Rogers-Ramanujan恒等式是分拆理论和组合学中最著名的恒等式.推导此类恒等式最常用的方法是Bailey引理, Bailey^[6], Slater^[12-13]和Andrews^[2-3]先后给出了详细的阐述.在文献[5]和[8]中,双边Bailey对被引入以及建立了相应的双边Bailey引理.在本文里,我们利用双边Bailey引理和迭代技巧得到一类新的多重Rogers-Ramanujan恒等式.

为了方便,本文总是假设$|q|<1$.我们使用如下标准的符号

其中$a$为任意复数, $m$为任意整数.为了简便起见,我们记

其中$n$为整数或者无穷.

$q$ -二项式系数定义为

我们假定$\left[{n\atop k}\right]_q=0$,当$k<0$或者$k>n$.我们再引入下述两个基本恒等式.

Jacobi三重积恒等式(参见文献[10, (1.6.1)])

是重要的级数-乘积恒等式之一,在文献[9, 15-16]中有具体的应用.

$q$-Pfaff-Saalschutz求和公式(参见文献[10, (1.7.2)])

文献[4]中, Andrews给出Bailey对的定义如下:若序列$(\alpha_n(a, q), \beta_n(a, q))$满足下列关系

则称$(\alpha_n(a, q), \beta_n(a, q))$是关于$(a, q)$的Bailey对.

称序列$(\alpha_n(a, q), \beta_n(a, q))$是关于$(a, q)$的双边Bailey对,若满足下列关系

引理1.1(双边Bailey引理)  若$(\alpha_n(a, q), \beta_n(a, q))$是关于$(a, q)$的双边Bailey对,则$(\alpha_n'(a, q), \beta_n'(a, q))$也是,其中

假设序列$\alpha_n(a, q)$和$\beta_n(a, q)$满足一定的收敛条件使得两边的无穷级数都绝对收敛.

在双边Bailey引理中,令$\rho_1\rightarrow\infty$, $\rho_2\rightarrow\infty$,则我们有

在文献[9]中, Jouhet指出,当$a=q^{m}$, $m\in{\Bbb N}$时, (1.4)式中右边的无穷级数是有限的,因此称这样的双边Bailey对$(\alpha_n(q^{m}, q), \beta_n(q^{m}, q))$为移位Bailey对. Jouhet还给出了下述一对移位Bailey对.

引理1.2^{[9,命题2.1]}  设$m\in{\Bbb N}$, $(\alpha_n(q^{m}, q), \beta_n(q^{m}, q))$是移位Bailey对,其中

在文献[7]中, Bressoud, Ismail和Stanton提出了几个新的Bailey链.在这一节里,我们给出文献[7,定理2.2]和[7,定理2.3]的下列双边推广.

定理2.1  若$({\alpha}_{n}(a, q), {\beta}_{n}(a, q))$是关于$(a, q)$的Bailey对,则$({\alpha}_{n}'(a, q), {\beta}_{n}'(a, q))$是关于$(a^4, q^4)$的Bailey对,其中

这里假定相关的级数绝对收敛.

证  假设${\alpha}_{n}(a, q)$已成立,将(2.2)式代入等式(1.4)中,然后交换求和顺序,应用$q$-Pfaff-Saalschutz求和公式(1.2)并且令$a\rightarrow -q^{-2n+2r}$, $b\rightarrow -Bq^{1+2r}$, $c\rightarrow a^2q^{4r+2}$, $q\rightarrow q^{2}$, $n\rightarrow n-r$,可得此定理.

在定理2.1中令$B\rightarrow\infty$,则有

在定理2.1令$B\rightarrow 0$,则有

定理2.2  若$({\alpha}_{n}(a, q), {\beta}_{n}(a, q))$是关于$(a, q)$的双边Bailey对,则$({\alpha}_{n}'(a, q), {\beta}_{n}'(a, q))$是关于$(a^3, q^3)$的双边Bailey对,其中

这里假定相关的级数绝对收敛.

证  同定理2.1的证明一样,应用等式(1.4)和$q$-Pfaff-Saalschutz求和公式(1.2),并且令$a\rightarrow \omega q^{-n+r}$, $b\rightarrow \omega^2q^{-n+r}$, $c\rightarrow aq^{2r+1}$, $n\rightarrow n-r$,这里$\omega$是三次单位原根,化简即得.

在这一节里,我们从移位Bailey对(1.7)和(1.8)式出发,利用文献[1]中的迭代技巧去得到一系列新的多重Rogers-Ramanuan恒等式.

定理3.1  对所有的$k\in{{\Bbb N}^{*}}$, $m\in{\Bbb N}$, $1\leq i\leq k$,我们有

证  若Bailey链表示如下

其中${\alpha}^{(j)}={\alpha}_n^{(j)}, {\beta}^{(j)}={\beta}_n^{(j)}$.迭代(S1) $i-1$ ($i\geq1$)次,并且将其中的$a$替换成$q^{4m}$,则有

应用(S2),可以得到

然后再应用(S1) $k-i$次,并且令$q \rightarrow q^2$,有

联立等式(3.2)-(3.7),有

将移位Bailey对(1.7)和(1.8)式代入(3.8)-(3.9)式中,然后将得到的移位Bailey对代入等式(1.4),并将(1.4)式中的$a$替换成$q^{4m}$, $q$替换成$q^4$,最后令$n\rightarrow\infty$, $q \rightarrow q^{1/2}$,定理得证.

推论3.1^{[9,定理2.3]}  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$和$m\in{\Bbb N}$,我们有

证  在定理3.1中令$i=1, n_0 \rightarrow\infty$.

注3.1  在推论3.1中令$m=0$,则对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$,我们有

该恒等式是文献[2,定理1] $i=k$时的另一种表达形式.

推论3.2^{[9,推论2.5]}  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.1中令$k=1$.

推论3.3^{[9,推论2.7]}  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.1中令$k=2$.

注3.2  等式(3.12)是第一Rogers-Ramanujan恒等式

的$m$-等价形式.

推论3.4  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.1中令$k=3$.

在(3.13)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$,则有(参见文献[2, p.4083, (1.8)])

推论3.5  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.1中令$k=4$.

在(3.14)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$, $n_3\rightarrow k$,则有

推论3.6  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$和$m\in{\Bbb N}$,我们有

证  在定理3.1中令$i=2$.

推论3.7  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.6中令$k=2$.

在(3.16)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow k$,则有

推论3.8  对所有的$m\in{\Bbb N}$,我们有

证  在推论3.6中令$k=3$.

在(3.17)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$,则有

推论3.9  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.6中令$k=4$.

在(3.18)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$, $n_3\rightarrow k$,则有

推论3.10  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$和$m\in{\Bbb N}$,我们有

证  在定理3.1中令$i=3$.

推论3.11  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.10中令$k=3$.

在(3.20)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$,则有

推论3.12  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.10中令$k=4$.

在(3.21)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$, $n_3\rightarrow k$,则有

推论3.13  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在定理3.1中令$k=4, i=4$.

在(3.22)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$, $n_3\rightarrow k$,则有

定理3.2  对所有$k\in{\Bbb N^{*}}$, $m\in{\Bbb N}$和$2\leq i\leq k$,我们有

证  若Bailey链表示如下

其中${\alpha}^{(j)}={\alpha}_n^{(j)}, {\beta}^{(j)}={\beta}_n^{(j)}$.迭代(S1) $i-1$($i\geq1$)次,并且将其中的$a$替换成$q^{4m}$,则有

应用(S3),可以得到

然后应用(S1) $k-i$次,并且令$q \rightarrow q^2$,则有

联立等式(3.24)-(3.29)式,有

将(1.7)和(1.8)式代入(3.30)-(3.31)式中,然后将得到的移位Bailey对代入等式(1.4),并且将等式(1.4)中的$a$替换成$q^{4m}$, $q$替换成$q^4$,最后令$n\rightarrow\infty$, $q \rightarrow q^{1/2}$.定理得证.

推论3.14  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$和$m\in{\Bbb N}$,有

证  在定理3.2中令$i=2$.

推论3.15  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.14中令$k=2$.

在(3.33)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$,则有

推论3.16  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.14中令$k=3$.

在(3.34)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$,则有

推论3.17  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.14中令$k=4$.

在(3.35)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$, $n_3\rightarrow k$,则有

推论3.18  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$和$m\in{\Bbb N}$,有

证  在定理3.2中令$i=3$.

推论3.19  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.18中令$k=3$.

在(3.37)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$,则有

推论3.20  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.18中令$k=4$.

在(3.38)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$, $n_3\rightarrow k$,则有

推论3.21  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$, $m\in{\Bbb N}$和$1\leq i\leq k$,我们有

证  在定理3.2中令$k=4, i=4$.

在(3.39)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$, $n_3\rightarrow k$,则有

定理3.3  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$, $m\in{\Bbb N}$和$1\leq i\leq k$,我们有

证  若Bailey链表示如下

其中${\alpha}^{(j)}={\alpha}_n^{(j)}, {\beta}^{(j)}={\beta}_n^{(j)}$.迭代(S1) $i-1$($i\geq1$)次,并且将$a$替换成$q^{4m}$,则有

应用定理2.2,可以得到

然后,应用(S1)$k-i$次,则有

联立等式(3.41)-(3.46),有

将(1.7)和(1.8)式代入$(3.47)$-$(3.48)$式中,然后将得到的Bailey对代入等式(1.4),并将(1.4)式中的$a$替换成$q^{3m}$, $q$替换成$q^3$,最后令$n\rightarrow\infty$.定理得证.

注3.3  在定理3.3中令$i=1, n\rightarrow\infty$,可以得到推论3.2;在定理3.3中分别令$k=1,$$i=1$; $k=2,$$i=1$和$k=3, i=1$,可以得到恒等式(3.11), (3.12)和(3.13).

推论3.22  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$和$m\in{\Bbb N}$,我们有

证  在定理3.3中令$i=2$.

推论3.23  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.22中令$k=2$.

在(3.50)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow k$,则有

推论3.24  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.22中令$k=3$.

在(3.51)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$,则有

推论3.25  对所有的$k\in{\Bbb N^{*}}$和$m\in{\Bbb N}$,我们有

证  在定理3.3中令$i=3$.

推论3.26  对所有的$m\in{\Bbb N}$,有

证  在推论3.25中,令$k=3$.

在(3.53)式中,当$m=0$时,令$n_1\rightarrow m$, $n_2\rightarrow n$,则有^{[6, (4.27)]}