本文主要研究以下形式的非线性Kirchhoff型椭圆方程

其中$a$和$b$为正常数, $p\in (3, 5)$, $V(x)$满足下面条件

(V1) $V\in C({{\mathbb{R}}^{3}}, {{\mathbb{R}}^{+}})$并且$\lim\limits_{|x|\to +\infty}V(x)=\infty$.

定义空间$H$如下

并且在$H$中引入内积$\langle u, v\rangle=\int_{\mathbb{R} ^{3}}a\nabla u\nabla v+V(x)uv{\rm d}x, \ \forall \ u, v\in H$,则$H$为一Hilbert空间,且$H$上的范数可写为:$||u||^2:=\langle u, u\rangle=\int_{\mathbb{R} ^{3}}a|\nabla u|^2+V(x)u^2{\rm d}x$.

由文献[7,引理2.3]知,当条件(V1)满足时, $H\hookrightarrow L^q({{\mathbb{R}}^{3}})\ (2\leq q < 6)$是紧的.并且关于线性算子$-a\Delta+V$有一个特征值序列$\{\mu_n\}$,满足$0 < \mu_1\leq\mu_2\leq\mu_3\leq\cdots\leq+\infty$并且$H={\rm span}\{e_j:j\geq 1\}$,这里$e_j$是$\mu_j$相应的特征函数并满足$||e_j||=1$.

定义$H$上的能量泛函$I_\mu(u)$如下

那么$I_\mu\in C^1(H, \mathbb{R})$,并且对于任何$\varphi \in H$我们有

如果$u\in H\backslash\{0\}$,且对于所有的$\varphi\in H$满足$\langle I_\mu'(u), \varphi\rangle=0$,则称$u$是方程(1.1)的一个非平凡解.如果$u_0\in H$是方程(1.1)的非平凡解并且对方程(1.1)的任一非平凡解$u$,满足$I_\mu(u_0)\leq I_\mu(u)$,则称$u_0$是方程(1.1)的最低能量解.

在方程(1.1)中如果$\mu < \mu_1$,易知下式定义的$||u||_\mu$是$H$上的等价范数

此时对任何$b>0$, $p\in (3, 5)$且条件(V1)满足时,用Nehari流行约束方法我们很容易证明方程(1.1)有最低能量解.但是,当$\mu\geq\mu_1$时,则$||u||_\mu$不再是$H$上的等价范数.

当$\mu=0$并且$V(x)$不为常数时,关于方程(1.1)的最低能量解的存在性已有大量结果,比如:He-Li^[3], He-Zou^[8]等.对于$\mu\neq0$的情形,关于方程(1.1)近期已有的结果大多都是利用$L^2$范数的约束极小化方法来进行讨论的,比如:Zeng-Zhang^[5], Guo-Zhang-Zhou^[9]等,这时相应的$\mu$为Lagrange乘子且$\mu\leq0$.

本文我们将讨论方程(1.1)在$\mu\geq\mu_1$且$V(x)$不恒等于常数时,非负最低能量解的存在性.首先我们给出方程(1.1)的非平凡解的存在性.

定理1.1  设$p\in (3, 5)$, $a, b>0$,且条件(V1)满足时,一定存在$\delta(b)>0$,使得对任何$\mu\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$,方程$(1.1)$有一个非平凡解$u_\mu$满足$I_\mu(u_\mu)>0$.若$\mu_n\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$且$\mu_n\downarrow\mu_1$,则一定存在某个$u_{\mu_1}\in H$使得$\mu_n$所对应的非平凡解$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$u_{\mu_1}$且满足$I_{\mu_1}'(u_{\mu_1})=0$和$I_{\mu_1}(u_{\mu_1})>0$.

由定理1.1,我们知道方程(1.1)的非平凡解集合非空,即

为了得到方程(1.1)的最低能量解,我们考虑下面的极小化问题:

如果我们能够证明$c_0>-\infty$并且$c_0\neq0$,那么由下节的紧性引理2.1,通过求解上述极小化问题,就能够得到方程(1.1)的最低能量解.然而$c_0>-\infty$和$c_0\neq0$一般是不容易验证的.

本文最主要的目的是要证明方程(1.1)有一个非负最低能量解,即

定理1.2  设$p\in (3, 5)$, $a, b>0$,且条件(V1)满足,则对于定理$1.1$中给定的$\delta(b)>0$,一定存在$\delta_1(b)\in(0, \delta(b))$使得当$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta_1(b))$时,方程$(1.1)$有一个非负最低能量解$u_\mu$,并且满足$I_\mu(u_\mu) < 0$.进一步,若$\mu_n\in(\mu_1, \mu_1+\delta_1(b))$且$\mu_n\downarrow\mu_1$,则$\mu_n$所对应的最低能量解$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$0$.

为了证明定理1.1和定理1.2,通过详细讨论泛函$I_\mu$中的非局部项$(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla u|^2{\rm d}x)^2$,我们发现,当$\mu>\mu_1$并靠近$\mu_1$时,能量泛函$I_\mu$满足山路几何条件.由Ekeland变分法知,方程$(1.1)$有一个非负解$w$并满足$I_\mu(w) < 0$,这同时表明$c_0 < 0$.最后我们将用条件(V1)证明$c_0>-\infty$,从而得到相关结论.

我们最后的一个结果便是方程(1.1)有无穷多个非平凡解,即

定理1.3  当$p\in (3, 5)$, $a, b>0$,且条件(V1)满足时,对于任何$\mu\in \mathbb{R}$,方程$(1.1)$有无穷多个非平凡解.

本文的结构安排按照这样的顺序进行:在第一部分,主要介绍我们所研究的问题及结论.在第二部分,我们将给出定理1.1的证明,其中关键的地方在于证明,当$\mu$位于$\mu_1$的较小右邻域时,泛函$I_\mu$满足山路几何条件.在第三部分,我们将研究合适的极小化问题并利用Ekeland变分法来证明定理1.2.在第四部分,我们将用Rabinowitz^[6]中对称的山路引理来证明定理1.3.

考虑以下能量泛函

引理2.1  当$p\in(3, 5)$, $a, b, \mu>0$并且条件(V1)满足时.假设序列$\{u_n\}\subset H$为$I_\mu$的一个PS序列即:存在$M>0$使得$|I_\mu(u_n)|\leq M < +\infty$并且$I_\mu'(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n 0$,则序列$\{u_n\}$在$H$中有强收敛子列.

证  首先证明$\{u_n\}$在$H$中有界.选取$\beta\in(\frac{1}{p+1}, \frac{1}{4})$,当$n$足够大时,有

由$\mu>0$以及条件(V1)知,存在$R(\mu)> 0$使得$V(x)\geq 2\mu$对所有$|x|\geq R(\mu)$都成立.

那么有

另一方面,由Hölder不等式和内插不等式,对于任意的$\varepsilon>0$我们有

在(2.3)式中取$\varepsilon= \frac{\beta-\frac{1}{p+1}}{(\frac{1}{2}-\beta)\mu}$并且结合(2.1)和(2.2)式我们有

因此$\{u_n\}$在$H$中有界,不妨设对某个$u\in H$, $u_n \mathop{\rightharpoonup}\limits^n u$从而

即

且

即

由$2\leq q < 6$时, $H\hookrightarrow L^q\ ({{\mathbb{R}}^{3}})$是紧的,故由(2.5)式有

又由(2.6)式我们有

令

故

又由弱下半连续性有

且

联立(2.7)-(2.11)式并由下面引理2.4易知

故$\{u_n\}$在$H$中强收敛到$u$.

在证明上述引理2.1的过程中,我们也可以用反证法证明PS序列$\{u_n\}$在$H$中有界.为了证明定理1.1,我们要用到Ambrosetti-Rabinowitz^[1]的山路引理.

引理2.2^{[1, Theorem 2.1]}  设E是一个实Banach空间,泛函$I \in C^{1}(E, \mathbb{R})$满足

(a)存在常数$\rho, \alpha>0$使得在$B_\rho-\{0\}$内满足$I>0$并且$I|_{\partial B_\rho}\geq\alpha$,

(b)存在$\overline{u}\in E$, $\overline{u}\neq0$使得$I(\overline{u})=0$.

令$\Gamma$是$E$中联结$0$与$\overline{u}$的道路的集合,即

再记

如果$I$还满足PS条件,那么$c$是$I$的临界值,并且满足$0 < \alpha\leq c < +\infty$.

有了引理$2.1$的结论,我们应用引理$2.2$时关键就是验证泛函$I_\mu$满足引理$2.2$的条件(a)(b) (即山路几何条件).当$0 < \mu < \mu_1$时,我们比较容易知道泛函$I_\mu$满足山路几何条件,而当$\mu>\mu_1$时,如何验证$I_\mu$满足山路几何条件则是我们本文要克服的主要困难.

引理2.3  当$p\in(3, 5), a, b>0$并且条件(V1)满足时,我们有下列结论成立

(a)如果$0 < \mu < \mu_1$,那么$0$是泛函$I_\mu$的局部极小值点.

(b)存在正常数$\delta(b), \rho(b)$和$\alpha(b)$,使得对于任意$\mu\in [\mu_1, \mu_1+\delta(b))$,有$I_\mu|_{\partial B_{\rho(b)}}\geq\alpha(b)$成立.

(c)存在$\overline{u}\in H$,当$||\overline{u}||>\rho(b)$时,对于任何$\mu>0$均有$I_\mu(\overline{u}) < 0$.

证  (a)对于任何$u\in H\backslash \{0\}$,由于$p\in (3, 5)$, $b>0$, $0 < \mu < \mu_1$,并且由$H$紧嵌入到$L^{p+1}({{\mathbb{R}}^{3}})$,我们得出

选取$\rho_0=||u||$足够小,使得$C\rho_0^{p-1}\leq\frac{1-\frac{\mu}{\mu_1}}{4}$,那么

因此$0$是$I_\mu$的局部极小值点.

(b)现在我们来考虑$\mu\geq\mu_1$的情形.为证明结论(b)成立,下面分两种情况讨论:$\mu=\mu_1$和$\mu>\mu_1$.

当$\mu=\mu_1$时我们定义

并且令$H_1={\rm span}\{e_1\}$,同时取$H_1$关于$H$的正交补空间记为$H_2$,那么对于$u\in H$,存在$t=t(u)\in \mathbb{R}$和$v\in H_2$,使得$u=te_1+v$和$||u||^2=t^2+||v||^2$成立.

由中值公式我们有

其中$\theta\in [0, 1]$.

由$||u||^2\geq\mu_2\int_{\mathbb{R} ^{3}}u^2{\rm d}x$和$\mu_1 < \mu_2$以及以上不等式知

当$t$满足

时,有

又当$t$满足

时,有

故令

另一方面当$v$满足

时,由于$p\in(3, 5)$,所以

成立.

联立(2.12)-(2.15)式,且$\mu_1 < \mu_2$,因此我们有

取

则由上式可知,对于$u\in H$满足$||u||=\rho(b)$时,我们有

成立.

当$\mu>\mu_1$时,我们有

这表明一定存在$\delta(b)>0$,使得当$\mu\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时,对于$u\in H$满足$||u||=\rho(b)$时,有

成立.

(c)取$e_0\in H\setminus\{0\}$, $s>0$,则

由于$||e_0||^2$, $(\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\nabla e_0|^2{\rm d}x)^2$, $\int_{\mathbb{R} ^{3}}|e_0|^{p+1}{\rm d}x$都是固定的正数,且$p\in(3, 5)$,所以存在$s_0>0$使得$||s_0e_0||>\rho(b)$和$I_\mu(s_0e_0) < 0$成立.故取$\overline{u}=s_0e_0$,命题得证.

引理2.4  设数列$\{x_n\}$, $\{y_n\}$均为有界数列,则下列不等式成立

进一步,如果

且

则

证  首先证明第一个不等式,为此令

则由下极限的性质,我们有:

因此,取$N=\max\{N_1, N_2\}$,则$n>N$时, $\alpha+\beta < x_n+y_n+\varepsilon$.

故

得证.

再证第二个不等式,为此令

现证$\lambda\leq \alpha+b$. (用反证法)假设$\lambda> \alpha+b$,则在$\lambda$与$\alpha+b$之间任取一点,比如中点$c=\frac{\alpha+b+\lambda}{2}$.取$\varepsilon=\frac{\lambda-(\alpha+b)}{2}$,由

知$\exists N_3>0$,当$n>N_3$时

另一方面,由

知:$\forall N_3>0, \exists n>N_3$,使得$x_n < \alpha+\frac{\varepsilon}{2}$.

由

知:$\exists N_4>0$当$n>N_4$时, $y_n < b+\frac{\varepsilon}{2}$.因此$\forall N_3>N_4, \exists n>N_3$使得

(2.16)式与(2.17)式矛盾.故假设不成立,不等式得证.同理可证第三个不等式也成立.

最后利用上面三个不等式我们有

又$\alpha\geq x_0$且$\beta\geq y_0$,用反证法易知:$\alpha=a=x_0, \beta=b=y_0$,即证

引理2.4证毕.

定理1.1的证明  对于引理2.3中选定的$s_0$和$e_0$,我们定义

由引理2.1和引理2.3以及山路引理2.2,我们知道当$\mu\in [\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时, $c_{1, \mu}$是泛函$I_\mu$的临界值,且存在$u_\mu\in H$使得下列式子成立

取$\mu_n\in[\mu_1, \mu_1+\delta(b))$且$\mu_n\downarrow\mu_1$,由上面的结论知道,对每个$\mu_n$一定存在方程(1.1)的一个非平凡解$u_{\mu_n}\in H$.进一步我们断言,存在某个$u_{\mu_1}\in H$使得$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$u_{\mu_1}$且满足

事实上,由$c_{1, \mu}$的定义以及引理2.3的证明易知,当$n$足够大时,我们有

所以存在$M>0$,使得

成立.

如果能证明

和

成立.则由引理2.1知存在$u_{\mu_1}\in H$满足

并且$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$u_{\mu_1}$.

故首先证明$||u_{\mu_n}||$有界,类似于引理2.1的证明,当$n$足够大时,我们有

其中$\beta\in (\frac{1}{p+1}, \frac{1}{4})$.又由于$\mu_n\downarrow\mu_1$,所以当$n$足够大时,存在$\mu_0>\mu_1$满足$\mu_n < \mu_0$,使得

成立.类似于引理2.1的证明我们同样有

成立,故$||u_{\mu_n}||$有界.

任取$\varphi\in H$,由$I_{\mu_n}'(u_{\mu_n})=0$,我们有

即得

再证$| I_{\mu_1}(u_{\mu_n})|$有界,由于

易证$| I_{\mu_1}(u_{\mu_n})|$有界,因此定理得证.

本节我们来证明定理1.2,即方程(1.1)有非负的最低能量解.我们的证明将分为三步进行.

定理1.2的证明  第一步:首先,我们证明当$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时,存在非负$w\in H$使得

为此,对于在引理2.3的证明过程中给出的$\rho(b)$,我们定义

显然$c_{2, \mu}> -\infty$.接下来,我们将进一步说明$c_{2, \mu} < 0$.

事实上,由$\mu>\mu_1$知,当$t>0$并且足够小时,有

这就表明$c_{2, \mu} < 0$.由$I_\mu(u)=I_\mu(|u|)$以及Ekeland变分原理知存在非负序列$\{u_n\}\subset \overline{B_{\rho(b)}}$使得

成立,且对任一$u\in \overline{B_{\rho(b)}}$满足

则当$n$足够大时,我们有$||u_n|| < \rho(b)$,否则有子序列(仍记为) $\{u_n\}$满足$||u_n||=\rho(b)$.那么由引理2.3知

这与$I_\mu(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n c_{2, \mu} < 0$矛盾.因此不妨假设对所有$n\geq 1$恒有$||u_n|| < \rho(b)$.那么对任取$\phi\in H$满足$||\phi||=1$时,令$w_n=u_n+t\phi$,那么当$t>0$且足够小时,有$||w_n||\leq ||u_n||+t < \rho(b)$,即$\frac{I_\mu(u_n+t\phi)-I_\mu(u_n)}{t}\geq-\frac{1}{n}$.让$t\rightarrow 0^+$,则有$\langle I_\mu'(u_n), \varphi\rangle\geq- \frac{1}{n}$.另一方面,令$w_n=u_n-t\phi$,则我们有$\langle I_\mu'(u_n), \varphi\rangle\leq\frac{1}{n}$.因此$\{u_n\}$是有界的PS序列,由引理2.1知,存在非负$w\in \overline{B_{\rho(b)}}$使得$I_\mu'(w)=0$和$I_\mu(w) < 0$成立.

第二步:我们将证明当$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta(b))$时,存在$u_\mu\in H$使得

成立.这里, $c_{0, \mu}$为方程(1.1)的非平凡解的最低能量即:

由第一步我们知道集合$G\neq\phi$并且$c_{0, \mu} < 0$.我们将进一步证明,对于任何$u\in G$有$c_{0, \mu}>-\infty$成立.类似于引理2.1的证明,有

成立,这里$\beta\in(\frac{1}{p+1}, \frac{1}{4})$,因此$c_{0, \mu}>-\infty$.故存在序列$\{u_n\}\subset G$满足$I_\mu(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n c_{0, \mu}$和$I_\mu'(u_n)\mathop{\rightarrow}\limits^n 0$.那么由引理2.1知,存在$u_\mu\in H$使得$I_\mu'(u_\mu)=0$和$I_\mu(u_\mu)=c_{0, \mu}$成立.即证明方程(1.1)有最低能量解$u_\mu$,并且满足$I_\mu(u_\mu) < 0$.

第三步:当$\mu=\mu_1$时,方程(1.1)的非零解$u$满足

因此有

成立.又由于对任何$u\in H$满足

所以

另一方面,当$\mu_n\in(\mu_1, \mu_1+\delta(b))$且$\mu_n\downarrow \mu_1$时,由定理$1.1$易知, $\mu_n$所对应的的最低能量解$u_{\mu_n}$在$H$中强收敛到$\overline{w}$,并满足$I_{\mu_1}'(\overline{w})=0$和$I_{\mu_1}(\overline{w})\leq0$.故由(3.1)式知$\overline{w}=0$.因此存在$\delta_1(b)\in(0, \delta(b))$,使得对任何$\mu\in(\mu_1, \mu_1+\delta_1(b))$,满足$||u_\mu||\leq\rho(b)$.这表明$c_{0, \mu}=c_{2, \mu}$,因此我们得出$w=u_\mu$,即为方程(1.1)的非负最低能量解,定理得证.

在这部分我们将利用条件(V1)来证明定理1.3.首先介绍定理4.1,该定理来源于参考文献[6].

定理4.1^{[6, Theorem 9.12]}  设E是一个无限维的Banach空间, $I\in C^1(E, \mathbb{R})$为偶泛函并且满足PS条件.假设$I(0)=0$, $E=Y\oplus X$.其中$Y$是有限维的,并且$I$满足

(a)存在常数$\rho, \alpha>0$使得$I|_{{\partial B_\rho}\cap X}\geq \alpha$,

(b)对于每个有穷维子空间$\widetilde{E}\subset E$,存在一个$\mathbb{R}=\mathbb{R}(\widetilde{E})$,使得在$\widetilde{E}\setminus B_{R(\widetilde{E})}$上满足$I\leq 0$,那么$I$有一个无界的临界值序列.

基于上述定理,我们现在来证明方程(1.1)有无穷多个非平凡解.

定理1.3的证明  首先,如果$\mu < \mu_1$,那么我们能用标准对称的山路引理(参考文献[1, 6])得出结论.其次,不失一般性,我们假定$\mu_k\leq\mu < \mu_{k+1}$,这里$\mu_k$是定义在空间$H$上的算子$-a\Delta+V$的第$k$个特征值.从前面引理2.1我们知道$I_\mu$满足PS条件.显然$I_\mu(0)=0$.令$E=H, Y={\rm span}\{e_1, \cdots, e_k\}, X=Y^\bot$,则我们接下来只需要检验是否满足定理4.1中的(a)(b)两个条件.

(${{\rm{\tilde a}}}$)对于任何$u\in X$,由于$\mu_k\leq\mu < \mu_{k+1}$,我们有

因此

故存在$\rho=||u||$,当$||u||$足够小时,有

成立.

(${{\rm{\tilde b}}}$)对于每个有穷维线性空间$\widetilde{E}\subset H$,以及任意的$v\in \widetilde{E}$,我们有

由于$\widetilde{E}$是有穷维线性空间,并且$p\in(3, 5)$,因此存在$\mathbb{R}:=\mathbb{R}(\widetilde{E})$,使得对所有的$v\in \widetilde{E}\backslash B_{\mathbb{R}(\widetilde{E})}$有$I_\mu(v)\leq 0$成立.由定理4.1知, $I_\mu$有无界的临界值序列,因此方程(1.1)有无穷多个非平凡解.故定理1.3得证.