在本文中,我们寻找半线性Klein-Gordon方程

的时间周期解,其中$m>0$为实数, $\Omega\in{\cal N}_0 = [2L_0, 3L_0]$为一个非常大的参数,非线性项$f(\Omega t, x, u)$关于时间为奇函数且为$\frac{2\pi}{\Omega}$ -周期,关于每个空间变量$x_i, \ i = 1, \cdots, d$,为$2\pi$ -周期.

由于Rabinowitz^[17]的开创性工作,寻找非线性偏微分方程的周期解吸引了广泛的注意. Rabinowitz的结果是利用整体变分法证明一维非线性波动方程的周期解的存在性.这一方向的其他结果还可以参考文献[10-11, 18].为了规避小除数问题,这些关于周期解的结果只涉及频率为有理数的情形.

在另一方向,文献[15, 19]首次考虑了一维非线性波动方程在一个正测度的频率集上周期与拟周期解的存在性,涉及的主要困难在于利用级数求解时出现小除数.他们利用KAM理论处理这一难点.在这方面,更灵活的方法为Craig-Wayne-Bourgain方法.这一方法由Craig与Wayne^[12]提出,由Bourgain^[7-9]改进.在这些文章中,非线性项一般都假设非常小且解析,并且周期解也是解析的.最近, Berti^[4]在假设非线性项只有有限阶可导的情形下在Sobolev空间中证明了周期解的存在性.另一方面, Fokam^[14]在去掉非线性项非常小的假设下证明了解析周期解的存在性.

设$s = \Omega t$,则方程可写成

将$s$仍记成$t$,我们将在Sobolev空间

中寻找方程

的时间$2\pi$ -周期解,其中$s\geq\frac{d+1}{2}$足够大.在这种情形, $H^s$关于函数的乘法为Banach代数且嵌入$H^s({\Bbb T}^{d+1})\hookrightarrow L^{\infty}({\Bbb T}^{d+1})$连续.

我们的主要结果为以下定理:

定理1.1  假设$\Omega\in{\cal N}_0 = [2L_0, \ 3L_0]$,其中$L_0$为一个非常大的常数,则存在子集${\cal N}\subset{\cal N}_0$, $k^*\in{\Bbb N}$使得$\forall f\in C^{k^*}({\Bbb T}\times{\Bbb R}^d\times{\Bbb R})$, $\forall\gamma\in(0, 1)$,存在映射

使得对所有的$\Omega\in{\cal N}$, $u(\Omega)$为(1.1)的解.集合${\cal N}_0-{\cal N}$的Lebesgue测度由$O(\gamma)$控制.另外, $u(\Omega)$关于时间为奇函数.

定理的证明将利用Nash-Moser迭代,主要困难在于估计线性算子的逆,这依赖于奇异点的分离性.所用的方法类似于Berti^[4],但在证明奇异点的分离性的过程中只需要一个Diophantine条件,其他条件可用$\Omega$足够大来代替.而且,非线性受力项非常小的假设也不需要,但得到的解仍是非常小的.

在证明主要定理前,先引进一些记号与假设.设

及

记

分别为到$H_{N_n}$与$H_{N_n}^{\bot}$上的投影.对这些投影,下述性质是显然的.

设$F:u\rightarrow f(t, x, u)$为Sobolev空间$H^s$上的复合算子,它满足以下性质:

(1) $F\in {C}^2(H^s, H^s)$.

(2) (柔性估计)对所有$s\leq s'\leq k$, $u, h\in H^{s'}$与$\|u\|_s\leq 1$,有

(3) (Taylor柔性估计) $\forall u, h\in H^{s'}$且$\|u\|_{s}\leq 1$与$\|h\|_{s}\leq 1$,

特别地,对$s = s'$,有

(4) $\|\partial_uf(t, x, u)\|_s\leq C(s)\|u\|_s$.

对参数$\Omega$,假设它满足Diophantine条件

其中$\gamma\in(0, 1)$,记

设

则方程(1.2)可写成

接下来,利用Nash-Moser迭代求解方程

对$j\in{\Bbb Z}^d$,设$\lambda_j = |j|^2+m$,算子$L(\Omega)$的特征值为$k^2\Omega^2-\lambda_j$.由于$u$关于时间为奇函数,当$\Omega\in[2L_0, \ 3L_0]$及$(k, j)\in B_0$, $k = 0$的项在讨论中无关,故当$k\ne 0$, $(k, j)\in B_0$时

显然,方程

的解是映射${\cal F}_0(u) = L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}F(u)$的不动点.由于

如果令${\cal B}_0 = \{u\in H_{N_0}:\|u\|_s\leq\frac{1}{L_0^{1.5}}\}$,则对$u\in{\cal B}_0$有

故当$L_0$足够大时

接下来证明${\cal F}_0$是压缩映射.由于$\partial_u{\cal F}_0(u)h = L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}\partial_uF(u)h$,故

且当$L_0$足够大时${\cal F}_0$是压缩映射.因此${\cal F}_0$有唯一的不动点,记为$u_0$.为了以后的用处,我们还需要估计$\partial_{\Omega}u_0$.记

则

根据上述计算有$\|L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}\partial_uF(u_0)\|\leq\frac{1}{2}$及

由隐函数定理有$u_0\in C^1(A_0, H_{N_0})$.

对方程

两边关于$\Omega$求导得

则

对$s'>s$,由$u_0 = L(\Omega)^{-1}\Pi_{N_0}F(u_0)$有

故

类似有$\|\partial_{\Omega}u_0\|_{s'}\leq\frac{C}{L_0^2}$.

由于$0$可能是线性算子$L(\Omega)$的特征值的极限值,显然当$N_n$趋于无穷大时上述方法不能再用,故必须利用其它办法估计线性算子的逆.

设$A$为${\Bbb Z}^{d+1}$有限对称(即$-A = A$)子集,定义$H^s$的有限维子空间$H_A$为

定义$\Pi_A$为在$H_A$上的$L^2$ -正交投影,即

显然$\Pi_A$也是$H_A$上的$H^s$ -正交投影.利用这些记号,定义$H_{D_N}$上的线性算子$L_N$为

其中

$Th = \Pi_N(ah)$, $a = \partial_uf(t, x, u)$.关于$H_{D_N}$的$L^2$ -规范正交基$\{{\rm e}^{{\rm i}(kt+j\cdot x)}\}_{(k, j)\in D_N}$, $L(\Omega)$可表示成一个对角矩阵,特征值为

对$x = (k, j)\in {\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^d$,如果对某个固定常数$d_s$有

则称$x = (k, j)$为坏点.将(3.1)式写成

则有

如果$|j|\leq L_0$及$L_0\geq m$,则

且当$x$为坏点时,由$\Omega_{\min}\geq 2L_0$可得$k = 0$.由于$u$关于时间为奇函数故模态$k = 0$无关,因此在$B_0$中没有坏点.对$|j|\geq L_0$,为证坏点的分离性,考虑双线性映射$\varphi_{\Omega}:{\Bbb R}^{d+1}\times{\Bbb R}^{d+1}\rightarrow{\Bbb R}$其定义为

对应的二次型为

如果$|Q_{\Omega}|\leq d_s+m$,我们称整向量$x = (k, j)\in{\Bbb Z}\times{\Bbb Z}^{d}$为弱坏的.

定义3.1 一列互不相同的弱坏的整向量$x_0, \cdots, x_K\in{\Bbb Z}^{d+1}$称为长度为$K$的$B$ -链,如果对某个整数$B\geq 2$有$|x_{k+1}-x_k|\leq B, \ \forall k = 0, \cdots, K-1$.

对一个$B$ -链的长度,文献[4]证明了如下结果:

引理3.1 假设$\Omega$满足条件(2.1),则$B$ -链的长度$K\leq\frac{B^C}{\gamma^r}$,其中常数$C = C(d)>0,$$r = r(d)>0$仅依赖于$d$.

根据这些引理,有以下关于坏点的分离结果:

命题3.1 假设$\Omega$满足条件(2.1), $\forall\gamma\in(0, 1)$.如果$d_s\leq d_s(\gamma) = \frac{\gamma^{3r(d)+1}}{8}$,则存在坏点的划分

使得

(H1)令$M_{\alpha} = \mathop {\max }\limits_{x \in {D_\alpha }} |x|$, $m_{\alpha} = \mathop {\min }\limits_{x \in {D_\alpha }} |x|$,则对任意$\alpha\in{\cal A}$,有$M_{\alpha}\leq 2m_{\alpha}$.

(H2) (分离性)存在$\delta = \delta(d)\in(0, 1)$,使得$d(D_{\alpha}, D_{\sigma}) = \min\limits_{x\in D_{\alpha}, x'\in D_{\sigma}}|x-x'|\geq \frac{(M_{\alpha}+M_{\sigma})^{\delta}}{2}$, $\forall\alpha\neq\sigma$.

证  给定$\delta>0$,称两个整向量$x, y\in S$等价,如果存在$x_l\in S, \ l = 0, 1, \cdots, n$,使得$x_0 = x, x_n = y$且$|x_{l+1}-x_l|\leq(|x_l|+|x_{l+1}|)^{\delta}, \ \forall l$.

设$\delta = \delta(d) = \frac{1}{2(C(d)+1)}$,集合$S$可分解成互不相交的等价类$D_{\alpha}, \ \alpha\in{\cal A}$.首先证明(H1).选取$z_{\alpha}\in D_{\alpha}$使得$|z_{\alpha}| = \mathop {\max }\limits_{z \in {D_\alpha }} |z| = M_{\alpha}$.每个$x\in D_{\alpha}$有一个$B$ -链连接到$z_{\alpha}$,其中$B = (2M_{\alpha})^{\delta}$.由引理3.1,这个$B$ -链至多有$\frac{B^C}{\gamma^r}$个元素.因此, $\forall x\in D_{\alpha}$,有

只要$M_{\alpha}\geq\frac{8}{\gamma^{2r}}$.由于在$B_0$中没有坏点,只要$L_0$足够大, $M_{\alpha}\geq\frac{8}{\gamma^{2r}}$成立.故对$D_{\alpha}$, (H1)成立.

为证(H2),考虑$x_{\alpha}\in D_{\alpha}, \ x_{\sigma}\in D_{\sigma}$使得$d(D_{\alpha}, \ D_{\sigma}) = |x_{\alpha}-x_{\sigma}|$.由于$x_{\sigma}\not\in D_{\alpha}$,故

即(H2)成立.

命题3.2  设$d_s$如同命题3.1所定义,对所有$\Omega\in{\cal N}(G, \gamma N^{-\sigma})$, $N\geq N_0, \ \sigma\geq 3$,存在坏点集合的一个划分

满足命题3.1的(H1)与(H2).

证  对$\Omega\in G$,存在一个划分

满足命题3.1的(H1)与(H2).如果$N\geq L_0$使得$\frac{\gamma}{N^{\sigma}}\leq\frac{d_s}{10L_0N^2}$,则对$|\Omega-\Omega'|\leq\frac{\gamma}{N^{\sigma}}$,有$S\subset S'$.因此,对$D_{\alpha} = D_{\alpha}'\cap S$, $S = \bigcup\limits_{\alpha\in{\cal A}}D_{\alpha}$满足(H1)与(H2).

利用$S$的分离划分,可以证明与Berti^[4]中类似的性质.不同的是,在这里不需要假设$f(\Omega t, x, u)$非常小,只要假设$\|u\|_s\leq\frac{1}{L_0}$非常小.

命题3.3  给定$\tau>0$,存在$\mu = \mu(d), s = s(d)$使得$\forall\gamma\in(0, 1)$, $\forall k-1\geq s'\geq s$,对$L_0$足够大, $\forall N, \forall u\in C^1([2L_0, 3L_0], H_N)$且$\|u\|_s\leq\frac{1}{L_0}$,存在集合$G_N(u)\subset[2L_0, 3L_0]$且如果$\Omega\in G_N(u)$与$\forall K\leq N$, $L_K(\Omega)$的所有特征值的模大于$\frac{\gamma}{K^{\tau}}$,则对所有$h\in H_{D_N}$,有

对集合$G_N(u)$,我们有以下测度估计

对$\sigma, \tau\geq d+3, \ N'>N$及$u_1\in H^{(N)}, u_2\in H^{(N')}$满足$\|u_2-u_1\|_s\leq N^{-\sigma}$成立.

为证明命题3.3,需要求解线性系统

作区域划分$D_N = G\cup B$,其中$B$为坏点集合而$G = D_N\setminus B$为好点集.利用这一划分可得如下分解

设$h = h_g+h_b, \ k = k_g+k_b$其中$h_g, k_g\in H_G, \ h_b, k_b\in H_B$,可将系统写成等价形式

为证$L_G^G = D_G+T_G$的可逆性,其中$D_G = [L(\Omega)]_G^G = D_G^G, \ T_G = T_G^G$为简写,在本文以后部分我们将假设$\|a\|_s = O(L_0^{-1})$.注意到

故有

且$\|(L_G^G)^{-1}\|_s\leq\frac{2}{d_s}$对足够大的$L_0$成立.类似有$\|(L_G^G)^{-1}\|_0\leq\frac{2}{d_s}$.

现在,我们先求解(3.5)式的第一个方程

然后代入第二个方程得

因此我们需要估计算子

的逆.根据分解$H_B = \oplus_{\alpha\in{\cal A} }H_{D_{\alpha}}$,可将算子$U$写成

利用这些记号,可得

为估计$U$的逆,需要以下的一些准备.

引理3.2  (1)对所有$\forall A, B\subset D_N$, $\forall s'\geq s$,

(2)设$U\in{\cal L}(H_G, \ H_G)$使得,对某个$\kappa>0$, $\forall A, \ B\subset R\cap[0, N]$,有

则, $\forall p\geq 1$, $\forall A, B\subset R$,有

证明见文献[4].

引理3.3  对所有$\forall A, B\in G$且$A\cap B = \emptyset$,则当$L_0$足够大时有

证  根据Neumann级数展开式

以及$A\cap B = \emptyset$,可得

其中$U = D_G^{-1}T_G$.由于$\|D_G^{-1}\|_0\leq d_s^{-1}$,因此

由引理3.2,有

其中$\kappa = s'-\frac{d+1}{2}$.根据引理3.2,有

利用$\|U\|_0 = \|D_G^{-1}M_G\|_0\leq\frac{1}{d_s}\|a\|_s$.由这些不等式,可得

由于$\|a\|_s = O(L_0^{-1})$,可以选取$L_0$足够大使得$\|a\|_sd_s^{-1}\leq\frac{1}{2}$.故引理得证.

引理3.4  对任意$\alpha\neq\sigma$及$\forall s'\geq s$,有

证  $L_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}} = T_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}$满足估计.为估计$L_{D_{\sigma}}^G(L_G^G)^{-1}L_G^{D_{\alpha}}$,利用分解$G = G_1\cup G_2\cup G_3$,其中

因此我们有分解$H_G = H_{G_1}\oplus H_{G_2}\oplus H_{G_3}$故

为得到以上方程右边每一项的界,分三种情形讨论.

(1) $j\geq 2$.此时$d(G_j, D_{\sigma})\geq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3}$.由引理3.2及$L_{G_j}^{D_{\sigma}} = T_{G_j}^{D_{\sigma}}$,有

由于$\|L_{D_{\alpha}}^{G_i}\|_0 = \|a\|_s$,我们有

(2) $j = 1, \ i = 1, \ 2$.现在$d(G_i, D_{\alpha})\geq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3}$,因此可以像前一种情形处理.

(3) $j = 1, \ i = 3$.此时$d(G_1, G_3)\geq\frac{d(D_{\alpha}, D_{\sigma})}{3}$,由引理3.3,有

再一次利用$\|L_{D_{\alpha}}^{G_i}\|\leq\|a\|_s$可得估计.

引理3.5  设$D_{\alpha}\subset B$.利用命题3.3的假设,当$L_0$足够大时, $U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}}$可逆且$\|(U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}})^{-1}\|_0\leq C\frac{M_{\alpha}^{\tau}}{\gamma}$.

证  只需要证明

对所有$w\in H_{D_{\alpha}}\subset H_{B}$,我们有

其中$h = w-(L_G)^{-1}L_G^Bw$.由引理3.2,有

其中$\nu = \delta(s-\frac{d+1}{2})$.对每个$x\in D_{\sigma}\subset S$,定义$M(x) = M_{\sigma}$与$N(x) = |D_{\sigma}|$,则

因为$N(x)\geq 1$及$M(x)\geq|x|$,对$\nu>d+1$,有

且$\sum\limits_{\sigma\neq \alpha}\|U_{D_{\sigma}}^{D_{\alpha}}w\|\leq\|a\|_sC(s)M_{\alpha}^{d+1-\nu}\|w\|_0$.

接下来估计$\|L_Nh\|_0$的下界.作分解$h = h'+h''$其中$h' = P_{D_K}h, \ h'' = (I-P_{D_K})h$且$K = 2M_{\alpha}$.根据$L_K$的特征值的假设,可得

其中$D_K^C = D_N-D_K$.另外,由于$h = w-(L_G^G)^{-1}L_G^Bw$及$w\in H_{D_{\alpha}}\subset H_{K}$,故

由于$d(D_{\alpha}, G\cap K')\geq M_{\alpha}$,类似于引理3.4的证明可得

另外,由$w\in H_{D_{\alpha}}$与$h'-w = -P_{D_{2M_{\alpha}}}(L_G^G)^{-1}L_G^Bw\in H_G$,可以得到$\|h'\|_0 = (\|h'-w\|_0^2+\|w\|_0^2)^{\frac{1}{2}}\geq\|w\|_0$,故

由于$s>\tau+\frac{d+1}{2}$,可取$L_0$足够大以保证$1-\frac{C'\|a\|_s^2}{\gamma d_s M_{\alpha}^{s-\tau-\frac{d+1}{2}}}\geq\frac{1}{2}$与

注意到$\nu>d+1+\tau$,当$L_0$足够大时可得$\|L_Nh\|_0\geq 2^{-\tau-1}\gamma M_{\alpha}^{-\tau}\|w\|_0$.

现在已知算子${\cal D} = \mbox{diag}_{\alpha\in{\cal A}}(U_{D_{\alpha}}^{D_{\alpha}})$可逆,记

则需要估计$\|{\cal D}^{-1}{\cal R}\|$.

引理3.6  对$s'>0$,我们有$\|{\cal D}^{-1}h\|_{s'}\leq K(s')\frac{N^{\tau}\|h\|_{s'}}{\gamma}, \ \forall h\in H_{D_{\alpha}}$.

引理3.6的证明完全类似于文献[4].

引理3.7  假设$s>\frac{d+1}{2}+\frac{d+1}{\delta}+1$,则有

对$s'\geq\frac{d+1}{2}+\frac{d+1}{\delta}+1$,令$\mu_0 = \tau+\frac{3(d+1)}{2}$,则有估计

证  设$h = \sum\limits_{\alpha\in{\cal A}}h_{\alpha}$,我们有

及

对$\nu = \delta(s-\frac{d+1}{2})$,估计

因此

现在证明引理的第二个估计.

对(I),由于$M_{\alpha}\geq\frac{M_{\sigma}}{4}$,我们有

如果$M_{\alpha}<\frac{M_{\sigma}}{4}$,对任意$x_{\sigma}\in D_{\sigma}$与$x_{\alpha}\in D_{\alpha}$,将有

故$d(D_{\alpha}, D_{\sigma})\geq\frac{M_{\sigma}}{4}$,且

现在,我们可以估计

最后,有

故引理得证.

引理3.8  对所有$s'\geq s(d, \tau)$,存在$c(s')>0$使得对足够大的$L_0$有

其中$\mu = 2\tau+\frac{3(d+1)}{2}$.

证  如果$L_0$足够大使得$\|{\cal D}^{-1}{\cal R}\|_0\leq\frac{1}{2}$, $I+{\cal D}^{-1}{\cal R}$可逆且$\|(I+{\cal D}^{-1}{\cal R})^{-1}\|_0\leq 2$.对$h\in H_B$,设$v = (I+{\cal D}^{-1}{\cal R})^{-1}h$,由于

则

如果$L_0$足够大使得$(1-\frac{K(s')}{\gamma}\|a\|_{s})\leq\frac{1}{2}$,我们有

利用以上估计及引理3.6,引理得证.

命题3.3的证明可由引理3.2–3.8及

得到.

接下来,我们将利用Nash-Moser迭代求解方程

假设我们已经定义$\tilde{u}_k\in C^1({\cal N}_0, H_{N_k})$, $0\leq k\leq n$使得

其中

利用归纳法易得

对$h\in H_{N_{n+1}}$,将方程$(E_{n+1})$重写为

递归定义

如果$\Omega\in{\cal N}(G_n, \frac{1}{2}\gamma N_n^{-\sigma})$,则$\tilde{u}_n$为方程$(E_n)$的解,由此导出

对$\Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma})$, $L_{N_{n+1}}(\Omega, \tilde{u}_n)$可逆且

设

方程($E_{N_{n+1}}$)的解为映射${\cal F}_{n+1}$的不动点.设${\cal B}_{n+1} = \{h\in H_{N_{n+1}}\big|\|h\|_{s}\leq\varepsilon_{n+1} = K_1\gamma^{-1}N_{n+1}^{-\sigma}\}$.对$h\in H_{N_{n+1}}$,有

对所有$\Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma})$成立.根据$\beta$的定义及$B_n$的性质,当$L_0$足够大时,有

故${\cal F}_{n+1}({\cal B}_{n+1})\subset{\cal B}_{n+1}$.

接下来证明${\cal F}_{n+1}$为压缩映射.由于

故

对所有$h\in{\cal B}_{n+1}$及足够大的$L_0$成立.因此${\cal F}_{n+1}$在${\cal B}_{n+1}$中为压缩映射.

对所有的$\Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma})$,设$h_{n+1}$为${\cal F}_{n+1}$的不动点并记$u_{n+1} = u_n+h_{n+1}$.现在,我们将估计$h_{n+1}$关于$\Omega$的导数.

由于$h_{n+1}$为

的解且$\|D{\cal F}_{n+1}\|_s\leq\frac{1}{2}$,故$D_hE_{n+1}$可逆.并且有

由隐函数定理有$h_{n+1}\in {\cal C}^{1}({\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}), H_{N_{n+1}})$且

利用$\tilde{u}_n$对所有$\Omega\in{\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma})$为$(E_{N_n})$的解的事实可得出

故

因此有$\|\partial_{\Omega}h_{n+1}\|_s\leq K\gamma^{-1}N_{n+1}^{-1}$.

对$h_{n+1}\in {\cal C}^{1}({\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma}))$,接下来将利用截断函数将其扩充至整个${\cal N}_0$上.

引理4.1  对足够大的$L_0$,存在$h_{n+1}$的扩充$\tilde{h}_{n+1}\in {\cal C}^{1}({\cal N}_0, H_{N_{n+1}})$使得

证  设$\phi$为$C^{\infty}$ -截断函数满足$0\leq\phi\leq 1$,它在${\cal N}(G_{n+1}, \frac{\gamma}{2} N_{n+1}^{-\sigma})$上取值为$1$在${\cal N}(G_{n+1}, \gamma N_{n+1}^{-\sigma})$外取值为$0$.另外,它也满足$|\partial_{\Omega}\phi|\leq C\gamma^{-1}N_{n+1}^{\sigma}$.定义

则$\|\tilde{h}_{n+1}\|_s\leq\|h_{n+1}\|_s\leq KL_0^{-1}\gamma^{-1}N_{n+1}^{-\sigma-1}$且

引理4.1得证.

定义$\tilde{u}_{n+1} = \tilde{u}_n+\tilde{h}_{n+1}$,我们也有$\|\tilde{u}_{n+1}\|_s\leq KL_0^{-1}\gamma^{-1}$以及$\|\partial_{\Omega}\tilde{u}_{n+1}\|_s\leq K\gamma^{-1}$.

引理4.2  对足够大的$L_0$,有

证  由定义, $B_{n+1}\leq B_n+\|\widetilde{h}_{n+1}\|_{s+\beta}\leq B_n+\|h_{n+1}\|_{s+\beta}$.但

由柔性估计,有

由于$\|h_{n+1}\|_s\leq\varepsilon_{n+1}$再根据Taylor估计

由于$\|a_n\|_s, \|R_n(h_{n+1})\|_s\leq KL_0^{-1}$与以上估计可得

因此$\|h_{n+1}\|_{s+\beta}\leq N_{n+1}^{\mu}B_n$,故不等式对$B_n$成立.类似, $B_{n+1}'\leq B_n'+\|\partial_{\Omega}\widetilde{h}_{n+1}\|_{s+\beta}$,故我们必须估计$\|\partial_{\Omega}\tilde{h}_{n+1}\|$.利用(4.1)式,我们有

故

由此导出$B_N'$的估计.

引理4.3  设${\cal N} = \bigcap\limits_{n = 0^{\infty}}G_n$,则$|G_{\infty}|\geq L_0-CL_0^{-1}\gamma$.

证  利用测度估计的标准方法,可得$|G^C|\leq CL_0^{-1}\gamma$.由上述构造有$\|\tilde{u}_n-\tilde{u}_{n-1}\|_s\leq N_n^{-\sigma}$,故

因此可得所需要的估计.

最后,对所有$\Omega\in {\cal N}$定义

在$H^s$中,这一序列收敛至方程(1.2)的解且$\|\tilde{u}\|_s\leq KL_0^{-1}\gamma^{-1}$, $\|\partial_{\Omega}\tilde{u}\|_s\leq K\gamma^{-1}$.