数学物理学报, 2019, 39(2): 316-328 doi:

论文

三维广义MHD方程和Boussinesq方程正则性准则的注记

邱华1, 谢常平2, 房少梅,3

Remarks on Regularity Criteria for 3D Generalized MHD Equations and Boussinesq Equations

Qiu Hua1, Xie Changping2, Fang Shaomei,3

通讯作者: 房少梅, E-mail: dz90@scau.edu.cn

收稿日期: 2018-01-12  

基金资助: 国家自然科学基金.  11126266
国家自然科学基金.  11271141
广东省自然科学基金.   
家留学基金委员会

Received: 2018-01-12  

Fund supported: the NSFC.  11126266
the NSFC.  11271141
the Natural Science Foundation of Guangdong Province.   
the China Scholarship Council

摘要

该文研究三维具有分数阶耗散项的广义MHD方程,得到了在负指标齐次Besov空间意义下速度场u与磁场b和的正则性准则,推广了已有结论.另外,该文还得到了三维分数阶耗散广义Boussinesq方程光滑解关于速度梯度的一个正则性准则.

关键词: 广义MHD方程 ; 广义Boussinesq方程 ; 正则性准则 ; Besov空间

Abstract

In this paper, we study the 3D generalized MHD system with dissipation and diffusion in terms of fractional Laplacian. We obtain a regularity criterion of solution for the generalized MHD equations in terms of the summation of velocity field u and magnetic field b under the framework of homogeneous Besov space with negative indices, which extends the previous results. We also present a regularity criterion of smooth solution to the 3D generalized Boussinesq equations with fractional dissipation in terms of the gradient of velocity only.

Keywords: Generalized MHD equations ; Generalized Boussinesq equations ; Regularity criterion ; Besov spaces

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本文引用格式

邱华, 谢常平, 房少梅. 三维广义MHD方程和Boussinesq方程正则性准则的注记. 数学物理学报[J], 2019, 39(2): 316-328 doi:

Qiu Hua, Xie Changping, Fang Shaomei. Remarks on Regularity Criteria for 3D Generalized MHD Equations and Boussinesq Equations. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(2): 316-328 doi:

1 引言

本文研究如下三维广义MHD方程

$\begin{equation}\label{pro} \left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}+u\cdot \nabla u-b\cdot\nabla b+\mu\Lambda^{2\alpha}u+\nabla P=0, \\[3mm] \frac{\partial b}{\partial t}+u\cdot \nabla b-b\cdot\nabla u+\kappa\Lambda^{2\beta}b=0, \nabla\cdot u=\nabla\cdot b=0, \\ (u(0, x), b(0, x))=(u_0, b_0), \quad (t, x)\in (0, \infty)\times{\Bbb R}^3, \end{array}\right. \end{equation}$

其中$u$表示流体的速度场, $b$为磁场, $P$为压力; $u_0$$b_0$分别为给定的在分布意义下的流体初始速度和初始磁场,且满足$\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$; $\mu, \kappa\geq 0$分别为粘性系数和扩散系数; $\alpha, \beta>0$是参数,且$\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$通过Fourier变换定义:$\widehat{\Lambda f}(\xi)=|\xi|\widehat{f}(\xi)$.

广义MHD方程是将通常的MHD方程中的拉普拉斯算子$-\Delta$替换为分数次拉普拉斯算子$\Lambda^{2\alpha}$$\Lambda^{2\beta}$得到的.当$\alpha=\beta=1$,广义MHD方程退化为通常的MHD方程;当$\alpha=1$, $b=0$,广义MHD方程退化为经典的Navier-Stokes方程.然而,正如三维Navier-Stokes方程和MHD方程,三维广义MHD方程是否存在整体光滑解依然是一个公开问题.此外,三维广义MHD方程具有与Navier-Stokes方程和MHD方程类似的尺度性质和能量估计,因此,研究方程(1.1)有助于对Navier-Stokes方程和MHD方程的理解.

近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu[1-2]获得了当$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$时只依赖于速度场$u$的正则性准则. Zhou[3]研究了如下两种情况:$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$,并建立了关于速度场$u$的Serrin型准则. Wu[4]和Yuan[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献.

本文,我们考虑三维广义MHD方程(1.1)光滑解的爆破准则,并得到当$\alpha=\beta$时,在负指标Besov空间意义下光滑解的正则性准则.

下面,我们先给出三维广义MHD方程(1.1)的弱解定义.

定义1.1  假设$u_{0}, b_{0}\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$. $(u, b)$称为(1.1)的弱解,如果满足如下条件

(1) $u\in L^{\infty}(0, T; L^{2}({\Bbb R}^{3}))\cap L^{2}(0, T; H^{\alpha}({\Bbb R}^{3})), b\in L^{\infty}(0, T; L^{2}({\Bbb R}^{3}))\cap L^{2}(0, T; H^{\beta}({\Bbb R}^{3}))$;

(2) 在分布意义下$\nabla\cdot u=0$, $\nabla\cdot b=0$;

(3) 对任意$\phi, \varphi\in C_{0}^{\infty}({\Bbb R}^{3}\times [0, T))$, $\nabla\cdot \phi=0$, $\nabla\cdot\varphi=0$,有

其中$\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$;

(4) $(u, b)$满足如下能量不等式

本文的第一个主要结果如下.

定理1.1  假设流体的初始速度与磁场$(u_0, b_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$, $s\geq \frac{1}{2}$, $\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$,且$(u(t, x), b(t, x))$为三维广义MHD方程(1.1)在$t\in[0, T)$时的光滑解.若

$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

则解$(u(t, x), b(t, x))$在时刻$t=T$处仍然是光滑的,其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

进一步地,我们有如下推论.

推论1.1  假设流体的初始速度与磁场$(u_0, b_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$, $s\geq \frac{1}{2}$, $\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$,且$(u(t, x), b(t, x))$为三维广义MHD方程(1.1)在$t\in[0, T)$时的光滑解.若$T$为最大存在时间,则

其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

注1.1   若$\alpha=1$, $b=0$,方程(1.1)退化为经典的三维Navier-Stokes方程.则定理1.1包含了Kozono-Shimada的结果[11].

注1.2  在定理1.1的假设下,条件(1.2)可以改进为如下的对数型正则准则,即:若

$\begin{eqnarray}\int_{0}^{T}\frac{\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}} {1+\ln(e+\|u(t)\|_{H^s}+\|b(t)\|_{H^s})}{\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

则解$(u(t, x), b(t, x))$在时刻$t=T$处仍然是光滑的,其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

注1.3   由于如下嵌入关系

成立,因此,我们的结果推广了文献[12-14]中$\alpha=1$, $b=0$时的主要结果.

注1.4   条件(1.2)表示在齐次负指标Besov空间中速度场$u$和磁场$b$的和,因此,条件(1.2)不同于文献[15-17]中只依赖于$u$的正则性准则,并且它们不存在蕴含关系.

本文亦考虑了如下$n$维分数阶耗散不可压Boussinesq方程

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot \nabla) u+\mu \Lambda^{2 \alpha} u+\nabla P=\theta e_{n}}, \\ {\frac{\partial \theta}{\partial t}+(u \cdot \nabla) \theta=0}, \\ {\nabla \cdot u=0} ,\\ {u(0, x)=u_{0}, \quad \theta(0, x)=\theta_{0}},\end{array}\right.$

其中, $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$, $u(t, x)=(u_1(t, x), u_2(t, x), \cdots, u_n(t, x))$表示流体速度场, $P=P(t, x)$为压力, $\theta=\theta (t, x)$为温度, $\mu>0$为运动粘性常数, $e_n=(0, \cdots, 0, 1)^{T}$$x_n$方向的单位向量, $u_0$$\theta_0$分别为给定的初始速度和温度,且$\nabla\cdot u_0=0$.

Boussinesq方程不仅在大气科学中有着重要应用[18],也是地球物理科学中的重要模型[19].因此,经典的Boussinesq方程和广义的Boussinesq方程最近已经引起了很多关注.然而,高维Boussinesq方程的整体适定性问题仍然是一个公开问题.最近, Xiang-Yan[20]得到了方程(1.4)在$\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$古典解的整体存在性, Ye[21]又证明了当$\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在$\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当$1<\alpha<\frac{5}{4}$, $n=3$时,其光滑解的正则性准则.

注意到涡度项是高维流体力学适定性理论的主要难点之一,目前已有许多关于带不同形式耗散项的二维Boussinesq方程的研究(参见文献[23-36]及其中的相关文献).

本文的第二个主要结果如下.

定理1.2   假设流体的初始速度与温度$(u_0, \theta_{0})\in H^{m}({\Bbb R}^3)$, $m\geq 3$, $\nabla\cdot u_0=0$, $1<\alpha<\frac{5}{4}$, $(u, \theta)$为问题(1.4)在$0\leq t<T$上的光滑解.若

$\begin{eqnarray} \nabla u\in L^1(0, T;\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}({\Bbb R}^3)), \end{eqnarray} $

则解$(u, \theta)$在时刻$t=T$处仍然是光滑的.

注1.5   由{\rm Biot-Savart}定律,根据$\|\nabla\times u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}\approx\|\nabla u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}$,易知定理1.2是文献[37]中定理1.1的改进,该文证明了三维具有部分粘性Boussinesq方程类似的正则性准则.

在本节的最后,我们指出,类似于定理1.1,我们也可以建立如下带粘性项$\mu\Lambda^{2\alpha}u$和扩散项$\kappa\Lambda^{2\beta}\theta$的三维广义Boussinesq方程

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + (u \cdot \nabla )u + \mu {\Lambda ^{2\alpha }}u + \nabla P = \theta {e_3},}\\{\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + (u \cdot \nabla )\theta + \kappa {\Lambda ^{2\beta }}\theta = 0,}\\{\nabla \cdot u = 0,}\\{u(0,x) = {u_0},\quad \theta (0,x) = {\theta _0},}\end{array}} \right.$

的正则性准则,即如下定理.

定理1.3   假设流体的初始速度与温度$(u_0, \theta_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$, $s\geq \frac{1}{2}$, $\nabla\cdot u_0=0$, $(u(t, x), \theta(t, x))$为三维广义Boussinesq方程(1.6)在$[0, T)$上的光滑解.若

$ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| \theta(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

则解$(u(t, x), \theta(t, x))$在时刻$t=T$处仍然是光滑的,其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

注1.6   类似于(1.3)式,关于三维广义Boussinesq方程(1.6)的正则性条件(1.7)也可以改进为相应的对数型正则准则,此处我们将其省略.

本文第二节介绍相关记号以及证明中需要的基本知识.第三节和第四节分别证明定理1.1和定理1.2.

2 预备知识

本节给出相关记号与证明中需要的基本知识.本文中, $C$表示一般常数, $X$表示Banach空间.设$p\in [1, +\infty]$, $L^p([0, T];X)$表示定义在$[0, T]$上,值域为$X$,满足$t\longmapsto \|f(t)\|_X$属于$L^p([0, T])$的可测函数集.文中将$L^p([0, T];X)$简记为$L_{T}^{p}(X)$.另外, $\|\cdot\|_p$表示Lebesgue空间$L^p(X)$的范数, $\int_{{\Bbb R}^3}{\rm d}x$记为$\int {\rm d}x$.

$e^{t\Delta}$表示如下定义的热半核

其中, $t>0$, $x\in {\Bbb R}^3$, $\ast$表示定义在${\Bbb R}^3$上的函数的卷积.下面给出${\Bbb R}^3$上带负数阶$\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$的齐次Besov空间的定义,其中$r>0$.众所周知, $f\in {\cal S}'({\Bbb R}^3)$属于$\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$当且仅当:对任意的$t>0$,有$e^{t\Delta}\in L^{\infty}$,且$t^{\frac{r}{2}}\|e^{t\Delta}f\|_{\infty}\in L^{\infty}([0, \infty);L^{\infty})$ (具体可参见文献[38]). $\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$有如下的等价定义

其中${\cal S}'({\Bbb R}^3)$表示Schwartz空间${\cal S}({\Bbb R}^3)$的对偶.

下面介绍一个在主要结果证明过程中需要的引理[11].

引理2.1   设$s>0$, $r\in (-s, 0)$,且点乘算子是从$\big(\dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)\big)\times \big(\dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)\big)$$\dot{H}^{s+r}({\Bbb R}^3)$的有界双线性算子.则对任意的$f, g\in \dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)$,有

其中$\dot{H}^{s}({\Bbb R}^3)$表示齐次Sobolev空间,常数$C$不依赖于$f$$g$.

另外,在证明过程中需要如下的Gagliardo-Nirenberg不等式[39-40]:

引理2.2  设$f\in W^{k, r}({\Bbb R}^n)\cap L^q({\Bbb R}^n), 1\leq q, r\leq \infty$.则对任意的$i\in [0, k)$, $\frac{i}{k}\leq\theta\leq 1$,有如下不等式成立

其中

常数$C_0$只依赖于$n, m, i, \theta, q$$r$.特别地,有

(1) 若$i=0, rk<n, q=\infty$,则需增加假设:或者$f$趋向于0,或者$f\in L^{\tilde{q}}({\Bbb R}^n)$, $0<\tilde{q}<\infty$.

(2) 若$1<r<\infty$, $k-i-\frac{n}{r}$为非负整数,则上述不等式成立当且仅当$\theta$满足$\frac{i}{k}\leq\theta< 1$.

下述的交换子估计是由Kato-Ponce所证[41].

引理2.3  设$s>0, 1<p<\infty$, $f, g\in {\cal S}({\Bbb R}^3)$.则有

其中$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{q_1}=\frac{1}{p_2}+\frac{1}{q_2}$.

最后,我们介绍如下对数型Sobolev不等式[42].

引理2.4   设$s>\frac{n}{p}, 1\leq p\leq\infty$, $f\in \dot{B}_{\infty, \infty}^0({\Bbb R}^3)\cap W^{s, p}({\Bbb R}^3)$.则我们有

其中

3 定理1.1的证明

本节给出定理1.1的证明.不失一般性,我们假设$\mu=\kappa=1$.$T>0$为一给定的固定时间.事实上,我们仅需给出当$t\in [0, T)$,初值为$(u_0, b_0)$,且满足正则性条件(1.2)时, $\|u(t, \cdot)\|_{H^s}+\|b(t, \cdot)\|_{H^s}$的先验估计.

首先,将算子$\Lambda^s$应用于(1.1)的第一个方程

$ \begin{equation} \partial_t\Lambda^s u+\Lambda^s(u\cdot\nabla u)+\Lambda^{s+2\alpha} u+\Lambda^s\nabla P=\Lambda^s(b\cdot\nabla b). \end{equation}$

在方程(3.1)的两端乘以$\Lambda^s u$,并将所得方程在${\Bbb R}^3$上积分,应用Hölder不等式,可得

$ \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}\\& =&\langle\Lambda^s(b\cdot\nabla b), \Lambda^s u \rangle-\langle\Lambda^s(u\cdot\nabla u), \Lambda^s u \rangle\\&=&\langle\Lambda^s\nabla\cdot(b\otimes b), \Lambda^s u \rangle-\langle\Lambda^s\nabla\cdot(u\otimes u), \Lambda^s u\rangle\\& =&\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(b\otimes b), \Lambda^{s-\alpha+r+1} u\rangle-\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(u\otimes u), \Lambda^{s-\alpha+r+1} u\rangle\\&\leq&\|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes b)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2+\|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes u)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2\\&\doteq&I_1+I_2. \end{eqnarray}$

对第二项$I_2$,根据引理2.1和引理2.2,有

其中$\theta=\frac{r+1}{\alpha}-1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$, $r\in [0, 1)$.

由上述两个不等式及Young不等式,可得

$ \begin{eqnarray} I_2&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s}u\|_2^{2-\frac{r+1}{\alpha}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\frac{r+1}{\alpha}}\\&=&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1+r}{2\alpha}}\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2. \end{eqnarray}$

对第一项$I_1$,类似讨论可得

$\begin{eqnarray} I_1&\leq&C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2\cdot \|\Lambda^{s}u\|_2^{2-\frac{r+1}{\alpha}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\frac{r+1}{\alpha}-1}\\&\leq&C\left(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1+r-\alpha}{2\alpha}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1}{2}}\\&\leq&C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray} $

将(3.3)式和(3.4)式代入(3.2)式,得

$\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}} +\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right)\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray} $

下面将算子$\Lambda^s$应用于(1.1)式的第二个方程,并将所得方程与$\Lambda^s b$作内积,应用Hölder不等式,得

$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s b\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&=&\langle\Lambda^s(b\cdot\nabla u), \Lambda^s b \rangle-\langle\Lambda^s(u\cdot\nabla b), \Lambda^s b \rangle\\&=&\langle\Lambda^s\nabla\cdot(u\otimes b), \Lambda^s b \rangle-\langle\Lambda^s\nabla\cdot(b\otimes u), \Lambda^s b\rangle\\& =&\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(u\otimes b), \Lambda^{s-\alpha+r+1} b\rangle-\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(b\otimes u), \Lambda^{s-\alpha+r+1} b\rangle\\&\leq&\|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes b)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2+\|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes u)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2. \end{eqnarray} $

由引理2.1,有

$\begin{eqnarray} \|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes b)\|_2&=&\|u\otimes b\|_{\dot{H}^{{s+\alpha-r}}}\\&\leq&C(\|u\|_{\dot{H}^{{s+\alpha}}}\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}+\|b\|_{\dot{H}^{{s+\alpha}}}\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}})\\&\leq&C(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2+\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2) \end{eqnarray}$

$ \begin{equation} \|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes u)\|_2\leq C(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2+\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2). \end{equation}$

将(3.7)式和(3.8)式代入(3.6)式,类似于文中上面估计$I_1$$I_2$中的$\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2$项,有

$ \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s b\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&\leq&C(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2 +\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2)\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2\cdot\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^{\frac{1+r}{\alpha}-1}\|\Lambda^{s}b\|_2^{2-\frac{1+r}{\alpha}}\\&&+C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2\cdot\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^{\frac{1+r}{\alpha}-1}\|\Lambda^{s}b\|_2^{2-\frac{1+r}{\alpha}}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1+r}{2\alpha}}\\&&+C\left(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1+r-\alpha}{2\alpha}}\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\\&&+C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \|\Lambda^{s}b\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray} $

结合(3.5)式和(3.9)式,可得

这表明

$ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right)\leq C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right). \end{equation} $

应用Gronwall不等式,由(3.10)式可得

定理1.1证毕.

4 定理1.2的证明

本节给出定理1.2的证明.我们应用文献[43]中的方法来完成证明.

在(1.4)式的两端应用算子$\nabla$,将所得方程分别与$\nabla u$$\nabla \theta$$L^2$内积,得

利用Hölder不等式和不可压条件$\nabla\cdot u=0$,可得

$\begin{eqnarray}&& \|\nabla u(t)\|_2^2+\|\nabla \theta(t)\|_2^2+2\int_{T_0}^t \|\Lambda^{\alpha+1}u\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&(\|\nabla u(T_0)\|_2^2+\|\nabla \theta(T_0)\|_2^2)\exp\left(C\int_{T_0}^t(\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}+1){\rm d}\tau\right), \end{eqnarray} $

其中$0<T_0<t<T$.

根据定理1.2,对任意小的常数$\epsilon>0$,存在正数$T^{\ast} (<T)$使得

$\begin{equation} \int_{T^{\ast}}^T\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}{\rm d}\tau\leq \epsilon. \end{equation}$

定义

$p=2$, $s=2$,利用引理2.4,有

$\begin{eqnarray} & &\|\nabla u(t)\|_2^2+\|\nabla \theta\|_2^2+2\int_{T^{\ast}}^t \|\Lambda^{\alpha+1}u\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&C_1\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B_{\infty, \infty}^0}}\ln^{++}\|u(\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau\right)\\&\leq&C_1\exp\left(C_0\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B_{\infty, \infty}^0}}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta(\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau\right)\\&\leq&C_1\exp(C_0\epsilon\ln^{++}\Phi(t))=C_1\Phi(t)^{C_0\epsilon}, \end{eqnarray}$

其中$C_1$依赖于$\|\nabla u(T_0)\|_2^2+\|\nabla \theta(T_0)\|_2^2$.

在(1.4)式的两端应用算子$\Delta$,将所得方程分别与$\Delta u$$\Delta \theta$$L^2$作内积,得

$ \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Delta u(t)\|_2^2+\|\Delta\theta(t)\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2\\& =&-\int\Delta[(u\cdot\nabla)u]\cdot\Delta u {\rm d}x+\int\Delta(\theta e_3)\cdot\Delta u {\rm d}x-\int\Delta[(u\cdot\nabla)\theta]\Delta\theta {\rm d}x\\&=&-\int\Delta u\cdot\nabla u\cdot\Delta u {\rm d}x-2\int\nabla u\cdot\nabla\nabla u\cdot\Delta u{\rm d}x+\int\Delta(\theta e_3)\cdot\Delta u {\rm d}x\\& &-\int\Delta u\cdot\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x-2\int\nabla u\cdot\nabla\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x\\& \doteq &J_1+J_2+J_3+J_4+J_5. \end{eqnarray}$

利用Hölder不等式和Young不等式,有

对于第四项$J_4$,有

其中$\frac{1}{p}+\frac{2}{q}=1, p>2, 2<q<4$.利用Sobolev不等式,可得

其中$\eta_1=\frac{\alpha-\frac{5}{2}+\frac{3}{p}}{\alpha+2}, \eta_2=\frac{3}{q}-\frac{1}{2}$.注意到$4(1-\eta_2)<3$,将上述两个估计代入$J_4$中,应用Young不等式,有

将上文中$J_1-J_5$的各项估计代入(4.3)式,得

$\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Delta u(t)\|_2^2+\|\Delta\theta(t)\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2\\ &\leq&C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+1)+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}. \end{eqnarray} $

再应用Gronwall不等式,有

$ \begin{eqnarray} & &\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&(\|\Delta u(T^{\ast})\|_2^2+\|\Delta\theta(T^{\ast})\|_2^2+C\int_{T^{\ast}}^t\Phi(\tau)^{C_0\epsilon}{\rm d}\tau) \exp\left( C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}){\rm d}\tau \right). \end{eqnarray} $

$p=2$, $s=2$,利用引理2.4,得

$\begin{eqnarray} & &\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2{\rm d}\tau\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta (\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau \right)\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}. \end{eqnarray}$

接下来,我们将给出$u$$\theta$的高阶导数估计.不失一般性,我们仅给出$H^3$范数的情形.在(1.4)式的两端应用算子$\nabla^3$,将所得方程分别与$\nabla^3 u$$\nabla^3\theta$$L^2$内积,得

$\begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2\\& =&-\int[\nabla^3(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla^3 u{\rm d}x+\int\nabla^3(\theta e_3)\cdot\nabla^3 u{\rm d}x-\int\nabla^3[(u\cdot\nabla)\theta]\nabla^3\theta {\rm d}x\\ &\doteq&K_1+K_2+K_3. \end{eqnarray} $

利用不可压条件$\nabla\cdot u=0$, Hölder不等式和引理2.3,有

$\begin{eqnarray} K_1&=&-\int[\nabla^3(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla^3 u{\rm d}x\\& =&-\int[\nabla^3[(u\cdot\nabla)u]-(u\cdot\nabla)\nabla^3 u]\cdot\nabla^3 u {\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla^3[(u\cdot\nabla)u]-(u\cdot\nabla)\nabla^3 u\|_2\|\nabla^3 u\|_2\\& \leq&C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3 u\|_2^2, \end{eqnarray}$

$ \begin{equation} K_2\leq \|\nabla^3 u\|_2\|\nabla^3 \theta\|_2\leq C(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2). \end{equation} $

对于第三项$K_3$,应用分部积分和Hölder不等式,可得

利用Young不等式, (4.3)式, (4.7)式和下述Sobolev不等式

其中$\sigma_1=\frac{1}{4}, \sigma_2=1-\frac{3}{4(1+\alpha)}$, $\sigma_3=\frac{\alpha-\frac{3}{4}}{1+\alpha}$,可得

这里用到了$\frac{2\sigma_3}{1+\sigma_3}+\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_3}+\frac{2(1-\sigma_1)}{1+\sigma_3}=2, \frac{2\sigma_2}{1+\sigma_2}+\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_2}<2$.则由上述估计,我们有

$\begin{equation}K_3\leq\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\left(\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}+\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}\right) +\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3 \theta\|_2^2. \end{equation}$

将(4.9)--(4.11)式代入(4.8)式,可得

这表明若选取足够小的$\epsilon$,有

应用Gronwall不等式,有

$\Phi(t)$$t\in [T^{\ast}, T]$上是一致有界的.由经典Picard方法[44-45],易得解$(u, \theta)$在时刻$t=T$处是光滑的.定理1.2证毕.

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