$\mathbb{R}$2上对偶Minkowski问题的可解性

$\mathbb{R}$ ²上对偶Minkowski问题的可解性

魏娜^,

The Solvability of Dual Minkowski Problem in $\mathbb{R}$ ²

Wei Na^,

收稿日期: 2019-05-24

基金资助:

中央高校基本科研业务费专项资金. 2722019PY053
湖北省自然科学基金. 2019CFB570

Received: 2019-05-24

Fund supported:

the Fundamental Research Funds for the Central Universities. 2722019PY053
the Natural Science Foundation of Hubei Province. 2019CFB570

作者简介 About authors

魏娜,E-mail:weina@zuel.edu.cn , E-mail：weina@zuel.edu.cn

摘要

该文研究Sobolev空间W^1，4 ( $\mathbb{S}$ )中一类约束变分问题存在极小可达元.在 $\int_{\rm{\mathbb{S}}} g (\theta )d\theta > 0$ 条件下，该极小可达元是相应Euler-Lagrange方程

${u^{\prime \prime }} + u = \frac{{g(\theta )}}{{u\left( {{u^2} + {u^{\prime 2}}} \right)}}, \theta \in {\rm{\mathbb{S}}}$

的严格正解.基于此，该文在 $\mathbb{R}$ ²上证明了文献[Huang-Lutwak-Yang-Zhang.Acta Math，2016，216（2）：325-338]提出的对偶Minkowski问题的可解性.

关键词： 对偶Minkowski问题 ; 非线性方程 ; 变分方法

Abstract

In this paper, we study the existence of minimum of a constrained variational problem in the Sobolev space W^{1, 4}( $\mathbb{S}$ ). If ∫ $_\mathbb{S}$ g(θ)dθ>0, the minimum is a positive solution to the related Euler-Lagrange equation

${u^{\prime \prime }} + u = \frac{{g(\theta )}}{{u\left( {{u^2} + {u^{\prime 2}}} \right)}}, \theta \in {\rm{\mathbb{S}}}$

Based on this, we prove the solvability of the dual Minkowski problem in $\mathbb{R}$ ² posed by Huang-Lutwak-Yang-Zhang[Acta Math, 2016, 216(2):325-338].

Keywords： Dual Minkowski problem ; Nonlinear equation ; Variational method

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本文引用格式

魏娜. $\mathbb{R}$ ²上对偶Minkowski问题的可解性. 数学物理学报[J], 2019, 39(6): 1314-1322 doi:

Wei Na. The Solvability of Dual Minkowski Problem in $\mathbb{R}$ ². Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(6): 1314-1322 doi:

1 引言及主要结果

取 $k\in{\Bbb R}$ 和球面 ${\Bbb S}^{N-1}$ 上的有限Borel测度 $\mu$ .文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使 $\mu$ 能够生成 ${\Bbb R}^N$ 上某一凸体 $K$ 的 $k$ -阶对偶曲率测度 $\widetilde{C}_k(K, \cdot)$ 的充分必要条件.与 $L_p$ -Minkowski问题^{[10-11, 16]}类似,对偶Minkowski问题被认为是经典Minkowski问题^[17-18]的重要推广.在分析上, Minkowski类问题的研究与非线性微分方程联系紧密,相关重要工作见文献[5-6, 8-9, 12, 19-20, 22].实际上, Minkowski问题的可解性等价于求解非线性微分方程

$\begin{eqnarray}\label{eq:nonlmod}{\rm det}(u_{ij}+e_{i, j}u)=g(x)f(u), x\in{\Bbb S}^{N-1}, \end{eqnarray}$

(1.1)

其中 $u : {\Bbb S}^{N-1}\rightarrow(0, +\infty)$ 表示凸体 $K$ 的支撑函数, $e_{i, j}$ 是 ${\Bbb S}^{N-1}$ 上的标准黎曼度量, $g$ 是 ${\Bbb S}^{N-1}$ 上给定的有限Borel测度 $\mu$ 的密度函数.当 $f(u)\equiv 1$ 时方程(1.1)的可解性等价于经典的Minkowski问题^{[1-2, 17-18]};当 $f(u)= u^{1-p}$ 时方程(1.1)的可解性等价于 $L_p$ -Minkowski问题^[10].对于

$\begin{eqnarray}\label{eq:dual}f(u)=u^{-1}(u^2+|\nabla u|^2)^{\frac{n-k}{2}}, \end{eqnarray}$

(1.2)

其中 $k\in \mathbb{R}$ , $\nabla$ 表示 ${\Bbb S}^{N-1}$ 标准坐标架下的梯度算子,方程(1.1)的可解性等价于 ${\Bbb R}^N$ 上对偶Minkowski问题^[12].特别地,当 $k=N$ 时,对偶Minkowski问题就是log-Minkowski问题(参见文献[3-4, 24]).

当 $k<0$ 时, $\mathbb{R}^N$ 上对偶Minkowski问题已被完全解决,见文献[15, 23].当 $k>0$ 时,对偶Minkowski问题的可解性相对较困难，需要新的估计和技巧.对于 $1\leq k\leq N$ 和关于原点对称的Borel正测度 $\mu$ ,黄勇等在文献[12]中研究了对偶Minkowski问题的存在性.对于 ${\Bbb R}^2$ 上的对偶Minkowski问题

$\begin{eqnarray}\label{eq:1}u''(\theta)+u(\theta)=g(\theta)u^{-1}(u^2+u'^2)^{(2-k)/2}, \ \theta\in{\Bbb S}, \end{eqnarray}$

(1.3)

当 $k=2$ 时,问题(1.3)的可解性等价于 $\mathbb{R} ^2$ 上的Log-Minkowski问题.文献[8, 13]等给出了解的存在性方面的研究成果.当 $k>1$ 时,有关问题(1.3)解的存在性研究也有一些新的工作.文献[14]利用不动点定理结合椭圆方程估计得到了 $k>1$ 情形对偶Minkowski问题可解性的充分条件;针对 $k>0$ 和严格正的连续函数 $g$ ,文献[7]利用连续性方法证明了对偶Minkowski问题解的存在性.这些参考文献在 $g$ 为严格正的连续函数条件下研究对偶Minkowski问题 $C^2$ 光滑正解的存在性.

本文在 $g$ 为非负可积函数的条件下研究 $k=4$ 时 $\mathbb{R} ^2$ 上对偶Minkowski问题(1.3),即非线性方程

$\begin{eqnarray}\label{eq:2}u''(\theta)+u(\theta)=\frac{g(\theta)}{u(u^2+u'^2)}, \ \theta\in{\Bbb S}\end{eqnarray}$

(1.4)

的可解性.我们在条件

$(g_1): g(\theta)\in L^1(S)$

下应用约束变分方法来研究方程(1.4).为此,假设 $g$ 满足如下条件

${\rm(}g_2{\rm)}: g(\theta)=g(\theta+{\pi}/{m}), m\in{\Bbb N};\ \ {\rm(}g_3{\rm)}: \int_0^{\pi/m}g(\theta){\rm d}\theta>0.$

设 $m\in{\Bbb N}$ ,考虑Banach空间

$W^{1, 4}({\Bbb S})=\bigg\{u\in L^4({\Bbb S}):\int_{{\Bbb S}}u'^4{\rm d}\theta<+\infty\bigg\}$

和

$W^{1, 4}_m=\{u\in W^{1, 4}({\Bbb S}):u(\theta)=u(\theta+2\pi/m), \ \mbox{对所有的}\ \theta\in{\Bbb S}\},$

其范数为

$\|u\|=\left\{\int_0^{\frac{\pi}{m}}u^2+u'^2{\rm d}\theta\right\}^{1/2}.$

定义 $W^{1, 4}_m$ 上的正锥

$\begin{eqnarray}\label{eq:G} G_m=\{u\in W^{1, 4}_m:u(\theta)>0, \theta\in{\Bbb S}\}. \end{eqnarray}$

(1.5)

在 $G_m$ 上赋予由 $W^{1, 4}_m$ 范数诱导的距离.假设( $g_1$ )-( $g_3$ ),在 $G_m$ 上定义与问题(1.3)相关的泛函

$\begin{eqnarray}\label{eq:f2} J(u)=\int_0^{\frac{\pi}{m}}u^4-\frac{1}{3}u'^4-2u'^2u^2{\rm d}\theta \end{eqnarray}$

(1.6)

和

$\begin{eqnarray}\label{eq:f1} I(u)=\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta)\ln (u){\rm d}\theta. \end{eqnarray}$

(1.7)

应用文献[21]中的标准化过程可证明泛函 $I$ 和 $J$ 在 $G_m$ 上为 $C^1$ 泛函.本文通过研究约束变分问题

$\begin{eqnarray}\label{eq:min}I_0=\inf\limits_{u\in G_m, J(u)=I(e)}I(u)\end{eqnarray}$

(1.8)

极小可达元的存在性来证明 $\mathbb{R} ^{2}$ 上对偶Minkowski问题(1.4)的可解性.

本文主要结论如下.

定理1.1 假设( $g_1$ )-( $g_3$ )成立.如果 $m\geq 2$ ,则变分问题(1.8)存在极小可达元 $w\in G_m$ ,且 $w$ 是问题(1.4)的一个严格正的弱解,即

$\begin{eqnarray}\label{eq:df}\int_0^{\frac{\pi}{m}}w^3\varphi -\frac{1}{3} w'^3\varphi'-w^2w'\varphi'-w'^2w\varphi {\rm d}\theta= \int_0^{\frac{\pi}{m} }\frac{g(\theta)}{w}\varphi {\rm d}\theta, \ \varphi\in W^{1, 4}_m. \end{eqnarray}$

(1.9)

如果 $w$ 二阶可导,则有

$\begin{eqnarray}\label{eq:ws}\int_0^{\frac{\pi}{m}}(w'^2+w^2)(w''+w)\varphi {\rm d}\theta=\int_0^{\frac{\pi}{m}}\frac{g(\theta)}{w}\varphi {\rm d}\theta, \varphi\in W^{1, 4}_m .\end{eqnarray}$

(1.10)

等式(1.10)表明了 $w$ 在 ${\Bbb S}$ 上几乎处处满足方程(1.4),由(1.9)式定义问题(1.4)的弱解是合理的.这里我们假设测度 $\mu$ 的密度函数 $g$ 为非负可积函数,没有假设 $g$ 为严格正的连续函数,适用范围更广.针对 $\mathbb{R} ^{2}$ 上具有非负可积密度函数的测度,定理1.1给出了对偶Minkowski问题(1.4)可解性的一个充分条件.

2 主要结果的证明

对任意的 $m\in{\Bbb N}$ ,考虑约束变分问题(1.8).我们有序列 $\{u_n\}\in G_m$ 使得

$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I(u_n)=I_0=\inf\limits_{u\in G_m, J(u)=I(e)}I(u) \ \mbox{以及}\ J(u_n)\equiv\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta){\rm d}\theta=I(e).$

当 $u$ 逼近 $0$ 时,泛函 $I(u)$ 趋于负无穷且具有奇性.证明 $I_0>-\infty$ 以及 $\{u_n\}$ 在 $W^{1, 4}_m({\Bbb S})$ 中有界并不显然.这是本文研究问题(1.8)存在极小可达元的关键.为研究极小可达元的逼近序列 $\{u_n\}$ 的紧性,本文先给出周期函数震荡幅度的估计.

引理2.1 取 $m\in{\Bbb N}$ , $\{w_n\}\subset C^1({\Bbb S})\cap W^{1, 4}_m$ .设 $w_n(\beta_n)=\sup\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$ 且 $w_n(\alpha_n)=\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$ ,则有

$\begin{eqnarray}\label{eq:lemestim.1}\frac{16[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4}{3(\pi/m)^3}+\frac{2[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2}{\pi/m}\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

证利用Hölder不等式和Newton-Libniz公式可得

$w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)=\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'(\theta){\rm d}\theta\leq|\beta_n-\alpha_n|^{\frac{3}{4}}\left\{\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'^4{\rm d}\theta\right\}^{\frac{1}{4}},$

以及

$\begin{eqnarray*}w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)&=&\int_{\alpha_n}^{\beta_n}\frac{{\rm d} w_n^2(\theta)}{{\rm d}\theta}{\rm d}\theta=2\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n(\theta)w_n'(\theta){\rm d}\theta\\&\leq&2|\beta_n-\alpha_n|^{\frac{1}{2}}\left\{\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n^2(\theta)w_n'^2(\theta){\rm d}\theta\right\}^{\frac{1}{2}}.\end{eqnarray*}$

设 $|\beta_n-\alpha_n|=\gamma_n\pi/m$ ,其中 $\gamma_n\in(0, 1/2]$ ,于是可得

$\begin{equation}\label{eq:lem1.6}[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4/[\gamma_n^3(\pi/m)^3]\leq \int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta, \end{equation}$

(2.2)

$\begin{equation}\label{eq:lem1.7}[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2/[2\gamma_n\pi/m]\leq 2\int_{\alpha_n}^{\beta_n}w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{equation}$

(2.3)

结合(2.2)和(2.3)式推知

$\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.8}&&[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4/[3\gamma_n^3(\pi/m)^3]+[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2/[2\gamma_n\pi/m]\\&\leq& \int_{\alpha_n}^{\beta_n}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta)+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

(2.4)

类似地有

$\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.9}&&[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4/[3(1-\gamma_n)^3(\pi/m)^3]+[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2/[2(1-\gamma_n)\pi/m]\\&\leq& \int_{\beta_n}^{\alpha_n+\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta)+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

(2.5)

合并(2.4)和(2.5)式可得

$\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.10}&&\frac{(1-\gamma_n)^3+\gamma_n^3}{\gamma_n^3(1-\gamma_n)^3}\frac{[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4}{3(\pi/m)^3}+\frac{1}{\gamma_n(1-\gamma_n)}\frac{[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2}{2\pi/m}\\&\leq&\int_{\alpha_n}^{\alpha_n+\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta\\&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3}w_n'^4(\theta){\rm d}\theta+2w_n'^2(\theta)w_n^2(\theta){\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

(2.6)

对(2.6)式左端由 $\gamma_n$ 组成的系数估计下界即得(2.1)式.

利用上述有关周期函数震荡幅度的估计,我们得到针对逼近序列的二择一性质估计.

引理2.2 设 $m\geq2$ , $\{u_n\}\subset G_m$ 且 $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}J(u_n)\geq 0$ .如果存在常数 $c_0>0$ 使得对所有的 $n\in {\Bbb N}$ , $\min\limits_{\theta \in {\Bbb S}}u_n(\theta)\leq c_0$ ,则存在 $\{u_n\}$ 的子序列（仍记为 $\{u_n\}$ ,下文简称 $\{u_n\}$ 的子序列）使得

$\begin{equation}\label{eq:lem1.2}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sup\limits_{\theta\in{\Bbb S}}u_n(\theta)= 0;\end{equation}$

(2.7)

或者存在常数 $c>0$ （依赖于 $c_0$ ）使得

$\begin{equation}\label{eq:lem1.1} c<u_n(\theta)<1/c, \ \mbox{对所有的$ n\in {\Bbb N}, \theta\in {\Bbb S}$成立.} \end{equation}$

(2.8)

证用逼近方法证明该引理.因为 $C^1({\Bbb S})$ 在 $W^{1, 4}_m$ 内稠密,则有 $\pi/m$ -周期函数列 $\{w_n\}\subset C^1({\Bbb S})$ 使得

$\begin{equation}\label{eq:lem1.3} \|u_n-w_n\|<\min\left\{1/n, \inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)/2\right\}. \end{equation}$

(2.9)

简单计算可得

$\begin{eqnarray}\label{eq:lem1.4} \inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)&=&\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}\left(w_n(\theta)-u_n(\theta)+u_n(\theta)\right) \\&\geq &\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)-\sup\limits_{\theta\in {\Bbb S}}|u_n(\theta)-w_n(\theta)|\nonumber\\ &\geq& \inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)-\|u_n-w_n\| \\&\geq & \frac{1}{2}\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}u_n(\theta)>0. \end{eqnarray}$

(2.10)

既然有上述逼近估计(2.9)和(2.10),如果证明 $\{w_n\}$ 具有二择一性质(2.7)或(2.8),则 $\{u_n\}$ 也具有二择一性质(2.7)或(2.8).引理得证.

下面证明 $\{w_n\}$ 具有二择一性质(2.7)或(2.8).由(2.9)式和 $J$ 的连续性可知

$\begin{equation}\label{eq:lem1.5}\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}}w_n^4-\frac{1}{3}w_n'^4-2w_n'^2w_n^2{\rm d}\theta=\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}J(w_n)\geq 0.\end{equation}$

(2.11)

对任意 $n\in{\Bbb N}$ ,取 $\alpha_n, \beta_n\in {\Bbb S}$ 使得 $w_n(\beta_n)=\sup\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$ , $w_n(\alpha_n)=\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}w_n(\theta)$ .由假设和(2.9)式知:存在常数 $c_1>0$ 使得 $w_n(\alpha_n)<c_1$ .对于 $\{w_n(\beta_n)\}$ ,则有如下三种情形

$\begin{eqnarray*} {\rm (I)} &&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=0;\\ {\rm (Ⅱ)} &&\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=+\infty; \\{\rm (Ⅲ)} && 0<\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)\leq\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)<+\infty.\end{eqnarray*}$

如果(Ⅰ) $\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=0$ 发生,则存在 $\{w_n\}$ 的子列使得 $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} w_n^4{\rm d}\theta=0$ .由Hölder不等式和(2.11)式知

$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_0^{\frac{\pi}{m}}w_n'^4{\rm d}\theta=0.$

所以 $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\|w_n\|= 0$ .结合嵌入定理知, $\{w_n\}$ 存在子列满足性质(2.7).

由引理2.1可知 $\{w_n\}$ 满足不等式(2.1).令 $n\rightarrow +\infty$ ,由(2.11)和(2.1)式可得

$\begin{eqnarray}\label{eq:est11}\frac{16[w_n(\beta_n)-w_n(\alpha_n)]^4}{3(\pi/m)^4}+\frac{2[w_n^2(\beta_n)-w_n^2(\alpha_n)]^2}{(\pi/m)^2}\leq w^4_n(\beta_n)+o(1).\end{eqnarray}$

(2.12)

如果(Ⅱ) $\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)=+\infty$ 发生.令 $n\rightarrow +\infty$ ,对(2.12)式两边分别乘以 $1/w_n^4(\beta_n)$ 得到如下矛盾

$\begin{eqnarray}\label{eq:est12}\frac{3}{2}<\frac{16}{3(\pi/m)^4}+\frac{2}{(\pi/m)^2}\leq 1+o(1).\end{eqnarray}$

(2.13)

如果(Ⅲ) $0<\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)\leq\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}w_n(\beta_n)<+\infty$ 发生,则存在常数 $c_2\geq c_1$ 使得对所有的 $n\in{\Bbb N}$ ,有

$\begin{eqnarray}\label{eq:est13}\frac{1}{c_2}<w_n(\beta_n)<c_2.\end{eqnarray}$

(2.14)

如果 $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}w_n(\alpha_n)=0$ ,令 $n\rightarrow +\infty$ ,并对(2.12)式两边乘以 $1/w_n^4(\beta_n)$ 得到矛盾不等式(2.13).所以存在常数 $c_3>0$ 使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:est14}w_n(\alpha_n)>c_3\ \mbox{对$ n\in {\Bbb N} $一致成立}.\end{eqnarray}$

(2.15)

结合(2.14)和(2.15)式,可得 $\{w_n\}$ 满足性质(2.8).

应用上述二择一引理,我们证明约束变分问题(1.8)存在极小可达元.

定理2.1 假设 $m\geq2$ 且 $(g_1)$ - $(g_3)$ 成立,则存在 $u\in G_m$ 使得

$I(u)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v), J(u)=I(e).$

证取 $\{u_n\}\subset G_m$ 为极小化序列,即

$\begin{eqnarray}\label{eq:th1}J(u_n)=I(e)=\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta){\rm d}\theta>0 \mbox{且}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I(u_n)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v).\end{eqnarray}$

(2.16)

我们通过下面几步证明该定理.

第1步存在常数 $c>0$ , $u_n(\alpha_n)=\inf\limits_{\theta\in {\Bbb S}}v_n(\theta)<c$ 对 $n\in {\Bbb N}$ 一致成立.

取 $v_n(\theta)=u_n(\theta)/u_n(\alpha_n)$ ,则 $\{v_n(\theta)\}\subset G_m$ ,并且

$\begin{eqnarray}\label{eq:th2}J(v_n)\geq0, \ \inf\limits_{\theta\in{\Bbb S}}v_n(\theta)\equiv 1.\end{eqnarray}$

(2.17)

因此 $\{v_n\}$ 满足引理2.2的假设,应用引理2.2可得

$\begin{eqnarray}\label{eq:th3} c<v_n(\theta)<1/c, \ \mbox{对所有的$ n\in {\Bbb N}, \theta\in {\Bbb S} $成立}; \end{eqnarray}$

(2.18)

或者存在 $\{v_n\}$ 的子序列使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:th4}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sup\limits_{\theta\in{\Bbb S}}v_n(\theta)= 0.\end{eqnarray}$

(2.19)

显然(2.19)与(2.17)式矛盾.由此排除估计式(2.19),即 $\{v_n\}$ 满足估计式(2.18).所以

$\begin{eqnarray}\label{eq:th5}|I(v_n)|=\left|\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln v_n(\theta){\rm d}\theta\right|<+\infty.\end{eqnarray}$

(2.20)

另一方面,有

$\begin{eqnarray*}\nonumber\ln (u_n(\alpha_n))\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta){\rm d}\theta&=&\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln u_n(\theta){\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln v_n(\theta){\rm d}\theta\\&\leq& I(e)-I(v_n).\end{eqnarray*}$

结合(2.20)式得到第1步结论.

第2步存在 $u\in G_m$ 及 $\{u_n\}$ 的子列使得 $u_n\mathop{\rightharpoonup}\limits^{n\rightarrow+\infty} u$ 在 $W^{1, 4}_m$ 中弱收敛且 $I(u)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v)$ .

由第1步结论知 $\{u_n(\theta)\}$ 满足引理2.2的假设,因此 $\{u_n\}$ 满足

$\begin{eqnarray}\label{eq:th6}c<u_n(\theta)<\frac{1}{c}, \ \mbox{对所有的$ n\in {\Bbb N}, \theta\in{\Bbb S} $成立} ;\end{eqnarray}$

(2.21)

或者存在 $\{u_n\}$ 的子列使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:th7}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sup\limits_{\theta\in{\Bbb S}}u_n(\theta)= 0.\end{eqnarray}$

(2.22)

如果(2.22)式发生,则有 $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u_n^4 {\rm d}\theta=0$ .由此可得矛盾: $0<I(e)=\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}J(u_n)\leq 0$ .因此排除二择一估计中的(2.22)式,我们有(2.21)式成立.由(2.21)和(2.16)式可推知 $\{u_n\}$ 在 $W^{1, 4}_m$ 中有界.所以存在 $u\in W^{1, 4}_m$ 及 $\{u_n\}$ 的子列使得 $u_n\rightharpoonup u_0$ 在 $W^{1, 4}_m$ 中弱收敛.由 $0<\alpha<{1/2}$ 时嵌入 $H^1({\Bbb S})\hookrightarrow C^\alpha({\Bbb S})$ 的紧性,我们有

$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n(\theta)= u(\theta)\ \mbox{对$ \theta\in{\Bbb S}$一致成立}.$

结合(2.21)式知,对所有的 $\theta\in{\Bbb S}$ 有估计

$\begin{eqnarray}\nonumberu(\theta)\geq c>0.\end{eqnarray}$

因此 $u\in G_m$ 且 $I(u)=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I(u_n)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v)$ .

第3步 $J(u)=I(e)$ .

由积分的凸性质可得

$\begin{eqnarray}\nonumber\int_0^{\frac{\pi}{m}} u'^4{\rm d}\theta \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u_n'^4{\rm d}\theta, \mbox{且}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u'^2u_0^2{\rm d}\theta \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_0^{\frac{\pi}{m}} u_n'^2u_n^2{\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

因此 $J(u)\geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} J(u_n)=I(e)>0$ .如果 $J(u)>I(e)$ ,则有常数 $\lambda>1$ 使得 $J(u/\lambda)=I(e)$ 且 $u/\lambda\in G_m$ .另一方面

$\begin{eqnarray*}I(u/\lambda)&=&\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln u{\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln \lambda {\rm d}\theta<\int_0^{\frac{\pi}{m}} g(\theta)\ln u{\rm d}\theta\\&=&\lim\limits_{n\rightarrow\infty}I(u_n)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v), \end{eqnarray*}$

这与约束极小的定义矛盾.因此 $J(u)=I(e)$ .

定理1.1的证明 由定理2.1可知存在集合 $G_m$ 的内点 $w$ 使得 $J(w)=I(e)$ 且

$\begin{eqnarray*}I(w)=\inf\limits_{v\in G_m, J(v)=I(e)}I(v).\end{eqnarray*}$

应用约束变分原理知,存在参数 $\omega \in \mathbb{R}$ 使得在 $W^{1, 4}_m$ 的对偶空间中有

$\begin{eqnarray*}J'(w)+\omega I'(w)=0.\end{eqnarray*}$

因此,对所有的 $\varphi\in W^{1, 4}_m$ 我们有

$\begin{eqnarray}\label{eq:th2.1}\omega \int_0^{\frac{\pi}{m} }\frac{g(\theta)}{w}\varphi {\rm d}\theta+4\int_0^{\frac{\pi}{m}}\frac{1}{3} w'^3\varphi'+w^2w'\varphi'+w'^2w\varphi-w^3\varphi {\rm d}\theta=0.\end{eqnarray}$

(2.23)

在(2.23)式中令 $\varphi=w$ ,则有

$\begin{eqnarray}\label{eq:th2.2}\omega\int_0^{\frac{\pi}{m}}g(\theta){\rm d}\theta=4\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^4-\frac{1}{3}w'^4-2w^2w'^2{\rm d}\theta=4J(w).\end{eqnarray}$

(2.24)

因此,我们有 $\omega=4J(w)/I(e)=4$ .结合(2.23)式可得 $w$ 满足积分等式(1.9).即 $w$ 是问题(1.3)的弱解.如果 $w$ 二阶可导,对任意的 $\varphi\in W^{1, 4}_m$ 通过分部积分得

$\begin{eqnarray}\label{eq:th2.3}J'(w)\varphi&=&\int_0^{\frac{\pi}{m}} \frac{1}{3}w'^3\varphi'+w^2w'\varphi'+w'^2w\varphi-w^3\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w'^2w''\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^2w''\varphi {\rm d}\theta-2\int_0^{\frac{\pi}{m}} ww'^2\varphi {\rm d}\theta\\&&+\int_0^{\frac{\pi}{m}} w'^2w\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^3\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w'^2w''\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^2w''\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w w'^2\varphi {\rm d}\theta-\int_0^{\frac{\pi}{m}} w^3\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} [w'^2w''+w^2w''+ww'^2+w^3]\varphi {\rm d}\theta\nonumber\\&=&-\int_0^{\frac{\pi}{m}} (w'^2+w^2)(w''+w)\varphi {\rm d}\theta.\end{eqnarray}$

由(1.9)和(2.25)式知 $w$ 满足积分等式(1.10).即 $w$ 在 ${\Bbb S}$ 上几乎处处满足(1.4)式.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

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, Yang

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Adv Math, 2014, 262: 909- 931

DOI:10.1016/j.aim.2014.06.004 [本文引用: 1]

... 其中

$u : {\Bbb S}^{N-1}\rightarrow(0, +\infty)$

表示凸体

$K$

的支撑函数,

$e_{i, j}$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上的标准黎曼度量,

$g$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上给定的有限Borel测度

$\mu$

的密度函数.当

$f(u)\equiv 1$

时方程(1.1)的可解性等价于经典的Minkowski问题^{[1-2, 17-18]};当

$f(u)= u^{1-p}$

时方程(1.1)的可解性等价于

$L_p$

-Minkowski问题^[10].对于 ...

On the theory of mixed volumes Ⅰ:Extension of certain concepts in the theory of convex bodies

1973

... 其中

$u : {\Bbb S}^{N-1}\rightarrow(0, +\infty)$

表示凸体

$K$

的支撑函数,

$e_{i, j}$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上的标准黎曼度量,

$g$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上给定的有限Borel测度

$\mu$

的密度函数.当

$f(u)\equiv 1$

时方程(1.1)的可解性等价于经典的Minkowski问题^{[1-2, 17-18]};当

$f(u)= u^{1-p}$

时方程(1.1)的可解性等价于

$L_p$

-Minkowski问题^[10].对于 ...

The logarithmic Minkowski problem

2013

... 其中

$k\in \mathbb{R}$

$\nabla$

表示

${\Bbb S}^{N-1}$

标准坐标架下的梯度算子,方程(1.1)的可解性等价于

${\Bbb R}^N$

上对偶Minkowski问题^[12].特别地,当

$k=N$

时,对偶Minkowski问题就是log-Minkowski问题(参见文献[3-4, 24]). ...

Affine images of isotropic measures

2015

... 其中

$k\in \mathbb{R}$

$\nabla$

表示

${\Bbb S}^{N-1}$

标准坐标架下的梯度算子,方程(1.1)的可解性等价于

${\Bbb R}^N$

上对偶Minkowski问题^[12].特别地,当

$k=N$

时,对偶Minkowski问题就是log-Minkowski问题(参见文献[3-4, 24]). ...

A localization property of viscosity solutions to the Monge-Ampére equation and their strict convexity

1990

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

-Minkowski问题^{[10-11, 16]}类似,对偶Minkowski问题被认为是经典Minkowski问题^[17-18]的重要推广.在分析上, Minkowski类问题的研究与非线性微分方程联系紧密,相关重要工作见文献[5-6, 8-9, 12, 19-20, 22].实际上, Minkowski问题的可解性等价于求解非线性微分方程 ...

Interior W^{2, p} estimates for solutions of the Monge-Ampére equation

1990

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

On the planar dual Minkowski problem

2018

... 当

$k=2$

时,问题(1.3)的可解性等价于

$\mathbb{R} ^2$

上的Log-Minkowski问题.文献[8, 13]等给出了解的存在性方面的研究成果.当

$k>1$

时,有关问题(1.3)解的存在性研究也有一些新的工作.文献[14]利用不动点定理结合椭圆方程估计得到了

$k>1$

情形对偶Minkowski问题可解性的充分条件;针对

$k>0$

和严格正的连续函数

$g$

,文献[7]利用连续性方法证明了对偶Minkowski问题解的存在性.这些参考文献在

$g$

为严格正的连续函数条件下研究对偶Minkowski问题

$C^2$

光滑正解的存在性. ...

L_p Minkowski problem with not necessarily positive data

2006

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

... 当

$k=2$

时,问题(1.3)的可解性等价于

$\mathbb{R} ^2$

上的Log-Minkowski问题.文献[8, 13]等给出了解的存在性方面的研究成果.当

$k>1$

时,有关问题(1.3)解的存在性研究也有一些新的工作.文献[14]利用不动点定理结合椭圆方程估计得到了

$k>1$

情形对偶Minkowski问题可解性的充分条件;针对

$k>0$

和严格正的连续函数

$g$

,文献[7]利用连续性方法证明了对偶Minkowski问题解的存在性.这些参考文献在

$g$

为严格正的连续函数条件下研究对偶Minkowski问题

$C^2$

光滑正解的存在性. ...

On the regularity of the solution of the n-dimensional Minkowski problem

1976

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

The L_p-Minkowski problem and the Minkowski problem in centroaffine geometry

2006

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

... 其中

$u : {\Bbb S}^{N-1}\rightarrow(0, +\infty)$

表示凸体

$K$

的支撑函数,

$e_{i, j}$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上的标准黎曼度量,

$g$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上给定的有限Borel测度

$\mu$

的密度函数.当

$f(u)\equiv 1$

时方程(1.1)的可解性等价于经典的Minkowski问题^{[1-2, 17-18]};当

$f(u)= u^{1-p}$

时方程(1.1)的可解性等价于

$L_p$

-Minkowski问题^[10].对于 ...

The two dimensional L_p Minkowski problem and nonlinear equations with negative exponents

2012

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

Geometric measures in the dual Brunn-Minkowski theory and their associated Minkowski problems

2016

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

... , 12, 19-20, 22].实际上, Minkowski问题的可解性等价于求解非线性微分方程 ...

... 其中

$k\in \mathbb{R}$

$\nabla$

表示

${\Bbb S}^{N-1}$

标准坐标架下的梯度算子,方程(1.1)的可解性等价于

${\Bbb R}^N$

上对偶Minkowski问题^[12].特别地,当

$k=N$

时,对偶Minkowski问题就是log-Minkowski问题(参见文献[3-4, 24]). ...

... 当

$k<0$

时,

$\mathbb{R}^N$

上对偶Minkowski问题已被完全解决,见文献[15, 23].当

$k>0$

时,对偶Minkowski问题的可解性相对较困难，需要新的估计和技巧.对于

$1\leq k\leq N$

和关于原点对称的Borel正测度

$\mu$

,黄勇等在文献[12]中研究了对偶Minkowski问题的存在性.对于

${\Bbb R}^2$

上的对偶Minkowski问题 ...

Remarks on the 2-dimensional L_p-Minkowski problem

2010

... 当

$k=2$

时,问题(1.3)的可解性等价于

$\mathbb{R} ^2$

上的Log-Minkowski问题.文献[8, 13]等给出了解的存在性方面的研究成果.当

$k>1$

时,有关问题(1.3)解的存在性研究也有一些新的工作.文献[14]利用不动点定理结合椭圆方程估计得到了

$k>1$

情形对偶Minkowski问题可解性的充分条件;针对

$k>0$

和严格正的连续函数

$g$

,文献[7]利用连续性方法证明了对偶Minkowski问题解的存在性.这些参考文献在

$g$

为严格正的连续函数条件下研究对偶Minkowski问题

$C^2$

光滑正解的存在性. ...

On the 2-dimensional dual Minkowski problem

2017

... 当

$k=2$

时,问题(1.3)的可解性等价于

$\mathbb{R} ^2$

上的Log-Minkowski问题.文献[8, 13]等给出了解的存在性方面的研究成果.当

$k>1$

时,有关问题(1.3)解的存在性研究也有一些新的工作.文献[14]利用不动点定理结合椭圆方程估计得到了

$k>1$

情形对偶Minkowski问题可解性的充分条件;针对

$k>0$

和严格正的连续函数

$g$

,文献[7]利用连续性方法证明了对偶Minkowski问题解的存在性.这些参考文献在

$g$

为严格正的连续函数条件下研究对偶Minkowski问题

$C^2$

光滑正解的存在性. ...

... 当

$k<0$

时,

$\mathbb{R}^N$

上对偶Minkowski问题已被完全解决,见文献[15, 23].当

$k>0$

时,对偶Minkowski问题的可解性相对较困难，需要新的估计和技巧.对于

$1\leq k\leq N$

和关于原点对称的Borel正测度

$\mu$

,黄勇等在文献[12]中研究了对偶Minkowski问题的存在性.对于

${\Bbb R}^2$

上的对偶Minkowski问题 ...

The Brunn-Minkowski-Firey theory Ⅰ:Mixed volumes and the Minkowski problem

1993

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

Allgemeine Lehrs?tze über die convexen Polyeder

1911

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

... 其中

$u : {\Bbb S}^{N-1}\rightarrow(0, +\infty)$

表示凸体

$K$

的支撑函数,

$e_{i, j}$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上的标准黎曼度量,

$g$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上给定的有限Borel测度

$\mu$

的密度函数.当

$f(u)\equiv 1$

时方程(1.1)的可解性等价于经典的Minkowski问题^{[1-2, 17-18]};当

$f(u)= u^{1-p}$

时方程(1.1)的可解性等价于

$L_p$

-Minkowski问题^[10].对于 ...

Volumen und Oberfl?che

1903

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

... 其中

$u : {\Bbb S}^{N-1}\rightarrow(0, +\infty)$

表示凸体

$K$

的支撑函数,

$e_{i, j}$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上的标准黎曼度量,

$g$

是

${\Bbb S}^{N-1}$

上给定的有限Borel测度

$\mu$

的密度函数.当

$f(u)\equiv 1$

时方程(1.1)的可解性等价于经典的Minkowski问题^{[1-2, 17-18]};当

$f(u)= u^{1-p}$

时方程(1.1)的可解性等价于

$L_p$

-Minkowski问题^[10].对于 ...

The Weyl and Minkowski problems in differential geometry in the large

1953

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

... 应用文献[21]中的标准化过程可证明泛函

$I$

和

$J$

在

$G_m$

上为

$C^1$

泛函.本文通过研究约束变分问题 ...

... 取

$k\in{\Bbb R}$

和球面

${\Bbb S}^{N-1}$

上的有限Borel测度

$\mu$

.文献[12]等提出的对偶Minkowski问题是研究使

$\mu$

能够生成

${\Bbb R}^N$

上某一凸体

$K$

的

$k$

-阶对偶曲率测度

$\widetilde{C}_k(K, \cdot)$

的充分必要条件.与

$L_p$

The dual Minkowski problem for negative indices

2017

... 当

$k<0$

时,

$\mathbb{R}^N$

上对偶Minkowski问题已被完全解决,见文献[15, 23].当

$k>0$

时,对偶Minkowski问题的可解性相对较困难，需要新的估计和技巧.对于

$1\leq k\leq N$

和关于原点对称的Borel正测度

$\mu$

,黄勇等在文献[12]中研究了对偶Minkowski问题的存在性.对于

${\Bbb R}^2$

上的对偶Minkowski问题 ...

The logarithmic Minkowski problem for polytopes

2014

... 其中

$k\in \mathbb{R}$

$\nabla$

表示

${\Bbb S}^{N-1}$

标准坐标架下的梯度算子,方程(1.1)的可解性等价于

${\Bbb R}^N$

上对偶Minkowski问题^[12].特别地,当

$k=N$

时,对偶Minkowski问题就是log-Minkowski问题(参见文献[3-4, 24]). ...

〈

〉

R\mathbb{R}2上对偶Minkowski问题的可解性

The Solvability of Dual Minkowski Problem in R\mathbb{R}2

1 引言及主要结果

2 主要结果的证明

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$\mathbb{R}$ ²上对偶Minkowski问题的可解性

The Solvability of Dual Minkowski Problem in $\mathbb{R}$ ²

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