta v\|_{\frac{r}{2}}^{r-3m_2}+C_2r\|\eta v\|_\frac{r}{2}^{r-1}.\end{eqnarray}$

令$r_j=2r_{j-1}=2^jr_0, r_0=4m_2, M_j=\sup\limits_{t\in(T, \infty)}\|\eta v\|_{L^{r_j}}$,并且注意到$\eta(T)=0$.那么根据一个直接计算,得到如下结论

$M_j^{r_j}\leq C_3r_j^\frac{5}{2}M_{j-1}^{r_j-3m_2}+C_2r_jM_{j-1}^{r_j-1}, $

根据一个迭代过程,我们发现

$\begin{eqnarray*} M_j&\le& C_3^\frac{1}{r_j}r_j^\frac{5}{2r_j}M_{j-1}^{1-\frac{3m_2}{{r_0}^{2^j}}}+C_2^\frac{1}{r_j}r_j^\frac{1}{r_j}M_{j-1}^{1-\frac{1}{{r_0}^{2^j}}}\\& \le &C_3^{\sum\limits_{k=1}^j\frac{1}{{r_0}^{2^k}}}r_0^{\sum\limits_{k=1}^j\frac{5}{2{r_0}^{2^k}}}M_0^{\prod\limits_{k=1}^j\left(1-\frac{3m_2}{{r_0}^{2^k}}\right)}+C_2^{\sum\limits_{k=1}^j\frac{1}{{r_0}^{2^k}}}r_0^{\sum\limits_{k=1}^j\frac{1}{{r_0}^{2^k}}}M_0^{\prod\limits_{k=1}^j\left(1-\frac{1}{{r_0}^{2^k}}\right)}\\& \le &C_4M_0^{\prod\limits_{k=1}^j\frac{r_0^{2^k}-3m_2}{{r_0}^{2^k}}}+C_5M_0^{\prod\limits_{k=1}^j\frac{r_0^{2^k}-1}{{r_0}^{2^k}}}.\end{eqnarray*}$

接下来证明$S_1=\prod\limits_{k=1}^\infty\frac{{r_0}^{2^k}-3m_2}{{r_0}^{2^k}}>0$, $S_2=\prod\limits_{k=1}^\infty\frac{{r_0}^{2^k}-1}{{r_0}^{2^k}}>0$.注意到$\ln\frac{1}{S_1}=\sum\limits_{k=1}^\infty\ln\left(\frac{{r_0}^{2^k}}{{r_0}^{2^k}-3m_2}\right)$, $\ln\frac{1}{S_2}=\sum\limits_{k=1}^\infty\ln\left(1+\frac{1}{{r_0}^{2^k}-1}\right)$,显然, $\sum\limits_{k=1}^\infty\ln\left(1+\frac{3m_2}{{r_0}^{2^k}-3m_2}\right)$和$\sum\limits_{k=1}^\infty\ln\left(1+\frac{1}{{r_0}^{2^k}-1}\right)$收敛,这意味着$S_1, S_2>0$.那么

$M_j\leq C_4M_0^{S_1}+C_5M_0^{S_2}, \ \forall j\ge 1.$

令$j\rightarrow\infty$,我们有

$\sup\limits_{t>T}\|\eta v(x, t)\|_{L^\infty}\leq C_4\sup\limits_{t>T}\|\eta v(x, t)\|_{L^{4m_2}}^{S_1}+C_5\sup\limits_{t>T}\|\eta v(x, t)\|_{L^{4m_2}}^{S_2}, $

证毕.

引理5.8   假设$\lambda>F_0(\bar{u})$,并且令$(u, w, v)\in{\cal X}_1\times{\cal X}_2\times{\cal X}_3$是模型(1.1)的一个解.那么

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\tilde a(t)=k\left(1-\frac{F_0(\bar{u})}{\lambda}\right), $

(5.27) $\begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega|v(x, t)-A_2k|^2{\rm d}x=0.\end{equation}$

证  我们首先证明

(5.28) $\begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\tilde a(t)\neq0. \end{equation}$

另一方面,根据引理5.7,我们有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty}=0.$

那么存在$T>0$,使得对任意的$t>T$,在$\Omega$上处处有$v\leq\frac{A_2k}{2}$,那么(5.9)式两端同时乘以$\frac{1}{v}$,然后在$\Omega$上积分,对任意的$t>T$,我们有

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\ln v{\rm d}x&=&m_2\int_\Omega v^{m_2-3}|\nabla v|^2+\int_\Omega\lambda\left(A_2-\frac{v}{k}\right){\rm d}x+\int_\Omega (F_0(\bar{u})-F_0(u)){\rm d}x \\ & \ge &m_2\int_\Omega v^{m_2-3}|\nabla v|^2+\int_\Omega\lambda\left(A_2-\frac{v}{k}\right){\rm d}x-C\int_\Omega |u-\bar{u}|{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

这意味着当$t\rightarrow\infty$时

$\int_\Omega \ln v{\rm d}x\geq \int_\Omega \ln v(T){\rm d}x+\lambda\int_T^t\int_\Omega\left(A_2-\frac{v}{k}\right){\rm d}x{\rm d}s -C\int_T^t\int_\Omega |u-\bar{u}|{\rm d}x{\rm d}s\rightarrow\infty. $

根据Jensen's不等式,我们发现当$t\rightarrow\infty$时

$\int_\Omega v{\rm d}x\geq e^{\int_\Omega\ln v{\rm d}x}\rightarrow +\infty.$

与前面矛盾.因此,我们有(5.28)式.接下来,我们证明

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\tilde a(t)=A_2k.$

假设相反,根据(5.28)式和引理5.6,存在两个序列$\{t_j^{(1)}\}_j$和$\{t_j^{(2)}\}_j$满足当$j\rightarrow\infty$时$t_j^{(1)}$, $t_j^{(2)}\rightarrow\infty$,使得

(5.29) $ \begin{equation}\label{5-31} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\tilde a(t_j^{(1)})=0, \ \ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\tilde a(t_j^{(2)})=A_2k, \end{equation} $

由于$\tilde a(t)$是有界的.注意到

$ |\tilde a'(t)|=\frac{1}{|\Omega|}\left|\int_\Omega\lambda\left(1-\frac{v}{k}\right)-\frac{F_0(u)}{\lambda}{\rm d}x\right|\leq C, $

这意味着$\tilde a(t)$是Lipschitz连续.那么根据(5.29)式和中值定理,那么存在$\{t_j^{(3)}\}_j$满足当$j\rightarrow\infty$时$t_j^{(3)}\rightarrow\infty$,使得

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\tilde a(t_j^{(3)})=\frac{A_2k}{2}.$

这与引理5.6矛盾.因此(5.27)式是引理5.6的一个直接推论.证毕.

定理1.3的证明  如果$p<2$,那么

$\|v(\cdot, t)-A_2k\|_{L^p}\leq\ C\|v(\cdot, t)-A_2k\|_{L^2}\rightarrow 0. $

注意到对任意的$p\ge 2$有

$\|v(\cdot, t)-A_2k\|_{L^p}\leq\|v(\cdot, t)-A_2k\|_{L^2}^\frac{2}{p}\|v(\cdot, t)-A_2k\|_{L^\infty}^\frac{p-2}{p}, $

并且利用引理5.1,引理5.2和引理5.8,我们完成了定理1.3的证明.