在一个黎曼流形$ (M, g) $上,如果存在一个函数$ f $和一个常数$ \lambda $,使得方程

$ R_{ij} + f_{ij} = \lambda g_{ij} $

恒成立,那么我们就称该流形为gradient Ricci soliton (简写为GRS).注意到,如果势函数$ f $是常数,那么GRS的方程将变成$ R_{ij} = \lambda g_{ij} $.因此, GRS是Einstein流形的一个自然的推广.如果$ \lambda > 0 $, $ \lambda = 0 $或$ \lambda < 0 $,我们分别称之为shrinking, steady或expanding. GRS对应于Hamilton的Ricci flow方程的自相似解,在Ricci flow的奇点分析中起到非常重要的作用(详见综述性文章[2]).所以,研究GRS的几何性质是Ricci flow的一个核心的课题.

3维的shrinking GRS已经被完全的分类(详见综述文章[3]),而4维以上的情形的研究还很少.在这个问题上,许多的工作是假设soliton具有特殊的Weyl张量,譬如Weyl张量为零^{[8, 17-18, 22]}、Weyl张量是调和的^{[9, 14]},等等.而对于一般的shrinking GRS, Chen^[5]证明了数量曲率一定是非负的；而Cao-Zhu^[4]则精确的估计了势函数$ f $的渐近行为,并且证明了体积增长最多是欧式的.为了获得shrinking GRS更好的几何性质,一般需要假设其具有好的曲率条件.例如, Munteanu-Wang^[16]证明了:如果截面曲率非负并且Ricci曲率是正的,那么它一定是紧致的.

在本文中,我们将主要研究4维shrinking gradient Ricci soliton的几何性质.这种情形下, Munteanu-Wang^[15]证明了一些漂亮的曲率估计;而当soliton具有正迷向曲率时, Li-Ni-Wang^[11]给出了一个完全的分类.研究正迷向曲率的流形,是黎曼几何中一个重要的课题,也有了一些深刻的结果^[12-13];特别的,具有正迷向曲率的4维流形,其微分结构是完全清楚的^[6-7].进一步的,人们研究了更广泛的4维流形:具有半正迷向曲率,也得到了一些结果^[19].在本文中,我们刻画了半正迷向曲率的4维shrinking GRS的一个重要的性质(命题3.1).粗略的说,这类soliton的traceless Ricci曲率$ \mathring{Ric} $的界可以控制Weyl张量的自对偶部分$ W_+ $或反自对偶部分$ W_- $的界.特别地,我们可以证明

定理1.1  设$ (M^4, g) $是一个可定向的完备4维Einstein流形.如果它是half-PIC,那么它是半共形平坦的,从而它一定等距于标准的Einstein流形$ S^4 $或$ CP^2 $.

这个命题在Richard-Seshadri^[19]的文章或Wu^[21]的文章中已给出.在本文中,我们给出了一个新的更简单的证明.事实上,我们证明了一个更一般的结论(在soliton上成立).

定理1.2  设$ (M^4, g) $是一个可定向的四维闭shrinking GRS.如果它是half-PIC,并且Ricci曲率张量处处有3个特征值相等,那么它是半共形平坦的,从而它一定等距于标准的Einstein流形$ S^4 $或$ CP^2 $.

一个黎曼流形$ (M, g) $具有正迷向曲率(positive isotropy curvature,简写为PIC),是指:如果在流形任何一点的切空间上,任取四个单位正交的单位向量$ \{e_1, e_2, e_3, e_4\} $,下面的曲率表达式

$ R_{1313}+R_{1414}+R_{2323}+R_{2424}-2R_{1234}>0 $

恒成立.特别的,如果该流形是一个可定向的4维流形,那么我们可以给出半正迷向曲率的定义.

定义2.1  给定一个可定向的四维流形$ (M^4, g) $,如果在任何一点处的切空间$ T_p $上任意取定一个正定向的(或反定向的)单位正交基$ \{e_1, e_2, e_3, e_4\} $,下面的曲率表达式

$ R_{1313}+R_{1414}+R_{2323}+R_{2424}-2R_{1234}>0 $

恒成立.那么我们称流形$ (M^4, g) $具有PIC$ _+ $ (或PIC$ _- $).我们把PIC$ _+ $和PIC$ _- $统称为半正迷向曲率,简写成half-PIC.

在4维可定向流形上,我们对于PIC和half-PIC有更具体地刻画(请见文献[10]).事实上,我们可以利用Hodge星算子$ * $把2 -形式向量空间进行正交分解: $ \Lambda^2 = \Lambda^2_+\oplus\Lambda^2_- $,这里$ \Lambda^2_+ $和$ \Lambda^2_- $分别是Hodge星算子$ * $对应于特征值$ +1 $和$ -1 $的特征子空间.更进一步,选择切空间的一个正定向的单位正交基$ \{e_i\} $, $ \Lambda^2_+ $的基底(在对偶意义下)可表示为

$ \varphi_1 = e_1\wedge e_2 + e_3 \wedge e_4, \quad \varphi_2 = e_1\wedge e_3 + e_4 \wedge e_2, \quad \varphi_3 = e_1\wedge e_4 + e_2 \wedge e_3, $

同理, $ \Lambda^2_- $的基底(在对偶意义下)可表示为

$ \psi_1 = e_1\wedge e_2 - e_3 \wedge e_4, \quad \psi_2 = -e_1\wedge e_3 + e_4 \wedge e_2, \quad \psi_3 = e_1\wedge e_4 - e_2 \wedge e_3. $

在上述基底下,黎曼曲率算子$ Rm $表示为一个分块矩阵$ (M_{\alpha\beta}) $

$ ( M_{\alpha\beta} ) = \left ( \begin{array}{cc} A & B\\ B^T & C \end{array} \right). $

众所周知, $ A = \frac {R}{6}I + W_+ $, $ C = \frac {R}{6}I + W_- $,和$ B = \mathring{Ric} \odot g $,其中$ R $是数量曲率, $ W_{\pm} $是Weyl张量的自对偶部分和反自对偶部分,而$ \mathring{Ric} = Ric -\frac 14 R $是traceless Ricci曲率.特别的, $ B = 0 $当且仅当流形是Einstein.

为了后续的应用,我们给出$ A $, $ C $和$ B $的一些基本计算.首先,对于$ A $和$ C $,我们有

$ \begin{eqnarray*} &&A_{11} = Rm(\varphi_1, \varphi_1) = R_{1212}+R_{3434}+2R_{1234} , \\ && A_{22} = Rm(\varphi_2, \varphi_2) = R_{1313}+R_{4242}+2R_{1342}, \\ && A_{33} = Rm(\varphi_3, \varphi_3) = R_{1414}+R_{2323}+2R_{1423} \end{eqnarray*} $

和

$ \begin{eqnarray*} && C_{11} = Rm(\psi_1, \psi_1) = R_{1212}+R_{3434}-2R_{1234}, \\ &&C_{22} = Rm(\psi_2, \psi_2) = R_{1313}+R_{4242}-2R_{1342} , \\ &&C_{33} = Rm(\psi_3, \psi_3) = R_{1414}+R_{2323}-2R_{1423}. \end{eqnarray*} $

因此,利用第一Bianchi恒等式,有

$ A_{11}+A_{22}+A_{33} = C_{11}+C_{22}+C_{33} = \frac 12R. $

同时,在一个正定向的单位正交基$ \{X_i\} $下,迷向曲率

$ R_{1313}+R_{1414}+R_{2323}+R_{2424}-2R_{1234} = A_{22}+A_{33}; $

而如果所选基底$ \{X_i\} $是反定向的,则迷向曲率是

$ R_{1313}+R_{1414}+R_{2323}+R_{2424}+2R_{1234} = C_{22}+C_{33}. $

从而, PIC有一个简单的刻划^[10]: 4维流形是PIC,当且仅当$ A $和$ C $都是2-正定矩阵.类似这个观察,我们也可证明

引理2.1  一个可定向的4维流形是$ PIC_+ $,当且仅当$ A $是2-正定矩阵,即

$ a_1+a_2>0, $

其中$ a_1 $和$ a_2 $是矩阵$ A $最小的两个特征值.特别的,流形的数量曲率一定是正的.

接下来,我们来计算矩阵$ B $的元素.如果$ \{e_1, e_2, e_3, e_4\} $是Ricci曲率张量的特征向量,对应的特征值为$ \lambda_i $,则$ B $是对角矩阵,并且

$ \begin{eqnarray*} && B_{11} = \frac 12(\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4) , \\ && B_{22} = \frac 12(\lambda_2+\lambda_4-\lambda_1-\lambda_3) , \\ && B_{33} = \frac 12(\lambda_1+\lambda_4-\lambda_2-\lambda_3). \end{eqnarray*} $

在本节中,我们将给出4维shrinking GRS的一个重要的几何性质.设$ T $是流形上的对称张量,那么,作用于$ T $上的$ f $-Laplacian是指

$ \Delta_f T = \Delta T-\nabla f \cdot \nabla T. $

利用上述定义,我们可以证明soliton上的一个基本方程.

引理3.1  在一个4维GRS上,有

$ \Delta_f A = 2\lambda A - ( A^2 + BB^T + 2A^{\#}). $

其中$ A^{\#} $是$ A $的伴随矩阵的转置.

证  众所周知(参见文献[18])

$ \Delta_f Rm = 2\lambda Rm - ( Rm^2 + Rm^{\#} ). $

在4维的情况下,通过上述第2节的相关计算,我们把曲率算子$ Rm $转化为一个分块矩阵$ (M_{\alpha\beta}) $.特别的, $ Rm^{\#} $也可以写成分块矩阵

$ (M_{\alpha\beta}^{\#}) = \left ( \begin{array}{cc} A^{\#} & B^{\#}\\ (B^T)^{\#} & C^{\#} \end{array} \right), $

其中$ A^{\#} $, $ B^{\#} $和$ C^{\#} $分别是$ A $, $ B $和$ C $的伴随矩阵的转置.

由此,我们可以得到结论.

为了应用上述引理,我们先计算两个特殊的矩阵$ BB^T $和$ A^{\#} $.设Ricci曲率张量的4个特征值为$ \lambda_i $,并且$ \lambda_1\le \lambda_2 \le \lambda_3 \le \lambda_4 $,根据第二节的计算,我们可以把非负定矩阵$ BB^T $对角化

$ BB^T = \left ( \begin{array}{ccc} b_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & b_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & b_3^2 \end{array} \right), $

其中

$ \begin{eqnarray*} &&b_1 = \frac 12|\lambda_1+\lambda_4-\lambda_2-\lambda_3| , \\ &&b_2 = \frac 12(\lambda_2+\lambda_4-\lambda_1-\lambda_3) , \\ &&b_3 = \frac 12(\lambda_3+\lambda_4-\lambda_1-\lambda_2). \end{eqnarray*} $

另一方面,如果在某个基底下矩阵$ A $对角化为

$ A = diag (a_1, a_2, a_3), $

则在同一基底下,有

$ A^{\#} = diag(a_2a_3, a_1a_3, a_1a_2). $

现在,利用soliton的基本方程及极值原理,我们可以得到下述结论.

命题3.1  设$ (M^4, g) $是一个4维的闭shrinking GRS.如果它是PIC$ _+ $,那么$ a_1 > 0 $.更进一步,如果我们还假设traceless Ricci曲率满足$ |\mathring{Ric}|\le \epsilon R $,那么

$ a_1 \ge (1-36\epsilon^2) a_3 $

处处成立,其中$ a_1\le a_2 \le a_3 $是矩阵$ A $的三个特征值.

证  设在闭流形$ (M, g) $上$ A $的最小特征值满足$ a_1 \ge \rho $ ($ \rho $是一个常数),并且流形上存在一点$ p $及$ \Lambda_+^2(p) $上一个单位向量$ \varphi_1 $,使得$ a_1(p) = A(\varphi_1, \varphi_1) = \rho $.

由极值原理,有

$ (\Delta_f A)(\varphi_1, \varphi_1)\ge 0. $

设在$ p $点处$ A $的特征值为$ a_1\le a_2 \le a_3 $,从而根据引理3.1,有

$ 0\le 2\lambda a_1 -( A^2 + BB^T + 2A^{\#})(\varphi_1, \varphi_1)\le 2\lambda a_1 - 2 a_2a_3. $

因为soliton是PIC$ _+ $,从而$ 2a_2 \ge a_1+a_2 > 0 $.因此, $ a_1 \ge \frac 1{\lambda} a_2a_3 > 0 $.

更进一步,根据流形$ (M, g) $的紧性,我们可以找到一个最优的正常数$ \eta $,使得$ a_1 \ge \eta a_3 $处处成立(显然, $ \eta \le 1 $).特别的,我们可以找到一点$ q $及$ \Lambda_+^2(q) $的一个基底$ \{\varphi_i\} $,使得$ A $在这个基底下可对角化

$ A = diag(a_1, a_2, a_3), $

特征值$ \{a_i\} $满足$ a_1\le a_2 \le a_3 $,并且$ a_1 = \eta a_3 $.

再次利用极值原理,

$ (\Delta_f A)(\varphi_1, \varphi_1) - \eta (\Delta_f A)(\varphi_3, \varphi_3)\ge 0. $

因此

$ ( A^2 + BB^T + 2A^{\#})(\varphi_1, \varphi_1) - \eta ( A^2 + BB^T + 2A^{\#})(\varphi_3, \varphi_3)\le 0. $

直接计算,可得

$ \begin{eqnarray*} 0&\ge&a_1^2+2a_2a_3 +b_1^2 - \eta(a_3^2+2a_1a_2 + b_3^2) \\ &\ge& a_1^2+2a_1a_3 +b_1^2 - \eta(a_3^2+2a_1a_3 + b_3^2) \\ &\ge& \eta^2 a_3^2 + 2\eta a_3^2 +\eta b_1^2- \eta (a_3^2 + 2\eta a_3^2 + b_3^2) \\ &\ge& \eta \Big[ (1- \eta) a_3^2- (b_3^2-b_1^2) \Big]. \\ \end{eqnarray*} $

而$ a_3\ge \frac 13(a_1+a_2+a_3) = \frac R6 $,并且

$ b_3^2 - b_1^2 = \Big[ \frac{\lambda_4+\lambda_3-\lambda_2-\lambda_1}2 \Big]^2 - \Big[ \frac{\lambda_4+\lambda_1-\lambda_3-\lambda_2}2 \Big]^2 = (\lambda_4-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_1). $

因此

(*) $ \begin{align} \frac 1{36}(1-\eta)R^2 \le (\lambda_4-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_1) . \end{align} $

注意到

$ \begin{eqnarray*} (\lambda_4-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_1) &\le& \Big[ \frac{(\lambda_4-\lambda_2)+(\lambda_3-\lambda_1)}2 \Big]^2 \\ & = & \frac 14 \Big[ (\lambda_4-\frac R4)+(\lambda_3-\frac R4) + (\frac R4-\lambda_2) + (\frac R4-\lambda_1) \Big]^2 \\ &\le& \frac 14 \Big( \sum\limits_{i = 1}^4|\lambda_i - \frac R4| \Big)^2 \\ &\le& \frac 14 \cdot 4\sum\limits_{i = 1}^4(\lambda_i - \frac R4)^2 \\ & = & |\mathring{Ric}|^2, \end{eqnarray*} $

所以$ \frac 1{36}(1-\eta)R^2 \le \epsilon^2 R^2 $,即$ \eta \ge 1-36 \epsilon^2 $.从而我们完成了证明.

利用命题3.1,我们立刻得到定理1.1的证明.

定理1.1的证明  不妨假设该Einstein流形具有PIC$ _+ $.注意到在Einstein流形上, $ R_{ij} = \frac R4g_{ij} $,从而$ \mathring{Ric} = 0 $.应用上述命题3.1,可得

$ a_1\ge a_3 $

处处成立,即$ a_1 = a_3 $,也就是说$ W_+ = 0 $,所以该流形是半共形平坦的.从而根据Hitchin的分类定理(详见文献[1,定理13.30]),我们立刻得到结论.

在命题3.1的证明过程中,关键的一步是要估计式子(*)中的曲率项

$ (\lambda_4-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_1). $

因此,如果soliton的Ricci曲率张量处处有三个特征值相等,那么$ \eta \ge 1 $,即$ W_+ = 0 $,所以该soliton是半共形平坦的.从而根据Chen-Wang^[8]的分类定理,我们可以得到定理1.2.