近几十年来,分数阶微分(发展)方程在工程、化学、物理和金融等领域得到成功应用.因而,大量科研人员正关注分数阶微分方程的研究并获得了丰硕成果,具体内容参见文献[1-9]及其参考文献.文献[10-11]中,作者研究了分数阶积分-微分系统的可控性.文献[12-13]中,作者研究了整数阶混合型常微分方程解的存在理论.而在文献[5, 7, 9, 14-17],作者研究了分数阶发展方程解的存在性.其中文献[7, 9, 15-17]研究的分数阶微分方程的阶数$\beta\in(0, 1]$,而文献[5, 14]研究的分数阶微分方程的阶数$\beta\in(1, 2]$.

然而,根据我们的了解,混合型分数阶积分-微分方程温和解的存在性还没有人研究.本文,我们研究如下的混合型分数阶积分-微分方程

(1.1) $^{c}D_{t}^{\beta}u(t)=A(t)u(t)+f(t, u(t), {\cal G}u(t), {\cal S}u(t)), \ t\in J , $

(1.2) $u(0)+g(u)=u_0, $

这里, ${}^{c}D_{t}^{\beta}$是$\beta$阶Caputo分数阶导数($\beta\in(0, 1]$), $J=[0, T_0]\ (T_0>0)$, $A(t)$是定义在Banach空间$E$上的闭线性算子,并且$A(t)$依赖于$t$. $u_0\in E$,函数$f, g$在后面具体给出,算子${\cal G}$和${\cal S}$定义如下

${\cal G}u(t)=\int_{0}^tk(t, s, u(s)){\rm d}s, \ \ {\cal S}u(t)=\int_{0}^{T_0}h(t, s, u(s)){\rm d}s, $

这里$k:D\times E\rightarrow E, h:D_0\times E\rightarrow E$是合适的函数. $D=\{(t, s)\in \mathbb{R} ^2:0\leq s\leq t\leq T_0\}, $$D_0=\{(t, s)\in \mathbb{R} ^2:0\leq t, s\leq T_0\}.$由于算子${\cal G}$是定义在区间[0, t]上的变上限积分,而算子${\cal S}$是定义在固定区间$[0, T_0]$上的积分,因此,我们称方程(1.1)是混合型分数阶积分-微分方程.

如果$\beta=1$并且算子$A(t)=0$,则方程(1.1)就变成文献[12-13]中作者研究的整数阶混合型常微分方程.也就是说,文献[12-13]中作者研究的方程是本文的特例.众所周知,利用$k$ -集压缩证明解的存在性时需要附加条件保证压缩系数$0 < k < 1$,文献[7, 16-17]就用了$k$ -集压缩原理证明了解的存在性.本文中,我们成功克服了这一限制条件,不需要附件条件来保证压缩系数$0 < k < 1$.另外,上述提到的文献中的线性算子$A$大部分是不依赖于$t$的,而本文中的线性算子$A(t)$依赖于$t$.因此,我们在更一般的条件下得到了问题(1.1)-(1.2)温和解的存在性.我们的结果推广和改进了前人的一些经典结论.

用$\alpha$表示非紧性测度, $(E, \|\cdot\|)$是一个Banach空间. $C[J, E]=\{u:J\rightarrow E$连续$\}$是一个Banach空间,具有范数$\|u\|_C=\max \{\|u(t)\|:t\in J\}$.对任意的$B\subset C[J, E], t\in J, $记$B(t)=\{u(t):u\in B\}.$对任意实数$R>0, $$B_R=\{u\in C[J, E]: \|u\|_C\leq R\}$, $T_R=\{x\in E:\|x\|\leq R\}$, $B(E)$表示Banach空间$E$上的有界线性算子的集合.

定义2.1^[18-19]  设$A(t):D(A)\subset E$是一个闭线性算子, $\beta>0$, $\rho[A(t)]$是$A(t)$的预解集,如果存在$\omega\geq 0$和一个强连续函数$U_\beta:\mathbb{R} _+^2\rightarrow B(E)$使得$\{\lambda^\beta:$ Re $\lambda >\omega\}\subset \rho (A)$和

$(\lambda^\beta I-A(s))^{-1}u=\int_0^\infty {\rm e}^{-\lambda (t-s)}U_\beta(t, s)u{\rm d}t, \ \ \ {\rm Re}(\lambda)>\omega, u\in E$

成立,我们称$A(t)$生成一个$\beta$ -预解族.这里, $U_\beta(t, s)$称为由$A(t)$生成的$\beta$ -预解族.

引理2.1^[13]  $F$是Banach空间$E$的一个凸闭子集,算子${\cal A}:F\rightarrow F$连续且${\cal A}(F)$有界.对任意的有界子集$D\subset F$,记

(2.1) $\widetilde{{\cal A}}^1(D)={\cal A}(D), \ \ \ \ \widetilde{{\cal A}}^n(D)={\cal A}(\overline{Co}(\widetilde{{\cal A}}^{n-1}(D))), \ \ \ n=2, 3, \cdot\cdot\cdot.$

若存在一个实数$0\leq k < 1$和一个正整数$n_0$,使对所有的有界子集$D\subset F$,都有

(2.2) $\alpha(\widetilde{{\cal A}}^{n_0}(D))\leq k\alpha(D) $

成立,则${\cal A}$在$F$中存在一个不动点.

引理2.2^{[13, 22]}  $D\subset C[J, E]$有界且等度连续,则$\overline{Co}D \subset C[J, E]$有界且等度连续, $m(t)=\alpha(D(t))$在$J$上也连续且有

(2.3) $\alpha\left(\int_JD(s){\rm d}s\right)\leq \int_J\alpha(D(s)){\rm d}s.$

引理2.3^[22]  如果函数$g : J\times T_R\times T_R\to E$有界且一致连续, $D \subset C[J, E]$有界且等度连续,那么$\{g(t, u(t), u(t)): u\in D\}$在$C[J, E]$上有界且等度连续.

引理2.4^[23]  设常数$0 < \varrho < 1, \gamma>0$.记

$S=\varrho^n+C_n^1\varrho^{n-1}\gamma+\frac{C_n^2\varrho^{n-2}\gamma^2}{2!} +\cdot\cdot\cdot+\frac{\gamma^n}{n!}, \ \ n\in {\Bbb N}, $

则对固定的常数$0 < \xi < 1$和任意常数$s>1$,有

$S\leq O\left(\frac{\xi^n}{\sqrt{n}}\right)+o\left(\frac{1}{n^s}\right)=o\left(\frac{1}{n^s}\right), \ \ n\rightarrow +\infty.$

定义2.2  如果$u\in C[J, E]$满足下面的方程

(2.4) $u(t)=U_\beta(t, 0)(u_0-g(u))+\int_0^tU_\beta(t, s)f(s, u(s), {\cal G}u(s), {\cal S}u(s)){\rm d}s, \ \ t\in J, $

则$u(t)$是问题(1.1)-(1.2)的温和解.

定义算子${\cal Q}:C[J, E]\rightarrow C[J, E]$如下

(3.1) $\begin{equation}{\cal Q}u(t)=U_\beta(t, 0)(u_0-g(u))+\int_0^tU_\beta(t, s)f(s, u(s), {\cal G}u(s), {\cal S}u(s)){\rm d}s.\end{equation}$

定理3.1  假设下列条件成立.

(H$_1)$$f:J\times E\times E\times E\rightarrow E$,存在非负Lebesgue可积函数$L_i\in L(J, \mathbb{R} _+)(i=1, 2, 3)$,使对所有的$u, v \in E $和$t\in J$,都有

$\|f(t, u_1, u_2, u_3)-f(t, v_1, v_2, v_3)\|\leq L_1(t)\|u_1-v_1\|+L_2(t)\|u_2-v_2\|+L_3(t)\|u_3-v_3\|.$

(H$_2)$$k:J\times J\times E\rightarrow E$,存在非负Lebesgue可积函数$L_4\in L(J, \mathbb{R} _+)$,使对所有的$u, v \in E $和$t\in J$,都有

$ \|k(t, s, u)-k(t, s, v)\|\leq L_4(t)\|u-v\|. $

(H$_3)$$h:J\times J\times E\rightarrow E$,存在非负Lebesgue可积函数$L_5\in L(J, \mathbb{R} _+)$,使对所有的$u, v \in E $和$t\in J$,都有

$ \|h(t, s, u)-h(t, s, v)\|\leq L_5(t)\|u-v\|. $

(H$_4)$$g:C(J, E)\rightarrow E$,存在非负常数$N$,使对所有的$u, v \in C(J, E) $和$t\in J$,都有

$\|g(u)-g(v)\|\leq N\|u-v\|_C.$

(H$_5)$$M^*\left(N+\int_{0}^{T_0} L_1(s){\rm d}s+\int_{0}^{T_0}\left(L_2(s)\int_{0}^{T_0}L_4(\tau){\rm d}\tau \right){\rm d}s+\int_{0}^{T_0}L_3(s)\int_{0}^{T_0}L_5(\tau){\rm d}\tau {\rm d}s\right) < 1, $这里$M^*=\max\limits_{0\leq s < t\leq {T_0}}\|U_\beta(t, s)\| < +\infty$.

那么问题(1.1)-(1.2)在$C[J, E]$上存在唯一温和解.

证  由(3.1)式,对所有的$t\in J, u, v \in C[J, E]$,我们有

$\begin{eqnarray*} &&\|({\cal Q}u)(t)-({\cal Q}v)(t)\|\\ &\leq &M^*\|g(u)-g(v)\|+M^*\int_0^t\|f(s, u(s), {\cal G}u(s), {\cal S}u(s))-f(s, v(s), {\cal G}v(s), {\cal S}v(s))\|{\rm d}s\\ &\leq& M^*N\|u-v\|_C+M^*\int_0^tL_1(s){\rm d}s\|u-v\|_C\\ &&+M^*\left(\int_0^t\left(L_2(s)\int_0^sL_4(\tau){\rm d}\tau \right){\rm d}s+\int_0^t\left(L_3(s)\int_0^{T_0}L_5(\tau)\right){\rm d}\tau {\rm d}s\right)\|u-v\|_C\\ &\leq& \left(M^*N+M^*\int_0^tL_1(s){\rm d}s+ M^*\int_0^tL_2(s)\int_0^sL_4(\tau){\rm d}\tau {\rm d}s\right.\\ &&\left.+M^*\int_0^tL_3(s)\int_0^{T_0}L_5(\tau){\rm d}\tau {\rm d}s\right)\|u-v\|_C. \end{eqnarray*} $

根据(H$_5)$,算子${\cal Q}$是压缩映像.因此,算子${\cal Q}$存在唯一不动点$u^*\in C[J, E]$,从而问题(1.1)-(1.2)存在唯一温和解.

定理3.2  假设下列条件成立.

(H$_6)$$f:J\times T_R\times T_R\times T_R\rightarrow E$有界且一致连续,

(3.2) $\begin{equation}\limsup\limits_{R\rightarrow\infty}\frac{M(R)}{R}<\frac{1}{a_0T_0M^*} , \end{equation}$

这里$M(R)=\sup\{\|f(t, u_1, u_2, , u_3)\|:(t, u_1, u_2, , u_3)\in J\times T_R^3\}$, $ k_0=\max\{|k(t, s)|:(t, s)\in D\}, $$ h_0=\max \{|h(t, s)|:(t, s)\in D_0\}, a_0=\max \{1, T_0h_0, T_0k_0\}$.

(H$_7)$存在非负Lebesgue可积函数$L_i\in L(J, \mathbb{R} _+)(i=1, 2)$,对任意有界集$B\subset E $和$t\in J$,都有

$\alpha(f(t, B_1, B_2, B_3))\leq \sum\limits_{i=1}^2L_i(t)\alpha(B_i).$

(H$_8)$$g:C[J, E]\rightarrow E$是连续的紧函数, $\|g(u)\|\leq d\|u\|+e$,这里常数$d>0$, $e>0$.

那么问题(1.1)-(1.2)在$C[J, E]$存在一个温和解.

证  根据(H$_6)$知由(3.1)式定义的算子${\cal Q}:C[J, E]\rightarrow C[J, E]$有界且连续.由(3.2)式,取$\limsup\limits_{R\rightarrow\infty}\frac{M(R)}{R} < r < \frac{1}{a_0T_0M^*}$和$R_0>0$,对任意$R\geq a_0R_0$,都有

(3.3) $\begin{equation}M(R)<rR.\end{equation}$

记集合$R^*=\max\{R_0, M^*(\|u_0\|+d\|u\|+e)(1-a_0T_0rM^*)^{-1}\}$.对所有$u\in B_{R^*}=\{u\in C[J, E] :$$ \|u\|_C\leq R^*\}$,我们可得

$ \|u\|_C\leq R^*\leq a_0R^*, \ \ \ \|{\mathcal G}u\|_C\leq T_0k_0\|u\|_C\leq T_0k_0R^*\leq a_0R^*, \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|{\mathcal S}u\|_C\leq T_0h_0\|u\|_C\leq T_0h_0R^*\leq a_0R^*. $

根据(3.3)式,我们有

$\begin{eqnarray*}\|Fu\|_C&\leq& M^*\|u_0\|+M^*(d\|u\|+e)+M^*T_0M(a_0R^*)\\&\leq &M^*\|u_0\|+M^*(d\|u\|+e)+M^*T_0ra_0R^*\leq R^*.\end{eqnarray*}$

因此, ${\cal Q}:B_{R^*}\rightarrow B_{R^*}$是连续有界算子.

下面证明${\cal Q}(B_{R^*})$是等度连续的.对所有的$u\in B_{R^*}, t_1, t_2 \in J \ (t_1 < t_2)$,根据算子${\cal Q}$的定义和(3.3)式,可得

(3.4) $ \begin{eqnarray} \|({\cal Q}u)(t_2)-({\cal Q}u)(t_1)\|&\leq&\|(U_\beta(t_2, 0)-U_\beta(t_1, 0))(u_0-g(u))\|\\ &&+\int_{0}^{t_1}\|(U_\beta(t_2, s)-U_\beta(t_1, s))f(s, u(s), {\cal G}u(s), {\cal S}u(s))\|{\rm d}s\\ &&+\int_{t_1}^{t_2}\|U_\beta(t_2, s)f(s, u(s), {\cal G}u(s), {\cal S}u(s))\|{\rm d}s\\ &\leq& \|(U_\beta(t_2, 0)-U_\beta(t_1, 0))(u_0-g(u))\|\\& &+ M(a_0R^*)t_1\sup\limits_{s\in J}\|U_\beta(t_2, s)-U_\beta(t_1, s)\|+ M^*M(a_0R^*)(t_2-t_1).\\ \end{eqnarray}$

由于算子$U_\beta(t, s)$是强连续的,因而对任意实数$\varepsilon>0$,存在实数$\delta>0$,对所有$u\in B_{R^*}$, $t_1, t_2\in J, t_2-t_1 < \delta$,都有$\|({\cal Q}u)(t_2)-({\cal Q}u)(t_1)\| < \varepsilon$成立.因此, ${\cal Q}(B_{R^*})$等度连续.

由引理2.2可知, $\overline{Co}{\cal Q}(B_{R^*})\subset B_{R^*}$有界且等度连续,算子${\cal Q}:\overline{Co}{\cal Q}(B_{R^*})\rightarrow \overline{Co}{\cal Q}(B_{R^*})$有界且连续.对任意的$B\subset \overline{Co}{\cal Q}(B_{R^*})$,根据(2.2)式、(3.1)式、引理2.2和2.3知$\widetilde{{\cal Q}}^n(B)$$(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot)$有界且等度连续,这里

(3.5) $\begin{equation}\alpha(\widetilde{{\cal Q}}^n(B))=\max\limits_{t\in J}\alpha((\widetilde{{\cal Q}}^n(B))(t)), \ \ \ n=1, 2, \cdot\cdot\cdot.\end{equation}$

下面,我们证明对任意的$B\subset \overline{Co}{\cal Q}(B_{R^*})$,存在实数$0\leq k < 1$和一个自然数$n_0$,使得

(3.6) $\begin{equation}\alpha(\widetilde{{\cal Q}}^{n_0}(B))\leq k\alpha(B).\end{equation}$

由条件(H$_7)$和(H$_8)$,我们得到

(3.7) $ \begin{eqnarray} \alpha((\widetilde{{\cal Q}}^1(B))(t))&= &\alpha(({\cal Q}(B)(t))\\ &\leq &M^*\int_{0}^{t}[L_1(s)\alpha(B(s))+L_2(s)\alpha(({\cal G}B)(s))]{\rm d}s\\ &\leq& M^*\int_{0}^{t}[L_1(s)+T_0k_0L_2(s)]\alpha(B(s)){\rm d}s\\ &= &\int_{0}^{t}L(s)\alpha(B(s)){\rm d}s\\ &\leq& \int_{0}^{t}L(s){\rm d}s\alpha(B), \ \ t\in J, \end{eqnarray}$

这里, $L(t)=M^*[L_1(t)+T_0k_0L_2(t)]$在$J$上是Lebesgue可积的.对任意常数$0 < \varepsilon < 1$,存在一个连续函数$\varphi:J\rightarrow \mathbb{R} ^1$使得

(3.8) $\begin{equation}\int_{0}^{T_0}|L(s)-\varphi(s)|{\rm d}s<\varepsilon.\end{equation}$

由(3.7)式和(3.8)式得

$\alpha((\widetilde{{\cal Q}}^1(B))(t))\leq \left[\int_{0}^{t}|L(s)-\varphi(s)|{\rm d}s+\int_{0}^{t}|\varphi(s)|{\rm d}s\right]\alpha(B)\leq (\varepsilon+Ht)\alpha(B), $

这里$H=\max\{|\varphi(t)|:t\in J\}$.对每一个$t\in J, $我们假设下面的方程成立

$\alpha((\widetilde{{\cal Q}}^k(B))(t))\leq \left[\varepsilon^k+C_k^1\varepsilon^{k-1}(Ht)+\frac{C_k^2\varepsilon^{k-2}(Ht)^2}{2!} +\cdot\cdot\cdot+\frac{(Ht)^k}{k!}\right]\alpha(B), $

则对所有的$t\in J$,我们有

$ \begin{eqnarray*} \alpha((\widetilde{{\cal Q}}^{k+1}(B))(t)) &=&\alpha\bigg(U_\beta(t, 0)(u_0-g(\widetilde{{\cal Q}}^k(B)))\\ &&+\int_{0}^{t}U_\beta(t, s)f(s, (\overline{Co}\widetilde{{\cal Q}}^k(B))(s), (G\overline{Co}\widetilde{{\cal Q}}^k(B))(s), (S\overline{Co}\\ \widetilde{{\cal Q}}^k(B))(s)){\rm d}s\bigg)\\ &\leq& M^*\int_{0}^{t}[L_1(s)+T_0k_0L_2(s)]\alpha ((\widetilde{{\cal Q}}^k(B))(s)){\rm d}s\\ &=& \int_{0}^{t}L(s)\alpha((\widetilde{{\cal Q}}^k(B))(s)){\rm d}s\\& \leq& \bigg(\int_{0}^{t}[|L(s)-\varphi(s)|+|\varphi(s)|]{\rm d}s\alpha((\widetilde{{\cal Q}}^k(B))\bigg)\\ &=&\bigg[\varepsilon^{k+1}+C_{k+1}^1\varepsilon^k(Ht)+\frac{C_{k+1}^2\varepsilon^{k-1}(Ht)^2}{2!} +\cdot\cdot\cdot+\frac{(Ht)^{k+1}}{(k+1)!}\bigg]\alpha(B).\end{eqnarray*}$

因而,对任意正整数$n$和$t\in J$,可得

$ \alpha((\widetilde{{\cal Q}}^n(B))(t))\leq \left[\varepsilon^n+C_n^1\varepsilon^{n-1}(Ht)+\frac{C_n^2\varepsilon^{n-2}(Ht)^2}{2!} +\cdot\cdot\cdot+\frac{(Ht)^n}{n!}\right]\alpha(B). $

根据(3.5)式,对任意正整数$n$,我们有

(3.9) $\alpha(\widetilde{{\cal Q}}^n(B))\leq \left[\varepsilon^n+C_n^1\varepsilon^{n-1}(HT_0)+\frac{C_n^2\varepsilon^{n-2}(HT_0)^2}{2!} +\cdot\cdot\cdot+\frac{(HT_0)^n}{n!}\right]\alpha(B). $

由引理2.4可得

$\alpha(\widetilde{{\cal Q}}^n(B))\leq \left[O\left(\frac{\lambda^n}{\sqrt{n}}\right)+o\left(\frac{1}{n^s}\right)\right]\alpha(B)=o\left(\frac{1}{n^s}\right)\alpha(B), \ \ \ n\rightarrow\infty, $

这里$0 < \lambda < 1, s>1.$因此,存在常数$0\leq k < 1$和自然数$n_0$使得(3.6)式成立.由引理2.1可知算子${\cal Q}$在$ \overline{Co}{\cal Q}(B_{R^*})$里至少存在一个不动点,从而问题(1.1)-(1.2)在$ \overline{Co}{\cal Q}(B_{R^*})\subset C[J, E]$里至少存在一个温和解$u^*(t)$.

考虑如下的混合型分数阶偏微分方程

(4.1) $ \left\{\begin{array}{ll} {}^cD_t^\beta z(x, t)=t^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}z(x, t) +\frac{t}{1+t^2}z(x, t)+\frac{1}{1+t^2}\int_0^ta(s)z(x, s){\rm d}s\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{1}{1+t^2}\left(\int_0^{T_0}b(s)z(x, s){\rm d}s\right)^{\frac{1}{2}}, 0<t\leq T_0, 0< x<\pi, \\ z(0, t)=z(\pi, t)=0, \\ z(x, 0)+\frac{1}{2}z=z_0(x), \ \ 0< x<\pi, \end{array} \right. $

这里$0 < \beta\leq 1$, $z_0(x)\in E=L^2[0, \pi]$,定义算子$A(t)(z)=t^2\frac{\partial^2z}{\partial x^2}$, $A:D(A)\subset E\rightarrow E$,其中

$ D(A)=\{z\in E:z''\in E, \ \ z(0)=z(\pi)=0\}. $

显然算子$A(t)$在$E$上生成一个$\beta$ -预解族.

记

$z(t)(\cdot)=z(t, x), \ \ g(z)=\frac{1}{2}z, $

$f(t, x, y, \kappa)=\frac{t}{1+t^2}x+\frac{1}{1+t^2}y+\frac{1}{1+t^2}\kappa^{\frac{1}{2}}, $

则方程(4.1)变为(1.1)-(1.2)的形式.如果满足定理3.1和3.2的假设条件,则问题(4.1)存在一个温和解.