涉及水平分量的NS方程与MHD方程的正则性准则
Regularity Criteria for the NS and MHD Equations in Terms of Horizontal Components
通讯作者:
收稿日期: 2018-06-7
基金资助: |
|
Received: 2018-06-7
Fund supported: |
|
该文在Triebel-Lizorkin空间和乘子空间中分别考虑了三维Navier-Stokes(NS)方程与Magneto-hydrodynamics(MHD)方程的正则性准则.利用Littlewood-Paley分解与能量不等式的方法获得了一些结果.关于NS方程,证明了如果水平速度场ũ=(u1,u2,0)的水平梯度
则弱解是存在区间[0,T)上的唯一强解,其中▽h=(∂1,∂2,0).关于MHD方程,证明了如果水平速度场与水平磁场
或者相应的水平梯度
则弱解是存在区间[0,T)上的唯一强解.
关键词:
In this paper, we consider the regularity of weak solutions to the incompressible NS equations and MHD equations in the Triebel-Lizorkin space and multiplier space respectively. By using Littlewood-Paley decomposition and energy estimate methods, we proved that if horizontal velocity ũ=(u1, u2, 0) satisfies
then the weak solution is actually the unique strong solution on[0, T). For MHD equations, we prove that if horizontal velocity and magnetic field satisfies
or horizontal gradient satisfies
then the weak solution is actually unique strong solution on[0, T).
Keywords:
本文引用格式
张辉, 许娟.
Zhang Hui, Xu Juan.
1 引言
在
其中
则弱解是
在
其中
本文的目的是在Triebel-Lizorkin空间和乘子空间中分别考虑了NS方程与MHD方程只涉及部分分量的正则性准则,相应的结论是对已有结论的改进和推广.本文的主要定理如下:
定理1.1 假设
则弱解是
注1.1 从定理
如果
特别地,有
由于
定理1.2 假设
或者水平场的水平梯度
则弱解是
注1.2 文献[10]给出如下的正则性准则
当
注1.3 本文中用
2 预备知识
假设
此处
定义局部算子
通过叠加,可以获得如下的Littlewood-Paley分解
下面介绍经典的Bernstein不等式:
引理2.1 假设
齐次Triebel-Lizorkin空间的半范数定义如下
定义2.1 假设
其中
齐次Sobolev空间具有如下的性质[17]:
引理2.2 如果
3 定理1.1的证明
首先将方程(1.1)写成旋度形式
在定理的证明过程中,下面的引理是一个关键的观察.
引理3.1 假设
证
对于第一项,显然有
由于
综合上面各项,可知(3.2)式成立.
为了获得定理1.1的证明,事实上只要对方程的光滑解证明如下的结论即可.
引理3.2 假设
证 对方程(3.1)两边对
利用Littlewood-Paley分解,则有
此处的
利用Holder不等式和Bernstein不等式可知
这里已经用到
利用Holder不等式与Young不等式,有
这里
综合上述各式,则有
然后取
则有
代入不等式,可得
利用Gronwall不等式,则有
再一次利用Gronwall不等式,则有
证毕.
根据NS方程的强弱定理可以根据一个非常的标准的讨论过程完成定理1.1的证明,此处从略.
4 定理1.2的证明
为了证明定理1.2,同样的只需要对光滑解有如下的估计:
引理4.1 假设
其中
证 情形1:证明在条件(1.8)下的结论.
首先对方程
下面逐项估计:对于
下面估计
利用
综合上面的各项,有
利用Gronwall不等式,有
情形2:证明在条件(1.9)下的结论.
证明的过程与第一部分类似,所不同的是对非线性部分的分解.对于
对于
利用Holder不等式以及乘子空间的定义并结合齐次Sobolev空间的不等式,可以分别估计如下
由于
综合上面各项估计,则有
最后利用Gronwall不等式,可得
证毕.
利用引理4.1,证明定理1.2是一个标准的过程,此处从略.
参考文献
Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen
On the interior regularity of weak solutions of the Navier-Stokes equations
DOI:10.1007/BF00253344 [本文引用: 2]
A new regularity class for the Navier-Stokes equations in
DOI:10.1016/0169-7439(95)00032-3 [本文引用: 2]
On the smoothness of a class of weak solutions to the Navier-Stokes equation
DOI:10.1007/PL00000955 [本文引用: 1]
Regularity criterion of weak solutions to the 3D Navier-Stokes equations via two velocity componenets
DOI:10.1016/j.jmaa.2007.05.003
Morrey-Campanato空间中三维Navier-Stokes方程的正则性准则
Regularity criteria for the 3D Navier-Stokes equations in Morrey-Campanato space
Inquations en thermolasticit et magnetohydrodynamique
DOI:10.1007/BF00250512 [本文引用: 1]
On the regularity of weak solutions to the magnetohydrodynamic equations
DOI:10.1016/j.jde.2004.07.002 [本文引用: 1]
Some new regularity criterion for the 3D MHD equations
DOI:10.1016/j.jmaa.2012.05.076 [本文引用: 2]
Some regularity criterion for the 3D incompressible magnetohydrodynamics
DOI:10.1016/j.jmaa.2010.03.015 [本文引用: 1]
The BKM criterion for the 3D Navier-Stokes equations via two velocity components
DOI:10.1016/j.nonrwa.2009.07.013 [本文引用: 1]
On the well-posedness of the ideal MHD equations in the Triebel-Lizorkin spaces
DOI:10.1007/s00205-008-0213-6 [本文引用: 1]
Multipliers between Sobolev spaces and frational differentiation
DOI:10.1016/j.jmaa.2005.07.043 [本文引用: 1]
Magneto-Micropolar方程的正则性准则
Regularity criterion to the 3D Magneto-Micropolar equations
/
〈 |
|
〉 |
