在本文中,我们将考虑下列带有交叉扩散的捕食-食饵模型

其中$\Omega$是在${\Bbb R}^{N}$下带有光滑边界$\partial \Omega$的有界区域; $u, v$分别代表食饵和捕食者的密度.参数$a, c, d$和$\mu$是正常数;参数$\alpha, \beta$和$m$是非负常数;参数$b$可能变号.

当参数$m = 0$时,则系统(1.1)退化为带有交叉扩散的经典的具有Lotka-Volterra的捕食-食饵模型,该模型已经被许多生物数学家所研究(见参考文献[13-16, 22]及其参考文献).特别地, Kadota和Kuto^[13]利用分歧理论研究了系统正解的存在性,并证明该系统的共存区域随着交叉扩散系数$\beta$的变大而变大,随着交叉扩散系数$\alpha$的变大而变小.接着, Kuto和Yamada^[14]表明:该系统存在一个分歧解,在合适的条件下,分歧解曲线随着分歧参数其形状为$S$型或$\supset$型.进一步, Kuto^[15]讨论了当交叉扩散系数$\alpha = 0, \beta \rightarrow \infty$时的阴影系统,从全局分歧的角度出发,他断言该系统的正解在参数$a = \lambda_{1} (c \mu \theta_{b/\mu})$时发生爆破.对于在齐次Neumann边界且带有交叉扩散的竞争模型的研究见文献[17-21]及其参考文献.

当$\alpha = \beta = 0$时,则系统(1.1)变成了经典的捕食-食饵模型,其已经被许多生物数学家所研究.特别地, Du和Lou^[4]讨论了当参数$m$不太小时,系统(1.1)正解的存在性、唯一性与多解性.接着,文献[5]证明:在合适的条件下,该系统存在Hopf分歧解的发生,且至少存在3个非退化的正解.对于其他的模型的研究,可参见文献[6-11, 25]及其参考文献.

最近, Wang和Li^[24]以参数$b$为分歧参数,他们利用全局分歧理论说明了系统从半平凡解分歧出来的正解情况.同时,他们考虑了当交叉扩散系数$\beta$充分大时,极限系统的全局分歧解的结构及形状.

在本文中,我们考虑了系统(1.1)正解的一些性质.利用Leray-Schauder度理论,我们给出了系统正解存在的充分条件.特别地,我们考虑了当交叉扩散系数$m = \beta$充分大时,系统(1.1)可以被看成是一些极限系统的扰动系统.我们以参数$a$为分歧参数研究了奇异扰动系统的正解,从全局分歧的角度来看,全局分歧解关于$(a, v)$是一致有界的.然而,解$\|w\|_{\infty}$将在$a = a^{*}$处爆破.最后,我们建立了系统的多解性.

我们在此介绍一些记号和基本事实.令$\lambda_{1} (p) < \lambda_{2} (p) \leq \lambda_{3} (p) \leq \cdot\cdot\cdot$是下列特征问题的特征值

其中, $p \in C^{\sigma} (\bar{\Omega})$.我们知道$\lambda_{1} (p)$是简单的,实的,且$\lambda_{1} (p)$关于势函数$p$是严格单调递增的,即如果$p_{1} \leq \not\equiv p_{2}$,则我们有$\lambda_{1} (p_{1}) < \lambda_{1} (p_{2})$.当$p \equiv 0$,我们记$\lambda_{1} (0)$为$\lambda_{1}$.进一步,我们记$\phi_{1} > 0$在$\Omega$是主特征值$\lambda_{1}$对应的主特征函数且满足$\| \phi_{1} \|_{\infty} = 1$.

我们知道如果$a > \mu \lambda_{1}$,则下列问题

存在唯一的正解,我们记为$\mu \theta_{a/ \mu }$.显然, $a \rightarrow \mu \theta_{a/ \mu }$关于参数$a \in (\mu \lambda_{1}, + \infty)$是连续的,且当$a_{1} < a_{2}$时,我们有$\mu \theta_{a_{1}/ \mu } < \mu \theta_{a_{2}/ \mu }$.进一步,该唯一正解是非退化,线性稳定的.

全文安排如下:第二节是预备工作;第三节通过度理论研究了系统(1.1)正解的存在性;最后,第四节建立了当$m = \beta$且充分大时,模型(1.1)正解的多解性.

令

则系统(1.1)可以改写为

下面,我们通过最大值原理得到系统(2.2)非负解的先验估计,由于证明过程是标准的,我们在此省去其证明仅陈述其结论.

引理2.1  令$(U, V)$是系统(2.2)的非负解,则

引理2.2 如果$a \leq \lambda_{1}$或$(b + \frac{d}{m}) \leq \mu \lambda_{1}$,则系统(2.2)无正解.

下面,我们固定参数$b, c, \alpha$和$\mu$,并且定义集合$S_{0}$和$S_{1}$:

下列引理表明函数$a^{*}(b)$和$a^{**}(b)$的一些性质,由于证明过程是标准的,我们略去其证明仅陈述其结果.

引理2.3 假设$b > \mu \lambda_{1}$,则$S_{0}$可以改写为

其中, $a = a^{*}(b)$关于参数$b \in [\mu\lambda_{1}, +\infty)$是正的连续函数,且满足下列两条性质:

(ⅰ) $a^{*}(b)$关于参数$b \in [\mu\lambda_{1}, +\infty)$是严格单调递增的;

(ⅱ) $a^{*}(\mu\lambda_{1}) = \lambda_{1}; \lim\limits_{b \rightarrow +\infty} a^{*}(b) = \infty$.

引理2.4 假设$b > (\mu + 1)\lambda_{1}$,则$S_{1}$可以改写为

其中, $a = a^{**}(b)$关于参数$b \in [(\mu+1)\lambda_{1}, +\infty)$是正的连续函数,且满足下列两条性质:

(ⅰ) $a^{**}(b)$关于参数$b \in [(\mu+1)\lambda_{1}, +\infty)$是严格单调递增的;

(ⅱ) $a^{**}((\mu+1)\lambda_{1}) = \lambda_{1}; \lim\limits_{b \rightarrow +\infty} a^{**}(b) = \infty$.

为方便起见,我们在此定义两个正的函数$\phi^{*}$和$\phi^{**}$分别满足下列方程

令$p > N$,我们定义Banach空间$X$和$Y$

根据嵌入定理,我们知道$X \subseteq C^{1}(\bar{\Omega}) \times C^{1}(\bar{\Omega})$.

在此陈述一些关于不动点指标计算的理论.设$X$是实的Banach空间, $W \subset X$为闭凸子集.若对任意的$\alpha \geq 0$均有$\alpha W \subset W$,则称$W$为楔.如果$W \cap \{-W\} = 0$,那么楔$W$称之为锥.设$y \in W$,定义楔

其中, "cl"表示集合的闭包.

引理2.5^{[2, 9-10]}  设$W$是$E$中的一个楔, $A:W \rightarrow W$是紧映射,且存在不动点$y_{0} \in W$,使得$Ay_{0} = y_{0}$.令$L = A'(y_{0})$是$A$在$y_{0}$处的Fréchet导数,则$L: W_{y_{0}} \rightarrow W_{y_{0}}$.若$I - L$在$E$上可逆,并且

(ⅰ) $L$在$W_{y_{0}}$上具有$\alpha$性质,则${\rm index}_{W} (A, y_{0}) = 0$;

(ⅱ) $L$在$W_{y_{0}}$不上具有$\alpha$性质,则${\rm index}_{W} (A, y_{0}) = {\rm index}_{E}(L, 0) = (-1)^{\sigma}$,其中, $\sigma$是$L$大于1的特征值的代数重数之和.

在本节中,我们将通过Leray-Schauder度理论来建立系统(2.2)的正解的存在性.首先,我们给出下列记号:

$E = C_{0} (\bar{\Omega}) \times C_{0} (\bar{\Omega})$.

$P = K \times K, \; \mbox{其中}, \; K = \{U \in C_{0} (\bar{\Omega}): U (x) \geq 0\; \mbox{当}\; x \in \bar{\Omega} \}$.

$D = \{(U, V) \in P : U < M (a, \alpha) + 1, \; V < (\mu + 1)(b + \frac{d}{m}) + 1\}$.

我们定义正的紧算子$A_{t} : \bar{D} \rightarrow E$

其中, $p$是充分大的数满足$A_{t}$是正的紧算子

为了计算算子$A_{t}$的不动点指标,我们在此给出算子$A_{t}$的Fréchet导数.令$Q = (1+\alpha v)(\mu + \frac{1}{1+\beta u}) + \frac{\alpha \beta u v}{(1 + \beta u)^{2}}$,则

根据(2.1)式,我们有

进一步,我们有

因此

现在,我们建立算子$A$的不动点指标.

引理3.1 假设$a > \lambda_{1}$,则

(ⅰ) $deg_{P} (I - A, D) = 1$;

(ⅱ) $ind_{P} (A, (0, 0)) = 0$如果$b \not = (\mu+1) \lambda_{1}$;

(ⅲ) $ind_{P} (A, (\theta_{a}, 0)) = 0$如果$\lambda_{1} (- \frac{(b(1 + m \theta_{a}) + d \theta_{a}) (1 + \beta \theta_{a})}{(1 + m \theta_{a}) (\mu (1 + \beta \theta_{a}) + 1)}) < 0$;

(ⅳ) $ind_{P} (A, (\theta_{a}, 0)) = 1$如果$\lambda_{1} (- \frac{(b(1 + m \theta_{a}) + d \theta_{a}) (1 + \beta \theta_{a})}{(1 + m \theta_{a}) (\mu (1 + \beta \theta_{a}) + 1)}) > 0$.进一步,如果$b > (\mu + 1) \lambda_{1}$,则

(ⅴ) $ind_{P} (A, (0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)})) = 0$如果$\lambda_{1} (\frac{c (\mu + 1) \theta_{b/(\mu + 1)} -a}{1 + \alpha (\mu + 1) \theta_{b/(\mu + 1)}}) < 0$;

(ⅵ) $ind_{P} (A, (0, (\mu + 1)^{2}\theta_{b/(\mu + 1)})) = 1$如果$\lambda_{1} (\frac{c (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)} -a}{1 + \alpha (\mu + 1) \theta_{b/(\mu + 1)}}) > 0$.

证  (ⅰ)显然,通过引理2.1我们知道算子$A_{t}$在边界$\partial D$无不动点.因此,我们知道Leray-Schauder度$deg_{P}(I - A_{t}, D)$有定义,且我们有

特别地

经过简单计算我们有

且$r(A_{0}'(0, 0)) < 1$.因此,算子$I - A_{0}'(0, 0)$在$\bar{P}_{(0, 0)}$是可逆的且算子$A_{0}'(0, 0)$在$\bar{P}_{(0, 0)}$无$\alpha$性质.因此, $ind_{P} (A_{0}, (0, 0)) = 1$.也就是说, $deg_{P} (I - A, D) = 1$.

(ⅱ)显然,我们有$A'(0, 0) (U, V) = (-\Delta + p I)^{-1} ((p + a) U, (p + \frac{b}{\mu + 1}) V)$,假设存在一些$(U, V) \in \bar{P}_{(0, 0)}$使得$A'(0, 0) (U, V) = (U, V)$成立,则$- \Delta U = a U, \; U|_{\partial \Omega} = 0$.如果$U > 0$,则$a = \lambda_{1}$,矛盾.因此, $U \equiv 0$.类似地, $V \equiv 0$.从而, $I - A'(0, 0)$在$\bar{P}_{(0, 0)}$是可逆的.

由于$a > \lambda_{1}$,从而$r_{a} = r [(- \Delta + p)^{-1}(a + p)] > 1$,且$r_{a}$是算子$(-\Delta + p)^{-1}(a + p)$的主特征值,其对应的主特征函数$U > 0$.令$t_{0} = r_{a}^{-1}$,则$0 < t_{0} < 1$且$(I - t_{0} A'(0, 0)) (U, 0) = (0, 0) \in S_{(0, 0)}$.从而, $A'(0, 0)$有$\alpha$性质.因此, $ind_{P} (A, (0, 0)) = 0$.

(ⅲ)经过简单的计算我们有

假设存在一些$(U, V) \in \bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}$使得$A'(\theta_{a}, 0) (U, V) = (U, V)$成立,则

如果$V \geq\not\equiv 0$,则$\lambda_{1} (- \frac{(b(1 + m \theta_{a}) + d \theta_{a}) (1 + \beta \theta_{a})}{(1 + m \theta_{a}) (\mu (1 + \beta \theta_{a}) + 1)}) = 0$.由于$\lambda_{1} (- \frac{(b(1 + m \theta_{a}) + d \theta_{a}) (1 + \beta \theta_{a})}{(1 + m \theta_{a}) (\mu (1 + \beta \theta_{a}) + 1)}) < 0$,从而$V \equiv 0$,进而$U \equiv 0$.因此, $(U, V) = (0, 0)$.也就是说, $I - A'(\theta_{a}, 0)$在$\bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}$是可逆的.

下面我们断言算子$A'(\theta_{a}, 0)$在$\bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}$有$\alpha$性质.令

则$r_{b} = r(L) > 1$是算子$L$的特征值,且其对应的特征函数$V > 0$.令$t_{0} = r_{b}^{-1}$,则$t_{0} \in (0, 1)$.由于$(0, V) \in \bar{P}_{(\theta_{a}, 0)} \setminus S_{(\theta_{a}, 0)}$,我们有

进而,算子$A'(\theta_{a}, 0)$有$\alpha$性质.因此, $ind_{P} (A, (\theta_{a}, 0)) = 0$.

(ⅳ)类似地,我们可以证明算子$I - A'(\theta_{a}, 0)$在$\bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}$可逆.下面我们仅说明算子$A'(\theta_{a}, 0)$在$\bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}$无$\alpha$性质.我们采用反证法.假设算子$L$在$\bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}$有$\alpha$性质,从而存在某个$0 < t < 1$和$(U, V) \in \bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}\setminus S_{(\theta_{a}, 0)}$使得$(I - t L) (U, V) \in S_{(\theta_{a}, 0)}$.因此

由于$V \in K \setminus \{0\}$,我们知道$\frac{1}{t} > 1$是算子$L$的特征值.由于$\lambda_{1} (- \frac{(b(1 + m \theta_{a}) + d \theta_{a}) (1 + \beta \theta_{a})}{(1 + m \theta_{a}) (\mu (1 + \beta \theta_{a}) + 1)}) > 0$,我们有$r(L) < 1$,矛盾.因此, $L$在$\bar{P}_{(\theta_{a}, 0)}$无$\alpha$性质.根据引理, $ind_{P} (A, (\theta_{a}, 0)) = (-1)^{\sigma}$,其中, $\sigma$是算子$L$所有大于1的特征值的代数重数之和.

假设$\frac{1}{\mu} > 1$是算子$L$的特征值且其对应的特征函数为$(U, V)$,则

也就是说

如果$V \not\equiv 0$,则

因此, $\lambda_{1} (- \frac{(b (1 + m \theta_{a}) + d \theta_{a})(1 + \beta \theta_{a})}{(\mu(1 + \beta \theta_{a}) + 1)(1 + m \theta_{a})}) < 0$,矛盾.从而, $V \equiv 0, U \equiv 0$.也就是说,算子$L$没有大于1的特征值.进而, $ind_{P} (A, (\theta_{a}, 0)) = 1$.

由于情形(ⅴ)和(ⅳ)证明方法是类似地,我们在此省略其证明.

根据引理3.1我们可以建立系统(2.2)正解的存在性,由于证明过程是标准的,我们在此省略其证明仅陈述其结果.

定理3.1 假设$a > \lambda_{1}$,则系统(2.2)有正解的充分条件为

成立.其中, $\theta_{b/(\mu + 1)} \equiv 0$如果$b \leq (\mu + 1) \lambda_{1}$.

在本节中,我们考虑参数$\beta = m$且充分大时的情形,则当参数$\beta = m$且充分大时,系统(1.1)可以被看成是下列的正则扰动问题

和奇异扰动问题

引理4.1 假设$b > \mu \lambda_{1}$且$a > a^{*}$,则系统(4.1)存在正解,记为$(\tilde{\theta}_{a, \alpha}, \mu \theta_{b/\mu})$.

引理4.2^[15]  令$(w, v)$是系统(4.2)的任意正解,则我们有

其中, $V = (\mu + \frac{1}{1 + w}) v$.

引理4.3 如果$a > \lambda_{1} (c \frac{(\mu + 1)^{2}}{\mu} \theta_{b/\mu})$,则系统(4.2)无正解.

证 我们采用反证法.假设当$a > \lambda_{1} (c \frac{(\mu + 1)^{2}}{\mu} \theta_{b/\mu})$时,系统(4.2)有正解$(w, v)$,则

令$\phi = (1 + \alpha v) w$,则$w = \frac{\phi}{1 + \alpha v}$.因此

从而,我们有

也就是说, $a < \lambda_{1} (c \frac{(\mu + 1)^{2}}{\mu} \theta_{b/\mu})$,矛盾.证毕.

引理4.4  令$(w, v)$是系统(4.2)的任意正解,则对任意充分小的$\epsilon > 0$和$b > (\mu + 1) \lambda_{1}$, $a^{*} + \epsilon \leq a < \lambda_{1} (c \frac{(\mu + 1)^{2}}{\mu} \theta_{b/\mu})$,存在常数$C = C(\epsilon) > 0$满足$\| w \|_{C^{1}} \leq C$.

证 我们采用反证法.假设存在$\epsilon_{0} > 0, a_{i} \rightarrow a \in [a^{*} + \epsilon, \lambda_{1} (c \frac{(\mu + 1)^{2}}{\mu} \theta_{b/\mu})]$且当$a = a_{i}$时,设$w_{i}$是系统(4.2)的解,满足$\| w_{i} \|_{\infty} \rightarrow \infty$,且$v_{i} \rightharpoonup v$在$L^{2}$空间弱收敛成立.令$\tilde{w}_{i} = \frac{w_{i}}{\|w_{i}\|_{\infty}}$,则

令$\phi_{i} = (1 + \alpha v_{i}) \tilde{w}_{i}$,则$\tilde{w}_{i} = \frac{\phi_{i}}{1 + \alpha v_{i}}$.因此,系统(4.3)可以改写为

根据二阶椭圆型正则化理论,我们可以假设$\phi_{i} \rightarrow \phi$在$C^{1}$空间上成立且$\frac{1}{1 + \alpha v_{i} + \phi_{i} \| w_{i} \|_{\infty} } \rightharpoonup h$, $v_{i} \rightharpoonup v$在$L^{2}$空间上弱收敛成立.在上述方程两边同时取极限,我们有

根据最大值原理,我们知道$\phi > 0$在$\Omega$上成立.因此, $h = 0$, $- \Delta \phi = \frac{a}{1 + \alpha v} \phi$,且$\lambda_{1} (- \frac{a}{1 + \alpha v}) = 0$.经过简单计算我们知道, $v = \mu \theta_{b/\mu}$.因此, $\lambda_{1} (- \frac{a}{1 + \alpha \mu \theta_{b/\mu}}) = 0$.也就是说, $a = a^{*}$,矛盾.证毕.

令$W = (1 + \alpha v) w, V = (\mu + \frac{1}{1 + w})v$,则系统(4.2)可以改写为

显然,当$b > (\mu + 1)\lambda_{1}$时,系统(4.4)存在半平凡解$(W, V) = (0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)})$.特别地,我们令参数$a$为分歧参数且固定其他参数.

令$f (w, v) = w (a - \frac{cv}{1 + w}), g(u, v) = v (b - v)$,其中, $w, v$是$W, V$的函数.根据在$(W, V)$在$(W^{*}, V^{*})$的Taylor展式,我们可以将系统(4.4)改写为

其中, $f^{*}_{w} = f_{w}(w(W^{*}, V^{*}), v(W^{*}, V^{*})), w^{*}_{W} = w_{W}(W^{*}, V^{*})$,其他记号定义类似.因此, $\rho^{i}(W-W^{*}, V-V^{*})(i = 1, 2)$是光滑函数且满足$\rho^{i}(0, 0) =$$\rho^{i}_{(W, V)}(0, 0) = 0\; (i = 1, 2)$,且

如果$(w, v) = (0, (\mu + 1) \theta_{b/(\mu + 1)})$,则

显然, $f(0, (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}) = 0, \; g(0, (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}) = - (\mu + 1)^{2} \Delta \theta_{b/(\mu + 1)}$.令$(W^{*}, V^{*}) = (0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)}), \overline{V} = V - (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)}$,则

其中, $\rho^{i}(a; W, \overline{V})(i = 1, 2)$是光滑函数且满足$\rho^{1}_{(W, \overline{V})}(a; 0, 0) = \rho^{2}_{(W, \overline{V})}(a; 0, 0) = 0$.

令算子$K$是算子$- \Delta$在齐次Dirichlet边界条件下的逆算子,则

我们定义算子$T : {\Bbb R} \times X \rightarrow X$

则算子$T(a; W, \overline{V})$是$X$空间的紧算子.令$G (a; W, \overline{V}) = (W, \overline{V}) - T (a; W, \overline{V})$,显然,算子$G$是$C^{1}$函数且满足$G (a; 0, 0) = 0$并将其Fréchet导数记为$D G_{(W, \overline{V})}(a; 0, 0)$.

根据局部分歧理论表明系统(4.4)在$a = a^{**}$附近存在局部分歧解.

定理4.1  系统(4.4)从半平凡解$(0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)})$产生分歧的充分必要条件是$a = a^{**}$.进一步,系统(4.4)在$(a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)}) \in {\Bbb R} \times X$附近的正解可以写为

其中, $\delta > 0$且$\phi^{**}, \psi^{**} \in X$. $(a(s); \phi(s), \psi(s))$关于参数$s$是光滑函数且满足$a(0) = a^{**}, \phi(0) = \psi(0) = 0$.

证 令$L(a; 0, 0) = D G_{(W, \overline{V})}(a; 0, 0)$,则

令$L(a; 0, 0)(W, \overline{V}) = 0$,则

如果$W = 0$,则$\overline{V} = 0$,矛盾.因此$a = a^{**}$.进而, ${\rm Ker}\; L(a^{**}; 0, 0)$ = span $\{\phi^{**}, \psi^{**}\}$,其中, $\psi^{**} = (-\Delta - \frac{b}{\mu + 1} + 2 \theta_{b/(\mu + 1)})^{-1}\frac{(b - 2(\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}) \theta_{b/(\mu + 1)}}{1 + \alpha (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}} \phi^{**}$.

记算子$L (a^{**}; 0, 0)$的伴随算子为$L^{*}(a^{**}; 0, 0)$,则

令$L^{*}(a^{**}; 0, 0)(W, \overline{V}) = 0$,则${\rm Ker}\; L^{*}(a^{**}; 0, 0)$ = span $\{ - \Delta \phi^{**}, 0 \}$.根据Fredholm选择公理,我们知道算子$L (a^{**}; 0, 0)$的值域为$R (L (a^{**}; 0, 0)) = \{(h, k) \in X : \int_{\Omega} h \Delta \phi^{**} = 0 \}$.因此,算子$L (a^{**}; 0, 0)$的值域$R (L (a^{**}; 0, 0))$的余维数为1.令$L_{1} (a^{**}, 0, 0) (\phi^{**}, \psi^{**}) = D^{2}_{a, (W, \overline{V})} G(a^{**}; 0, 0) (\phi^{**}, \psi^{**})$$= (- K \frac{1}{1 + \alpha (\mu + 1)\theta_{b /(\mu + 1)}} \phi^{**}, 0)$.由于$L_{1} (a^{**}; 0, 0) (\phi^{**}, \psi^{**}) \not\in R (L (a^{**}; 0, 0))$.根据局部分歧理论^[1]我们知道,结论成立.证毕.

下面,我们根据全局分歧理论将上述的局部分歧解延拓为全局分歧解.特别地,我们断言:该全局分歧解将在$a = a^{*}$处爆破.

令

假设$\sigma \geq 1$是算子$T'(a)$的特征值且其对应的特征函数为$(\xi, \eta)$,则

如果$\xi = 0$,则$\eta = 0$,矛盾.也就是说, $a = a_{i}(\sigma) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$,其中, $a_{i}(\sigma)$关于参数$\sigma \geq 1$是单调递增的且可排成$0 < a_{1}(\sigma) < a_{2}(\sigma) \leq \cdot \cdot \cdot, \; a_{1}(1.1) = a^{**}$.进一步,如果$\sigma \geq 1$,我们知道算子$- \sigma \Delta - \frac{b}{\mu + 1} + 2 \theta_{b/(\mu + 1)}$的所有特征值是正的.因此,我们有$\eta = (- \sigma \Delta - \frac{b}{\mu + 1} + 2 \theta_{b/(\mu + 1)})^{-1} \frac{(b - 2(\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}) \theta_{b/(\mu + 1)}}{1 + \alpha (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}} \xi$.从而,存在一些$i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot$使得$\sigma \geq 1$是算子$T'(a)$特征值的充要条件是$a = a_{i}(\sigma)$.

假设$a < a^{**}$,则对任意的$\sigma \geq 1$, $i \geq 1$我们有$a < a_{1}(1.1) \leq a_{i}(\sigma)$.因此, $T'(a)$没有大于1的特征值,从而, $i (T(a, \cdot), 0) = 1$.

假设$a^{**} < a < a_{2}(1.1)$,则对任意的$\sigma \geq 1, i \geq 2$我们有$a < a_{i}(\sigma)$.由于$\lim\limits_{\sigma \rightarrow \infty} a_{1} (\sigma) = + \infty$,存在唯一的$\sigma_{1}$使得$a = a_{1}(\sigma_{1})$.因此, ${\rm Ker} (\sigma_{1} I - T'(a)) = {\rm span} \{(\bar{\xi}, \bar{\eta}) \},$${\rm dim}\; {\rm Ker} (\sigma_{1} I - T'(a)) = 1$,其中, $\bar{\xi} > 0$是下列问题的主特征函数

且$\bar{\eta} = (- \sigma_{1} \Delta - \frac{b}{\mu + 1} + 2 \theta_{b/(\mu + 1)})^{-1} \frac{(b - 2(\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}) \theta_{b/(\mu + 1)}}{1 + \alpha (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}} \bar{\xi}$.

下面,我们断言: $R (\sigma_{1} I - T'(a)) \cap {\rm Ker} (\sigma_{1} I - T'(a)) = 0$.我们采用反证法.假设$(\bar{\xi}, \bar{\eta}) \in R (\sigma_{1} I - T'(a))$,存在$(\xi, \eta) \in X$使得$(\sigma_{1} I - T'(a))(\xi, \eta) = (\bar{\xi}, \bar{\eta})$.也就是说

在(4.6)式两边同时乘以$\bar{\xi}$且分部积分,有$\int_{\Omega} \bar{\xi} \Delta \bar{\xi} = 0$.也就是说, $\int_{\Omega} \frac{a - c (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}}{1 + \alpha (\mu + 1)\theta_{b/(\mu + 1)}} \bar{\xi}^{2} = 0$,矛盾.因此,当$a^{**} < a < a_{2}(1.1)$时,我们有$i (T(a, \cdot), 0) = - 1$.

根据全局分歧理论^[23],在${\Bbb R}^{+} \times X$中,存在从半平凡解$(a^{**}; 0, 0)$出发的连通分支$C_{0}$满足$G(a; \xi, \eta) = 0$,且在$(a^{**}; 0, 0)$的附近, $G(a; \xi, \eta)$的所有零点都在定理4.1中得到的那条分歧曲线$\{(a(s); s(\phi^{**}+ \phi(s)), s(\psi^{**}+ \psi(s))): |s| < \delta\}$,其中, $a(0) = a^{**}, \phi(0) = \psi(0) = 0$.令$C_{1} = C_{0} - \{(a(s); s(\phi^{**}+ \phi(s)), s(\psi^{**}+ \psi(s))) : - \delta < s < 0 \}$, $C = \{(a; W, V) : W = s(\phi^{**} + \phi(s)), V = (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)} + s(\psi^{**} + \psi(s)), (a; \xi, \eta) \in C_{1} \}$,则$C$是系统(4.4)从$\{(a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/ (\mu + 1)}) \}$分歧出来的解曲线,且在$\{(a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/ (\mu + 1)}) \}$的小邻域内,解曲线$C \subset P_{0}$,其中, $P_{0} = \{W, V: W > 0, V > 0, x \in \Omega, \frac{\partial W}{\partial \upsilon} < 0, \frac{\partial V}{\partial \upsilon} < 0, x \in \partial \Omega\}$.

定理4.2   $C - \{(a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/ (\mu + 1)}) \}$连接半平凡解$\{(a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/ (\mu + 1)}) \}$在正椎$P_{0}$内延伸至$\infty$.进一步,对于序列$\{(a_{i}, W_{i}, V_{i})\} \subset C$满足

证 根据Rabinowitz的全局分歧理论^[23]和更加一般的全局分歧理论(López-Gómez^[12]和Dancer^[3]),我们知道全局分歧解必居以下三条之一:

(ⅰ) $C$连接另一个半平凡解$\{a; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)} \}$,其中, $a \neq a^{**}, I - T'(a)$是不可逆的;

(ⅱ) $C$在${\Bbb R} \times X$内延伸至无穷;

(ⅲ)存在$a = \hat{a}, Z \in \overline{Y} \setminus \{0\}$满足$(\hat{a}; Z) \in C$,其中, $\overline{Y}$是$\{(- \Delta \phi^{**}, 0)\}$的补空间,其中, $\{(- \Delta \phi^{**}, 0)\}$由定理4.1给出.

如果$C - \{ (a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)}) \} \not\subset P_{0}$,则存在$(\tilde{a}; \tilde{W}, \tilde{V}) \in \{C - (a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)}) \}$$\cap \partial P_{0}$是下列序列的极限$\{ (\tilde{a}_{i}; \tilde{W}_{i}, \tilde{V}_{i}) \} \subset C \cap P_{0}, \; \tilde{W}_{i} > 0, \; \tilde{V}_{i} > 0$在$\Omega$.由于$(\tilde{a}; \tilde{W}, \tilde{V}) \in \partial P_{0}$,我们知道存在点$x_{0} \in \Omega$使得$\tilde{W}(x_{0}) = 0$或存在点$x_{0} \in \partial \Omega$使得$\frac{\partial \tilde{W}}{\partial \upsilon} (x_{0}) = 0$.根据强最大值原理,我们知道$\tilde{W} \equiv 0$在$\Omega$上成立.类似地,对于其他情形我们有$\tilde{V} \equiv 0$在$\Omega$上成立.

假设$\tilde{W} \equiv 0, \tilde{V} = (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)}$,令$\tilde{W}_{i}^{*} = \frac{\tilde{W}_{i}}{\|\tilde{W}_{i}\|_{\infty}}$,则

根据二阶椭圆型正则化理论我们可以假设$\tilde{W}_{i}^{*} \rightarrow \tilde{W}^{*}$, $\tilde{V}_{i} \rightarrow \tilde{V}$在$C^{1}$空间上成立且$\|\tilde{W}^{*}\|_{\infty} = 1$, $\tilde{v}_{i} \rightharpoonup \tilde{v}$在$L^{p}$空间弱收敛成立.在上述方程两边同时取极限,我们有

因此, $a = a^{**}$,矛盾.

假设$\tilde{W} > 0, \tilde{V} \equiv 0$,令$\tilde{V}_{i}^{*} = \frac{\tilde{V}_{i}}{\|\tilde{V}_{i}\|_{\infty}}$,则

根据二阶椭圆型正则化理论我们可以假设$\tilde{W}_{i} \rightarrow \tilde{W}$, $\tilde{V}_{i}^{*} \rightarrow \tilde{V}^{*}$在$C^{1}$空间成立且满足$\| \tilde{V}^{*} \|_{\infty} = 1$, $\tilde{w}_{i} \rightharpoonup \tilde{w}$在$L^{p}$空间弱收敛成立.在上述方程两边同时取极限,我们有

则$\tilde{W} = s \phi_{1}$,其中, $s \geq 0$.因此, $\lambda_{1} (- b \frac{1 + \beta s \phi_{1}}{\mu (1 + \beta s \phi_{1}) + 1}) = 0$,矛盾.

假设$(\tilde{W}, \tilde{V}) \equiv (0, 0)$,类似地,我们可以得到矛盾.

因此,我们必有$C - \{ (a^{**}; 0, (\mu + 1)^{2} \theta_{b/(\mu + 1)}) \} \subset P_{0}$.从而,情形(ⅰ)不会发生.由于$\phi^{**} > 0$在$\Omega$上成立,补空间$\overline{Y}$不可能包含不变号的元素,从而,情形(ⅲ)也不会发生.因此,情形(ⅱ)必然发生.也就是说,解曲线$C$在$R \times X$空间延伸至无穷.根据引理4.3,我们知道参数$a$是有界的,从而我们有$\lim\limits_{i \rightarrow \infty} \|W_{i}\|_{\infty} = \infty$.现在,我们证明: $\lim\limits_{i \rightarrow \infty} a_{i} = a^{*}$.显然, $\lim\limits_{i \rightarrow \infty} v_{i} = \mu \theta_{b/\mu}$,因此, $\lim\limits_{i \rightarrow \infty} V_{i} = \mu^{2} \theta_{b/\mu}$.令$W_{i}^{*} = \frac{W_{i}}{\|W_{i}\|_{\infty}}$,则

根据二阶椭圆型正则化理论我们可以假设$W_{i}^{*} \rightarrow W^{*}$在$C^{1}$空间成立且$\frac{1}{1 + \alpha v_{i} + W_{i}} \rightharpoonup h$在$L^{2}$空间弱收敛成立.在上述方程两边同时取极限,我们有

根据强最大值原理,我们有$W^{*} > 0$在$\Omega$上成立.因此, $h = 0, -\Delta W^{*} = \frac{a}{1 + \alpha \mu \theta_{b/\mu}}$$W^{*}$.从而, $\lambda_{1} (- \frac{a}{1 + \alpha \mu \theta_{b/\mu}}) = 0$.也就是说, $a = a^{*}$.证毕.

下面的定理表明:当$a \in [a^{*} + \epsilon, a^{**}), b > (\mu + 1) \lambda_{1}$且$m = \beta$充分大时,则系统(1.1)有两种类型的正解.

定理4.3 假设$b > (\mu + 1) \lambda_{1}$,则存在充分小的$\epsilon, \delta$和充分大的$M_{1} = M_{1} (\epsilon, \delta)$,使得当$m \geq M_{1}$且$a \in [a^{*} + \epsilon, a^{**})$时,有$\|u - \tilde{\theta}_{a, \alpha}\|_{C^{1}} + \|v - \mu \theta_{b/\mu}\|_{C^{1}} < \delta$或$\|m u - \tilde{w}\|_{C^{1}} + \|v - \tilde{v}\|_{C^{1}} < \delta$,其中, $(u, v)$是系统(1.1)的正解, $(\tilde{\theta}_{a, \alpha}, \mu \theta_{b/\mu})$是系统(4.1)的正解, $(\tilde{w}, \tilde{v})$是系统(4.2)的正解.

证 我们采用反证法.假设存在$m_{i} \rightarrow \infty$, $a_{i} \rightarrow a \in [a^{*} + \epsilon, a^{**}]$且当$(a, m) = (a_{i}, m_{i})$时,设$(u_{i}, v_{i})$是系统(1.1)的解使得$(u_{i}, v_{i})$满足$\|u_{i} - \tilde{\theta}_{a, \alpha} \|_{C^{1}} + \|v_{i} - \mu \theta_{b/\mu} \|_{C^{1}} \geq \delta$,且$\|m_{i} u_{i} - \tilde{w}\|_{C^{1}} + \|v_{i} - \tilde{v}\|_{C^{1}} \geq \delta$.这里有两种情形我们需要考虑:

情形(ⅰ)如果$m_{i} \|u_{i}\|_{\infty} \rightarrow \infty$,则我们断言: $u_{i} \rightharpoonup u > 0$在$L^{2}$空间弱收敛成立.反证法.假设$u_{i} \rightharpoonup 0$,令$\tilde{u}_{i} = \frac{u_{i}}{\|u_{i}\|_{\infty}}$,则

令$\phi_{i} = (1 + \alpha v_{i}) \tilde{u}_{i}$,则(4.7)式可以改写为

根据二阶椭圆型正则化理论我们知道, $\phi_{i} \rightarrow \phi$在$C^{1}$空间成立且$v_{i} \rightharpoonup v$, $\frac{1}{1 + m_{i} u_{i}} \rightharpoonup h$在$L^{2}$空间弱收敛成立.在上述方程两边同时取极限,我们有

根据强最大值原理我们知道, $\phi > 0$在$\Omega$上成立.因此, $u > 0$在$\Omega$上成立且$h = 0$在$L^{2}$上成立.因此, $-\Delta \phi = \frac{a}{1 + \alpha v} \phi$.也就是说, $\lambda_{1} (- \frac{a}{1 + \alpha v}) = 0$.显然, $\lim\limits_{i \rightarrow \infty} (\mu + \frac{1}{1 + m_{i} u_{i}}) = \mu v$在$C^{1}$空间上成立且$v = \mu \theta_{b/\mu}$.因此, $\lambda_{1} (- \frac{a}{1 + \alpha \mu \theta_{b/\mu}}) = 0$.从而, $a = a^{*}$,矛盾.类似地,我们有$u = \tilde{\theta}_{a, \alpha}$,矛盾.

情形(ⅱ)如果$m_{i} \|u_{i}\|_{\infty}$是一致有界的,则$u_{i} \rightharpoonup 0$在$L^{2}$空间弱收敛成立.令$\tilde{w}_{i} = m_{i} u_{i}$, $\tilde{W}_{i} = (1 + \alpha v_{i}) w_{i}$且$\tilde{V}_{i} = (\mu + \frac{1}{1 + w_{i}}) v_{i}$.根据二阶椭圆型正则化理论我们知道, $\tilde{w}_{i} \rightharpoonup \tilde{w}$, $\tilde{v}_{i} \rightharpoonup \tilde{v}$在$L^{2}(\Omega)$空间上弱收敛成立且$\tilde{W}_{i} \rightarrow \tilde{W} = (1 + \alpha \tilde{v}) \tilde{w}$, $\tilde{V}_{i} \rightarrow \tilde{V} = (\mu + \frac{1}{1 + \tilde{w}}) \tilde{v}$在$C^{1}$上成立.因此,我们说明$(\tilde{w}, \tilde{v})$是系统(4.2)的解.根据最大值原理我们知道, $\tilde{V} > 0$在$\Omega$上成立.因此, $\tilde{v} > 0$在$\Omega$上成立.

进一步,我们说明当$a = a^{**}$,我们能够证明$m_{i} u_{i} \rightarrow \tilde{w}_{i}$,其中, $\tilde{w}_{i}$是系统(4.2)的解且$a = a_{i}$当$a_{i} \rightarrow a^{**}$.如果$a < a^{**}$,则我们能够说明$\tilde{w}$是系统(4.2)的解.证毕.

事实上,根据局部分歧理论我们知道, $a = a^{**}$是系统(2.2)的简单分歧点.从全局分歧的角度出发,我们说明当$a \in (a^{**}, \infty)$时,系统(2.2)至少有一个正解.进一步,我们断言当$m = \beta$且充分大时,局部分歧解将向左延拓,从而存在一个转向点$\tilde{a}^{*}$满足$\tilde{a}^{*} < a^{**}$.当$a \in (\tilde{a}^{*}, a^{**})$时,系统(2.2)至少有两个正解.由于证明过程是标准的,我们忽略其证明仅陈述其结果.

定理4.4 当$a \in (a^{**}, \infty)$时,系统(2.2)至少有一个正解.进一步,当$m = \beta$且充分大时,存在一个$\tilde{a}^{*}$满足$\tilde{a}^{*} < a^{**}$,当$a \in (\tilde{a}^{*}, a^{**})$时,系统(2.2)至少有两个正解.