取$k\in{\Bbb R}$和球面${\Bbb S}^{N-1}$上的有限Borel测度$\mu$.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使$\mu$能够生成${\Bbb R}^N$上某一凸体$K$的$k$ -阶对偶曲率测度$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$的充分必要条件.与$L_p$-Minkowski问题^{[10-11, 16]}类似,对偶Minkowski问题被认为是经典Minkowski问题^[17-18]的重要推广.在分析上, Minkowski类问题的研究与非线性微分方程联系紧密,相关重要工作见文献[5-6, 8-9, 12, 19-20, 22].实际上, Minkowski问题的可解性等价于求解非线性微分方程

(1.1) $\begin{eqnarray}\label{eq:nonlmod}{\rm det}(u_{ij}+e_{i, j}u)=g(x)f(u), x\in{\Bbb S}^{N-1}, \end{eqnarray}$

其中$u : {\Bbb S}^{N-1}\rightarrow(0, +\infty)$表示凸体$K$的支撑函数, $e_{i, j}$是${\Bbb S}^{N-1}$上的标准黎曼度量, $g$是${\Bbb S}^{N-1}$上给定的有限Borel测度$\mu$的密度函数.当$f(u)\equiv 1$时方程(1.1)的可解性等价于经典的Minkowski问题^{[1-2, 17-18]};当$f(u)= u^{1-p}$时方程(1.1)的可解性等价于$L_p$-Minkowski问题^[10].对于

(1.2) $\begin{eqnarray}\label{eq:dual}f(u)=u^{-1}(u^2+|\nabla u|^2)^{\frac{n-k}{2}}, \end{eqnarray}$

其中$k\in \mathbb{R}$, $\nabla $表示${\Bbb S}^{N-1}$标准坐标架下的梯度算子,方程(1.1)的可解性等价于${\Bbb R}^N$上对偶Minkowski问题^[12].特别地,当$k=N$时,对偶Minkowski问题就是log-Minkowski问题(参见文献[3-4, 24]).

当$k<0$时, $\mathbb{R}^N$上对偶Minkowski问题已被完全解决,见文献[15, 23].当$k>0$时,对偶Minkowski问题的可解性相对较困难，需要新的估计和技巧.对于$1\leq k\leq N$和关于原点对称的Borel正测度$\mu$,黄勇等在文献[12]中研究了对偶Minkowski问题的存在性.对于${\Bbb R}^2$上的对偶Minkowski问题

(1.3) $\begin{eqnarray}\label{eq:1}u''(\theta)+u(\theta)=g(\theta)u^{-1}(u^2+u'^2)^{(2-k)/2}, \ \theta\in{\Bbb S}, \end{eqnarray}$

当$k=2$时,问题(1.3)的可解性等价于$\mathbb{R} ^2$上的Log-Minkowski问题.文献[8, 13]等给出了解的存在性方面的研究成果.当$k>1$时,有关问题(1.3)解的存在性研究也有一些新的工作.文献[14]利用不动点定理结合椭圆方程估计得到了$k>1$情形对偶Minkowski问题可解性的充分条件;针对$k>0$和严格正的连续函数$g$,文献[7]利用连续性方法证明了对偶Minkowski问题解的存在性.这些参考文献在$g$为严格正的连续函数条件下研究对偶Minkowski问题$C^2$光滑正解的存在性.

本文在$g$为非负可积函数的条件下研究$k=4$时$\mathbb{R} ^2$上对偶Minkowski问题(1.3),即非线性方程

(1.4) $\begin{eqnarray}\label{eq:2}u''(\theta)+u(\theta)=\frac{g(\theta)}{u(u^2+u'^2)}, \ \theta\in{\Bbb S}\end{eqnarray}$

的可解性.我们在条件

$(g_1): g(\theta)\in L^1(S)$

下应用约束变分方法来研究方程(1.4).为此,假设$g$满足如下条件

$ {\rm(}g_2{\rm)}: g(\theta)=g(\theta+{\pi}/{m}), m\in{\Bbb N};\ \ {\rm(}g_3{\rm)}: \int_0^{\pi/m}g(\theta){\rm d}\theta>0.$

设$m\in{\Bbb N}$,考虑Banach空间

$ W^{1, 4}({\Bbb S})=\bigg\{u\in L^4({\Bbb S}):\int_{{\Bbb S}}u'^4{\rm d}\theta<+\infty\bigg\} $

和

$W^{1, 4}_m=\{u\in W^{1, 4}({\Bbb S}):u(\theta)=u(\theta+2\pi/m), \ \mbox{对所有的}\ \theta\in{\Bbb S}\}, $

其范数为

$\|u\|=\left\{\int_0^{\frac{\pi}{m}}u^2+u'^2{\rm d}\theta\right\}^{1/2}. $

定义$W^{1, 4}_m$上的正锥

(1.5) $\begin{eqnarray}\label{eq:G} G_m=\{u\in W^{1, 4}_m:u(\theta)>0, \theta\in{\Bbb S}\}. \end{eqnarray}$

在$G_m$上赋予由$W^{1, 4}_m$范数诱导的距离.假设($g_1$)-($g_3$),在$G_m$上定义与问题(1.3)相关的泛函

(1.6) $\begin{eqnarray}\label{eq:f2} J(u)=\int_0^{\frac{\pi}{m}}u^4-\frac{1}{3}u'^4-2u'^2u^2{\rm d}\theta \end{eqnarray}$

和

(1.7) $ \begin{eqnarray}\label{eq:f1} I(u)=\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta)\ln (u){\rm d}\theta. \end{eqnarray} $

应用文献[21]中的标准化过程可证明泛函$I$和$J$在$G_m$上为$C^1$泛函.本文通过研究约束变分问题

(1.8) $\begin{eqnarray}\label{eq:min}I_0=\inf\limits_{u\in G_m, J(u)=I(e)}I(u)\end{eqnarray}$

极小可达元的存在性来证明$\mathbb{R} ^{2}$上对偶Minkowski问题(1.4)的可解性.

本文主要结论如下.

定理1.1  假设($g_1$)-($g_3$)成立.如果$m\geq 2$,则变分问题(1.8)存在极小可达元$w\in G_m$,且$w$是问题(1.4)的一个严格正的弱解,即

(1.9) $\begin{eqnarray}\label{eq:df}\int_0^{\frac{\pi}{m}}w^3\varphi -\frac{1}{3} w'^3\varphi'-w^2w'\varphi'-w'^2w\varphi {\rm d}\theta= \int_0^{\frac{\pi}{m} }\frac{g(\theta)}{w}\varphi {\rm d}\theta, \ \varphi\in W^{1, 4}_m. \end{eqnarray}$

如果$w$二阶可导,则有

(1.10) $\begin{eqnarray}\label{eq:ws}\int_0^{\frac{\pi}{m}}(w'^2+w^2)(w''+w)\varphi {\rm d}\theta=\int_0^{\frac{\pi}{m}}\frac{g(\theta)}{w}\varphi {\rm d}\theta, \varphi\in W^{1, 4}_m .\end{eqnarray}$

等式(1.10)表明了$w$在${\Bbb S}$上几乎处处满足方程(1.4),由(1.9)式定义问题(1.4)的弱解是合理的.这里我们假设测度$\mu$的密度函数$g$为非负可积函数,没有假设$g$为严格正的连续函数,适用范围更广.针对$\mathbb{R} ^{2}$上具有非负可积密度函数的测度,定理1.1给出了对偶Minkowski问题(1.4)可解性的一个充分条件.

对任意的$m\in{\Bbb N}$,考虑约束变分问题(1.8).我们有序列$\{u_n\}\in G_m$使得

$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I(u_n)=I_0=\inf\limits_{u\in G_m, J(u)=I(e)}I(u) \ \mbox{以及}\ J(u_n)\equiv\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta){\rm d}\theta=I(e).$

当$u$逼近$0$时,泛函$I(u)$趋于负无穷且具有奇性.证明$I_0>-\infty$以及$\{u_n\}$在$W^{1, 4}_m({\Bbb S})$中有界并不显然.这是本文研究问题(1.8)存在极小可达元的关键.为研究极小可达元的逼近序列$\{u_n\}$的紧性,本文先给出周期函数震荡幅度的估计.

引理2.1  取$m\in{\Bbb N}$, $\{w_n\}\subset C^1({\Bbb S})\cap W^{1, 4}_m$.设$w_n(\beta_n)=\sup\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$且$w_n(\alpha_n)=\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$,则有

$\begin{eqnarray}\label{eq:lemestim.1}\frac{16[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4}{3(\pi/m)^3}+\frac{2[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2}{\pi/m}\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

证  利用Hölder不等式和Newton-Libniz公式可得

$w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)=\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'(\theta){\rm d}\theta\leq|\beta_n-\alpha_n|^{\frac{3}{4}}\left\{\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'^4{\rm d}\theta\right\}^{\frac{1}{4}}, $

以及

$\begin{eqnarray*}w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)&=&\int_{\alpha_n}^{\beta_n}\frac{{\rm d} w_n^2(\theta)}{{\rm d}\theta}{\rm d}\theta=2\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n(\theta)w_n'(\theta){\rm d}\theta\\&\leq&2|\beta_n-\alpha_n|^{\frac{1}{2}}\left\{\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n^2(\theta)w_n'^2(\theta){\rm d}\theta\right\}^{\frac{1}{2}}.\end{eqnarray*}$

设$|\beta_n-\alpha_n|=\gamma_n\pi/m$,其中$\gamma_n\in(0, 1/2]$,于是可得

(2.2) $\begin{equation}\label{eq:lem1.6}[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4/[\gamma_n^3(\pi/m)^3]\leq \int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta, \end{equation}$

(2.3) $\begin{equation}\label{eq:lem1.7}[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2/[2\gamma_n\pi/m]\leq 2\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{equation}$

结合(2.2)和(2.3)式推知

(2.4) $\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.8}&&[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4/[3\gamma_n^3(\pi/m)^3]+[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2/[2\gamma_n\pi/m]\\&\leq& \int_{\alpha_n}^{\beta_n}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta)+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

类似地有

(2.5) $\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.9}&&[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4/[3(1-\gamma_n)^3(\pi/m)^3]+[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2/[2(1-\gamma_n)\pi/m]\\&\leq& \int_{\beta_n}^{\alpha_n+\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta)+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

合并(2.4)和(2.5)式可得

(2.6) $\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.10}&&\frac{(1-\gamma_n)^3+\gamma_n^3}{\gamma_n^3(1-\gamma_n)^3}\frac{[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4}{3(\pi/m)^3}+\frac{1}{\gamma_n(1-\gamma_n)}\frac{[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2}{2\pi/m}\\&\leq&\int_{\alpha_n}^{\alpha_n+\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta\\&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

对(2.6)式左端由$\gamma_n$组成的系数估计下界即得(2.1)式.

利用上述有关周期函数震荡幅度的估计,我们得到针对逼近序列的二择一性质估计.

引理2.2  设$m\geq2$, $\{u_n\}\subset G_m$且$\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}J(u_n)\geq 0$.如果存在常数$c_0>0$使得对所有的$n\in {\Bbb N}$, $\min\limits_{\theta \in {\Bbb S}}u_n(\theta)\leq c_0$,则存在$\{u_n\}$的子序列（仍记为$\{u_n\}$,下文简称$\{u_n\}$的子序列）使得

(2.7) $\begin{equation}\label{eq:lem1.2}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sup\limits_{\theta\in{\Bbb S}}u_n(\theta)= 0;\end{equation}$

或者存在常数$c>0$（依赖于$c_0$）使得

(2.8) $\begin{equation}\label{eq:lem1.1} c<u_n(\theta)<1/c, \ \mbox{对所有的$ n\in {\Bbb N}, \theta\in {\Bbb S}$成立.} \end{equation}$

证  用逼近方法证明该引理.因为$C^1({\Bbb S})$在$W^{1, 4}_m$内稠密,则有$\pi/m$ -周期函数列$\{w_n\}\subset C^1({\Bbb S})$使得

(2.9) $\begin{equation}\label{eq:lem1.3} \|u_n-w_n\|<\min\left\{1/n, \inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)/2\right\}. \end{equation}$

简单计算可得

(2.10) $\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.4} \inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)&=&\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}\left(w_n(\theta)-u_n(\theta)+u_n(\theta)\right) \\&\geq &\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)-\sup\limits_{\theta\in {\Bbb S}}|u_n(\theta)-w_n(\theta)|\nonumber\\ &\geq& \inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)-\|u_n-w_n\| \\&\geq & \frac{1}{2}\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)>0. \end{eqnarray}$

既然有上述逼近估计(2.9)和(2.10),如果证明$\{w_n\}$具有二择一性质(2.7)或(2.8),则$\{u_n\}$也具有二择一性质(2.7)或(2.8).引理得证.

下面证明$\{w_n\}$具有二择一性质(2.7)或(2.8).由(2.9)式和$J$的连续性可知

(2.11) $\begin{equation}\label{eq:lem1.5}\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}}w_n^4-\frac{1}{3}w_n'^4-2w_n'^2w_n^2{\rm d}\theta=\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}J(w_n)\geq 0.\end{equation}$

对任意$n\in{\Bbb N}$,取$\alpha_n, \beta_n\in {\Bbb S}$使得$w_n(\beta_n)=\sup\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$, $w_n(\alpha_n)=\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$.由假设和(2.9)式知:存在常数$c_1>0$使得$w_n(\alpha_n)<c_1$.对于$\{w_n(\beta_n)\}$,则有如下三种情形

$\begin{eqnarray*} {\rm (I)} &&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=0;\\ {\rm (Ⅱ)} &&\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=+\infty; \\{\rm (Ⅲ)} && 0<\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)\leq\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)<+\infty.\end{eqnarray*}$

如果(Ⅰ) $ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=0$发生,则存在$\{w_n\}$的子列使得$\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} w_n^4{\rm d}\theta=0$.由Hölder不等式和(2.11)式知

$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_0^{\frac{\pi}{m}}w_n'^4{\rm d}\theta=0.$

所以$\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\|w_n\|= 0$.结合嵌入定理知, $\{w_n\}$存在子列满足性质(2.7).

由引理2.1可知$\{w_n\}$满足不等式(2.1).令$n\rightarrow +\infty$,由(2.11)和(2.1)式可得

(2.12) $\begin{eqnarray}\label{eq:est11}\frac{16[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4}{3(\pi/m)^4}+\frac{2[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2}{(\pi/m)^2}\leq w^4_n(\beta_n)+o(1).\end{eqnarray}$

如果(Ⅱ) $\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=+\infty$发生.令$n\rightarrow +\infty$,对(2.12)式两边分别乘以$1/w_n^4(\beta_n)$得到如下矛盾

(2.13) $\begin{eqnarray}\label{eq:est12}\frac{3}{2}<\frac{16}{3(\pi/m)^4}+\frac{2}{(\pi/m)^2}\leq 1+o(1).\end{eqnarray}$

如果(Ⅲ) $0<\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)\leq\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)<+\infty$发生,则存在常数$c_2\geq c_1$使得对所有的$ n\in{\Bbb N}$,有

(2.14) $\begin{eqnarray}\label{eq:est13}\frac{1}{c_2}<w_n(\beta_n)<c_2.\end{eqnarray}$

如果$\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}w_n(\alpha_n)=0$,令$n\rightarrow +\infty$,并对(2.12)式两边乘以$1/w_n^4(\beta_n)$得到矛盾不等式(2.13).所以存在常数$c_3>0$使得

(2.15) $\begin{eqnarray}\label{eq:est14}w_n(\alpha_n)>c_3\ \mbox{对$ n\in {\Bbb N} $一致成立}.\end{eqnarray}$

结合(2.14)和(2.15)式,可得$\{w_n\}$满足性质(2.8).

应用上述二择一引理,我们证明约束变分问题(1.8)存在极小可达元.

定理2.1  假设$m\geq2$且$(g_1)$-$(g_3)$成立,则存在$u\in G_m$使得

$I(u)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v), J(u)=I(e).$

证  取$\{u_n\}\subset G_m$为极小化序列,即

(2.16) $\begin{eqnarray}\label{eq:th1}J(u_n)=I(e)=\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta){\rm d}\theta>0 \mbox{且}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I(u_n)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v).\end{eqnarray}$

我们通过下面几步证明该定理.

第1步 存在常数$c>0$, $u_n(\alpha_n)=\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}v_n(\theta)<c$对$n\in {\Bbb N}$一致成立.

取$v_n(\theta)=u_n(\theta)/u_n(\alpha_n)$,则$\{v_n(\theta)\}\subset G_m$,并且

(2.17) $\begin{eqnarray}\label{eq:th2}J(v_n)\geq0, \ \inf\limits_{\theta\in{\Bbb S}}v_n(\theta)\equiv 1.\end{eqnarray}$

因此$\{v_n\}$满足引理2.2的假设,应用引理2.2可得

(2.18) $\begin{eqnarray}\label{eq:th3} c<v_n(\theta)<1/c, \ \mbox{对所有的$ n\in {\Bbb N}, \theta\in {\Bbb S} $成立}; \end{eqnarray}$

或者存在$\{v_n\}$的子序列使得

(2.19) $\begin{eqnarray}\label{eq:th4}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sup\limits_{\theta\in{\Bbb S}}v_n(\theta)= 0.\end{eqnarray}$

显然(2.19)与(2.17)式矛盾.由此排除估计式(2.19),即$\{v_n\}$满足估计式(2.18).所以

(2.20) $\begin{eqnarray}\label{eq:th5}|I(v_n)|=\left|\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln v_n(\theta){\rm d}\theta\right|<+\infty.\end{eqnarray}$

另一方面,有

$\begin{eqnarray*}\nonumber\ln (u_n(\alpha_n))\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta){\rm d}\theta&=&\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln u_n(\theta){\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln v_n(\theta){\rm d}\theta\\&\leq& I(e)-I(v_n).\end{eqnarray*}$

结合(2.20)式得到第1步结论.

第2步 存在$u\in G_m$及$\{u_n\}$的子列使得$u_n\mathop{\rightharpoonup}\limits^{n\rightarrow+\infty} u$在$W^{1, 4}_m$中弱收敛且$I(u)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v)$.

由第1步结论知$\{u_n(\theta)\}$满足引理2.2的假设,因此$\{u_n\}$满足

(2.21) $\begin{eqnarray}\label{eq:th6}c<u_n(\theta)<\frac{1}{c}, \ \mbox{对所有的$ n\in {\Bbb N}, \theta\in{\Bbb S} $成立} ;\end{eqnarray}$

或者存在$\{u_n\}$的子列使得

(2.22) $\begin{eqnarray}\label{eq:th7}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sup\limits_{\theta\in{\Bbb S}}u_n(\theta)= 0.\end{eqnarray}$

如果(2.22)式发生,则有$\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u_n^4 {\rm d}\theta=0 $.由此可得矛盾: $0<I(e)=\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}J(u_n)\leq 0$.因此排除二择一估计中的(2.22)式,我们有(2.21)式成立.由(2.21)和(2.16)式可推知$\{u_n\}$在$W^{1, 4}_m$中有界.所以存在$u\in W^{1, 4}_m$及$\{u_n\}$的子列使得$u_n\rightharpoonup u_0$在$W^{1, 4}_m$中弱收敛.由$0<\alpha<{1/2}$时嵌入$H^1({\Bbb S})\hookrightarrow C^\alpha({\Bbb S})$的紧性,我们有

$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n(\theta)= u(\theta)\ \mbox{对$ \theta\in{\Bbb S}$一致成立}.$

结合(2.21)式知,对所有的$\theta\in{\Bbb S}$有估计

$\begin{eqnarray}\nonumberu(\theta)\geq c>0.\end{eqnarray}$

因此$u\in G_m$且$I(u)=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I(u_n)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v)$.

第3步$J(u)=I(e)$.

由积分的凸性质可得

$\begin{eqnarray}\nonumber\int_0^{\frac{\pi}{m}} u'^4{\rm d}\theta \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u_n'^4{\rm d}\theta, \mbox{且}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u'^2u_0^2{\rm d}\theta \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u_n'^2u_n^2{\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

因此$J(u)\geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} J(u_n)=I(e)>0$.如果$J(u)>I(e)$,则有常数$\lambda>1$使得$J(u/\lambda)=I(e)$且$u/\lambda\in G_m$.另一方面

$\begin{eqnarray*}I(u/\lambda)&=&\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln u{\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln \lambda {\rm d}\theta<\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln u{\rm d}\theta\\&=&\lim\limits_{n\rightarrow\infty}I(u_n)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v), \end{eqnarray*}$

这与约束极小的定义矛盾.因此$J(u)=I(e)$.

定理1.1的证明  由定理2.1可知存在集合$G_m$的内点$w$使得$J(w)=I(e)$且

$\begin{eqnarray*}I(w)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v).\end{eqnarray*}$

应用约束变分原理知,存在参数$\omega \in \mathbb{R} $使得在$W^{1, 4}_m$的对偶空间中有

$\begin{eqnarray*}J'(w)+\omega I'(w)=0.\end{eqnarray*}$

因此,对所有的$\varphi\in W^{1, 4}_m$我们有

(2.23) $\begin{eqnarray}\label{eq:th2.1}\omega \int_0^{\frac{\pi}{m} }\frac{g(\theta)}{w}\varphi {\rm d}\theta+4\int_0^{\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3} w'^3\varphi'+w^2w'\varphi'+w'^2w\varphi-w^3\varphi {\rm d}\theta=0.\end{eqnarray}$

在(2.23)式中令$\varphi=w$,则有

(2.24) $\begin{eqnarray}\label{eq:th2.2}\omega\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta){\rm d}\theta=4\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^4-\frac{1}{3}w'^4-2w^2w'^2{\rm d}\theta=4J(w).\end{eqnarray}$

因此,我们有$\omega=4J(w)/I(e)=4$.结合(2.23)式可得$w$满足积分等式(1.9).即$w$是问题(1.3)的弱解.如果$w$二阶可导,对任意的$\varphi\in W^{1, 4}_m$通过分部积分得

$\begin{eqnarray}\label{eq:th2.3}J'(w)\varphi&=&\int_0^{\frac{\pi}{m}} \frac{1}{3}w'^3\varphi'+w^2w'\varphi'+w'^2w\varphi-w^3\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w'^2w''\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^2w''\varphi {\rm d}\theta-2\int_0^{\frac{\pi}{m}} ww'^2\varphi {\rm d}\theta\\&&+\int_0^{\frac{\pi}{m}} w'^2w\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^3\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w'^2w''\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^2w''\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w w'^2\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^3\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} [w'^2w''+w^2w''+ww'^2+w^3]\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} (w'^2+w^2)(w''+w)\varphi {\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

由(1.9)和(2.25)式知$w$满足积分等式(1.10).即$w$在${\Bbb S}$上几乎处处满足(1.4)式.