Doelman等在文献[1]中提出如下空间变量为一维且空间区域为无界区域的广义Gierer-Meinhardt(G-M)方程

(1.1) $\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{l}U_{t}=d_{u}U_{xx}+a_{11}U+a_{12}V+H_{1}(U, V), \\V_{t}=d_{v}V_{xx}+a_{21}U+a_{22}V+H_{2}(U, V), \\\end{array}} \right.\end{equation}$

这里$t$和$x$分别为时间和空间变量, $U=U(t, x)$和$V=V(t, x)$为状态变量, $d_{u}$和$d_{v}$为扩散系数, $a_{ij}\, (i, j=1, 2)$为常数.在$d_{v}\ll d_{u}$等若干假设条件下, Doelman等^[1]通过rescalling等技巧,将系统(1.1)化为如下奇异摄动反应-扩散系统的形式

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ {\begin{array}{l} U_{t}=U_{xx}-\varepsilon^{2}\mu U+U^{\alpha_{1}}V^{\beta_{1}}(h_{1}+\varepsilon^{\lambda}H_{1}(U, V;\varepsilon)), \\ V_{t}=\varepsilon^{2}V_{xx}-V+U^{\alpha_{2}}V^{\beta_{2}}(h_{1}+\varepsilon^{\lambda}H_{1}(U, V;\varepsilon)), \\ \end{array}} \right. \end{equation} $

这里$0 < \varepsilon=\sqrt{d_{v}/d_{u}}\ll1$, $\lambda>0$为常数.显然,上述的广义G-M方程是经典的G-M方程的推广.实际上,当系统(1.2)的参数和非线性项分别为下面的特殊情形时

$\alpha_{1}=0, ~\alpha_{2}=-1, ~\beta_{1}=\beta_{2}=2, ~h_{1}=h_{2}=1$

以及

$H_{1}(U, V; \varepsilon)=H_{2}(U, V; \varepsilon)=0, $

系统(1.2)退化为如下经典的G-M系统

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ {\begin{array}{l} U_{t}=U_{xx}-\varepsilon^{2}\mu U+V^{2}, \\ V_{t}=\varepsilon^{2}V_{xx}-V+U^{-1}V^{2}. \end{array}} \right. \end{equation} $

经典G-M方程(1.3)和广义G-M方程(1.2)(即等价于系统(1.1))均为非线性奇异摄动偏微分系统,它们在生物、化学、物理等领域都具有广泛的应用,至今已有许多的工作,见文献[1-6]等.

Doelman等^[1]基于几何奇异摄动理论^[7-8],通过Melnikov函数建立(定义)所谓的Take-off曲线和Touch-down曲线并控制它们分别与整个系统的鞍点的不稳定和稳定流形横截相交,研究了广义G-M方程(1.2)多脉冲行波解的存在性和稳定性及其对应的参数条件.实际上,研究广义G-M方程(1.2)的行波解问题,等价于研究如下四维奇摄动系统同异宿于鞍点(即坐标原点)的同宿轨道的存在性和稳定性问题

(1.4) $\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{l}\dot{u}=\varepsilon p, \\\dot{p}=\varepsilon[-h_{1}u^{\alpha_{1}}v^{\beta_{1}}-\varepsilon^{\lambda}u^{\alpha_{1}}v^{\beta_{1}}H_{1}(u, v;\varepsilon)]+\varepsilon^{3}\mu u, \\\dot{v}=q, \\\dot{q}=v-h_{2}u^{\alpha_{2}}v^{\beta_{2}}-\varepsilon^{\lambda}u^{\alpha_{2}}v^{\beta_{2}}H_{2}(u, v;\varepsilon). \end{array}} \right.\end{equation}$

我们称方程(1.4)为快系统,其中$v$和$q$是快变量,而$u$和$p$是慢变量.

三维及以上相空间中的同宿轨道的存在性和稳定性问题,是动力系统领域的困难问题之一.几何奇异摄动理论的快慢分解和降维的思想,或提供了处理上述问题的思路之一.因此, Doelman等^[1]引入如下与(1.4)等价的慢系统

(1.5) $\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{l}u'=p, \\p'=-h_{1}u^{\alpha_{1}}v^{\beta_{1}}-\varepsilon^{\lambda}u^{\alpha_{1}}v^{\beta_{1}}H_{1}(u, v;\varepsilon)+\varepsilon^{2}\mu u, \\\varepsilon v'=q, \\\varepsilon q'=v-h_{2}u^{\alpha_{2}}v^{\beta_{2}}-\varepsilon^{\lambda}u^{\alpha_{2}}v^{\beta_{2}}H_{2}(u, v; \varepsilon), \\ \end{array}} \right.\end{equation} $

其中, $S(0, 0, 0, 0)$是系统(1.4)/(1.5)的鞍点.

在系统(1.4)和(1.5)中令$\varepsilon=0$,可分别得到层系统

(1.6) $\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{l}\dot{u}=0, \\\dot{p}=0, \\\dot{v}=q, \\\dot{q}=v-h_{2}u^{\alpha_{2}}v^{\beta_{2}} \\ \end{array}} \right.\end{equation}$

和退化系统

(1.7) $\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{l}u'=p, \\p'=-h_{1}u^{\alpha_{1}}v^{\beta_{1}}, \\q=0, \\v-h_{2}u^{\alpha_{2}}v^{\beta_{2}}=0, \\ \end{array}} \right.\end{equation}$

其中退化系统(1.7)的动力学被限制在由

$M_{1}=\{(u, p, v, q): v=q=0, u>0\}$

和

$M_{2}=\{(u, p, v, q): q=0, 1-h_{2}u^{\alpha_{2}}v^{\beta_{2}-1}=0, u>0\}$

所组成的二维临界流形上.显然,上述的二维临界流形上的所有点,都是层系统的平衡点. Doelman等^[1]证明:当G-M方程(1.2)的参数及非线性项满足一定的条件时,系统(1.2)具有同宿于鞍点$S(0, 0, 0, 0)$的$N$ -脉冲同宿轨道,只要如下的代数式关于$u$具有非退化零点

(1.8) $\begin{equation}\frac{N}{2}h_1h_2^{-\frac{\beta_1}{\beta_2-1}}u^{1+\frac{D}{\beta_2-1}}W(\beta_1, \beta_2)=\sqrt{\mu}u, \end{equation} $

这里$N$为行波解产生脉冲的总次数(即流经过快场的总次数), $h_i (i=1, 2)$、$\beta_i (i=1, 2)$、$D$和$\mu$均为G-M方程(1.2)的参数(具体见文献[1]),函数

(1.9) $\begin{equation}W(\beta_1, \beta_2)=\int_{-\infty}^{+\infty}(w(t, \beta_2))^{\beta_1}{\rm d}t\end{equation}$

与Melnikov积分相关,其中$w(t, \beta_2)$代表如下二阶非线性保守系统的同宿轨道的显式表达式

(1.10) $\begin{equation}\ddot{w}=w-w^{\beta_2}, \end{equation}$

这里$\beta_2>1$.

图 1以3 -脉冲情形为例,给出了系统(1.4)/(1.5)的奇异脉冲同宿轨道的示意图.图中标有双箭头的黑色轨道段代表的是奇异同宿轨道的快运动部分(这部分的轨道盘旋经过快场3次,故称为3 -脉冲同宿轨道),单箭头蓝色部分代表同宿轨道的两段慢的运动段,它们是二维临界流形$M_1$上随正负时间进入鞍点的稳定和不稳定流形; 图 1中也标出了Take-off曲线和Touch-down曲线(它们由Melnikov积分得到)以及从奇异3 -脉冲同宿轨道扰动产生的系统(1.2)的3 -脉冲同宿轨道(红色部分).

然而,文献[1]中并没有给出Melnikov积分的计算结果,即没有给出(1.8)式的计算结果和过程.因此,本文的目的有两个:首先,利用初等积分法,给出推导获得二阶非线性保守系统(1.10)的同宿轨道的显式表达式$w(t, \beta_2)$的初等方法;接着,将$w(t, \beta_2)$代入Melnikov积分(1.9)并给出计算结果,从而得到广义G-M方程(1.2)存在$N$-脉冲同宿轨道的更为精细的参数条件(即将条件(1.8)明确化).

本文结构安排如下:第2节首先给出获得方程(1.9)同宿轨道显式表达式$w(t, \beta_2)$的初等方法;接着,将$w(t, \beta_2)$代入(1.9)计算Melnikov积分,从而获得广义G-M方程$N$-脉冲同宿解存在的精细条件;第3节以附录的形式,给出获得$w(t, \beta_2)$的初等积分过程和Melnikov积分(1.9)的计算过程.

本节研究一类具有高次非线性的二阶保守系统(1.10)同宿轨道的显式表示问题.实际上,上述的二阶非线性方程等价于如下平面系统

(2.1) $\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{l}\dot{w}_{1}=w_{2}, \\\dot{w}_{2}=w_{1}-w_{1}^{\beta_{2}}. \\ \end{array}} \right.\end{equation}$

显然,对于系统(2.1), $\beta_{2}$的奇偶性会影响系统平衡点的个数和全局行为.当$\beta_{2}$为奇数时,系统(2.1)的平衡点为$A_{1}(-1, 0)$, $A_{2}(0, 0)$, $A_{3}(1, 0)$,其中$A_{1}$, $A_{3}$为系统(2.1)的中心,而$A_{2}$为系统(2.1)的鞍点,此时系统(2.2)的全局相图见图 2;当$\beta_{2}$为偶数时,系统(2.1)的平衡点为$B_{1}(0, 0)$, $B_{2}(1, 0)$,其中$B_{2}$为系统(2.1)的中心,而$B_{1}$为系统(2.1)的鞍点,此时系统的全局相图如图 3所示.当$\beta_{2}>1$时,系统(2.1)总存在同宿轨道;该同宿轨经参化,即为层系统(1.6)的三维同宿流形.

对方程(1.10)积分一次,可得

(2.2) $\begin{equation}(\dot{w})^{2}-w^{2}+\frac{2}{\beta_{2}+1}w^{\beta_{2}+1}=h, \end{equation}$

这里$h$表示Hamilton量.显然,当$h=0$时, (2.2)式定义了系统(2.1)相平面上的同宿轨道.根据(2.2)式,同宿轨道具有对称性.因此,可设${\rm d}w/{\rm d}t>0, $$w>0$ (其他情况基于对称性可得),所以从(2.2)式可得

(2.3) $\begin{equation}\frac{{\rm d}w}{ \left(w^{2}-\frac{2}{\beta_{2}+1}w^{\beta_{2}+1}\right)^{\frac{1}{2}}}={\rm d}t.\end{equation}$

经对式(2.3)进行积分计算可得:不管$\beta_2$的奇偶性,同宿轨道的显式表达式可以统一为

$w=\left(\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}(c-t)}+\frac{1}{\beta_{2}+1}{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}(t-c)}\right)^{\frac{2}{1-\beta_{2}}}, $

其中$c$为积分常数,详细的初等积分过程见附录3.1.记同宿轨道与正$x$ -轴的交点为$A$点并设其为初始点,即

$(t_0, w(t_0))=\left(0, \left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{\frac{1}{\beta_{2}-1}}\right), $

从而

$\left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{\frac{1}{\beta_{2}-1}}=\left(\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}c}+\frac{1}{\beta_{2}+1}{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}(-c)}\right)^{\frac{2}{1-\beta_{2}}}, $

即

$\left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}c}+\frac{1}{\beta_{2}+1}{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}(-c)}.$

记$x={\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}c}$, $b=\left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{\frac{-1}{2}}$,可得

$b=\frac{1}{2}x+\frac{b^{2}}{2}x^{-1}.$

可以发现: $x=b$为上述方程的解,则${\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}c}=b$,所以同宿轨道的显示表达式为

$w=\left({\frac{1}{2}b{\rm e}^{-\frac{\beta_{2}-1}{2}t}+\frac{1}{\beta_{2}+1}b^{-1}{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}t}}\right)^{\frac{2}{1-\beta_{2}}}.$

对上式进行化简可得

$w(t, \beta_{2})=\left(\frac{2b^{-1}}{{\rm e}^{-\frac{\beta_{2}-1}{2}t}+{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}t}}\right)^{\frac{2}{\beta_{2}-1}}=\left(\frac{\beta_2+1}{2}\right)^{\frac{1}{\beta_2-1}}\left({\rm sech}(\frac{\beta_2-1}{2}t)\right)^{\frac{2}{\beta_2-1}}.$

定理2.1  若$\beta_{2}>1$,那么方程(1.9)的同宿轨道的显式表达式为

$w(t, \beta_{2})=\left(\frac{\beta_2+1}{2}\right)^{\frac{1}{\beta_2-1}}\left({\rm sech}(\frac{\beta_2-1}{2}t)\right)^{\frac{2}{\beta_2-1}}, $

其详细推导的初等积分过程见附录3.1.

根据Doelman等的论文[1], Melinkov函数与如下的广义积分有关

(2.4) $\begin{equation}W(\beta_{1}, \beta_{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(w(t;\beta_{2})\right)^{\beta_{1}}{\rm d}t.\end{equation}$

然而, Doelman等^[1]并没有给出上述积分的计算过程和结果.接下来,基于第2.1节关于同宿轨道的显式表达式$w(t, \beta_{2})$,我们将其代入(2.4)式得

(2.5) $\begin{eqnarray}W(\beta_{1}, \beta_{2})&=&\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{2{\rm e}^{\frac{\beta_{2}-1}{2}t}b^{-1}}{1+{\rm e}^{(\beta_{2}-1)t}}\right)^{\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}}{\rm d}t\\&=&\left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{\frac{\beta_{1}}{\beta_{2}-1}}\int_{-\infty}^{+\infty}\left({\rm sech}(\frac{\beta_2-1}{2}t)\right)^{\frac{2\beta_{1}}{\beta_2-1}}{\rm d}t\\&=&\left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{\frac{\beta_{1}}{\beta_{2}-1}}I, \end{eqnarray}$

其中

(2.6) $\begin{equation}I=\left\{\begin{array}{l} \frac{4}{\beta_{2}-1}\frac{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-2)!!}{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-1)!!}, \quad \frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}=2n, \\ \frac{4}{\beta_{2}-1}\frac{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-2)!!}{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-1)!!}\frac{\pi}{2}, \quad \frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}=2n+1, \\ \end{array}\right.n=1, 2, 3\cdots. \end{equation}$

上述结果的详细推导过程见附录3.2.综上,我们有如下结论.

定理2.2  设G-M方程(1.2)具有与Doelman等^[1]相同的参数及非线性项等条件, $\beta_{2}>1$且$2\beta_{1}/(\beta_{2}-1)$为正整数时,若下述代数式关于$u$具有非退化根

(2.7) $\begin{equation}\frac{N}{2}h_1h_2^{-\frac{\beta_1}{\beta_2-1}}u^{1+\frac{D}{\beta_2-1}}\left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{\frac{\beta_{1}}{\beta_{2}-1}}I=\sqrt{\mu}u, \end{equation}$

那么, G-M方程(1.2)具有$N$-脉冲同宿解,其中$I$如(2.6)式所示.

注2.1  比较本文得到的(2.7)式与Doelman等^[1]的(1.8)式,显然本文得到的结果更为精细.因而,基于本文的结果,关于流的快慢切换的位置能被更为精确地确定.

上述已指出:但Hamilton量$h=0$时,此时的水平集为同宿轨道,即

$(\dot{w})^{2}=w^{2}-\frac{2}{\beta+1}w^{\beta+1}.$

为简单,先考虑$\beta=2$.根据对称性有

$\frac{{\rm d}w}{{\rm d}t}=w\left(1-\frac{2}{3}w\right)^{\frac{1}{2}}.$

令$ u=\frac{1}{w}$时,则d$w=\frac{-1}{u^{2}}{\rm d}u$,从而

$\frac{-2{\rm d}u^{\frac{1}{2}}}{\left(u-\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}={\rm d}t, $

因而

$t+2{\rm ln}\left|u^{\frac{1}{2}}+\left(u-\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c.$

当$\beta=3$时,我们有

$\frac{{\rm d}w}{{\rm d}t}=w\left(1-\frac{1}{2}w^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.$

令$u=\frac{1}{w}$时,则${\rm d}w=\frac{-1}{u^{2}}{\rm d}u$,从而

$\frac{-{\rm d}u}{\left(u^{2}-\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}={\rm d}t, $

因而

$t+{\rm ln}\left|u+\left(u^{2}-\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c.$

一般地,当$\beta=2n$时,我们有

$\frac{{\rm d}w}{{\rm d}t}=w(1-\frac{2}{2n+1}w^{2n-1})^{\frac{1}{2}}.$

令$u=\frac{1}{w}$时,则${\rm d}w=\frac{-1}{u^{2}}{\rm d}u$,因此

$\frac{-\frac{2}{2n-1}{\rm d}(u^{\frac{2n-1}{2}})}{\left(\displaystyle u^{2n-1}-\frac{2}{2n+1}\right)^{\frac{1}{2}}}={\rm d}t, $

从而

$t+\frac{2}{2n-1}{\rm ln}\left|u^{\frac{2n-1}{2}}+\left(u^{2n-1}-\frac{2}{2n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c.$

当$\beta=2n+1$时,有

$\frac{{\rm d}w}{{\rm d}t}=w\left(1-\frac{1}{n+1}w^{2n}\right)^{\frac{1}{2}}, $

令$u=\frac{1}{w}$时,则d$w=\frac{-1}{u^{2}}{\rm d}u$,从而

$\frac{-\frac{1}{n}{\rm d}(u^n)}{\left(\displaystyle u^{2n}-\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{1}{2}}}={\rm d}t, $

因此

$t+\frac{1}{n}{\rm ln}\left|u^{n}+\left(\displaystyle u^{2n}-\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c.$

综上有

$\left\{ {\begin{array}{l} t+\frac{2}{2n-1}{\rm ln}\left|u^{\frac{2n-1}{2}}+\left(u^{2n-1}-\frac{2}{2n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c, ~~\beta=2n, \\ t+\frac{1}{n}{\rm ln}\left|u^{n}+\left(\displaystyle u^{2n}-\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c, ~\beta=2n+1.\\ \end{array}} \right.n=1, 2, 3\cdots.$

我们进一步化简,当$\beta=2n$时,有

$\frac{2}{2n-1}{\rm ln}\left|u^{\frac{2n-1}{2}}+\left(u^{2n-1}-\frac{2}{2n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c-t, $

即

$\left|u^{\frac{2n-1}{2}}+\left(u^{2n-1}-\frac{2}{2n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|={\rm e}^{\frac{2n-1}{2}(t-c)}, $

所以

$u=\left(\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{2n-1}{2}(c-t)}+\frac{1}{2n+1}{\rm e}^{\frac{2n-1}{2}(t-c)}\right)^{\frac{2}{2n-1}}.$

又$u=\frac{1}{w}$,所以

$w=\left(\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{\beta-1}{2}(c-t)}+\frac{1}{\beta+1}{\rm e}^{\frac{\beta-1}{2}(t-c)}\right)^{\frac{2}{1-\beta}}.$

当$\beta=2n+1$时,有

$\frac{1}{n}{\rm ln}\left|u^{n}+\left(u^{2n}-\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|=c-t, $

即

$\left|u^{n}+\left(u^{2n}-\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{1}{2}}\right|={\rm e}^{n(t-c)}, $

因而

$u=\left(\frac{1}{2}{\rm e}^{n(c-t)}+\frac{1}{2(n+1)}{\rm e}^{n(t-c)}\right)^{\frac{1}{n}}.$

又$u=\frac{1}{w}$,所以

$w=\left(\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{\beta-1}{2}(c-t)}+\frac{1}{\beta+1}{\rm e}^{\frac{\beta-1}{2}(t-c)}\right)^{\frac{2}{1-\beta}}.$

综上,同宿轨道的显式表达式为

$w=\left(\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{\beta-1}{2}(c-t)}+\frac{1}{\beta+1}{\rm e}^{\frac{\beta-1}{2}(t-c)}\right)^{\frac{2}{1-\beta}}.$

接下来,通过初始条件确定积分常数$c$后,即得定理2.1之结果.

记

$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{2{\rm e}^{\alpha t}}{1+{\rm e}^{2 \alpha t}}\right)^{k}{\rm d}t, $

其中

$\alpha=\frac{\beta_{2}-1}{2}, ~~k=\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}, $

那么

$I=\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{2}{{\rm e}^{- \alpha t}+{\rm e}^{ \alpha t}}\right)^{k}{\rm d}(\alpha t).$

令$p=\alpha t$,则

$I=\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{+\infty}\left({\rm sech}p\right)^{k}{\rm d}p.$

又

${\rm sech}^{2}p=1-\tanh^{2}p, {\rm d} \tanh p={\rm sech}^{2}p{\rm d}x, $

从而

$I=\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(1-\tanh^{2}p\right)^{\frac{k-2}{2}}{\rm d} \tanh p.$

进一步地,令$u=\tanh p$,那么,

$I=\frac{1}{\alpha}\int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{\frac{k-2}{2}}{\rm d}u.$

当$k\geq2$且为整数时,我们有

$I=\frac{1}{\alpha}\int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{\frac{k-2}{2}}{\rm d}u=\frac{2}{\alpha}\int_{0}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{\frac{k-2}{2}}{\rm d}u.$

考虑如下积分

$a_{m}=\int_{0}^{1}\left(1-\theta^{2}\right)^{m}{\rm d}\theta.$

令$\theta=\sin\gamma$,从而

$a_{m}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos\gamma\right)^{2m+1}{\rm d}\gamma.$

由分部积分,当$m=0, 1, 2, 3, \cdots$时

$\begin{eqnarray*}a_{m}&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos\gamma\right)^{2m+1}{\rm d}\gamma=\frac{2m}{2m+1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\gamma^{2m-1}{\rm d}\gamma=\cdots\\&=&\frac{2m}{2m+1}\frac{2m-2}{2m-11}\cdots\frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\gamma {\rm d}\gamma=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}.\end{eqnarray*}$

当$m=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \cdots$时

$\begin{eqnarray*}a_{m}&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos\gamma\right)^{2m+1}{\rm d}\gamma=\frac{2m}{2m+1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\gamma^{2m-1}{\rm d}\gamma=\cdots\\&=&\frac{2m}{2m+1}\frac{2m-2}{2m-11}\cdots\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{0}\gamma {\rm d}\gamma=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}\frac{\pi}{2}. \end{eqnarray*}$

综上

$I=\frac{2}{\alpha}a_{m}=\frac{4}{\beta_{2}-1}a_{\frac{k-2}{2}}.$

利用上面结果可以计算出

$I=\left\{\begin{array}{l} \frac{4}{\beta_{2}-1}\frac{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-2)!!}{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-1)!!}, ~\frac{\beta_{1}}{\beta_{2}-1}=n, \\ \frac{4}{\beta_{2}-1}\frac{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-2)!!}{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-1)!!}\frac{\pi}{2}, ~\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}=2n+1.\\ \end{array}\right.n=1, 2, 3\cdots.$

因为Melnikov积分为

$W(\beta_{1}, \beta_{2})=\left(\frac{\beta_{2}+1}{2}\right)^{\frac{\beta_{1}}{\beta_{2}-1}}I, $

其中

$I=\left\{\begin{array}{l} \frac{4}{\beta_{2}-1}\frac{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-2)!!}{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-1)!!}, ~~~\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}=2n, \\ \frac{4}{\beta_{2}-1}\frac{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-2)!!}{(\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}-1)!!}\frac{\pi}{2}, ~~~\frac{2\beta_{1}}{\beta_{2}-1}=2n+1.\\ \end{array}\right.n=1, 2, 3\cdots.$