Landau-Lifschitz-Gilbert (LLG)方程^[12]描述了铁磁材料的长波自旋运动.它是磁性材料学中的一个重要方程,在材料学中的地位有如Navier-Stokes方程在流体力学中一样.在最简单的情况下,能量泛函仅由交换能量组成,该情形下的LLG方程可以写成(此时,假定$\alpha \in [0, 1]$, $\alpha^2+\beta^2=1$,并做时间缩放)

(1.1) $\begin{equation} \label{eq1. 1a} \frac{\partial}{\partial t} S= \alpha S {\times} \Delta S -\beta S {\times} \left( S {\times} \Delta S \right), \end{equation}$

其中$S=(S_1, S_2, S_3) \in {\Bbb S}^2 \hookrightarrow \mathbb{R}^3$, $\times$表示向量的叉积.

带系数$\alpha$和$\beta$的项分别表示交换作用和Gilbert阻尼.事实上, LLG方程是材料学中两个著名方程的混合体. $\beta=0$和$\alpha=0$两类极端情形的系数下, LLG方程分别退化为薛定谔映射方程和调和映照热流.调和映照热流可以看做不可压缩液晶流中的演化方程的一种极端特例,刻画了液晶体在无穷长度柱体中的状态.另外,薛定谔映射是LLG方程中的最简单和最重要的组成部分.从一个逼近的视角来审视该方程,它是著名的离散的Heisenberg链的连续极限.该离散方程的哈密顿量为

$H=-K\sum\limits_{i, j}S_{i, j}\cdot(S_{i+1, j}+S_{i, j+1}), $

其中耦合常数$K>0$,向量$S_{i, j}$表示离散格点$(i, j)$上的自旋量.

关于薛定谔映射方程,有着大量的研究结果.简单起见,这里仅仅给出一些全局存在和爆破解方面的标志性的结果.小初值对于该方程往往意味着存在着关于时间的全局轴对称解甚至一般欧式坐标下的解^{[2, 4]}.考虑到该映照方程是带导数的拟线性方程,读者可参考对比薛定谔方程的一些研究结果^[14-15]以区别两者的异同.然而,一些特殊的大初值却包含着解在有限时间爆破^{[17-18, 22]}的可能性.一般而言,能量不等式和抛物单调性不等式是研究薛定谔映射弱解正则性的先决条件.然而,对于空间维数为2的临界情形,我们却缺乏单调性的能量估计式.基于摄动方法和谱分解技术, Merle, Raphaël和Radnianski^[17]首先证明了薛定谔映射方程的等变解将在拓扑度为1的情形下发生有限时间爆破. Perelman^[18]也证明了该系统的解在拓扑度为1时将会爆破,并产生一个不同于文献[17]所给出的爆破速率.关于如何精确求解薛定谔映射和其类似方程方面的问题,我们建议读者参考文章^{[8, 23-24]}以了解更多细节.

相比薛定谔映照方程, LLG方程的研究成果较为薄弱.同样地,在下面的介绍中我们给出了该方程全局适定性和有限时间奇异性的一些具有代表性的结果.我们建议读者参考文献[1, 11, 13, 16]以了解各种空间中LLG方程解的全局适定性.特殊的初始条件可能导致方程的解在有限时间内空间的梯度模趋于无穷.在3或4维的空间中,丁时进和王长友^[6]最先证明了LLG方程的解可以在特殊同伦类的初始值下演化出爆破.当空间维数为2时,摄动分析方法预测方程(1.1)的等变解将在扑度为1的情形下演化出有限时间爆破^[20]. LLG方程很难精确求解.目前为止,我们尚未在文献中看到有精确解被求解出来. Gutiérrez和de Laire研究了1维LLG方程的自相似解^[7]并获得了解的约束常微分方程.此外, Salazar与Pérez Alcazar构造了修正型的LLG方程的解^[19].

LLG方程在不同的目标空间下可以表示为不同的形式.在3维欧式空间$\mathbb{R}^3$中,若将叉积$\times$替换成3维闵可夫斯基空间$\mathbb{R}^{2+1}$中的叉积$\dot{\times}$ ($\vec{a} \dot{\times} \vec{b}= (\vec{a} \times \vec{b})$diag$\{1, 1, -1\}$), LLG方程(1.1)将变成一相似的方程

(1.2) $ \begin{equation} \label{eq1. 1b} \frac{\partial}{\partial t} S = \alpha S \dot{\times} \Delta S -\beta S \dot{\times} \left( S \dot{\times} \Delta S \right), \end{equation}$

其中$S=(S_1, S_2, S_3) \in {\Bbb H}^2 \hookrightarrow \mathbb{R}^{2+1}$, $|S|^2=S_1^2+S_2^2-S_3^2=-1, S_3>0$, $\alpha$和$\beta$类似于方程(1.1)中的系数成立约束关系式$\alpha^2+\beta^2=1$.

注意到假如$|S|=1$,我们有

$\vec{a} \dot{\times} (\vec{b} \dot{\times}\vec{c})=(\vec{a} \ast \vec{c})\vec{b}-(\vec{a} \ast\vec{b})\vec{c}, $

其中$\ast$是伪内积,即$(a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) =c_1c_2-a_1 a_2-b_1b_2$.

显然,成立如下关系

$-S \dot{\times} (S \dot{\times} \DeltaS)= \Delta S +|\nabla S|^2S = \Delta S - ( S \ast \Delta S ) S.$

因此,双曲LLG方程(1.2)可以被视为(1.1)在双曲空间中的对偶方程.我们也可以类似地将双曲情形看作是双曲空间${\Bbb H}^2$中的薛定谔映射方程和调和映射热流的混合物.与${\Bbb S}^2$中的薛定谔映射方程和LLG方程相比,双曲型方程的适定性结果很有限.在空间维度为2的情形下, Bejenaru、Ionescu、Kenig和Tataru^[3]证明了${\mathbb H}^2$中的等变解的全局存在性和散射性.关于双曲型方程爆破解的一些细节,我们建议读者参考首次给出精确解构造的文章^[5].此外,在文献[25-26]中可以找到双曲薛定谔映射(及其非均质双曲情形)奇异性问题更多精确解方面的内容.虽然双曲型LLG方程(或薛定谔映射方程)的适定性和正则性方面的结果非常少见,但我们预期某些${\Bbb S}^2$中的结果可以推广到双曲型目标流型中去.

本文内容组织如下:第2节中,在柱对称坐标下得到了双曲空间上LLG方程的一等价方程.在第3节中证明了小初始值解的整体存在性.在第4节,我们构造了一个精确的小初值解.在第5节中,我们给出了LLG方程的自相似爆破解.

为了找到LLG方程的解,一种有效的方法是使用Hasimoto变换将原始方程变换为易于研究的非线性复方程（通常为非线性薛定谔方程）.这种变换是微分几何学中一个著名的变换,它涉及到$S$的曲率和挠率.此外, Hasimoto变换一般是在${\Bbb S}^2$目标中使用.然而, $S$同样可以被映射到双曲空间上,此时,我们有如下的曲率和挠率

(2.1) $ \begin{equation} \label{eq2. 1}\kappa=\left( | S_r \ast S_r | \right)^\frac{1}{2}, \quad \tau=\frac{S \ast (S_r \dot{\times} S_{rr})}{\kappa ^2}. \end{equation} $

如果我们将磁密度向量$S$投影到单位切向量$e_1$,那么约束方程$e_1$可表示为

$\frac{\partial}{\partial t} e_1 - \alpha e_1 \dot{\times} \Delta e_1 + \beta e_1 \dot{\times} ( e_1\dot{\times} \Delta e_1 )=0,$

或等价地表示为

(2.2) $\begin{equation} \label{eq2. 3} \frac{\partial}{\partial t} e_1 - \alpha e_1 \dot{\times} \Delta e_1 - \beta [ \Delta e_1 - ( e_1 \ast \Delta e_1 ) e_1 ] =0, \end{equation}$

其中

$\Delta e_1 = e_{1rr}+\frac{n-1}{r} e_{1r}.$

在双曲空间中,正交基成立如下关系

(2.3) $\begin{equation}\label{eq2. 4}\left( {{\begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{array} }} \right)=\left( {{\begin{array}{c} - e_2 \dot{\times} e_3\\ e_3 \dot{\times} e_1\\ e_1 \dot{\times} e_2 \end{array} }} \right).\end{equation}$

正交基的空间方向导数可以由Frenet公式表示如下

(2.4) $\begin{equation}\label{eq2. 5}e_{ir}= \Phi \dot{\times} e_i, \quad i=1, 2, 3, \end{equation}$

其中$\Phi=\tau e_1 + \kappa e_3$.

同时,正交基的时间方向导数为

(2.5) $\begin{equation}\label{eq2. 6}e_{it}= e_i \dot{\times} \Psi, \quad i=1, 2, 3, \end{equation}$

其中$\Psi=\omega_1 e_1 + \omega_2 e_2 + \omega_3 e_3$.

利用(2.4)-(2.5)式和如下相容性条件

$\frac{\partial}{\partial t \partial r } \left( {{\begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{array} }} \right)=\frac{\partial}{\partial r \partial t } \left( {{\begin{array}{c} e_1 \\ e_2\\ e_3 \end{array} }} \right), $

我们得到

(2.6) $\begin{equation}\label{eq2. 7} \kappa_{{t}}=-\tau \omega_{{2}}-\omega_{{3 r}}, \end{equation}$

(2.7) $\begin{equation}\label{eq2. 8} \tau_{{t}}=-\omega_{{2}}\kappa-\omega_{{1 r}}\end{equation}$

和

(2.8) $\begin{equation}\label{eq2. 9} \omega_{{1}}={\frac {\tau \omega_{{3}}}{\kappa}}-{\frac {\omega_{{2 r}}}{\kappa}}.\end{equation}$

由(2.2)-(2.5)式,我们有

(2.9) $\begin{equation} \label{eq2. 10} \omega_2 = \alpha\left[\kappa_{{r}}+{\frac {(n-1)\kappa}{r}}\right] + \beta \kappa \tau \end{equation}$

和

(2.10) $\begin{equation} \label{eq2. 11}\omega_3 = \alpha \kappa \tau - \beta \left[\kappa_{{r}} + {\frac {(n-1)\kappa}{r}} \right]. \end{equation}$

将(2.9)-(2.10)式代入(2.8)式,我们得到

(2.11) $ \begin{equation} \label{eq2. 12} \omega_1 = \alpha \left[ {\tau}^{2}-{\frac {\kappa_{{{\it rr}}}}{\kappa}}+{\frac {n-1}{{r}^{2}}}- {\frac {(n-1)\kappa_{{r}}}{\kappa r}} \right] - \beta \left[ {\frac {2 \kappa_{{r}}\tau}{\kappa}}+{\frac {(n-1)\tau }{r}}+\tau_{{r}} \right] . \end{equation}$

类似于文献[7],我们在下文将使用广义的Hasimoto变换(区别于文献[7, 9]中的变换)

(2.12) $ \begin{equation} \label{eq2. 16}Q = \frac{\kappa}{2} \exp \left[{\rm i} \int \tau (t, \tilde{r}) {\rm d} \tilde{r} \right]. \end{equation}$

对(2.12)式关于时间方向求导,我们得到

(2.13) $\begin{equation}\label{eq2. 17}Q_t = \frac{1}{2} ( \kappa_{{t}}{{\rm e}^{{\rm i}\int \tau {\rm d} \tilde{r}}}+{\rm i} \kappa \int \tau_{{t}} {\rm d} \tilde{r} {{\rm e}^{ {\rm i}\int \tau {\rm d} \tilde{r}}}).\end{equation}$

假设$\kappa$和$\tau$分别为虚函数和实函数.利用(2.6)-(2.7)和(2.9)-(2.12)式, (2.13)式可转化为如下的非线性薛定谔方程

(2.14) $\begin{eqnarray}\label{eq2. 21}&& {\rm i}Q_{{t}} - \left( {\rm i}\beta-\alpha \right) \left( Q_{{{\it rr}}}+{\frac { \left( n-1 \right) Q_{{r}}}{r}}-{\frac { \left( n-1 \right) Q}{{r}^{2}}} \right) - 4 \beta Q\int\Im \left( \overline{Q}Q_{{r}}\right) {\rm d}r \\&& - \alpha \left( 2 \left| Q \right|^{2}Q+4 \left( n-1 \right) Q\int{\frac { \left| Q \right|^{2}}{r}} {\rm d}r \right)= 0.\end{eqnarray}$

我们可以假定空间变量满足特殊的约束关系来简化(2.14)式.假设对于任意维度$n$, $K_i$ ($i=1, 2, 3, \cdots, n$)满足约束条件$\sum \limits_{i=0}^{n} K_i^2=1$, $\overrightarrow{K} = (K_1, K_2, K_3, \cdots, K_n)$且$ \bar r = \overrightarrow{K} \cdot \overrightarrow{x}$,则(2.14)式退化为

(2.15) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \label{eq2. 22} {\rm i}Q_{{t}} - \left( {\rm i}\beta-\alpha \right) \left( Q_{{{\it \bar r\bar r}}} \right) - 4\beta Q\int \Im \left( \overline{Q}Q_{{{r'}}} \right) {\rm d}r' - 2 \alpha \left| Q \right|^{2}Q = 0. \end{array} \end{equation}$

如果我们得到了方程(2.15) (或(2.14))的一个解,我们可以将其转化为方程(1.2)的解.然而,由于(2.1)式的高度非线性,我们很难通过逆变换求解.事实上, (2.1)式是一个关于$S$的非线性的偏微分方程,该方程是很难求解的.

在这一节中,借助于Duhamel公式,我们将建立方程(1.2) (或(2.15))的全局有界性定理.正如我们看到的,方程(2.15)是包含半群结构的复Ginzberg-Landau方程.为了方便起见,我们首先研究一般情形的Ginzberg-Landau方程

(3.1) $\begin{equation} \label{eq5. 1} {\rm i}Q_{{t}} - \left( {\rm i}\beta-\alpha \right) \left( Q_{{{\it \bar r\bar r}}} \right) = \Phi, \end{equation}$

其中$\Phi$是一连续依赖于$t$, $\bar r$和$Q$的函数.

方程(3.1)包含如下的核

${\Bbb K}_{\alpha}(\bar r, t) =\frac{ {\rm e}^{-\frac{|\bar r|^2}{4(\beta+{\rm i}\alpha)t}} }{ \sqrt{2\pi(\beta+{\rm i}\alpha)t} }.$

这里,我们设$U_{\alpha}(t) \Phi = {\rm e}^{(\beta+{\rm i}\alpha)t\Delta} \Phi$表示复Ginzburg-Landau半群

(3.2) $ \begin{equation} \label{eq5. 2} (U_{\alpha}(t) \Phi )(\bar r)= \int_{\Omega} {\Bbb K}_{\alpha} (\bar r-r', t)\Phi(r'){\rm d}r'. \end{equation}$

此外,在(3.2)式上进行$t$方向的卷积

(3.3) $\begin{equation}\label{eq5. 3}{\cal A} \varphi (t) = \int^{t}_{0} U_{\alpha}(t-t') \Phi (t') {\rm d}t'.\end{equation}$

(3.2)式是一在$\bar r$方向上的卷积.由Young不等式,有

(3.4) $\begin{equation}\label{eq5. 4} \left\| {\rm e}^{(\beta+{\rm i}\alpha)t\Delta} \Phi \right\|_{L_{{r}}^{p} }\leq C |t|^{ - \frac{1}{2}(1-\frac{2}{p} ) } \| \Phi \|_{ L_{{r}}^{p'} }, \end{equation}$

其中$2 \leq p \leq \infty $且$\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$.

如果$p=\infty$, (3.4)式有如下的色散不等式

(3.5) $\begin{equation}\label{eq5. 5} \left\| (U_{\alpha}(t) \Phi )(\bar r) \right\|_{L_{\bar r}^{\infty} }\leq C |t|^{-1/2} \| \Phi \|_{ L_{\bar r}^{1} }.\end{equation}$

(3.2)式也成立着如下的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式

(3.6) $\begin{equation}\label{eq5. 6} \left\| (U_{\alpha}(t) \Phi )(\bar r) \right\|_{L_{\bar r}^{4} }\leq C \| \Phi \|_{ L_{\bar r}^{2} }.\end{equation}$

为了推导$Q$的$L^{2}$估计,我们使用如下的关于(2.15)式的Duhamel公式

(3.7) $ \begin{equation} \label{eq5. 7} Q = (U_{\alpha}(t) Q_0 )(\bar r) + {\cal A} G (t), \end{equation} $

其中

$G(t, \bar r) = 4\beta Q\int \Im \left( \overline{Q}Q_{{{r'}}} \right) {\rm d}r' + 2 \alpha \left| Q \right|^{2}Q.$

由文献[10]知薛定谔方程((2.15)式中$\beta=0$)的能量满足$\| Q \|_{ L_{\bar r}^{2} } = \| Q_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }$.然而, Ginzberg-Landau方程将带有更强的耗散^[21],从而有$\| Q \|_{ L_{\bar r}^{2} } \leq \| Q_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }$.若方程(1.2)的初始值为$S_0$,这意味着LLG方程的能量服从为$\| \partial_{\bar r} S \|_{ L_{\bar r}^{2} } \leq \| \partial_{\bar r} S_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }$.更具体而言,我们有(类似于文献[1])

(3.8) $ \begin{equation} \label{eq5. 8} \| \partial_{\bar r} S \|^2_{ L_{\bar r}^{2} } + 2\beta \| \| \partial_{t} S \|^2_{ L_{\bar r}^{2} } \|_{ L_{t}^{1} } = \| \partial_{\bar r} S_0 \|^2_{ L_{\bar r}^{2} }. \end{equation}$

在能量条件(3.8)下,利用(3.5)式和Young不等式,我们得到

(3.9) $ \begin{eqnarray} \label{eq5. 10}\bigg\| {\cal A} \left( Q\int \Im \left( \overline{Q}Q_{{{r'}}} \right) {\rm d}r' \right) (t) \bigg \|_{ L^4_{\bar r} ( [0, t], L^{\infty}_{\bar r} ) }&\leq & C \bigg\| \int^{t}_{0} {\rm e}^{(\beta+{\rm i}\alpha)(t-t')\Delta} \left( Q |Q|^2 \right) {\rm d}t' \bigg\|_{ L^4_{\bar r} ( [t_0, t], L^{\infty}_{\bar r} ) } \\ &\leq &C E(Q_0) t ^{1/2} \| Q \| _{ L^4_{\bar r} ( [0, t], L^{\infty}_{\bar r} ) }. \end{eqnarray}$

类似于(3.9)式,我们得到

(3.10) $\begin{eqnarray}\label{eq5. 11}\bigg \| {\cal A} \left( \left| Q \right|^{2}Q \right) (t) \bigg \|_{ L^4_{\bar r} ( [0, t], L^{\infty}_{\bar r} ) }&\leq & C\bigg \| \int^{t}_{0} |t-t'|^{-1/2} \| Q |Q|^2 \|_{ L^{1}_{\bar r} } {\rm d}t'\bigg \|_{L^4_{\bar r}}\\& \leq &C \bigg\| \int^{t}_{0} |t-t'|^{-1/2} \| Q \|_{L^{\infty}_{\bar r}}\|Q \|^2_{L^{2}_{\bar r}} {\rm d}t'\bigg \|_{L^4_{\bar r}}\\& \leq& C E(Q_0) t ^{1/2} \| Q \| _{ L^4_{\bar r} ( [0, t], L^{\infty}_{\bar r} ) }.\end{eqnarray}$

依据(3.6)式,得到

(3.11) $\begin{equation}\label{eq5. 9}\| (U_{\alpha}(t) Q_0 )(\bar r) \|_{ L^4_{\bar r} ( [0, t], L^{\infty}_{\bar r} ) }\leq C \| Q_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }.\end{equation}$

若$E(Q_0)$ (或$T$)足够小,从(3.7)、(3.11)和(3.9)-(3.10)式可以推导出

(3.12) $ \begin{equation} \label{eq5. 12} \| Q \|_{ L^4_{\bar r} ( [0, T], L^{\infty}_{\bar r} ) } \leq C \| Q_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }, \end{equation}$

或等价的有

$\| \partial_{\bar r} S \|_{ L^4_{\bar r} ( [0, T], L^{\infty}_{\bar r} ) } \leq C \| S_0 \|_{ H_{\bar r}^{1} }.$

(3.12)式意味着存在一关于$Q$的$L^4_{\bar r} \cap L^{\infty}_{\bar r}$估计.如果希望得到关于$Q$的$H^N_{\bar r}$ ($N$为一正整数)估计,我们得对$Q$的更高阶导数方程进行估计.令$W=\partial_{\bar r} Q$.为了得到解的$H^1_{\bar r}$适定性,先对(3.1)式关于$\bar r$求导从而得到

(3.13) $ \begin{equation} \label{eq5. 13} {\rm i}W_{{t}}- \left( {\rm i}\beta-\alpha \right) \left( W_{{{\it \bar r\bar r}}} \right) = {\widetilde{G}}, \quad |{\widetilde{G}}| \leq C |W| |Q|^2. \end{equation}$

经典解的适定性来自于(3.13)式的$H^ 1 $估计.我们的度量空间如下

${\cal B} = { L^{\infty}_{\bar r} ( [0, T], L^{2}_{\bar r} ) } \bigcap { L^4_{\bar r} ( [0, T], L^{\infty}_{\bar r} ) }.$

令$W_0$表示$\partial_{\bar r}Q_0$.与此同时, $W_0$满足条件$W_0\in L^{2}_{\bar r}$.由(3.6)式,我们有

(3.14) $\begin{equation} \label{eq5. 14} \| (U_{\alpha}(t) W_0 )(\bar r) \|_{ {\cal B} }\leq C \| W_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }. \end{equation}$

设$\tilde{C}$是一个依赖于范数$\| V_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }$的有界函数;另设$Q$属于

$ { C_{\bar r} ( [0, T], L^{2}_{\bar r} ) } \bigcap { L^4_{\bar r} ( [0, T], L^{\infty}_{\bar r} ) }, $

从而(3.6)式可推导出

$\begin{equation} \label{eq5. 15} \quad \| {\cal A} {\widetilde{G}} (t) \|_{ {\cal B} } \leq C \int^{t}_{0} \| {\widetilde{G}}(t') \|_{L^{2}_{\bar r}} \leq \tilde{C} \left[ T + \int^{T}_{0} \left( \| W(t') \|_{L^{2}_{\bar r}} + \| W(t') \|_{L^{\infty}_{\bar r}} \right) {\rm d}t' \right]. \end{equation}$

由(3.13)式,我们给出相应的Duhamel公式如下

(3.16) $\begin{equation}\label{eq5. 16}W = (U_{\alpha}(t) W_0 )(\bar r) + {\cal A} {\widetilde{G}} (t).\end{equation}$

由(3.14)-(3.16)式,得到结论

$\| \partial_{\bar r} Q \|_{ {\cal B} }\leq \tilde{C} T.$

从以上推导过程中,我们得出结论:方程(1.2)存在一局部解满足

$S \in { C_{\bar r} ( [0, T], H^{2}_{\bar r} ) } \bigcap { L^4_{{\rm loc(\bar r)}} ( [0, T], W^{2, \infty}_{\bar r} ) }, $

即如下的全局存在性定理.

定理3.1  假如方程(1.2)的初始值满足$S_0\in H^2_{\bar r}$和$\| \partial_{\bar r} S \|_{ L_{\bar r}^{2} } \leq \| \partial_{\bar r} S_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }$.则方程的解为一关于时间的整体解

$S \in { C_{\bar r} ( {\Bbb R}, H^{2}_{\bar r} ) } \bigcap { L^4_{{\rm loc(\bar r)}} ( {\Bbb R}, W^{2, \infty}_{\bar r} ) }.$

在下一节中,我们将给出小初值解精确构造的一些的细节,这将是定理3.1的一个例证.

由定理3.1,我们可以得知方程(1.2)在小初值假设下解为全局解.小初值条件和约束条件(3.8)用在了定理3.1的证明中.事实上,证明定理要用上一个简单的约束条件: $\| \partial_{\bar r} S \|_{ L_{\bar r}^{2} } \leq \| \partial_{\bar r} S_0 \|_{ L_{\bar r}^{2} }$.显然,由(3.8)式可以推导出这个约束条件.下面我们构造一个满足小初值条件和该约束条件的解.

若$\kappa$和$\tau$是只关于单个变量$t$的方程,方程(2.15)将转化为如下的简单方程

(4.1) $ \begin{equation} \label{eq3. 1} {\rm i}\beta \kappa {\tau}^{2}+{\rm i}\kappa_{{t}}- \kappa \tau_{{t}}\bar r+\beta {\kappa}^{3}\tau \bar r =0 .\end{equation}$

将方程(4.1)分解成

(4.2) $\begin{equation}\label{eq3. 2} \left\{\begin{array}{ll} \beta \kappa {\tau}^{2}+\kappa_{{t}} = 0, \\ \beta {\kappa}^{2}\tau - \tau_{{t}} = 0.\end{array}\right.\end{equation}$

求解方程(4.2),我们得到

(4.3) $\begin{equation}\label{eq3. 3} \left\{\begin{array}{ll} \kappa= {\rm i}\sqrt {{\frac {{C_{{1}}}^{2}}{{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}}, \\ \tau= C_{{1}}\sqrt {{\frac {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}}{{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}}.\end{array}\right.\end{equation}$

受到(4.3)式启发,我们使用关于$S$的如下假设

(4.4) $\begin{equation} \label{eq3. 4} S=\left( \cos \left( m(t, \bar r) \right) f(t), \sin \left( m(t, \bar r) \right) f(t), \sqrt{1+(f(t))^2} \right), \end{equation}$

其中$ m(t, \bar r)$和$f(t)$是待定的函数.简单起见,我们分别使用$m$和$f$表示函数$ m(t, \bar r)$和$f(t)$.

利用(4.4)式, (2.1)式可转化为

(4.5) $\begin{equation}\label{eq3. 5} \left\{\begin{array}{ll} {f}^{2}{m_{{\bar r}}}^{2} = {{\frac {{C_{{1}}}^{2}}{{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}}, \\\sqrt {{f}^{2}+1}m_{{\bar r}} = C_{{1}}\sqrt {{\frac {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}}{{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}}.\end{array}\right.\end{equation}$

求解方程(4.5),并将解代回到方程(1.2)以确定待定系数,我们有

(4.6) $ \begin{equation} \label{eq3. 6} \left\{\begin{array}{ll} f = {\frac {1}{\sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1}}}, \\ m = C_{{1}}\bar r-{ { {\alpha}{\beta^{-1}} \ln \left( {{\rm e}^{{C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}+\sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1} \right) }}.\end{array}\right.\end{equation}$

相应的有

(4.7) $\begin{equation}\label{eq3. 7}\sqrt{1 + f^2}= {\frac {{{\rm e}^{{C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}}{ \sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1}}}.\end{equation}$

借助于(4.6)和(4.7)式可以得到方程(1.2)如下形式的解:

定理4.1 假定$\beta \in (0, 1]$,方程(1.2)有如下的精确解

(4.8) $\begin{equation} \label{eq3. 8} S = \left( {{\begin{array}{c} \frac{ \cos \left( C_{{1}}\bar r-{ { {\alpha}{\beta^{-1}} \ln \left( {{\rm e}^{{C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}+\sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1} \right) }} \right) }{ {{\sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1}}} } \\ \frac{ \sin \left( C_{{1}}\bar r-{ { {\alpha}{\beta^{-1}} \ln \left( {{\rm e}^{{C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}+\sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1} \right) }} \right) }{ {{\sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1}}} } \\ {\frac {{{\rm e}^{{C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}}{ \sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( t+C_{{2}} \right) }}-1 }}} \end{array} }} \right), \end{equation}$

与此同时

(4.9) $\begin{equation} \label{eq3. 9} Q = \frac{1}{2} {{\rm e}^{{\rm i}\frac{\pi}{2}+{\frac {{\rm i}C_{{1}}\bar r{{\rm e}^{{C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}}{\sqrt {{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}}}}\sqrt {{\frac {{C_{{1}}}^{2}}{{ {\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}}, \end{equation}$

其中$C_i$ ($i=1, 2$)为常数.

注4.1 若对系数$C_1$、$C_2$和$\beta$的大小做调整, LLG方程的解(4.8)将是一个小初值全局解.计算得到该解的能量密度函数为

$|S_{\bar r}|^2= \kappa^2 = - {{\frac {{C_{{1}}}^{2}}{{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}} , $

这表明(4.8)式的能量密度函数是一个只依赖于$t$的函数.用$w_E$表示能量密度,有如下关系

$w_E(4.8) \sim O(\widetilde{C}(t)), \quad \mbox{当} \quad \bar r \rightarrow +\infty, $

其中$t\rightarrow +\infty$时, $\widetilde{C}(t)\rightarrow 0$.

当$t\rightarrow +\infty$时, (4.8)式将趋于方程的一平凡解.显然有

$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} S = (0, 0, 1), $

其中$ (0, 0, 1)$是方程(1.1)的一平凡解.

类似于(4.8)式, (4.9)式在$t\rightarrow +\infty$时也将退化为一平凡解$0$.

注4.2 双曲LLG方程在不同的初边界条件下的解是否是全局解尚不清楚.然而,定理4.1部分回答了这个公开问题.正如我们在定理4.1中所看到的,解(4.8)是一个全局光滑解.设$\Omega_a=(-a, a)$$(0<a<+\infty)$,我们可以直接验证解(4.8)$\in C^{\infty}(\Omega_a \times (0, +\infty))$且初始条件为

$S(0, \bar r) = \left( {{\begin{array}{c} \frac{ \cos \left( C_{{1}}\bar r-{ { {\alpha}{\beta^{-1}} \ln \left( {{\rm e}^{ C_{{2}} {C_{{1}}}^{2}\beta }}+\sqrt {{{\rm e}^{2 C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}-1} \right) }} \right) }{ {{\sqrt {{{\rm e}^{2 C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}-1}}} }\\ \frac{ \sin \left( C_{{1}}\bar r-{ { {\alpha}{\beta^{-1}} \ln \left( {{\rm e}^{ C_{{2}} {C_{{1}}}^{2}\beta }}+\sqrt {{{\rm e}^{2 C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}-1} \right) }} \right) }{ {{\sqrt {{{\rm e}^{2 C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}-1}}} } \\ {\frac {{{\rm e}^{C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}}{ \sqrt {{{\rm e}^{2 C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}-1 }}} \end{array} }} \right), $

能量为

$|E(t)|=\left|\int_{\Omega_a}|S_{\bar r}(t, \bar r)|^2 {\rm d}\bar r \right|= {{\frac {2a {C_{{1}}}^{2}}{{{\rm e}^{2 {C_{{1}}}^{2}\beta \left( C_{{2}}+t \right) }}-1}}} \leq {{\frac {2a {C_{{1}}}^{2}}{{{\rm e}^{2 C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}-1}}} .$

准确的说,小(或一些非小)的解带有如下能量

$E(0)={{\frac {2a {C_{{1}}}^{2}}{{{\rm e}^{2 C_{{2}}{C_{{1}}}^{2}\beta }}-1}}}, $

则LLG方程的解可以成为一全局光滑解.

(4.8)式表明LLG方程的解在小的或大的初始能量下可以是全局的.在小初值情况下,定理3.1表明:方程的解一定是整体的.然而,大初值的情况比小初值的情况更复杂.事实上, LLG方程的解可以在大的初始值下发展出有限时间爆破.关于方程(1.2),我们已经给出了一个爆破解的例子(读者可以参考文献[25]).更准确地说,在$\beta=0$这一极端情况下,我们给出了如下的精确爆破解

(4.10) $\begin{equation} \label{eq3. 10} \left ( \begin{array}{ccc} S_1\\ S_2\\ S_3 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{ccc} \cos ( {\frac {C_{{1}}{r}^{2}{{\rm{sign}}} ( C_{{1}}t+C_{{ 2}} ) }{4 \sqrt {-1+{C_{{1}}}^{2}{t}^{2}+2 C_{{1}}C_{{2}}t+{C_{{2 }}}^{2}}}}-C_{{3}} ) {\frac {1}{\sqrt {-1+{C_{{1}}}^{2}{t}^{2}+2 C_{{1}}C_{{2}}t+{C_{{2}}}^{2}}}}\\ -\sin ( {\frac {C_{{1}}{r}^{2}{{\rm{sign}}} ( C_{{1}}t+C_{ {2}} ) }{4 \sqrt {-1+{C_{{1}}}^{2}{t}^{2}+2 C_{{1}}C_{{2}}t+{C_{{ 2}}}^{2}}}}-C_{{3}} ) {\frac {1}{\sqrt {-1+{C_{{1}}}^{2}{t}^{2}+ 2 C_{{1}}C_{{2}}t+{C_{{2}}}^{2}}}}\\ -{\frac {( C_{{1}}t+C_{{2}} ){{\rm{sign}}} ( C_{{1}}t+C_{{2}} ) }{\sqrt {-1+{C_{{1 }}}^{2}{t}^{2}+2 C_{{1}}C_{{2}}t+{C_{{2}}}^{2}}}} \end{array} \right ), \end{equation}$

其中$C_1$、$C_2$和$C_3$为任意常数.

(4.10)式是一些特定系数(当$C_1$、$C_2$和$C_3$取一些值)下的爆破解.当$C_1$、$C_2$和$C_3$取另外一些值时, (4.10)式也可以是一个整体解. (4.10)式的能量密度为

(5.1) $ \begin{equation} \label{eq3. 11}|S_r|^2= {\frac {{C_{{1}}}^{2}{r}^{2}}{ 4( C_{{2}}+1+C_{{1}}t ) ^{2} ( C_{{2}}-1+C_{{1}}t ) ^{2}}}.\end{equation}$

由(5.1)式,假如${C_{{2 }}}^{2}>1$且$\pm \frac{1}{C_1}-\frac{C_2}{C_1}>0$,则(4.10)式将在$t \rightarrow \pm \frac{1}{C_1}-\frac{C_2}{C_1}$时爆破(若${C_{{2 }}}^{2}=1$, (4.10)式的爆破时间为$t=0$).然而,当满足条件${C_{{2 }}}^{2}>1$和$\pm \frac{1}{C_1}-\frac{C_2}{C_1}<0$时, (4.10)式是一整体解.

正如我们在(5.1)式中所看到的, $\beta=0$的情形(薛定谔映射方程)包含一有限时间爆破解.假如$\alpha \beta \neq 0$,方程(1.2)的解能否在有限时间发生爆破也还不甚明朗.在如下的推导中,我们将给出LLG方程的一梯度爆破解.

众所周知,方程(2.15) (或(2.14)式)是非线性薛定谔方程和非线性热方程的混合体.若$\alpha=0$,方程(2.15)将退化成一非线性热方程,且该方程包含如下的自相似类型的解

$Q_{\alpha=0} = {\frac {C}{\sqrt {t}}{{\rm e}^{{\frac { {\bar r}^{2}}{4t}}}}}, $

与此同时

$Q_{\alpha=1} = {\frac {C}{\sqrt {t}}{{\rm e}^{-{\rm i} 2{C}^{2}\ln \left( t \right) - { \frac {i{\bar r}^{2}}{4 t}}}}}$

是薛定谔映射方程(在(2.15)式中取$\beta=0$)的解.

不难验证

(5.2) $\begin{equation}\label{eq3. 14}Q = {\frac {C}{\sqrt {t}}{{\rm e}^{-{\rm i}\alpha 2{C}^{2}\ln \left( t \right) - { \frac {( {\rm i}\alpha-\beta){\bar r}^{2}}{4 t}}}}}\end{equation}$

满足方程(2.15).

假如我们在(5.2)式适当的位置做一相位移$T$,且在$\alpha$和$\beta$取负号,我们得到(2.15)式的另一如下的解析解

(5.3) $\begin{equation} \label{eq3. 15} Q = {\frac {C}{\sqrt {T-t}}{{\rm e}^{{\rm i}\alpha 2{C}^{2}\ln \left( T-t \right) + { \frac {({\rm i}\alpha-\beta){\bar r}^{2}}{4 (T-t)}}}}}, \end{equation}$

该解意味着方程(1.2)存在一爆破解.

由(5.3)式,我们得到$\kappa$和$\tau$分别满足

$ \kappa = {\frac {2 C {\rm i}}{\sqrt {T-t}}{{\rm e}^{-{\frac {{\beta} {\bar r}^{2}}{4(T- t)}}}}} \quad \mbox{和} \quad \int \tau {\rm d}r'=-\frac{\pi}{2}+2 \alpha {C}^{2}\ln \left( T-t \right) + \frac{1}{4} {\frac {\alpha {\bar r}^{2}}{T-t}}.$

为了构造LLG方程的自相似解,我们使用如下关于解的假设

(5.4) $\begin{equation}\label{eq3. 15b}\left( {{\begin{array}{c} S_1 \hfill \\ S_2 \hfill \\ S_3 \end{array} }} \right)=\left( {{\begin{array}{c} \cos ( m(s_i) ) \sinh ( f(s_i) ) \\ \sin ( m(s_i) ) \sinh ( f(s_i) ) \\ \cosh ( f(s_i) ) \end{array} }} \right), \quad (i=1, 2), \end{equation}$

其中

$s_1=\frac{\bar r}{\sqrt{t}} \quad \mbox{和} \quad s_2=\frac{\bar r}{\sqrt{T-t}}.$

利用(2.1)、(2.12)、(5.2)和(5.4)式,得到

(5.5) $ \begin{equation} \label{eq3. 15c} m = \pm \int {\frac {\sqrt {4 {C}^{2}{{\rm e}^{\frac{1}{2} \beta {s_1}^{2}}}-{f_{{ s_1}}}^{2}}}{\sinh \left( f \right) }} {\rm d}s_1, \end{equation}$

其中$f$满足

(5.6) $\begin{eqnarray}\label{eq3. 15d}&&8 {C}^{2}{{\rm e}^{\frac{1}{2} \beta {s_1}^{2}}}\cosh \left( f \right) + f_{{ s_1}}\beta s_1\sinh \left( f \right) \mp \alpha s_1\sqrt {4 {C}^{2}{{\rm e}^ {\frac{1}{2} \beta {s_1}^{2}}}-{f_{{s_1}}}^{2}}\sinh \left( f \right) \\&&-2 {f_{{ s_1}}}^{2}\cosh \left( f \right) -2 f_{{{\it s_1s_1}}}\sinh \left( f\right) = 0.\end{eqnarray}$

类似的, (2.1)、(2.12)、(5.3)和(5.4)式可导出

(5.7) $ \begin{equation} \label{eq3. 15e} m = \pm \int {\frac {\sqrt {4 {C}^{2}{{\rm e}^{-\frac{1}{2} \beta {s_2}^{2}}}-{f_{{ s_2}}}^{2}}}{\sinh \left( f \right) }} {\rm d}s_2, \end{equation}$

其中$f$满足

(5.8) $\begin{eqnarray}\label{eq3. 15f}&&8 {C}^{2}{{\rm e}^{-\frac{1}{2} \beta {s_2}^{2}}}\cosh \left( f \right) - f_{{ s_2}}\beta s_2\sinh \left( f \right) \mp \alpha s_2\sqrt {4 {C}^{2}{{\rm e}^ {-\frac{1}{2} \beta {s_2}^{2}}}-{f_{{s_2}}}^{2}}\sinh \left( f \right) \\ && -2 {f_{{ s_2}}}^{2}\cosh \left( f \right) -2 f_{{{\it s_2s_2}}}\sinh \left( f\right) = 0.\end{eqnarray}$

如果我们能解常微分方程(5.7) (或(5.8)),便可以得到方程(1.2)的精确解.在$\alpha \beta \neq 0$的条件下,我们很难找出方程(5.7) (或(5.8))的解.事实上,我们不知道如何构造它的精确解.但是,我们将在注5.3中给出一个极端情况$\alpha=0$下的解.

方程(5.7) (或(5.8))是一非线性常微分方程.其解的存在性尚不清楚.事实上, (5.7)式可以改写为

(5.9) $\begin{equation} \label{eq4. 14a} f_{{{\it s_1s_1}}} = F( s_1, f, f_{s_1} ), \end{equation}$

其中

$F( s_1, f, f_{s_1} ) = 4 {C}^{2}{{\rm e}^{\frac{1}{2} \beta {s_1}^{2}}}\coth \left( f \right) - \frac{1}{2}\beta s_1 f_{{ s_1}} \mp \frac{1}{2} \alpha s_1\sqrt {4 {C}^{2}{{\rm e}^ {\frac{1}{2} \beta {s_1}^{2}}}-{f_{{s_1}}}^{2}} - {f_{{ s_1}}}^{2}\coth \left( f \right).$

我们考查方程(5.9)满足如下初始条件的解($0<\varepsilon<+\infty$)

(5.10) $ \begin{equation} \label{eq4. 14ab} f(\varepsilon)=f_{\varepsilon}, \quad f_{s_1}(\varepsilon)=f_{s_1 \varepsilon} \quad (f_{\varepsilon} \neq 0, f^2_{s_1 \varepsilon}<4 {C}^{2}{{\rm e}^ {\frac{1}{2} \beta {\varepsilon}^{2}}}).\end{equation}$

是否能找到柯西问题(5.9)-(5.10)的解?我们只需要验证$F( s_1, f, f_{s_1} )$、$\frac{\partial F}{\partial f}$和$\frac{\partial F}{\partial f_{s_1}}$在点$(\varepsilon, f_{\varepsilon}, f_{s_1 \varepsilon})$的任一邻域内的连续性即可.显然,这三个函数在该点附近关于其所有自变量都是连续的函数.因此，我们可以找到方程(5.9)满足初始数据(5.10)的解.类似的,我们可以证明存在满足条件(5.8)的解.

基于以上分析,我们得出如下结论:

定理5.1  方程(1.2)存在一$t=0$爆破解(对应于(5.2)式)并满足

$|E(t)|=\left|\int_{\Omega_a}|S_{\bar r}(t, \overline{r'})|^2 {\rm d}\overline{r'} \right| \sim K( t, a, \beta, C), $

且存在一有限时间$t=T$ ($T>0$)爆破解(对应于5.3)式)其能量满足

(5.11) $\begin{equation} \label{eq3. 17} |E(t)|=\left|\int_{-\infty}^{+\infty}|S_{\bar r}(t, \overline{r'})|^2 {\rm d}\overline{r'}\right| \sim 4C^2{\beta}^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{2\pi}{T-t}} , \end{equation}$

其中$C$依赖于(5.6) (或(5.8))式; $K( t, \beta, a, C)$是一依赖于$t$、$\beta$、$a$和$C$的函数;另外,当$t \rightarrow 0$时, $K( t, \beta, a, C)\rightarrow +\infty$.

注5.1  根据(5.11)式,如果$t\neq T$,该解的总能量将是有限值.另一方面，定理5.1表示方程(1.1)在$\Omega_a$ (或$({-\infty}, {+\infty})$)上能量尺度仅依赖于$t$.更确切地, (5.2)式的初始能量是无穷大值.而由(5.3)式所确定的解在时间$T$将带有无限能量.

注5.2  若$\alpha\beta \neq 0$,我们不知道如何利用(5.2)和(5.3)式找出方程(1.2)的精确解.但是,如果$\alpha=0$且${\frac {C_{{1}}}{4C}} \leq -1$,我们得到

(5.12) $\begin{equation} \label{eq3. 18a} f(s_1)= {\rm{arccosh}} \left( -{\frac {C_{{1}}}{4C}} {{\rm e}^{2 C\sqrt {\pi }{\it erfi} \left( \frac{s_1}{2} \right) }} \right) \end{equation}$

和

(5.13) $\begin{equation} \label{eq3. 18b} f(s_2) = {\rm{arccosh}} \left( -{\frac {C_{{1}}}{4C}} {{\rm e}^{2 C\sqrt {\pi }{\it erf} \left( \frac{s_2}{2} \right) }} \right), \end{equation}$

其中

${\it erfi} \left( s_1 \right) = \frac{ 2 }{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{s_1}{\rm e}^{\rho ^2} {\rm d}\rho, \quad {\it erf} \left( s_2 \right) = \frac{ 2 }{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{s_2}{\rm e}^{-\rho^2} {\rm d}\rho.$

尽管$f(s_i)$要满足限制条件(5.6)、(5.8)和(5.12)-(5.13),我们依然可以在满足限制条件的情况下找到$s_i$.由(5.12)-(5.13)式,我们有

(5.14) $\begin{equation} \label{eq3. 21} -{\frac {C_{{1}}}{4C}} \geq 1, \end{equation}$

与此同时, (5.5)和(5.7)式意味着:当$s_i \rightarrow 0$时,有

(5.15) $\begin{equation} \label{eq3. 22} 4 {C}^{2}{{\rm e}^{\frac{1}{2} \beta {s_1}^{2}}}-{f_{{ s_1}}}^{2} \sim {\frac {64{C}^{4}}{16 {C}^{2}-{C_{{1}}}^{2}}} + {\frac {256 {C_{{1}}}^{2}{C}^{5}}{ \left( 16 {C}^{2}-{C_{{1}}}^{2} \right) ^{2}}} s_1 + O \left( {s_1}^{2} \right) \end{equation}$

和

(5.16) $\begin{equation} \label{eq3. 23} 4 {C}^{2}{{\rm e}^{-\frac{1}{2} \beta {s_2}^{2}}}-{f_{{ s_2}}}^{2} \sim {\frac {64{C}^{4}}{16 {C}^{2}-{C_{{1}}}^{2}}} + {\frac {256 {C_{{1}}}^{2}{C}^{5}}{ \left( 16 {C}^{2}-{C_{{1}}}^{2} \right) ^{2}}} s_2 + O \left( {s_2}^{2} \right). \end{equation}$

(5.14)、(5.15)和(5.16)式表明${\frac {C_{{1}}}{4C}} \leq -1$.

本文研究了$n$维双曲空间${\Bbb H}^2$中LLG方程的两种不同的解.在广义Hasimoto变换的基础上,本文推导出LLG方程的等价系统.基于该等价系统,建立了方程解的整体存在性定理(见定理3.1).此外,还得到了LLG方程的一个精确的全局解(关于时间).此时,方程具有小初始条件.尽管小初值的偏微分方程往往意味着解总是一个整体解(参见定理3.1),我们从未见过任何LLG方程小初值精确解见诸于文献.事实上,这个小初值解的总能量只取决于$t$ (与空间变量无关).此外,该精确解在$t\rightarrow +\infty$将倾向于北极.然而,是否所有小初值解都具有两个特征尚不清楚,这有待于进一步的研究.

除了研究小初值解和显式解,本文也研究了LLG方程的自相似解.这类解包含两种不同类型的爆破($t=0$或$t=T>0$),它们有可能在初始时间具有限能量或无穷大能量.在$\alpha=0$时,无限能量爆破解与函数${ erfi(\cdot)}$有关,而有限能量爆破解与${ erf(\cdot)}$有关.一个爆破解会在$t=0$处产生初始奇异性,而另一个与积分函数${ erfi(\cdot)}$相关联的解是有限时间爆破解.据我们所知, ${\Bbb S}^2$上的LLG方程的自相似解不会在有限初始能量条件下产生任何有限时间爆破解.本文的有限时间爆破解表明, LLG方程在伪球面${\Bbb H}^2$上的解可以在有限时间爆破.这一事实意味着目标流型在解的奇异性的形成中起着重要的作用.