本文主要研究以下形式的非线性Kirchhoff型椭圆方程

(1.1) $ \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{ll}- \bigg(a+b\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)\Delta u+V(x)u=\mu u+|u|^{p-1}u, & x\in{{\mathbb{R}}^{3}}, \\[2mm]u\in H^1({{\mathbb{R}}^{3}}), &x\in {{\mathbb{R}}^{3}}, \end{array}\right.\end{eqnarray} $

其中$a$和$b$为正常数, $p\in (3, 5)$, $V(x)$满足下面条件

(V1) $V\in C({{\mathbb{R}}^{3}}, {{\mathbb{R}}^{+}})$并且$\lim\limits_{|x|\to +\infty}V(x)=\infty$.

定义空间$H$如下

$\begin{eqnarray*}H=\bigg\{u\in W^{1, 2}({{\mathbb{R}}^{3}}):\int_{\mathbb{R} ^{3}}V(x)u^2{\rm d}x <\infty\bigg\}, \end{eqnarray*}$

并且在$H$中引入内积$\langle u, v\rangle=\int_{\mathbb{R} ^{3}}a\nabla u\nabla v+V(x)uv{\rm d}x, \ \forall \ u, v\in H$,则$H$为一Hilbert空间,且$H$上的范数可写为:$||u||^2:=\langle u, u\rangle=\int_{\mathbb{R} ^{3}}a|\nabla u|^2+V(x)u^2{\rm d}x$.

由文献[7,引理2.3]知,当条件(V1)满足时, $H\hookrightarrow L^q({{\mathbb{R}}^{3}})\ (2\leq q < 6)$是紧的.并且关于线性算子$-a\Delta+V$有一个特征值序列$\{\mu_n\}$,满足$0 < \mu_1\leq\mu_2\leq\mu_3\leq\cdots\leq+\infty$并且$H={\rm span}\{e_j:j\geq 1\}$,这里$e_j$是$\mu_j$相应的特征函数并满足$||e_j||=1$.

定义$H$上的能量泛函$I_\mu(u)$如下

$ \begin{eqnarray*} I_\mu(u)=\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u|^2+V(x)u^2]{\rm d}x+ \frac{b}{4} \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2 -\frac{\mu}{2} \int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x-\frac{1}{p+1} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p+1}{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

那么$I_\mu\in C^1(H, \mathbb{R})$,并且对于任何$\varphi \in H$我们有

$ \begin{eqnarray*} \langle I_\mu'(u), \varphi\rangle=\int_{\mathbb{R} ^{3}}\big[a\nabla u\nabla \varphi+(V(x)-\mu)u\varphi\big] {\rm d}x+b\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla u\nabla \varphi {\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p-1}u\varphi {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

如果$u\in H\backslash\{0\}$,且对于所有的$\varphi\in H$满足$\langle I_\mu'(u), \varphi\rangle=0$,则称$u$是方程(1.1)的一个非平凡解.如果$u_0\in H$是方程(1.1)的非平凡解并且对方程(1.1)的任一非平凡解$u$,满足$I_\mu(u_0)\leq I_\mu(u)$,则称$u_0$是方程(1.1)的最低能量解.

在方程(1.1)中如果$\mu < \mu_1$,易知下式定义的$||u||_\mu$是$H$上的等价范数

$||u||_\mu^2:=\int_{\mathbb{R} ^{3}}\big[a|\nabla u|^2+(V(x)-\mu)u^2\big] {\rm d}x, $

此时对任何$b>0$, $p\in (3, 5)$且条件(V1)满足时,用Nehari流行约束方法我们很容易证明方程(1.1)有最低能量解.但是,当$\mu\geq\mu_1$时,则$||u||_\mu$不再是$H$上的等价范数.

当$\mu=0$并且$V(x)$不为常数时,关于方程(1.1)的最低能量解的存在性已有大量结果,比如:He-Li^[3], He-Zou^[8]等.对于$\mu\neq0$的情形,关于方程(1.1)近期已有的结果大多都是利用$L^2$范数的约束极小化方法来进行讨论的,比如:Zeng-Zhang^[5], Guo-Zhang-Zhou^[9]等,这时相应的$\mu$为Lagrange乘子且$\mu\leq0$.

本文我们将讨论方程(1.1)在$\mu\geq\mu_1$且$V(x)$不恒等于常数时,非负最低能量解的存在性.首先我们给出方程(1.1)的非平凡解的存在性.

定理1.1  设$p\in (3, 5)$, $a, b>0$,且条件(V1)满足时,一定存在$\delta(b)>0$,使得对任何$\mu\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$,方程$(1.1)$有一个非平凡解$u_\mu$满足$I_\mu(u_\mu)>0$.若$\mu_n\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$且$\mu_n\downarrow\mu_1$,则一定存在某个$u_{\mu_1}\in H$使得$\mu_n$所对应的非平凡解$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$u_{\mu_1}$且满足$I_{\mu_1}'(u_{\mu_1})=0$和$I_{\mu_1}(u_{\mu_1})>0$.

由定理1.1,我们知道方程(1.1)的非平凡解集合非空,即

$ G=\{u\in H\backslash\{0\}:I_\mu'(u)=0\}\neq \emptyset.$

为了得到方程(1.1)的最低能量解,我们考虑下面的极小化问题:

$c_0=\inf\{I_\mu(u):u\in G\}.$

如果我们能够证明$c_0>-\infty$并且$c_0\neq0$,那么由下节的紧性引理2.1,通过求解上述极小化问题,就能够得到方程(1.1)的最低能量解.然而$c_0>-\infty$和$c_0\neq0$一般是不容易验证的.

本文最主要的目的是要证明方程(1.1)有一个非负最低能量解,即

定理1.2  设$p\in (3, 5)$, $a, b>0$,且条件(V1)满足,则对于定理$1.1$中给定的$\delta(b)>0$,一定存在$\delta_1(b)\in(0, \delta(b))$使得当$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta_1(b))$时,方程$(1.1)$有一个非负最低能量解$u_\mu$,并且满足$I_\mu(u_\mu) < 0$.进一步,若$\mu_n\in(\mu_1, \mu_1+\delta_1(b))$且$\mu_n\downarrow\mu_1$,则$\mu_n$所对应的最低能量解$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$0$.

为了证明定理1.1和定理1.2,通过详细讨论泛函$I_\mu$中的非局部项$(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x)^2$,我们发现,当$\mu>\mu_1$并靠近$\mu_1$时,能量泛函$I_\mu$满足山路几何条件.由Ekeland变分法知,方程$(1.1)$有一个非负解$w$并满足$I_\mu(w) < 0$,这同时表明$c_0 < 0$.最后我们将用条件(V1)证明$c_0>-\infty$,从而得到相关结论.

我们最后的一个结果便是方程(1.1)有无穷多个非平凡解,即

定理1.3  当$p\in (3, 5)$, $a, b>0$,且条件(V1)满足时,对于任何$\mu\in \mathbb{R}$,方程$(1.1)$有无穷多个非平凡解.

本文的结构安排按照这样的顺序进行:在第一部分,主要介绍我们所研究的问题及结论.在第二部分,我们将给出定理1.1的证明,其中关键的地方在于证明,当$\mu$位于$\mu_1$的较小右邻域时,泛函$I_\mu$满足山路几何条件.在第三部分,我们将研究合适的极小化问题并利用Ekeland变分法来证明定理1.2.在第四部分,我们将用Rabinowitz^[6]中对称的山路引理来证明定理1.3.

考虑以下能量泛函

$ I_\mu(u)=\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u|^2+V(x)u^2]{\rm d}x+\frac{b}{4} \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2 -\frac{\mu}{2} \int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x-\frac{1}{p+1} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p+1}{\rm d}x. $

引理2.1  当$p\in(3, 5)$, $a, b, \mu>0$并且条件(V1)满足时.假设序列$\{u_n\}\subset H$为$I_\mu$的一个PS序列即:存在$M>0$使得$|I_\mu(u_n)|\leq M < +\infty$并且$I_\mu'(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n 0$,则序列$\{u_n\}$在$H$中有强收敛子列.

证  首先证明$\{u_n\}$在$H$中有界.选取$\beta\in(\frac{1}{p+1}, \frac{1}{4})$,当$n$足够大时,有

(2.1) $\begin{eqnarray} M+||u_n||&\geq& I_\mu(u_n)-\beta \langle I_\mu'(u_n), u_n \rangle\\&\geq&(\frac{1}{2}-\beta)||u_n||^2- (\frac{1}{2}-\beta)\mu\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_n^2{\rm d}x+(\beta- \frac{1}{p+1})\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_n^{p+1}{\rm d}x .\end{eqnarray}$

由$\mu>0$以及条件(V1)知,存在$R(\mu)> 0$使得$V(x)\geq 2\mu$对所有$|x|\geq R(\mu)$都成立.

那么有

(2.2) $ \begin{eqnarray} \int_{|x|\geq R(\mu)}u_n^2{\rm d}x \leq\int_{|x|\geq R(\mu)} \frac{V(x)}{2\mu}u_n^2{\rm d}x\leq\frac{1}{2\mu}||u_n||^2. \end{eqnarray} $

另一方面,由Hölder不等式和内插不等式,对于任意的$\varepsilon>0$我们有

(2.3) $\begin{eqnarray} \int_{|x|\leq R(\mu)}u_n^2{\rm d}x \leq C(\mu) \bigg(\int_{|x|\leq R(\mu)}|u_n|^{p+1}{\rm d}x \bigg)^{\frac{2}{p+1}} \leq\varepsilon\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u_n|^{p+1}{\rm d}x+C(\varepsilon, \mu) .\end{eqnarray} $

在(2.3)式中取$\varepsilon= \frac{\beta-\frac{1}{p+1}}{(\frac{1}{2}-\beta)\mu}$并且结合(2.1)和(2.2)式我们有

(2.4) $\begin{eqnarray} M+||u_n||\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\beta)||u_n||^2-C(\beta, \mu), \end{eqnarray}$

因此$\{u_n\}$在$H$中有界,不妨设对某个$u\in H$, $u_n \mathop{\rightharpoonup}\limits^n u$从而

$\langle I_\mu'(u_n), u_n\rangle\mathop{\rightarrow}\limits^n 0, $

即

(2.5) $\begin{eqnarray}\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u_n|^2+V(x)u_n^2]{\rm d}x-\mu\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_n^2{\rm d}x+b \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u_n|^2{\rm d}x \bigg)^2-\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u_n|^{p+1}{\rm d}x\mathop{\rightarrow}\limits^n 0, \end{eqnarray}$

且

$\langle I_\mu'(u_n), u\rangle\mathop{\rightarrow}\limits^n 0, $

即

(2.6) $\begin{eqnarray}&&\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a\nabla u_n\nabla u+V(x)u_nu]{\rm d}x-\mu\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_nu{\rm d}x\\&&+b\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u_n|^2{\rm d}x\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla u_n\nabla u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u_n|^{p-1}u_nu{\rm d}x\mathop{\rightarrow}\limits^n 0 .\end{eqnarray}$

由$2\leq q < 6$时, $H\hookrightarrow L^q\ ({{\mathbb{R}}^{3}})$是紧的,故由(2.5)式有

(2.7) $\begin{eqnarray}\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u_n|^2+V(x)u_n^2]{\rm d}x+b \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u_n|^2{\rm d}x \bigg)^2\mathop{\rightarrow}\limits^n \mu\int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p+1}{\rm d}x, \end{eqnarray}$

又由(2.6)式我们有

(2.8) $\begin{equation}\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a\nabla u_n\nabla u+V(x)u_nu]{\rm d}x+b\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u_n|^2{\rm d}x\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla u_n\nabla u{\rm d}x\mathop{\rightarrow}\limits^n\mu\int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p+1}{\rm d}x .\end{equation}$

令

$\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u_n|^2{\rm d}x\mathop{\rightarrow}\limits^n A^2, $

故

(2.9) $\begin{eqnarray}&&\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a\nabla u_n\nabla u+V(x)u_nu]{\rm d}x+b\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u_n|^2{\rm d}x\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla u_n\nabla u{\rm d}x\\&&\mathop{\rightarrow}\limits^n\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u|^2+V(x)u^2]{\rm d}x+bA^2\int_{\mathbb{R} ^{3}}a|\nabla u|^2{\rm d}x , \end{eqnarray}$

又由弱下半连续性有

(2.10) $\begin{eqnarray}\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u_n|^2+V(x)u_n^2]{\rm d}x\geq\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u|^2+V(x)u^2]{\rm d}x, \end{eqnarray}$

且

(2.11) $\begin{eqnarray}\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}b \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u_n|^2{\rm d}x \bigg)^2\geq bA^2\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x.\end{eqnarray}$

联立(2.7)-(2.11)式并由下面引理2.4易知

$\int_{\mathbb{R} ^{3}}[a|\nabla u_n|^2+V(x)u_n^2]{\rm d}x\mathop{\rightarrow}\limits^n \int_{\mathbb{R} ^{3}}a|\nabla u|^2+V(x)u^2{\rm d}x.$

故$\{u_n\}$在$H$中强收敛到$u$.

在证明上述引理2.1的过程中,我们也可以用反证法证明PS序列$\{u_n\}$在$H$中有界.为了证明定理1.1,我们要用到Ambrosetti-Rabinowitz^[1]的山路引理.

引理2.2^{[1, Theorem 2.1]}  设E是一个实Banach空间,泛函$I \in C^{1}(E, \mathbb{R})$满足

(a)存在常数$\rho, \alpha>0$使得在$B_\rho-\{0\}$内满足$I>0$并且$I|_{\partial B_\rho}\geq\alpha$,

(b)存在$\overline{u}\in E$, $\overline{u}\neq0$使得$I(\overline{u})=0$.

令$\Gamma$是$E$中联结$0$与$\overline{u}$的道路的集合,即

$\Gamma=\{g\in C([0, 1], E):g(0)=0, g(1)=\overline{u}\}, $

再记

$ c=\inf\limits_{g \in \Gamma}\max\limits_{u\in g[0, 1]}I(u) $

如果$I$还满足PS条件,那么$c$是$I$的临界值,并且满足$0 < \alpha\leq c < +\infty$.

有了引理$2.1$的结论,我们应用引理$2.2$时关键就是验证泛函$I_\mu$满足引理$2.2$的条件(a)(b) (即山路几何条件).当$0 < \mu < \mu_1$时,我们比较容易知道泛函$I_\mu$满足山路几何条件,而当$\mu>\mu_1$时,如何验证$I_\mu$满足山路几何条件则是我们本文要克服的主要困难.

引理2.3  当$p\in(3, 5), a, b>0$并且条件(V1)满足时,我们有下列结论成立

(a)如果$0 < \mu < \mu_1$,那么$0$是泛函$I_\mu$的局部极小值点.

(b)存在正常数$\delta(b), \rho(b)$和$\alpha(b)$,使得对于任意$\mu\in [\mu_1, \mu_1+\delta(b))$,有$I_\mu|_{\partial B_{\rho(b)}}\geq\alpha(b)$成立.

(c)存在$\overline{u}\in H$,当$||\overline{u}||>\rho(b)$时,对于任何$\mu>0$均有$I_\mu(\overline{u}) < 0$.

证  (a)对于任何$u\in H\backslash \{0\}$,由于$p\in (3, 5)$, $b>0$, $0 < \mu < \mu_1$,并且由$H$紧嵌入到$L^{p+1}({{\mathbb{R}}^{3}})$,我们得出

$\begin{eqnarray*} I_\mu(u)&=&\frac{1}{2}||u||^2+\frac{b}{4} \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2-\frac{1}{p+1} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p+1}{\rm d}x-\frac{\mu}{2} \int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x\\ &\geq&\frac{1}{2}||u||^2-C||u||^{p+1}-\frac{\mu}{2\mu_1}||u||^2\\&=&||u||^2 \bigg(\frac{1}{2}-\frac{\mu}{2\mu_1}-C||u||^{p-1} \bigg).\end{eqnarray*} $

选取$\rho_0=||u||$足够小,使得$C\rho_0^{p-1}\leq\frac{1-\frac{\mu}{\mu_1}}{4}$,那么

$I_\mu(u)\geq\frac{1}{4}(1-\frac{\mu}{\mu_1})\rho_0^2, $

因此$0$是$I_\mu$的局部极小值点.

(b)现在我们来考虑$\mu\geq\mu_1$的情形.为证明结论(b)成立,下面分两种情况讨论:$\mu=\mu_1$和$\mu>\mu_1$.

当$\mu=\mu_1$时我们定义

$F(u)= \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2, ~~ u\in H, $

并且令$H_1={\rm span}\{e_1\}$,同时取$H_1$关于$H$的正交补空间记为$H_2$,那么对于$u\in H$,存在$t=t(u)\in \mathbb{R}$和$v\in H_2$,使得$u=te_1+v$和$||u||^2=t^2+||v||^2$成立.

由中值公式我们有

$\begin{eqnarray*}|F(u)-F(te_1)|&\leq&|\langle F'(te_1+\theta v), v\rangle|\\&\leq&\bigg|4\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla (te_1+\theta v)|^2{\rm d}x\bigg|\bigg|\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla (te_1+\theta v)||\nabla v|{\rm d}x\bigg|\\&=&4\bigg|\int_{\mathbb{R} ^{3}}t^2|\nabla e_1|^2+\theta^2 |\nabla v|^2{\rm d}x\bigg|\bigg|\int_{\mathbb{R} ^{3}}\theta|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg|\\&\leq& C(t^2||v||^2+||v||^4), \end{eqnarray*}$

其中$\theta\in [0, 1]$.

由$||u||^2\geq\mu_2\int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x$和$\mu_1 < \mu_2$以及以上不等式知

(2.12) $\begin{eqnarray}I_{\mu_1}(u)&=& \frac{1}{2}||u||^2- \frac{\mu_1}{2}\int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x+\frac{b}{4}(F(u)-F(te_1)+F(te_1))-\frac{1}{p+1} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p+1}{\rm d}x\\&\geq&\frac{1}{2}(t^2+||v||^2)-\frac{1}{2}(t^2+\frac{\mu_1}{\mu_2}||v||^2)-c_1b(t^2||v||^2+||v||^4)\\&&+\frac{b}{4}t^4\bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla e_1|^2{\rm d}x\bigg)^2-c\int_{\mathbb{R} ^{3}}|te_1|^{p+1}+|v|^{p+1}{\rm d}x\\&\geq&\frac{1}{2}(1- \frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^2-c_1b(t^2||v||^2+||v||^4)+c_2bt^4-c_3|t|^{p+1}-c_4||v||^{p+1}.\end{eqnarray}$

当$t$满足

$|t|\leq \min\bigg\{1, \bigg(\frac{1-\frac{\mu_1}{\mu_2}}{4c_1b}\bigg)^\frac{1}{2}\bigg\}$

时,有

(2.13) $\begin{eqnarray}\frac{1}{2}(1- \frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^2-c_1bt^2||v||^2\geq\frac{1}{4}(1- \frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^2, \end{eqnarray}$

又当$t$满足

$|t|\leq \bigg(\frac{c_2 b}{2c_3}\bigg)^{ \frac{1}{p-3}}$

时,有

(2.14) $\begin{eqnarray}c_2bt^4-c_3|t|^{p+1}\geq \frac{c_2}{2}bt^4, \end{eqnarray}$

故令

$|t|\leq \min\bigg\{1, \bigg(\frac{1-\frac{\mu_1}{\mu_2}}{4c_1b}\bigg)^\frac{1}{2}, \bigg(\frac{c_2 b}{2c_3}\bigg)^{ \frac{1}{p-3}}\bigg\}\triangleq\xi, $

另一方面当$v$满足

$||v||\leq \min\bigg\{1, \bigg(\frac{1-\frac{\mu_1}{\mu_2}}{8(c_1b+c_4)}\bigg)^\frac{1}{2}\bigg\}\triangleq\eta$

时,由于$p\in(3, 5)$,所以

(2.15) $\begin{eqnarray}\frac{1}{4}(1- \frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^2-c_1b||v||^4-c_4||v||^{p+1}&\geq&\frac{1}{4}(1- \frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^2-c_1b||v||^4-c_4||v||^4\\&\geq&\frac{1}{8}(1- \frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^2\\&\geq&\frac{1}{8}(1- \frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^4\end{eqnarray}$

成立.

联立(2.12)-(2.15)式,且$\mu_1 < \mu_2$,因此我们有

$\begin{eqnarray*}I_{\mu_1}(u)\geq\frac{c_2}{2}bt^4+\frac{1}{8}(1-\frac{\mu_1}{\mu_2})||v||^4\geq C(b)(t^2+||v||^2)^2= C(b)||u||^4.\end{eqnarray*}$

取

$\rho(b)=\min\{\xi, \eta\}, $

则由上式可知,对于$u\in H$满足$||u||=\rho(b)$时,我们有

$I_{\mu_1}(u)\geq C(b)||u||^4=\alpha(b)$

成立.

当$\mu>\mu_1$时,我们有

$I_\mu(u)=I_{\mu_1}(u)-\frac{1}{2}(\mu-\mu_1)\int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x\geq I_{\mu_1}(u)-(\mu-\mu_1)C||u||^2, $

这表明一定存在$\delta(b)>0$,使得当$\mu\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时,对于$u\in H$满足$||u||=\rho(b)$时,有

$I_\mu(u)\geq \frac{1}{2}\alpha(b)$

成立.

(c)取$e_0\in H\setminus\{0\}$, $s>0$,则

$\begin{eqnarray*}I_\mu(se_0)&=&\frac{s^2}{2} \bigg(||e_0||^2-\mu\int_{\mathbb{R} ^{3}}e_0^2{\rm d}x \bigg)+\frac{b}{4}s^4 \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla e_0|^2{\rm d}x \bigg)^2-\frac{s^{p+1}}{p+1}\int_{\mathbb{R} ^{3}}|e_0|^{p+1}{\rm d}x\\&\leq& \frac{s^2}{2}(||e_0||^2)+\frac{b}{4}s^4 \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla e_0|^2{\rm d}x \bigg)^2-\frac{s^{p+1}}{p+1}\int_{\mathbb{R} ^{3}}|e_0|^{p+1}{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

由于$||e_0||^2$, $(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla e_0|^2{\rm d}x)^2$, $\int_{\mathbb{R} ^{3}}|e_0|^{p+1}{\rm d}x$都是固定的正数,且$p\in(3, 5)$,所以存在$s_0>0$使得$||s_0e_0||>\rho(b)$和$I_\mu(s_0e_0) < 0$成立.故取$\overline{u}=s_0e_0$,命题得证.

引理2.4  设数列$\{x_n\}$, $\{y_n\}$均为有界数列,则下列不等式成立

$\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n+\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n\leq\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_n+y_n)\leq\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n+\limsup\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n\leq\limsup\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_n+y_n).$

进一步,如果

$\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n\geq x_0,~~ \liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n\geq y_0$

且

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_n+y_n)=x_0+y_0, $

则

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=x_0, ~~ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n=y_0.$

证  首先证明第一个不等式,为此令

$\begin{eqnarray*}\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=\alpha ,~~ \liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n=\beta, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}\limsup\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=a ,~~ \limsup\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n=b, \end{eqnarray*}$

则由下极限的性质,我们有:

$\forall\varepsilon>0, \exists N_1>0, \mbox{当$n>N_1$时, }\ \alpha <x_n+ \frac{\varepsilon}{2}, $

$\forall\varepsilon>0, \exists N_2>0, \mbox{当$n>N_2$时, }\ \beta <y_n+ \frac{\varepsilon}{2}.$

因此,取$N=\max\{N_1, N_2\}$,则$n>N$时, $\alpha+\beta < x_n+y_n+\varepsilon$.

故

$\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n+\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n\leq\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_n+y_n)$

得证.

再证第二个不等式,为此令

$\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_n+y_n)=\lambda.$

现证$\lambda\leq \alpha+b$. (用反证法)假设$\lambda> \alpha+b$,则在$\lambda$与$\alpha+b$之间任取一点,比如中点$c=\frac{\alpha+b+\lambda}{2}$.取$\varepsilon=\frac{\lambda-(\alpha+b)}{2} $,由

$\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_n+y_n)=\lambda$

知$\exists N_3>0$,当$n>N_3$时

(2.16) $\begin{eqnarray}x_n+y_n>\lambda-\varepsilon=c, \end{eqnarray}$

另一方面,由

$\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=\alpha$

知:$\forall N_3>0, \exists n>N_3$,使得$x_n < \alpha+\frac{\varepsilon}{2}$.

由

$\limsup\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n=b$

知:$\exists N_4>0$当$n>N_4$时, $y_n < b+\frac{\varepsilon}{2}$.因此$\forall N_3>N_4, \exists n>N_3$使得

(2.17) $\begin{eqnarray}x_n+y_n <\alpha+b+\varepsilon=c.\end{eqnarray}$

(2.16)式与(2.17)式矛盾.故假设不成立,不等式得证.同理可证第三个不等式也成立.

最后利用上面三个不等式我们有

$\alpha+\beta\leq x_0+y_0\leq \alpha+b\leq x_0+y_0 , $

又$\alpha\geq x_0$且$\beta\geq y_0$,用反证法易知:$\alpha=a=x_0, \beta=b=y_0$,即证

$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=x_0, \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n=y_0. $

引理2.4证毕.

定理1.1的证明  对于引理2.3中选定的$s_0$和$e_0$,我们定义

$c_{1, \mu}=\inf\limits_{\gamma \in \Gamma}\max\limits_{t\in [0, 1]}I_\mu(\gamma(t));\Gamma=\{\gamma\in C([0, 1], H):\gamma(0)=0, \gamma(1)=s_0e_0\}.$

由引理2.1和引理2.3以及山路引理2.2,我们知道当$\mu\in [\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时, $c_{1, \mu}$是泛函$I_\mu$的临界值,且存在$u_\mu\in H$使得下列式子成立

$ I_\mu'(u_\mu)=0, ~~I_\mu(u_\mu)=c_{1, \mu} .$

取$\mu_n\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$且$\mu_n\downarrow\mu_1$,由上面的结论知道,对每个$\mu_n$一定存在方程(1.1)的一个非平凡解$u_{\mu_n}\in H$.进一步我们断言,存在某个$u_{\mu_1}\in H$使得$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$u_{\mu_1}$且满足

$ I_{\mu_1}'(u_{\mu_1})=0, ~~ I_{\mu_1}(u_{\mu_1})>0.$

事实上,由$c_{1, \mu}$的定义以及引理2.3的证明易知,当$n$足够大时,我们有

$\begin{eqnarray*}0&<&\alpha(b)\leq c_{1, \mu_n}\leq \max\limits_{s\geq 0} I_{\mu_n}(se_0)\\&\leq& \max\limits_{s\geq 0} \bigg\{\frac{s^2}{2}||e_0||^2+ \frac{bs^4}{4} \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla e_0|^2{\rm d}x \bigg)^2-\frac{s^{p+1}}{p+1} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|e_0|^{p+1}{\rm d}x \bigg \}, \end{eqnarray*}$

所以存在$M>0$,使得

$0 <c_{1, \mu_n}=I_{\mu_n}(u_{\mu_n})\leq M$

成立.

如果能证明

$| I_{\mu_1}(u_{\mu_n})|\leq M$

和

$I_{\mu_1}'(u_{\mu_n})\mathop{\rightarrow}\limits^n 0$

成立.则由引理2.1知存在$u_{\mu_1}\in H$满足

$ I_{\mu_1}'(u_{\mu_1})=0 , I_{\mu_1}(u_{\mu_1})>0, $

并且$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$u_{\mu_1}$.

故首先证明$||u_{\mu_n}||$有界,类似于引理2.1的证明,当$n$足够大时,我们有

$\begin{eqnarray*}M+||u_{\mu_n}||&\geq &I_{\mu_n}(u_{\mu_n})-\beta\langle I_{\mu_n}'(u_{\mu_n}), u_{\mu_n}\rangle\\&\geq&(\frac{1}{2}-\beta)||u_{\mu_n}||^2- (\frac{1}{2}-\beta)\mu_n\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_{\mu_n}^2{\rm d}x+(\beta- \frac{1}{p+1})\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_{\mu_n}^{p+1}{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

其中$\beta\in (\frac{1}{p+1}, \frac{1}{4})$.又由于$\mu_n\downarrow\mu_1$,所以当$n$足够大时,存在$\mu_0>\mu_1$满足$\mu_n < \mu_0$,使得

$ M+||u_{\mu_n}||\geq (\frac{1}{2}-\beta)||u_{\mu_n}||^2- (\frac{1}{2}-\beta)\mu_0\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_{\mu_n}^2{\rm d}x+(\beta- \frac{1}{p+1})\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_{\mu_n}^{p+1}{\rm d}x$

成立.类似于引理2.1的证明我们同样有

$ M+||u_{\mu_n}||\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\beta)||u_{\mu_n}||^2-C(\beta, \mu_0) $

成立,故$||u_{\mu_n}||$有界.

任取$\varphi\in H$,由$I_{\mu_n}'(u_{\mu_n})=0$,我们有

$ \begin{eqnarray*}\langle I_{\mu_1}'(u_{\mu_n}), \varphi\rangle&=&\langle I_{\mu_1}'(u_{\mu_n}), \varphi\rangle-\langle I_{\mu_n}'(u_{\mu_n}), \varphi\rangle\\&=&(\mu_n-\mu_1)\int_{\mathbb{R} ^{3}}u_{\mu_n}\varphi {\rm d}x\mathop{\rightarrow}\limits^n 0, \end{eqnarray*} $

即得

$I_{\mu_1}'(u_{\mu_n})\mathop{\rightarrow}\limits^n 0.$

再证$| I_{\mu_1}(u_{\mu_n})|$有界,由于

$I_{\mu_1}(u_{\mu_n})=I_{\mu_n}(u_{\mu_n})+\frac{\mu_n-\mu_1}{2} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|u_{\mu_n}|^{2}{\rm d}x, $

易证$| I_{\mu_1}(u_{\mu_n})|$有界,因此定理得证.

本节我们来证明定理1.2,即方程(1.1)有非负的最低能量解.我们的证明将分为三步进行.

定理1.2的证明  第一步:首先,我们证明当$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时,存在非负$w\in H$使得

$ I_\mu'(w)=0 , ~~I_\mu(w) <0.$

为此,对于在引理2.3的证明过程中给出的$\rho(b)$,我们定义

$c_{2, \mu}=\inf\{I_\mu(u):||u||\leq \rho(b)\}, $

显然$c_{2, \mu}> -\infty$.接下来,我们将进一步说明$c_{2, \mu} < 0$.

事实上,由$\mu>\mu_1$知,当$t>0$并且足够小时,有

$\begin{eqnarray*} I_\mu(te_1)&= &\frac{t^2}{2} \bigg(||e_1||^2-\mu\int_{\mathbb{R} ^{3}}e_1^2{\rm d}x \bigg)+\frac{b}{4}t^4 \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla e_1|^2{\rm d}x \bigg)^2-\frac{1}{p+1}t^{p+1}\int_{\mathbb{R} ^{3}}|e_1|^{p+1}{\rm d}x\\ &=&\frac{t^2}{2}(1-\frac{\mu}{\mu_1})+Cbt^4-Ct^{p+1} <0, \end{eqnarray*}$

这就表明$c_{2, \mu} < 0$.由$I_\mu(u)=I_\mu(|u|)$以及Ekeland变分原理知存在非负序列$\{u_n\}\subset \overline{B_{\rho(b)}}$使得

$ c_{2, \mu}\leq I_\mu(u_n) <c_{2, \mu}+\frac{1}{n} $

成立,且对任一$u\in \overline{B_{\rho(b)}}$满足

$ I_\mu(u)\geq I_\mu(u_n)-\frac{1}{n}||u-u_n||.$

则当$n$足够大时,我们有$||u_n|| < \rho(b)$,否则有子序列(仍记为) $\{u_n\}$满足$||u_n||=\rho(b)$.那么由引理2.3知

$ \liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}I_\mu(u_n)\geq \alpha(b)>0 , $

这与$I_\mu(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n c_{2, \mu} < 0$矛盾.因此不妨假设对所有$n\geq 1$恒有$||u_n|| < \rho(b)$.那么对任取$\phi\in H$满足$||\phi||=1$时,令$w_n=u_n+t\phi$,那么当$t>0$且足够小时,有$||w_n||\leq ||u_n||+t < \rho(b)$,即$\frac{I_\mu(u_n+t\phi)-I_\mu(u_n)}{t}\geq-\frac{1}{n}$.让$t\rightarrow 0^+$,则有$\langle I_\mu'(u_n), \varphi\rangle\geq- \frac{1}{n}$.另一方面,令$w_n=u_n-t\phi$,则我们有$\langle I_\mu'(u_n), \varphi\rangle\leq\frac{1}{n}$.因此$\{u_n\}$是有界的PS序列,由引理2.1知,存在非负$w\in \overline{B_{\rho(b)}}$使得$I_\mu'(w)=0$和$ I_\mu(w) < 0$成立.

第二步:我们将证明当$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时,存在$u_\mu\in H$使得

$I_\mu'(u_\mu)=0 , ~~~ I_\mu(u_\mu)=c_{0, \mu} <0$

成立.这里, $c_{0, \mu}$为方程(1.1)的非平凡解的最低能量即:

$c_{0, \mu}=\inf\{ I_\mu(u):u\in G\} , ~~~ G=\{u\in H\setminus\{0\}: I_\mu'(u)=0\}.$

由第一步我们知道集合$G\neq\phi$并且$c_{0, \mu} < 0$.我们将进一步证明,对于任何$u\in G$有$c_{0, \mu}>-\infty$成立.类似于引理2.1的证明,有

$I_\mu(u)=I_\mu(u)-\beta\langle I_\mu'(u), u\rangle\geq \frac{1}{2}( \frac{1}{2}-\beta)||u||^2-C(\beta, \mu)$

成立,这里$\beta\in(\frac{1}{p+1}, \frac{1}{4})$,因此$c_{0, \mu}>-\infty$.故存在序列$\{u_n\}\subset G$满足$ I_\mu(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n c_{0, \mu}$和$I_\mu'(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n 0$.那么由引理2.1知,存在$u_\mu\in H$使得$I_\mu'(u_\mu)=0$和$I_\mu(u_\mu)=c_{0, \mu}$成立.即证明方程(1.1)有最低能量解$u_\mu$,并且满足$I_\mu(u_\mu) < 0$.

第三步:当$\mu=\mu_1$时,方程(1.1)的非零解$u$满足

$||u||^2-\mu_1\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^2{\rm d}x+b \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2=\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^{p+1}{\rm d}x, $

因此有

$ I_{\mu_1}(u)= \bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1} \bigg) \bigg(||u||^2-\mu_1\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^2{\rm d}x \bigg)+ \bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{p+1} \bigg)b \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2$

成立.又由于对任何$u\in H$满足

$||u||^2\geq\mu_1\int_{\mathbb{R} ^{3}}|u|^2{\rm d}x, $

所以

(3.1) $I_{\mu_1}(u)\geq \bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{p+1} \bigg)b \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2>0. $

另一方面,当$\mu_n\in(\mu_1, \mu_1+\delta(b))$且$\mu_n\downarrow \mu_1$时,由定理$1.1$易知, $\mu_n$所对应的的最低能量解$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$\overline{w}$,并满足$ I_{\mu_1}'(\overline{w})=0$和$ I_{\mu_1}(\overline{w})\leq0$.故由(3.1)式知$\overline{w}=0$.因此存在$\delta_1(b)\in(0, \delta(b))$,使得对任何$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta_1(b))$,满足$||u_\mu||\leq\rho(b)$.这表明$c_{0, \mu}=c_{2, \mu}$,因此我们得出$w=u_\mu$,即为方程(1.1)的非负最低能量解,定理得证.

在这部分我们将利用条件(V1)来证明定理1.3.首先介绍定理4.1,该定理来源于参考文献[6].

定理4.1^{[6, Theorem 9.12]}  设E是一个无限维的Banach空间, $I\in C^1(E, \mathbb{R})$为偶泛函并且满足PS条件.假设$I(0)=0$, $E=Y\oplus X$.其中$Y$是有限维的,并且$I$满足

(a)存在常数$\rho, \alpha>0$使得$I|_{{\partial B_\rho}\cap X}\geq \alpha$,

(b)对于每个有穷维子空间$\widetilde{E}\subset E$,存在一个$\mathbb{R}=\mathbb{R}(\widetilde{E})$,使得在$\widetilde{E}\setminus B_{R(\widetilde{E})}$上满足$I\leq 0$,那么$I$有一个无界的临界值序列.

基于上述定理,我们现在来证明方程(1.1)有无穷多个非平凡解.

定理1.3的证明  首先,如果$\mu < \mu_1$,那么我们能用标准对称的山路引理(参考文献[1, 6])得出结论.其次,不失一般性,我们假定$\mu_k\leq\mu < \mu_{k+1}$,这里$\mu_k$是定义在空间$H$上的算子$-a\Delta+V$的第$k$个特征值.从前面引理2.1我们知道$I_\mu$满足PS条件.显然$I_\mu(0)=0$.令$E=H, Y={\rm span}\{e_1, \cdots, e_k\}, X=Y^\bot$,则我们接下来只需要检验是否满足定理4.1中的(a)(b)两个条件.

(${{\rm{\tilde a}}}$)对于任何$u\in X$,由于$\mu_k\leq\mu < \mu_{k+1}$,我们有

$\int_{\mathbb{R} ^{3}}\big[|\nabla u|^2+V(x)u^2\big]{\rm d}x\geq \mu_{k+1}\int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x.$

因此

$\begin{eqnarray*}I_\mu(u)&\geq &\frac{1}{2} \bigg(1- \frac{\mu}{\mu_{k+1}} \bigg)||u||^2+ \frac{b}{4} \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2-C||u||^{p+1}\\&\geq &\frac{1}{2} \bigg(1- \frac{\mu}{\mu_{k+1}} \bigg)||u||^2 \bigg(1- \frac{2C\mu_{k+1}}{(\mu_{k+1}-\mu)}||u||^{p-1} \bigg), \end{eqnarray*}$

故存在$\rho=||u||$,当$||u||$足够小时,有

$I_\mu(u)\geq \frac{1}{4} \bigg(1- \frac{\mu}{\mu_{k+1}} \bigg)\rho^2$

成立.

(${{\rm{\tilde b}}}$)对于每个有穷维线性空间$\widetilde{E}\subset H$,以及任意的$v\in \widetilde{E}$,我们有

$ \begin{eqnarray*} I_\mu(v)&=& \frac{1}{2}||v||^2- \frac{\mu}{2}\int_{\mathbb{R} ^{3}}v^2{\rm d}x+\frac{b}{4} \bigg(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg)^2-\frac{1}{p+1} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|v|^{p+1}{\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}||v||^2- \frac{\mu}{2}\int_{\mathbb{R} ^{3}}v^2{\rm d}x+ \frac{bC}{4}||v||^4-\frac{1}{p+1} \int_{\mathbb{R} ^{3}}|v|^{p+1}{\rm d}x.\end{eqnarray*}$

由于$\widetilde{E}$是有穷维线性空间,并且$p\in(3, 5)$,因此存在$\mathbb{R}:=\mathbb{R}(\widetilde{E})$,使得对所有的$v\in \widetilde{E}\backslash B_{\mathbb{R}(\widetilde{E})}$有$I_\mu(v)\leq 0$成立.由定理4.1知, $I_\mu$有无界的临界值序列,因此方程(1.1)有无穷多个非平凡解.故定理1.3得证.