自1963年美国著名气象学家Lorenz在文献[1]中提出第一个三维自治混沌系统(即Lorenz系统)以来,混沌系统的构造与理论研究成为了非线性科学的热点问题,在这研究过程中众多三维混沌系统被相继提出,其中Chen系统^[2]和Lü系统^[3]是不得不提及的.在文献[4]意义下Chen系统是Lorenz系统的对偶系统, Lü系统则充当二者之间的桥梁角色.还有Sprott在1994年通过计算机搜索找出的19个三维混沌系统^[5], Rössler系统^[6]和Chua系统^[7]也都受到了学者们的普遍关注.更多有关三维混沌系统的报道可以参看文献[8-10].大部分系统有1个平衡点或者2个对称平衡点或者3个平衡点,甚至更多,其共同特征是所有平衡点皆不稳定^[11].在2008年, Yang和Chen^[12]提出了一个具有一个鞍点和两个稳定结焦点的混沌系统^[13]. Wei和Yang在文献[14]介绍了一类仅有两个稳定平衡点的混沌系统.值得注意的是,上述混沌系统有一个共同的特点,那就是两个对称的平衡点总是有相同的稳定性.在文献[15]中Liu等人提出一个新的三维混沌系统,

(1.1) $\begin{equation} \label{1.1} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}=a(y-x), \\ \dot{y}=-c+xz, \\ \dot{z}=b-y^2. \end{array} \right. \end{equation} $

这个系统右边只有2个二次项,形式简单,但局部动力学行为复杂有趣,有一对位置对称但稳定性总是相反的平衡点.它的特殊性质已引起了同行学者的关注^[16-18].另一方面,由于混沌在生物、电子工程、计算机和信息处理等领域的广泛应用,混沌控制也成为了非线性科学的一项重要研究内容.在典型的控制方法中^[19-25],反馈控制非常具有吸引力,由于其在配置和实现上的简单性,经常被应用于实际实现.

为了更深入了解系统(1.1)所生成的各类吸引子的几何结构,分析系统全局动力学特征,探究所生成混沌吸引子的几何机理,本文首先运用Poincaré紧致化技术来对系统(1.1)的无穷远动力学行为进行分析,然后通过添加线性反馈控制项$P=m(x-y)$的方式得到(1.1)的受控系统,该控制器保持受控系统与原系统的平衡点结构不发生任何改变,由此可知受控系统与原系统的无穷远动力学行为也保持一致.在对这种全局结构认识的基础上,本文也尝试选择适当的参数值对受控系统的奇异异宿环进行探讨,并进行了数值验证.

在系统(1.1)中, $a, b, c \in \mathbb{R}$是实参数, $x$, $y$, $z$是系统状态变量.显然,当$c=0$时,系统(1.1)在变换$T(x, y, z)\rightarrow T(-x, -y, z)$下是不变的.这意味着,任何非自身不变的轨道,在$T$变换的意义上,都会有它的``孪生"轨道.当$c\neq0$, $b < 0$或$b=0$时,系统(1.1)没有平衡点;当$b^{2}+c^{2}=0$时,系统有非孤立平衡点$O_{z}(0, 0, z)$;当$b>0$时,系统有两个非零平衡点$E^{+}(\sqrt{b}, \sqrt{b}, \frac{c}{\sqrt{b}})$和$E^{-}(-\sqrt{b}, -\sqrt{b}, -\frac{c}{\sqrt{b}})$,且稳定性总是相反^[15].

为了分析系统(1.1)的全局动力学行为,下面我们简单介绍三维Poincaré紧致化技术.

记系统(1.1)为如下形式

(2.1) $ \begin{equation} \label{2.1} \dot{x}=P^{1}(x, y, z), \quad \dot{y}=P^{2}(x, y, z), \quad\dot{z}=P^{3}(x, y, z), \end{equation} $

其中

$\begin{eqnarray*} P^{1}=a(y-x), \quad P^{2}=-c+xz, \quad P^{3}=b-y^{2}. \end{eqnarray*} $

它等价于多项式向量场$X=(P^{1}, P^{2}, P^{3})$.我们令

$ S^{3}=\{y=(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4})\in \mathbb{R}^{4}:\parallel y\parallel=1\}$

是$\mathbb{R}^{4}$中的一个单位球, $S_{+}=\{y\in S^{3}: y^{4}>0\}$, $S_{-}=\{y\in S^{3}: y^{4} < 0\}$,分别是球$S^{3}$的北半球和南半球.由于$S^{3}$是一个微分流形,当$U_{i}=\{y\in S^{3}: y_{i}>0\}$和$V_{i}=\{y\in S^{3}: y_{i} < 0\}$$(i=1, 2, 3, 4) $时,考虑八个卦限($U_{i}$, $F_{i}$), ($V_{i}$, $G_{i}$);其中,微分同胚映射$F_{i}$: $U_{i}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$和$G_{i}$: $U_{i}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$$(i=1, 2, 3, 4) $是中心投射从原点分别到点($\pm 1, 0, 0, 0), (0, \pm 1, 0, 0), (0, 0, \pm 1, 0), (0, 0, 0, \pm 1)$的切线映射.上述记号与文献[26]保持一致.为了得到$x$, $y$, $z$无穷远动力学行为,只需考虑在超平面$U_{i}$, $V_{i}$$(i=1, 2, 3)$内的动力学行为.

为了叙述方便,首先给出如下引理.

引理3.1^[27]   考虑系统$\dot{x}=y+p_{2}(x, y)$, $\dot{y}=q_{2}(x, y)$.

假设方程$y+p_{2}(x, y)=0$有解$y=\varphi(x)$ ($\varphi(0)=0$, $\dot{\varphi}(0)=0$);且$q_{2}(x, y)\mid_{y=\varphi(x)}=a_{k}x^{k}+\cdots$,和$(p_{2}')_{x}\mid_{y=\varphi(x)}+(q_{2}')_{y}|_{y=\varphi(x)}= b_{n}x^{n}+\cdots$.则如下结论成立

(1)  如果$k$是奇数,即$k=2m+1(a_{k}=a_{2m+1})$,那么有$\lambda=b_{n}^{2}+4(m+1)a_{2m+1}$;

(2)  对于$k=2m$或$k=2m+1$,奇点$O(0, 0)$类型如下表 1-2.

(ⅰ)  对(2.1)式做变换$(x, y, z)=(1/z_{3}, z_{1}/z_{3}, z_{2}/z_{3})$,得到系统(1.1)在$U_{1}$卦限的Poincaré紧致化$p(X)$表达式

(3.1) $\begin{equation}\label{3.1}\begin{array}{lll}\dot{z_{1}}=z_{2}+az_{1}z_{3}-az_{1}^{2}z_{3}-cz_{3}^{2}, \\\dot{z_{2}}=-z_{1}^{2}+az_{2}z_{3}-az_{1}z_{2}z_{3}+bz_{3}^{2}, \\\dot{z_{3}}=az_{3}^{2}-az_{1}z_{3}^{2}.\end{array}\end{equation}$

令$z_{3}=0$,系统(3.1)化为

(3.2) $\begin{equation}\label{3.2} \dot{z_{1}}=z_{2}, \qquad \dot{z_{2}}=-z_{1}^{2}. \end{equation} $

(3.2)式有两个零特征值为$\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$.考虑到引理3.1.记

$ \begin{eqnarray*}\label{eq:a1} p_{2}(x, y)=0, \qquad q_{2}(x, y)=-x^{2}. \end{eqnarray*}$

令$y=\varphi(x)=0$,得

$q_{2}(x, \varphi(x))=-x^{2}+\cdots.$

计算得$[(p_{2})_{x}'+(q_{2})_{y}']|_{y=\varphi(x)}=0$,可得$k=2$, $a_{2}=a_{2\times1}=-1\neq0$, $b_{0}=0$.

由引理3.1知,点$O(0, 0)$是一个退化的奇点,即在$x$轴无穷远处为退化的奇点,其相图见图 1.系统(3.2)在平面$V_{1}$上的动力学行为和在$U_{1}$上的动力学行为相同,方向相反.

(ⅱ)  对(2.1)式做变换$(x, y, z)=(z_{1}/z_{3}, 1/z_{3}, z_{2}/z_{3})$,我们可以得到系统(1.1)在$U_{2}$卦限的Poincaré紧致化$p(X)$表达式

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} \dot{z_{1}}=-z_{1}^{2}z_{2}+az_{3}-az_{1}z_{3}+cz_{1}z_{3}^{2}, \\ \dot{z_{2}}=-1-z_{1}z_{2}^{2}+bz_{3}^{2}+cz_{2}z_{3}^{2}, \\ \dot{z_{3}}=-z_{1}z_{2}z_{3}+cz_{3}^{3}. \end{array} \end{eqnarray*}$

如果令$z_{3}=0$,上述系统可化为

$\dot{z_{1}}=-z_{1}^{2}z_{2}, \qquad\dot{z_{2}}=-1-z_{1}z_{2}^{2}.$

显然,此方程组无解,即系统(1.1)在$y$轴无穷远处无奇点.

(ⅲ)  对(2.1)式做变换$(x, y, z)=(z_{1}/z_{3}, z_{2}/z_{3}, 1/z_{3})$,我们可以得到系统(1.1)在$U_{3}$卦限的Poincaré紧致化$p(X)$表达式

(3.3) $ \begin{equation} \label{3.3} \begin{array}{lll} \dot{z_{1}}=-bz_{1}z_{3}^{2}+z_{1}z_{2}^{2}-az_{1}z_{3}+az_{2}z_{3}, \\ \dot{z_{2}}=z_{1}z_{2}^{2}+bz_{3}^{2}+cz_{2}z_{3}^{2}, \\ \dot{z_{3}}=z_{2}^{2}z_{3}-bz_{3}^{3}. \end{array} \end{equation}$

若令$z_{3}=0$,系统(3.3)化为

(3.4) $ \begin{equation}\label{3.4} \dot{z_{1}}=z_{1}z_{2}^{2}, \qquad \dot{z_{2}}=z_{1}+z_{2}^{3}, \end{equation}$

系统(3.4)有唯一平衡点$(z_{1}, z_{2})=(0, 0)$,其特征值为$\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$.这是一种退化的情况.令

$ p_{2}(x, y)=x^{3}, \qquad q_{2}(x, y)=x^{2}y. $

设

(3.5) $\begin{equation}\label{3.5}y+x^{3}=0, \end{equation}$

有如下形式解

(3.6) $\begin{equation}\label{3.6}y=c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots.\end{equation}$

将(3.6)式代入(3.5)式,得

$c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+x^{3}+\cdots=0.$

解以上方程可得

$c_{1}=0, \quad c_{2}=0, \quad c_{3}=-1, $

则(3.5)式的解为

$y=\varphi(x)=-x^{3}+\cdots.$

将$y=\varphi(x)$代入式$q_{2}(x, y)=x^{2}y$.得

$q_{2}(x, \varphi(x))=-x^{5}+\cdots.$

由此知, $k=5$, $a_{5}=a_{2\times2+1}=-1.$

计算得

$[(p_{2})_{x}'+(q_{2})_{y}']|_{y=\varphi(x)}=4x^{2}, $

由上式可得, $m=n=2$.

且

$\lambda=b_{n}^{2}+4(m+1)a_{2m+1}=b_{2}^{2}+4(2+1)a_{5}=4>0.$

综上所述, $a_{2m+1} < 0$, $b_{n}>0$, $m=n$, $\lambda\geq0$,且$n$为偶数.

由引理3.1知,点$O(0, 0)$是一个结点,即系统(1.1)在$z$轴无穷远处有唯一平衡点,且为结点,其相图见图 2.系统(3.4)在平面$V_{3}$上的动力学行为和在$U_{3}$上的动力学行为相同,方向相反.

在这一节,我们设计一个控制器$P=m(x-y)$,将此控制器添加到系统(1.1)的第二个方程,得到如下的受控系统

(4.1) $\begin{equation} \label{4.1} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}=a(y-x), \\ \dot{y}=-c+xz+m(x-y), \\ \dot{z}=b-y^2. \end{array} \right. \end{equation} $

值得注意,控制器$P=m(x-y)$保留了系统(1.1)原有的结构,即此控制器并不改变系统的维数和平衡点的结构(平衡点的个数和位置).特别地,当$m=0$时,系统(4.1)就是系统(1.1).

令$b=c=0$,系统(4.1)变成

(4.2) $\begin{equation}\label{4.2} \left\{\begin{array}{lll}\dot{x}=a(y-x), \\\dot{y}=xz+m(x-y), \\\dot{z}=-y^{2}.\end{array}\right.\end{equation}$

此系统的平衡点是一条线$(0, 0, z)$, $z\in \mathbb{R}$.我们考虑$a>0$,系统(4.2)在$(0, 0, z)$的雅可比矩阵为

$ A^{\pm}=\left[ \begin{array}{cccc} -a &a &0\\ z+m & -m &0\\ 0 &0 &0\end{array}\right], $

特征值为$\lambda_{1, 2}=\frac{1}{2}[-a-m\pm\sqrt{(a+m)^{2}+4az}]$, $\lambda_{3}=0$,相应特征向量分别为

(4.3) $\begin{equation}\label{4.3}v_{1, 2}=(-\frac{a-m\mp\sqrt{(a+m)^{2}+4az}}{2(m+z)}, 1, 0), \qquad v_{3}=(0, 0, 1).\end{equation}$

当$a>0$, $a+m>0$, $z < -\frac{(a+m)^{2}}{4a}$时, $\lambda_{1, 2}$有负实部.考虑到特征向量(4.3),可知在平衡点$Q^{*}(0, 0, z)$附近,当$t\rightarrow+\infty$时系统轨线旋转趋向平衡点,且与由特征向量$v_{1, 2}$张成的平面相切,故都垂直于$z$轴.

若$0>z>-\frac{(a+m)^{2}}{4a}$,则特征值$\lambda_{1, 2}$是一对负数.因此,当$t\rightarrow+\infty$时系统轨线快速趋向平衡点.

若$z>0$,特征值$\lambda_{1, 2}$是一对相反数.由特征向量$v_{1, 2}$知系统(1.1)在平衡点$P^{*}(0, 0, z)$有双曲鞍点.

特别地,若$z=0$,平衡点$(0, 0, 0)$高度退化,两个特征值都是零.

通过上述分析,我们得到了当$b=c=0$且$a>0$时,受控系统(4.1)的解轨如图 3所示. 图 3表明该系统有一族奇异退化异宿轨.每一个轨道都是由鞍点$P^{*}$的一个一维不稳定流形组成的,它连接$P^{*}$与双曲线焦点$Q^{*}$ (当$t\rightarrow\infty$).随着系统出现无数个的双曲鞍点$P^{*}$和焦点$Q^{*}$,就会存在无数个奇异的退化异宿轨道.每个足够接近$z$轴上的鞍点$P^{*}$的初始条件,都能产生一个奇异的退化异宿环.我们观察到鞍点$P^{*}$和稳定焦点$Q^{*}$延伸到$z$轴的无穷远的正方向和负方向.

下面,我们取定$a=1.5$.考虑受控系统(4.1)在参数$(b, c)=(0, 0)$附近的动力学行为. 图 4中, $m=-0.01$.

从图 4中看出当参数$b$和$c$发生微小扰动时,受控系统异宿环破裂,产生新的混沌吸引子.

为了深入了解系统混沌的几何机理,该文研究一类具有位置对称稳定性总是相反的新的混沌系统的全局动力学行为.基于$\mathbb{R}^{3}$上的Poincaré紧致化技术,我们研究发现系统在沿$x$轴方向的无穷远奇点是退化鞍点,沿$z$轴方向的无穷远奇点是退化的不稳定结点.这些现象也许能解释系统在有稳定平衡点的情况下呈混沌状态的现象.该文也通过设计一个不改变系统奇点结构的线性控制器,分析了参数$m$对受控系统的影响.研究发现当参数值$(b, c)=(0, 0)$时,受控系统存在一簇奇异退化异宿轨,当参数$b$和$c$在零附近微小扰动时,系统异宿环破裂,产生新的混沌吸引子.作者希冀这些研究对解释这类系统混沌几何机理能提供有益帮助.