在$ {\Bbb R} ^{3} $中不可压NS方程描述如下:

(1.1) $ \begin{equation} {\rm (NS)}\quad \left\{ \begin{array}{ll} \partial _{t}u-\Delta u+(u\cdot \nabla )u+\nabla p = 0, \\ \nabla\cdot u = 0, \\ u(x, 0) = u_{0}(x). \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) $表示流体的速度场; $ p $表示流体的压强. $ u_{0} $表示初始值,且在分布意义下有$ \nabla\cdot u_{0} = 0 $.

对于给定的初始速度$ u_{0}\in L^{2}({\Bbb R} ^{3}) $,文献[1-2]构建了方程的整体弱解,通常称为Leray-Hopf弱解.关于弱解的正则性或唯一性是流体力学方程中最有挑战性的问题. 1962年,文献[3]证明了,如果弱解满足

(1.2) $ \begin{equation} u\in L^{p}([0, T); L^{q}({\Bbb R} ^{3})), \; \; \; \; \frac{2}{p}+\frac{3}{q} = 1, \; \; 3<q\leq\infty, \end{equation} $

则弱解是$ [0, T) $上唯一的强解. 1995年,文献[4]给出了关于速度场梯度的正则性准则

(1.3) $ \begin{equation} \nabla u\in L^{p}([0, T); L^{q}({\Bbb R} ^{3})), \; \; \; \; \frac{2}{p}+\frac{3}{q} = 2, \; \; \frac{3}{2}<q\leq\infty. \end{equation} $

在文献[3-4]的基础上有许多文献(如文献[5-7])对条件(1.2)和(1.3)进行了改进与推广.

在$ {\Bbb R}^{3} $中不可压MHD方程描述如下:

(1.4) $ \begin{equation} {\rm (MHD)}\quad \left\{ \begin{array}{ll} \partial _{t}u-\Delta u+(u\cdot \nabla )u+\nabla(p+\frac{|b|^{2}}{2}) = (b\cdot\nabla)b , \\ \partial _{t}b-\Delta b+(u\cdot \nabla )b-(b\cdot\nabla)u = 0, \\ \nabla\cdot u = 0, \quad \nabla\cdot b = 0, \\ u(x, 0) = u_{0}(x), \quad b(x, 0) = b_{0}(x), \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) $; $ b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) $分别表示速度场与磁场; $ p $表示压强. $ (u_{0}, b_{0}) $表示初始值,且在分布意义下有$ \nabla\cdot u_{0} = \nabla\cdot b_{0} = 0 $.

对于初值$ (u_{0}, b_{0})\in L^{2}({\Bbb R}^{3}) $,文献[8]证明了方程存在整体弱解;解的形式与NS方程弱解相似.由于当$ b = 0 $时, MHD方程退化成了NS方程.因此, MHD方程弱解的正则性问题也是一个未被解决的问题.在文献[9]中给出了只涉及速度场的正则性准则(1.2)和(1.3),结果表明速度场在三维不可压MHD方程的正则性理论中有决定性的作用.最近,文献[10-11]考虑带有部分分量的正则性准则;其结果表明速度场的部分分量似乎不能完全控制弱解的正则性;必须要考虑磁场的作用.

本文的目的是在Triebel-Lizorkin空间和乘子空间中分别考虑了NS方程与MHD方程只涉及部分分量的正则性准则,相应的结论是对已有结论的改进和推广.本文的主要定理如下:

定理1.1  假设$ u_{0}\in H^{1}({\Bbb R} ^{3}) $是NS方程给定的初值, $ u $是方程(1.1)在$ [0, T) $上的弱解.如果水平场的水平梯度$ \nabla_{h}\tilde{u} $满足

(1.5) $ \begin{equation} \nabla_{h}\tilde{u}\in L^{p}(0, T; \dot{F}^{0}_{q, \frac{2q}{3}}({\Bbb R} ^{3})), \; \; \; \; \; \frac{2}{p}+\frac{3}{q} = 2, \; \; \; \; \frac{3}{2}<q\leq\infty. \end{equation} $

则弱解是$ [0, T) $上的唯一强解.

注1.1  从定理$ 1.1 $可得到如下的结论:

如果$ u $是NS方程在$ [0, T) $上的强解.若$ T>0 $是解存在的最大区间,则有

(1.6) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|^{q}_{\dot{F}^{0}_{q, \frac{2q}{3}}({\Bbb R} ^{3})}{\rm d}t = +\infty, \; \; \; \; \; \frac{2}{p}+\frac{3}{q} = 2, \; \; \; \; \; \; \frac{3}{2}<q\leq\infty , \end{equation} $

特别地,有

(1.7) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}^{0}_{\infty, \infty}({\Bbb R} ^{3})}{\rm d}t = +\infty. \end{equation} $

由于$ \dot{F}^{0}_{\infty, \infty} = \dot{B}^{0}_{\infty, \infty} $,定理的结果覆盖了文献[12]的结论.

定理1.2  假设$ (u_{0}, b_{0})\in H^{1}({\Bbb R} ^{3}) $是MHD方程给定的初值, $ (u, b) $是方程(1.4)在$ [0, T) $上的弱解.如果水平场$ (\tilde{u}, \tilde{b}) $满足

(1.8) $ \begin{equation} (\tilde{u}, \tilde{b})\in L^{\frac{2}{1-r}}(0, T; \dot{X}_{r}), \quad r\in[0, 1), \end{equation} $

或者水平场的水平梯度$ (\nabla_{h}\tilde{u}, \nabla_{h}\tilde{b}) $满足

(1.9) $ \begin{equation} (\nabla_{h}\tilde{u}, \nabla_{h}\tilde{b})\in L^{\frac{2}{2-r}}(0, T; \dot{X}_{r}), \quad r\in[0, 1], \end{equation} $

则弱解是$ [0, T) $上的唯一强解.

注1.2  文献[10]给出如下的正则性准则

(1.10) $ \begin{equation} ( \nabla_{h} u, \nabla_{h} b)\in L^{p}([0, \infty); L^{q}({\Bbb R} ^{3})), \; \; \; \; \frac{2}{p}+\frac{3}{q} = 2, \; \; \frac{3}{2}<q\leq\infty. \end{equation} $

当$ 0\leq r<\frac{3}{2} $时,有$ L^{\frac{3}{r}}({\Bbb R} ^{3})\subset \dot{X}_{r}({\Bbb R} ^{3}) $.定理$ 1.2 $在两方面对条件(1.10)进行了改进: $ (1) $所选取的空间更大,条件相对减弱; $ (2) $只涉及到了水平部分的分量,分量个数更少.

注1.3  本文中用$ \|\cdot \|_{p} $表示Lebesgue空间$ L^{p}({\Bbb R} ^{3}) $中的范数, $ \|.\|_{H^{p}} $表示Sobolev空间$ H^{p}({\Bbb R} ^{3}) $中的范数,其中$ C $表示一般常数.

首先回顾齐次Triebel-Lizorkin空间的基本概念,更多的内容可以参考文献[13-14].

假设$ B = \{\xi\in {\Bbb R} ^{3}, |\xi|\leq \frac{4}{3}\} $, $ C = \{\xi\in {\Bbb R} ^{3}, \frac{3}{4}\leq|\xi|\leq \frac{8}{3}\} $.选择两个非负的径向光滑函数$ \chi, \varphi $,使得紧致集分别在$ B, C $中,满足

$ \chi(\xi)+\sum\limits_{j\geq 0}\varphi(2^{-j}\xi) = 1, \quad \xi\in {\Bbb R} ^{3}, $

$ \sum\limits_{j\in Z}\varphi(2^{-j}\xi) = 1, \quad \xi\in {\Bbb R} ^{3}\setminus \{0\}. $

此处$ \varphi_{j}(\xi) = \varphi(2^{-j}\xi) $.

定义局部算子$ \Delta_{j}, S_{j} $如下:

$ \Delta_{-1}f = F^{-1}(\chi(\xi)\hat{f}(\xi)), \quad \Delta_{j}f = F^{-1}(\varphi(2^{-j}\xi \hat{f}(\xi))), \; \; \; \; \; \; \; \; j\geq 0. $

$ S_{j}f = \sum\limits_{k = -1}^{j-1}\Delta_{k}f, $

通过叠加,可以获得如下的Littlewood-Paley分解

$ f = \sum\limits_{j = -\infty}^{\infty}\Delta_{j}f, \quad f\in L^{2}({\Bbb R} ^{3}). $

下面介绍经典的Bernstein不等式:

引理2.1  假设$ 1\leq p\leq q\leq\infty $.如果$ f\in L^{p}({\Bbb R} ^{3}) $,则存在常数$ C $,使得

$ \sup\limits_{|\alpha| = k}\|\partial^{\alpha}\Delta_{j}f\|_{q}\leq C2^{jk+3j(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\|\Delta_{j}f\|_{p}. $

齐次Triebel-Lizorkin空间的半范数定义如下

(2.1) $ \begin{equation} \|f\|_{\dot{F}_{p, q}^{s}} = \left\{ \begin{array}{ll} \bigg \|\bigg(\sum\limits_{j\in Z}2^{jqs}|\Delta_{j}f(\cdot )|^{q}\bigg)^{\frac{1}{q}}\bigg\|_{p} , &\quad\mbox{if} \; \, q\in[1, \infty), \\ \Big \|\sup\limits_{j\in Z}(2^{js}|\Delta_{j}f(\cdot)|)\Big\|_{p}, &\quad\mbox{if}\, \; q = \infty. \end{array} \right. \end{equation} $

下面介绍乘子空间的定义以及相关的性质,更多的内容可以参考文献[15-16]等.

定义2.1  假设$ 0\leq r<\frac{3}{2} $,对于任意的$ f\in L_{loc}^{2}({\Bbb R} ^{3}) $,如果$ f\in \dot{X}_{r}({\Bbb R} ^{3}) $,则

$ \|f\|_{\dot{X}_{r}} = \sup\limits_{\|g\|_{\dot{H}^{r}}\leq1}\|fg\|_{2}<+\infty, $

其中$ \dot{H}^{r}(R^{3}) $表示齐次Sobolev空间,范数定义如下:

$ \|u\|_{\dot{H}^{r}} = \|(-\Delta)^{\frac{r}{2}}u\|_{2} = \||\xi|^{r}\hat{u}(\xi)\|_{2}. $

齐次Sobolev空间具有如下的性质^[17]:

引理2.2  如果$ 0\leq r\leq 1 $,则

(2.2) $ \begin{equation} \|u\|_{\dot{H}^{r}}\leq C\|u\|_{2}^{1-r}\|\nabla u\|_{2}^{r}. \end{equation} $

首先将方程(1.1)写成旋度形式$ (\omega = \nabla\times u) $:

(3.1) $ \begin{equation} \partial_{t}\omega-\Delta\omega = (\omega\cdot\nabla)u-(u\cdot\nabla)\omega. \end{equation} $

在定理的证明过程中,下面的引理是一个关键的观察.

引理3.1  假设$ u $是方程(1.1)的光滑解,则有如下分解

(3.2) $ \begin{equation} \int_{{\Bbb R} ^{3}}(\omega\cdot\nabla)u\cdot\omega {\rm d}x\leq C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x. \end{equation} $

证

(3.3) $ \begin{eqnarray} \int_{{\Bbb R} ^{3}}(\omega\cdot\nabla)u\cdot\omega {\rm d}x & = &\sum\limits_{i, j = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{i}\partial_{i}u_{j}\omega_{j}{\rm d}x\\ & = &\sum\limits_{i, j = 1}^{2}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{i}\partial_{i}u_{j}\omega_{j}{\rm d}x +\sum\limits_{i = 1}^{2}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{i}\partial_{i}u_{3}\omega_{3}{\rm d}x+\sum\limits_{j = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{3}\partial_{3}u_{j}\omega_{j}{\rm d}x\\ & = &I_{1}+I_{2}+I_{3}. \end{eqnarray} $

对于第一项,显然有

$ \label{} I_{1}\leq C \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||w|^{2}{\rm d}x. $

由于$ \omega_{3} = \partial_{1}u_{2}-\partial_{2}u_{1} $,则有$ |\omega_{2}|\leq |\nabla_{h}\tilde{u}| $,故

$ \label{} I_{2}; I_{3}\leq C \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||w|^{2}{\rm d}x. $

综合上面各项,可知(3.2)式成立.

为了获得定理1.1的证明,事实上只要对方程的光滑解证明如下的结论即可.

引理3.2  假设$ u_{0}\in H^{1}({\Bbb R} ^{3}) $.假定$ u $是方程(1.1)在$ [0, T) $上的光滑解并且满足条件(1.6),则有

(3.4) $ \begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T)}\|\omega(t)\|_{2}^{2}\leq C(\|u_{0}\|_{H^{1}};\|\nabla_{h}\tilde{u}\|^{q}_{\dot{F}^{0}_{q, \frac{2q}{3}}({\Bbb R} ^{3})}). \end{equation} $

证  对方程(3.1)两边对$ \omega $作$ L^{2} $內积并结合引理3.1,则有

(3.5) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla \omega\|_{2}^{2}& = &\int_{R^{3}}(\omega\cdot\nabla)u\cdot \omega {\rm d}x \leq C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

利用Littlewood-Paley分解,则有

(3.6) $ \begin{equation} \nabla_{h}\tilde{u} = \sum\limits_{l = -\infty}^{+\infty}\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u}) = \sum\limits_{l<-N}(\nabla_{h}\tilde{u})+\sum\limits_{l = -N}^{N}\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})+\sum\limits_{l>N}(\nabla_{h}\tilde{u}). \end{equation} $

此处的$ N $是一个待定的正整数.

(3.7) $ \begin{eqnarray} \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2} {\rm d}x& = &\sum\limits_{l<-N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x+\sum\limits_{l = -N}^{N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x+\sum\limits_{l>N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x\\ & = & H_{1}+H_{2}+H_{3}. \end{eqnarray} $

利用Holder不等式和Bernstein不等式可知

(3.8) $ \begin{eqnarray} H_{1} & = & \sum\limits_{l<-N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x \\ &\leq& C\sum\limits_{l<-N}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\infty}\|\omega\|_{2}^{2}\\ &\leq&C\sum\limits_{l<-N}2^{-\frac{3}{2}l}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{2}\|\omega\|_{2}^{2}\\ &\leq&C2^{-\frac{3}{2}N}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{2}\|\omega\|_{2}^{2}\\ &\leq&C2^{-\frac{3}{2}N}\|\omega\|_{2}^{3}, \end{eqnarray} $

这里已经用到$ \|\nabla u\|_{2}\leq C\|\omega\|_{2} $.

利用Holder不等式与Young不等式,有

(3.9) $ \begin{eqnarray} H_{2} & = & \sum\limits_{l = -N}^{N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}(\sum\limits_{l = -N}^{N}|\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})|^{\frac{2q}{3}})^{\frac{3}{2q}}N^{1-\frac{3}{2q}}|\omega|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& CN^{1-\frac{3}{2q}}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}\|\omega\|_{q^{*}}^{2}\\ &\leq& CN^{1-\frac{3}{2q}}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}\|\omega\|_{2}^{2-\frac{3}{q}}\|\nabla\omega\|_{2}^{\frac{3}{q}}\\ &\leq& \frac{1}{4}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}+CN\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\|\omega\|_{2}^{2}, \end{eqnarray} $

这里$ \frac{1}{q}+\frac{2}{q^{*}} = 1 $.下面估计

(3.10) $ \begin{eqnarray} H_{3} & = & \sum\limits_{l>N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\|\omega\|_{3}^{2}\sum\limits_{l>N}\|\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})\|_{3}\\ &\leq& C\|\omega\|_{2}\|\nabla\omega\|_{2} \bigg(\sum\limits_{l>N}2^{-l}\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\sum\limits_{l>N}2^{2l}\|\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})\|_{2}^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C2^{-\frac{N}{2}}\|\omega\|_{2}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

综合上述各式,则有

(3.11) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{2}^{2}+\frac{3}{4}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}\leq CN\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\|\omega\|_{2}^{2}+C2^{-\frac{N}{2}}\|\omega\|_{2}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}. \end{equation} $

然后取$ N $,使得

(3.12) $ \begin{equation} C2^{-\frac{N}{2}}\|\omega\|_{2}\leq\frac{1}{4}, \end{equation} $

则有

(3.13) $ \begin{equation} N\geq \frac{\ln(\|\omega\|_{2}^{2}+e)+\ln C}{\ln2}+4. \end{equation} $

代入不等式,可得

(3.14) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{2}^{2}+\|\nabla\omega\|_{2}^{2}\leq C+C\|\omega\|_{2}^{2}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\ln(\|\omega\|_{2}^{2}+{\rm e}). \end{equation} $

利用Gronwall不等式,则有

(3.15) $ \begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T)}\|\omega\|_{2}^{2}\leq (\|\omega_{0}\|_{2}^{2}+CT)\exp \bigg\{\int_{0}^{t}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\ln(\|\omega\|_{2}^{2}+e){\rm d}s\bigg\}. \end{equation} $

再一次利用Gronwall不等式,则有

(3.16) $ \begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T)}\|\omega\|_{2}^{2}\leq C\exp \bigg\{\exp\bigg(\int_{0}^{T}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{p}\bigg)\bigg\}, \qquad p = \frac{2q}{2q-3}. \end{equation} $

证毕.

根据NS方程的强弱定理可以根据一个非常的标准的讨论过程完成定理1.1的证明,此处从略.

为了证明定理1.2,同样的只需要对光滑解有如下的估计:

引理4.1  假设$ (u_{0}, b_{0})\in H^{1}({\Bbb R} ^{3}) $,且$ (u, b) $是方程(1.4)上的光滑解.如果满足条件$ (1.8) $或$ (1.9) $,则

(4.1) $ \begin{equation} \sup\limits_{0\leq t<T}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|^{2}_{2})\leq C, \end{equation} $

其中$ C $依赖于初值以及条件$ (1.8) $和$ (1.9) $.

证  情形1:证明在条件(1.8)下的结论.

首先对方程$ (1.4) $的$ u $ -方程和$ b $ -方程分别用$ -\Delta u $和$ -\Delta b $做$ L^{2} $內积,则有

(4.2) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|^{2}_{2})+\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|\Delta b\|_{2}^{2}\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(u\cdot\nabla)u]\cdot\Delta u{\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(b\cdot\nabla)b]\cdot\Delta u{\rm d}x\\ && +\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(u\cdot\nabla)b]\cdot\Delta b{\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(b\cdot\nabla)u]\cdot\Delta b{\rm d}x\\ & = &-\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}u_{k}\cdot\partial_{k}u_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x\\ && -\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}u_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}b_{j}{\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}u_{j}\cdot\partial_{i}b_{j}{\rm d}x\\ & = &\sum\limits_{i = 1}^{4}I_{i}. \end{eqnarray} $

下面逐项估计:对于$ I_{1} $项,利用Holder不等式以及乘子空间的定义并结合齐次Sobolev空间的不等式,可得

(4.3) $ \begin{eqnarray} |I_{1}|&\leq& C \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\tilde{u}||\nabla u||\Delta u|{\rm d}x \\ &\leq& C \|\tilde{u}\cdot\nabla u\|_{2}\|\Delta u\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta u\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{2}^{1-r}\|\Delta u\|_{2}^{1+r}\\ &\leq& C\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}\|\nabla u\|_{2}^{2}+\frac{1}{8}\|\Delta u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

下面估计$ I_{2} $,

(4.4) $ \begin{eqnarray} I_{2}& = & \int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x \\ & = &\sum\limits_{j = 1}^{2}\sum\limits_{i, k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x+\sum\limits_{i, k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{3}\cdot\partial_{i}u_{3}{\rm d}x\\ & = &I_{21}+I_{22}. \end{eqnarray} $

利用$ I_{1} $的估计方法,可以将$ I_{21} $, $ I_{22} $分别估计如下

(4.5) $ \begin{eqnarray} |I_{21}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\tilde{u}||\nabla b||\Delta b|{\rm d}x\\ &\leq& C\|\tilde{u}\cdot\nabla b\|_{2}\|\Delta b\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta b\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}\|\nabla b\|_{2}^{2}+\frac{1}{12}\|\Delta b\|_{2}^{2}, \end{eqnarray} $

(4.6) $ \begin{eqnarray} |I_{22}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\tilde{b}|(|\nabla b||\Delta u|+|\Delta b||\nabla u|){\rm d}x \\ &\leq& C \|\tilde{b}\cdot\nabla b\|_{2}\|\Delta u\|_{2}+ \|\tilde{b}\cdot\nabla u\|_{2}\|\Delta b\|_{2} \\ &\leq& C\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta u\|_{2}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta b\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}(\|\nabla b\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2})+\frac{1}{12}\|\Delta b\|_{2}^{2}+\frac{1}{8}\|\Delta u\|_{2}^{2}, \end{eqnarray} $

(4.7) $ \begin{equation} |I_{3}|; |I_{4}|\leq C (\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}})(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\frac{1}{6}\|\Delta b\|_{2}^{2}+\frac{1}{8}\|\Delta u\|_{2}^{2}. \end{equation} $

综合上面的各项,有

(4.8) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|\Delta b\|_{2}^{2} \leq C (\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}})(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2}). \end{equation} $

利用Gronwall不等式,有

$ \sup\limits_{t\in[0, T)}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})\leq C(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla b_{0}\|_{2}^{2})\exp \bigg\{C\int_{0}^{T}(\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}){\rm d}t\bigg\}. $

情形2:证明在条件(1.9)下的结论.

证明的过程与第一部分类似,所不同的是对非线性部分的分解.对于$ I_{1} $,由引理$ 3.1 $,可知

(4.9) $ \begin{eqnarray} |I_{1}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\nabla u|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{\dot{H}^{r}}\|\nabla u\|_{2}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{2}^{2-r}\|\Delta u\|_{2}^{r}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}\|\nabla u\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\Delta u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

对于$ I_{2} $,用分量的形式写出来,然后分成四个部分

(4.10) $ \begin{eqnarray} I_{2}& = & \int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x \\ & = &\sum\limits_{i, j = 1}^{2}\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x+\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{3}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{3}\cdot\partial_{3}u_{3}{\rm d}x\\ &&+\sum\limits_{i = 1}^{2}\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{3}\cdot\partial_{i}u_{3}{\rm d}x +\sum\limits_{j = 1}^{2}\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{3}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{3}u_{j}{\rm d}x \\& = &I_{21}+I_{22}+I_{23}+I_{24}. \end{eqnarray} $

利用Holder不等式以及乘子空间的定义并结合齐次Sobolev空间的不等式,可以分别估计如下

(4.11) $ \begin{eqnarray} |I_{21}|;|I_{22}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\nabla b|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\nabla b\|_{2}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{2}^{2-r}\|\Delta b\|_{2}^{r}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}\|\nabla b\|_{2}^{2}+\frac{1}{24}\|\Delta b\|_{2}^{2}, \end{eqnarray} $

(4.12) $ \begin{eqnarray} |I_{23}|;|I_{24}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{b}||\nabla b||\nabla u|{\rm d}x\\ &\leq&C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\nabla u\|_{2}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}\|\nabla b\|_{2}^{\frac{2(1-r)}{2-r}}\|\nabla u\|_{2}^{\frac{2}{2-r}}+\frac{1}{24}\|\Delta b\|_{2}^{2}\\ &\leq&C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\frac{1}{24}\|\Delta b\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

由于$ I_{3} $, $ I_{4} $在形式上与$ I_{2} $类似,所以省略具体的分解过程

(4.13) $ \begin{equation} |I_{3}|;|I_{4}|\leq C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\frac{1}{6}\|\Delta b\|_{2}^{2}. \end{equation} $

综合上面各项估计,则有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|\Delta b\|_{2}^{2} \leq C (\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}+\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}})(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2}). $

最后利用Gronwall不等式,可得

$ \label{} \sup\limits_{t\in[0, T)}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})\leq C(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla b_{0}\|_{2}^{2})\exp \bigg\{C\int_{0}^{T}(\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}+\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}){\rm d}t\bigg\}. $

证毕.

利用引理4.1,证明定理1.2是一个标准的过程,此处从略.