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数学物理学报, 2019, 39(5): 1136-1145 doi:

论文

涉及水平分量的NS方程与MHD方程的正则性准则

张辉,, 许娟

Regularity Criteria for the NS and MHD Equations in Terms of Horizontal Components

Zhang Hui,, Xu Juan

通讯作者: 张辉, E-mail: zhangaqtc@126.com

收稿日期: 2018-06-7  

基金资助: 安徽省教育厅项目.  AQKJ2014B009
安庆师范大学博士科研启动基金.  K050001309

Received: 2018-06-7  

Fund supported: the Anhui Education Bureau.  AQKJ2014B009
the Doctor's Funding of Anqing Normal University.  K050001309

摘要

该文在Triebel-Lizorkin空间和乘子空间中分别考虑了三维Navier-Stokes(NS)方程与Magneto-hydrodynamics(MHD)方程的正则性准则.利用Littlewood-Paley分解与能量不等式的方法获得了一些结果.关于NS方程,证明了如果水平速度场ũ=(u1u2,0)的水平梯度

h˜uLp(0,T;˙F0q,2q3(R3)),     2p+3q=2,    32<q,

则弱解是存在区间[0,T)上的唯一强解,其中▽h=(12,0).关于MHD方程,证明了如果水平速度场与水平磁场

(˜u,˜b)L21r(0,T;˙Xr(R3)),r[0,1),

或者相应的水平梯度

(h˜u,h˜b)L22r(0,T;˙Xr(R3)),r[0,1],

则弱解是存在区间[0,T)上的唯一强解.

关键词: Navier-Stokes方程 ; MHD方程 ; 正则性准则

Abstract

In this paper, we consider the regularity of weak solutions to the incompressible NS equations and MHD equations in the Triebel-Lizorkin space and multiplier space respectively. By using Littlewood-Paley decomposition and energy estimate methods, we proved that if horizontal velocity ũ=(u1, u2, 0) satisfies

h˜uLp(0,T;˙F0q,2q3(R3)),     2p+3q=2,    32<q,

then the weak solution is actually the unique strong solution on[0, T). For MHD equations, we prove that if horizontal velocity and magnetic field satisfies

(˜u,˜b)L21r(0,T;˙Xr(R3)),r[0,1),

or horizontal gradient satisfies

(h˜u,h˜b)L22r(0,T;˙Xr(R3)),r[0,1],

then the weak solution is actually unique strong solution on[0, T).

Keywords: NS equations ; MHD equations ; Regularity criteria

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本文引用格式

张辉, 许娟. 涉及水平分量的NS方程与MHD方程的正则性准则. 数学物理学报[J], 2019, 39(5): 1136-1145 doi:

Zhang Hui, Xu Juan. Regularity Criteria for the NS and MHD Equations in Terms of Horizontal Components. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(5): 1136-1145 doi:

1 引言

R3中不可压NS方程描述如下:

(NS){tuΔu+(u)u+p=0,u=0,u(x,0)=u0(x).
(1.1)

其中u=(u1,u2,u3)表示流体的速度场; p表示流体的压强. u0表示初始值,且在分布意义下有u0=0.

对于给定的初始速度u0L2(R3),文献[1-2]构建了方程的整体弱解,通常称为Leray-Hopf弱解.关于弱解的正则性或唯一性是流体力学方程中最有挑战性的问题. 1962年,文献[3]证明了,如果弱解满足

uLp([0,T);Lq(R3)),2p+3q=1,3<q,
(1.2)

则弱解是[0,T)上唯一的强解. 1995年,文献[4]给出了关于速度场梯度的正则性准则

uLp([0,T);Lq(R3)),2p+3q=2,32<q.
(1.3)

在文献[3-4]的基础上有许多文献(如文献[5-7])对条件(1.2)和(1.3)进行了改进与推广.

R3中不可压MHD方程描述如下:

(MHD){tuΔu+(u)u+(p+|b|22)=(b)b,tbΔb+(u)b(b)u=0,u=0,b=0,u(x,0)=u0(x),b(x,0)=b0(x),
(1.4)

其中u=(u1,u2,u3); b=(b1,b2,b3)分别表示速度场与磁场; p表示压强. (u0,b0)表示初始值,且在分布意义下有u0=b0=0.

对于初值(u0,b0)L2(R3),文献[8]证明了方程存在整体弱解;解的形式与NS方程弱解相似.由于当b=0时, MHD方程退化成了NS方程.因此, MHD方程弱解的正则性问题也是一个未被解决的问题.在文献[9]中给出了只涉及速度场的正则性准则(1.2)和(1.3),结果表明速度场在三维不可压MHD方程的正则性理论中有决定性的作用.最近,文献[10-11]考虑带有部分分量的正则性准则;其结果表明速度场的部分分量似乎不能完全控制弱解的正则性;必须要考虑磁场的作用.

本文的目的是在Triebel-Lizorkin空间和乘子空间中分别考虑了NS方程与MHD方程只涉及部分分量的正则性准则,相应的结论是对已有结论的改进和推广.本文的主要定理如下:

定理1.1  假设u0H1(R3)是NS方程给定的初值, u是方程(1.1)在[0,T)上的弱解.如果水平场的水平梯度h˜u满足

h˜uLp(0,T;˙F0q,2q3(R3)),2p+3q=2,32<q.
(1.5)

则弱解是[0,T)上的唯一强解.

注1.1  从定理1.1可得到如下的结论:

如果u是NS方程在[0,T)上的强解.若T>0是解存在的最大区间,则有

T0
(1.6)

特别地,有

\begin{equation} \int_{0}^{T}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}^{0}_{\infty, \infty}({\Bbb R} ^{3})}{\rm d}t = +\infty. \end{equation}
(1.7)

由于 \dot{F}^{0}_{\infty, \infty} = \dot{B}^{0}_{\infty, \infty} ,定理的结果覆盖了文献[12]的结论.

定理1.2  假设 (u_{0}, b_{0})\in H^{1}({\Bbb R} ^{3}) 是MHD方程给定的初值, (u, b) 是方程(1.4)在 [0, T) 上的弱解.如果水平场 (\tilde{u}, \tilde{b}) 满足

\begin{equation} (\tilde{u}, \tilde{b})\in L^{\frac{2}{1-r}}(0, T; \dot{X}_{r}), \quad r\in[0, 1), \end{equation}
(1.8)

或者水平场的水平梯度 (\nabla_{h}\tilde{u}, \nabla_{h}\tilde{b}) 满足

\begin{equation} (\nabla_{h}\tilde{u}, \nabla_{h}\tilde{b})\in L^{\frac{2}{2-r}}(0, T; \dot{X}_{r}), \quad r\in[0, 1], \end{equation}
(1.9)

则弱解是 [0, T) 上的唯一强解.

注1.2  文献[10]给出如下的正则性准则

\begin{equation} ( \nabla_{h} u, \nabla_{h} b)\in L^{p}([0, \infty); L^{q}({\Bbb R} ^{3})), \; \; \; \; \frac{2}{p}+\frac{3}{q} = 2, \; \; \frac{3}{2}<q\leq\infty. \end{equation}
(1.10)

0\leq r<\frac{3}{2} 时,有 L^{\frac{3}{r}}({\Bbb R} ^{3})\subset \dot{X}_{r}({\Bbb R} ^{3}) .定理 1.2 在两方面对条件(1.10)进行了改进: (1) 所选取的空间更大,条件相对减弱; (2) 只涉及到了水平部分的分量,分量个数更少.

注1.3  本文中用 \|\cdot \|_{p} 表示Lebesgue空间 L^{p}({\Bbb R} ^{3}) 中的范数, \|.\|_{H^{p}} 表示Sobolev空间 H^{p}({\Bbb R} ^{3}) 中的范数,其中 C 表示一般常数.

2 预备知识

首先回顾齐次Triebel-Lizorkin空间的基本概念,更多的内容可以参考文献[13-14].

假设 B = \{\xi\in {\Bbb R} ^{3}, |\xi|\leq \frac{4}{3}\} , C = \{\xi\in {\Bbb R} ^{3}, \frac{3}{4}\leq|\xi|\leq \frac{8}{3}\} .选择两个非负的径向光滑函数 \chi, \varphi ,使得紧致集分别在 B, C 中,满足

\chi(\xi)+\sum\limits_{j\geq 0}\varphi(2^{-j}\xi) = 1, \quad \xi\in {\Bbb R} ^{3},

\sum\limits_{j\in Z}\varphi(2^{-j}\xi) = 1, \quad \xi\in {\Bbb R} ^{3}\setminus \{0\}.

此处 \varphi_{j}(\xi) = \varphi(2^{-j}\xi) .

定义局部算子 \Delta_{j}, S_{j} 如下:

\Delta_{-1}f = F^{-1}(\chi(\xi)\hat{f}(\xi)), \quad \Delta_{j}f = F^{-1}(\varphi(2^{-j}\xi \hat{f}(\xi))), \; \; \; \; \; \; \; \; j\geq 0.

S_{j}f = \sum\limits_{k = -1}^{j-1}\Delta_{k}f,

通过叠加,可以获得如下的Littlewood-Paley分解

f = \sum\limits_{j = -\infty}^{\infty}\Delta_{j}f, \quad f\in L^{2}({\Bbb R} ^{3}).

下面介绍经典的Bernstein不等式:

引理2.1  假设 1\leq p\leq q\leq\infty .如果 f\in L^{p}({\Bbb R} ^{3}) ,则存在常数 C ,使得

\sup\limits_{|\alpha| = k}\|\partial^{\alpha}\Delta_{j}f\|_{q}\leq C2^{jk+3j(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\|\Delta_{j}f\|_{p}.

齐次Triebel-Lizorkin空间的半范数定义如下

\begin{equation} \|f\|_{\dot{F}_{p, q}^{s}} = \left\{ \begin{array}{ll} \bigg \|\bigg(\sum\limits_{j\in Z}2^{jqs}|\Delta_{j}f(\cdot )|^{q}\bigg)^{\frac{1}{q}}\bigg\|_{p} , &\quad\mbox{if} \; \, q\in[1, \infty), \\ \Big \|\sup\limits_{j\in Z}(2^{js}|\Delta_{j}f(\cdot)|)\Big\|_{p}, &\quad\mbox{if}\, \; q = \infty. \end{array} \right. \end{equation}
(2.1)

下面介绍乘子空间的定义以及相关的性质,更多的内容可以参考文献[15-16]等.

定义2.1  假设 0\leq r<\frac{3}{2} ,对于任意的 f\in L_{loc}^{2}({\Bbb R} ^{3}) ,如果 f\in \dot{X}_{r}({\Bbb R} ^{3}) ,则

\|f\|_{\dot{X}_{r}} = \sup\limits_{\|g\|_{\dot{H}^{r}}\leq1}\|fg\|_{2}<+\infty,

其中 \dot{H}^{r}(R^{3}) 表示齐次Sobolev空间,范数定义如下:

\|u\|_{\dot{H}^{r}} = \|(-\Delta)^{\frac{r}{2}}u\|_{2} = \||\xi|^{r}\hat{u}(\xi)\|_{2}.

齐次Sobolev空间具有如下的性质[17]:

引理2.2  如果 0\leq r\leq 1 ,则

\begin{equation} \|u\|_{\dot{H}^{r}}\leq C\|u\|_{2}^{1-r}\|\nabla u\|_{2}^{r}. \end{equation}
(2.2)

3 定理1.1的证明

首先将方程(1.1)写成旋度形式 (\omega = \nabla\times u) :

\begin{equation} \partial_{t}\omega-\Delta\omega = (\omega\cdot\nabla)u-(u\cdot\nabla)\omega. \end{equation}
(3.1)

在定理的证明过程中,下面的引理是一个关键的观察.

引理3.1  假设 u 是方程(1.1)的光滑解,则有如下分解

\begin{equation} \int_{{\Bbb R} ^{3}}(\omega\cdot\nabla)u\cdot\omega {\rm d}x\leq C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x. \end{equation}
(3.2)

\begin{eqnarray} \int_{{\Bbb R} ^{3}}(\omega\cdot\nabla)u\cdot\omega {\rm d}x & = &\sum\limits_{i, j = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{i}\partial_{i}u_{j}\omega_{j}{\rm d}x\\ & = &\sum\limits_{i, j = 1}^{2}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{i}\partial_{i}u_{j}\omega_{j}{\rm d}x +\sum\limits_{i = 1}^{2}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{i}\partial_{i}u_{3}\omega_{3}{\rm d}x+\sum\limits_{j = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\omega_{3}\partial_{3}u_{j}\omega_{j}{\rm d}x\\ & = &I_{1}+I_{2}+I_{3}. \end{eqnarray}
(3.3)

对于第一项,显然有

\label{} I_{1}\leq C \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||w|^{2}{\rm d}x.

由于 \omega_{3} = \partial_{1}u_{2}-\partial_{2}u_{1} ,则有 |\omega_{2}|\leq |\nabla_{h}\tilde{u}| ,故

\label{} I_{2}; I_{3}\leq C \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||w|^{2}{\rm d}x.

综合上面各项,可知(3.2)式成立.

为了获得定理1.1的证明,事实上只要对方程的光滑解证明如下的结论即可.

引理3.2  假设 u_{0}\in H^{1}({\Bbb R} ^{3}) .假定 u 是方程(1.1)在 [0, T) 上的光滑解并且满足条件(1.6),则有

\begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T)}\|\omega(t)\|_{2}^{2}\leq C(\|u_{0}\|_{H^{1}};\|\nabla_{h}\tilde{u}\|^{q}_{\dot{F}^{0}_{q, \frac{2q}{3}}({\Bbb R} ^{3})}). \end{equation}
(3.4)

  对方程(3.1)两边对 \omega L^{2} 內积并结合引理3.1,则有

\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla \omega\|_{2}^{2}& = &\int_{R^{3}}(\omega\cdot\nabla)u\cdot \omega {\rm d}x \leq C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x. \end{eqnarray}
(3.5)

利用Littlewood-Paley分解,则有

\begin{equation} \nabla_{h}\tilde{u} = \sum\limits_{l = -\infty}^{+\infty}\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u}) = \sum\limits_{l<-N}(\nabla_{h}\tilde{u})+\sum\limits_{l = -N}^{N}\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})+\sum\limits_{l>N}(\nabla_{h}\tilde{u}). \end{equation}
(3.6)

此处的 N 是一个待定的正整数.

\begin{eqnarray} \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2} {\rm d}x& = &\sum\limits_{l<-N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x+\sum\limits_{l = -N}^{N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x+\sum\limits_{l>N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x\\ & = & H_{1}+H_{2}+H_{3}. \end{eqnarray}
(3.7)

利用Holder不等式和Bernstein不等式可知

\begin{eqnarray} H_{1} & = & \sum\limits_{l<-N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x \\ &\leq& C\sum\limits_{l<-N}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\infty}\|\omega\|_{2}^{2}\\ &\leq&C\sum\limits_{l<-N}2^{-\frac{3}{2}l}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{2}\|\omega\|_{2}^{2}\\ &\leq&C2^{-\frac{3}{2}N}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{2}\|\omega\|_{2}^{2}\\ &\leq&C2^{-\frac{3}{2}N}\|\omega\|_{2}^{3}, \end{eqnarray}
(3.8)

这里已经用到 \|\nabla u\|_{2}\leq C\|\omega\|_{2} .

利用Holder不等式与Young不等式,有

\begin{eqnarray} H_{2} & = & \sum\limits_{l = -N}^{N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}(\sum\limits_{l = -N}^{N}|\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})|^{\frac{2q}{3}})^{\frac{3}{2q}}N^{1-\frac{3}{2q}}|\omega|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& CN^{1-\frac{3}{2q}}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}\|\omega\|_{q^{*}}^{2}\\ &\leq& CN^{1-\frac{3}{2q}}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}\|\omega\|_{2}^{2-\frac{3}{q}}\|\nabla\omega\|_{2}^{\frac{3}{q}}\\ &\leq& \frac{1}{4}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}+CN\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\|\omega\|_{2}^{2}, \end{eqnarray}
(3.9)

这里 \frac{1}{q}+\frac{2}{q^{*}} = 1 .下面估计

\begin{eqnarray} H_{3} & = & \sum\limits_{l>N}\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\omega|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\|\omega\|_{3}^{2}\sum\limits_{l>N}\|\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})\|_{3}\\ &\leq& C\|\omega\|_{2}\|\nabla\omega\|_{2} \bigg(\sum\limits_{l>N}2^{-l}\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\sum\limits_{l>N}2^{2l}\|\Delta_{l}(\nabla_{h}\tilde{u})\|_{2}^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C2^{-\frac{N}{2}}\|\omega\|_{2}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}. \end{eqnarray}
(3.10)

综合上述各式,则有

\begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{2}^{2}+\frac{3}{4}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}\leq CN\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\|\omega\|_{2}^{2}+C2^{-\frac{N}{2}}\|\omega\|_{2}\|\nabla\omega\|_{2}^{2}. \end{equation}
(3.11)

然后取 N ,使得

\begin{equation} C2^{-\frac{N}{2}}\|\omega\|_{2}\leq\frac{1}{4}, \end{equation}
(3.12)

则有

\begin{equation} N\geq \frac{\ln(\|\omega\|_{2}^{2}+e)+\ln C}{\ln2}+4. \end{equation}
(3.13)

代入不等式,可得

\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{2}^{2}+\|\nabla\omega\|_{2}^{2}\leq C+C\|\omega\|_{2}^{2}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\ln(\|\omega\|_{2}^{2}+{\rm e}). \end{equation}
(3.14)

利用Gronwall不等式,则有

\begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T)}\|\omega\|_{2}^{2}\leq (\|\omega_{0}\|_{2}^{2}+CT)\exp \bigg\{\int_{0}^{t}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{\frac{2q}{2q-3}}\ln(\|\omega\|_{2}^{2}+e){\rm d}s\bigg\}. \end{equation}
(3.15)

再一次利用Gronwall不等式,则有

\begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T)}\|\omega\|_{2}^{2}\leq C\exp \bigg\{\exp\bigg(\int_{0}^{T}\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{F}_{q, \frac{2q}{3}}^{0}}^{p}\bigg)\bigg\}, \qquad p = \frac{2q}{2q-3}. \end{equation}
(3.16)

证毕.

根据NS方程的强弱定理可以根据一个非常的标准的讨论过程完成定理1.1的证明,此处从略.

4 定理1.2的证明

为了证明定理1.2,同样的只需要对光滑解有如下的估计:

引理4.1  假设 (u_{0}, b_{0})\in H^{1}({\Bbb R} ^{3}) ,且 (u, b) 是方程(1.4)上的光滑解.如果满足条件 (1.8) (1.9) ,则

\begin{equation} \sup\limits_{0\leq t<T}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|^{2}_{2})\leq C, \end{equation}
(4.1)

其中 C 依赖于初值以及条件 (1.8) (1.9) .

  情形1:证明在条件(1.8)下的结论.

首先对方程 (1.4) u -方程和 b -方程分别用 -\Delta u -\Delta b L^{2} 內积,则有

\begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|^{2}_{2})+\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|\Delta b\|_{2}^{2}\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(u\cdot\nabla)u]\cdot\Delta u{\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(b\cdot\nabla)b]\cdot\Delta u{\rm d}x\\ && +\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(u\cdot\nabla)b]\cdot\Delta b{\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^{3}}[(b\cdot\nabla)u]\cdot\Delta b{\rm d}x\\ & = &-\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}u_{k}\cdot\partial_{k}u_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x\\ && -\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}u_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}b_{j}{\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}u_{j}\cdot\partial_{i}b_{j}{\rm d}x\\ & = &\sum\limits_{i = 1}^{4}I_{i}. \end{eqnarray}
(4.2)

下面逐项估计:对于 I_{1} 项,利用Holder不等式以及乘子空间的定义并结合齐次Sobolev空间的不等式,可得

\begin{eqnarray} |I_{1}|&\leq& C \int_{{\Bbb R} ^{3}}|\tilde{u}||\nabla u||\Delta u|{\rm d}x \\ &\leq& C \|\tilde{u}\cdot\nabla u\|_{2}\|\Delta u\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta u\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{2}^{1-r}\|\Delta u\|_{2}^{1+r}\\ &\leq& C\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}\|\nabla u\|_{2}^{2}+\frac{1}{8}\|\Delta u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray}
(4.3)

下面估计 I_{2} ,

\begin{eqnarray} I_{2}& = & \int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x \\ & = &\sum\limits_{j = 1}^{2}\sum\limits_{i, k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x+\sum\limits_{i, k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{3}\cdot\partial_{i}u_{3}{\rm d}x\\ & = &I_{21}+I_{22}. \end{eqnarray}
(4.4)

利用 I_{1} 的估计方法,可以将 I_{21} , I_{22} 分别估计如下

\begin{eqnarray} |I_{21}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\tilde{u}||\nabla b||\Delta b|{\rm d}x\\ &\leq& C\|\tilde{u}\cdot\nabla b\|_{2}\|\Delta b\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta b\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}\|\nabla b\|_{2}^{2}+\frac{1}{12}\|\Delta b\|_{2}^{2}, \end{eqnarray}
(4.5)

\begin{eqnarray} |I_{22}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\tilde{b}|(|\nabla b||\Delta u|+|\Delta b||\nabla u|){\rm d}x \\ &\leq& C \|\tilde{b}\cdot\nabla b\|_{2}\|\Delta u\|_{2}+ \|\tilde{b}\cdot\nabla u\|_{2}\|\Delta b\|_{2} \\ &\leq& C\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta u\|_{2}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{\dot{H}^{r}}\|\Delta b\|_{2}\\ &\leq& C \|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}(\|\nabla b\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2})+\frac{1}{12}\|\Delta b\|_{2}^{2}+\frac{1}{8}\|\Delta u\|_{2}^{2}, \end{eqnarray}
(4.6)

\begin{equation} |I_{3}|; |I_{4}|\leq C (\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}})(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\frac{1}{6}\|\Delta b\|_{2}^{2}+\frac{1}{8}\|\Delta u\|_{2}^{2}. \end{equation}
(4.7)

综合上面的各项,有

\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|\Delta b\|_{2}^{2} \leq C (\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}})(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2}). \end{equation}
(4.8)

利用Gronwall不等式,有

\sup\limits_{t\in[0, T)}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})\leq C(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla b_{0}\|_{2}^{2})\exp \bigg\{C\int_{0}^{T}(\|\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}+\|\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{1-r}}){\rm d}t\bigg\}.

情形2:证明在条件(1.9)下的结论.

证明的过程与第一部分类似,所不同的是对非线性部分的分解.对于 I_{1} ,由引理 3.1 ,可知

\begin{eqnarray} |I_{1}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\nabla u|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{\dot{H}^{r}}\|\nabla u\|_{2}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla u\|_{2}^{2-r}\|\Delta u\|_{2}^{r}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}\|\nabla u\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\Delta u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray}
(4.9)

对于 I_{2} ,用分量的形式写出来,然后分成四个部分

\begin{eqnarray} I_{2}& = & \int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x \\ & = &\sum\limits_{i, j = 1}^{2}\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{i}u_{j}{\rm d}x+\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{3}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{3}\cdot\partial_{3}u_{3}{\rm d}x\\ &&+\sum\limits_{i = 1}^{2}\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{i}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{3}\cdot\partial_{i}u_{3}{\rm d}x +\sum\limits_{j = 1}^{2}\sum\limits_{k = 1}^{3}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\partial_{3}b_{k}\cdot\partial_{k}b_{j}\cdot\partial_{3}u_{j}{\rm d}x \\& = &I_{21}+I_{22}+I_{23}+I_{24}. \end{eqnarray}
(4.10)

利用Holder不等式以及乘子空间的定义并结合齐次Sobolev空间的不等式,可以分别估计如下

\begin{eqnarray} |I_{21}|;|I_{22}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{u}||\nabla b|^{2}{\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\nabla b\|_{2}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{2}^{2-r}\|\Delta b\|_{2}^{r}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}\|\nabla b\|_{2}^{2}+\frac{1}{24}\|\Delta b\|_{2}^{2}, \end{eqnarray}
(4.11)

\begin{eqnarray} |I_{23}|;|I_{24}|&\leq& C\int_{{\Bbb R} ^{3}}|\nabla_{h}\tilde{b}||\nabla b||\nabla u|{\rm d}x\\ &\leq&C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}\|\nabla b\|_{\dot{H}^{r}}\|\nabla u\|_{2}\\ &\leq& C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}\|\nabla b\|_{2}^{\frac{2(1-r)}{2-r}}\|\nabla u\|_{2}^{\frac{2}{2-r}}+\frac{1}{24}\|\Delta b\|_{2}^{2}\\ &\leq&C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\frac{1}{24}\|\Delta b\|_{2}^{2}. \end{eqnarray}
(4.12)

由于 I_{3} , I_{4} 在形式上与 I_{2} 类似,所以省略具体的分解过程

\begin{equation} |I_{3}|;|I_{4}|\leq C\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\frac{1}{6}\|\Delta b\|_{2}^{2}. \end{equation}
(4.13)

综合上面各项估计,则有

\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})+\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|\Delta b\|_{2}^{2} \leq C (\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}+\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}})(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2}).

最后利用Gronwall不等式,可得

\label{} \sup\limits_{t\in[0, T)}(\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla b\|_{2}^{2})\leq C(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla b_{0}\|_{2}^{2})\exp \bigg\{C\int_{0}^{T}(\|\nabla_{h}\tilde{u}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}+\|\nabla_{h}\tilde{b}\|_{\dot{X}_{r}}^{\frac{2}{2-r}}){\rm d}t\bigg\}.

证毕.

利用引理4.1,证明定理1.2是一个标准的过程,此处从略.

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