我们考察初边值问题

解的爆破现象,其中$\Omega = (0, 1)$,流动性$k_{1}$和粘度$k_{2}$都是常数, $\phi$和$\psi$都是非线性函数,当爆破出现时$T_{0}$表示爆破时间,否则$T_{0} = +\infty$, $u_{t}$刻画了伴随$u$变化而变化的微力, $u_{xxt}$表示带有粘性的扩散流, $u_{xxxx}$刻画了毛细作用驱动的表面扩散流和$u_{xx}$表示扩散流.

方程$(1.1)$包含了许多模型.例如,当$k_{1}$消失时,方程$(1.1)$出现在热力学^[1],生物动力学^[2]和渗透理论^[3]等许多不同自然科学问题的研究.此类方程的数学问题已经被广泛地研究,有兴趣的读者可以参考文献[4-5].

当$k_{1} > 0$和$k_{2} > 0$时,方程$(1.1)$被视为粘性Cahn-Hilliard方程,这样的方程来源于刻画具有$u(x, t)$是细胞在点$x$和时间$t$处密度聚合的细胞增长.基于守恒定律有

这里$j$和$g$分别代表扩散流和反应源.当浓度或密度很小(稀释系统)时,那么这样的流是浓缩的且是梯度依赖的,即$j = - \chi(u)\phi(\nabla u)$,换句话说,扩散是局部的或短距离效应的.无论如何,当细胞密度相对高时,包含了非局部或长时间扩散效应.一种可能的选择是用$u(x, t)$在点$x$某些领域的平均密度来替代且取流的形式为

进一步地,在某些特殊情况下,伴随$u(x, t)$的变化而变化的微力似乎是合理的. Gurtin在文献[6]使用$u_{t}$来刻画了这样的微力,这种微力是标量的且流

这种粘性Cahn-Hilliard方程已经被广泛地研究,有兴趣的读者可以参考文献[7-11]等等.在带有$q > 1$, $p > 1$和$\gamma_{i}\ (i = 1, 2, 3, 4$)是常数的$\phi (s) = - \gamma_{1}|s|^{p - 1}s + \gamma_{2}s$和$\psi(s) = -\gamma_{3}|s|^{q - 1}s + \gamma_{4}s$的条件下, Qu等人在文献[7]中证明了初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$弱解的局部存在性和整体存在性.对于某些带粘性Cahn-Hilliard方程的解在有限时间爆破已经被研究,想进一步了解的读者可以查阅文献[8-9, 12]等.到目前为止,初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$弱解的爆破性问题仍然是一个未知的问题.受到文献[13-14]的启迪,本文中我们打算应用能量方法、微分不等式和积的导数公式考察初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$解的爆破现象.为了方便取$k_{1} = k_{2} = 1$且记初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$的势能泛函为

其中, $\Phi(s) = \int_{0}^{s}\phi(\tau){\rm d}\tau$和$\Psi(s) = \int_{0}^{s}\psi(\tau){\rm d}\tau.$

对于$\phi$和$\psi$,我们只考虑下列假设:

(A)设$\phi$和$\psi$是可微且可积的连续函数,以及存在$B_{1}, B_{2} > 0$使得

其中$q < p < +\infty$.

对于条件(A)的兼容性,在注1.1中我们给出了两个例子.

注1.1 (ⅰ)设$\phi(s) = a|s|^{q - 1}s$和$\psi(s) = - b|s|^{p - 1}s,$其中$a, b$是正实数.那么不但$(1.5)$式与$(1.7)$式是兼容的而且$(1.6)$式与$(1.8)$式也是兼容的.

(ⅱ)设$g(s) = \pm h(s)|s|^{l - 1}s$, $G(s) = \int_{0}^{s}g(\tau) {\rm d}\tau$和$\Gamma(s) = (l + 1)G(s) - sg(s)$,其中$h(s)$是可积的连续函数,且满足存在$m, M \in (0, + \infty)$使得$m \leq h(s) \leq M$和$l > 1$.那么对任意的$s \in {\Bbb R}$有$\Gamma^{\prime}(s) = \mp h^{\prime}(s)|s|^{l + 1}$.因此,获知$(1.5)$式与$(1.7)$式是兼容的,同理获知$(1.6)$式和$(1.8)$式也是兼容的.例如

(1)当$g(s) = h(s)$和$h(s) = \hbox{arc}\cot s + \frac{1}{2}$,有$m = \frac{1}{2} \leq h(s) \leq \frac{3\pi}{2} = M$和对任意的$s\in {\Bbb R}$有$\Gamma^{\prime}(s) = - (- \frac{1}{s^2 + 1}) |s|^{p + 1} \geq 0$.取$B_{1} = m$和$\phi(s) = g(s)$,获得$(1.5)$式,以及使用$\Gamma (s)$和$\Gamma^{\prime}(s) \geq 0$获得对任意的$s\in {\Bbb R}$知$(1.7)$式成立.

(2)当$g(s) = - h(s)$和$h(s) = \arctan s + \pi$时,对任意的$s\in {\Bbb R}$有$- M = - \frac{3\pi}{2} \leq h(s) \leq - \frac{\pi}{2} = - m$和$\Gamma^{\prime}(s) = \frac{1}{s^2 + 1} |s|^{p + 1} \geq 0$.取$B_{2} = M$和$\psi(s) = g(s)$获得$(1.6)$式,以及使用$\Gamma (s)$和$\Gamma^{\prime}(s) \geq 0$获得对于任意的$s\in {\Bbb R}$知$(1.8)$式成立.

这篇文章的主要结果如下:

●  在$J(u_{0}) \leq 0$的条件下,我们给出了初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$解的爆破准则和确定爆破时间的上界;

●  在初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$的解在有限爆破的条件下,我们确定了爆破时间的下界.

这篇文章的主要结构被组织如下:在第二部分建立爆破准则和确定爆破时间的上界;在第三部分确定爆破时间的下界.

贯穿全文,对空间$L^{p}(\Omega) : = L^{p}$, $W^{l, p}(\Omega): = W^{l, p}$和$H_{0}^{l}(\Omega): = H_{0}^{l}$分别赋予范数$\|\cdot\|_{p}$, $\|\cdot\|_{W^{l, p}}$和$\|\cdot\|_{H_{0}^{l}}$,其中$1 \leq l, p < +\infty$.

定义2.1  如果具有$u_{t}(x, t) \in L^{2}\big([0, T); H_{0}^{1}\big)$的函数

且满足:

(ⅰ)对任意的$\varphi \in L^{\infty}\big([0, T);W^{1, q}_{0}\cap W^{2, 2}_{0}\cap L^{p}\big)$都有

(ⅱ)在$W^{1, q}_{0}\cap W^{2, 2}_{0}\cap L^{p}$上$u(x, 0) = u_{0}(x)$.

那么函数$u(x, t)$称为初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$的弱解.

结合求二阶常微分方程通解的方法和边值条件,我们很容易获得下列特征值引理.

引理2.1  设$u(x, t)$是初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$的非平凡弱解.那么$\pi^{2}$是特征问题$- w_{xx} = \lambda w$和$- w_{xxxx} = \lambda w_{xx}$在$H_{0}^{1}((0, 1))$上的第一特征值.

定理2.1  设条件(A)成立和非平凡的$u_{0}\in H_{0}^{1}$.进一步地,假设具有初值$u_{0}$的$u(x, t)$是初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$的弱解.如果$J(u_{0}) \leq 0$,那么$u(x, t)$的$H_{0}^{1}$ -范数在有限时间爆破.即,存在有限时间$T_{0} > 0$使得

且

其中

证  用$u$乘以$(1.1)$式,接着在$\Omega$上取积分,然后运用分部积分推出

用$u_{t}$乘以$(1.1)$式,接着在$\Omega\times(0, t)$上取积分,然后应用分部积分推出

使用$(1.7)$式和$(1.8)$式,从$(2.5)$式推出

把$(2.6)$式插入$(2.4)$式推出

使用$J(u_{0}) \leq 0$和$\int_{0}^{t}\|u^{\prime}\|^{2}_{H_{0}^{1}}{\rm d}s \geq 0$,从上式推出

利用$(1.5)$式, $p > q$和嵌入不等式,从$(2.7)$式推出

注意,通过空间$\Omega = (0, 1)$和引理,众所周知对任意的$u\in H_{0}^{1}$有Poincaré不等式$\|u_{x}\|_{2}^{2} \geq \pi^{2}\|u\|_{2}^{2}.$由前面这个不等式推知

把$(2.9)$式插入$(2.8)$式且应用引理2.1和$(2.3)$式推出

从$(2.10)$式推出

上式等价于

在$(0, t)$上积分$(2.11)$式推出

上式等价于

众所知周, $(2.12)$式隐含了存在有限时间$T_{0} > 0$使得$(2.1)$式和$(2.2)$式都成立.

定理3.1  设条件(A)成立和非平凡的$u_{0} \in H_{0}^{1}$.进一步地,假设具有初值$u_{0}$的$u(x, t)$是初边值问题$(1.1)$–$(1.3)$的解且其$H_{0}^{1}$ -范数在有限时间$T_{0}$处爆破.那么$T_{0}$的下界是由下列两种情形之一给出:

(ⅰ)如果$0 < \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}}< 1$,那么

(ⅱ)如果$\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}} \geq 1$,那么

其中

$S_{p + 1}$是$H_{0}^{1} \hookrightarrow L^{p + 1}$的最佳嵌入常数,以及下列的$(3.10)$式和$(3.13)$式分别隐含了$C_{4}\|u_{0}\|^{p - 1}_{H_{0}^{1}} - C_{3} > 0$和$C_{4}\|u_{0}\|^{p - 1}_{H_{0}^{1}} - C_{5} > 0$.

证  结合$(2.4)$式, $(1.5)$式和$(1.6)$式推出

使用嵌入不等式,从$(3.4)$式推出

把$(2.9)$式代入$(3.5)$式推出

注意, $(2.10)$式隐含了

(ⅰ)当$0 < \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}}< 1$时,从$(3.7)$式推出$\|u\|_{H_{0}^{1}}^{2} \geq \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}}^{2} > 0, t \in [0, T_{0}).$因此, $(3.6)$式和$(3.3)$式隐含了

从上式推出

上式等价于

在$(0, t)$上积分$(3.8)$式推出

上式等价于

令$t \rightarrow T_{0}^{-}$,从$(3.9)$式推出

由上式可以获得$(3.1)$式.

(ⅱ)当$\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}} \geq 1$时,使用$(3.7)$式推出$\|u\|_{H_{0}^{1}}^{2} \geq \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}}^{2}, \ t \in [0, T_{0}).$因此,从$(3.6)$式和$(3.3)$式推出

从上式推出

因为$\|u\|^{2}_{H_{0}^{1}} \neq 0$,所以上式等价于

在$(0, t)$上积分$(3.11)$式推出

上式等价于

令$t = T_{0}$,从$(3.12)$式推出

由上式隐含了$(3.2)$式.

注3.1  微分不等式和积的导数公式也适用于确定下列方程的初边值问题爆破解的爆破时间的下界.

方程(1), (4), (5), (6)和(7)的初边值问题爆破解的爆破时间的下界已经分别在文献[15-19]中被作者们应用直接扔掉扩散项的方法求得.如果应用微分不等式和积的导数公式确定方程(1), (4), (5), (6)和(7)的初边值问题爆破解的爆破时间的下界,那么获得爆破时间的下界比在文献[15-19]中已经获得的下界更精确(大).

需要验证这个论断的正确性的各位老师或学者.可以先用这两种方法分别求出上述方程任意一个方程的初边值问题爆破解的爆破时间的下界,接着将您求得的两个下界转化成两个可以比较的式子,然后应用比较法可以验证前面的论断.