三维广义MHD方程和Boussinesq方程正则性准则的注记

三维广义MHD方程和Boussinesq方程正则性准则的注记

邱华¹, 谢常平², 房少梅^,³

Remarks on Regularity Criteria for 3D Generalized MHD Equations and Boussinesq Equations

Qiu Hua¹, Xie Changping², Fang Shaomei^,³

通讯作者: 房少梅, E-mail: dz90@scau.edu.cn

收稿日期: 2018-01-12

基金资助:

国家自然科学基金.  11126266
国家自然科学基金.  11271141
广东省自然科学基金.

家留学基金委员会

Received: 2018-01-12

Fund supported:

the NSFC.  11126266
the NSFC.  11271141
the Natural Science Foundation of Guangdong Province.

the China Scholarship Council

摘要

该文研究三维具有分数阶耗散项的广义MHD方程，得到了在负指标齐次Besov空间意义下速度场u与磁场b和的正则性准则，推广了已有结论.另外，该文还得到了三维分数阶耗散广义Boussinesq方程光滑解关于速度梯度的一个正则性准则.

关键词： 广义MHD方程 ; 广义Boussinesq方程 ; 正则性准则 ; Besov空间

Abstract

In this paper, we study the 3D generalized MHD system with dissipation and diffusion in terms of fractional Laplacian. We obtain a regularity criterion of solution for the generalized MHD equations in terms of the summation of velocity field u and magnetic field b under the framework of homogeneous Besov space with negative indices, which extends the previous results. We also present a regularity criterion of smooth solution to the 3D generalized Boussinesq equations with fractional dissipation in terms of the gradient of velocity only.

Keywords： Generalized MHD equations ; Generalized Boussinesq equations ; Regularity criterion ; Besov spaces

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本文引用格式

邱华, 谢常平, 房少梅. 三维广义MHD方程和Boussinesq方程正则性准则的注记. 数学物理学报[J], 2019, 39(2): 316-328 doi:

Qiu Hua, Xie Changping, Fang Shaomei. Remarks on Regularity Criteria for 3D Generalized MHD Equations and Boussinesq Equations. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(2): 316-328 doi:

1 引言

本文研究如下三维广义MHD方程

$\begin{equation}\label{pro} \left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}+u\cdot \nabla u-b\cdot\nabla b+\mu\Lambda^{2\alpha}u+\nabla P=0, \\[3mm] \frac{\partial b}{\partial t}+u\cdot \nabla b-b\cdot\nabla u+\kappa\Lambda^{2\beta}b=0, \nabla\cdot u=\nabla\cdot b=0, \\ (u(0, x), b(0, x))=(u_0, b_0), \quad (t, x)\in (0, \infty)\times{\Bbb R}^3, \end{array}\right. \end{equation}$

(1.1)

其中 $u$ 表示流体的速度场, $b$ 为磁场, $P$ 为压力; $u_0$ 和 $b_0$ 分别为给定的在分布意义下的流体初始速度和初始磁场,且满足 $\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$ ; $\mu, \kappa\geq 0$ 分别为粘性系数和扩散系数; $\alpha, \beta>0$ 是参数,且 $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ 通过Fourier变换定义： $\widehat{\Lambda f}(\xi)=|\xi|\widehat{f}(\xi)$ .

广义MHD方程是将通常的MHD方程中的拉普拉斯算子 $-\Delta$ 替换为分数次拉普拉斯算子 $\Lambda^{2\alpha}$ 和 $\Lambda^{2\beta}$ 得到的.当 $\alpha=\beta=1$ ,广义MHD方程退化为通常的MHD方程;当 $\alpha=1$ , $b=0$ ,广义MHD方程退化为经典的Navier-Stokes方程.然而,正如三维Navier-Stokes方程和MHD方程,三维广义MHD方程是否存在整体光滑解依然是一个公开问题.此外,三维广义MHD方程具有与Navier-Stokes方程和MHD方程类似的尺度性质和能量估计,因此,研究方程(1.1)有助于对Navier-Stokes方程和MHD方程的理解.

近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当 $\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$ 时只依赖于速度场 $u$ 的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况： $1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$ 和 $1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$ ,并建立了关于速度场 $u$ 的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当 $0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$ 时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献.

本文,我们考虑三维广义MHD方程(1.1)光滑解的爆破准则,并得到当 $\alpha=\beta$ 时,在负指标Besov空间意义下光滑解的正则性准则.

下面,我们先给出三维广义MHD方程(1.1)的弱解定义.

定义1.1 假设 $u_{0}, b_{0}\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$ . $(u, b)$ 称为(1.1)的弱解,如果满足如下条件

(1) $u\in L^{\infty}(0, T; L^{2}({\Bbb R}^{3}))\cap L^{2}(0, T; H^{\alpha}({\Bbb R}^{3})), b\in L^{\infty}(0, T; L^{2}({\Bbb R}^{3}))\cap L^{2}(0, T; H^{\beta}({\Bbb R}^{3}))$ ;

(2) 在分布意义下 $\nabla\cdot u=0$ , $\nabla\cdot b=0$ ;

(3) 对任意 $\phi, \varphi\in C_{0}^{\infty}({\Bbb R}^{3}\times [0, T))$ , $\nabla\cdot \phi=0$ , $\nabla\cdot\varphi=0$ ,有

$\int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}\left (\frac{\partial \phi}{\partial t}+u\cdot\nabla\phi\right)u {\rm d}x{\rm d}t+\int_{{\Bbb R}^{3}}u_0\cdot\phi(x, 0){\rm d}x=\int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}(u\Lambda^{2\alpha}\phi+b\cdot\nabla\phi b){\rm d}x{\rm d}t,$

$\int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}\left (\frac{\partial \varphi}{\partial t}+u\cdot\nabla\varphi\right)b {\rm d}x{\rm d}t+\int_{{\Bbb R}^{3}}b_0\cdot\varphi(x, 0){\rm d}x=\int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}(b\Lambda^{2\beta}\varphi+b\cdot\nabla\varphi u){\rm d}x{\rm d}t,$

其中 $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ ;

(4) $(u, b)$ 满足如下能量不等式

$\|u(t)\|_{L^2}^2+\|b(t)\|_{L^2}^2+2\int_0^t(\mu\|\Lambda^{\alpha}u(\tau)\|_{L^2}^2+\kappa\|\Lambda^{\beta}b(\tau)\|_{L^2}^2){\rm d}\tau\leq \|u_0\|_{L^2}^2+\|b_0\|_{L^2}^2.$

本文的第一个主要结果如下.

定理1.1 假设流体的初始速度与磁场 $(u_0, b_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$ , $s\geq \frac{1}{2}$ , $\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$ ,且 $(u(t, x), b(t, x))$ 为三维广义MHD方程(1.1)在 $t\in[0, T)$ 时的光滑解.若

$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

(1.2)

则解 $(u(t, x), b(t, x))$ 在时刻 $t=T$ 处仍然是光滑的,其中 $0\leq r<1$ , $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$ .

进一步地,我们有如下推论.

推论1.1 假设流体的初始速度与磁场 $(u_0, b_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$ , $s\geq \frac{1}{2}$ , $\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$ ,且 $(u(t, x), b(t, x))$ 为三维广义MHD方程(1.1)在 $t\in[0, T)$ 时的光滑解.若 $T$ 为最大存在时间,则

$\int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t=\infty,$

其中 $0\leq r<1$ , $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$ .

注1.1 若 $\alpha=1$ , $b=0$ ,方程(1.1)退化为经典的三维Navier-Stokes方程.则定理1.1包含了Kozono-Shimada的结果^[11].

注1.2 在定理1.1的假设下,条件(1.2)可以改进为如下的对数型正则准则,即：若

$\begin{eqnarray}\int_{0}^{T}\frac{\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}} {1+\ln(e+\|u(t)\|_{H^s}+\|b(t)\|_{H^s})}{\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

(1.3)

则解 $(u(t, x), b(t, x))$ 在时刻 $t=T$ 处仍然是光滑的,其中 $0\leq r<1$ , $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$ .

注1.3 由于如下嵌入关系

$L^{\frac{3}{r}}({\Bbb R}^{3})\hookrightarrow L^{\frac{3}{r}, \infty}({\Bbb R}^{3})\hookrightarrow\dot{X}_r({\Bbb R}^{3}) \hookrightarrow \dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}({\Bbb R}^{3}), \ \ 0\leq r<1$

成立,因此,我们的结果推广了文献[12-14]中 $\alpha=1$ , $b=0$ 时的主要结果.

注1.4 条件(1.2)表示在齐次负指标Besov空间中速度场 $u$ 和磁场 $b$ 的和,因此,条件(1.2)不同于文献[15-17]中只依赖于 $u$ 的正则性准则,并且它们不存在蕴含关系.

本文亦考虑了如下 $n$ 维分数阶耗散不可压Boussinesq方程

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot \nabla) u+\mu \Lambda^{2 \alpha} u+\nabla P=\theta e_{n}}, \\ {\frac{\partial \theta}{\partial t}+(u \cdot \nabla) \theta=0}, \\ {\nabla \cdot u=0} ,\\ {u(0, x)=u_{0}, \quad \theta(0, x)=\theta_{0}},\end{array}\right.$

(1.4)

其中, $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ , $u(t, x)=(u_1(t, x), u_2(t, x), \cdots, u_n(t, x))$ 表示流体速度场, $P=P(t, x)$ 为压力, $\theta=\theta (t, x)$ 为温度, $\mu>0$ 为运动粘性常数, $e_n=(0, \cdots, 0, 1)^{T}$ 为 $x_n$ 方向的单位向量, $u_0$ 和 $\theta_0$ 分别为给定的初始速度和温度,且 $\nabla\cdot u_0=0$ .

Boussinesq方程不仅在大气科学中有着重要应用^[18],也是地球物理科学中的重要模型^[19].因此,经典的Boussinesq方程和广义的Boussinesq方程最近已经引起了很多关注.然而,高维Boussinesq方程的整体适定性问题仍然是一个公开问题.最近, Xiang-Yan^[20]得到了方程(1.4)在 $\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$ 古典解的整体存在性, Ye^[21]又证明了当 $\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$ 其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki^[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在 $\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$ 的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当 $1<\alpha<\frac{5}{4}$ , $n=3$ 时,其光滑解的正则性准则.

注意到涡度项是高维流体力学适定性理论的主要难点之一,目前已有许多关于带不同形式耗散项的二维Boussinesq方程的研究(参见文献[23-36]及其中的相关文献).

本文的第二个主要结果如下.

定理1.2 假设流体的初始速度与温度 $(u_0, \theta_{0})\in H^{m}({\Bbb R}^3)$ , $m\geq 3$ , $\nabla\cdot u_0=0$ , $1<\alpha<\frac{5}{4}$ , $(u, \theta)$ 为问题(1.4)在 $0\leq t<T$ 上的光滑解.若

$\begin{eqnarray} \nabla u\in L^1(0, T;\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}({\Bbb R}^3)), \end{eqnarray}$

(1.5)

则解 $(u, \theta)$ 在时刻 $t=T$ 处仍然是光滑的.

注1.5 由{\rm Biot-Savart}定律,根据 $\|\nabla\times u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}\approx\|\nabla u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}$ ,易知定理1.2是文献[37]中定理1.1的改进,该文证明了三维具有部分粘性Boussinesq方程类似的正则性准则.

在本节的最后,我们指出,类似于定理1.1,我们也可以建立如下带粘性项 $\mu\Lambda^{2\alpha}u$ 和扩散项 $\kappa\Lambda^{2\beta}\theta$ 的三维广义Boussinesq方程

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + (u \cdot \nabla )u + \mu {\Lambda ^{2\alpha }}u + \nabla P = \theta {e_3},}\\{\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + (u \cdot \nabla )\theta + \kappa {\Lambda ^{2\beta }}\theta = 0,}\\{\nabla \cdot u = 0,}\\{u(0,x) = {u_0},\quad \theta (0,x) = {\theta _0},}\end{array}} \right.$

(1.6)

的正则性准则,即如下定理.

定理1.3 假设流体的初始速度与温度 $(u_0, \theta_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$ , $s\geq \frac{1}{2}$ , $\nabla\cdot u_0=0$ , $(u(t, x), \theta(t, x))$ 为三维广义Boussinesq方程(1.6)在 $[0, T)$ 上的光滑解.若

$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| \theta(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

(1.7)

则解 $(u(t, x), \theta(t, x))$ 在时刻 $t=T$ 处仍然是光滑的,其中 $0\leq r<1$ , $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$ .

注1.6 类似于(1.3)式,关于三维广义Boussinesq方程(1.6)的正则性条件(1.7)也可以改进为相应的对数型正则准则,此处我们将其省略.

本文第二节介绍相关记号以及证明中需要的基本知识.第三节和第四节分别证明定理1.1和定理1.2.

2 预备知识

本节给出相关记号与证明中需要的基本知识.本文中, $C$ 表示一般常数, $X$ 表示Banach空间.设 $p\in [1, +\infty]$ , $L^p([0, T];X)$ 表示定义在 $[0, T]$ 上,值域为 $X$ ,满足 $t\longmapsto \|f(t)\|_X$ 属于 $L^p([0, T])$ 的可测函数集.文中将 $L^p([0, T];X)$ 简记为 $L_{T}^{p}(X)$ .另外, $\|\cdot\|_p$ 表示Lebesgue空间 $L^p(X)$ 的范数, $\int_{{\Bbb R}^3}{\rm d}x$ 记为 $\int {\rm d}x$ .

$e^{t\Delta}$ 表示如下定义的热半核

$e^{t\Delta}=K_t\ast f, \ K_t(x)=(4\pi t)^{-\frac{3}{2}}\exp(-\frac{|x|^2}{4t}),$

其中, $t>0$ , $x\in {\Bbb R}^3$ , $\ast$ 表示定义在 ${\Bbb R}^3$ 上的函数的卷积.下面给出 ${\Bbb R}^3$ 上带负数阶 $\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$ 的齐次Besov空间的定义,其中 $r>0$ .众所周知, $f\in {\cal S}'({\Bbb R}^3)$ 属于 $\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$ 当且仅当：对任意的 $t>0$ ,有 $e^{t\Delta}\in L^{\infty}$ ,且 $t^{\frac{r}{2}}\|e^{t\Delta}f\|_{\infty}\in L^{\infty}([0, \infty);L^{\infty})$ (具体可参见文献[38]). $\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$ 有如下的等价定义

$\|f\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}=\sup\limits_{t>0}\{t^{\frac{r}{2}}\|e^{t\Delta}f\|_{\infty}\},$

其中 ${\cal S}'({\Bbb R}^3)$ 表示Schwartz空间 ${\cal S}({\Bbb R}^3)$ 的对偶.

下面介绍一个在主要结果证明过程中需要的引理^[11].

引理2.1 设 $s>0$ , $r\in (-s, 0)$ ,且点乘算子是从 $\big(\dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)\big)\times \big(\dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)\big)$ 到 $\dot{H}^{s+r}({\Bbb R}^3)$ 的有界双线性算子.则对任意的 $f, g\in \dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)$ ,有

$\|fg\|_{\dot{H}^{s+r}({\Bbb R}^3)}\leq C\left(\|f\|_{\dot{H}^{s}({\Bbb R}^3)}\|g\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)} +\|f\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^s({\Bbb R}^3)}\|g\|_{\dot{H}^{r}({\Bbb R}^3)}\right),$

其中 $\dot{H}^{s}({\Bbb R}^3)$ 表示齐次Sobolev空间,常数 $C$ 不依赖于 $f$ 和 $g$ .

另外,在证明过程中需要如下的Gagliardo-Nirenberg不等式^[39-40]:

引理2.2 设 $f\in W^{k, r}({\Bbb R}^n)\cap L^q({\Bbb R}^n), 1\leq q, r\leq \infty$ .则对任意的 $i\in [0, k)$ , $\frac{i}{k}\leq\theta\leq 1$ ,有如下不等式成立

$\|D^if\|_{L^p}\leq C_0\|D^kf\|_{L^r}^{\theta}\|f\|_{L^q}^{1-\theta},$

其中

$\frac{1}{p}=\frac{i}{n}+\theta(\frac{1}{r}-\frac{k}{n})+(1-\theta)\frac{1}{q},$

常数 $C_0$ 只依赖于 $n, m, i, \theta, q$ 和 $r$ .特别地,有

(1) 若 $i=0, rk<n, q=\infty$ ,则需增加假设：或者 $f$ 趋向于0,或者 $f\in L^{\tilde{q}}({\Bbb R}^n)$ , $0<\tilde{q}<\infty$ .

(2) 若 $1<r<\infty$ , $k-i-\frac{n}{r}$ 为非负整数,则上述不等式成立当且仅当 $\theta$ 满足 $\frac{i}{k}\leq\theta< 1$ .

下述的交换子估计是由Kato-Ponce所证^[41].

引理2.3 设 $s>0, 1<p<\infty$ , $f, g\in {\cal S}({\Bbb R}^3)$ .则有

$\|\Lambda^{s}(fg)-f\Lambda^{s}g\|_{L^{p}}\leq C(\|\nabla f\|_{L^{p_1}}\|\Lambda^{s-1} g\|_{L^{q_1}}+\|\Lambda^{s} f\|_{L^{p_2}}\| g\|_{L^{q_2}}),$

$\|\Lambda^{s}(fg)\|_{L^{p}}\leq C(\|\Lambda^{s} f\|_{L^{p_1}}\| g\|_{L^{q_1}}+\| f\|_{L^{p_2}}\|\Lambda^{s} g\|_{L^{q_2}}),$

其中 $\frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{q_1}=\frac{1}{p_2}+\frac{1}{q_2}$ .

最后,我们介绍如下对数型Sobolev不等式^[42].

引理2.4 设 $s>\frac{n}{p}, 1\leq p\leq\infty$ , $f\in \dot{B}_{\infty, \infty}^0({\Bbb R}^3)\cap W^{s, p}({\Bbb R}^3)$ .则我们有

$\|f(x)\|_{L^{\infty}}\leq C(1+\|f(x)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}\ln^{++}\|f(x)\|_{W^{m, p}}),$

其中

$\ln^{++}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln(x), ~~&\mbox{当$x>e$}, \\ 1, &\mbox{当$0\leq x\leq e$}. \end{array}\right.$

3 定理1.1的证明

本节给出定理1.1的证明.不失一般性,我们假设 $\mu=\kappa=1$ .令 $T>0$ 为一给定的固定时间.事实上,我们仅需给出当 $t\in [0, T)$ ,初值为 $(u_0, b_0)$ ,且满足正则性条件(1.2)时, $\|u(t, \cdot)\|_{H^s}+\|b(t, \cdot)\|_{H^s}$ 的先验估计.

首先,将算子 $\Lambda^s$ 应用于(1.1)的第一个方程

$\begin{equation} \partial_t\Lambda^s u+\Lambda^s(u\cdot\nabla u)+\Lambda^{s+2\alpha} u+\Lambda^s\nabla P=\Lambda^s(b\cdot\nabla b). \end{equation}$

(3.1)

在方程(3.1)的两端乘以 $\Lambda^s u$ ,并将所得方程在 ${\Bbb R}^3$ 上积分,应用Hölder不等式,可得

$\begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}\\& =&\langle\Lambda^s(b\cdot\nabla b), \Lambda^s u \rangle-\langle\Lambda^s(u\cdot\nabla u), \Lambda^s u \rangle\\&=&\langle\Lambda^s\nabla\cdot(b\otimes b), \Lambda^s u \rangle-\langle\Lambda^s\nabla\cdot(u\otimes u), \Lambda^s u\rangle\\& =&\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(b\otimes b), \Lambda^{s-\alpha+r+1} u\rangle-\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(u\otimes u), \Lambda^{s-\alpha+r+1} u\rangle\\&\leq&\|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes b)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2+\|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes u)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2\\&\doteq&I_1+I_2. \end{eqnarray}$

(3.2)

对第二项 $I_2$ ,根据引理2.1和引理2.2,有

$\|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes u)\|_2\leq C\|u\|_{\dot{H}^{s+\alpha}}\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}=C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2$

和

$\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2\leq C\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_2^{1-\theta},$

其中 $\theta=\frac{r+1}{\alpha}-1$ , $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$ , $r\in [0, 1)$ .

由上述两个不等式及Young不等式,可得

$\begin{eqnarray} I_2&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s}u\|_2^{2-\frac{r+1}{\alpha}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\frac{r+1}{\alpha}}\\&=&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1+r}{2\alpha}}\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2. \end{eqnarray}$

(3.3)

对第一项 $I_1$ ,类似讨论可得

$\begin{eqnarray} I_1&\leq&C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2\cdot \|\Lambda^{s}u\|_2^{2-\frac{r+1}{\alpha}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\frac{r+1}{\alpha}-1}\\&\leq&C\left(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1+r-\alpha}{2\alpha}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1}{2}}\\&\leq&C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray}$

(3.4)

将(3.3)式和(3.4)式代入(3.2)式,得

$\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}} +\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right)\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray}$

(3.5)

下面将算子 $\Lambda^s$ 应用于(1.1)式的第二个方程,并将所得方程与 $\Lambda^s b$ 作内积,应用Hölder不等式,得

$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s b\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&=&\langle\Lambda^s(b\cdot\nabla u), \Lambda^s b \rangle-\langle\Lambda^s(u\cdot\nabla b), \Lambda^s b \rangle\\&=&\langle\Lambda^s\nabla\cdot(u\otimes b), \Lambda^s b \rangle-\langle\Lambda^s\nabla\cdot(b\otimes u), \Lambda^s b\rangle\\& =&\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(u\otimes b), \Lambda^{s-\alpha+r+1} b\rangle-\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(b\otimes u), \Lambda^{s-\alpha+r+1} b\rangle\\&\leq&\|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes b)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2+\|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes u)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2. \end{eqnarray}$

(3.6)

由引理2.1,有

$\begin{eqnarray} \|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes b)\|_2&=&\|u\otimes b\|_{\dot{H}^{{s+\alpha-r}}}\\&\leq&C(\|u\|_{\dot{H}^{{s+\alpha}}}\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}+\|b\|_{\dot{H}^{{s+\alpha}}}\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}})\\&\leq&C(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2+\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2) \end{eqnarray}$

(3.7)

和

$\begin{equation} \|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes u)\|_2\leq C(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2+\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2). \end{equation}$

(3.8)

将(3.7)式和(3.8)式代入(3.6)式,类似于文中上面估计 $I_1$ 和 $I_2$ 中的 $\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2$ 项,有

$\begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s b\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&\leq&C(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2 +\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2)\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2\cdot\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^{\frac{1+r}{\alpha}-1}\|\Lambda^{s}b\|_2^{2-\frac{1+r}{\alpha}}\\&&+C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2\cdot\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^{\frac{1+r}{\alpha}-1}\|\Lambda^{s}b\|_2^{2-\frac{1+r}{\alpha}}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1+r}{2\alpha}}\\&&+C\left(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1+r-\alpha}{2\alpha}}\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\\&&+C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \|\Lambda^{s}b\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray}$

(3.9)

结合(3.5)式和(3.9)式,可得

$\begin{eqnarray*} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right)+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\right), \end{eqnarray*}$

这表明

$\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right)\leq C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right). \end{equation}$

(3.10)

应用Gronwall不等式,由(3.10)式可得

$\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2} \leq C\left(\|\Lambda^s u_0\|^2_{2}+\|\Lambda^s b_0\|^2_{2}\right)\exp\bigg(C\int_0^T\bigg(\|u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}} +\|b(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\bigg){\rm d}\tau\bigg),$

即

$\| u\|_{H^s}^{2}+\| b\|^2_{H^s} \leq C\left(\| u_0\|^2_{H^s}+\| b_0\|^2_{H^s}\right)\exp\bigg(C\int_0^T\bigg(\|u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}} +\|b(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\bigg){\rm d}\tau\bigg),$

则

$\sup\limits_{t\in[0, T)}\left(\| u(t)\|_{H^s}^{2}+\| b(t)\|^2_{H^s}\right)<\infty.$

定理1.1证毕.

4 定理1.2的证明

本节给出定理1.2的证明.我们应用文献[43]中的方法来完成证明.

在(1.4)式的两端应用算子 $\nabla$ ,将所得方程分别与 $\nabla u$ 和 $\nabla \theta$ 作 $L^2$ 内积,得

$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_2^2+\|\nabla \theta\|_2^2)+\|\Lambda\nabla u\|_2^2\\&=&-\int\nabla[(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla u{\rm d}x+\int\nabla(\theta e_3)\cdot\nabla u{\rm d}x-\int\nabla[(u\cdot\nabla)\theta]\cdot\theta u{\rm d}x\\ &=&-\int\nabla u\cdot\nabla u\cdot\nabla u{\rm d}x+\int\nabla(\theta e_3)\cdot\nabla u{\rm d}x-\int\nabla u\cdot\nabla \theta\cdot\nabla\theta {\rm d}x\\&\leq&C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla u\|_2^2+C\|\nabla\theta\|_2\|\nabla u\|_2+C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla \theta\|_2^2\\& \leq&C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\nabla u\|_2^2+\|\nabla \theta\|_2^2).\end{eqnarray*}$

利用Hölder不等式和不可压条件 $\nabla\cdot u=0$ ,可得

$\begin{eqnarray}&& \|\nabla u(t)\|_2^2+\|\nabla \theta(t)\|_2^2+2\int_{T_0}^t \|\Lambda^{\alpha+1}u\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&(\|\nabla u(T_0)\|_2^2+\|\nabla \theta(T_0)\|_2^2)\exp\left(C\int_{T_0}^t(\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}+1){\rm d}\tau\right), \end{eqnarray}$

(4.1)

其中 $0<T_0<t<T$ .

根据定理1.2,对任意小的常数 $\epsilon>0$ ,存在正数 $T^{\ast} (<T)$ 使得

$\begin{equation} \int_{T^{\ast}}^T\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}{\rm d}\tau\leq \epsilon. \end{equation}$

(4.2)

定义

$\Phi(t)=\sup\limits_{T^{\ast}\leq\tau\leq t}(\|\nabla^3 u(\cdot, \tau)\|_2^2+\|\nabla^3 \theta(\cdot, \tau)\|_2^2), \quad T^{\ast}\leq t<T.$

当 $p=2$ , $s=2$ ,利用引理2.4,有

$\begin{eqnarray} & &\|\nabla u(t)\|_2^2+\|\nabla \theta\|_2^2+2\int_{T^{\ast}}^t \|\Lambda^{\alpha+1}u\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&C_1\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B_{\infty, \infty}^0}}\ln^{++}\|u(\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau\right)\\&\leq&C_1\exp\left(C_0\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B_{\infty, \infty}^0}}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta(\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau\right)\\&\leq&C_1\exp(C_0\epsilon\ln^{++}\Phi(t))=C_1\Phi(t)^{C_0\epsilon}, \end{eqnarray}$

(4.3)

其中 $C_1$ 依赖于 $\|\nabla u(T_0)\|_2^2+\|\nabla \theta(T_0)\|_2^2$ .

在(1.4)式的两端应用算子 $\Delta$ ,将所得方程分别与 $\Delta u$ 和 $\Delta \theta$ 作 $L^2$ 作内积,得

$\begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Delta u(t)\|_2^2+\|\Delta\theta(t)\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2\\& =&-\int\Delta[(u\cdot\nabla)u]\cdot\Delta u {\rm d}x+\int\Delta(\theta e_3)\cdot\Delta u {\rm d}x-\int\Delta[(u\cdot\nabla)\theta]\Delta\theta {\rm d}x\\&=&-\int\Delta u\cdot\nabla u\cdot\Delta u {\rm d}x-2\int\nabla u\cdot\nabla\nabla u\cdot\Delta u{\rm d}x+\int\Delta(\theta e_3)\cdot\Delta u {\rm d}x\\& &-\int\Delta u\cdot\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x-2\int\nabla u\cdot\nabla\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x\\& \doteq &J_1+J_2+J_3+J_4+J_5. \end{eqnarray}$

(4.4)

利用Hölder不等式和Young不等式,有

$J_1\leq C\|\nabla u\|_{\infty}\|\Delta u\|_2^2,$

$J_2\leq C\|\nabla u\|_{\infty}\|\Delta u\|_2^2,$

$J_5\leq C\|\nabla u\|_{\infty}\|\Delta \theta\|_2^2$

及

对于第四项 $J_4$ ,有

$\begin{eqnarray*} J_4&=&-\int\Delta u\cdot\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x\\&=&\int\Delta\partial_i u\cdot\nabla\theta\partial_i\theta {\rm d}x\\ &\leq&C\|\nabla\Delta u\|_p\|\nabla\theta\|_q^2\\ &\leq&C\|\nabla\Delta u\|_p^2+\|\nabla\theta\|_q^4, \end{eqnarray*}$

其中 $\frac{1}{p}+\frac{2}{q}=1, p>2, 2<q<4$ .利用Sobolev不等式,可得

$\|\nabla\Delta u\|_p\leq C\|u\|_2^{\eta_1}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^{1-\eta_1},$

$\|\nabla\theta\|_q\leq C\|\nabla\theta\|_2^{\eta_2}\|\Delta\theta\|_2^{1-\eta_2},$

其中 $\eta_1=\frac{\alpha-\frac{5}{2}+\frac{3}{p}}{\alpha+2}, \eta_2=\frac{3}{q}-\frac{1}{2}$ .注意到 $4(1-\eta_2)<3$ ,将上述两个估计代入 $J_4$ 中,应用Young不等式,有

$\begin{eqnarray*} J_4&\leq&C\|u\|_2^{2\eta_1}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^{2(1-\eta_1)}+C\|\nabla\theta\|_2^{4\eta_2}\|\Delta\theta\|_2^{4(1-\eta_2)}\\ &\leq&C\|u\|_2^2+\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^2+C\|\nabla\theta\|_2^{\frac{4\eta_2}{2\eta_2-1}}+C\|\Delta\theta\|_2^2\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^2+C_1\Phi(t)^{C_0\epsilon}+C\|\Delta\theta\|_2^2+C. \end{eqnarray*}$

将上文中 $J_1-J_5$ 的各项估计代入(4.3)式,得

$\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Delta u(t)\|_2^2+\|\Delta\theta(t)\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2\\ &\leq&C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+1)+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}. \end{eqnarray}$

(4.5)

再应用Gronwall不等式,有

$\begin{eqnarray} & &\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&(\|\Delta u(T^{\ast})\|_2^2+\|\Delta\theta(T^{\ast})\|_2^2+C\int_{T^{\ast}}^t\Phi(\tau)^{C_0\epsilon}{\rm d}\tau) \exp\left( C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}){\rm d}\tau \right). \end{eqnarray}$

(4.6)

若 $p=2$ , $s=2$ ,利用引理2.4,得

$\begin{eqnarray} & &\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2{\rm d}\tau\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta (\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau \right)\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}. \end{eqnarray}$

(4.7)

接下来,我们将给出 $u$ 和 $\theta$ 的高阶导数估计.不失一般性,我们仅给出 $H^3$ 范数的情形.在(1.4)式的两端应用算子 $\nabla^3$ ,将所得方程分别与 $\nabla^3 u$ 和 $\nabla^3\theta$ 作 $L^2$ 内积,得

$\begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2\\& =&-\int[\nabla^3(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla^3 u{\rm d}x+\int\nabla^3(\theta e_3)\cdot\nabla^3 u{\rm d}x-\int\nabla^3[(u\cdot\nabla)\theta]\nabla^3\theta {\rm d}x\\ &\doteq&K_1+K_2+K_3. \end{eqnarray}$

(4.8)

利用不可压条件 $\nabla\cdot u=0$ , Hölder不等式和引理2.3,有

$\begin{eqnarray} K_1&=&-\int[\nabla^3(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla^3 u{\rm d}x\\& =&-\int[\nabla^3[(u\cdot\nabla)u]-(u\cdot\nabla)\nabla^3 u]\cdot\nabla^3 u {\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla^3[(u\cdot\nabla)u]-(u\cdot\nabla)\nabla^3 u\|_2\|\nabla^3 u\|_2\\& \leq&C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3 u\|_2^2, \end{eqnarray}$

(4.9)

$\begin{equation} K_2\leq \|\nabla^3 u\|_2\|\nabla^3 \theta\|_2\leq C(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2). \end{equation}$

(4.10)

对于第三项 $K_3$ ,应用分部积分和Hölder不等式,可得

$\begin{eqnarray*} K_3&=&-\int\nabla^3[(u\cdot\nabla)\theta]\nabla^3\theta {\rm d}x\\ &=&-\int[\nabla^3[(u\cdot\nabla)\theta]-(u\cdot\nabla)\nabla^3\theta]\nabla^3\theta {\rm d}x\\& =&-\int \nabla^3 u\cdot\nabla\theta\nabla^3\theta {\rm d}x-3\int\nabla^2\cdot\nabla\nabla\theta\nabla^3\theta {\rm d}x-3\int\nabla u\cdot\nabla\nabla^2\theta\nabla^3\theta {\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla^3 u\|_4\|\nabla\theta\|_4\|\nabla^3\theta\|_2+C\|\nabla^2 u\|_4\|\nabla^2\theta\|_4\|\nabla^3\theta\|_2+C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3\theta\|_2^2. \end{eqnarray*}$

利用Young不等式, (4.3)式, (4.7)式和下述Sobolev不等式

$\|\nabla f\|_4\leq C\|\nabla f\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^2 f\|_2^{1-\sigma_1},$

$\|\nabla^2 f\|_4\leq C\|\nabla^2 f\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^3 f\|_2^{1-\sigma_1},$

$\|\nabla^2 f\|_4\leq C\|\nabla^2 f\|_2^{\sigma_2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 f\|_2^{1-\sigma_2},$

$\|\nabla^3 f\|_4\leq C\|\Delta f\|_2^{\sigma_3}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 f\|_2^{1-\sigma_3},$

其中 $\sigma_1=\frac{1}{4}, \sigma_2=1-\frac{3}{4(1+\alpha)}$ , $\sigma_3=\frac{\alpha-\frac{3}{4}}{1+\alpha}$ ,可得

$\begin{eqnarray*}\|\nabla^3 u\|_4\|\nabla \theta\|_4\|\nabla^3 \theta\|_2& \leq&C\|\Delta u\|_2^{\sigma_3}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^{1-\sigma_3}\|\nabla \theta\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^2 \theta\|_2^{1-\sigma_1}\|\nabla^3 \theta\|_2\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\|\Delta u\|_2^{\frac{2\sigma_3}{1+\sigma_3}}\|\nabla \theta\|_2^{\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_3}}\|\nabla^2 \theta\|_2^{\frac{2(1-\sigma_1)}{1+\sigma_3}}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|\nabla^2 u\|_4\|\nabla^2 \theta\|_4\|\nabla^3 \theta\|_2& \leq&C\|\nabla^2 u\|_2^{\sigma_2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^{1-\sigma_2}\|\nabla^2 \theta\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^3 \theta\|_2^{1-\sigma_1}\|\nabla^3 \theta\|_2\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\|\nabla^2 u\|_2^{\frac{2\sigma_2}{1+\sigma_2}}\|\nabla^2 \theta\|_2^{\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_2}}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}, \end{eqnarray*}$

这里用到了 $\frac{2\sigma_3}{1+\sigma_3}+\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_3}+\frac{2(1-\sigma_1)}{1+\sigma_3}=2, \frac{2\sigma_2}{1+\sigma_2}+\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_2}<2$ .则由上述估计,我们有

$\begin{equation}K_3\leq\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\left(\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}+\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}\right) +\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3 \theta\|_2^2. \end{equation}$

(4.11)

将(4.9)--(4.11)式代入(4.8)式,可得

$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2\\ &\leq&C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\left(\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}+\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}\right), \end{eqnarray*}$

这表明若选取足够小的 $\epsilon$ ,有

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2\leq C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2).$

应用Gronwall不等式,有

$\begin{eqnarray*} &&\Phi(t)+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u(\tau)\|_2^2{\rm d}\tau\\ &\leq&C(T^{\ast})\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}){\rm d}\tau\right)\\ &\leq&C(T^{\ast})\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta(\tau)\|_{H^3}^2)\right)\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}, \end{eqnarray*}$

则 $\Phi(t)$ 在 $t\in [T^{\ast}, T]$ 上是一致有界的.由经典Picard方法^[44-45],易得解 $(u, \theta)$ 在时刻 $t=T$ 处是光滑的.定理1.2证毕.

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文献年度倒序

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Generalized MHD equations

2003

... 近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当

$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

时只依赖于速度场

$u$

的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：

$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$

和

$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$

,并建立了关于速度场

$u$

的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当

$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$

时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献. ...

Regularity criteria for the generalized MHD equations

2008

... 近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当

$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

时只依赖于速度场

$u$

的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：

$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$

和

$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$

,并建立了关于速度场

$u$

的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当

$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$

时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献. ...

Regularity criteria for the generalized viscous MHD equations

2007

... 近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当

$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

时只依赖于速度场

$u$

的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：

$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$

和

$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$

,并建立了关于速度场

$u$

的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当

$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$

时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献. ...

Regularity criteria for the 3D generalized MHD equations in terms of vorticity

2009

... 近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当

$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

时只依赖于速度场

$u$

的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：

$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$

和

$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$

,并建立了关于速度场

$u$

的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当

$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$

时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献. ...

Existence theorem and regularity criteria for the generalized MHD equations

2010

... 近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当

$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

时只依赖于速度场

$u$

的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：

$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$

和

$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$

,并建立了关于速度场

$u$

的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当

$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$

时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献. ...

Regularity criteria for the generalized magnetohydrodynamic equations and the quasi-geostrophic equations

2011

... 近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当

$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

时只依赖于速度场

$u$

的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：

$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$

和

$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$

,并建立了关于速度场

$u$

的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当

$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$

时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献. ...

Logarithmically improved regularity criteria for the generalized Navier-Stokes and related equations

2013

A regularity criterion for the 3D generalized MHD equations

2014

Remarks on the regularity criteria of generalized MHD and Navier-Stokes systems

2013

Logarithmically improved regularity criterion for the 3D generalized magneto-hydrodynamic equations

2014

... 近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当

$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

时只依赖于速度场

$u$

的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：

$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$

和

$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$

,并建立了关于速度场

$u$

的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当

$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$

时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献. ...

Bilinear estimates in homogeneous Triebel-Lizorkin space and the Navier-Stokes equations

2004

... 注1.1 若

$\alpha=1$

$b=0$

,方程(1.1)退化为经典的三维Navier-Stokes方程.则定理1.1包含了Kozono-Shimada的结果^[11]. ...

... 下面介绍一个在主要结果证明过程中需要的引理^[11]. ...

Log improvement of the Prodi-Serrin criteria for Navier-Stokes equations

2007

... 成立,因此,我们的结果推广了文献[12-14]中

$\alpha=1$

$b=0$

时的主要结果. ...

Conditions implying regularity of the three dimensional Navier-Stokes equation

2005

Logarithmically improved regularity criteria for the Navier-Stokes equations in multiplier spaces

2009

... 成立,因此,我们的结果推广了文献[12-14]中

$\alpha=1$

$b=0$

时的主要结果. ...

On the regularity of weak solutions to the magnetohydrodynamic equations

2005

... 注1.4 条件(1.2)表示在齐次负指标Besov空间中速度场

$u$

和磁场

$b$

的和,因此,条件(1.2)不同于文献[15-17]中只依赖于

$u$

的正则性准则,并且它们不存在蕴含关系. ...

Remarks on regularities for the 3D MHD equations

2005

Regularity criterion for the solutions to the 3D MHD equations in the multiplier space

2010

... 注1.4 条件(1.2)表示在齐次负指标Besov空间中速度场

$u$

和磁场

$b$

的和,因此,条件(1.2)不同于文献[15-17]中只依赖于

$u$

的正则性准则,并且它们不存在蕴含关系. ...

2003

... Boussinesq方程不仅在大气科学中有着重要应用^[18],也是地球物理科学中的重要模型^[19].因此,经典的Boussinesq方程和广义的Boussinesq方程最近已经引起了很多关注.然而,高维Boussinesq方程的整体适定性问题仍然是一个公开问题.最近, Xiang-Yan^[20]得到了方程(1.4)在

$\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

古典解的整体存在性, Ye^[21]又证明了当

$\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki^[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在

$\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当

$1<\alpha<\frac{5}{4}$

$n=3$

时,其光滑解的正则性准则. ...

1987

$\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

古典解的整体存在性, Ye^[21]又证明了当

$\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki^[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在

$\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当

$1<\alpha<\frac{5}{4}$

$n=3$

时,其光滑解的正则性准则. ...

Global regularity of solutions to the Boussinesq equations with fractional diffusion

2013

$\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

古典解的整体存在性, Ye^[21]又证明了当

$\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki^[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在

$\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当

$1<\alpha<\frac{5}{4}$

$n=3$

时,其光滑解的正则性准则. ...

A note on global well-posedness of solutions to Boussinesq eqautions with fractional dissipation

2015

$\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

古典解的整体存在性, Ye^[21]又证明了当

$\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki^[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在

$\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当

$1<\alpha<\frac{5}{4}$

$n=3$

时,其光滑解的正则性准则. ...

On the global regularity of N-dimensional generalized Boussinesq system

2015

$\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

古典解的整体存在性, Ye^[21]又证明了当

$\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki^[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在

$\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$

的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当

$1<\alpha<\frac{5}{4}$

$n=3$

时,其光滑解的正则性准则. ...

On the global well-posedness for Boussinesq system

2007

... 注意到涡度项是高维流体力学适定性理论的主要难点之一,目前已有许多关于带不同形式耗散项的二维Boussinesq方程的研究(参见文献[23-36]及其中的相关文献). ...

Global regularity for the 2D anisotropic Boussinesq equations with vertical dissipation

2013

Global regularity for the 2D Boussinesq equations with partial viscosity terms

2006

The 2D Boussinesq equations with logarithmically supercritical velocities

2012

Global well-posedness result for two-dimensional Boussinesq system with a zero diffusivity

2007

Global well-posedness result for two-dimensional Boussinesq system with zero viscosity

2009

Global well-posedness for Euler-Boussinesq system with critical dissipation

2011

On the global well-posedness of the Euler-Boussinesq system with fractional dissipation

2010

Global well-posedness of the viscous Boussinesq equations

2005

The 2D incompressible Boussinesq equations with general critical dissipation

2014

Global well-posedness for the 2D Boussinesq system with anisotropic viscosity and without heat diffusion

2013

On the global well-posedness of a class of Boussinesq-Navier-Stokes systems

2011

Global well-posedness of the 2D Boussinesq equations with fractional Laplacian dissipation

2016

Global regularity of solutions of 2D Boussinesq equations with fractional diffusion

2010

A note on regularity criterion for the 3D Boussinesq system with partial viscosity

2009

... 注1.5 由{\rm Biot-Savart}定律,根据

$\|\nabla\times u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}\approx\|\nabla u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}$

,易知定理1.2是文献[37]中定理1.1的改进,该文证明了三维具有部分粘性Boussinesq方程类似的正则性准则. ...

1983

... 其中,

$t>0$

$x\in {\Bbb R}^3$

$\ast$

表示定义在

${\Bbb R}^3$

上的函数的卷积.下面给出

${\Bbb R}^3$

上带负数阶

$\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$

的齐次Besov空间的定义,其中

$r>0$

.众所周知,

$f\in {\cal S}'({\Bbb R}^3)$

属于

$\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$

当且仅当：对任意的

$t>0$

,有

$e^{t\Delta}\in L^{\infty}$

,且

$t^{\frac{r}{2}}\|e^{t\Delta}f\|_{\infty}\in L^{\infty}([0, \infty);L^{\infty})$

(具体可参见文献[38]).

$\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$

有如下的等价定义 ...

Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili

1958

... 另外,在证明过程中需要如下的Gagliardo-Nirenberg不等式^[39-40]: ...

On elliptic partial differential equations

1959

... 另外,在证明过程中需要如下的Gagliardo-Nirenberg不等式^[39-40]: ...

Commutator estimates and the Euler and Navier-Stokes equations

1988

... 下述的交换子估计是由Kato-Ponce所证^[41]. ...

The critical Sobolev inequalities in Besov spaces and regularity criterion to some semi-linear evolution equations

2002

... 最后,我们介绍如下对数型Sobolev不等式^[42]. ...

BKM's criterion and global weak solutions for magnetohydrodynamics with zero viscosity

2009

... 本节给出定理1.2的证明.我们应用文献[43]中的方法来完成证明. ...

On the Navier-Stokes initial value problem I

1964

... 则

$\Phi(t)$

在

$t\in [T^{\ast}, T]$

上是一致有界的.由经典Picard方法^[44-45],易得解

$(u, \theta)$

在时刻

$t=T$

处是光滑的.定理1.2证毕. ...

Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in

$\mathbb{R}$

1972

... 则

$\Phi(t)$

在

$t\in [T^{\ast}, T]$

上是一致有界的.由经典Picard方法^[44-45],易得解

$(u, \theta)$

在时刻

$t=T$

处是光滑的.定理1.2证毕. ...

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