数学物理学报, 2019, 39(5): 1011-1017 doi:

论文

半正迷向曲率的四维Shrinking Gradient Ricci Solitons

张珠洪,

Four-Dimensional Shrinking Gradient Ricci Solitons with Half Positive Isotropy Curvature

Zhang Zhuhong,

收稿日期: 2018-08-30  

Received: 2018-08-30  

作者简介 About authors

张珠洪,E-mail:juhoncheung@sina.com , E-mail:juhoncheung@sina.com

摘要

该文主要研究一类四维shrinking gradient Ricci solitons,它们具有半正迷向曲率(half-PIC).该文证明了traceless Ricci曲率$\overset{\circ }{\mathop{Ric}}\, $的界可以控制Weyl张量的自对偶部分W+或反自对偶部分W-的界.特别的,该文可以给出下述命题一个新的简单的证明:任何一个具有half-PIC的可定向四维Einstein流形,是半共形平坦的,从而一定等距于S4CP2.作者还证明了在shrinking gradient Ricci soliton上成立一个更一般的结论.

关键词: Gradient Ricci solitons ; Einstein流形 ; 半正迷向曲率 ; 极值原理

Abstract

In this paper, we will study four-dimensional shrinking gradient Ricci solitons with half positive isotropy curvature (half-PIC). We will show that, the bound of the traceless Ricci curvature $\overset{\circ }{\mathop{Ric}}\, $ will control the bound of the self-dual part of the Weyl tensor W+ or the antiself-dual part W-. In particular, we will give a new and simpler proof of the following theorem:Any oriented four-dimensional Einstein manifold with half-PIC must be half conformally flat, and therefore isometric to S4 or CP2 with standard metric. A more general result on shrinking gradient Ricci solitons was gave.

Keywords: Gradient Ricci soliton ; Einstein manifold ; Half positive isotropy curvature ; Maximum principle

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张珠洪. 半正迷向曲率的四维Shrinking Gradient Ricci Solitons. 数学物理学报[J], 2019, 39(5): 1011-1017 doi:

Zhang Zhuhong. Four-Dimensional Shrinking Gradient Ricci Solitons with Half Positive Isotropy Curvature. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(5): 1011-1017 doi:

1 引言

在一个黎曼流形$ (M, g) $上,如果存在一个函数$ f $和一个常数$ \lambda $,使得方程

恒成立,那么我们就称该流形为gradient Ricci soliton (简写为GRS).注意到,如果势函数$ f $是常数,那么GRS的方程将变成$ R_{ij} = \lambda g_{ij} $.因此, GRS是Einstein流形的一个自然的推广.如果$ \lambda > 0 $, $ \lambda = 0 $$ \lambda < 0 $,我们分别称之为shrinking, steady或expanding. GRS对应于Hamilton的Ricci flow方程的自相似解,在Ricci flow的奇点分析中起到非常重要的作用(详见综述性文章[2]).所以,研究GRS的几何性质是Ricci flow的一个核心的课题.

3维的shrinking GRS已经被完全的分类(详见综述文章[3]),而4维以上的情形的研究还很少.在这个问题上,许多的工作是假设soliton具有特殊的Weyl张量,譬如Weyl张量为零[8, 17-18, 22]、Weyl张量是调和的[9, 14],等等.而对于一般的shrinking GRS, Chen[5]证明了数量曲率一定是非负的;而Cao-Zhu[4]则精确的估计了势函数$ f $的渐近行为,并且证明了体积增长最多是欧式的.为了获得shrinking GRS更好的几何性质,一般需要假设其具有好的曲率条件.例如, Munteanu-Wang[16]证明了:如果截面曲率非负并且Ricci曲率是正的,那么它一定是紧致的.

在本文中,我们将主要研究4维shrinking gradient Ricci soliton的几何性质.这种情形下, Munteanu-Wang[15]证明了一些漂亮的曲率估计;而当soliton具有正迷向曲率时, Li-Ni-Wang[11]给出了一个完全的分类.研究正迷向曲率的流形,是黎曼几何中一个重要的课题,也有了一些深刻的结果[12-13];特别的,具有正迷向曲率的4维流形,其微分结构是完全清楚的[6-7].进一步的,人们研究了更广泛的4维流形:具有半正迷向曲率,也得到了一些结果[19].在本文中,我们刻画了半正迷向曲率的4维shrinking GRS的一个重要的性质(命题3.1).粗略的说,这类soliton的traceless Ricci曲率$ \mathring{Ric} $的界可以控制Weyl张量的自对偶部分$ W_+ $或反自对偶部分$ W_- $的界.特别地,我们可以证明

定理1.1  设$ (M^4, g) $是一个可定向的完备4维Einstein流形.如果它是half-PIC,那么它是半共形平坦的,从而它一定等距于标准的Einstein流形$ S^4 $$ CP^2 $.

这个命题在Richard-Seshadri[19]的文章或Wu[21]的文章中已给出.在本文中,我们给出了一个新的更简单的证明.事实上,我们证明了一个更一般的结论(在soliton上成立).

定理1.2  设$ (M^4, g) $是一个可定向的四维闭shrinking GRS.如果它是half-PIC,并且Ricci曲率张量处处有3个特征值相等,那么它是半共形平坦的,从而它一定等距于标准的Einstein流形$ S^4 $$ CP^2 $.

2 Half-PIC的定义和性质

一个黎曼流形$ (M, g) $具有正迷向曲率(positive isotropy curvature,简写为PIC),是指:如果在流形任何一点的切空间上,任取四个单位正交的单位向量$ \{e_1, e_2, e_3, e_4\} $,下面的曲率表达式

恒成立.特别的,如果该流形是一个可定向的4维流形,那么我们可以给出半正迷向曲率的定义.

定义2.1  给定一个可定向的四维流形$ (M^4, g) $,如果在任何一点处的切空间$ T_p $上任意取定一个正定向的(或反定向的)单位正交基$ \{e_1, e_2, e_3, e_4\} $,下面的曲率表达式

恒成立.那么我们称流形$ (M^4, g) $具有PIC$ _+ $ (或PIC$ _- $).我们把PIC$ _+ $和PIC$ _- $统称为半正迷向曲率,简写成half-PIC.

在4维可定向流形上,我们对于PIC和half-PIC有更具体地刻画(请见文献[10]).事实上,我们可以利用Hodge星算子$ * $把2 -形式向量空间进行正交分解: $ \Lambda^2 = \Lambda^2_+\oplus\Lambda^2_- $,这里$ \Lambda^2_+ $$ \Lambda^2_- $分别是Hodge星算子$ * $对应于特征值$ +1 $$ -1 $的特征子空间.更进一步,选择切空间的一个正定向的单位正交基$ \{e_i\} $, $ \Lambda^2_+ $的基底(在对偶意义下)可表示为

同理, $ \Lambda^2_- $的基底(在对偶意义下)可表示为

在上述基底下,黎曼曲率算子$ Rm $表示为一个分块矩阵$ (M_{\alpha\beta}) $

众所周知, $ A = \frac {R}{6}I + W_+ $, $ C = \frac {R}{6}I + W_- $,和$ B = \mathring{Ric} \odot g $,其中$ R $是数量曲率, $ W_{\pm} $是Weyl张量的自对偶部分和反自对偶部分,而$ \mathring{Ric} = Ric -\frac 14 R $是traceless Ricci曲率.特别的, $ B = 0 $当且仅当流形是Einstein.

为了后续的应用,我们给出$ A $, $ C $$ B $的一些基本计算.首先,对于$ A $$ C $,我们有

因此,利用第一Bianchi恒等式,有

同时,在一个正定向的单位正交基$ \{X_i\} $下,迷向曲率

而如果所选基底$ \{X_i\} $是反定向的,则迷向曲率是

从而, PIC有一个简单的刻划[10]: 4维流形是PIC,当且仅当$ A $$ C $都是2-正定矩阵.类似这个观察,我们也可证明

引理2.1  一个可定向的4维流形是$ PIC_+ $,当且仅当$ A $是2-正定矩阵,即

其中$ a_1 $$ a_2 $是矩阵$ A $最小的两个特征值.特别的,流形的数量曲率一定是正的.

接下来,我们来计算矩阵$ B $的元素.如果$ \{e_1, e_2, e_3, e_4\} $是Ricci曲率张量的特征向量,对应的特征值为$ \lambda_i $,则$ B $是对角矩阵,并且

3 具有half-PIC的Soliton的几何性质

在本节中,我们将给出4维shrinking GRS的一个重要的几何性质.设$ T $是流形上的对称张量,那么,作用于$ T $上的$ f $-Laplacian是指

利用上述定义,我们可以证明soliton上的一个基本方程.

引理3.1  在一个4维GRS上,有

其中$ A^{\#} $$ A $的伴随矩阵的转置.

  众所周知(参见文献[18])

在4维的情况下,通过上述第2节的相关计算,我们把曲率算子$ Rm $转化为一个分块矩阵$ (M_{\alpha\beta}) $.特别的, $ Rm^{\#} $也可以写成分块矩阵

其中$ A^{\#} $, $ B^{\#} $$ C^{\#} $分别是$ A $, $ B $$ C $的伴随矩阵的转置.

由此,我们可以得到结论.

为了应用上述引理,我们先计算两个特殊的矩阵$ BB^T $$ A^{\#} $.设Ricci曲率张量的4个特征值为$ \lambda_i $,并且$ \lambda_1\le \lambda_2 \le \lambda_3 \le \lambda_4 $,根据第二节的计算,我们可以把非负定矩阵$ BB^T $对角化

其中

另一方面,如果在某个基底下矩阵$ A $对角化为

则在同一基底下,有

现在,利用soliton的基本方程及极值原理,我们可以得到下述结论.

命题3.1  设$ (M^4, g) $是一个4维的闭shrinking GRS.如果它是PIC$ _+ $,那么$ a_1 > 0 $.更进一步,如果我们还假设traceless Ricci曲率满足$ |\mathring{Ric}|\le \epsilon R $,那么

处处成立,其中$ a_1\le a_2 \le a_3 $是矩阵$ A $的三个特征值.

  设在闭流形$ (M, g) $$ A $的最小特征值满足$ a_1 \ge \rho $ ($ \rho $是一个常数),并且流形上存在一点$ p $$ \Lambda_+^2(p) $上一个单位向量$ \varphi_1 $,使得$ a_1(p) = A(\varphi_1, \varphi_1) = \rho $.

由极值原理,有

设在$ p $点处$ A $的特征值为$ a_1\le a_2 \le a_3 $,从而根据引理3.1,有

因为soliton是PIC$ _+ $,从而$ 2a_2 \ge a_1+a_2 > 0 $.因此, $ a_1 \ge \frac 1{\lambda} a_2a_3 > 0 $.

更进一步,根据流形$ (M, g) $的紧性,我们可以找到一个最优的正常数$ \eta $,使得$ a_1 \ge \eta a_3 $处处成立(显然, $ \eta \le 1 $).特别的,我们可以找到一点$ q $$ \Lambda_+^2(q) $的一个基底$ \{\varphi_i\} $,使得$ A $在这个基底下可对角化

特征值$ \{a_i\} $满足$ a_1\le a_2 \le a_3 $,并且$ a_1 = \eta a_3 $.

再次利用极值原理,

因此

直接计算,可得

$ a_3\ge \frac 13(a_1+a_2+a_3) = \frac R6 $,并且

因此

$ \begin{align} \frac 1{36}(1-\eta)R^2 \le (\lambda_4-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_1) . \end{align} $

注意到

所以$ \frac 1{36}(1-\eta)R^2 \le \epsilon^2 R^2 $,即$ \eta \ge 1-36 \epsilon^2 $.从而我们完成了证明.

利用命题3.1,我们立刻得到定理1.1的证明.

定理1.1的证明  不妨假设该Einstein流形具有PIC$ _+ $.注意到在Einstein流形上, $ R_{ij} = \frac R4g_{ij} $,从而$ \mathring{Ric} = 0 $.应用上述命题3.1,可得

处处成立,即$ a_1 = a_3 $,也就是说$ W_+ = 0 $,所以该流形是半共形平坦的.从而根据Hitchin的分类定理(详见文献[1,定理13.30]),我们立刻得到结论.

在命题3.1的证明过程中,关键的一步是要估计式子(*)中的曲率项

因此,如果soliton的Ricci曲率张量处处有三个特征值相等,那么$ \eta \ge 1 $,即$ W_+ = 0 $,所以该soliton是半共形平坦的.从而根据Chen-Wang[8]的分类定理,我们可以得到定理1.2.

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