在本文中,我们寻找半线性Klein-Gordon方程

(1.1) $ \begin{equation} (\partial_{tt}-\triangle+m)u = f(\Omega t, x, u) \end{equation} $

的时间周期解,其中$ m>0 $为实数, $ \Omega\in{\cal N}_0 = [2L_0, 3L_0] $为一个非常大的参数,非线性项$ f(\Omega t, x, u) $关于时间为奇函数且为$ \frac{2\pi}{\Omega} $ -周期,关于每个空间变量$ x_i, \ i = 1, \cdots, d $,为$ 2\pi $ -周期.

由于Rabinowitz^[17]的开创性工作,寻找非线性偏微分方程的周期解吸引了广泛的注意. Rabinowitz的结果是利用整体变分法证明一维非线性波动方程的周期解的存在性.这一方向的其他结果还可以参考文献[10-11, 18].为了规避小除数问题,这些关于周期解的结果只涉及频率为有理数的情形.

在另一方向,文献[15, 19]首次考虑了一维非线性波动方程在一个正测度的频率集上周期与拟周期解的存在性,涉及的主要困难在于利用级数求解时出现小除数.他们利用KAM理论处理这一难点.在这方面,更灵活的方法为Craig-Wayne-Bourgain方法.这一方法由Craig与Wayne^[12]提出,由Bourgain^[7-9]改进.在这些文章中,非线性项一般都假设非常小且解析,并且周期解也是解析的.最近, Berti^[4]在假设非线性项只有有限阶可导的情形下在Sobolev空间中证明了周期解的存在性.另一方面, Fokam^[14]在去掉非线性项非常小的假设下证明了解析周期解的存在性.

设$ s = \Omega t $,则方程可写成

$ \Omega u_{ss}-\triangle u+mu = f(s, x, u). $

将$ s $仍记成$ t $,我们将在Sobolev空间

$ \begin{eqnarray*} H^s = \bigg\{u(t, x)& = &\sum\limits_{(k, j)\in{\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^d} u_{kj}{\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)} \big|\|u\|_s^2 = \sum\limits_{(k, j)\in{\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^d}|u_{kj}|^2\max((k^2+|j|^2)^s, 1)<+\infty\bigg\} \end{eqnarray*} $

中寻找方程

(1.2) $ \begin{equation} \Omega u_{tt}-\triangle u+mu = f(t, x, u) \end{equation} $

的时间$ 2\pi $ -周期解,其中$ s\geq\frac{d+1}{2} $足够大.在这种情形, $ H^s $关于函数的乘法为Banach代数且嵌入$ H^s({\Bbb T}^{d+1})\hookrightarrow L^{\infty}({\Bbb T}^{d+1}) $连续.

我们的主要结果为以下定理:

定理1.1  假设$ \Omega\in{\cal N}_0 = [2L_0, \ 3L_0] $,其中$ L_0 $为一个非常大的常数,则存在子集$ {\cal N}\subset{\cal N}_0 $, $ k^*\in{\Bbb N} $使得$ \forall f\in C^{k^*}({\Bbb T}\times{\Bbb R}^d\times{\Bbb R}) $, $ \forall\gamma\in(0, 1) $,存在映射

$ \begin{eqnarray*} u\in C^1\Big({\cal N}_0, H^{s}\Big)\ \mbox{且}\ \|u(\Omega)\|_s\leq\frac{c}{L_0} , \end{eqnarray*} $

使得对所有的$ \Omega\in{\cal N} $, $ u(\Omega) $为(1.1)的解.集合$ {\cal N}_0-{\cal N} $的Lebesgue测度由$ O(\gamma) $控制.另外, $ u(\Omega) $关于时间为奇函数.

定理的证明将利用Nash-Moser迭代,主要困难在于估计线性算子的逆,这依赖于奇异点的分离性.所用的方法类似于Berti^[4],但在证明奇异点的分离性的过程中只需要一个Diophantine条件,其他条件可用$ \Omega $足够大来代替.而且,非线性受力项非常小的假设也不需要,但得到的解仍是非常小的.

在证明主要定理前,先引进一些记号与假设.设

$ N_n = 2^nL_0, \ B_n = \{(k, j)\in{\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^d |k^2+|j^2|\leq N_n^2\} $

及

$ H_{N_n} = \bigg{\{}u\in H^{s}|u = \sum\limits_{(k, j)\in B_n}\hat{u}(k, j){\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)}\bigg{\}}, $

$ H_{N_n}^{\bot} = \bigg{\{}u\in H^{s}|u = \sum\limits_{(k, j)\not\in B_n}\hat{u}(k, j){\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)}\bigg{\}}. $

记

$ \Pi_{N_n}: H^{s}\rightarrow H_{N_n}, \ \Pi_{N_n}^{\bot}: H^{s}\rightarrow H_{N_n}^{\bot} $

分别为到$ H_{N_n} $与$ H_{N_n}^{\bot} $上的投影.对这些投影,下述性质是显然的.

$ \|\Pi_{N}u\|_{s+r}\leq N^r\|u\|_s, \ \ \forall u\in H^s, $

$ \|\Pi_{N}^{\bot}u\|_{s}\leq N^{-r}\|u\|_{s+r}, \ \ \forall u\in H^{s+r}. $

设$ F:u\rightarrow f(t, x, u) $为Sobolev空间$ H^s $上的复合算子,它满足以下性质:

(1) $ F\in {C}^2(H^s, H^s) $.

(2) (柔性估计)对所有$ s\leq s'\leq k $, $ u, h\in H^{s'} $与$ \|u\|_s\leq 1 $,有

$ \|F(u)\|_{s'}\leq C(s')(1+\|u\|_{s'}), \|(DF)(u)h\|_{s'}\leq C(s')\|h\|_{s'}, $

$ \|D^2F(u)[h, v]\|_{s'}\leq C(s')\|h\|_{s'}\|v\|_{s'} . $

(3) (Taylor柔性估计) $ \forall u, h\in H^{s'} $且$ \|u\|_{s}\leq 1 $与$ \|h\|_{s}\leq 1 $,

$ \|F(u+h)-F(u)-(DF)(u)h\|_{s'}\leq C(s')(\|u\|_{s'}\|h\|_{s}^2+ \|h\|_{s'}\|h\|_s). $

特别地,对$ s = s' $,有

$ \|F(u+h)-F(u)-(DF)(u)h\|_{s}\leq C(s)\|h\|_{s}^2. $

(4) $ \|\partial_uf(t, x, u)\|_s\leq C(s)\|u\|_s $.

对参数$ \Omega $,假设它满足Diophantine条件

(2.1) $ \begin{equation} |\Omega^2q-p|\geq\frac{\gamma}{\max(1, |p|^{\frac{3}{2}})}, \ \ \forall(q, p)\in{\Bbb Z}^2-\{(0, 0)\}, \end{equation} $

其中$ \gamma\in(0, 1) $,记

$ G = \{\Omega\in[2L_0, 3L_0]\, \big|\, \Omega\mbox{满足条件(2.1)}\}. $

设

$ L(\Omega) = \Omega^2\partial_{tt}-\triangle+m, $

则方程(1.2)可写成

$ L(\Omega)u-F(u) = 0. $

接下来,利用Nash-Moser迭代求解方程

$ L(\Omega)u-\Pi_{N_n}F(u) = 0. $

对$ j\in{\Bbb Z}^d $,设$ \lambda_j = |j|^2+m $,算子$ L(\Omega) $的特征值为$ k^2\Omega^2-\lambda_j $.由于$ u $关于时间为奇函数,当$ \Omega\in[2L_0, \ 3L_0] $及$ (k, j)\in B_0 $, $ k = 0 $的项在讨论中无关,故当$ k\ne 0 $, $ (k, j)\in B_0 $时

$ k^2\Omega^2-\lambda_j = k^2\Omega^2-(|j|^2+m) \geq 9L_0^2-(|j|^2+m) \geq L_0^2, $

$ \|L(\Omega)h\|_s\leq \frac{1}{L_0^2}\|h\|_s, \ \ \ \ \forall h\in H_{N_0}. $

显然,方程

$ L(\Omega)u = P_{N_0}F(u) $

的解是映射$ {\cal F}_0(u) = L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}F(u) $的不动点.由于

$ \|{\cal F}_0(u)\|_s\leq\frac{1}{L_0^2}\|\Pi_{N_0}F(u)\|_s\leq\frac{C}{L_0^2}(1+\|u\|_s), $

如果令$ {\cal B}_0 = \{u\in H_{N_0}:\|u\|_s\leq\frac{1}{L_0^{1.5}}\} $,则对$ u\in{\cal B}_0 $有

$ \|{\cal F}_0(u)\|_s\leq\frac{C}{L_0^2}(1+\frac{1}{L_0^{1.5}})\leq\frac{1}{L_0^{1.5}}. $

故当$ L_0 $足够大时

$ {\cal F}_0:{\cal B}_0\rightarrow{\cal B}_0. $

接下来证明$ {\cal F}_0 $是压缩映射.由于$ \partial_u{\cal F}_0(u)h = L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}\partial_uF(u)h $,故

$ \|\partial_u{\cal F}_0(u)h\|_s\leq\frac{C}{L_0^2}\|h\|_s\leq\frac{\|h\|_s}{2}, $

且当$ L_0 $足够大时$ {\cal F}_0 $是压缩映射.因此$ {\cal F}_0 $有唯一的不动点,记为$ u_0 $.为了以后的用处,我们还需要估计$ \partial_{\Omega}u_0 $.记

$ E_0(\Omega, u) = L(\Omega)u-\Pi_{N_0}F(u), $

则

$ \partial_uE_0(u_0)[h] = L(\Omega)h-\Pi_{N_0}\partial_uF(u_0)[h] = L(\Omega)(I-L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}\partial_uF(u_0))[h]. $

根据上述计算有$ \|L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}\partial_uF(u_0)\|\leq\frac{1}{2} $及

$ \|\partial_uE_0(u_0)^{-1}\| = \|(I-L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}\partial_uF(u_0))^{-1}L(\Omega)^{-1}\|\leq\frac{2}{L_0^2}. $

由隐函数定理有$ u_0\in C^1(A_0, H_{N_0}) $.

对方程

$ E_0(\Omega, u_0) = 0 $

两边关于$ \Omega $求导得

$ \partial_{\Omega}E_0+\partial_uE_0\partial_{\Omega}u_0 = 0, $

则

$ \|\partial_{\Omega}u_0\|_s = \|-(\partial_uE_0)^{-1}\partial_{\Omega}E_0\|_s\leq\frac{2}{L_0^2}\|\partial_{\Omega}E_0\|_s\\ = \frac{2}{L_0^2}\|2\Omega\partial_{tt}u_0\|_s\leq 6L_0\|u_0\|_s\leq\frac{6}{L_0^{0.5}}. $

对$ s'>s $,由$ u_0 = L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}F(u_0) $有

$ \|u_0\|_{s'}\leq\frac{C}{L_0^2}(1+\|u_0\|_{s'})\leq\frac{C}{L_0^2}+\frac{1}{2}\|u_0\|_{s'}, $

故

$ \|u_0\|_{s'}\leq\frac{C}{L_0^2}. $

类似有$ \|\partial_{\Omega}u_0\|_{s'}\leq\frac{C}{L_0^2} $.

由于$ 0 $可能是线性算子$ L(\Omega) $的特征值的极限值,显然当$ N_n $趋于无穷大时上述方法不能再用,故必须利用其它办法估计线性算子的逆.

设$ A $为$ {\Bbb Z}^{d+1} $有限对称(即$ -A = A $)子集,定义$ H^s $的有限维子空间$ H_A $为

$ \begin{eqnarray*} H_A = \bigg{\{}\sum\limits_{(k, j)\in A}h_{k, j}{\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)}: h_{k, j}\in {\Bbb C}, h_{k, j}^* = h_{-k, -j}\bigg{\}}. \end{eqnarray*} $

定义$ \Pi_A $为在$ H_A $上的$ L^2 $ -正交投影,即

$ \begin{eqnarray*} \Pi_Ah = \sum\limits_{(k, j)\in A}h_{k, j}{\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)}, \ \ \ \ \forall h = \sum\limits_{(k, j)\in {\Bbb Z}^{d+1}}h_{k, j}{\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)}\in H^s. \end{eqnarray*} $

显然$ \Pi_A $也是$ H_A $上的$ H^s $ -正交投影.利用这些记号,定义$ H_{D_N} $上的线性算子$ L_N $为

$ \begin{eqnarray*} L_N = L(\Omega)+T, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} D_N = \Big{\{}(k, j)\in{\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^d\big||(k, j)|\leq N \Big{\}}, \end{eqnarray*} $

$ Th = \Pi_N(ah) $, $ a = \partial_uf(t, x, u) $.关于$ H_{D_N} $的$ L^2 $ -规范正交基$ \{{\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)}\}_{(k, j)\in D_N} $, $ L(\Omega) $可表示成一个对角矩阵,特征值为

$ \begin{eqnarray*} d_{(k, j)} = -k^2\Omega^2+\lambda_j. \end{eqnarray*} $

对$ x = (k, j)\in {\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^d $,如果对某个固定常数$ d_s $有

(3.1) $ \begin{equation} |k^2\Omega^2-\lambda_j|\leq d_s, \end{equation} $

则称$ x = (k, j) $为坏点.将(3.1)式写成

$ -d_s+|j|^2+m<k^2\Omega^2<d_s+|j|^2+m, $

则有

$ k^2\Omega^2_{\min}<d_s+|j|^2+m. $

如果$ |j|\leq L_0 $及$ L_0\geq m $,则

$ k^2\Omega^2_{\min}<d_s+|j|^2+m<2L_0^2, $

且当$ x $为坏点时,由$ \Omega_{\min}\geq 2L_0 $可得$ k = 0 $.由于$ u $关于时间为奇函数故模态$ k = 0 $无关,因此在$ B_0 $中没有坏点.对$ |j|\geq L_0 $,为证坏点的分离性,考虑双线性映射$ \varphi_{\Omega}:{\Bbb R}^{d+1}\times{\Bbb R}^{d+1}\rightarrow{\Bbb R} $其定义为

$ \varphi_{\Omega}(x, x') = j\cdot j'-\Omega^2kk', \ \ \ x = (k, j), \ x' = (k', j')\in{\Bbb R}\times{\Bbb R}^{d}, $

对应的二次型为

$ Q_{\Omega}(x) = \varphi_{\Omega}(x, x) = |j|^2-\Omega^2k^2. $

如果$ |Q_{\Omega}|\leq d_s+m $,我们称整向量$ x = (k, j)\in{\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^{d} $为弱坏的.

定义3.1 一列互不相同的弱坏的整向量$ x_0, \cdots, x_K\in{\Bbb Z}^{d+1} $称为长度为$ K $的$ B $ -链,如果对某个整数$ B\geq 2 $有$ |x_{k+1}-x_k|\leq B, \ \forall k = 0, \cdots, K-1 $.

对一个$ B $ -链的长度,文献[4]证明了如下结果:

引理3.1 假设$ \Omega $满足条件(2.1),则$ B $ -链的长度$ K\leq\frac{B^C}{\gamma^r} $,其中常数$ C = C(d)>0, $$ r = r(d)>0 $仅依赖于$ d $.

根据这些引理,有以下关于坏点的分离结果:

命题3.1 假设$ \Omega $满足条件(2.1), $ \forall\gamma\in(0, 1) $.如果$ d_s\leq d_s(\gamma) = \frac{\gamma^{3r(d)+1}}{8} $,则存在坏点的划分

$ \begin{eqnarray*} S = \{(k, j)\in D_N:\ |k^2\Omega^2-\lambda_j^2|<d_s\} = \bigcup\limits_{\alpha\in{\cal A}}D_{\alpha}, \end{eqnarray*} $

使得

(H1)令$ M_{\alpha} = \mathop {\max }\limits_{x \in {D_\alpha }} |x| $, $ m_{\alpha} = \mathop {\min }\limits_{x \in {D_\alpha }} |x| $,则对任意$ \alpha\in{\cal A} $,有$ M_{\alpha}\leq 2m_{\alpha} $.

(H2) (分离性)存在$ \delta = \delta(d)\in(0, 1) $,使得$ d(D_{\alpha}, D_{\sigma}) = \min\limits_{x\in D_{\alpha}, x'\in D_{\sigma}}|x-x'|\geq \frac{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\delta}}{2} $, $ \forall\alpha\neq\sigma $.

证  给定$ \delta>0 $,称两个整向量$ x, y\in S $等价,如果存在$ x_l\in S, \ l = 0, 1, \cdots, n $,使得$ x_0 = x, x_n = y $且$ |x_{l+1}-x_l|\leq(|x_l|+|x_{l+1}|)^{\delta}, \ \forall l $.

设$ \delta = \delta(d) = \frac{1}{2(C(d)+1)} $,集合$ S $可分解成互不相交的等价类$ D_{\alpha}, \ \alpha\in{\cal A} $.首先证明(H1).选取$ z_{\alpha}\in D_{\alpha} $使得$ |z_{\alpha}| = \mathop {\max }\limits_{z \in {D_\alpha }} |z| = M_{\alpha} $.每个$ x\in D_{\alpha} $有一个$ B $ -链连接到$ z_{\alpha} $,其中$ B = (2M_{\alpha})^{\delta} $.由引理3.1,这个$ B $ -链至多有$ \frac{B^C}{\gamma^r} $个元素.因此, $ \forall x\in D_{\alpha} $,有

$ \begin{eqnarray*} |x|\geq|z_{\alpha}|-\frac{B^CB}{\gamma^r} = M_{\alpha}-\frac{(2M_{\alpha})^{\delta(C+1)}}{\gamma^r}\geq \frac{M_{\alpha}}{2}, \end{eqnarray*} $

只要$ M_{\alpha}\geq\frac{8}{\gamma^{2r}} $.由于在$ B_0 $中没有坏点,只要$ L_0 $足够大, $ M_{\alpha}\geq\frac{8}{\gamma^{2r}} $成立.故对$ D_{\alpha} $, (H1)成立.

为证(H2),考虑$ x_{\alpha}\in D_{\alpha}, \ x_{\sigma}\in D_{\sigma} $使得$ d(D_{\alpha}, \ D_{\sigma}) = |x_{\alpha}-x_{\sigma}| $.由于$ x_{\sigma}\not\in D_{\alpha} $,故

$ \begin{eqnarray*} |x_{\alpha}-x_{\sigma}|\geq(|x_{\alpha}+x_{\sigma}|)^{\delta}\geq(m_{\alpha}+M_{\alpha})^{\delta}\geq \frac{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\delta}}{2}, \end{eqnarray*} $

即(H2)成立.

命题3.2  设$ d_s $如同命题3.1所定义,对所有$ \Omega\in{\cal N}(G, \gamma N^{-\sigma}) $, $ N\geq N_0, \ \sigma\geq 3 $,存在坏点集合的一个划分

$ \begin{eqnarray*} S = \big{\{}(k, j)\in D_N\big| |k^2\Omega^2-\lambda_j|<\frac{d_s}{2}\big{\}} = \bigcup\limits_{\alpha\in{\cal A}}D_{\alpha} \end{eqnarray*} $

满足命题3.1的(H1)与(H2).

证  对$ \Omega\in G $,存在一个划分

$ \begin{eqnarray*} S' = \big{\{}(k, j)\in D_N\big| |k^2\Omega'^2-\lambda_j|<d_s\big{\}} = \bigcup\limits_{\alpha\in{\cal A}}D_{\alpha}' \end{eqnarray*} $

满足命题3.1的(H1)与(H2).如果$ N\geq L_0 $使得$ \frac{\gamma}{N^{\sigma}}\leq\frac{d_s}{10L_0N^2} $,则对$ |\Omega-\Omega'|\leq\frac{\gamma}{N^{\sigma}} $,有$ S\subset S' $.因此,对$ D_{\alpha} = D_{\alpha}'\cap S $, $ S = \bigcup\limits_{\alpha\in{\cal A}}D_{\alpha} $满足(H1)与(H2).

利用$ S $的分离划分,可以证明与Berti^[4]中类似的性质.不同的是,在这里不需要假设$ f(\Omega t, x, u) $非常小,只要假设$ \|u\|_s\leq\frac{1}{L_0} $非常小.

命题3.3  给定$ \tau>0 $,存在$ \mu = \mu(d), s = s(d) $使得$ \forall\gamma\in(0, 1) $, $ \forall k-1\geq s'\geq s $,对$ L_0 $足够大, $ \forall N, \forall u\in C^1([2L_0, 3L_0], H_N) $且$ \|u\|_s\leq\frac{1}{L_0} $,存在集合$ G_N(u)\subset[2L_0, 3L_0] $且如果$ \Omega\in G_N(u) $与$ \forall K\leq N $, $ L_K(\Omega) $的所有特征值的模大于$ \frac{\gamma}{K^{\tau}} $,则对所有$ h\in H_{D_N} $,有

(3.2) $ \begin{eqnarray} \|L_N^{-1}(\Omega)[h]\|_{s'}&\leq&\frac{C(s')}{\gamma}N^{\mu}(\|h\|_{s'}+\|u\|_{s'}\|h\|_{s}), \end{eqnarray} $

(3.3) $ \begin{eqnarray} \|L_N^{-1}(\Omega)[h]\|_{s}&\leq&\frac{C}{\gamma}N^{\mu}\|h\|_{s}. \end{eqnarray} $

对集合$ G_N(u) $,我们有以下测度估计

(3.4) $ \begin{equation} \big|G_{N'}(u_2)^c-G_N(u_1)^c\big|\leq C\frac{\gamma}{NL_0}, \end{equation} $

对$ \sigma, \tau\geq d+3, \ N'>N $及$ u_1\in H^{(N)}, u_2\in H^{(N')} $满足$ \|u_2-u_1\|_s\leq N^{-\sigma} $成立.

为证明命题3.3,需要求解线性系统

$ \begin{eqnarray*} L_N(\Omega)h = b. \end{eqnarray*} $

作区域划分$ D_N = G\cup B $,其中$ B $为坏点集合而$ G = D_N\setminus B $为好点集.利用这一划分可得如下分解

$ H_{D_N} = H_G\oplus H_B . $

设$ h = h_g+h_b, \ k = k_g+k_b $其中$ h_g, k_g\in H_G, \ h_b, k_b\in H_B $,可将系统写成等价形式

(8) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} L_G^G h_g+L_G^Bh_b = k_g, \\ L_B^G h_g+L_B^Bh_b = k_b. \end{array} \right. \end{equation} $

为证$ L_G^G = D_G+T_G $的可逆性,其中$ D_G = [L(\Omega)]_G^G = D_G^G, \ T_G = T_G^G $为简写,在本文以后部分我们将假设$ \|a\|_s = O(L_0^{-1}) $.注意到

$ \forall s\geq 0, \ \ \|D_Gh\|_s\geq (\min\limits_{l\in R}|d_l|)\|h\|_s\geq d_s\|h\|_s, \ \ h\in H_G, $

故有

$ \|L_{G}^{G}h\|_s\geq\|D_Gh\|_{s}-\|T_Gh\|_s\geq(d_s-\|a\|_s)\|h\|_s \geq (d_s-CL_0^{-1})\|h\|_s, $

且$ \|(L_G^G)^{-1}\|_s\leq\frac{2}{d_s} $对足够大的$ L_0 $成立.类似有$ \|(L_G^G)^{-1}\|_0\leq\frac{2}{d_s} $.

现在,我们先求解(3.5)式的第一个方程

$ h_g = (L_G^G)^{-1}(k_g-L_G^Bh_b), $

然后代入第二个方程得

$ (L_B^B-L_B^G(L_G^G)^{-1}L_G^B)h_b = k_b-L_B^G(L_G^G)^{-1}k_g. $

因此我们需要估计算子

$ U:H_B\rightarrow H_B, \ \ U = L_B^B-L_B^G(L_G^G)^{-1}L_G^B $

的逆.根据分解$ H_B = \oplus_{\alpha\in{\cal A} }H_{D_{\alpha}} $,可将算子$ U $写成

$ U = (U_{D_{\alpha}}^{D_{\sigma}})_{\alpha, \sigma\in{\cal A}}, \ \ U_{D_{\alpha}}^{D_{\sigma}} = L_{D_{\alpha}}^{D_{\sigma}}-L_{D_{\alpha}}^G(L_G^G)^{-1}L_G^{D_{\sigma}}. $

利用这些记号,可得

$ U = {\cal D}+{\cal R}, \ \mbox{其中} \ {\cal D} = \mbox{diag}_{\alpha\in{\cal A}}(U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}})\mbox{且}\ {\cal R} = ( U_{D_{\alpha}}^{D_{\sigma}})_{\alpha\neq \sigma}. $

为估计$ U $的逆,需要以下的一些准备.

引理3.2  (1)对所有$ \forall A, B\subset D_N $, $ \forall s'\geq s $,

(3.6) $ \begin{equation} \|T_{B}^{A}\|_{0}\leq\frac{C(s')\|a\|_{s'}}{(1+d(A, B))^{s'-\frac{d+1}{2}}}. \end{equation} $

(2)设$ U\in{\cal L}(H_G, \ H_G) $使得,对某个$ \kappa>0 $, $ \forall A, \ B\subset R\cap[0, N] $,有

(3.7) $ \begin{equation} \|U_{A}^{B}\|_0\leq\frac{C_1}{(1+d(A, B))^{\kappa}}. \end{equation} $

则, $ \forall p\geq 1 $, $ \forall A, B\subset R $,有

(3.8) $ \begin{equation} \|(U^p)_{A}^{B}\|_0\leq\frac{C_1p^{\kappa+1}\|U\|_0^{p-1}}{(1+d(A, B))^{\kappa}}. \end{equation} $

证明见文献[4].

引理3.3  对所有$ \forall A, B\in G $且$ A\cap B = \emptyset $,则当$ L_0 $足够大时有

(3.9) $ \begin{equation} \|[(L_G)^{-1}]_{A}^{B}\|_0\leq \frac{ C(s')\|a\|_{s'}}{d_s^2d(A, B)^{s'-\frac{d+1}{2}}}. \end{equation} $

证  根据Neumann级数展开式

$ \begin{eqnarray*} (L_G)^{-1} = (D_G+ T_G)^{-1} = (I+\sum\limits_{p\geq 1}(-1)^p( D_G^{-1}T_G)^p)D_G^{-1} \end{eqnarray*} $

以及$ A\cap B = \emptyset $,可得

$ \begin{eqnarray*} [(T_G^G)^{-1}]_{A}^{B} = \sum\limits_{p\geq 1}(-1)^p(U^p)_{A}^{B}[D_G^{-1}]_B^B, \end{eqnarray*} $

其中$ U = D_G^{-1}T_G $.由于$ \|D_G^{-1}\|_0\leq d_s^{-1} $,因此

$ \begin{eqnarray*} \|[(L_G^G)^{-1}]_{A}^{B}\|_0\leq\frac{1}{d_s}\sum\limits_{p\geq 1}\|(U^p)_{A}^{B}\|_0. \end{eqnarray*} $

由引理3.2,有

$ \begin{eqnarray*} \|U_{A}^{B}\|_0 = \|(D_G^{-1})_{A}^{A}T_{A}^{B}\|\leq\frac{1}{d_s}\|M_{A}^{B}\|_0 \leq\frac{C(s')\|a\|_{s'}}{d_s(1+d(A, B))^{\kappa}} , \end{eqnarray*} $

其中$ \kappa = s'-\frac{d+1}{2} $.根据引理3.2,有

$ \begin{eqnarray*} \|(U^p)_{B}^{A}\|_0\leq\frac{C(s')\|a\|_{s'}p^{\kappa+1}\|a\|_s^{p-1}}{d_s^pd(A, B)^{\kappa}}. \end{eqnarray*} $

利用$ \|U\|_0 = \|D_G^{-1}M_G\|_0\leq\frac{1}{d_s}\|a\|_s $.由这些不等式,可得

$ \begin{eqnarray*} \|[(L_G^G)^{-1}]_{A}^{B}\|_0\leq\frac{ C(s')\|a\|_{s'}}{d_s^2d(A, B)^{\kappa}}\bigg(\sum\limits_{p\geq 1}\bigg[\frac{\|a\|_s}{d_s}\bigg]^pp^{\kappa+1}\bigg). \end{eqnarray*} $

由于$ \|a\|_s = O(L_0^{-1}) $,可以选取$ L_0 $足够大使得$ \|a\|_sd_s^{-1}\leq\frac{1}{2} $.故引理得证.

引理3.4  对任意$ \alpha\neq\sigma $及$ \forall s'\geq s $,有

(3.10) $ \begin{equation} \|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0\leq\frac{C(s')\|a\|_{s'}}{(d(A, B))^{s'-\frac{d+1}{2}}}. \end{equation} $

证  $ L_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}} = T_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}} $满足估计.为估计$ L_{D_{\sigma}}^G(L_G^G)^{-1}L_G^{D_{\alpha}} $,利用分解$ G = G_1\cup G_2\cup G_3 $,其中

$ \begin{eqnarray*} & &G_1 = \bigg\{k\in G\big|d(D_{\alpha}, k)\leq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3}\bigg\}, \\ & &G_3 = \bigg\{k\in G\big|d(D_{\sigma}, k)\leq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3}\bigg\}, \\ & &G_2 = G-(G_1\cup G_2). \end{eqnarray*} $

因此我们有分解$ H_G = H_{G_1}\oplus H_{G_2}\oplus H_{G_3} $故

(3.11) $ \begin{equation} L_{D_{\sigma}}^G(L_G^G)^{-1}L_G^{D_{\alpha}} = \sum\limits_{i = 1}^3\sum\limits_{j = 1}^3L_{D_{\sigma}}^{G_i}[(L_G^G)^{-1}]_{G_i}^{G_j}L_{G_j}^{D_{\alpha}}. \end{equation} $

为得到以上方程右边每一项的界,分三种情形讨论.

(1) $ j\geq 2 $.此时$ d(G_j, D_{\sigma})\geq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3} $.由引理3.2及$ L_{G_j}^{D_{\sigma}} = T_{G_j}^{D_{\sigma}} $,有

$ \begin{eqnarray*} \|L_{G_j}^{D_{\sigma}}\|_{{\cal L}(L^2({\Bbb R}^d))}\leq\frac{ C(s')\|a\|_{s'}}{(1+d(D_{\alpha}, D_{\sigma}))^{s'-\frac{d+1}{2}}} . \end{eqnarray*} $

由于$ \|L_{D_{\alpha}}^{G_i}\|_0 = \|a\|_s $,我们有

$ \begin{eqnarray*} \|L_{l_1}^{G_i}(L_G)^{-1}L_{G_j}^{l_2}\|_0\leq\frac{2 \|a\|_{s}}{d_s}\frac{ C(s')\|a\|_{s'}}{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})^{s'-\frac{d+1}{2}}}\leq\frac{ C(s')\|a\|_{s'}}{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})^{s'-\frac{d+1}{2}}}. \end{eqnarray*} $

(2) $ j = 1, \ i = 1, \ 2 $.现在$ d(G_i, D_{\alpha})\geq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3} $,因此可以像前一种情形处理.

(3) $ j = 1, \ i = 3 $.此时$ d(G_1, G_3)\geq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3} $,由引理3.3,有

$ \begin{eqnarray*} \|[(L_G)^{-1}]_{G_1}^{G_3}\|_0\leq\frac{ C(s')\|a\|_{s'}}{d_s^2d(D_{\alpha}, D_{\sigma})^{s'-\frac{d+1}{2}}}. \end{eqnarray*} $

再一次利用$ \|L_{D_{\alpha}}^{G_i}\|\leq\|a\|_s $可得估计.

引理3.5  设$ D_{\alpha}\subset B $.利用命题3.3的假设,当$ L_0 $足够大时, $ U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}} $可逆且$ \|(U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}})^{-1}\|_0\leq C\frac{M_{\alpha}^{\tau}}{\gamma} $.

证  只需要证明

$ \|U_{D_{\alpha}}^{D{\alpha}}w\|_{L^2}\geq \frac{\gamma}{cM_{\alpha}^{\tau}}\|w\|_0, \ \ \ \ \forall w\in H_{D_{\alpha}}. $

对所有$ w\in H_{D_{\alpha}}\subset H_{B} $,我们有

$ U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}}w+\sum\limits_{\sigma\neq\alpha}U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}w = Uw = (L_G^B+L_B^B)w-(L_G^G+L_B^G)(L_G)^{-1}L_G^Bw = L_Nh , $

其中$ h = w-(L_G)^{-1}L_G^Bw $.由引理3.2,有

$ \sum\limits_{\sigma\neq\alpha}\|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}w\|\leq\sum\limits_{\sigma\neq \alpha}\frac{C\|a\|_s\|w\|_0}{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})^{s-\frac{d+1}{2}}} \leq C\|a\|_s\|w\|_0\sum\limits_{\sigma\neq\alpha}\frac{1}{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\nu}}, $

其中$ \nu = \delta(s-\frac{d+1}{2}) $.对每个$ x\in D_{\sigma}\subset S $,定义$ M(x) = M_{\sigma} $与$ N(x) = |D_{\sigma}| $,则

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{\sigma\neq\alpha}\frac{1}{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\nu}} = \sum\limits_{x\in S\setminus D{\alpha}}\frac{1}{N(x)(M_{\alpha}+M(x))^{\nu}} \leq\sum\limits_{x\in {\Bbb Z}^{d+1}, |x|\leq N}\frac{1}{(M_{\alpha}+|x|)^{\nu}}. \end{eqnarray*} $

因为$ N(x)\geq 1 $及$ M(x)\geq|x| $,对$ \nu>d+1 $,有

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{\sigma\neq\alpha}\frac{1}{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\nu}}\leq \int_1^{+\infty}\frac{r^d{\rm d}r}{(M_{\alpha}+r)^{\nu}} \leq \frac{C(\nu)}{(1+M_{\alpha})^{\nu-d-1}}, \end{eqnarray*} $

且$ \sum\limits_{\sigma\neq \alpha}\|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}w\|\leq\|a\|_sC(s)M_{\alpha}^{d+1-\nu}\|w\|_0 $.

接下来估计$ \|L_Nh\|_0 $的下界.作分解$ h = h'+h'' $其中$ h' = P_{D_K}h, \ h'' = (I-P_{D_K})h $且$ K = 2M_{\alpha} $.根据$ L_K $的特征值的假设,可得

$ \begin{eqnarray*} \|L_Nh\|_0\geq\|P_{D_K}L_Nh\|_0\geq\|L_Kh'\|_0-\|T_{D_K}^{D_K^C}h''\|_0 \geq\frac{\gamma}{(2M_{\alpha})^{\tau}}\|h'\|_0- C\|a\|_s\|h''\|_0, \end{eqnarray*} $

其中$ D_K^C = D_N-D_K $.另外,由于$ h = w-(L_G^G)^{-1}L_G^Bw $及$ w\in H_{D_{\alpha}}\subset H_{K} $,故

$ \begin{eqnarray*} h'' = -P_{K'}(L_G^G)^{-1}L_G^Bw = -[(L_G^G)^{-1}]_{R\cap K'}^G. \end{eqnarray*} $

由于$ d(D_{\alpha}, G\cap K')\geq M_{\alpha} $,类似于引理3.4的证明可得

$ \begin{eqnarray*} \|h''\|_0\leq\frac{C\|a\|_s\|w\|_0}{d_s M_{\alpha}^{s-\frac{d+1}{2}}}. \end{eqnarray*} $

另外,由$ w\in H_{D_{\alpha}} $与$ h'-w = -P_{D_{2M_{\alpha}}}(L_G^G)^{-1}L_G^Bw\in H_G $,可以得到$ \|h'\|_0 = (\|h'-w\|_0^2+\|w\|_0^2)^{\frac{1}{2}}\geq\|w\|_0 $,故

$ \begin{eqnarray*} \|L_Nh\|_0\geq\frac{\gamma\|w\|_0}{2 M_{\alpha}^{\tau}}-\frac{C\|a\|_s^2}{d_s M_{\alpha}^{s-\frac{d+1}{2}}}\|w\|_0\geq\frac{\gamma\|w\|_0}{2 M_{\alpha}^{\tau}}\bigg(1-\frac{C'\|a\|_s^2}{\gamma d_s M_{\alpha}^{s-\tau-\frac{d+1}{2}}}\bigg). \end{eqnarray*} $

由于$ s>\tau+\frac{d+1}{2} $,可取$ L_0 $足够大以保证$ 1-\frac{C'\|a\|_s^2}{\gamma d_s M_{\alpha}^{s-\tau-\frac{d+1}{2}}}\geq\frac{1}{2} $与

$ \begin{eqnarray*} \|L_Nh\|_0\geq2^{-\tau-1}\frac{\gamma}{ M_{\alpha}^{\tau}}\|w\|_0. \end{eqnarray*} $

注意到$ \nu>d+1+\tau $,当$ L_0 $足够大时可得$ \|L_Nh\|_0\geq 2^{-\tau-1}\gamma M_{\alpha}^{-\tau}\|w\|_0 $.

现在已知算子$ {\cal D} = \mbox{diag}_{\alpha\in{\cal A}}(U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}}) $可逆,记

$ \begin{eqnarray*} U = {\cal D}+{\cal R} = {\cal D}(I+{\cal D}^{-1}{\cal R}), \end{eqnarray*} $

则需要估计$ \|{\cal D}^{-1}{\cal R}\| $.

引理3.6  对$ s'>0 $,我们有$ \|{\cal D}^{-1}h\|_{s'}\leq K(s')\frac{N^{\tau}\|h\|_{s'}}{\gamma}, \ \forall h\in H_{D_{\alpha}} $.

引理3.6的证明完全类似于文献[4].

引理3.7  假设$ s>\frac{d+1}{2}+\frac{d+1}{\delta}+1 $,则有

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal D}^{-1}{\cal R}h\|_{0}\leq K\frac{\|a\|_{s}}{\gamma}\|h\|_0. \end{eqnarray*} $

对$ s'\geq\frac{d+1}{2}+\frac{d+1}{\delta}+1 $,令$ \mu_0 = \tau+\frac{3(d+1)}{2} $,则有估计

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal D}^{-1}{\cal R}h\|_{s'}\leq \frac{K(s')}{\gamma}(\|h\|_{s'}\|a\|_s+\|a\|_{s'}\|h\|_0N^{\mu_0}). \end{eqnarray*} $

证  设$ h = \sum\limits_{\alpha\in{\cal A}}h_{\alpha} $,我们有

$ {\cal D}^{-1}{\cal R}h = \sum\limits_{\sigma\in{\cal A}}w_{\sigma} $

及

$ w_{\sigma} = \sum\limits_{\alpha\neq\sigma}({\cal D}^{-1})_{D_{\sigma}}^{D_{\sigma}} ({\cal R}_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}})h_{\alpha} = (U_{D_{\sigma}}^{D_{\sigma}})^{-1} \sum\limits_{\alpha\neq\sigma}U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}h_{\alpha} . $

对$ \nu = \delta(s-\frac{d+1}{2}) $,估计

$ \begin{eqnarray*} \|w_{\sigma}\|_{0}&\leq& c\frac{M_{\sigma}^{\tau}}{\gamma}\sum\limits_{\alpha\neq\sigma} \|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0\|h_{\alpha}\|_0 \leq c\frac{M_{\sigma}^{\tau}}{\gamma}\sum\limits_{\alpha\neq\sigma} \frac{C\|a\|_s}{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\nu}}\|h_{\alpha}\|_0\\ &\leq& c\frac{M_{\sigma}^{\tau}}{\gamma}\|h_{\alpha}\|_0\|a\|_s \bigg(\sum\limits_{\alpha\neq\sigma} \frac{1}{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{2\nu}}\bigg)^{\frac{1}{2}} \leq\frac{c\|a\|_s}{\gamma(1+M_{\sigma})^{\nu-\tau-\frac{d+1}{2}}}\|h\|_0. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal D}^{-1}{\cal R}h\|_{0}& = &\bigg(\sum\limits_{\sigma\in{\cal A}}\|w_{\sigma}\|_0^2\bigg)^{\frac{1}{2}} \leq\frac{c\|a\|_s\|h\|_0}{\gamma}\bigg(\sum\limits_{\sigma\in{\cal A}} \frac{1}{(1+M_{\sigma})^{2\nu-2\tau-(d+1)}}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& K\frac{\|a\|_{s}}{\gamma}\|h\|_0. \end{eqnarray*} $

现在证明引理的第二个估计.

$ \begin{eqnarray*} \|w_{\sigma}\|_{s'}&\leq & M_{\sigma}^{s'}\|w_{\sigma}\|_0\leq\frac{cM_{\sigma}^{\tau}}{\gamma}M_{\sigma}^{s'}\sum\limits_{\alpha\neq\sigma} \|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0 \|h_{\alpha}\|_{0}\\ & = &\frac{cM_{\sigma}^{\tau}}{\gamma}\bigg(\sum\limits_{M_{\alpha}\geq\frac{M_{\sigma}}{4}}M_{\sigma}^{s'} \|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0 \|h_{\alpha}\|_{0}+\sum\limits_{M_{\alpha}<\frac{M_{\sigma}}{4}}M_{\sigma}^{s'} \|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0 \|h_{\alpha}\|_{0}\bigg)\\ & = &\frac{cM_{\sigma}^{\tau}}{\gamma}(I+II). \end{eqnarray*} $

对(I),由于$ M_{\alpha}\geq\frac{M_{\sigma}}{4} $,我们有

$ \begin{eqnarray*} M_{\sigma}^{s'}\|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0 \|h_{\alpha}\|_{0} &\leq&\|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0\frac{M_{\sigma}^{s'}}{m_{\alpha}^{s'}} \|h_{\alpha}\|_{s'}\leq \frac{2^{s'}M_{\sigma}^{s'}}{M_{\alpha}^{s'}} \|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0 \|h_{\alpha}\|_{s'}\\ &\leq&\frac{c8^{s'}\|a\|_s}{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\nu}}\|h\|_{s'}. \end{eqnarray*} $

如果$ M_{\alpha}<\frac{M_{\sigma}}{4} $,对任意$ x_{\sigma}\in D_{\sigma} $与$ x_{\alpha}\in D_{\alpha} $,将有

$ \begin{eqnarray*} |x_{\sigma}-x_{\alpha}|\geq|x_{\sigma}|-|x_{\alpha}|\geq m_{\sigma}-M_{\alpha}>\frac{M_{\sigma}}{2}-\frac{M_{\sigma}}{4} = \frac{M_{\sigma}}{4}. \end{eqnarray*} $

故$ d(D_{\alpha}, D_{\sigma})\geq\frac{M_{\sigma}}{4} $,且

$ \begin{eqnarray*} M_{\sigma}^{s'}\|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0 \|h_{\alpha}\|_{0} \leq\frac{c(s')M_{\sigma}^{s'}\|a\|_{s'}}{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})^{s'-\frac{d+1}{2}}} \|h_{\alpha}\|_{0} \leq C(s')\|a\|_{s'}M_{\sigma}^{\frac{d+1}{2}}\|h_{\alpha}\|_{0}. \end{eqnarray*} $

现在,我们可以估计

$ \begin{eqnarray*} \|w_{\sigma}\|_{s'}&\leq & M_{\sigma}^{s'}\|w_{\sigma}\|_0\leq\frac{c(s')M_{\sigma}^{\tau}}{\gamma} \bigg(\sum\limits_{M_{\alpha}\geq\frac{M_{\sigma}}{4}}\frac{\|a\|_s\|h_{\alpha}\|_{s'}}{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\nu}} +\sum\limits_{M_{\alpha}<\frac{M_{\sigma}}{4}}M_{\sigma}^{s'} \|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}\|_0 \|h_{\alpha}\|_{0}\bigg) \\ & = &\frac{c(s')M_{\sigma}^{\tau}}{\gamma}\bigg(\frac{\|a\|_s\|h\|_{s'}}{M_{\sigma}^{\nu-\frac{d+1}{2}}}+ \|a\|_{s'}M_{\sigma}^{d+1}\|h\|_0\bigg). \end{eqnarray*} $

最后,有

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal D}^{-1}{\cal R}h\|_{s'} & = &\bigg(\sum\limits_{\sigma\in{\cal A}}\|w_{\sigma}\|_{s'}^2\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq&\frac{C(s')}{\gamma}\bigg[ \bigg(\sum\limits_{\sigma}\frac{1}{M_{\sigma}^{2\nu-2\tau-(d+1)}}\bigg)^{\frac{1}{2}}\|a\|_s\|h\|_{s'} +\bigg(\sum\limits_{\sigma}M_{\sigma}^{2\tau+2(d+1)}\bigg)^{\frac{1}{2}}\|a\|_s\|h\|_{0}\bigg]\\ &\leq&\frac{K(s')}{\gamma}\big(\|a\|_s\|h\|_{s'} +N^{\tau+\frac{3(d+1)}{2}}\|a\|_{s'}\|h\|_{0}\big), \end{eqnarray*} $

故引理得证.

引理3.8  对所有$ s'\geq s(d, \tau) $,存在$ c(s')>0 $使得对足够大的$ L_0 $有

$ \begin{eqnarray*} \|U^{-1}h\|_{s'}\leq \frac{K(s')N^{\mu}}{\gamma}\big(\|h\|_{s'}+c(s')\|a\|_{s'}\|h\|_{0}\big), \ \forall h\in H_B, \end{eqnarray*} $

其中$ \mu = 2\tau+\frac{3(d+1)}{2} $.

证  如果$ L_0 $足够大使得$ \|{\cal D}^{-1}{\cal R}\|_0\leq\frac{1}{2} $, $ I+{\cal D}^{-1}{\cal R} $可逆且$ \|(I+{\cal D}^{-1}{\cal R})^{-1}\|_0\leq 2 $.对$ h\in H_B $,设$ v = (I+{\cal D}^{-1}{\cal R})^{-1}h $,由于

$ \begin{eqnarray*} \|h\|_{s'}& = &\|(I+{\cal D}^{-1}{\cal R})v\|_{s'}\geq\|v\|_{s'}-\|{\cal D}^{-1}{\cal R}v\|_{s'}\\ &\geq&\|v\|_{s'}-\frac{K(s')}{\gamma}(\|v\|_{s'}\|a\|_s+\|a\|_{s'}\|v\|_0N^{\mu_0}), \end{eqnarray*} $

则

$ \begin{eqnarray*} (1-\frac{K(s')}{\gamma}\|a\|_s)\|v\|_{s'}\leq\|h\|_{s'}+\frac{K(s')}{\gamma}\|a\|_{s'}\|v\|_0N^{\mu_0}. \end{eqnarray*} $

如果$ L_0 $足够大使得$ (1-\frac{K(s')}{\gamma}\|a\|_{s})\leq\frac{1}{2} $,我们有

$ \begin{eqnarray*} \|v\|_{s'}\leq 2\|h\|_{s'}+c(s')\|a\|_{s'}\|h\|_0N^{\mu_0}. \end{eqnarray*} $

利用以上估计及引理3.6,引理得证.

命题3.3的证明可由引理3.2–3.8及

$ \begin{eqnarray*} \|a\|_{s'} = \|\partial F(t, x, u)\|_{s'}\leq C(s')\|u\|_{s'} \end{eqnarray*} $

得到.

接下来,我们将利用Nash-Moser迭代求解方程

$ L(\Omega)u-\Pi_{N_n}F(u) = 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(E_{n}) $

假设我们已经定义$ \tilde{u}_k\in C^1({\cal N}_0, H_{N_k}) $, $ 0\leq k\leq n $使得

$ \|\tilde{u}_k-\tilde{u}_{k-1}\|_{s}\leq KL_0^{-1}\gamma^{-1}N_k^{-\sigma-1}, \ \ \|\partial_{ \Omega}\tilde{u}_k-\partial_{\Omega}\tilde{u}_{k-1}\|_{s}\leq K\gamma^{-1}N_k^{-1}, $

$ B_k\leq(1+N_k^{\mu})B_{k-1}, \ \ B_k'\leq B_{k-1}'+K\gamma^{-1}N_k^{\mu}(N_k^{\sigma}B_k+L_0^{-1} B_{k-1}') , $

其中

$ B_n = 1+\|\tilde{u}\|_{s+\beta}, B_n' = 1+\|\partial_{\Omega}\tilde{u}_n\|_{s+\beta}, $

$ \beta = 2(\sigma+1+3\mu), \sigma = \mu+3. $

利用归纳法易得

$ \begin{eqnarray*} B_n\leq B_0\prod\limits_{i = 1}^n(1+N_i^{\mu})\leq KN_{n+1}^{\mu}, \ \ B_n'\leq K\gamma^{-1}N_{n+1}^{2\mu+\sigma}. \end{eqnarray*} $

对$ h\in H_{N_{n+1}} $,将方程$ (E_{n+1}) $重写为

$ \begin{eqnarray*} & &L(\Omega)(\tilde{u}_n+h)-\Pi_{N_{n+1}}(F(\tilde{u}_n+h))\\ & = &[L(\Omega)(\tilde{u}_n)- \Pi_{N_{n+1}}F(\tilde{u}_n)]+[L(\Omega)h- \Pi_{N_{n+1}}DF(\tilde{u}_n)h]\\ & &- \Pi_{N_{n+1}}[F(\tilde{u}_n+h)-F(\tilde{u}_n)-DF(\tilde{u}_n)h]\\ & = &a_n+L_{N_{n+1}}(\tilde{u}_n)h+R_n(h). \end{eqnarray*} $

递归定义

$ G_{n+1} = G_n\cap G_{N_{n+1}}(\widetilde{u}_{n}), \ \ \ \ G_0 = G. $

如果$ \Omega\in{\cal N}(G_n, \frac{1}{2}\gamma N_n^{-\sigma}) $,则$ \tilde{u}_n $为方程$ (E_n) $的解,由此导出

$ \begin{eqnarray*} a_n = L_{N_n}(\tilde{u}_n)- \Pi_{N_{n+1}}F(\tilde{u}_n) = - \Pi_{N_n}^{\bot}\Pi_{N_{n+1}}F(\tilde{u}_n)\in H^{(N_n)\bot}\cap H^{(N_{n+1})}. \end{eqnarray*} $

对$ \Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}) $, $ L_{N_{n+1}}(\Omega, \tilde{u}_n) $可逆且

$ \begin{eqnarray*} \|L_{N_{n+1}}^{-1}(\Omega, \tilde{u}_n)h\|_s\leq\frac{K}{\gamma}N_{n+1}^{\mu}\|h\|_s. \end{eqnarray*} $

设

$ {\cal F}_{n+1}:H_{N_{n+1}}\rightarrow H_{N_{n+1}}, $

$ {\cal F}_{n+1}(h) = -L_{N_{n+1}}^{-1}[a_n+R_n(h)], $

方程($ E_{N_{n+1}} $)的解为映射$ {\cal F}_{n+1} $的不动点.设$ {\cal B}_{n+1} = \{h\in H_{N_{n+1}}\big|\|h\|_{s}\leq\varepsilon_{n+1} = K_1\gamma^{-1}N_{n+1}^{-\sigma}\} $.对$ h\in H_{N_{n+1}} $,有

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal F}_{n+1}[h]\|_{s}&\leq&\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma}K ( \|a_n\|_{s}+\|R_n(h)\|_{s})\\ &\leq&\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma}K' (N_n^{-\beta} \|\Pi_{N_{n+1}}F(\tilde{u}_n)\|_{s+\beta}+\|h\|_{s}^2)\\ &\leq&\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma} K''(N_n^{-\beta} B_n+\varepsilon_{n+1}^2) \end{eqnarray*} $

对所有$ \Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}) $成立.根据$ \beta $的定义及$ B_n $的性质,当$ L_0 $足够大时,有

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal F}_{n+1}[h]\|_{s}\leq ( K_1\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma} N_n^{-\beta}N_{n+1}^{2\mu+\sigma}+\varepsilon_{n+1})\varepsilon_{n+1}\leq\varepsilon_{n+1}, \end{eqnarray*} $

故$ {\cal F}_{n+1}({\cal B}_{n+1})\subset{\cal B}_{n+1} $.

接下来证明$ {\cal F}_{n+1} $为压缩映射.由于

$ \begin{eqnarray*} D_h{\cal F}_{n+1}(h)[v] = -L_{N_{n+1}}^{-1}\Pi_{N{n+1}}(D_uF(\Omega, \tilde{u}_n+h)[v]-D_uF(\Omega, \tilde{u}_n)[v]), \end{eqnarray*} $

故

$ \begin{eqnarray*} \|D_h{\cal F}_{n+1}(h)[v]\|_{s}\leq\frac{K}{\gamma}N_{n+1}^{\mu}\|h\|_s\|v\|_{s} \leq\frac{K}{\gamma}N_{n+1}^{\mu}\varepsilon_{n+1}\|v\|_{s}\leq\frac{K}{\gamma} N_{n+1}^{-1}\|v\|_{s}\leq\frac{\|v\|_{s}}{2} \end{eqnarray*} $

对所有$ h\in{\cal B}_{n+1} $及足够大的$ L_0 $成立.因此$ {\cal F}_{n+1} $在$ {\cal B}_{n+1} $中为压缩映射.

对所有的$ \Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}) $,设$ h_{n+1} $为$ {\cal F}_{n+1} $的不动点并记$ u_{n+1} = u_n+h_{n+1} $.现在,我们将估计$ h_{n+1} $关于$ \Omega $的导数.

由于$ h_{n+1} $为

$ \begin{eqnarray*} E_{n+1}& = &L_{N_n}(\tilde{u}_n+h)- \Pi_{N_{n+1}}F(\tilde{u}_n+h) = L_{N_{n+1}}(\tilde{u}_n)(h-{\cal F}_{n+1}(h)) = 0 \end{eqnarray*} $

的解且$ \|D{\cal F}_{n+1}\|_s\leq\frac{1}{2} $,故$ D_hE_{n+1} $可逆.并且有

$ \begin{eqnarray*} \|(D_hE_{n+1})^{-1}\|_s\leq\|(I-D{\cal F}_{n+1})^{-1}L_{N_{n+1}}^{-1}\|_s\leq \frac{N_{n+1}}{\gamma}K. \end{eqnarray*} $

由隐函数定理有$ h_{n+1}\in {\cal C}^{1}({\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}), H_{N_{n+1}}) $且

$ \begin{eqnarray*} \partial_{\Omega}h_{n+1} = -(D_hE_{n+1})^{-1}\partial_{\Omega}E_{n+1}. \end{eqnarray*} $

利用$ \tilde{u}_n $对所有$ \Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}) $为$ (E_{N_n}) $的解的事实可得出

(4.1) $ \begin{eqnarray} \partial_{\Omega}E_{n+1}& = &2\Omega(h_{n+1})_{tt}+\Pi_{N_{n+1}}DF(\tilde{u}_n)\partial_{\Omega}\tilde{u}_n -\Pi_{N_{n+1}}DF(u_{n+1})\partial_{\Omega}\tilde{u}_n\\ & = &2\Omega(h_{n+1})_{tt}-\Pi_{N_{n+1}}[DF(\tilde{u}_n+h_{n+1}) -DF(u_{n})]\partial_{\Omega}\tilde{u}_n, \end{eqnarray} $

故

$ \|\partial_{\Omega}E_{n+1}\|_s\leq CL_0N_{n+1}\|h_{n+1}\|_s+C\|\tilde{u}\|_s\|h_{n+1}\|_s , $

因此有$ \|\partial_{\Omega}h_{n+1}\|_s\leq K\gamma^{-1}N_{n+1}^{-1} $.

对$ h_{n+1}\in {\cal C}^{1}({\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma})) $,接下来将利用截断函数将其扩充至整个$ {\cal N}_0 $上.

引理4.1  对足够大的$ L_0 $,存在$ h_{n+1} $的扩充$ \tilde{h}_{n+1}\in {\cal C}^{1}({\cal N}_0, H_{N_{n+1}}) $使得

$ \|\tilde{h}_{n+1}\|_s\leq K\gamma^{-1}N_{n+1}^{-\sigma-1}, \|\partial_{\Omega}\tilde{h}_{n+1}\|_s\leq K\gamma^{-1}N_{n+1}^{-1}. $

证  设$ \phi $为$ C^{\infty} $ -截断函数满足$ 0\leq\phi\leq 1 $,它在$ {\cal N}(G_{n+1}, \frac{\gamma}{2} N_{n+1}^{-\sigma}) $上取值为$ 1 $在$ {\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}) $外取值为$ 0 $.另外,它也满足$ |\partial_{\Omega}\phi|\leq C\gamma^{-1}N_{n+1}^{\sigma} $.定义

$ \begin{eqnarray*} \tilde{h}_{n+1} = \left\{ \begin{array}{ll} \phi(\Omega)h_{n+1}(\Omega), &\mbox{if }\Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}), \\ 0, \ \ \ \ &\mbox{if }\Omega\not\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}), \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

则$ \|\tilde{h}_{n+1}\|_s\leq\|h_{n+1}\|_s\leq KL_0^{-1}\gamma^{-1}N_{n+1}^{-\sigma-1} $且

$ \begin{eqnarray*} \|\partial_{\Omega}\tilde{h}_{n+1}\|_s\leq|\partial_{\Omega}\phi|\|h_{n+1}\|_s+ \|\partial_{\Omega}h_{n+1}\|_s\leq K'\gamma^{-1}N_{n+1}^{-1}. \end{eqnarray*} $

引理4.1得证.

定义$ \tilde{u}_{n+1} = \tilde{u}_n+\tilde{h}_{n+1} $,我们也有$ \|\tilde{u}_{n+1}\|_s\leq KL_0^{-1}\gamma^{-1} $以及$ \|\partial_{\Omega}\tilde{u}_{n+1}\|_s\leq K\gamma^{-1} $.

引理4.2  对足够大的$ L_0 $,有

$ \begin{eqnarray*} B_{n+1}\leq(1+N_{n+1}^{\mu})B_n \ \ \mbox{及}\ \ B_{n+1}'\leq B_n'+K\gamma^{-1}N_{n+1}^{\mu}(N_{n+1}^{\nu}B_n+L_0^{-1} B_n'). \end{eqnarray*} $

证  由定义, $ B_{n+1}\leq B_n+\|\widetilde{h}_{n+1}\|_{s+\beta}\leq B_n+\|h_{n+1}\|_{s+\beta} $.但

$ \begin{eqnarray*} \|h_{n+1}\|_{s+\beta}& = &\|-L_{N_{n+1}}^{-1}(u_n)(a_n+R_n(h_{n+1}))\|_{s+\beta}\\ &\leq & K\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma}(\|a_n\|_{s+\beta}+\|R_n(h_{n+1})\|_{s+\beta}+ \|u_n\|_{s+\beta}(\|a_n\|_{s}+\|R_n(h_{n+1})\|_{s})). \end{eqnarray*} $

由柔性估计,有

$ \begin{eqnarray*} \|a_{n}\|_{s+\beta}\leq \|F(u_n)\|_{s+\beta}\leq K(1+\|u_n\|_{s+\beta}) = KB_n. \end{eqnarray*} $

由于$ \|h_{n+1}\|_s\leq\varepsilon_{n+1} $再根据Taylor估计

$ \begin{eqnarray*} \|R_{n}(h_{n+1})\|_{s+\beta}&\leq& K(\|u_n\|_{s+\beta}\|h_{n+1}\|_s^2+\|h_{n+1}\|_s\|h_{n+1}\|_{s+\beta})\\ &\leq& K(B_n\varepsilon_{n+1}^2+\varepsilon_{n+1}\|h_{n+1}\|_{s+\beta}). \end{eqnarray*} $

由于$ \|a_n\|_s, \|R_n(h_{n+1})\|_s\leq KL_0^{-1} $与以上估计可得

$ \begin{eqnarray*} \|h_{n+1}\|_{s+\beta}&\leq& K'\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma}B_n+K'L_0^{-1}\frac{N_{n+1}^{\mu-\sigma-1}}{\gamma}\|h_{n+1}\|_{s+\beta}\\ &\leq& K'\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma}+\frac{1}{2}\|h_{n+1}\|_{s+\beta}. \end{eqnarray*} $

因此$ \|h_{n+1}\|_{s+\beta}\leq N_{n+1}^{\mu}B_n $,故不等式对$ B_n $成立.类似, $ B_{n+1}'\leq B_n'+\|\partial_{\Omega}\widetilde{h}_{n+1}\|_{s+\beta} $,故我们必须估计$ \|\partial_{\Omega}\tilde{h}_{n+1}\| $.利用(4.1)式,我们有

$ \begin{eqnarray*} \|\partial_{\Omega}h_{n+1}\|_{s+\beta} & = &\|-L_{N_{n+1}}^{-1}(\Omega, \tilde{u}_n)\partial_{\Omega}E_{n+1}\|\\ &\leq & K\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma}(\|\partial_{\Omega}E_{n+1}\|_{s+\beta} +\|\tilde{u}_n\|_{s+\beta}\|\partial_{\Omega}E_{n+1}\|_{s})\\ & \leq & K\frac{N_{n+1}^{\mu}}{\gamma}(CL_0N_{n+1}^2\|h_{n+1}\|_{s+\beta}+C\|h\|_{s+\beta}\\ &&+B_n(L_0N_{n+1}^2\|h_{n+1}\|_s+\|h_{n+1}\|_sB_n')), \end{eqnarray*} $

故

$ \begin{eqnarray*} \|\partial_{\Omega}\tilde{h}_{n+1}\|_{s+\beta} &\leq& |\partial_{\Omega}\phi|\|h_{n+1}\|_{s+\beta}+\|\partial_{\Omega}h_{n+1}\|_{s+\beta}\\ &\leq & C\frac{N_{n+1}^{\sigma}}{\gamma}N_{n+1}^{\mu}B_n+\|\partial_{\Omega}h_{n+1}\|_{s+\beta}\\ &\leq& K\gamma^{-1}N_{n+1}^{\mu}(N_{n+1}^{\nu}B_n+L_0^{-1} B_n') . \end{eqnarray*} $

由此导出$ B_N' $的估计.

引理4.3  设$ {\cal N} = \bigcap\limits_{n = 0^{\infty}}G_n $,则$ |G_{\infty}|\geq L_0-CL_0^{-1}\gamma $.

证  利用测度估计的标准方法,可得$ |G^C|\leq CL_0^{-1}\gamma $.由上述构造有$ \|\tilde{u}_n-\tilde{u}_{n-1}\|_s\leq N_n^{-\sigma} $,故

$ \begin{eqnarray*} \bigg|\bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}G_{N_{n+1}}^C(\tilde{u}_n)\bigg|& = &\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \big|G_{N_{n+1}}^C(\tilde{u}_n)\setminus G_{N_n}^C(\tilde{u}_{n-1})\big|+|G^C|\\ &\leq&\sum\limits_{n = 1}^{\infty}L_0^{-1}\gamma N_n^{-1}+|G^C|\leq C'L_0^{-1}\gamma. \end{eqnarray*} $

因此可得所需要的估计.

最后,对所有$ \Omega\in {\cal N} $定义

$ \begin{eqnarray*} \tilde{u} = \tilde{u}_0+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(\tilde{u}_n-\tilde{u}_{n-1}). \end{eqnarray*} $

在$ H^s $中,这一序列收敛至方程(1.2)的解且$ \|\tilde{u}\|_s\leq KL_0^{-1}\gamma^{-1} $, $ \|\partial_{\Omega}\tilde{u}\|_s\leq K\gamma^{-1} $.