1987年, Cohen首次提出了第一个计算机病毒传播动力学模型^[1].从那时起,许多计算机病毒传播模型相继被提出,例如, SIS模型^[2], SIR模型^[3-4], SIRS模型^[5-7], SEIRS模型^[8], SLBS模型^[9-13], SIPS模型^[14], SIRC模型^[15]等.另一方面,网络的拓扑对病毒传播的影响也引起了众多学者的广泛关注,网络上的病毒传播模型被大量提出.例如SI模型^[16-17], SIS模型^[18-22], SIR模型^[23-27]和SLBS模型^[28]在网络上被重新提出了.为了研究无向和未加权网络上的病毒传播模型, Wang et al^[29], Mieghem^[30], Youssef, Scoglio^[31]以及Yang^[32]等人提出了个体的平均场理论方法(IBMF).然而,由于计算机病毒传播具有方向性,并且接触频率或网络带宽对计算机病毒传播也有影响,那么大多数真实网络可能包含有向边^[33]和加权边^[34].广义网络可以很好地表示上述真实网络.

为了更好地研究广义网络拓扑对计算机病毒传播的影响,文章受SIR模型启发,将恢复状态(R)引入SLBS模型,提出了一种基于广义网络的新型SLBRS模型.理论结果表明,广义网络的特征值在病毒传播中起着至关重要的作用.

文章的布局如下:在第2节中,详细介绍了广义网络和计算机病毒传播模型.在第3节中,对模型进行了全面分析.在第4节中,得到了数值模拟结果.最后,在第5节中,做出了全文总结.

为了详细描述模型,提出以下符号表达式.

${G = (V, E)}$:代表加权和有向的网络拓扑.

${V}$:代表${G}$中的节点集,节点表示计算机.

${E}$:代表${G}$中的边集,边表示网络中计算机之间的通信链接.

$n$:代表${V}$的总数(${G}$中的节点数).

$W = {\left[{{\omega _{ij}}} \right]_{n \times n}}$:代表图${G}$中的参数化邻接矩阵.

${\omega _{ij}}$:代表从节点${i}$到节点${j}$的权重.

${\lambda _{{\rm{\max}}}}$:代表矩阵${W}$的最大特征值.

${N_i}$:代表节点i的邻接集.

在SLBRS模型上,节点可以被分为四组:未感染节点(${S}$节点),潜在节点(${L}$节点),爆发节点(${B}$节点)和恢复节点(${R}$节点).令$\xi_i(t)= 0 $ (分别为1, 2, 3)代表节点${i}$在时间${t}$是易感状态(潜在状态,爆发状态,恢复状态).于是,在时间$t$的网络状态可以由以下向量表示

$\xi (t) = \left( {{\xi _1}(t), \cdots , {\xi _n}(t)} \right) \in {\left\{ {0, 1, 2, 3} \right\}^n}, $

令$s_i(t)(l_i(t), b_i(t), r_i(t))$表示节点$i$在时间$t$是易感状态(潜在状态,爆发状态,恢复状态)的概率

${s_i}(t) = \Pr \left( {{\xi _i}(t) = 0} \right), {l_i}(t) = \Pr \left( {{\xi _i}(t) = 1} \right), $

${b_i}(t) = \Pr \left( {{\xi _i}(t) = 2} \right), {r_i}(t) = \Pr \left( {{\xi _i}(t) = 3} \right).$

于是,给出以下假设(参考图 1).

(H1)易感节点$i$被潜在邻接节点和爆发邻接节点感染概率分别为${\beta _1}{\omega _{ij}}{l_j}(t)$和${\beta_2}{\omega_{ij}}{b_j}(t)$,易感节点$i$被所有潜在邻接感染的概率是$1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _1}{\omega _{ij}}{l_j}(t)} \right)}$,此外易感节点$i$被所有爆发邻接节点感染的概率是$1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _2}{\omega _{ij}}{b_j}(t)} \right)}$.

(H2)潜在节点变成为爆发节点的概率是$\alpha$.

(H3)爆发节点变成为恢复节点的概率是$\gamma$.

(H4)恢复节点变成为易感节点的概率是$\eta$.

由于${s_i}(t) + {l_i}(t) + {b_i}(t) + {r_i}(t) \equiv 1$, $s_i(t)$可以表示为${s_i}(t) = 1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)$.令$\Delta t$代表时间间隔,基于上述假设可以得出以下公式

$\begin{eqnarray*} {l_i}(t + \Delta t) &= &\left( {1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)} \right)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 0} \right.} \right)\\&& + {l_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 1} \right.} \right)+ {b_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 2} \right.} \right)\\&& + {r_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 3} \right.} \right), \end{eqnarray*} $

$\begin{eqnarray*} {b_i}(t + \Delta t) &=& \left( {1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)} \right)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 0} \right.} \right) \\&&+ {l_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 1} \right.} \right)+ {b_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 2} \right.} \right) \\&&+ {r_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 3} \right.} \right), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {r_i}(t + \Delta t)& =& \left( {1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)} \right)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 0} \right.} \right)\\&& + {l_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 1} \right.} \right) + {b_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 2} \right.} \right) \\&&+ {r_i}(t)\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 3} \right.} \right). \end{eqnarray*}$

根据(H1)-(H4),可以推导出以下等式

$\begin{eqnarray*}\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 0} \right.} \right) &=& \bigg( 1 - \bigg( {1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _1}{\omega _{ij}}{l_j}(t)} \right)} } \bigg)\\&& \cdot\bigg( {1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _2}{\omega _{ij}}{b_j}(t)} \right)} } \bigg) \bigg)\Delta t + o(\Delta t), \end{eqnarray*}$

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 0} \right.} \right) = o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 0} \right.} \right) = o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 1} \right.} \right) = 1 - \alpha \Delta t + o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 1} \right.} \right) = \alpha \Delta t + o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 1} \right.} \right) = o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 2} \right.} \right) = o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 2} \right.} \right) = 1 - \gamma \Delta t + o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 2} \right.} \right) = \gamma \Delta t, $

$ \Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 1\left| {{\xi _i}(t) = 3} \right.} \right) = o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 2\left| {{\xi _i}(t) = 3} \right.} \right) = o(\Delta t), $

$\Pr \left( {{\xi _i}(t + \Delta t) = 3\left| {{\xi _i}(t) = 3} \right.} \right) = 1 - \eta \Delta t + o(\Delta t).$

将这些方程代入上述公式并使$\Delta {t}\rightarrow0$,推导出$3{n}$维非线性微分动力学系统(非线性模型)

$\begin{eqnarray*}\frac{{{\rm d} {l_i}(t)}}{{{ {\rm d} } t}} &=& \bigg( {1 - \bigg( {1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _1}{\omega _{ij}}{l_j}(t)} \right)} } \bigg)\bigg( {1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _2}{\omega _{ij}}{b_j}(t)} \right)} } \bigg)} \bigg)\\&&\cdot \left( {1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)} \right) - \alpha {l_i}(t), \end{eqnarray*}$

(2.1) $\begin{equation}\label{eq:a1} \frac{{{\rm d} {b_i}(t)}}{{{\rm d} t}} = \alpha {l_i}(t) - \gamma {b_i}(t), 1 \le i \le n \end{equation}$

$\frac{{{\rm d} {r_i}(t)}}{{{ {\rm d} } t}} = \gamma {b_i}(t) - \eta {r_i}(t).$

在原点附近对非线性模型(2.1)进行线性化,可以得到以三$n$维线性微分动力系统(线性模型)

$\frac{{{\rm d} {l_i}(t)}}{{{ {\rm d} } t}} = \bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{l_j}(t)} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{b_j}(t)} } \bigg)\left( {1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)} \right) - \alpha {l_i}(t), $

(2.2) $\begin{eqnarray}\label{eq:a2} \frac{{{\rm d} {b_i}(t)}}{{{ {\rm d} } t}} = \alpha {l_i}(t) - \gamma {b_i}(t), 1 \le i \le n , \end{eqnarray}$

$\frac{{{\rm d} {r_i}(t)}}{{{\rm d} t}} = \gamma {b_i}(t) - \eta {r_i}(t).$

可以将模型(2.1) (模型(2.2))视为基于广义网络的SLBRS模型.

非线性系统(2.1)和线性系统(2.2)都具有唯一的无病毒平衡点${E_0} = {(0, 0, \cdots, 0)^T}_{3n \times 1}$,下面集中讨论无病毒平衡点的稳定性和病毒平衡的吸引性.

令

$\Omega = \left\{ {X = {{\left( {{x_1}, {x_2}, \cdots , {x_{3n}}} \right)}^T} \in {\mathfrak R} _ + ^{3n}|{x_i} + {x_{i + n}} + {x_{i + 2n}} \le 1, i = 1, 2, \cdots , n} \right\}, $

令

$x(t) = {\left( {{l_1}(t), \cdots , {l_n}(t), {b_1}(t), \cdots , {b_n}(t), {r_1}(t), \cdots , {r_n}(t)} \right)^T}.$

然后,系统(2.2)可以以矩阵的形式表示如下

(3.1) $\begin{eqnarray}\label{eq:a3} \frac{{{\rm d} x(t)}}{{{\rm d} t}} = Ax(t) + H\left( {x(t)} \right). \end{eqnarray}$

$x(0) \in \Omega$为初始条件,其中

${A_{3n \times 3n}} = \left[ {\begin{array}{ccc} { - \alpha I + {\beta _1}W} &~~ {{\beta _2}W}~~ & 0 \\ {\alpha I} & { - \gamma I} & 0 \\ 0 & {\gamma I} & { - \eta I} \\\end{array}} \right], $

$\begin{eqnarray*} H{\left( {x(t)} \right)_{3n \times 1}} & =& \bigg[ - \left( {{l_1}(t) + {b_1}(t) + {r_1}(t)} \right) \bigg({\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{1j}}{l_j}(t)} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{1j}}{b_j}(t)} \bigg), \cdots , \\&& - \left( {{l_n}(t) + {b_n}(t) + {r_n}(t)} \right)\bigg({\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{nj}}{l_j}(t)} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{nj}}{b_j}(t)}\bigg ), \overbrace {0, \cdots , 0}^n, \overbrace {0, \cdots , 0}^n\bigg]^T. \end{eqnarray*}$

令

(3.2) $\begin{eqnarray}\label{eq:a4} {R_0} = \frac{{\alpha \gamma }}{{{\beta _1}\gamma + {\beta _2}\alpha }}. \end{eqnarray} $

定理 3.1  考虑线性系统(2.2),

(a)如果${\lambda _{\max }} < {R_0}$,无病毒平衡点${E_0} = {(0, 0, \cdots, 0)^T}_{3n \times 1}$是局部渐进稳定的.

(b)如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,无病毒平衡点${E_0} = {(0, 0, \cdots, 0)^T}_{3n \times 1}$是不稳定的.

证  系统(3.1)在$E_0$处的雅可比矩阵的特征方程为

(3.3) $\begin{eqnarray}\label{eq:a5} \det \left( {\lambda I - A} \right) &=& \det {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {(\lambda + \alpha )I - {\beta _1}W} & { - {\beta _2}W} & 0 \\ { - \alpha I} & ~~{(\lambda + \gamma )I} ~~& 0 \\ 0 & { - \gamma I} & {(\lambda + \eta )I} \\\end{array}} \right)_{3n \times 3n}} \\& =& {(\lambda + \eta )^n}\det \left( {(\lambda + \alpha )(\lambda + \gamma )I - \left( {{\beta _1}(\lambda + \gamma ) + {\beta _2}\alpha } \right)W} \right)\\& =& 0. \end{eqnarray}$

等式(3.3)有两种可能的情况.

情况 1  ${\beta _1}\left( {\alpha - \gamma } \right) = {\beta _2}\alpha $,然后利用${R_0} = \frac{\gamma }{{{\beta _1}}}$和等式(3.3)推导出

$\beta _1^n{(\lambda + \alpha )^n}{(\lambda + \eta )^n}\det \left( {\frac{{\lambda + \gamma }}{{{\beta _1}}}I - W} \right) = 0.$

该等式具有一个$n$重性负根$-\alpha$,一个${n}$重性负根$-\eta$,剩余的$N$个根为${\beta _1}{\lambda _k} - \gamma$ ($1 \le k \le n$).如果${\lambda _{\max }} < {R_0}$,对于${k}$,则${\beta _1}{\lambda _k} - \gamma \le {\beta _1}{\lambda _{\max }} - \gamma < 0$.由于等式(3.3)的所有根都是负的.因此,系统(2.2)的无病毒平衡点都是渐进稳定的.相反,如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,那么${\beta _1}{\lambda _{\max }} - \gamma > 0$.因此,等式(3.3)具有正根,那么无病毒平衡点是不稳定的.

情况 2  ${\beta _1}\left( {\alpha - \gamma } \right) \ne {\beta _2}\alpha$,那么$- \gamma - \frac{{\alpha {\beta _2}}}{{{\beta _1}}}$不是等式(3.3)的根.因此

${(\lambda + \eta )^n}\det \left( {\frac{{(\lambda + \gamma )(\lambda + \alpha )}}{{{\beta _1}(\lambda + \gamma ) + {\beta _2}\alpha }}I - W} \right) = 0.$

这个等式具有$n$重负根$-\eta$,当且仅当$1 \le k \le n$时$\lambda$是等式(3.3)的根,并且$\lambda$是以下等式的根

(3.4) $\begin{eqnarray}\label{eq:a6} {\lambda ^2} + {a_k}\lambda + {b_k} = 0, \end{eqnarray}$

其中

${a_k} = \alpha + \gamma - {\beta _1}{\lambda _k}, \;\;\;\;{b_k} = \alpha \gamma - {\lambda _k}\left( {{\beta _1}\gamma + {\beta _2}\alpha } \right). $

如果${\lambda _{\max }} < {R_0}$,那么有$a_k>0$且$b_k>0$.根据Hurwitz准则,等式(3.4)的两个根都具有负实部.所以等式(3.3)的所有根都具有负实部.因此,无病毒平衡点是渐进稳定的.否则,如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,等式(3.4)有一个具有正实部的根.所以,等式(3.3)有一个具有正实部的根.因此无病毒平衡点是不稳定的.

然后考虑系统(2.2)的全局稳定性.

引理 3.1^[35]  考虑在紧凑集$C$中定义的系统.如果对于$\partial {C}$上的每个点$y$,向量${f(y)}$与$C$相切或指向$C$,则$C$是不变的.

引理 3.2  集合$\Omega$对于系统(2.2)是正不变的.也就是说,对于所有${t}>0, {x}(0)\in \Omega$都有$x(t)\in \Omega $.

证   $\partial \Omega$由$4{n}$集组成,如下所示

${S_i} = \left\{ {x \in \Omega |{x_i} = 0} \right\}, {T_i} = \left\{ {x \in \Omega |{x_{i + n}} = 0} \right\}, $

${U_i} = \left\{ {x \in \Omega |{x_{i + 2n}} = 0} \right\}, {V_i} = \left\{ {x \in \Omega |{x_i} + {x_{i + n}} + {x_{i + 2n}} = 1} \right\}.$

具有

${\varphi _i} = \left( {0, \cdots , 0, \mathop { - 1}\limits^i , 0, \cdots , 0} \right), {\varsigma _i} = \left( {0, \cdots , 0, \mathop { - 1}\limits^{i + n} , 0, \cdots , 0} \right), {\xi _i} = \left( {0, \cdots , 0, \mathop { - 1}\limits^{i + 2n} , 0, \cdots , 0} \right)$

作为法外向量.对于$1\leq i\leq n$,有

$\left( {\frac{{{\mathop{\rm d}\nolimits} x}}{{{\rm d} t}}\left| {_{x \in {S_i}}} \right. \cdot {\varphi _i}} \right) = - \left( {1 - {x_{i + n}} - {x_{i + 2n}}} \right)\bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{x_j} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{x_{n + j}}} } } \bigg) \le 0, $

$\left( {\frac{{{\rm d} x}}{{{\rm d} t}}\left| {_{x \in {T_i}}} \right. \cdot {\varsigma _i}} \right) = - \alpha {x_i} \le 0,$

$ \left( {\frac{{{\rm d} x}}{{{\rm d} t}}\left| {_{x \in {U_i}}} \right. \cdot {\xi _i}} \right) = - \gamma {x_{i + n}} \le 0, $

$ \left( {\frac{{{\mathop{\rm d}\nolimits} x}}{{{\rm d} t}}\left| {_{x \in {V_i}}} \right. \cdot {\psi _i}} \right) = - \eta {x_{i + 2n}} \le 0. $

证毕.

因此,结果遵循引理3.1.

定理 3.3^[35]  考虑一个$n$维自治系统

$\frac{{{\mathop{\rm d}\nolimits} x(t)}}{{{\rm d} t}} = Ax(t) + H\left( {x(t)} \right), x \in D, $

其中$A$是一个不可约$n\times n$矩阵, $D$是包含原点的正向不变凸集, $H(x) \in {C^1}(D)$, $ \lim\limits_{x \to 0}\left\| {H(x)} \right\|/$$\left\| x \right\| = 0$.假设存在一个包含原点的正向不变凸集${C}\subset {D}, $设正数$r$和$A_T$有实特征向量$\omega$同时满足下列条件

(C1)对于所有${x}\in {C}, \left\langle {x, z} \right\rangle \ge r\left\| x \right\|$;

(C2)对于所有${x}\in {C}, \left\langle {H\left( x \right), z} \right\rangle \le 0$;

(C3)原点集是包含集合$N = \left\{ {x \in C\left| {\left\langle {H\left( x \right), z} \right\rangle = 0} \right.} \right\}$中的最大正向不变集.则下列结论成立

(1) $s({A^T}) < 0$意味着原点在$C$中是全局渐进稳定的;

(2) $s({A^T}) > 0$意味着存在${m}>0$,使得对于每个${x_0} \in C - \left\{ 0 \right\}$,对系统(2.2)的解满足$\varphi\left( {t, {\rm{ }}{x_0}} \right)$.

定理 3.2  考虑线性系统(2.2).如果${\lambda _{\max }} < {R_0}$,无病毒平衡点${E_0} = {(0, 0, \cdots , 0)^T}_{3n \times 1}$在$\Omega$中是全局渐进稳定的.

证  ${C}=\Omega$并考虑系统(2.2).由于$A^T$是不可约的并且其所有非对角元素都是非负的,因此从文献[35]得出$A^T$具有对应于其特征值($A^T$)的正特征向量$z = \left( {{z_1}, {z_2}, \cdots {z_{3n}}} \right)$.令$ r = {\min _i}{z_i} > 0$,对于所有$x\in \Omega$,可以得到

$\left\langle {x, z} \right\rangle \ge r\sum\limits_{i = 1}^{3n} {{x_i}} = r\left\| x \right\|, $

$\left\langle {H\left( x \right), z} \right\rangle = - \sum\limits_{i = 1}^n {{z_i}\left( {{x_i} + {x_{i + n}} + {x_{i + 2n}}} \right)} \bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{x_j} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{x_{n + j}}} } }\bigg) \le 0.$

此外, $\left\langle {H\left( x \right), z} \right\rangle = 0$意味着$x=0$,因此声明的结果遵循引理3.3的结论(1).

线性系统(2.2)是非线性系统(2.1)的上界,即

$\begin{eqnarray*} \frac{{{\rm d} {l_i}(t)}}{{{\rm d} t}} &=&\bigg( {1 - \bigg( {1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _1}{\omega _{ij}}{l_j}(t)} \right)} }\bigg)\bigg( {1 - \prod\limits_{j \in {N_i}} {\left( {1 - {\beta _2}{\omega _{ij}}{b_j}(t)} \right)} } \bigg)} \bigg) \\ &&\cdot \left( {1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)} \right) - \alpha {l_i}(t) \\& \le& \bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{l_j}(t)} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{ij}}{b_j}(t)} } \bigg)\left( {1 - {l_i}(t) - {b_i}(t) - {r_i}(t)} \right) - \alpha {l_i}(t). \end{eqnarray*}$

因此,非线性系统(2.1)中的所有元素都小于线性系统(2.2)中的元素.根据定理3.2,可以得到

定理 3.3  考虑非线性系统(2.1).如果${\lambda _{\max }} < {R_0}$,无病毒平衡点${E_0} = {(0, 0, \cdots , 0)^T}_{3n \times 1}$在$\Omega$全局中是渐进稳定的.

定理 3.4  考虑线性系统(2.2).如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,那么

$\sum\limits_i {\left( {{l_i}(t) + {b_i}(t)} \right)} > 0 \Rightarrow \mathop {\lim \inf }\limits_{t \to \infty } \sum\limits_i {\left( {{l_i}(t) + {b_i}(t)} \right)} > 0, $

这表明如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,网络中的病毒将会持续存在.

定理 3.5  如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,系统(2.2)具有病毒平衡点${E^*} = {\left( {E_1^*, E_2^*, \cdots , E_{3n}^*} \right)^T}$.

证  注意到系统(2.2)的任何解都是有界的,因此命题的结论很容易从文献[36]的推论(1)得出.

定理 3.6  如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,系统(2.2)存在唯一的病毒平衡点$ {E^*} = {\left( {E_1^*, E_2^*, \cdots , E_{3n}^*} \right)^T}$,那么${E^*}$在$\Omega-{0}$中具有全局吸引性.

证  定理3.5可以确定病毒平衡点的存在.需要证明,如果${\lambda _{\max }} > {R_0}$,在$\Omega-{0}$中存在唯一的不变平衡点${E^*}$.在$\Omega-{0}$中${x^*} = {E^*}$,系统(2.2)有两个常数解, $x = x* > 0$和$y = y* > 0$.如果$x* \ne y*$,则存在${i}_0$, ${i}_0 = 1, 2, \cdots, 3n$,这样,其中$x_{i0}^*$代表矢量${x^*}$的第$i$个分量.除了一般性的损失,对于所有${i}_0 = 1, 2, \cdots, 3n$,假设$x_{{i_0}}^*>y_{{i_0}}^*$,且$x_{{i_0}}^*/y_{{i_0}}^* > x_i^*/y_i^*$, $x^*$和$y^*$作为系统(2.2)的常数解,把$x^*$和$y^*$代入系统(2.2),得到

$\begin{eqnarray*} &&\bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_j^*} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_{j + n}^*} } \bigg)\left( {1 - x_{{i_0}}^* - x_{{i_0} + n}^* - x_{{i_0} + 2n}^*} \right) - \alpha x_{{i_0}}^* \\& = &\bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}y_j^*} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}y_{j + n}^*} } \bigg)\left( {1 - y_{{i_0}}^* - y_{{i_0} + n}^* - y_{{i_0} + 2n}^*} \right) - \alpha y_{{i_0}}^* = 0. \end{eqnarray*}$

经过计算,可得出

$\begin{eqnarray*}&& \bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_j^*} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_{j + n}^*} }\bigg)\left( {1 - x_{{i_0}}^* - x_{{i_0} + n}^* - x_{{i_0} + 2n}^*} \right)\frac{{y_{{i_0}}^*}}{{x_{{i_0}}^*}} - \alpha y_{{i_0}}^* \\ &=& \bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}y_j^*} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}y_{j + n}^*} } \bigg)\left( {1 - y_{{i_0}}^* - y_{{i_0} + n}^* - y_{{i_0} + 2n}^*} \right) - \alpha y_{{i_0}}^* = 0. \end{eqnarray*}$

但对于所有$i$和$1 - x_{{i_0}}^* - x_{{i_0} + n}^* - x_{{i_0} + 2n}^* < 1 - y_{{i_0}}^* - y_{{i_0} + n}^* - y_{{i_0} + 2n}^*$有$x_{{i_0}}^*/y_{{i_0}}^* > x_i^*/y_i^*$,因此从上述不等式中得出

$\begin{eqnarray*}&& \bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_j^*} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_{j + n}^*} }\bigg)\left( {1 - x_{{i_0}}^* - x_{{i_0} + n}^* - x_{{i_0} + 2n}^*} \right)\frac{{y_{{i_0}}^*}}{{x_{{i_0}}^*}} \\ &<&\bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}y_j^*} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}y_{j + n}^*} } \bigg) \left( {1 - y_{{i_0}}^* - y_{{i_0} + n}^* - y_{{i_0} + 2n}^*}\right) . \end{eqnarray*}$

显然这是矛盾的.

同理,当$n+1\leq i_0 \leq 2n$和$2n+1\leq i_0\leq3n$时,可以得知这是矛盾的.因此,在$\Omega-{0}$中存在系统(2.2)的唯一常数解${E^*} = {\left( {E_1^*, E_2^*, \cdots, E_{3n}^*} \right)^T}$.

现在将证明$x^*$在$\Omega-{0}$中具有全局吸引性.为了探索在$\Omega$中系统(2.2)的解的渐进性,定义以下函数:对于$E^*\in \Omega$, $F:\Omega\rightarrow R$和$f:\Omega\rightarrow R$,其中$F(x) = {\max _i}\left( {{x_i}/x_i^*} \right)$, $f(x) = {\min _i}\left( {{x_i}/x_i^*} \right)$. ${F(x)}$和${f(x)}$是连续的,故右导数存在系统(2.2)的解.令$ {x=x(t)}$为系统(2.2)的解,对于给定的$t_0, 1\leq i_0\leq3n$和足够小的$\varepsilon >0$,假设$F(x(t))={x_{{i_0}}}(t)/x_{{i_0}}^*, 1\leq i_0\leq3n, $$t \in \left[{{t_0}, {t_0} + \varepsilon } \right]$,然后

$F'\left( {x({t_0})} \right) = \frac{{x_{{i_0}}'({t_0})}}{{x_{{i_0}}^{*}}}, t \in \left[ {{t_0}, {t_0} + \varepsilon } \right].$

其中$F'$定义为

$\begin{eqnarray*} F' = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \sup \frac{{F(x(t + h)) - F(x(t))}}{h}. \end{eqnarray*}$

如果$1\leq i_0\leq n$,则从系统(2)中,有

$ \begin{eqnarray*}x_{{i_0}}^*\frac{{x_{{i_0}}'({t_0})}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}} &= &\frac{{x_{{i_0}}^*}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}}\bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}{x_j}({t_0})} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}{x_{j + n}}(t)} } \bigg)\\&&\cdot \left( {1 - {x_{{i_0}}}\left( {{t_0}} \right) - {x_{{i_0} + n}}({t_0}) - {x_{{i_0} + 2n}}({t_0})} \right) - \alpha x_{{i_0}}^*.\end{eqnarray*} $

可以获得如下等式

$x_{{i_0}}^*\frac{{x_{{i_0}}'({t_0})}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}} = \alpha \frac{{x_{{i_0}}^{*}}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}}{x_{{i_0} - n}}({t_0}) - \gamma x_{{i_0}}^{*}, n + {\rm{ 1}} \le {i_0} \le n.$

$x_{{i_0}}^{*}\frac{{x_{{i_0}}'({t_0})}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}} = \gamma \frac{{x_{{i_0}}^{*}}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}}{x_{{i_0} - n}}({t_0}) - \eta x_{{i_0}}^{*}, {\rm{2}}n + {\rm{1}} \le {i_0} \le {\rm{ 3}}n.$

根据${F(x(t))}$的定义,有

$\frac{{{x_{{i_0}}}({t_0})}}{{x_{{i_0}}^*}} \ge \frac{{{x_i}({t_0})}}{{x_i^*}}, i=1, 2, \cdots, 3n.$

如果$F(x(t_0))> 1$,则可以得到以下结果

$\begin{eqnarray*}x_{{i_0}}^{*}\frac{{x_{{i_0}}'({t_0})}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}} &\le& \bigg( {{\beta _1}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_j^{*}} + {\beta _2}\sum\limits_j {{\omega _{{i_0}j}}x_{j + n}^{*}} } \bigg)\\&&\cdot \left( {1 - x_{{i_0}}^{*} - x_{{i_0} + n}^{*} - x_{{i_0} + 2n}^{*}} \right) - \alpha x_{{i_0}}^{*}, 1\leq i_0\leq n, \end{eqnarray*}$

$x_{{i_0}}^{*}\frac{{x_{{i_0}}'({t_0})}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}} \le \alpha x_{{i_0} - n}^{*} - \gamma x_{{i_0}}^{*}, n+1\leq i_0\leq2n, $

或

$x_{{i_0}}^{*}\frac{{x_{{i_0}}'({t_0})}}{{{x_{{i_0}}}({t_0})}} \le \gamma x_{{i_0} - n}^{*} - \eta x_{{i_0}}^{*}, 2n+1\leq i_0\leq3n.$

由于$x_{{i_0}}^* > 0$和${x_{{i_0}}}({t_0}) > 0$,推导出${x'_{{i_0}}}({t_0}) > 0$.因此,如果$F(x(t_0))>1$,则$F'(x(t_0))<0$.此外,可以证明如果$F(x(t_0))=1$,则$F'(x(t_0))\leq0$;且如果$f(x(t_0))<1$,则$f'(x(t_0))>0$;如果$f(x(t_0))=1$则$f'(x(t_0))\geq0$,意味着

$U(x)=\max\{F(x)-1, 0\},\;\;\;\; V(x)=\max\{1-f(x), 0\}.$

${U(x)}$和${V(x)}$都是连续的并且对于$x\in \Omega$是非负的.注意$U(x(t))\leq0, V(x(t))\leq0$.

令${H_U} = \left\{ {\left. {x \in \Omega } \right|U'(x) = 0} \right\}$和${H_V} = \left\{ {\left. {x \in \Omega } \right|V'(x) = 0} \right\}$,那么有${H_U} = \left\{{\left. x \right|0 \le {x_i} \le x_i^*} \right\}$和${H_V} = \left\{ {\left. x \right|x_i^* \le {x_i} \le 1} \right\} \cup \left\{ 0 \right\}$.基于Lasalle不变集原理,以$\Omega$开始的等式(3.3)的任何解都将接近$H_U\cap H_V$.但是,如果$x(t)\neq0$,根据引理3.3, $ {\lim\limits_{t \to \infty }}\inf \left\| {x(t)} \right\| \ge m > 0$,可以得出结论即系统(2.2)的任意解${x(t)}$,使得$x(0)\in \Omega-\{0\}$满足${\lim\limits_{t \to \infty }}x(t) = {x^*}$,因此$x=E^*$在$\Omega -\{0\}$是全局吸引.

猜想 3.1  考虑系统(2.2),假设${\lambda _{\max }} > {R_0}$,那么,病毒平衡点$E^*$在$\Omega-\{0\}$中是全局渐进稳定的.

该节通过一些数值例子来验证上述结论.设${p(t)}$表示在时间${t}$受感染节点的百分比, $p(t) = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{l_i}(t) + {b_i}(t)} \right)} } \right)/n$,令${R_0} = \frac{{\alpha \gamma }}{{{\beta _1}\gamma + {\beta _2}\alpha }}$.

(1)将有250个权重为$\omega_{ij}=1$的节点的完全图当做传播网络,那么$\lambda_{\max}= 249$.

情况 1  非线性系统(2.1)初始条件参数取值为$\beta_1=0.0005, \beta_2=0.0007, \alpha=0.4, \gamma=0.5, $$\eta=0.02$,于是$R_0=377.3585$.当$\lambda_{\max}<R_0$时,计算机病毒就会消亡(见图 2).

情况 2  线性系统(2.2)初始条件参数取值为$\beta_1=0.0005, \beta_2=0.0007, \alpha= 0.4, $$\gamma=0.5, $$\eta=0.02$,于是$R_0= 377.3585$.当$\lambda_{\max}<R_0$时,计算机网络病毒就会消亡(见图 3).

情况 3  线性系统(2.2)初始条件参数取值为$\beta_1=0.0005, \beta_2=0.0007, \alpha= 0.4, $$\gamma=0.5, $$\eta=0.02$,于是$R_0=37.7358$.当$\lambda_{\max}>R_0$时,计算机病毒会持续存在(见图 4).

(2)将具有随机权重为${\omega _{ij}} \in \left[{0, 1} \right]$的边,且有以概率为0.8随机产生的250个节点的Erdos-Renyi随机图作为传播网络.于是, $\lambda_{\max}=100.0543$.

情况 4  非线性系统(2.1)初始条件参数取值为$\beta_1=0.001, \beta_2=0.002, \alpha= 0.4, $$\gamma=0.5, $$\eta=0.02$,于是$R_0=153.8462$.当$\lambda_{\max}<R_0$计算机病毒就会消亡(见图 5).

情况 5  线性系统(2.2)初始条件参数取值为$\beta_1=0.001, \beta_2=0.002, \alpha= 0.4, $$\gamma=0.5, $$\eta=0.02$,于是$R_0=153.8462$.当$\lambda_{\max}<R_0$时,计算机病毒将消亡(见图 6).

情况 6  线性系统(2.2)初始条件参数取值为$\beta_1=0.005, \beta_2=0.007, \alpha= 0.4, $$\gamma=0.5, $$\eta=0.02$,于是$R_0=37.7358$.当$\lambda_{\max}>R_0$计算机病毒会持续存在(见图 7).

(3)将有250个节点且边的权重受正态分布的影响,边权重的均值取0.5、权重的标准差为0.25的Barab6si-Albert(BA)无标度图作为传播网络.于是, $\lambda_{\max}=3.0654$.

情况 7  非线性系统(2.1)初始条件参数取值为$\beta_1=0.02, \beta_2=0.03, \alpha= 0.2, \gamma=0.2, $$\eta=0.2$,于是$R_0=4$.当$\lambda_{\max}<R_0$时,计算机病毒就会消失(见图 8).

情况 8  线性系统(2.2)初始条件参数取值为$\beta_1=0.02, \beta_2=0.03, \alpha= 0.2, \gamma=0.2, $$\eta=0.2$,于是$R_0=4$.当$\lambda_{\max}<R_0$时,计算机病毒就会消失(见图 9).

情况 9  线性系统(2.2)初始条件参数取值为$\beta_1=0.02, \beta_2=0.03, \alpha= 0.1, \gamma=0.1, $$\eta=0.2$,于是$R_0=2$.当$\lambda_{\max}<R_0$计算机病毒就会持续存在(见图 10).

(4)传播阙值$R_0$在确定动力学系统(2.1)与(2.2)中起着至关重要的作用.当$\frac{{\partial {R_0}}}{{\partial \alpha }} > 0, $$\frac{{\partial {R_0}}}{{\partial \gamma }} > 0$时, $R_0$相对于参数$\alpha, \beta$严格递增(见图 11).当$\frac{{\partial {R_0}}}{{\partial \alpha }} <0, \frac{{\partial {R_0}}}{{\partial \gamma }} <0$时, $R_0$相对于参数$\alpha, \beta$严格递减(见图 12).

从这些结果中,该文提出了以下控制计算机病毒传播的建议.

(a)通过防火墙过滤和阻止可疑消息,以降低感染率$\beta_1$和$\beta_2$,可以控制病毒的传播.

(b)定期洁除计算机上的病毒,以提高治愈率$\gamma$和分解率$\alpha$,可以抑制病毒的传播.

该文旨在探讨广义网络对计算机病毒传播的影响.为此提出了一种新的非线性和新的线性计算机病毒传播模型.模型分析表明,网络的最大特征值是决定病毒流行的关键因素.于是据此给出了非线性和线性模型中无病毒平衡点的全局稳定性的充分条件.病毒平衡点在线性模型中的全局吸引力也得到了证实.最后,该文还给出了一些具体数值例子.

据我们所知,还有很多关于这个方向的工作尚未完成,例如:多层网络上的SLBRS模型;时变网络上的SLBRS模型,这些将是我们未来的研究工作.