本文研究如下三维广义MHD方程

(1.1) $\begin{equation}\label{pro} \left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}+u\cdot \nabla u-b\cdot\nabla b+\mu\Lambda^{2\alpha}u+\nabla P=0, \\[3mm] \frac{\partial b}{\partial t}+u\cdot \nabla b-b\cdot\nabla u+\kappa\Lambda^{2\beta}b=0, \nabla\cdot u=\nabla\cdot b=0, \\ (u(0, x), b(0, x))=(u_0, b_0), \quad (t, x)\in (0, \infty)\times{\Bbb R}^3, \end{array}\right. \end{equation}$

其中$u$表示流体的速度场, $b$为磁场, $P$为压力; $u_0$和$b_0$分别为给定的在分布意义下的流体初始速度和初始磁场,且满足$\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$; $\mu, \kappa\geq 0$分别为粘性系数和扩散系数; $\alpha, \beta>0$是参数,且$\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$通过Fourier变换定义：$\widehat{\Lambda f}(\xi)=|\xi|\widehat{f}(\xi)$.

广义MHD方程是将通常的MHD方程中的拉普拉斯算子$-\Delta$替换为分数次拉普拉斯算子$\Lambda^{2\alpha}$和$\Lambda^{2\beta}$得到的.当$\alpha=\beta=1$,广义MHD方程退化为通常的MHD方程;当$\alpha=1$, $b=0$,广义MHD方程退化为经典的Navier-Stokes方程.然而,正如三维Navier-Stokes方程和MHD方程,三维广义MHD方程是否存在整体光滑解依然是一个公开问题.此外,三维广义MHD方程具有与Navier-Stokes方程和MHD方程类似的尺度性质和能量估计,因此,研究方程(1.1)有助于对Navier-Stokes方程和MHD方程的理解.

近年来,许多学者就三维广义MHD方程(1.1)的正则性问题进行了研究. Wu^[1-2]获得了当$\alpha, \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$时只依赖于速度场$u$的正则性准则. Zhou^[3]研究了如下两种情况：$1\leq\alpha=\beta\leq\frac{3}{2}$和$1\leq \beta\leq\frac{5}{4}\leq\alpha<\frac{5}{2}$,并建立了关于速度场$u$的Serrin型准则. Wu^[4]和Yuan^[5]通过Fourier局部化方法和Bony的仿积分解,得到了当$0<\alpha=\beta\leq\frac{5}{4}$时的正则性准则.关于方程(1.1)的Serrin型正则性准则,可参见文献[6-10]及其中的参考文献.

本文,我们考虑三维广义MHD方程(1.1)光滑解的爆破准则,并得到当$\alpha=\beta$时,在负指标Besov空间意义下光滑解的正则性准则.

下面,我们先给出三维广义MHD方程(1.1)的弱解定义.

定义1.1  假设$u_{0}, b_{0}\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$. $(u, b)$称为(1.1)的弱解,如果满足如下条件

(1) $u\in L^{\infty}(0, T; L^{2}({\Bbb R}^{3}))\cap L^{2}(0, T; H^{\alpha}({\Bbb R}^{3})), b\in L^{\infty}(0, T; L^{2}({\Bbb R}^{3}))\cap L^{2}(0, T; H^{\beta}({\Bbb R}^{3}))$;

(2) 在分布意义下$\nabla\cdot u=0$, $\nabla\cdot b=0$;

(3) 对任意$\phi, \varphi\in C_{0}^{\infty}({\Bbb R}^{3}\times [0, T))$, $\nabla\cdot \phi=0$, $\nabla\cdot\varphi=0$,有

$ \int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}\left (\frac{\partial \phi}{\partial t}+u\cdot\nabla\phi\right)u {\rm d}x{\rm d}t+\int_{{\Bbb R}^{3}}u_0\cdot\phi(x, 0){\rm d}x=\int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}(u\Lambda^{2\alpha}\phi+b\cdot\nabla\phi b){\rm d}x{\rm d}t, $

$\int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}\left (\frac{\partial \varphi}{\partial t}+u\cdot\nabla\varphi\right)b {\rm d}x{\rm d}t+\int_{{\Bbb R}^{3}}b_0\cdot\varphi(x, 0){\rm d}x=\int_{0}^{T}\int_{{\Bbb R}^{3}}(b\Lambda^{2\beta}\varphi+b\cdot\nabla\varphi u){\rm d}x{\rm d}t, $

其中$\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$;

(4) $(u, b)$满足如下能量不等式

$\|u(t)\|_{L^2}^2+\|b(t)\|_{L^2}^2+2\int_0^t(\mu\|\Lambda^{\alpha}u(\tau)\|_{L^2}^2+\kappa\|\Lambda^{\beta}b(\tau)\|_{L^2}^2){\rm d}\tau\leq \|u_0\|_{L^2}^2+\|b_0\|_{L^2}^2. $

本文的第一个主要结果如下.

定理1.1  假设流体的初始速度与磁场$(u_0, b_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$, $s\geq \frac{1}{2}$, $\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$,且$(u(t, x), b(t, x))$为三维广义MHD方程(1.1)在$t\in[0, T)$时的光滑解.若

(1.2) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

则解$(u(t, x), b(t, x))$在时刻$t=T$处仍然是光滑的,其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

进一步地,我们有如下推论.

推论1.1  假设流体的初始速度与磁场$(u_0, b_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$, $s\geq \frac{1}{2}$, $\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot b_0=0$,且$(u(t, x), b(t, x))$为三维广义MHD方程(1.1)在$t\in[0, T)$时的光滑解.若$T$为最大存在时间,则

$\int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t=\infty, $

其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

注1.1   若$\alpha=1$, $b=0$,方程(1.1)退化为经典的三维Navier-Stokes方程.则定理1.1包含了Kozono-Shimada的结果^[11].

注1.2  在定理1.1的假设下,条件(1.2)可以改进为如下的对数型正则准则,即：若

(1.3) $\begin{eqnarray}\int_{0}^{T}\frac{\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| b(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}} {1+\ln(e+\|u(t)\|_{H^s}+\|b(t)\|_{H^s})}{\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

则解$(u(t, x), b(t, x))$在时刻$t=T$处仍然是光滑的,其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

注1.3   由于如下嵌入关系

$L^{\frac{3}{r}}({\Bbb R}^{3})\hookrightarrow L^{\frac{3}{r}, \infty}({\Bbb R}^{3})\hookrightarrow\dot{X}_r({\Bbb R}^{3}) \hookrightarrow \dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}({\Bbb R}^{3}), \ \ 0\leq r<1$

成立,因此,我们的结果推广了文献[12-14]中$\alpha=1$, $b=0$时的主要结果.

注1.4   条件(1.2)表示在齐次负指标Besov空间中速度场$u$和磁场$b$的和,因此,条件(1.2)不同于文献[15-17]中只依赖于$u$的正则性准则,并且它们不存在蕴含关系.

本文亦考虑了如下$n$维分数阶耗散不可压Boussinesq方程

(1.4) $\left\{\begin{array}{l}{\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot \nabla) u+\mu \Lambda^{2 \alpha} u+\nabla P=\theta e_{n}}, \\ {\frac{\partial \theta}{\partial t}+(u \cdot \nabla) \theta=0}, \\ {\nabla \cdot u=0} ,\\ {u(0, x)=u_{0}, \quad \theta(0, x)=\theta_{0}},\end{array}\right.$

其中, $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$, $u(t, x)=(u_1(t, x), u_2(t, x), \cdots, u_n(t, x))$表示流体速度场, $P=P(t, x)$为压力, $\theta=\theta (t, x)$为温度, $\mu>0$为运动粘性常数, $e_n=(0, \cdots, 0, 1)^{T}$为$x_n$方向的单位向量, $u_0$和$\theta_0$分别为给定的初始速度和温度,且$\nabla\cdot u_0=0$.

Boussinesq方程不仅在大气科学中有着重要应用^[18],也是地球物理科学中的重要模型^[19].因此,经典的Boussinesq方程和广义的Boussinesq方程最近已经引起了很多关注.然而,高维Boussinesq方程的整体适定性问题仍然是一个公开问题.最近, Xiang-Yan^[20]得到了方程(1.4)在$\alpha\geq \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$古典解的整体存在性, Ye^[21]又证明了当$\alpha= \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$其整体存在性仍然成立.与此同时, Yamazaki^[22]也得到了类似结论.由于方程(1.4)在$\alpha< \frac{1}{2}+\frac{n}{4}$的整体适定性仍未有相应研究,本文考虑方程(1.4)的光滑解的爆破机制.我们得到了在齐次Besov空间意义下当$1<\alpha<\frac{5}{4}$, $n=3$时,其光滑解的正则性准则.

注意到涡度项是高维流体力学适定性理论的主要难点之一,目前已有许多关于带不同形式耗散项的二维Boussinesq方程的研究(参见文献[23-36]及其中的相关文献).

本文的第二个主要结果如下.

定理1.2   假设流体的初始速度与温度$(u_0, \theta_{0})\in H^{m}({\Bbb R}^3)$, $m\geq 3$, $\nabla\cdot u_0=0$, $1<\alpha<\frac{5}{4}$, $(u, \theta)$为问题(1.4)在$0\leq t<T$上的光滑解.若

(1.5) $\begin{eqnarray} \nabla u\in L^1(0, T;\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}({\Bbb R}^3)), \end{eqnarray} $

则解$(u, \theta)$在时刻$t=T$处仍然是光滑的.

注1.5   由{\rm Biot-Savart}定律,根据$\|\nabla\times u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}\approx\|\nabla u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{0}}$,易知定理1.2是文献[37]中定理1.1的改进,该文证明了三维具有部分粘性Boussinesq方程类似的正则性准则.

在本节的最后,我们指出,类似于定理1.1,我们也可以建立如下带粘性项$\mu\Lambda^{2\alpha}u$和扩散项$\kappa\Lambda^{2\beta}\theta$的三维广义Boussinesq方程

(1.6) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + (u \cdot \nabla )u + \mu {\Lambda ^{2\alpha }}u + \nabla P = \theta {e_3},}\\{\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + (u \cdot \nabla )\theta + \kappa {\Lambda ^{2\beta }}\theta = 0,}\\{\nabla \cdot u = 0,}\\{u(0,x) = {u_0},\quad \theta (0,x) = {\theta _0},}\end{array}} \right.$

的正则性准则,即如下定理.

定理1.3   假设流体的初始速度与温度$(u_0, \theta_0)\in H^s({\Bbb R}^{3})\times H^s({\Bbb R}^{3})$, $s\geq \frac{1}{2}$, $\nabla\cdot u_0=0$, $(u(t, x), \theta(t, x))$为三维广义Boussinesq方程(1.6)在$[0, T)$上的光滑解.若

(1.7) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(\| u(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\| \theta(t)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}){\rm d}t<\infty, \end{eqnarray}$

则解$(u(t, x), \theta(t, x))$在时刻$t=T$处仍然是光滑的,其中$0\leq r<1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$.

注1.6   类似于(1.3)式,关于三维广义Boussinesq方程(1.6)的正则性条件(1.7)也可以改进为相应的对数型正则准则,此处我们将其省略.

本文第二节介绍相关记号以及证明中需要的基本知识.第三节和第四节分别证明定理1.1和定理1.2.

本节给出相关记号与证明中需要的基本知识.本文中, $C$表示一般常数, $X$表示Banach空间.设$p\in [1, +\infty]$, $L^p([0, T];X)$表示定义在$[0, T]$上,值域为$X$,满足$t\longmapsto \|f(t)\|_X$属于$L^p([0, T])$的可测函数集.文中将$L^p([0, T];X)$简记为$L_{T}^{p}(X)$.另外, $\|\cdot\|_p$表示Lebesgue空间$L^p(X)$的范数, $\int_{{\Bbb R}^3}{\rm d}x$记为$\int {\rm d}x$.

$e^{t\Delta}$表示如下定义的热半核

$ e^{t\Delta}=K_t\ast f, \ K_t(x)=(4\pi t)^{-\frac{3}{2}}\exp(-\frac{|x|^2}{4t}), $

其中, $t>0$, $x\in {\Bbb R}^3$, $\ast$表示定义在${\Bbb R}^3$上的函数的卷积.下面给出${\Bbb R}^3$上带负数阶$\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$的齐次Besov空间的定义,其中$r>0$.众所周知, $f\in {\cal S}'({\Bbb R}^3)$属于$\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$当且仅当：对任意的$t>0$,有$e^{t\Delta}\in L^{\infty}$,且$t^{\frac{r}{2}}\|e^{t\Delta}f\|_{\infty}\in L^{\infty}([0, \infty);L^{\infty})$ (具体可参见文献[38]). $\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}$有如下的等价定义

$ \|f\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}=\sup\limits_{t>0}\{t^{\frac{r}{2}}\|e^{t\Delta}f\|_{\infty}\}, $

其中${\cal S}'({\Bbb R}^3)$表示Schwartz空间${\cal S}({\Bbb R}^3)$的对偶.

下面介绍一个在主要结果证明过程中需要的引理^[11].

引理2.1   设$s>0$, $r\in (-s, 0)$,且点乘算子是从$\big(\dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)\big)\times \big(\dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)\big)$到$\dot{H}^{s+r}({\Bbb R}^3)$的有界双线性算子.则对任意的$f, g\in \dot{H}^s({\Bbb R}^3)\cap\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)$,有

$ \|fg\|_{\dot{H}^{s+r}({\Bbb R}^3)}\leq C\left(\|f\|_{\dot{H}^{s}({\Bbb R}^3)}\|g\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^r({\Bbb R}^3)} +\|f\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^s({\Bbb R}^3)}\|g\|_{\dot{H}^{r}({\Bbb R}^3)}\right), $

其中$\dot{H}^{s}({\Bbb R}^3)$表示齐次Sobolev空间,常数$C$不依赖于$f$和$g$.

另外,在证明过程中需要如下的Gagliardo-Nirenberg不等式^[39-40]:

引理2.2  设$f\in W^{k, r}({\Bbb R}^n)\cap L^q({\Bbb R}^n), 1\leq q, r\leq \infty$.则对任意的$i\in [0, k)$, $\frac{i}{k}\leq\theta\leq 1$,有如下不等式成立

$\|D^if\|_{L^p}\leq C_0\|D^kf\|_{L^r}^{\theta}\|f\|_{L^q}^{1-\theta}, $

其中

$\frac{1}{p}=\frac{i}{n}+\theta(\frac{1}{r}-\frac{k}{n})+(1-\theta)\frac{1}{q}, $

常数$C_0$只依赖于$n, m, i, \theta, q$和$r$.特别地,有

(1) 若$i=0, rk<n, q=\infty$,则需增加假设：或者$f$趋向于0,或者$f\in L^{\tilde{q}}({\Bbb R}^n)$, $0<\tilde{q}<\infty$.

(2) 若$1<r<\infty$, $k-i-\frac{n}{r}$为非负整数,则上述不等式成立当且仅当$\theta$满足$\frac{i}{k}\leq\theta< 1$.

下述的交换子估计是由Kato-Ponce所证^[41].

引理2.3  设$s>0, 1<p<\infty$, $f, g\in {\cal S}({\Bbb R}^3)$.则有

$\|\Lambda^{s}(fg)-f\Lambda^{s}g\|_{L^{p}}\leq C(\|\nabla f\|_{L^{p_1}}\|\Lambda^{s-1} g\|_{L^{q_1}}+\|\Lambda^{s} f\|_{L^{p_2}}\| g\|_{L^{q_2}}), $

$\|\Lambda^{s}(fg)\|_{L^{p}}\leq C(\|\Lambda^{s} f\|_{L^{p_1}}\| g\|_{L^{q_1}}+\| f\|_{L^{p_2}}\|\Lambda^{s} g\|_{L^{q_2}}), $

其中$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{q_1}=\frac{1}{p_2}+\frac{1}{q_2}$.

最后,我们介绍如下对数型Sobolev不等式^[42].

引理2.4   设$s>\frac{n}{p}, 1\leq p\leq\infty$, $f\in \dot{B}_{\infty, \infty}^0({\Bbb R}^3)\cap W^{s, p}({\Bbb R}^3)$.则我们有

$\|f(x)\|_{L^{\infty}}\leq C(1+\|f(x)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}\ln^{++}\|f(x)\|_{W^{m, p}}), $

其中

$\ln^{++}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln(x), ~~&\mbox{当$x>e$}, \\ 1, &\mbox{当$0\leq x\leq e$}. \end{array}\right. $

本节给出定理1.1的证明.不失一般性,我们假设$\mu=\kappa=1$.令$T>0$为一给定的固定时间.事实上,我们仅需给出当$t\in [0, T)$,初值为$(u_0, b_0)$,且满足正则性条件(1.2)时, $\|u(t, \cdot)\|_{H^s}+\|b(t, \cdot)\|_{H^s}$的先验估计.

首先,将算子$\Lambda^s$应用于(1.1)的第一个方程

(3.1) $ \begin{equation} \partial_t\Lambda^s u+\Lambda^s(u\cdot\nabla u)+\Lambda^{s+2\alpha} u+\Lambda^s\nabla P=\Lambda^s(b\cdot\nabla b). \end{equation}$

在方程(3.1)的两端乘以$\Lambda^s u$,并将所得方程在${\Bbb R}^3$上积分,应用Hölder不等式,可得

(3.2) $ \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}\\& =&\langle\Lambda^s(b\cdot\nabla b), \Lambda^s u \rangle-\langle\Lambda^s(u\cdot\nabla u), \Lambda^s u \rangle\\&=&\langle\Lambda^s\nabla\cdot(b\otimes b), \Lambda^s u \rangle-\langle\Lambda^s\nabla\cdot(u\otimes u), \Lambda^s u\rangle\\& =&\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(b\otimes b), \Lambda^{s-\alpha+r+1} u\rangle-\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(u\otimes u), \Lambda^{s-\alpha+r+1} u\rangle\\&\leq&\|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes b)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2+\|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes u)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2\\&\doteq&I_1+I_2. \end{eqnarray}$

对第二项$I_2$,根据引理2.1和引理2.2,有

$ \|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes u)\|_2\leq C\|u\|_{\dot{H}^{s+\alpha}}\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}=C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2 $

和

$\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2\leq C\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_2^{1-\theta}, $

其中$\theta=\frac{r+1}{\alpha}-1$, $\frac{r+1}{2}<\alpha=\beta<r+1$, $r\in [0, 1)$.

由上述两个不等式及Young不等式,可得

(3.3) $ \begin{eqnarray} I_2&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s}u\|_2^{2-\frac{r+1}{\alpha}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\frac{r+1}{\alpha}}\\&=&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1+r}{2\alpha}}\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2. \end{eqnarray}$

对第一项$I_1$,类似讨论可得

(3.4) $\begin{eqnarray} I_1&\leq&C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2\cdot \|\Lambda^{s}u\|_2^{2-\frac{r+1}{\alpha}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^{\frac{r+1}{\alpha}-1}\\&\leq&C\left(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1+r-\alpha}{2\alpha}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1}{2}}\\&\leq&C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray} $

将(3.3)式和(3.4)式代入(3.2)式,得

(3.5) $\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}} +\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right)\|\Lambda^{s}u\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray} $

下面将算子$\Lambda^s$应用于(1.1)式的第二个方程,并将所得方程与$\Lambda^s b$作内积,应用Hölder不等式,得

(3.6) $\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s b\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&=&\langle\Lambda^s(b\cdot\nabla u), \Lambda^s b \rangle-\langle\Lambda^s(u\cdot\nabla b), \Lambda^s b \rangle\\&=&\langle\Lambda^s\nabla\cdot(u\otimes b), \Lambda^s b \rangle-\langle\Lambda^s\nabla\cdot(b\otimes u), \Lambda^s b\rangle\\& =&\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(u\otimes b), \Lambda^{s-\alpha+r+1} b\rangle-\langle\Lambda^{s+\alpha-r-1}\nabla\cdot(b\otimes u), \Lambda^{s-\alpha+r+1} b\rangle\\&\leq&\|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes b)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2+\|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes u)\|_2\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2. \end{eqnarray} $

由引理2.1,有

(3.7) $\begin{eqnarray} \|\Lambda^{s+\alpha-r}(u\otimes b)\|_2&=&\|u\otimes b\|_{\dot{H}^{{s+\alpha-r}}}\\&\leq&C(\|u\|_{\dot{H}^{{s+\alpha}}}\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}+\|b\|_{\dot{H}^{{s+\alpha}}}\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}})\\&\leq&C(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2+\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2) \end{eqnarray}$

和

(3.8) $ \begin{equation} \|\Lambda^{s+\alpha-r}(b\otimes u)\|_2\leq C(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2+\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2). \end{equation}$

将(3.7)式和(3.8)式代入(3.6)式,类似于文中上面估计$I_1$和$I_2$中的$\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}u\|_2$项,有

(3.9) $ \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Lambda^s b\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&\leq&C(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2 +\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2)\|\Lambda^{s-\alpha+r+1}b\|_2\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2\cdot\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^{\frac{1+r}{\alpha}-1}\|\Lambda^{s}b\|_2^{2-\frac{1+r}{\alpha}}\\&&+C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2\cdot\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^{\frac{1+r}{\alpha}-1}\|\Lambda^{s}b\|_2^{2-\frac{1+r}{\alpha}}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1+r}{2\alpha}}\\&&+C\left(\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2\right)^{1-\frac{1+r}{2\alpha}} \left(\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\right)^{\frac{1+r-\alpha}{2\alpha}}\\&\leq&C\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\\&&+C\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\|\Lambda^{s}b\|_2^2 +\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2+\frac{1}{8}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \|\Lambda^{s}b\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_2^2+\frac{1}{4}\|\Lambda^{s+\alpha}b\|_2^2. \end{eqnarray} $

结合(3.5)式和(3.9)式,可得

$\begin{eqnarray*} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right)+\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\\&\leq&C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{2}+\|\Lambda^{s+\alpha} b\|^2_{2}\right), \end{eqnarray*} $

这表明

(3.10) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right)\leq C\left(\|u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}+\|b\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\right) \left(\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2}\right). \end{equation} $

应用Gronwall不等式,由(3.10)式可得

$\|\Lambda^s u\|^2_{2}+\|\Lambda^s b\|^2_{2} \leq C\left(\|\Lambda^s u_0\|^2_{2}+\|\Lambda^s b_0\|^2_{2}\right)\exp\bigg(C\int_0^T\bigg(\|u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}} +\|b(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\bigg){\rm d}\tau\bigg), $

即

$ \| u\|_{H^s}^{2}+\| b\|^2_{H^s} \leq C\left(\| u_0\|^2_{H^s}+\| b_0\|^2_{H^s}\right)\exp\bigg(C\int_0^T\bigg(\|u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}} +\|b(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^{-r}}^{\frac{2\alpha}{2\alpha-r-1}}\bigg){\rm d}\tau\bigg), $

则

$\sup\limits_{t\in[0, T)}\left(\| u(t)\|_{H^s}^{2}+\| b(t)\|^2_{H^s}\right)<\infty.$

定理1.1证毕.

本节给出定理1.2的证明.我们应用文献[43]中的方法来完成证明.

在(1.4)式的两端应用算子$\nabla$,将所得方程分别与$\nabla u$和$\nabla \theta$作$L^2$内积,得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|_2^2+\|\nabla \theta\|_2^2)+\|\Lambda\nabla u\|_2^2\\&=&-\int\nabla[(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla u{\rm d}x+\int\nabla(\theta e_3)\cdot\nabla u{\rm d}x-\int\nabla[(u\cdot\nabla)\theta]\cdot\theta u{\rm d}x\\ &=&-\int\nabla u\cdot\nabla u\cdot\nabla u{\rm d}x+\int\nabla(\theta e_3)\cdot\nabla u{\rm d}x-\int\nabla u\cdot\nabla \theta\cdot\nabla\theta {\rm d}x\\&\leq&C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla u\|_2^2+C\|\nabla\theta\|_2\|\nabla u\|_2+C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla \theta\|_2^2\\& \leq&C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\nabla u\|_2^2+\|\nabla \theta\|_2^2).\end{eqnarray*}$

利用Hölder不等式和不可压条件$\nabla\cdot u=0$,可得

(4.1) $\begin{eqnarray}&& \|\nabla u(t)\|_2^2+\|\nabla \theta(t)\|_2^2+2\int_{T_0}^t \|\Lambda^{\alpha+1}u\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&(\|\nabla u(T_0)\|_2^2+\|\nabla \theta(T_0)\|_2^2)\exp\left(C\int_{T_0}^t(\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}+1){\rm d}\tau\right), \end{eqnarray} $

其中$0<T_0<t<T$.

根据定理1.2,对任意小的常数$\epsilon>0$,存在正数$T^{\ast} (<T)$使得

(4.2) $\begin{equation} \int_{T^{\ast}}^T\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}{\rm d}\tau\leq \epsilon. \end{equation}$

定义

$\Phi(t)=\sup\limits_{T^{\ast}\leq\tau\leq t}(\|\nabla^3 u(\cdot, \tau)\|_2^2+\|\nabla^3 \theta(\cdot, \tau)\|_2^2), \quad T^{\ast}\leq t<T.$

当$p=2$, $s=2$,利用引理2.4,有

(4.3) $\begin{eqnarray} & &\|\nabla u(t)\|_2^2+\|\nabla \theta\|_2^2+2\int_{T^{\ast}}^t \|\Lambda^{\alpha+1}u\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&C_1\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B_{\infty, \infty}^0}}\ln^{++}\|u(\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau\right)\\&\leq&C_1\exp\left(C_0\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B_{\infty, \infty}^0}}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta(\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau\right)\\&\leq&C_1\exp(C_0\epsilon\ln^{++}\Phi(t))=C_1\Phi(t)^{C_0\epsilon}, \end{eqnarray}$

其中$C_1$依赖于$\|\nabla u(T_0)\|_2^2+\|\nabla \theta(T_0)\|_2^2$.

在(1.4)式的两端应用算子$\Delta$,将所得方程分别与$\Delta u$和$\Delta \theta$作$L^2$作内积,得

(4.4) $ \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Delta u(t)\|_2^2+\|\Delta\theta(t)\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2\\& =&-\int\Delta[(u\cdot\nabla)u]\cdot\Delta u {\rm d}x+\int\Delta(\theta e_3)\cdot\Delta u {\rm d}x-\int\Delta[(u\cdot\nabla)\theta]\Delta\theta {\rm d}x\\&=&-\int\Delta u\cdot\nabla u\cdot\Delta u {\rm d}x-2\int\nabla u\cdot\nabla\nabla u\cdot\Delta u{\rm d}x+\int\Delta(\theta e_3)\cdot\Delta u {\rm d}x\\& &-\int\Delta u\cdot\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x-2\int\nabla u\cdot\nabla\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x\\& \doteq &J_1+J_2+J_3+J_4+J_5. \end{eqnarray}$

利用Hölder不等式和Young不等式,有

$J_1\leq C\|\nabla u\|_{\infty}\|\Delta u\|_2^2, $

$ J_2\leq C\|\nabla u\|_{\infty}\|\Delta u\|_2^2, $

$ J_5\leq C\|\nabla u\|_{\infty}\|\Delta \theta\|_2^2 $

及

$ J_3\leq C\|\Delta\theta\|_2\|\Delta u\|_2\leq C(\|\Delta \theta\|_2^2+\|\Deltau\|_2^2).$

对于第四项$J_4$,有

$\begin{eqnarray*} J_4&=&-\int\Delta u\cdot\nabla\theta\Delta\theta {\rm d}x\\&=&\int\Delta\partial_i u\cdot\nabla\theta\partial_i\theta {\rm d}x\\ &\leq&C\|\nabla\Delta u\|_p\|\nabla\theta\|_q^2\\ &\leq&C\|\nabla\Delta u\|_p^2+\|\nabla\theta\|_q^4, \end{eqnarray*} $

其中$\frac{1}{p}+\frac{2}{q}=1, p>2, 2<q<4$.利用Sobolev不等式,可得

$ \|\nabla\Delta u\|_p\leq C\|u\|_2^{\eta_1}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^{1-\eta_1}, $

$ \|\nabla\theta\|_q\leq C\|\nabla\theta\|_2^{\eta_2}\|\Delta\theta\|_2^{1-\eta_2}, $

其中$\eta_1=\frac{\alpha-\frac{5}{2}+\frac{3}{p}}{\alpha+2}, \eta_2=\frac{3}{q}-\frac{1}{2}$.注意到$4(1-\eta_2)<3$,将上述两个估计代入$J_4$中,应用Young不等式,有

$\begin{eqnarray*} J_4&\leq&C\|u\|_2^{2\eta_1}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^{2(1-\eta_1)}+C\|\nabla\theta\|_2^{4\eta_2}\|\Delta\theta\|_2^{4(1-\eta_2)}\\ &\leq&C\|u\|_2^2+\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^2+C\|\nabla\theta\|_2^{\frac{4\eta_2}{2\eta_2-1}}+C\|\Delta\theta\|_2^2\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\Delta u\|_2^2+C_1\Phi(t)^{C_0\epsilon}+C\|\Delta\theta\|_2^2+C. \end{eqnarray*}$

将上文中$J_1-J_5$的各项估计代入(4.3)式,得

(4.5) $\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Delta u(t)\|_2^2+\|\Delta\theta(t)\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2\\ &\leq&C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+1)+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}. \end{eqnarray} $

再应用Gronwall不等式,有

(4.6) $ \begin{eqnarray} & &\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2{\rm d}\tau\\& \leq&(\|\Delta u(T^{\ast})\|_2^2+\|\Delta\theta(T^{\ast})\|_2^2+C\int_{T^{\ast}}^t\Phi(\tau)^{C_0\epsilon}{\rm d}\tau) \exp\left( C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}){\rm d}\tau \right). \end{eqnarray} $

若$p=2$, $s=2$,利用引理2.4,得

(4.7) $\begin{eqnarray} & &\|\Delta u\|_2^2+\|\Delta\theta\|_2^2+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\Delta u(t)\|_2^2{\rm d}\tau\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta (\tau)\|_{H^3}^2){\rm d}\tau \right)\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}. \end{eqnarray}$

接下来,我们将给出$u$和$\theta$的高阶导数估计.不失一般性,我们仅给出$H^3$范数的情形.在(1.4)式的两端应用算子$\nabla^3$,将所得方程分别与$\nabla^3 u$和$\nabla^3\theta$作$L^2$内积,得

(4.8) $\begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2\\& =&-\int[\nabla^3(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla^3 u{\rm d}x+\int\nabla^3(\theta e_3)\cdot\nabla^3 u{\rm d}x-\int\nabla^3[(u\cdot\nabla)\theta]\nabla^3\theta {\rm d}x\\ &\doteq&K_1+K_2+K_3. \end{eqnarray} $

利用不可压条件$\nabla\cdot u=0$, Hölder不等式和引理2.3,有

(4.9) $\begin{eqnarray} K_1&=&-\int[\nabla^3(u\cdot\nabla)u]\cdot\nabla^3 u{\rm d}x\\& =&-\int[\nabla^3[(u\cdot\nabla)u]-(u\cdot\nabla)\nabla^3 u]\cdot\nabla^3 u {\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla^3[(u\cdot\nabla)u]-(u\cdot\nabla)\nabla^3 u\|_2\|\nabla^3 u\|_2\\& \leq&C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3 u\|_2^2, \end{eqnarray}$

(4.10) $ \begin{equation} K_2\leq \|\nabla^3 u\|_2\|\nabla^3 \theta\|_2\leq C(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2). \end{equation} $

对于第三项$K_3$,应用分部积分和Hölder不等式,可得

$\begin{eqnarray*} K_3&=&-\int\nabla^3[(u\cdot\nabla)\theta]\nabla^3\theta {\rm d}x\\ &=&-\int[\nabla^3[(u\cdot\nabla)\theta]-(u\cdot\nabla)\nabla^3\theta]\nabla^3\theta {\rm d}x\\& =&-\int \nabla^3 u\cdot\nabla\theta\nabla^3\theta {\rm d}x-3\int\nabla^2\cdot\nabla\nabla\theta\nabla^3\theta {\rm d}x-3\int\nabla u\cdot\nabla\nabla^2\theta\nabla^3\theta {\rm d}x\\ &\leq& C\|\nabla^3 u\|_4\|\nabla\theta\|_4\|\nabla^3\theta\|_2+C\|\nabla^2 u\|_4\|\nabla^2\theta\|_4\|\nabla^3\theta\|_2+C\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3\theta\|_2^2. \end{eqnarray*}$

利用Young不等式, (4.3)式, (4.7)式和下述Sobolev不等式

$\|\nabla f\|_4\leq C\|\nabla f\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^2 f\|_2^{1-\sigma_1}, $

$ \|\nabla^2 f\|_4\leq C\|\nabla^2 f\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^3 f\|_2^{1-\sigma_1}, $

$ \|\nabla^2 f\|_4\leq C\|\nabla^2 f\|_2^{\sigma_2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 f\|_2^{1-\sigma_2}, $

$\|\nabla^3 f\|_4\leq C\|\Delta f\|_2^{\sigma_3}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 f\|_2^{1-\sigma_3}, $

其中$\sigma_1=\frac{1}{4}, \sigma_2=1-\frac{3}{4(1+\alpha)}$, $\sigma_3=\frac{\alpha-\frac{3}{4}}{1+\alpha}$,可得

$\begin{eqnarray*}\|\nabla^3 u\|_4\|\nabla \theta\|_4\|\nabla^3 \theta\|_2& \leq&C\|\Delta u\|_2^{\sigma_3}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^{1-\sigma_3}\|\nabla \theta\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^2 \theta\|_2^{1-\sigma_1}\|\nabla^3 \theta\|_2\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\|\Delta u\|_2^{\frac{2\sigma_3}{1+\sigma_3}}\|\nabla \theta\|_2^{\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_3}}\|\nabla^2 \theta\|_2^{\frac{2(1-\sigma_1)}{1+\sigma_3}}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}, \end{eqnarray*} $

$\begin{eqnarray*} \|\nabla^2 u\|_4\|\nabla^2 \theta\|_4\|\nabla^3 \theta\|_2& \leq&C\|\nabla^2 u\|_2^{\sigma_2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^{1-\sigma_2}\|\nabla^2 \theta\|_2^{\sigma_1}\|\nabla^3 \theta\|_2^{1-\sigma_1}\|\nabla^3 \theta\|_2\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\|\nabla^2 u\|_2^{\frac{2\sigma_2}{1+\sigma_2}}\|\nabla^2 \theta\|_2^{\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_2}}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}\\ &\leq&\frac{1}{4}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}, \end{eqnarray*} $

这里用到了$\frac{2\sigma_3}{1+\sigma_3}+\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_3}+\frac{2(1-\sigma_1)}{1+\sigma_3}=2, \frac{2\sigma_2}{1+\sigma_2}+\frac{2\sigma_1}{1+\sigma_2}<2$.则由上述估计,我们有

(4.11) $\begin{equation}K_3\leq\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\left(\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}+\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}\right) +\|\nabla u\|_{\infty}\|\nabla^3 \theta\|_2^2. \end{equation}$

将(4.9)--(4.11)式代入(4.8)式,可得

$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2\\ &\leq&C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+C\Phi(t)^{C_0\epsilon}\left(\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2}{1+\sigma_3}}+\|\nabla^3 \theta\|_2^{\frac{2(2-\sigma_1)}{1+\sigma_2}}\right), \end{eqnarray*} $

这表明若选取足够小的$\epsilon$,有

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2)+\frac{1}{2}\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u\|_2^2\leq C(\|\nabla u\|_{\infty}+1)(\|\nabla^3 u\|_2^2+\|\nabla^3 \theta\|_2^2). $

应用Gronwall不等式,有

$\begin{eqnarray*} &&\Phi(t)+\int_{T^{\ast}}^t\|\Lambda^{\alpha}\nabla^3 u(\tau)\|_2^2{\rm d}\tau\\ &\leq&C(T^{\ast})\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t(1+\|\nabla u(\tau)\|_{\infty}){\rm d}\tau\right)\\ &\leq&C(T^{\ast})\exp\left(C\int_{T^{\ast}}^t\|\nabla u(\tau)\|_{\dot{B}_{\infty, \infty}^0}\ln^{++}(\|u(\tau)\|_{H^3}^2+\|\theta(\tau)\|_{H^3}^2)\right)\\ &\leq&C(T^{\ast})\Phi(t)^{C_0\epsilon}, \end{eqnarray*} $

则$\Phi(t)$在$t\in [T^{\ast}, T]$上是一致有界的.由经典Picard方法^[44-45],易得解$(u, \theta)$在时刻$t=T$处是光滑的.定理1.2证毕.