该文考虑下面的随机热方程

(1.1) $\begin{equation}\label{1.5} \left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u+\dot{W}^{H}, \; &t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}, \\u_{0, x}=0, &x\in\mathbb{R} ^{d}, \end{array}\right. \end{equation}$

其中$\dot{W}^H$表示零均值高斯随机场$(W^{H}(t, x)_{t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}})$的形式上的导数.零均值高斯随机场的协方差为

(1.2) $\begin{equation}\label{1.4} E(W^{H}(t, x)W^{H}(s, y))=R_{H}(s, t)(x\wedge y), \end{equation}$

这里的$R_{H}(s, t)=\frac{1}{2}(t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H})$是分数布朗运动的协方差.在该文中,我们总是假设Hurst指数$H\in(\frac{1}{2}, 1)$.噪声$(\dot{W}^{H}(t, x)_{t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}})$通常被称为分数白噪声,这是因为在时间上它的表现是分数布朗运动,在空间上它的表现是白噪声.

上面的随机热方程解的存在唯一性是Balan和Tudor^[1]证明的.该文主要研究这个方程解的碰撞局部时和相交局部时的存在性和光滑性,主要的研究工具是局部非确定性(参见文献[2])和混沌分解.

当$H=\frac 12$时,噪声$(\dot{W}^{H}(t, x)_{t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}})$是经典的时空白噪声.众所周知,下面的随机热方程

(1.3) $\begin{equation}\label{1.2}\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u+\dot{W}, \; &t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}, \\ u_{0, x}=0, &x\in\mathbb{R} ^{d} \end{array}\right. \end{equation}$

有唯一解当且仅当$d=1$ (参见文献[3]).其适度解被定义为

$\begin{eqnarray*} u(t, x)=\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{d}}G(t-s, x-y)W({\rm d}s, {\rm d}y), t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}, \end{eqnarray*}$

其中$G(t, x)$是热核

(1.4) $\begin{equation}\label{1.3} G(t, x)=\left\{\begin{array}{ll} (2\pi t)^{-d/2}\exp(-\frac{|x|^{2}}{2t}), \; &\mbox{if $t>0, x\in\mathbb{R} ^{d}$}, \\ 0, &\mbox{if $t\leq0, x\in\mathbb{R} ^{d}$}. \end{array}\right. \end{equation}$

显然,过程$\{u(t, x), t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}\}$是一个中心化的高斯过程.当$d=1$且固定空间变量$x$时,文献[4]证明了$\{u(t, x), t\in[0, T]\}$是一个双分数布朗运动.它的协方差为

$E(u(t, x)u(s, x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\sqrt{t+s}-\sqrt{|t-s|}), $

其中$s, t\in[0, T]$.关于双分数布朗运动,可参见文献[5-8].

另一方面,高斯过程的局部时引起了众多学者的注意.在文献[9-10]中,作者研究了两个独立的分数布朗运动的相交局部时.文献[11]研究了平面上的分数布朗运动的自交局部时,而在一般维数情形下,参见文献[12-14].而关于次分数布朗运动和双分数布朗运动的的碰撞局部时,可参见文献[15-16]和[17-18].对于研究对象是更一般的高斯随机场,可参见文献[19].

方程(1.1)的解的分布的结构是比时空白噪声情形下的结构复杂得多的.事实上,当固定空间变量时,方程(1.1)的解不再是双分数布朗运动.关于解的结构,参见文献[20].文献[21]证明了方程(1.1)的解作为高斯过程的局部非确定性.文献[22]研究了分数彩噪声驱动的随机热方程的解的样本轨道性质.文献[23]研究了具有可加分数彩噪声的随机热方程的解的局部时的正则性.受这些结果的启发,该文研究方程(1.1)的解的一些相关的局部时.实际上,方程(1.1)的适度解为

(1.5) $\begin{equation}\label{1.6} U^{H}(t, x)=\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{d}}G(t-s, x-y)W^{H}({\rm d}s, {\rm d}y), \end{equation}$

其中$G$在(1.4)式中给出.由这个表达式,我们知道,当固定空间变量$x$时,过程$U^{H}(t, x)$是一个$\alpha$自相似的高斯过程(参见文献[21]),其中$\alpha=H-\frac14d$.其协方差为

$E\left[U^{H}(s, x)U^{H}(t, x)\right]=\alpha_{H}(4\pi)^{-\frac{d}{2}}\int^{t}_{0} \int^{s}_{0} |u-v|^{2H-2}((t+s)-(u+v))^{-\frac{d}{2}}{\rm d}v{\rm d}u, $

其中$s, t\in[0, T]$和$d<4H$.显然,协方差函数是一个很复杂得函数, $U^{H}(t, x)$是一个特殊且复杂的高斯过程.

我们知道,对于两个连续独立的随机过程$X$和$Y$,它们的碰撞局部时形式上被定义为

$\int^{t}_{0}\delta(X_{s}-Y_{s}){\rm d}s, $

其中$t\in[0, T]$, $\delta(\cdot)$是狄拉克函数.它是度量这两个过程的轨道在时间区间$[0, t]$中碰撞到一起的时间.记$F^{H}_{t}:=U^{H}(t, x)$,其中$d<4H$,空间变量$x\in\mathbb{R} ^{d}$是固定的.令高斯随机场$(W^{H_1}(t, x)_{t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}})$与$(\widetilde{W}^{H_2}(t, x)_{t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}})$是独立的,其中$H_1, H_2\in (\frac12, 1)$.假设$U^{H_{1}}$和$U^{H_{2}}$分别是方程(1.1)在高斯场$W^{H_1}$和$\widetilde{W}^{H_2}$下对应的解.则过程$F^{H_1}_{t}$与$F^{H_2}_{t}$是相互独立的.该文的一个主要研究对象就是下面的碰撞局部时

$\ell_{t}=\int^{t}_{0}\delta(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s}){\rm d}s, $

其中$t\in[0, T]$.

该文的结构安排如下:第二节给出分数随机热方程的一些结果和高斯过程的混沌分解;第三节证明碰撞局部时$\ell_{t}$在$L^{2}$意义下是存在性的;第四节给出碰撞局部时$\ell_{t}$的光滑性;第五节研究碰撞局部时的正则性.事实上,当$n\geq1$时,有

$E(|\ell_{t}-\ell_{s}|^{n})\leq k(t-s)^{n(1-(H-\frac{d}{4}))}, $

其中$d<4H$, $s\leq t$, $s, t\in[0, T]$, $H=H_{1}\wedge H_{2}$.这表明碰撞局部时这个随机过程是$\beta$阶Hölder连续的,其中$0<\beta<1-(H_{1}\wedge H_{2}-\frac{d}{4})$.第六节研究了两个独立的过程$F^{H}$和$\tilde{F}^{H}$的相交局部时,其中Hurst指数是一样的.这两个过程的相交局部时形式上被定义为

$I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})=\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\delta(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r}){\rm d}r{\rm d}s, $

其中$t\in[0, T]$, $\tilde{F}^{H}$是${F}^{H}$的独立复制.

定义在概率空间$(\Omega, {\cal F}, P)$上的中心化高斯过程$W^{H}=\{W^{H}_{t}(A), t\in[0, T], A\in{\cal B}_{b}(\mathbb{R} ^{d})\}$,其协方差为

$E(W^{H}_{t}(A)W^{H}_{s}(B))=R_{H}(t, s)\lambda(A\cap B):=\langle1_{[0, t]\times A}, 1_{[0, s]\times B}\rangle_{{\cal H}}, $

其中$\lambda$是勒贝格测度.记$W^{H}(t, x):=W^{H}_{t}([0, x]), x\in\mathbb{R} ^{d}$.我们得到高斯场$\{W^{H}(t, x), t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}\}$,其协方差是(1.2)式.令${\cal H}$是由示性函数生成的线性空间在内积$\langle\cdot, \cdot\rangle_{{\cal H}}$下的完备化空间.映射$\varphi\in{\cal E}\rightarrow W^{H}(\varphi)$是${\cal E}$到由$W^{H}$生成的高斯空间上的一个等距映射,它可以被延拓到${\cal H}$上.记

$\varphi\mapsto W^{H}(\varphi)=\int^{\infty}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{d}}\varphi(t, x)W^{H}({\rm d}t, {\rm d}x), $

其中积分是关于高斯过程$W^{H}$的维纳积分.所以分数随机热方程(1.1)的适度解可以被写成(1.5)式.下面的结果来自于文献[1].

定理 2.1  过程$\{U^{H}(t, x), t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}\}$存在且满足$ \mathop {\sup }\limits_{t\in[0, T], x\in\mathbb{R} ^{d}}E(U^{H}(t, x)^{2})<\infty $当且仅当$d<4H$.

这意味着,当$H\in(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$时,我们可以考虑空间变量的维数是$1$或$2$;当$H\in(\frac{3}{4}, 1)$时,相应的空间变量的维数是$1$, $2$或$3$.假定$s\leq t$,记$ R^{H}(t, s)=E(F^{H}_{t}F^{H}_{s}) $,则

$R^{H}(t, s)=\alpha_{H}(4\pi)^{-\frac{d}{2}}\int^{t}_{0}\int^{s}_{0}|u-v|^{2H-2}((t+s)-(u+v))^{-\frac{d}{2}}{\rm d}v{\rm d}u, $

其中$\alpha_{H}=H(2H-1)$.注意,该文中我们总假设$d<4H$和$\frac12<H<1$.

下面我们简单地介绍混沌分解,它是$L^{2}(\Omega, P)$上的一个直和分解.令$X$ := $\{X_{t}, t\in [0, T]\}$是定义在概率空间$(\Omega, {\cal F}, P)$上的一个高斯过程. $p_{n}(x)$是$n$阶多项式,我们称$p_{n}(X_{t})$是关于$X$的多项式函数,其中$t\in [0, T]$. ${\cal P}_{n}$是$\{p_{m}(X_{t}):0\leq m\leq n, t\in [0, T]\}$在$L^{2}(\Omega, P)$范数下的完备化空间.显然, ${\cal P}_{n}$是$L^{2}(\Omega, P)$的子空间.记${\cal C}_{n}$是${\cal P}_{n}$的子空间且与${\cal P}_{n-1}$正交.则$L^{2}(\Omega, P)$是关于${\cal C}_{n}$的直和

${L^2}(\Omega ,P) = \mathop \bigoplus \limits_{n = 0}^\infty {{\cal C}_n} $

也就是说,对于任意的$F\in L^{2}(\Omega, P)$,存在$F_{n}\in{\cal C}_{n}$, $n=0, 1, 2, \cdots , $使得

(2.1) $\begin{equation}\label{02} F=\sum \limits_{n = 0}^\infty F_{n} \end{equation}$

成立.分解(2.1)称为$F$的混沌分解, $F_{n}$称为$F$的$n$阶混沌.于是

(2.2) $\begin{equation}\label{03} E(|F|^{2})=\sum\limits_{n = 0}^\infty E(|F_{n}^{2}|). \end{equation}$

考虑Meyer-Watanabe试验函数空间${\cal U}$

$ {\cal U}:=\bigg\{F=\sum\limits_{n = 0}^\infty F_{n}\in L^{2}(\Omega, P)|\sum\limits_{n = 0}^\infty nE(|F_{n}|^{2})<\infty \bigg\}, $

$F\in L^{2}(\Omega, P)$是光滑的,如果$F\in {\cal U}$.

当$F\in L^{2}(\Omega, P)$时,定义算子$\Gamma_{u}$

$ \Gamma_{u}F:=\sum\limits_{n = 0}^\infty u^{n}F_{n}, $

其中$u\in [0, 1]$.令$\Theta(u):=\Gamma_{\sqrt{u}}F$,则$\Theta(1)=F$.定义$\Phi_{\Theta}(u):=\frac{\rm d}{{\rm d}u}(\|\Theta(u)\|^{2})$.于是

$\Phi_{\Theta}(u)=\sum\limits_{n = 0}^\infty nu^{n-1}E(|F_{n}|^{2}). $

注意到$\|\Theta(u)\|^{2}=E(|\Theta(u)|^{2})=\sum\limits\limits_{n = 0}^\infty E(u^{n}|F_{n}|^{2})$.

引理 2.1^[24]  假设$F\in L^{2}(\Omega, P)$.则$F\in{\cal U}$当且仅当$\Phi_{\Theta}(1)<\infty$.

在本节中,我们研究$F^{H_{1}}$和$F^{H_{2}}$的碰撞局部时的存在性.它被定义为

(3.1) $\begin{equation}\label{3.1} \ell_{t}=\int^{t}_{0}\delta(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s}){\rm d}s, \end{equation}$

其中$t\in[0, T]$.注意到$d<4H$和$\frac12<H<1$.我们将证明$\ell_{t}$在$L^{2}$意义下是存在的.利用热核来逼近狄拉克函数

(3.2) $\begin{equation}\label{3.2} p_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}}{\rm e}^{-\frac{x^{2}}{2\varepsilon}} \equiv\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{{\rm i}x\xi}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon\xi^{2}}{\rm d}\xi, \end{equation}$

其中$\varepsilon>0$.定义

(3.3) $\begin{eqnarray}\label{3.3} \ell_{\varepsilon, t}=\int^{t}_{0}p_{\varepsilon}(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s}){\rm d}s =\frac{1}{2\pi}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{{\rm i}\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon\xi^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}s. \end{eqnarray}$

定理 3.1  假设$H_{i}\in(\frac{1}{2}, 1), d<4H_{i}, ~i=1, 2$.则当$\varepsilon$趋向于$0$时, $\ell_{\varepsilon, t}$在$L^{2}$意义下是收敛的.并且,极限记为$\ell_{t}$,即$\ell_{t}\in L^{2}(\Omega, {\cal F}, P)$.

为了证明这个定理,我们需要一些记号.记$a\wedge b:=\min\{a, b\}$,记号$F\asymp G$的含义是

$\begin{eqnarray*} c_{1}F(x)\leq G(x)\leq c_{2}F(x), \end{eqnarray*}$

其中$c_{1}$和$c_{2}$是两个正常数.

证    首先,证明对任意的$\varepsilon>0$,有$\ell_{\varepsilon, t}\in L^{2}(\Omega, {\cal F}, P)$.根据(3.3)式,有

(3.4) $\begin{eqnarray}\label{3.4} E(\ell^{2}_{\varepsilon, t})&=&\frac{1}{4\pi^{2}}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}E{\rm e}^{{\rm i}\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})+{\rm i}\eta(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r})} {\rm e}^{-\frac{\varepsilon(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}}{\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s\\ &=&\frac{1}{4\pi^{2}}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}{\rm e}^{-\frac{\sigma^{2}}{2}}{\rm e}^{-\frac{\varepsilon(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}}{\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s, \end{eqnarray}$

其中$\sigma^{2}=Var(\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})+\eta(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r})). $

运用局部非确定性(参见文献[21]),有

(3.5) $\begin{eqnarray}\label{3.5} \sigma^{2}&=&Var(\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})+\eta(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r}))\\ &=&Var(\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{1}}_{r})-\xi(F^{H_{2}}_{s}-F^{H_{2}}_{r})+(\xi+\eta)(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r}))\\&\geq&k[\xi^{2}(|s-r|^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+|s-r|^{2H_{2}-\frac{d}{2}})+(\xi+\eta)^{2}(r^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+r^{2H_{2}-\frac{d}{2}})], \end{eqnarray}$

其中$k>0$是个常数.注意, $k$是一个正的常数,不同的地方它的值可能不一样.在上面的不等式中,我们用到了下面的事实(参见文献[25])

(3.6) $ \begin{equation}\label{3.6} E|F^{H}_{t}-F^{H}_{s}|^{2}\asymp|t-s|^{2H-\frac{d}{2}}.\end{equation} $

于是

$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{4\pi^{2}}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}{\rm e}^{-\frac{\sigma^{2}}{2}}{\rm e}^{-\frac{\varepsilon(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}} {\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s\\ &\leq &\int^{t}_{0}\int^{s}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}{\rm e}^{-\frac{k}{2}[\xi^{2}((s-r)^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+(s-r)^{2H_{2}-\frac{d}{2}}) +(\xi+\eta)^{2}(r^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+r^{2H_{2}-\frac{d}{2}})]}{\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s\\& =& k\int^{t}_{0}\int^{s}_{0}[((s-r)^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+(s-r)^{2H_{2}-\frac{d}{2}})(r^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+r^{2H_{2}-\frac{d}{2}})]^{-\frac{1}{2}}{\rm d}r{\rm d}s\\ &\leq &k\int^{t}_{0}\int^{s}_{0}[(s-r)^{2(H_{1}\wedge H_{2})-\frac{d}{2}}r^{2(H_{1}\wedge H_{2})-\frac{d}{2}}]^{-\frac{1}{2}}{\rm d}r{\rm d}s<\infty. \end{eqnarray*}$

所以,对于任意的$\varepsilon>0$,有$E(\ell_{\varepsilon, t}^{2})<\infty. $

然后,我们证明$\{\ell_{\varepsilon, t}, \varepsilon>0\}$在$L^{2}(\Omega, {\cal F}, P)$中是柯西列.对任意的$\varepsilon, \zeta>0$,有

$\begin{eqnarray*}E(|\ell_{\varepsilon, t}-\ell_{\zeta, t}|^{2})&=&\frac{1}{4\pi^{2}}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}E{\rm e}^{{\rm i}\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})+{\rm i}\eta(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r})}\\&&\cdot({\rm e}^{-\frac{\varepsilon}{2}\xi^{2}}-{\rm e}^{-\frac{\zeta}{2}\xi^{2}})({\rm e}^{-\frac{\varepsilon}{2}\eta^{2}}-{\rm e}^{-\frac{\zeta}{2}\eta^{2}}){\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s\\&=&\frac{1}{4\pi^{2}}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}{\rm e}^{-\frac{\sigma^{2}}{2}}{\rm e}^{-\frac{\varepsilon\wedge\zeta}{2}(\xi^{2}+\eta^{2})}\\&&\cdot\left(1-{\rm e}^{\frac{|\varepsilon-\zeta|}{2}\xi^{2}}\right)\left(1-{\rm e}^{\frac{|\varepsilon-\zeta|}{2}\eta^{2}}\right){\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s.\end{eqnarray*}$

根据控制收敛定理,当$\varepsilon\rightarrow0$和$\zeta\rightarrow0$时,有$E(|\ell_{\varepsilon, t}-\ell_{\zeta, t}|^{2})\rightarrow0.$这意味着$\{\ell_{\varepsilon, t}, \varepsilon>0\}$在$L^{2}(\Omega, {\cal F}, P)$中是柯西列.所以, $\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0}\ell_{\varepsilon, t}$在$L^{2}(\Omega, {\cal F}, P)$中是存在的.证毕.

在本节中,我们研究碰撞局部时的光滑性.记

$\lambda_{s}:=Var(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})\asymp s^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+ s^{2H_{2}-\frac{d}{2}} , $

$\lambda_{r}:=Var(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r})\asymp r^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+ r^{2H_{2}-\frac{d}{2}}$

和

$ \rho_{r, s}:=E((F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r}))=R^{H_{1}}(s, r)+R^{H_{2}}(s, r). $

令$H_{n}(x)$, $x\in \mathbb{R} $是$n$阶Hermite多项式,即

(4.1) $ \begin{equation}\label{4.1} H_{n}(x)=(-1)^{n}\frac{1}{n!}{\rm e}^{\frac{x^{2}}{2}}\frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}{\rm e}^{-\frac{x^{2}}{2}}. \end{equation} $

于是

(4.2) $ \begin{equation}\label{4.2} {\rm e}^{tx-\frac{t^{2}}{2}}=\sum\limits_{n = 0}^\infty t^{n}H_{n}(x), \end{equation} $

其中$t>0$和$x\in \mathbb{R} $.这意味着

(4.3) $ \begin{equation}\label{4.3} \exp({\rm i}u\xi(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}})+\frac{1}{2}u^{2}\xi^{2}Var(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}}))=\sum\limits_{n=0}^{\infty}({\rm i}u)^{n}\sigma^{n}(s, \xi) H_{n}\left(\frac{\xi(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}})}{\sigma(s, \xi)}\right), \end{equation} $

其中${\rm i}=\sqrt{-1}$和

$\begin{eqnarray*} \sigma(s, \xi)=\sqrt{Var(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}})\xi^{2}}\asymp\sqrt{s^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+ s^{2H_{2}-\frac{d}{2}}}|\xi|, \end{eqnarray*}$

其中$\xi\in\mathbb{R} $.由于$\{H_{n}(x), x\in \mathbb{R} \}_{n\in{\Bbb Z}_{+}}$的正交性,根据(2.1)式,容易验证

$({\rm i}u)^{n}\sigma^{n}(s, \xi)H_{n}\left(\frac{\xi(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}})}{\sigma(s, \xi)}\right) $

是$\exp({\rm i}u\xi(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}})+\frac{1}{2}u^{2}\xi^{2}Var(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}}))$的$n$阶混沌,其中$s\in [0, T]$.下面我们给出命题4.1,这个命题是为了帮助证明定理4.1的.

命题 4.1  假设$\frac12<H_i<1$和$d<4H_i$,其中$i=1, 2$, $\lambda_{s}, \lambda_{r}$和$\rho_{r, s}$的定义如上.则$\ell_{t}\in{\cal U}$当且仅当

(4.4) $\begin{equation}\label{4.4} \int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\rho_{r, s}^{2}}{(\lambda_{s}\lambda_{r}-\rho_{r, s}^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s<\infty, \end{equation}$

其中$t\in [0, T]$.

证    对任意的$\varepsilon>0$和$t\in[0, T]$,有

$ \Theta_{\varepsilon}(u, t, \ell_{\varepsilon, t}):=E(|\Gamma_{\sqrt{u}}\ell_{\varepsilon, t}|^{2}) \; \mbox{和}\; \Theta(u, t, \ell_{t}):=E(|\Gamma_{\sqrt{u}}\ell_{t}|^{2}). $

根据引理2.1, (4.4)式成立当且仅当$\Phi_{\Theta}(1)<\infty$.由于(4.3)式,所以

$\begin{eqnarray*} \ell_{\varepsilon, t}&=&\int^{t}_{0}p_{\varepsilon}(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s}){\rm d}s\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{{\rm i}\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon\xi^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}s\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{s}+\varepsilon)\xi^{2}} \sum^{\infty}_{n=0}{\rm i}^{n}\sigma^{n}(s, \xi)H_{n}\left(\frac{\xi(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}})}{\sigma(s, \xi)}\right){\rm d}\xi {\rm d}s\\& \equiv&\sum\limits_{n = 0}^\infty F_{n}. \end{eqnarray*}$

注意到

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\Theta_{\varepsilon}}(1)&=&\sum\limits_{n=0}^{\infty}nE(|F_{n}|^{2})\\ &=&\sum^{\infty}_{n=0}\frac{n}{4\pi^{2}}E\bigg[\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon(\xi^{2}+\eta^{2})}\sigma^{n}(s, \xi) \sigma^{n}(r, \eta)\\& &\cdot {\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{s}\xi^{2}+\lambda_{r}\eta^{2})}H_{n}\left(\frac{\xi(F_{s}^{H_{1}}-F_{s}^{H_{2}})}{\sigma(s, \xi)}\right) H_{n}\left(\frac{\eta(F_{r}^{H_{1}}-F_{r}^{H_{2}})}{\sigma(r, \eta)}\right){\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s\bigg]\\ &=&\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{4\pi^{2}(n-1)!}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}\rho_{r, s}^{n}(\xi\eta)^{n} {\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{s}+\varepsilon)\xi^{2}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{r}+\varepsilon)\eta^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s\\ &=&\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{4\pi^{2}(2n-1)!}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} ^{2}}\rho_{r, s}^{2n}(\xi\eta)^{2n} {\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{s}+\varepsilon)\xi^{2}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{r}+\varepsilon)\eta^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s. \end{eqnarray*}$

这里我们用到了下面的事实(参见文献[24])

$ E[H_{n}(X)H_{m}(Y)]=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{$m\neq n$}, \\ \frac{1}{n!}[E(XY)]^{n}, \; & \mbox{$m=n, $} \end{array}\right. $

其中随机变量$X, Y$服从联合高斯分布且满足$E(X)=E(Y)=0$和$E(X^{2})=E(Y^{2})=1$.结合

$ \begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R} }\xi^{2n}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\xi^{2}(\lambda_{s}+\varepsilon)}{\rm d}\xi&=&2\int^{\infty}_{0}\xi^{2n}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\xi^{2}(\lambda_{s}+\varepsilon)}{\rm d}\xi\\ &=&2^{n+\frac{1}{2}}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)(\lambda_{s}+\varepsilon)^{-(n+\frac{1}{2})}, \end{eqnarray*} $

其中$\varepsilon>0$和$n\geq 1$,有

$ \begin{eqnarray*} \Phi_{\Theta_{\varepsilon}}(1)&=&\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(\Gamma(n+\frac{1}{2}))^{2}2^{2n+1}}{4\pi^{2}(2n-2)!} \int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\rho_{r, s}^{2n}}{((\lambda_{s}+\varepsilon)(\lambda_{r}+\varepsilon))^{n+\frac{1}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s\\ &=&\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2\pi}\frac{(2n-1)!!}{(2n-2)!!} \int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\rho_{r, s}^{2n}}{((\lambda_{s}+\varepsilon)(\lambda_{r}+\varepsilon))^{n+\frac{1}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

根据二项式定理

$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n-2)!!}x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{\frac{3}{2}}} x\in(-1, 1), $

所以

$ \Phi_{\Theta_{\varepsilon}}(1)=\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\rho_{r, s}^{2}}{((\lambda_{s}+\varepsilon)(\lambda_{r}+\varepsilon)-\rho_{r, s}^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s. $

这意味着,对任意的$t\in [0, T]$,有

$ \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\Phi_{\Theta_{\varepsilon}}(1)= \int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\rho_{r, s}^{2}}{(\lambda_{s}\lambda_{r}-\rho_{r, s}^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s. $

证毕.

定理 4.1  $\ell_{t}$是两个独立过程$F^{H_{1}}$和$F^{H_{2}}$的碰撞局部时,其中$H_{i}\in(\frac{1}{2}, 1), i=1, 2$.当

$\frac14d<\min\{H_{1}, H_{2}\}<\frac{4+3d}{12}=\frac13+\frac14d, $

则对任意的$t\in[0, T]$,有$\ell_{t}\in{\cal U}$.

证    根据命题4.1,只需证明当$\min\{H_{1}, H_{2}\}<\frac{4+3d}{12}$时, (4.4)式是成立的.显然,有

(4.5) $ \begin{eqnarray}\label{4.5} Var(\xi(F^{H_{1}}_{s}-F^{H_{2}}_{s})+\eta(F^{H_{1}}_{r}-F^{H_{2}}_{r}))&=&Var((\xi F^{H_{1}}_{s}+\eta F^{H_{1}}_{r})-(\xi F^{H_{2}}_{s}+\eta F^{H_{2}}_{r}))\\ &\geq& Var(\xi F^{H}_{s}+\eta F^{H}_{r}), \end{eqnarray} $

其中$\xi, \eta\in \mathbb{R} $和$H=H_{1}\wedge H_{2}$.则$4H>d$.类似于(3.5)式,有

(4.6) $ \begin{eqnarray}\label{4.6} Var(\xi F^{H}_{s}+\eta F^{H}_{r})&=&Var(\xi(F^{H}_{s}-F^{H}_{r})+(\xi+\eta)F^{H}_{r})\\ &\geq&k(\xi^{2}(s-r)^{2H-\frac{d}{2}}+(\xi+\eta)^{2}r^{2H-\frac{d}{2}}), \end{eqnarray} $

其中$r<s$.对任意的$\xi, \eta\in\mathbb{R} $, (4.5)和(4.6)式意味着

$\begin{eqnarray*} \lambda_{s}\xi^{2}+2\rho_{r, s}\xi\eta+\lambda_{r}\eta^{2}\geq k(\xi^{2}(s-r)^{2H-\frac{d}{2}}+(\xi+\eta)^{2}r^{2H-\frac{d}{2}}). \end{eqnarray*}$

化简得

(4.7) $ \begin{equation}\label{4.7} (\lambda_{s}-k(s-r)^{2H-\frac{d}{2}}-kr^{2H-\frac{d}{2}})\xi^{2}+2(\rho_{r, s}-kr^{2H-\frac{d}{2}})\xi\eta+(\lambda_{r}-kr^{2H-\frac{d}{2}})\eta^{2}\geq0. \end{equation} $

(4.7)式的判别式满足

$\begin{eqnarray*} \Delta=4(\rho_{r, s}-kr^{2H-\frac{d}{2}})^{2}-4(\lambda_{s}-k(s-r)^{2H-\frac{d}{2}}-kr^{2H-\frac{d}{2}})(\lambda_{r}-kr^{2H-\frac{d}{2}})\leq0, \end{eqnarray*}$

这意味着

$\begin{eqnarray*} \lambda_{s}\lambda_{r}-\rho_{r, s}^{2}&\geq &k\lambda_{r}((s-r)^{2H-\frac{d}{2}}+r^{2H-\frac{d}{2}})+k\lambda_{s}r^{2H-\frac{d}{2}} -2k\rho_{r, s}r^{2H-\frac{d}{2}}\\&-&k^{2}(s-r)^{2H-\frac{d}{2}}r^{2H-\frac{d}{2}}. \end{eqnarray*}$

结合

$ |\rho_{r, s}|\leq\sqrt{\lambda_{s}\lambda_{r}}\leq\frac{1}{2}(\lambda_{s}+\lambda_{r}) \;\mbox{和}\; \lambda_{r}\asymp r^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+r^{2H_{2}-\frac{d}{2}}\geq r^{2H-\frac{d}{2}}, $

有

$\begin{eqnarray*} \lambda_{s}\lambda_{r}-\rho_{r, s}^{2}&\geq &k\lambda_{r}((s-r)^{2H-\frac{d}{2}}+r^{2H-\frac{d}{2}})+k\lambda_{s}r^{2H-\frac{d}{2}} -k(\lambda_{s}+\lambda_{r})r^{2H-\frac{d}{2}}\\&-&k^{2}(s-r)^{2H-\frac{d}{2}}r^{2H-\frac{d}{2}}\\ &\geq& k(s-r)^{2H-\frac{d}{2}}r^{2H-\frac{d}{2}}, \end{eqnarray*}$

其中$k$充分小.因此,当$H<\frac{4+3d}{12}$时,有

$\begin{eqnarray*} &\int^{t}_{0}&\int^{t}_{0}\frac{\rho_{r, s}^{2}}{(\lambda_{s}\lambda_{r}-\rho_{r, s}^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s\\ &\leq &\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\lambda_s\lambda_r}{(\lambda_{s}\lambda_{r}-\rho_{r, s}^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s\\ &\leq &k\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{(s^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+ s^{2H_{2}-\frac{d}{2}})(r^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+ r^{2H_{2}-\frac{d}{2}})} {((s-r)^{2H-\frac{d}{2}}r^{2H-\frac{d}{2}})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s\\ &\leq &k(t^{2H_1-\frac{d}{2}}+t^{2H_2-\frac{d}{2}})^2\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}(s-r)^{-3(H-\frac{d}{4})}r^{-3(H-\frac{d}{4})}{\rm d}r{\rm d}s<\infty, \end{eqnarray*}$

其中$t\in[0, T]$.证毕.

本节我们考虑两个独立的过程$F^{H_{1}}$和$F^{H_{2}}$的碰撞局部时的正则性.结果如下:

定理 5.1  $\ell_{t}$是两个独立过程$F^{H_{1}}$和$F^{H_{2}}$的碰撞局部时,其中$H_{i}\in(\frac{1}{2}, 1), d<4H_{i}, $$i=1, 2$.对于任意的正整数$n\geq1$,存在一个依赖于$H_{1}, H_{2}$和$n$的正常数,使得

$\begin{eqnarray*} E(|\ell_{t}-\ell_{s}|^{n})\leq k(t-s)^{n(1-(H-\frac{d}{4}))} \end{eqnarray*}$

成立,其中$s\leq t$, $s, t\in[0, T]$, $H=H_{1}\wedge H_{2}$.

证    对于$0\leq s\leq t\leq T$,根据(3.1)和(3.3)式,有

$ \begin{eqnarray*} E(|\ell_{\varepsilon, t}-\ell_{\varepsilon, s}|^{n})&=&E\left(\int^{t}_{s}p_{\varepsilon}(F^{H_{1}}_{u}-F^{H_{2}}_{u}){\rm d}u\right)^{n}\\ &=&E\left(\frac{1}{2\pi}\int^{t}_{s}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{{\rm i}\xi(F^{H_{1}}_{u}-F^{H_{2}}_{u})}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon\xi^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}u\right)^{n}\\ &=&\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{n}\int_{[s, t]^{n}}\int_{\mathbb{R} ^{n}}E\left({\rm e}^{{\rm i}\sum\limits^{n}_{j=1}\xi_{j}(F^{H_{1}}_{u_{j}}-F^{H_{2}}_{u_{j}})}\right) {\rm e}^{-\varepsilon\sum\limits^{n}_{j=1}\xi_{j}^{2}}_{1}\cdots {\rm d}\xi_{n}{\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}\\ &\leq&\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{n}\int_{[s, t]^{n}}\int_{\mathbb{R} ^{n}}E\left({\rm e}^{{\rm i}\sum\limits^{n}_{j=1}\xi_{j}(F^{H_{1}}_{u_{j}}-F^{H_{2}}_{u_{j}})}\right) {\rm d}\xi_{1}\cdots {\rm d}\xi_{n}{\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}\\ &=&\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{n}\int_{[s, t]^{n}}\int_{\mathbb{R} ^{n}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\langle\xi, A\xi\rangle}{\rm d}\xi {\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}\\ &=&\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{[s, t]^{n}}({\rm det} A)^{-\frac{1}{2}}{\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}, \\ \end{eqnarray*} $

其中$\xi=(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n})$, $A$是高斯向量$(F^{H_{1}}_{u_{1}}-F^{H_{2}}_{u_{1}}, F^{H_{1}}_{u_{2}}-F^{H_{2}}_{u_{2}}, \cdots, F^{H_{1}}_{u_{n}}-F^{H_{2}}_{u_{n}})$的协方差矩阵.上面最后一个等式是因为下面这个事实

$\int_{\mathbb{R} ^{n}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\langle\xi, A\xi\rangle}{\rm d}\xi=\frac{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}{(\det A)^{1/2}}, $

其中$A$是一个正定矩阵.另一方面,根据局部非确定性,有

$ \det A\geq k\prod\limits_{j = 1}^n \left((u_{j}-u_{j-1})^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+(u_{j}-u_{j-1})^{2H_{2}-\frac{d}{2}}\right), $

其中$0=u_{0}<u_{1}<u_{2}<\cdots<u_{n}\leq t$.因此

$ \begin{eqnarray*} &&\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{[s, t]^{n}}({\rm det} A)^{-\frac{1}{2}}{\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}\\ &=&\frac{n!}{(2\pi)^{n/2}}\int_{{\cal T}}({\rm det} A)^{-\frac{1}{2}}{\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}\\ &\leq &k\int_{{\cal T}}((u_{j}-u_{j-1})^{2H_{1}-\frac{d}{2}}+(u_{j}-u_{j-1})^{2H_{2}-\frac{d}{2}})^{-\frac{1}{2}}{\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}\\ &\leq &k\int_{{\cal T}}\prod^{n}_{j=1}((u_{j}-u_{j-1})^{2H-\frac{d}{2}})^{-\frac{1}{2}}{\rm d}u_{1}\cdots {\rm d}u_{n}\\ &\leq& k(t-s)^{n(1-(H-\frac{d}{4}))}, \end{eqnarray*} $

其中${\cal T}:=\{s\leq u_{1}\leq\cdots\leq u_{n}\leq t\}$, $H=H_{1}\wedge H_{2}>\frac14d$.正常数$k$依赖于$H_{1}, H_{2}$和$n$.由Fatou引理可得

$E(|\ell_{t}-\ell_{s}|^{n})\leq \liminf\limits_{\varepsilon\rightarrow0}E(|\ell_{\varepsilon, t}-\ell_{\varepsilon, s}|^{n})\leq k(t-s)^{n(1-(H-\frac{d}{4}))}.$

证毕.

注 5.1  由上面的定理和柯尔莫哥洛夫连续性准则,我们知道过程$\{\ell_{t}, t\in[0, T]\}$具有连续版本.它的轨道是$\beta$阶Hölder连续的,其中$0<\beta<1-(H_{1}\wedge H_{2}-\frac{d}{4})$.

在本节中,我们考虑两个Hurst指数相同的独立过程$F^{H}$与$\tilde{F}^{H}$的相交局部时,主要研究它的光滑性.这两个$F^{H}$和$\tilde{F}^{H}$过程的相交局部时被定义为

(6.1) $\begin{equation}\label{6.1} I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})=\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\delta(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r}){\rm d}r{\rm d}s, t\in[0, T], \end{equation}$

其中$\delta(\cdot)$是狄拉克函数.定义

(6.2) $ \begin{eqnarray}\label{6.3} I_{\varepsilon, t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})&=&\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}p_{\varepsilon}(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r}){\rm d}r{\rm d}s\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{i\xi(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon\xi^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}r{\rm d}s, \end{eqnarray} $

其中$\varepsilon>0$.类似于定理的证明,我们很容易得到$I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})$在$L^{2}$意义下是存在的.下面我们研究其光滑性.记

$\lambda_{r, s}:=Var(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})\asymp s^{2H-\frac{d}{2}}+r^{2H-\frac{d}{2}} , $

$\lambda_{r', s'}:=Var(F^{H}_{s'}-\tilde{F}^{H}_{r'})\asymp s'^{2H-\frac{d}{2}}+r'^{2H-\frac{d}{2}}$

和

$ \mu=\mu(r, s, r', s')=:E((F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})(F^{H}_{s'}-\tilde{F}^{H}_{r'})). $

下面我们给出$I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})\in{\cal U}$的充要条件,这对于定理6.1的证明是很重要的.

命题 6.1  $\lambda_{r, s}, \lambda_{r', s'}$和$\mu$的定义如上.则$I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})\in {\cal U}$当且仅当

(6.3) $ \begin{equation}\label{6.4} \int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\mu^{2}}{(\lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}-\mu^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'<\infty, \end{equation} $

其中$t\in[0, T]$.

证    命题的证明类似于命题4.1的证明.对于$\varepsilon>0$和$t\in[0, T]$,记

$\Theta_{\varepsilon}(u, t, I_{\varepsilon, t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})):=E(|\Gamma_{\sqrt{u}}I_{\varepsilon, t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})|^{2}) $

和

$\Theta(u, t, I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})):=E(|\Gamma_{\sqrt{u}}I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})|^{2}).$

根据引理2.1, (6.3)式成立当且仅当$\Phi_{\Theta}(1)<\infty$.显然,有

$ \begin{eqnarray*} I_{\varepsilon, t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})&=&\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}p_{\varepsilon}(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r}){\rm d}r{\rm d}s\\& =&\frac{1}{2\pi}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{{\rm i}\xi(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon\xi^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}r{\rm d}s\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int_{\mathbb{R} }{\rm e}^{-\frac{1}{2}(Var(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})+\varepsilon)\xi^{2}} \sum^{\infty}_{n=0}{\rm i}^{n}\sigma^{n}(r, s, \xi)H_{n}\bigg(\frac{\xi(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})}{\sigma(r, s, \xi)}\bigg){\rm d}\xi {\rm d}r{\rm d}s\\& \equiv&\sum\limits_{n = 0}^\infty F_{n} , \end{eqnarray*} $

其中$\sqrt{-1}={\rm i}$和$\sigma(r, s, \xi)=\sqrt{Var(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})\xi^{2}}$.于是

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\Theta_{\varepsilon}}(1)&=&\sum\limits_{n=0}^{\infty}nE(|F_{n}|^{2})\\ &=&\sum^{\infty}_{n=0}\frac{n}{4\pi^{2}}E\bigg[\int_{[0, t]^{4}}\int_{\mathbb{R} ^{2}} {\rm e}^{-\frac{1}{2}(Var(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})\xi^{2}+(Var(F^{H}_{s'}-\tilde{F}^{H}_{r'})\eta^{2})} \sigma^{n}(r, s, \xi)\sigma^{n}(r', s', \eta)\\ &\cdot &{\rm e}^{-\frac{1}{2}\varepsilon(\xi^{2}+\eta^{2})}H_{n}\left(\frac{\xi(Var(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r}))}{\sigma(r, s, \xi)}\right) H_{n}\left(\frac{\eta(Var(F^{H}_{s'}-\tilde{F}^{H}_{r'}))}{\sigma(r', s', \eta)}\right){\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\bigg]\\ &=&\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{4\pi^{2}(n-1)!}\int_{[0, t]^{4}}\int_{\mathbb{R} ^{2}}\mu^{n}(\xi\eta)^{n} {\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{r, s}+\varepsilon)\xi^{2}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{r', s'}+\varepsilon)\eta^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\\ &=&\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{4\pi^{2}(2n-1)!}\int_{[0, t]^{4}}\int_{\mathbb{R} ^{2}}\mu^{2n}(\xi\eta)^{2n} {\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{r, s}+\varepsilon)\xi^{2}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}(\lambda_{r', s'}+\varepsilon)\eta^{2}}{\rm d}\xi {\rm d}\eta {\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s', \end{eqnarray*}$

其中$t\in [0, T]$.结合

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R} }\xi^{2n}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\xi^{2}(\lambda_{r, s}+\varepsilon)}{\rm d}\xi&=&2\int^{\infty}_{0}\xi^{2n}{\rm e}^{-\frac{1}{2}\xi^{2}(\lambda_{r, s}+\varepsilon)}{\rm d}\xi\\ &=&2^{n+\frac{1}{2}}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)(\lambda_{r, s}+\varepsilon)^{-(n+\frac{1}{2})}, \end{eqnarray*}$

其中$\varepsilon>0$,容易得

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\Theta_{\varepsilon}}(1)&=&\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(\Gamma(n+\frac{1}{2}))^{2}2^{2n+1}}{4\pi^{2}(2n-2)!} \int_{[0, t]^{4}}\frac{\mu^{2n}}{((\lambda_{r, s}+\varepsilon)(\lambda_{r', s'}+\varepsilon))^{n+\frac{1}{2}}} {\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\\ &=&\sum^{\infty}_{n=1}\frac{((2n-1)!!)^{2}2^{2n+1}}{4\pi(2n-1)!2^{2n}} \int_{[0, t]^{4}}\frac{\mu^{2n}}{((\lambda_{r, s}+\varepsilon)(\lambda_{r', s'}+\varepsilon))^{n+\frac{1}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\\ &=&\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2\pi}\frac{(2n-1)!!}{(2n-2)!!} \int_{[0, t]^{4}}\frac{\mu^{2n}}{((\lambda_{r, s}+\varepsilon)(\lambda_{r', s'}+\varepsilon))^{n+\frac{1}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int_{[0, t]^{4}}\frac{\mu^{2}}{((\lambda_{r, s}+\varepsilon)(\lambda_{r', s'}+\varepsilon)-\mu^{2})^{3/2}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'. \end{eqnarray*}$

因此

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\Phi_{\Theta_{\varepsilon}}(1)= \int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\int^{t}_{0}\frac{\mu^{2}}{(\lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}-\mu^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s' , \end{eqnarray*} $

其中$t\in[0, T]$.证毕.

定理 6.1  $I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})$是两个独立过程$F^{H}$和$\tilde{F}^{H}$的相交局部时,其中$H\in(\frac{1}{2}, 1)$.当

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}d<H<\frac{8+3d}{12}=\frac23+\frac14d, \end{eqnarray*}$

则对任意的$t\in[0, T]$,有$I_{t}(F^{H}, \tilde{F}^{H})\in{\cal U}$.

证    根据命题6.1,只需证明当$H<\frac{8+3d}{12}$时, (6.3)式是成立的.因此,只要证明对任意的$t\in[0, T]$和$j=1, 2, 3$时,下式成立

(6.4) $ \begin{equation}\label{6.5} \int_{{\cal T}_{j}}\frac{\mu^{2}}{(\lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}-\mu^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'<\infty, \end{equation} $

其中

${\cal T}_{1}=\{0<r^{\prime}<r<s^{\prime}<s<t\}, $

${\cal T}_{2}=\{0<r^{\prime}<s^{\prime}<r<s<t\}, $

${\cal T}_{3}=\{0<r<r^{\prime}<s^{\prime}<s<t\}.$

当$(r, s, r^{\prime}, s^{\prime})\in{\cal T}_{1}$或${\cal T}_{2}$时,运用局部非确定性可得

(6.5) $\begin{eqnarray}\label{6.6} &&Var(\xi(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})+\eta(F^{H}_{s'}-\tilde{F}^{H}_{r'}))\\ &=&Var(\xi(F^{H}_{s}-F^{H}_{s'})-\xi(\tilde{F}^{H}_{r}-\tilde{F}^{H}_{r'})+(\xi+\eta)(F^{H}_{s'}-\tilde{F}^{H}_{r'}))\\ &\geq &k[\xi^{2}((s-s')^{2H-\frac{d}{2}}+(r-r')^{2H-\frac{d}{2}})+(\xi+\eta)^{2}(s'^{2H-\frac{d}{2}}+r'^{2H-\frac{d}{2}})], \end{eqnarray}$

其中$\xi, \eta\in\mathbb{R} $.另一方面

(6.6) $\begin{equation}\label{6.7} Var(\xi(F^{H}_{s}-\tilde{F}^{H}_{r})+\eta(F^{H}_{s'}-\tilde{F}^{H}_{r'})) =\lambda_{r, s}\xi^{2}+2\mu\xi\eta+\lambda_{r', s'}\eta^{2}. \end{equation}$

由(6.5)和(6.6)式可得

$\begin{eqnarray*} &(\lambda_{r, s}-k(s-s')^{2H-\frac{d}{2}}-k(r-r')^{2H-\frac{d}{2}}-ks'^{2H-\frac{d}{2}}-kr'^{2H-\frac{d}{2}})\xi^{2}\\ &+2(\mu-ks'^{2H-\frac{d}{2}}-kr'^{2H-\frac{d}{2}})\xi\eta+(\lambda_{r', s'}-ks'^{2H-\frac{d}{2}}-kr'^{2H-\frac{d}{2}})\eta^{2}\geq0. \end{eqnarray*}$

因此

$\begin{eqnarray*} \Delta&=&4(\mu-ks'^{2H-\frac{d}{2}}-kr'^{2H-\frac{d}{2}})^{2}\\ &-&4(\lambda_{r, s}-k(s-s')^{2H-\frac{d}{2}}-k(r-r')^{2H-\frac{d}{2}}-ks'^{2H-\frac{d}{2}}-kr'^{2H-\frac{d}{2}})\\ &&(\lambda_{r', s'}-ks'^{2H-\frac{d}{2}}-kr'^{2H-\frac{d}{2}})\leq0, \end{eqnarray*}$

这意味着

$\begin{eqnarray*} \lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}-\mu^{2}&\geq & k(\lambda_{r, s}+\lambda_{r', s'}-2\mu)s'^{2H-\frac{d}{2}}+k(\lambda_{r, s}+\lambda_{r', s'}-2\mu)r'^{2H-\frac{d}{2}}\\ &&+k\lambda_{r', s'}(s-s')^{2H-\frac{d}{2}}+k\lambda_{r', s'}(r-r')^{2H-\frac{d}{2}}\\ &&-k^{2}(s'^{2H-\frac{d}{2}}+r'^{2H-\frac{d}{2}})(s-s')^{2H-\frac{d}{2}}-k^{2}(s'^{2H-\frac{d}{2}}+r'^{2H-\frac{d}{2}})(r-r')^{2H-\frac{d}{2}}. \end{eqnarray*}$

结合

$|\mu|\leq\sqrt{\lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}}\leq\frac{1}{2}(\lambda_{r, s}+\lambda_{r', s'}), $

有

$ \lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}-\mu^{2}\geq k\lambda_{r', s'}((s-s')^{2H-\frac{d}{2}}+(r-r')^{2H-\frac{d}{2}}), $

其中这里的$k$充分小.所以当$H<\frac{8+3d}{12}$时,有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{\cal T}_{j}}\frac{\mu^{2}}{(\lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}-\mu^{2})^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\\ &\leq &k\int_{{\cal T}_{j}}\frac{\lambda_{r, s}\lambda_{r', s'}}{[\lambda_{r', s'}((s-s')^{2H-\frac{d}{2}}+(r-r')^{2H-\frac{d}{2}})]^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\\ &\leq &kt^{2H-\frac{d}{2}}\int_{{\cal T}_{j}}\frac{1}{(s'^{2H-\frac{d}{2}}+r'^{2H-\frac{d}{2}})^{\frac{1}{2}} (((s-s')^{2H-\frac{d}{2}}+(r-r')^{2H-\frac{d}{2}}))^{\frac{3}{2}}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'\\ &\leq &kt^{2H-\frac{d}{2}}\int_{{\cal T}_{j}}\frac{1}{s'^{\frac{1}{2}(H-\frac{d}{4})}r'^{\frac{1}{2}(H-\frac{d}{4})} (s-s')^{\frac{3}{2}(H-\frac{d}{4})}(r-r')^{\frac{3}{2}(H-\frac{d}{4})}}{\rm d}r{\rm d}s{\rm d}r'{\rm d}s'<\infty, \end{eqnarray*} $

其中$j=1$或$2$.

类似地,我们可以处理$j=3$的情形.证毕.