自Weyl证明自伴算子满足Weyl定理以来,围绕Weyl定理的研究产生许多重要工作参见文献[1-4].一方面,满足Weyl定理的算子类不断扩大,这将正规算子的概念不断推广,通过算子不等式的形式定义出各种亚正规算子.另一方面, Weyl定理本身的形式也不断推广,激发人们研究Weyl型定理.文献[5]中,作者研究了$ a $-Weyl定理和Weyl定理,并得到了满足$ a $-Weyl定理的几类算子.文献[6]中,作者研究了Weyl型定理的稳定性.该文引入并研究了($ h $)性质及其稳定性.并得到了满足($ h $)性质的几类算子.

本文中, $ X $表示无穷维复Banach空间, $ L(X) $是$ X $上有界线性算子代数,对$ K\subset {\Bbb C} $, iso$ K $表示$ K $的孤立点. $ T\in L(X) $,用$ T^\ast $, ker$ (T) $, $ R(T) $, $ \sigma(T) $, $ \sigma_a(T) $和$ \sigma_r(T) $分别表示$ T $的共轭算子,零空间,值域,谱,近似点谱和剩余谱. $ \alpha(T) $和$ \beta(T) $是$ T $的零空间的维数和余维数,即$ \alpha(T) = \dim\ker(T) $和$ \beta(T) = {\rm co}\dim R(T) $. $ SF_{+}(X) = \{T\in L(X):\alpha(T)<\infty $且$ R(T) $闭$ \} $和$ SF_{-}(X) = \{T\in L(X):\beta(T)<\infty\} $分别表示$ X $上的上半-Fredholm和下半-Fredholm算子集.半Fredholm算子是指$ SF_{+}({\cal X})\cup SF_{-}({\cal X}) $中的算子(参见文献[7-8]),此时算子$ T $的指标定义为$ ind(T) = \alpha(T)-\beta(T) $. Fredholm算子是指$ \Phi({\cal X}) = SF_{+}({\cal X})\cap SF_{-}({\cal X}) $中的算子.

上半-Weyl算子定义为$ SF_{+}^{-}(X) = \{T\in SF_{+}(X): $ ind$ (T)\leq0\} $,则$ T $的上半-Weyl谱可定义为

$\sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \{\lambda\in{\Bbb C}:T-\lambda\in L(X)\setminus SF_{+}^{-}(X)\}$,

由文献[9],若$ \sigma(T)\setminus\sigma_w(T) = \pi_{00}(T) $,则称$ T\in L(X) $满足Weyl定理,其中$ \pi_{00}(T) = \{\lambda\in iso \sigma(T):0<\alpha(T-\lambda)<\infty\} $.由文献[4],算子$ T\in L(X) $满足$ a $-Weyl定理,若$ \sigma_a(T)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \pi_{00}^{a}(T) $,其中$ \pi_{00}^{a}(T) = \{\lambda\in iso \sigma_a(T):0<\alpha(T-\lambda)<\infty\} $.文献[4]中证明了算子满足$ a $-Weyl定理,则肯定满足Weyl定理,反之不一定成立.

定义2.1^[10-11]  称算子$ T\in{\cal L(X)} $在$ \lambda\in{\Bbb C} $处具有单值扩张性(简记为SVEP),若对$ \lambda $的每个开领域$ U_\lambda $,满足$ (T-\mu)f(\mu) = 0 $的解析函数$ f:U_\lambda\rightarrow{\cal X} $,只有$ f\equiv0 $.若$ T $在$ \lambda\in{\Bbb C} $的每个点都有SVEP,则称算子$ T\in L(X) $具有SVEP.

定义2.2  $ T\in L(X) $称满足($ h $)性质,若$ \sigma(T)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \pi_{00}^{a}(T) $.

由定义容易得到

引理2.1  $ T\in L(X) $.若$ T $满足($ h $),则$ T $满足$ a $-Weyl定理.

定义2.3^{[4, 7]}  $ T\in L(X) $称具有$ (H_p) $性质,如果对每个$ \lambda\in {\Bbb C} $,存在整数$ p: = p(\lambda)\geq 1 $使得

$ H_0(\lambda I-T) = \ker(\lambda I-T)^p, $

其中${H_0}\left( T \right) = \left\{ {x \in X:\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lim }}}\\{n \to \infty }\end{array}{{\left\| {{T^n}x} \right\|}^{\frac{1}{n}}} = 0} \right\}$是$ T $的拟幂零部分.

引理2.1的逆命题一般不成立,如下例.

例3.1  设$ T $是定义在Hilbert空间$ \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $上的单位右移算子,则

$\sigma(T) = D(0, 1)$是${\Bbb C}$中单位闭圆, $\sigma_a(T) = \sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \partial D$.

故$ \pi_{00}^{a}(T) = \emptyset $.因此

$ \sigma_a(T)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \emptyset = \pi_{00}^{a}(T), $

即$ T $满足$ a $-Weyl定理.但$ T $不满足($ h $)性质,因为

$ \sigma(T)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T)\neq\pi_{00}^{a}(T). $

定理3.1  设$ T\in L(X) $和$ F\in L(X) $是有限秩算子且$ TF = FT $. $ T $满足($ h $)性质,则$ T + F $满足($ h $)性质当且仅当$ \sigma_{r, 1}(T+F) = \emptyset $且$ \pi_{00}^{a}(T+F)\cap\sigma_a(T)\subset \pi_{00}^{a}(T) $,其中$ \sigma_{r, 1}(T) = \{\lambda\in\sigma_{r}(T):R(T-\lambda) = \overline{R(T-\lambda)}\} $.

证  若$ T + F $满足($ h $)性质,则由引理2.1可知$ \sigma_{r, 1}(T+F) = \emptyset $.设$ \lambda\in\pi_{00}^{a}(T+F)\cap\sigma_a(T) $,则

$\lambda\in iso\sigma_a(T+F)$且$0 < \alpha(T+F)< \infty$, $\lambda\in \sigma_a(T)$.

因为$ F $与$ T $可交换,则由文献[12,引理3.1和定理3.2]可知

$\lambda\in iso\sigma_a(T)$且$0 < \alpha(T)< \infty$.

因此$ \lambda\in\pi_{00}^{a}(T) $.故

$\pi_{00}^{a}(T+F)\bigcap\sigma_a(T)\subset \pi_{00}^{a}(T)$.

反之,假设

$\sigma_{r, 1}(T+F) = \emptyset$且$\pi_{00}^{a}(T+F)\cap\sigma_a(T)\subset \pi_{00}^{a}(T)$.

下面只要证明

$0 \in\sigma(T+F)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T+F)$当且仅当$0 \in\pi_{00}^{a}(T+F)$.

若$ 0 \in\sigma(T+F)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T+F) $,则$ T+F $是上半-Weyl算子,即

$\alpha(T+F)< \infty, R(T+F)$是闭集且$ind(T+F)\leq 0$.

由文献[12,引理3.1]可知$ T $上半-Weyl算子.当$ 0 \in{\Bbb C}\setminus\sigma(T) $时,由文献[12,定理3.2]可得$ 0 \in{\Bbb C}\setminus acc\sigma_a(T) $,从而$ 0 \in{\Bbb C}\setminus acc\sigma_a(T+F) $.因为$ \sigma_{r, 1}(T+F) = \emptyset $,所以$ 0 \in \sigma_a(T+F) $,故$ 0 \in\pi_{00}^{a}(T+F) $.当$ 0 \in\sigma(T) $时,由于$ T $满足($ h $)性质,于是

$0 \in{\Bbb C}\setminus acc\sigma_a(T)$且$0 \in\pi_{00}^{a}(T+F)$.

反之,假设$ 0 \in\pi_{00}^{a}(T+F) $,则$ \lambda\in iso\sigma_a(T+F) $且$ 0 < \alpha(T+F)< \infty $.由文献[12,定理3.2]可得$ 0 \in{\Bbb C}\setminus acc\sigma_a(T) $.由文献[12,引理3.1]可得$ 0 \leq \alpha(T)< \infty $.下面分两种情况,一方面,若$ 0 \in{\Bbb C}\setminus\sigma_a(T) $,则$ T+F $是上半-Fredholm算子且指标小于等于零,故$ 0 \in\sigma(T+F)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T+F) $.另一方面,若$ 0 \in\sigma_a(T) $,则$ 0 \in\pi_{00}^{a}(T+F)\cap\sigma_a(T) $,故$ 0 \in\pi_{00}^{a}(T) $.因此$ T+F $是上半-Fredholm算子且指标小于等于零,因而$ 0 \in\sigma(T+F)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T+F) $.

注3.1  若$ T $是$ a $-isoloid算子^[13],则$ \pi_{00}^{a}(T+F)\cap\sigma_a(T)\subset \pi_{00}^{a}(T) $.

推论3.1  设$ T\in L(X) $是$ a $-isoloid算子, $ F\in L(X) $是有限秩算子且$ TF = FT $. $ T $满足($ h $)性质,则$ T + F $满足($ h $)性质当且仅当$ \sigma_{r, 1}(T+F) = \emptyset $.

证  由定理3.1和注3.1容易得到.

一般情况下, ($ h $)性质在交换的有限秩算子扰动下不稳定.我们用下例来说明($ h $)性质在交换的有限秩(紧)算子扰动下的不稳定性.

例3.2  定义Banach空间$ X = \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})}\oplus\ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $上的算子

$ T = I \oplus S, $

其中$ I $是$ \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $上单位算子, $ S : \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})}\rightarrow\ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $是单拟幂零算子但不是幂零算子.则

$ \sigma(T) = \sigma_a(T) = \{0, 1\}. $

由文献[12]知

$ E^a(T) = \{1\}, \sigma_{SBF_{+}^{-}}(T) = \{0\}. $

故

$ \sigma_a(T)\setminus\sigma_{SBF_{+}^{-}}(T) = E^a(T), $

即$ T $满足广义$ a $-Weyl定理,于是$ T $满足$ a $-Weyl定理.又$ \sigma(T) = \sigma_a(T) $,故$ T $满足$ (h) $性质.

定义$ \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $上的算子$ U $,

$ U(\xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots) = (-\xi_1, 0, 0, \cdots) $

和Banach空间$ X = \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})}\oplus\ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $上的算子

$ F = U \oplus0. $

则$ F $是有限秩算子且

$ FT = TF, $

$ \sigma(T+F) = \sigma_a(T+F) = \{0, 1\}. $

由文献[13]知

$ \sigma_w(T + F) = \{0, 1\} $

且

$ \pi_{00}(T + F) = \{0\}. $

故

$ \sigma(T+F)\setminus\sigma_w(T + F)\neq\pi_{00}(T + F), $

即$ T +F $不满足$ a $-Weyl定理.从而$ T+F $不满足$ (h) $性质.

定理3.2  设$ T\in L(X) $和$ N\in L(X) $是幂零算子且$ TN = NT $,则$ T $满足($ h $)性质当且仅当$ T + N $满足($ h $)性质.

证  因为$ N $与$ T $可交换,则由文献[14-15]知

$\sigma(T+N) = \sigma(T), \sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \sigma_{SF_{+}^{-}}(T+N), $

$ \pi_{00}^{a}(T+N) = \pi_{00}^{a}(T)$.

因此$ T $满足$ (h) $性质当且仅当$ T + N $满足$ (h) $性质.

下面的例子说明定理3.2中的可交换性不能去掉.

例3.3  设$ X = \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $, $ T $和$ N $定义为

$ T(x_1, x_2, x_3, \cdots) = (0, \frac{x_1}{2}, \frac{x_2}{3}, \cdots), $

$ N(x_1, x_2, x_3, \cdots) = (0, -\frac{x_1}{2}, 0, \cdots). $

显然$ N $是幂零算子但与$ T $不可交换.进而

$ \sigma(T) = \{0\} = \sigma_{SF_{+}^{-}}(T) $

且

$ \pi_{00}^{a}(T) = \emptyset. $

因此

$ \sigma(T)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \pi_{00}^{a}(T) $

且$ T $满足$ (h) $性质.另一方面

$ \sigma(T+N) = \{0\}, \sigma_{SF_{+}^{-}}(T+N) = \{0\} $

且

$ \pi_{00}^{a}(T+N) = \{0\}. $

因而

$ \sigma(T+N)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T+N)\neq\pi_{00}^{a}(T+N) . $

故$ T +N $不满足$ (h) $性质.

一般,定理3.2不能推广到交换的拟幂零扰动.

例3.4  在Hilbert空间$ H = \ell^{2}{\Bbb (\mathbb{N})} $上定义算子$ T $和拟幂零算子$ Q $为

$ T = 0, Q(x_1, x_2, x_3, \cdots) = (\frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \frac{x_4}{4}, \cdots). $

则

$ TQ = QT = 0, \sigma(T) = \{0\} = \sigma_{SF_{+}^{-}}(T) $

且

$ \pi_{00}^{a}(T) = \emptyset. $

进而,有

$ \sigma(T)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T) = \pi_{00}^{a}(T). $

因此$ T $满足$ (h) $性质.但是因为

$\sigma(T+Q) = \{0\} = \sigma_{SF_{+}^{-}}(T+Q)$和$\pi_{00}^{a}(T+Q) = \{0\}$,

所以

$\sigma(T+Q)\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T+Q)\neq\pi_{00}^{a}(T+Q)$.

故$ T +Q $不满足$ (h) $性质.

定理3.3  设$ T\in L(X) $.

(1)如果$ T $具有SVEP,则对$ T^{*} $, $ (h) $性质, Weyl定理和$ a $-Weyl定理等价.

(2)如果$ T^{*} $具有SVEP,则对$ T $, $ (h) $性质, Weyl定理和$ a $-Weyl定理等价.

证  (1)如果$ T $具有SVEP,则由文献[11]的命题1.3.2知$ \sigma(T^{*}) = \sigma_a(T^{*}) $.假设$ T^{*} $满足$ a $-Weyl定理,则

$\sigma_a(T^{*})\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T^{*}) = \pi_{00}^{a}(T^{*})$.

因此

$\sigma(T^{*})\setminus\sigma_{SF_{+}^{-}}(T^{*}) = \pi_{00}^{a}(T^{*})$.

故$ T^{*} $满足$ (h) $性质.类似地可以证明若$ T^{*} $满足$ (h) $性质,则$ T^{*} $满足$ a $-Weyl定理.因此对$ T^{*} $, $ (h) $性质和$ a $-Weyl定理等价.由文献[5]的定理3.6可知, Weyl定理和$ a $-Weyl定理等价.

(2)与(1)类似地可以证明.

定理3.4  若$ T\in L(X) $有$ (H_p) $性质,则对每个$ f\in {\cal H}(\sigma(T)) $, $ f(T^{*}) $具有$ (h) $性质.类似地,若$ T^{*} $有$ (H_p) $性质,则对每个$ f\in {\cal H}(\sigma(T)) $, $ f(T) $具有$ (h) $性质.其中$ {\cal H}(\sigma(T)) $表示在$ \sigma(T) $的领域上定义的解析函数的集合.

证  若$ T\in L(X) $有$ (H_p) $性质,那么由文献[5]的引理3.3知$ T $具有SVEP,再由文献[11]的定理3.7知,对每个$ f\in {\cal H}(\sigma(T)) $, $ f(T) $有SVEP.进而,由文献[5]的定理3.7知, $ f(T^{*}) = f(T)^{*} $满足$ a $-Weyl定理,再由定理3.3,等价地$ f(T^{*}) $满足$ (h) $性质.类似地可以证明其他结论.

推论3.2  设$ T\in L(X) $是广义标量算子.则对所有$ f\in {\cal H}(\sigma(T)) $, $ f(T) $和$ f(T^{*}) $满足$ (h) $性质.

证  由文献[16]知,每个广义标量算子都具有$ (H_p) $性质,故由文献[5]的定理3.7知, $ f(T) $和$ f(T^{*}) $满足Weyl定理.因为$ T $是可分算子(见文献[11]),所以$ T $和$ T^{*} $有SVEP,因此$ f(T) $和$ f(T^{*}) $也有SVEP.那么由定理3.3知$ f(T) $和$ f(T^{*}) $满足$ (h) $性质.

由定理3.3和文献[5]的引理3.3,定理3.4可以得到满足$ (h) $性质的算子类

(a)每个log-hyponormal算子具有$ (H_1) $性质(见文献[17]),所以此类算子满足$ (h) $性质.

(b)每个$ p $-hyponormal算子具有$ (H_p) $性质,因为它是次标量算子(见文献[18]).由文献[19]知, Hilbert空间上算子$ T $或$ T' $是$ p $-hyponormal算子满足Weyl定理.所以此类算子满足($ h $)性质.

(c)每个$ M $-hyponormal算子$ T $满足Weyl定理,因为它是次标量算子(见文献[18]).所以此类算子满足$ (h) $性质.

(d)如果$ T $是完全$ \ast $-paranormal算子,则$ T $具有$ (H_1) $性质(见文献[20]的引理2.2).

(e)交换的半单Banach代数上的乘子具有$ (H_1) $性质(见文献[21]).特别地,群代数$ L_1(G) $上的每个卷积算子具有$ (H_1) $性质,其中$ G $是局部紧的交换群.

Banach空间上的transaloid算子具有$ (H_1) $性质(见文献[22],定理2.3).

定理3.5  假设$ T\in L(X) $具有$ (\beta) $性质和$ S\in L(Y) $具有$ (\delta) $性质.如果$ T $和$ S $是拟相似的,则下例结论等价

(ⅰ) $ T $满足Weyl定理;

(ⅱ) $ S $满足$ (h) $性质.

证  因为$ T\in L(X) $具有$ (\beta) $性质,那么由文献[23]可知$ \sigma(T) = \sigma(S) $,故$ iso\sigma(T) = iso\sigma(S) $.因$ (\beta) $性质蕴含$ T $具有SVEP,再由文献[5]的定理2.7可知$ S $具有SVEP.由文献[24]的定理5, $ S $满足Weyl定理时$ T $满足Weyl定理.因为$ S $具有$ (\delta) $性质可以推出$ S^{*} $具有SVEP,再由定理3.3, (ⅰ)和(ⅱ)等价.