不可压缩磁流体方程组在Besov空间中的爆破准则

不可压缩磁流体方程组在Besov空间中的爆破准则

尚朝阳^,

Blow-Up Criterion for Incompressible Magnetohydrodynamics Equations in Besov Space

Shang Zhaoyang^,

收稿日期: 2017-02-17

基金资助:

国家自然科学基金. 11571232
国家自然科学基金. 11611130024

Received: 2017-02-17

Fund supported:

the NSFC. 11571232
the NSFC. 11611130024

作者简介 About authors

尚朝阳,E-mail:shangzhaoyang@sjtu.edu.cn , E-mail：shangzhaoyang@sjtu.edu.cn

摘要

该文给出了三维不可压缩磁流体（MHD）方程组在带有负指数的非齐次Besov空间中的爆破准则.结果表明方程组的经典解存在时间有限当且仅当范数‖·‖_{V_Θ}趋于无穷，这里所定义的范数‖·‖_{V_Θ}比非齐次Besov空间中的范数‖·‖_{B_∞，∞^α-1}弱，其中0 ＜ α < 1.

关键词： 不可压缩MHD方程组 ; 非齐次Besov空间 ; 爆破准则

Abstract

In this paper, we study the blow-up criterion of smooth solutions to the threedimensional incompressible magnetohydrodynamic(MHD) equations in Besov space of negative regular index. We show that a smooth solution breaks down if and only if the certain norm of the velocity u blows up at the same time. Here the norm‖·‖_{V_Θ} is defined in nonhomogenous Besov space and it is weaker than‖·‖_{B_{∞, ∞}^α-1}-norm, for 0 < α < 1.

Keywords： Incompressible MHD equations ; Blow-up criterion ; Besov space

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本文引用格式

尚朝阳. 不可压缩磁流体方程组在Besov空间中的爆破准则. 数学物理学报[J], 2019, 39(1): 67-80 doi:

Shang Zhaoyang. Blow-Up Criterion for Incompressible Magnetohydrodynamics Equations in Besov Space. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(1): 67-80 doi:

1 引言

该文研究如下三维不可压缩MHD方程组在Besov空间中的爆破准则

$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_t-\nu\Delta{u}+u\cdot\nabla{u}-b\cdot\nabla{b}+\frac{1}{2}\nabla{b^2}+\nabla{p}=0, \\ \displaystyle b_t-\eta\Delta{b}+u\cdot\nabla{b}-b\cdot\nabla{u}=0, \\ \displaystyle \nabla\cdot{u}=\nabla\cdot{b}=0, \\ \displaystyle u(x, 0)=u_0(x), \quad b(x, 0)=b_0(x), \end{array}\right.$

(1.1)

其中 $u=\left(u^1(x, t), u^2(x, t), u^3(x, t)\right)$ , $b=\left(b^1(x, t), b^2(x, t), b^3(x, t)\right)$ 和 $p=p(x, t)$ 分别表示流体的速度,空间磁场强度和流体单位面积上受到的压力,自变量 $(x, t)\in{\mathbb{R}} ^3\times{\mathbb{R}} ^+$ . $u_0$ 和 $b_0$ 是初始值并且满足 $\nabla\cdot{u}_0=\nabla\cdot{b}_0=0$ . $\nu>0$ 是粘性系数, $\eta>0$ 是磁扩散系数.当 $\nu=\eta=0$ 时,系统(1.1)称为理想的MHD方程,当流体不受电磁影响时,即 $b=0$ ,系统(1.1)退化为不可压缩的Navier-Stokes方程组.

关于MHD方程组的理论研究可以追溯到1942年Alfvén^[1]通过导电流体来研究电磁动力波的产生机制.此后,不可压缩MHD方程组主要被用来描述导电流体在磁场中的运动,它有着重要的物理意义和广泛的应用领域,例如在地球物理学,天体物理学和工程问题等领域(详见文献[19]).近些年, MHD方程组的数学研究得到了许多学者的关注并且获得了丰富的进展. Duvaut和Lions^[10]建立了局部强解和Leray-Hopf型的全局弱解.文献[13]给出了MHD方程组从弱解到经典解的充分条件,弱解和经典解的局部行为详见文献[14].对于系统(1.1)在不同函数空间的局部适定性结果,有兴趣的读者可以参考文献[8-9, 23, 29]以及其它相关文献.然而,关于三维MHD方程组的弱解正则性仍然是公开问题,因此研究系统(1.1)强解或经典解的爆破准则机制和奇性的产生变得相当重要.对于退化情形的三维Navier-Stokes方程组, 1934年Leray在能量空间 $L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$ 中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件

$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u\in L^q([0, T];L^p({\mathbb{R}} ^d)), \quad \frac{2}{q}+\frac{d}{p}=1, \quad d＜p\leqslant+\infty, \\ \displaystyle u\in C([0, T];L^3({\mathbb{R}} ^3)), \\ \displaystyle u\in L^\infty([0, T];L^d({\mathbb{R}} ^d)), \quad d \geqslant4 \end{array}\right.$

(1.2)

满足其中一个,那么Leray型弱解可以在局部时间 $[0, T]$ 上保持光滑.在文献[4]中, Beale等人证明了BKM型爆破准则,如果

$\int_0^T\|w(\tau)\|_{L^\infty}{\rm d}\tau＜+\infty$

(1.3)

成立,那么三维Euler方程组( $\nu=0$ )的经典解 $u$ 在时间 $[0, T]$ 上保持光滑,其中 $w=\nabla\times{u}$ 是速度的旋度.最近, Zhang和Yang ^[46]给出了带有负指数Besov空间中的爆破准则,如果满足条件

$\int_0^T\|w(\tau)\|_{\dot{B}^{-r}_{\infty, \infty}}^\frac{r}{2-r}{\rm d}\tau＜+\infty, \quad 0＜r＜2,$

(1.4)

那么方程组Cauchy问题的弱解可以在时间 $[0, T]$ 上保持光滑.更多关于Navier-Stokes方程组或Euler方程组的爆破准则结果可以参考文献[16-17, 31]以及其它相关文献.

对于三维不可压MHD方程组, Wu在文献[32-33]中给出了依赖于速度 $u$ 和磁场强度 $b$ 的Serrin型爆破准则. Caflisch等人^[9]将BKM型爆破准则推广到了三维理想的MHD方程组

$\int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{L^\infty}+\|j(\tau)\|_{L^\infty}\right){\rm d}\tau＜+\infty,$

(1.5)

其中 $j=\nabla\times{b}$ 是磁场 $b$ 的旋度.最近文献[5, 43]分别将BKM型爆破准则(1.5)推广到了Besov空间

$\int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{\dot{B}^0_{\infty, \infty}}+\|j(\tau)\|_{\dot{B}^0_{\infty, \infty}}\right){\rm d}\tau\int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{L^\infty}+\|j(\tau)\|_{L^\infty}\right){\rm d}\tau＜+\infty$

(1.6)

和

$\lim\limits_{\epsilon\to0}\sup\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}\int_{T-\epsilon}^T\left(\|\Delta_jw(\tau)\|_{L^{\infty}}+\|\Delta_jj(\tau)\|_{L^{\infty}}\right){\rm d}\tau=\delta\int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{L^\infty}+\|j(\tau)\|_{L^\infty}\right){\rm d}\tau = \delta ＜ M,$

(1.7)

其中 $M$ 是常数, $\Delta_j$ 是频率空间 $|\xi|\approx2^j$ 上的局部化算子.然而数值实验^[12,26]表明在MHD方程组解的正则性理论中速度场的作用要比磁场重要.在此背景下, He等人^[13]和Zhou^[42]建立了不依赖于磁场强度 $b$ 的正则性准则,即如果速度 $u$ 满足下列其中任一条件

$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u\in L^q([0, T];L^p({\mathbb{R}} ^3)), \quad \frac{2}{q}+\frac{3}{p}\leqslant1, \quad 3＜p\leqslant+\infty, \\[8pt] \displaystyle u\in C([0, T];L^3({\mathbb{R}} ^3)), \\[8pt] \displaystyle \nabla{u}\in L^q([0, T];L^p({\mathbb{R}} ^3)), \quad \frac{2}{q}+\frac{3}{p}\leqslant2 , \quad\frac{3}{2}＜p\leqslant+\infty, \end{array}\right.$

(1.8)

那么弱解可以在区域 $[0, T]\times{{\mathbb{R}} ^3}$ 上保持光滑.随后, Chen等人^[7]通过傅立叶局部技术和Bony仿积分解,将条件(1.8)推广到了Besov空间

$\int_0^T\|u(\tau)\|_{\dot{B}^{s}_{p, \infty}}^q {\rm d}\tau＜+\infty,$

(1.9)

其中

$\frac{2}{q}+\frac{3}{p}=1+s, \, \frac{3}{1+s}＜p\leqslant+\infty, \, -1＜s\leqslant1, \, (p, s)\neq(+\infty, 1),$

并且在文献[6]中进一步证明了解在齐次Besov空间中依赖速度旋度的BKM型爆破准则

$\lim\limits_{\epsilon\to0}\sup\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}\int_{T-\epsilon}^T\|\dot\Delta_jw\|_\infty {\rm d}\tau=\delta＜M.$

(1.10)

在非齐次Besov空间中, Wu^[34]运用能量估计和仿积技术建立了如下形式的爆破准则

$\int_0^T\|u(\tau)\|_{B^1_{\infty, \infty}}^{1+\delta}{\rm d}\tau＜+\infty, \quad \mbox{或者} \quad \int_0^T\|u(\tau)\|_{B^{1+\epsilon}_{\infty, \infty}}{\rm d}\tau＜+\infty,$

(1.11)

这里 $\delta, \epsilon>0$ , $B^s_{p, q}$ 表示非齐次的Besov空间.更多MHD方程组的爆破准则结果详见参考文献[35-40, 47]以及其它相关文献.

目前MHD方程组的解在非齐次Besov空间中的爆破结果还比较少,尤其是正则指数是负数的情形.受到上述文献[24, 36, 46]的启发,该文将建立方程组(1.1)的经典解在负指数非齐次Besov空间中的爆破准则.在主要结论定理2.1的证明过程中,我们通过低阶导数估计发现方程组(1.1)解的 $H^1$ 范数可以由流体速度的 $\|\cdot\|_{V_\Theta}$ 范数控制.下面的对数型Sobolev不等式

$\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C\big(1+\|u\|_{V_\Theta}\Theta(\log(\|u\|_{W^{s, p}}+e))\big),$

(1.12)

在 $H^1$ 范数的估计中起到了重要的作用,其中 $u\in{W^{s, p}}({\mathbb{R}} ^3)$ , $s>\frac{3}{p}$ ,详见文献[24].由定义2.1可知, $\|\cdot\|_{V_\Theta}$ 范数弱于 $\|\cdot\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$ 范数, $0＜\alpha＜1$ .对于高阶导数估计,我们利用文献[21, 36]中弱非线性的能量估计方法发现解的 $H^s$ -范数( $s\geq 2$ )可以被 $L^{2(2 s+1)}(0, T;H^1)$ 范数控制,进而在爆破准则的条件假设下得到解的整体存在性.在该文中, $C$ 表示正的常数,出现在不同位置的 $C$ 的值可能会有所不同.为了简化证明,我们假设流体的粘性系数和磁扩散系数 $\nu=\eta=1$ .

2 Besov空间和嵌入不等式

在给出该文主要结论前,我们首先介绍一些函数空间和Littlewood-Paley理论.假设 ${\cal S}({\mathbb{R}} ^3)$ 是速降函数空间,对给定的 $f\in{\cal S}$ ,它的傅立叶变换定义为

$\begin{eqnarray*} \hat{f}(\xi)=(2\pi)^{-\frac{3}{2}}\int_{{\mathbb{R}} ^3}e^{-{\rm i}x\cdot\xi}f(\xi){\rm d}x . \end{eqnarray*}$

选择两个非负,值域在 $[0, 1]$ 上,支集在 $B=\{{\xi\in{\mathbb{R}} ^3}, |\xi|\leqslant\frac{4}{3}\}$ , ${\cal C}=\{{\xi\in{\mathbb{R}} ^3}, \frac{3}{4}\leqslant|\xi|\leqslant\frac{8}{3}\}$ 上的径向函数 $\chi$ 和 $\varphi$ 满足

$\begin{eqnarray*} \chi(\xi)+\sum\limits_{j\geqslant0}\varphi(2^{-j}\xi)=1, \quad \forall\xi\in{\mathbb{R}} ^3, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\varphi(2^{-j}\xi)=1, \quad \forall\xi\in{\mathbb{R}} ^3\setminus\{0\} . \end{eqnarray*}$

让 $h={\cal F}^{-1}\varphi$ 和 $\widetilde{h}={\cal F}^{-1}\chi$ ,由此非齐次局部算子 $\Delta_j$ 定义为

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \Delta_j=0, \quad \quad j\leqslant-2, \\[8pt] \displaystyle \Delta_{-1}u=\chi(D)u=\int_{{\mathbb{R}} ^3}\widetilde{h}(y)u(x-y){\rm d}y , \\[8pt] \displaystyle \Delta_j{u}=\varphi(2^{-j}D)u=2^{3j}\int_{{\mathbb{R}} ^3}h(2^jy)u(x-y){\rm d}y, \quad j\geqslant0. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

非齐次低频截断算子 $S_j$ 定义为

$S_j{u}=\chi(2^{-j}D)u=\sum\limits_{{k}\leqslant{j-1}}\Delta_k{u}.$

齐次局部算子 $\dot\Delta_j$ 和齐次低频截断算子 $\dot S_j$ 定义为

$\begin{eqnarray*} \dot\Delta_j{u}=\varphi(2^{-j}D)u=2^{3j}\int_{{\mathbb{R}} ^3}h(2^jy)u(x-y){\rm d}y, \end{eqnarray*}$

$\dot S_j{u}=\chi(2^{-j}D)u=2^{3j}\int_{{\mathbb{R}} ^3}\widetilde h(2^jy)u(x-y){\rm d}y.$

对所有的 $j\in{\Bbb Z}$ .形式上, $\Delta_j$ 是频率投射到环 $\{|\xi|\thickapprox{2^j}\}$ 上的算子, $S_j$ 是频率投射到球 $\{|\xi|\lesssim2^j\}$ 上的算子.由Littlewood-Paley分解可知

$u=\Delta_{-1}u+\sum\limits_{j=0}^\infty\Delta_j{u}, \quad\quad u=\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\dot\Delta_j{u}.$

(2.1)

让 $s\in{{\mathbb{R}} }$ , $1\leqslant{p}, {q}\leqslant\infty$ .非齐次Besov空间 ${B}^s_{p, q}$ 定义为

$\begin{eqnarray*} {B}^s_{p, q}=\{u\in{\cal S}^{'}({\mathbb{R}} ^3);\|u\|_{{B}^s_{p, q}}＜+\infty\}, \end{eqnarray*}$

其中

$\|u\|_{{B}^s_{p, q}}= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \bigg(\sum\limits_{j=-1}^{\infty}2^{jsq}\|\Delta_j{u}\|^q_{L^p}\bigg)^\frac{1}{q} , \quad \quad q＜+\infty , \\ \displaystyle \quad\sup\limits_{j\geqslant{-1}}2^{js}\|\Delta_j{u}\|_{L^p} , \quad \, \, \quad\, \, \quad q=+\infty. \end{array}\right.$

(2.2)

齐次Besov空间 $\dot{B}^s_{p, q}$ 定义为

$\begin{eqnarray*} \dot{B}^s_{p, q}=\{u\in{\cal S}_h^{'}({\mathbb{R}} ^3);\|u\|_{\dot{B}^s_{p, q}}＜+\infty\}, \end{eqnarray*}$

其中

$\|u\|_{\dot{B}^s_{p, q}}= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \bigg(\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}2^{jsq}\|\dot\Delta_j{u}\|^q_{L^p}\bigg)^\frac{1}{q} , \quad \quad q＜+\infty , \\ \displaystyle \quad\sup\limits_{j\in{\Bbb Z}}2^{js}\|\dot\Delta_j{u}\|_{L^p} , \quad \, \quad\, \, \quad q=+\infty. \end{array}\right.$

(2.3)

接下来我们给出如下修正过的Besov型非齐次空间,详见参考文献[24].

定义2.1 定义空间 $V_\Theta$ ,它由所有的分布函数 $u$ 组成且满足 $\{u\in{\cal S}^{'}({\mathbb{R}} ^3);\| {u} \|_{V_\Theta}＜+\infty\}$ ,空间范数定义为

$\begin{eqnarray*} \| {u} \|_{V_\Theta}=\sup\limits_{N\geq2}\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j{u}\bigg\|_\infty}{\Theta(N)}, \end{eqnarray*}$

其中 $\|\cdot\|_\infty$ 表示为 $L^\infty({\mathbb{R}} ^3)$ 空间中的范数, $\Theta$ 是 $[1, \infty)$ 上的非递减函数.

注2.1 我们注意到

$\| {u} \|_{V_\Theta}\leq\sup\limits_{N\geq2}\frac{\sum\limits_{j=-1}^{N}\left\|\Delta_j{u}\right\|_\infty}{\Theta(N)}\leqslant{C}\|{u}\|_{B^0_{\infty, \infty}},$

如果 $\Theta(N)\geq N$ 成立.

类似的,我们给出如下修正过的Besov型齐次空间.

定义2.2 定义空间 $Y_\Theta$ ,它由 ${\cal S}_h^\prime$ 空间中的分布函数组成且满足 $\{u\in{\cal S}_h^\prime({\mathbb{R}} ^3);\| {u} \|_{Y_\Theta}＜+\infty\}$ ,空间范数定义为

$\begin{eqnarray*} \| {u} \|_{Y_\Theta}=\sup\limits_{N=1, 2, \cdots}\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot\Delta_j{u}\bigg\|_\infty}{\Theta(N)}. \end{eqnarray*}$

关于上述定义中记号 ${\cal S}^{'}$ 和 ${\cal S}_h^\prime$ 的详细定义,感兴趣的读者可以参考文献[3].

下面我们给出交换子估计,它在能量估计中会经常用到,详见参考文献[18].

引理2.1 假设 $s>0$ , $p\in(1, \infty)$ . $f$ 和 $g$ 是两个光滑函数满足 $\nabla{f}\in{L}^{{p}_1}$ , $\Lambda^{s}{f}\in{L}^{{p}_3}$ , $\Lambda^{s-1}{g}\in{L}^{{p}_2}$ 和 ${g}\in{L}^{{p}_4}$ ,那么存在一个不依赖于函数 $f$ 和 $g$ 的常数 $C$ 满足

$\|[\Lambda^{s}, f]g\|_{L^p}\leqslant{C}(\|\nabla{f}\|_{L^{p_1}}\|\Lambda^{s-1}{g}\|_{L^{p_2}}+\|\Lambda^{s}{f}\|_{L^{p_3}}\|g\|_{L^{p_4}}),$

(2.4)

其中 $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ , $p_2, p_3 \in(1, \infty)$ 满足

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}=\frac{1}{p_3}+\frac{1}{p_4}, \end{eqnarray*}$

这里 $[\Lambda^{s}, f]g=\Lambda^{s}(fg)-f\Lambda^{s}{g}$ .

同时我们给出如下的分数型Gagliardo-Nirenberg不等式,详见参考文献[2, 15].

引理2.2 如果 $1＜ p, q, r ＜ \infty$ , $0\leqslant\theta\leqslant1$ , $s, s_1, s_2\in{\mathbb{R}}$ , $u\in{C^\infty_c}({\mathbb{R}} ^3)$ ,那么有

$\|\Lambda^{s}{u}\|_{L^p}\leqslant C\|u\|^{1-\theta}_{L^q}\|\Lambda^{s_1}u\|^{\theta}_{L^r},$

(2.5)

其中

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p}-\frac{s}{n}=\frac{1-\theta}{q}+\theta\bigg(\frac{1}{r}-\frac{s_1}{n}\bigg), \quad s\leqslant\theta s_1. \end{eqnarray*}$

下面的对数型Sobolev不等式在 $L^\infty$ -范数的估计过程中扮演了重要的角色.

引理2.3 假设 $m >\frac{3}{2}$ ,那么存在依赖于 $m$ , $p$ 和 $\Theta$ 的常数 $C$ 满足

$\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C\big(1+\|u\|_{V_\Theta}\Theta(\log(\|u\|_{H^m}+e))\big)$

(2.6)

和

$\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C\big(1+\|u\|_{Y_\Theta}\Theta(\log(\|u\|_{H^m}+e))\big),$

(2.7)

对所有的 $u \in H^m({\mathbb{R}} ^3)$ 成立.

注2.2 该文中,我们考虑 $\Theta(N)=2^{(1-\alpha)N}$ , $0＜\alpha＜1$ 的情形,由不等式(2.6),可以得到

$\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C+C\|u\|_{V_\Theta}\left(\|u\|_{{H^m}({\mathbb{R}} ^3)}+e\right)^\frac{2(1-\alpha)}{2m-3}.$

(2.8)

现在我们给出该文在非齐次Besov空间中的主要结果.

定理2.1 假设 $\nu>0$ , $\eta>0$ ,初始条件满足 $(u_0, b_0)\in{H}^s({\mathbb{R}} ^3)\times {H}^s({\mathbb{R}} ^3)$ , $s\geqslant3$ 且散度为零.那么方程组(1.1)在集合 ${C([0, T);H^s)}\cap{C^1([0, T);H^{s-1})}$ 中的解 $(u, b)$ 满足

$\limsup\limits_{t\nearrow{T}}(\|u(t)\|_{H^s}+\|b(t)\|_{H^s})=+\infty,$

(2.9)

当且仅当

$\int_0^T \| {u} \|_{V_\Theta}^\frac{8m-12}{2m\alpha-3}{\rm d}\tau=+\infty,$

(2.10)

其中 $\frac{3}{2}＜m\leqslant 2$ , $\frac{3}{2m}＜\alpha＜1$ , $T＜+\infty$ .

注2.3 事实上,如果我们取 $m=2$ ,那么由上述定理可以得到如下的爆破准则

$\int_0^T \| {u} \|_{V_\Theta}^\frac{4}{4\alpha-3}{\rm d}\tau=+\infty,$

(2.11)

其中 $\frac{3}{4}＜\alpha＜1$ .

注2.4 如果我们取 $\Theta(N)=N+1$ ,对等式(4.3)的右端进行分部积分可以得到

$I_1+I_2+I_3\leqslant \|\nabla{u}\|_\infty \left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^2+\|\nabla{b}\|_{L^2}^2\right),$

然后利用文献[21, 36]中的方法,通过定理2.1和引理2.3,我们可以得到如下的BKM型爆破准则

$\int_0^T \| \nabla{u} \|_{V_\Theta}{\rm d}\tau=+\infty.$

(2.12)

由嵌入关系式 $\|\nabla{u}\|_{V_\Theta}\leqslant{C}\|\nabla{u}\|_{B^0_{\infty, \infty}}\leqslant{C}\|u\|_{B^1_{\infty, \infty}}$ 可知,上述爆破准则改进了Wu在文献[34]中的结果.事实上, $V_\Theta$ 空间中所有有界函数组成的集合正好是Log-Lipschitz函数的 $LL$ 空间, ${B}^1_{\infty, \infty}$ 是 $LL$ 空间的子空间,详见文献[3].

注2.5 对于 $\Theta(N)=N\log N$ 的情形, Zhang^[41]证明了MHD方程组的解在齐次Besov空间中的Osgood型爆破准则

$\sup\limits_{2\leq N＜\infty}\int_0^T\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot\Delta_j\nabla u(\tau)\bigg\|_\infty}{N\log N}{\rm d}\tau=+\infty.$

(2.13)

关于Osgood型爆破准则的更多结果详见文献[30, 44-45].

注2.6 本节中我们取 $\Theta(N)=2^{(1-\alpha)N}$ , $0＜\alpha＜1$ ,由此构成非齐次Besov空间中的范数 $\|\cdot\|_{V_\Theta}$ 比上述提到的范数都要弱.具体来说我们有

$\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_ju\bigg\|_\infty}{2^{(1-\alpha)N}}\leq\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j u\bigg\|_\infty}{N\log N}\leq\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j u\bigg\|_\infty}{N+1}, \quad N\geq 2.$

进一步,当 $s＜0$ 时由于等价范数

$C^{-|s|}\|u\|_{{B}^{s}_{p, r}}\leq \left\|\left(2^{js}\|S_ju\|_{L^p}\right)_j\right\|_{l^r}\leq C\left(1+\frac{1}{|s|}\right)\|u\|_{{B}^{s}_{p, r}}$

(2.14)

成立,我们有 $\|u\|_{V_\Theta}\leq\|u\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$ (详见文献[3]).

注2.7 对于我们定理的结果,我们给出下面的函数作为例子

$f(x)=\log\left(\frac{1}{|x|}+e\right)\log\log\left(\frac{1}{|x|}+e\right)\in V_\Theta,$

但是函数 $f(x)$ 不属于 ${B}^{0}_{\infty, \infty}$ 函数空间,详见文献[24, 27].

3 引理2.3的证明

为了该文证明的完整性,接下来我们给出引理2.3的证明,详见参考文献[24].

证首先,我们证明非齐次不等式(2.6).通过Littlewood-Paley理论,我们将函数分解为低频和高频部分.具体来说

$u(x)=u_l(x)+u_h(x),$

(3.1)

其中

$u_l(x)=\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j{u}, \;\;\;\;\;\; u_h(x)=\sum\limits_{j>N}\Delta_j{u},$

整数 $N$ 待定.

对于高频部分 $u_h(x)$ ,我们有

$\|u_h(x)\|_\infty \leqslant \sum\limits_{j>N}\|\Delta_j{u}\|_\infty\leqslant C\sum\limits_{j>N}2^{-(m-3/2)j}\|u\|_{B_{2, \infty}^m} \leqslant C2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m},$

(3.2)

其中 $j \geqslant 0$ , $m>\frac{3}{2}$ ,这里我们用到了如下的Bernstein估计

$\begin{eqnarray*} \|\Delta_j{u}\|_{L^{p_2}}\leqslant C2^{jd(\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2})}\|\Delta_j{u}\|_{L^{p_1}}, \quad j \geqslant 0, \, 1\leqslant p_1 \leqslant p_2\leqslant+\infty \end{eqnarray*}$

和空间嵌入关系式 $W^{s, p}\hookrightarrow B_{p, \max(p, 2)}^s\hookrightarrow B_{p, \infty}^m$ ,详见文献[34].

由定义2.1,我们有

$\|u_l(x)\|_\infty \leqslant\Theta(N)\|u\|_{V_\Theta}.$

(3.3)

联立(3.1)-(3.3)式可以得到

$\|u(x)\|_\infty \leqslant C\left(2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m}+\Theta(N)\|u\|_{V_\Theta}\right).$

(3.4)

取 $N=\left[\frac{\log(\|u\|_{H^m}+e)}{(m-3/2)}\right]+1$ ,其中 $[\, \cdot\, ]$ 表示取整符号,估计式(2.6)得证.

为了得到齐次不等式(2.7),我们将函数分解为如下低频,中频和高频部分

$u(x)=\sum\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}\dot{\Delta}_j{u}=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x),$

(3.5)

其中

$\begin{eqnarray*} u_1(x)=\sum\limits_{j＜-N}\dot\Delta_j{u}, \quad u_2(x)=\sum\limits_{-N\leqslant{j}\leqslant{N}}\dot\Delta_j{u}, \quad u_2(x)=\sum\limits_{j>N}\dot\Delta_j{u}. \end{eqnarray*}$

对于低频部分 $u_1(x)$ ,可以得到

$\begin{eqnarray*} \|u_1(x)\|_\infty &\leqslant& \sum\limits_{j＜-N}\|\dot\Delta_j{u}\|_\infty\leqslant \sum\limits_{j＜-N}C2^{3j/2}\|\dot\Delta_j{u}\|_{L^2} \nonumber \\ &\leqslant &C\sum\limits_{j＜-N}2^{3j/2}\|{u}\|_{L^2} \leqslant C2^{-\frac{3}{2}N}\|{u}\|_{L^2}.\end{eqnarray*}$

(3.6)

类似于(3.2)式,通过Bernstein估计和齐次嵌入关系式 $\dot W^{m, p}\hookrightarrow \dot B_{p, max(p, 2)}^m\hookrightarrow \dot B_{p, \infty}^m$ ,高频部分有如下估计

$\|u_3(x)\|_\infty \leqslant \sum\limits_{j>N}\|\dot\Delta_j{u}\|_\infty\leqslant C2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m}, \quad m>\frac{3}{2}.$

(3.7)

最后我们考虑中频部分 $u_2(x)$ 的估计,由定义2.2,我们有

$\|u_2(x)\|_\infty \leqslant \Theta(N)\|u\|_{Y_\Theta}.$

(3.8)

结合(3.5)-(3.8)式,有

$\|u(x)\|_\infty \leqslant C(2^{-\frac{3}{2}N}\|u\|_{L^2}+2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m}+ \Theta(N)\|u\|_{Y_\Theta}).$

(3.9)

取 $N=\left[\frac{\log(\|u\|_{H^m}+e)}{\min(m-3/2, 3/2)}\right]+1$ , (2.7)式得证.

4 定理2.1的证明

证由标准的能量估计方法^[22],可知对于初值 $(u_0, b_0)\in H^s({\mathbb{R}} ^3)$ , $s\geqslant3$ ,存在 $T>0$ 使得Cauchy问题(1.1)在 $[0, T )$ 上有唯一的局部光滑解 $(u(t, x), b(t, x))$ 满足

$\begin{eqnarray*} (u(t, x), b(t, x))\in{C([0, T);H^s)}\cap{C^1([0, T);H^{s-1})}, \quad T＜+\infty. \end{eqnarray*}$

由嵌入不等式 $\|{u} \|_{V_\Theta}\leqslant{C}\|u\|_{B^0_{\infty, \infty}}\leqslant C\|{u}\|_\infty \leqslant C\|u(t)\|_{H^s}$ 可知(2.10)式蕴含(2.9)式.因此只要证明(2.9)式蕴含(2.10)式.如果(2.9)式成立,可以得到对任意的 $\epsilon>0$ ,存在 $T_0 = T_0(\epsilon)＜ T$ 使得

$\int_{T_0}^T \|{u} \|_{V_\Theta}^\frac{8m-12}{2m\alpha-3}{\rm d}\tau＜\epsilon.$

(4.1)

首先,由 $L^2$ 能量估计可以得到

$\|u(t)\|_{L^2}^2+\|b(t)\|_{L^2}^2+\int_0^T\left( \| \nabla{u(\tau)} \|_{L^2}^2+\| \nabla{b(\tau)} \|_{L^2}^2\right)\, {\rm d}\tau\leqslant C＜+\infty.$

(4.2)

接下我们进行 $H^1, H^2, H^s$ 范数估计.

( $H^1$ 估计).将(1.1)式前两个方程分别乘以 $\Delta{u}$ 和 $\Delta{b}$ ,通过分部积分和散度为零的条件,可以得到

$\begin{eqnarray}& &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}( \|\nabla u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla b(t)\|_{L^2}^2)+ \| \nabla^2{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^2{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{u} \, {\rm d}x+\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{b} \, {\rm d}x-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left((b\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{b}+(b\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{u}\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &:=&I_1+I_2+I_3.\end{eqnarray}$

(4.3)

上述三项可以估计为

$I_1=\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{u} \, {\rm d}x =\int_{{\mathbb{R}} ^3}u_i\partial_iu_j\partial_k\partial_k u_j\, {\rm d}x\leqslant \|{u}\|_\infty \|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2},$

(4.4)

这里我们用到了Einstein求和记号,同样的方法可以得到

$I_2=\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{b} \, {\rm d}x \leqslant \|{u}\|_\infty \|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}.$

(4.5)

最后一项

$\begin{eqnarray}I_3&=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left((b\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{b}+(b\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{u}\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(\partial_k(b_i\partial_iu_j)\partial_k b_j+\partial_k(b_i\partial_ib_j)\partial_k u_j\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(\partial_k b_i\partial_i u_j\partial_k b_j+b_i\partial_k\partial_iu_j\partial_k b_j+\partial_kb_i\partial_ib_j\partial_k u_j+b_i\partial_k\partial_ib_j\partial_k u_j\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(u_j\partial_i (\partial_k b_i\partial_k b_j)+ u_j\partial_k(\partial_kb_i\partial_ib_j)\right)\, {\rm d}x \nonumber \\&\leqslant &\|{u}\|_\infty \|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}, \end{eqnarray}$

(4.6)

其中我们用到了散度为零的条件和等式

$\begin{eqnarray*} \int_{{\mathbb{R}} ^3}(b\cdot\nabla(\nabla u))\nabla{b} \, {\rm d}x+\int_{{\mathbb{R}} ^3}(b\cdot\nabla(\nabla b))\nabla{u} \, {\rm d}x=0 . \end{eqnarray*}$

将估计式(4.4)-(4.6)代入(4.3)式,然后运用(2.8)式,对任意的 $\delta>0$ 有

$\begin{eqnarray}& &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t} \left(\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla b(t)\|_{L^2}^2\right)+\| \nabla^2{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^2{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C\|{u}\|_\infty \left(\|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\left(\|u\|_{{H^m}({\mathbb{R}} ^3)}+e\right)^\frac{2(1-\alpha)}{2m-3}\right)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)\|u\|_{H^m}^\frac{2(1-\alpha)}{2m-3}\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)\|u\|_{H^2}^\frac{m(1-\alpha)}{2m-3}\left(\|\nabla^2{u}\|_{L^2}^\frac{3}{2}+\|\nabla^2{b}\|_{L^2}^\frac{3}{2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &\delta\left(\|u\|_{H^2}^\frac{4m(1-\alpha)}{8m-2m\alpha-9}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}^\frac{6(2m-3)}{8m-2m\alpha-9}+\|u\|_{H^2}^\frac{4m(1-\alpha)}{8m-2m\alpha-9}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}^\frac{6(2m-3)}{8m-2m\alpha-9}\right)+C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)^\frac{8m-12}{2m\alpha-3} \nonumber \\ &\leqslant &\delta C\left(\|u\|_{H^2}^2+\|b\|_{H^2}^2\right)+C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)^\frac{8m-12}{2m\alpha-3}, \end{eqnarray}$

(4.7)

在最后两个不等式中我们用到了Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式.

对(4.7)式在 $(T_0, t)$ 上积分,然后联立(4.1)和(4.2)式,得到

$\sup\limits_{t\in[0, T]}\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla b(t)\|_{L^2}^2\leqslant C.$

(4.8)

( $H^2$ 估计)将算子 $\nabla^2$ 分别作用到方程组(1.1)中的前两个等式,然后在全空间上积分,将所得到的等式相加可以得到

$\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\nabla^2 u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 b(t)\|_{L^2}^2\right)+ \| \nabla^3{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^3{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{u} \, {\rm d}x-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{b} \, {\rm d}x \nonumber \\ &&+\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(\nabla^2(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{u} +\nabla^2(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{b}\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &:=&J_1+J_2+J_3 . \end{eqnarray}$

(4.9)

接下来我们将分别估计(4.9)式的右端项

$\begin{eqnarray}J_1&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{u} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^2, u\cdot\nabla]u\cdot\nabla^2{u}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^2, u\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla{u}\|_{L^3})\|\nabla^2{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant& C\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{2}} \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{5}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{7}{4}} \nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{2}+C(\epsilon)\|\nabla{u}\|_{L^2}^{10}, \end{eqnarray}$

(4.10)

其中我们用到了引理2.1交换子估计,引理2.2 Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式.通过同样的方法我们有

$\begin{eqnarray} J_2&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{b} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^2, u\cdot\nabla]b\cdot\nabla^2{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^2, u\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}+\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\right)\|\nabla^2{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}^2+\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}\right)\nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^3{b}\|_{L^2}^{\frac{3}{2}}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^3{b}\|_{L^2}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\right)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^3{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{6}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{8}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right) \end{eqnarray}$

(4.11)

和

$\begin{eqnarray} J_3&=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{u} +\nabla^2(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^2, b\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|[\nabla^2, b\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}^2\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}^2\right)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^3{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{6}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{8}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right). \end{eqnarray}$

(4.12)

将上述估计代入(4.9)式,取 $\epsilon$ 适当的小可以得到

$\begin{eqnarray}& &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\nabla^2 u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 b(t)\|_{L^2}^2\right)+ \| \nabla^3{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^3{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{10}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{6}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{8}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right)^5. \end{eqnarray}$

(4.13)

将不等式(4.13)从 $T_0$ 到 $t$ 积分,可以得到

$\begin{eqnarray} &&\|\nabla^2 u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 b(t)\|_{L^2}^2+\int_{T_0}^t\left(\| \nabla^3{u(\tau)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^3{b(\tau)} \|_{L^2}^2\right)\, {\rm d}\tau \nonumber \\ &\leqslant &C(T_0)+C(\epsilon)\int_{T_0}^t\left(\|\nabla{u(\tau)}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b(\tau)}\|_{L^2}^{2}\right)^5\, {\rm d}\tau. \end{eqnarray}$

(4.14)

( $H^s$ 估计)\q将算子 $\nabla^s$ 分别作用到方程组(1.1)中的前两个等式,然后在全空间上积分,将所得到的等式相加

$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}( \|\nabla^s u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^s b(t)\|_{L^2}^2)+ \| \nabla^{s+1}{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^{s+1}{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{u} \, {\rm d}x-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{b} \, {\rm d}x \nonumber \\ &&+\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{u} +\nabla^s(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &:=&K_1+K_2+K_3. \end{eqnarray}$

(4.15)

上述三项可以估计为

$\begin{eqnarray} K_1&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{u} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^s, u\cdot\nabla]u\cdot\nabla^s{u}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^s, u\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla{u}\|_{L^3}\right)\|\nabla^s{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{s}} \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s+1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{4s-1}{2s}} \nonumber \\ &\leqslant &\epsilon \|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{2}+C(\epsilon)\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s+1)}, \end{eqnarray}$

(4.16)

其中我们用到了Young不等式和如下在三维空间中的Gagliardo-Nirenberg不等式

$\|\nabla{u}\|_{L^3}\leqslant C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}$

$\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\leqslant C \|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}.$

类似的有

$\begin{eqnarray} K_2&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{b} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^s, u\cdot\nabla]b\cdot\nabla^s{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^s, u\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}+\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\right)\|\nabla^s{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}^2+\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}\right)\nonumber \\ &\leqslant &C\big(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{\frac{1}{s}}\|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{s}} \nonumber \\ &&+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\big)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s-1)}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{4s}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right), \end{eqnarray}$

(4.17)

$\begin{eqnarray} K_3&=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{u} +\nabla^s(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^s, b\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|[\nabla^s, b\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}^2\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}^2\right)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s-1)}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{4s}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right). \end{eqnarray}$

(4.18)

将上述估计代入(4.15)式,然后取 $\epsilon$ 适当的小可以得到

$\begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\nabla^s u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^s b(t)\|_{L^2}^2\right)+ \| \nabla^{s+1}{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^{s+1}{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s+1)}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s-1)}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{4s}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right)^{2s+1}. \end{eqnarray}$

(4.19)

将不等式(4.19)从 $T_0$ 到 $t$ 积分可以得到

$\begin{eqnarray}& &\|\nabla^s u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^s b(t)\|_{L^2}^2+\int_{T_0}^t\left(\| \nabla^{s+1}{u(\tau)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^{s+1}{b(\tau)} \|_{L^2}^2\right)\, {\rm d}\tau \nonumber \\ &\leqslant &C(T_0)+C(\epsilon)\int_{T_0}^t\left(\|\nabla{u(\tau)}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b(\tau)}\|_{L^2}^{2}\right)^{2s+1}\, {\rm d}\tau .\end{eqnarray}$

(4.20)

联立(4.2), (4.8), (4.14)和(4.20)式然后相加,结合(4.8)式,我们有

$\sup\limits_{t\in[0, T]}\|u(t)\|_{H^s}^2+\|b(t)\|_{H^s}^2\leqslant C.$

因此我们得到了局部解 $(u, b)$ 的 $H^s\times H^s$ 范数有界性,对所有的时间 $t \in [T_0, T]$ 成立,定理得证.

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Zhang

A logarithmically improved regularity criterion for the 3D MHD system involving the velocity field in homogeneous Besov spaces

Ann Polon Math, 2016, 18 (1): 51- 57

[本文引用: 1]

Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves

1942

... 关于MHD方程组的理论研究可以追溯到1942年Alfvén^[1]通过导电流体来研究电磁动力波的产生机制.此后,不可压缩MHD方程组主要被用来描述导电流体在磁场中的运动,它有着重要的物理意义和广泛的应用领域,例如在地球物理学,天体物理学和工程问题等领域(详见文献[19]).近些年, MHD方程组的数学研究得到了许多学者的关注并且获得了丰富的进展. Duvaut和Lions^[10]建立了局部强解和Leray-Hopf型的全局弱解.文献[13]给出了MHD方程组从弱解到经典解的充分条件,弱解和经典解的局部行为详见文献[14].对于系统(1.1)在不同函数空间的局部适定性结果,有兴趣的读者可以参考文献[8-9, 23, 29]以及其它相关文献.然而,关于三维MHD方程组的弱解正则性仍然是公开问题,因此研究系统(1.1)强解或经典解的爆破准则机制和奇性的产生变得相当重要.对于退化情形的三维Navier-Stokes方程组, 1934年Leray在能量空间

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Gagliardo-Nirenberg, composition and products in fractional Sobolev spaces

2001

... 同时我们给出如下的分数型Gagliardo-Nirenberg不等式,详见参考文献[2, 15]. ...

2011

... 关于上述定义中记号

${\cal S}^{'}$

和

${\cal S}_h^\prime$

的详细定义,感兴趣的读者可以参考文献[3]. ...

... 由嵌入关系式

$\|\nabla{u}\|_{V_\Theta}\leqslant{C}\|\nabla{u}\|_{B^0_{\infty, \infty}}\leqslant{C}\|u\|_{B^1_{\infty, \infty}}$

可知,上述爆破准则改进了Wu在文献[34]中的结果.事实上,

$V_\Theta$

空间中所有有界函数组成的集合正好是Log-Lipschitz函数的

$LL$

空间,

${B}^1_{\infty, \infty}$

是

$LL$

空间的子空间,详见文献[3]. ...

... 成立,我们有

$\|u\|_{V_\Theta}\leq\|u\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$

(详见文献[3]). ...

Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3D Euler equations

1984

... 满足其中一个,那么Leray型弱解可以在局部时间

$[0, T]$

上保持光滑.在文献[4]中, Beale等人证明了BKM型爆破准则,如果 ...

A losing estimate for the Ideal MHD equations with application to Blow-up criterion

2007

... 其中

$j=\nabla\times{b}$

是磁场

$b$

的旋度.最近文献[5, 43]分别将BKM型爆破准则(1.5)推广到了Besov空间 ...

The Beale-Kato-Majda criterion for the 3D magneto-hydrodynamics equations

2007

... 并且在文献[6]中进一步证明了解在齐次Besov空间中依赖速度旋度的BKM型爆破准则 ...

On the regularity criterion of weak solution for the 3D viscous magneto-hydrodynamics equations

2008

... 那么弱解可以在区域

$[0, T]\times{{\mathbb{R}} ^3}$

上保持光滑.随后, Chen等人^[7]通过傅立叶局部技术和Bony仿积分解,将条件(1.8)推广到了Besov空间 ...

On the well-posedness of the ideal MHD equations in the Triebel-Lizorkin spaces

2010

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Remarks on singularities, dimension and energy dissipation for ideal hydrodynamics and MHD

1997

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

... 对于三维不可压MHD方程组, Wu在文献[32-33]中给出了依赖于速度

$u$

和磁场强度

$b$

的Serrin型爆破准则. Caflisch等人^[9]将BKM型爆破准则推广到了三维理想的MHD方程组 ...

Inéquations en thermoélasticité et magnéto-hydrodynamique

1972

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Sur l'unicité dans

${L^3}({{mathbb{R}}^3})$

des solutions "mild" des équations de Navier-Stokes[On the uniqueness in

${L^3}({{mathbb{R}}^3})$

of mild solutions of the Navier-Stokes equations]

1997

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Self-organization processes in continuous media

1985

... 其中

$M$

是常数,

$\Delta_j$

是频率空间

$|\xi|\approx2^j$

上的局部化算子.然而数值实验^[12,26]表明在MHD方程组解的正则性理论中速度场的作用要比磁场重要.在此背景下, He等人^[13]和Zhou^[42]建立了不依赖于磁场强度

$b$

的正则性准则,即如果速度

$u$

满足下列其中任一条件 ...

On the regularity of weak solutions to the magnetohydrodynamic equations

2005

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

... 其中

$M$

是常数,

$\Delta_j$

是频率空间

$|\xi|\approx2^j$

$b$

的正则性准则,即如果速度

$u$

满足下列其中任一条件 ...

Partial regularity of suitable weak solutions to the incompressible magnetohydrodynamic equations

2005

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

... 同时我们给出如下的分数型Gagliardo-Nirenberg不等式,详见参考文献[2, 15]. ...

The critical Sobolev inequalities in Besov spaces and regularity criterion to some semi-linear evolution equations

2002

... 那么方程组Cauchy问题的弱解可以在时间

$[0, T]$

上保持光滑.更多关于Navier-Stokes方程组或Euler方程组的爆破准则结果可以参考文献[16-17, 31]以及其它相关文献. ...

Limiting case of the Sobolev inequality in BMO, with application to the Euler equations

2000

... 那么方程组Cauchy问题的弱解可以在时间

$[0, T]$

上保持光滑.更多关于Navier-Stokes方程组或Euler方程组的爆破准则结果可以参考文献[16-17, 31]以及其它相关文献. ...

Commutator estimates and Euler and Navier-Stokes equations

1988

... 下面我们给出交换子估计,它在能量估计中会经常用到,详见参考文献[18]. ...

1989

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Uniqueness of mild solutions of the Navier-Stokes system in L^N

2001

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

BKM's criterion and global weak solutions for magnetohydrodynamics with zero viscosity

2009

... 在

$H^1$

范数的估计中起到了重要的作用,其中

$u\in{W^{s, p}}({\mathbb{R}} ^3)$

$s>\frac{3}{p}$

,详见文献[24].由定义2.1可知,

$\|\cdot\|_{V_\Theta}$

范数弱于

$\|\cdot\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$

范数,

$0＜\alpha＜1$

.对于高阶导数估计,我们利用文献[21, 36]中弱非线性的能量估计方法发现解的

$H^s$

-范数(

$s\geq 2$

)可以被

$L^{2(2 s+1)}(0, T;H^1)$

范数控制,进而在爆破准则的条件假设下得到解的整体存在性.在该文中,

$C$

表示正的常数,出现在不同位置的

$C$

的值可能会有所不同.为了简化证明,我们假设流体的粘性系数和磁扩散系数

$\nu=\eta=1$

. ...

... 然后利用文献[21, 36]中的方法,通过定理2.1和引理2.3,我们可以得到如下的BKM型爆破准则 ...

1984

... 证由标准的能量估计方法^[22],可知对于初值

$(u_0, b_0)\in H^s({\mathbb{R}} ^3)$

$s\geqslant3$

,存在

$T>0$

使得Cauchy问题(1.1)在

$[0, T )$

上有唯一的局部光滑解

$(u(t, x), b(t, x))$

满足 ...

On the well-posedness of the Cauchy problem for an MHD system in Besov spaces

2009

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

On blow-up criteria of smooth solutions to the 3-D Euler equations in a bounded domain

2003

... 目前MHD方程组的解在非齐次Besov空间中的爆破结果还比较少,尤其是正则指数是负数的情形.受到上述文献[24, 36, 46]的启发,该文将建立方程组(1.1)的经典解在负指数非齐次Besov空间中的爆破准则.在主要结论定理2.1的证明过程中,我们通过低阶导数估计发现方程组(1.1)解的

$H^1$

范数可以由流体速度的

$\|\cdot\|_{V_\Theta}$

范数控制.下面的对数型Sobolev不等式 ...

... 在

$H^1$

范数的估计中起到了重要的作用,其中

$u\in{W^{s, p}}({\mathbb{R}} ^3)$

$s>\frac{3}{p}$

,详见文献[24].由定义2.1可知,

$\|\cdot\|_{V_\Theta}$

范数弱于

$\|\cdot\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$

范数,

$0＜\alpha＜1$

.对于高阶导数估计,我们利用文献[21, 36]中弱非线性的能量估计方法发现解的

$H^s$

-范数(

$s\geq 2$

)可以被

$L^{2(2 s+1)}(0, T;H^1)$

范数控制,进而在爆破准则的条件假设下得到解的整体存在性.在该文中,

$C$

表示正的常数,出现在不同位置的

$C$

的值可能会有所不同.为了简化证明,我们假设流体的粘性系数和磁扩散系数

$\nu=\eta=1$

. ...

... 接下来我们给出如下修正过的Besov型非齐次空间,详见参考文献[24]. ...

... 但是函数

$f(x)$

不属于

${B}^{0}_{\infty, \infty}$

函数空间,详见文献[24, 27]. ...

... 为了该文证明的完整性,接下来我们给出引理2.3的证明,详见参考文献[24]. ...

Un teorema di unicitá per le equazioni di Navier-Stokes[A uniqueness theorem for the NavierStokes equations]

1959

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Current and vorticity dynamics in three-dimensional magnetohydrodynamic turbulence

1995

... 其中

$M$

是常数,

$\Delta_j$

是频率空间

$|\xi|\approx2^j$

$b$

的正则性准则,即如果速度

$u$

满足下列其中任一条件 ...

On the blow-up criterion for the 3D Boussinesq system with zero viscosity constant

2015

... 但是函数

$f(x)$

不属于

${B}^{0}_{\infty, \infty}$

函数空间,详见文献[24, 27]. ...

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Some mathematical questions related to the MHD equations

1983

$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$

中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件 ...

Osgood type blow-up criterion for the 3D Boussinesq equations with partial viscosity

2018

... 关于Osgood型爆破准则的更多结果详见文献[30, 44-45]. ...

Global solutions to the three-dimensional full compressible Navier-Stokes equations with vacuum at infinity in some classes of large data

... 那么方程组Cauchy问题的弱解可以在时间

$[0, T]$

上保持光滑.更多关于Navier-Stokes方程组或Euler方程组的爆破准则结果可以参考文献[16-17, 31]以及其它相关文献. ...

Bounds and new approaches for the 3D MHD equations

2002

... 对于三维不可压MHD方程组, Wu在文献[32-33]中给出了依赖于速度

$u$

和磁场强度

$b$

的Serrin型爆破准则. Caflisch等人^[9]将BKM型爆破准则推广到了三维理想的MHD方程组 ...

Regularity results for weak solutions of the 3D MHD equations

2004

... 对于三维不可压MHD方程组, Wu在文献[32-33]中给出了依赖于速度

$u$

和磁场强度

$b$

的Serrin型爆破准则. Caflisch等人^[9]将BKM型爆破准则推广到了三维理想的MHD方程组 ...

Regularity criteria for the generalized MHD equations

2008

... 在非齐次Besov空间中, Wu^[34]运用能量估计和仿积技术建立了如下形式的爆破准则 ...

... 由嵌入关系式

$\|\nabla{u}\|_{V_\Theta}\leqslant{C}\|\nabla{u}\|_{B^0_{\infty, \infty}}\leqslant{C}\|u\|_{B^1_{\infty, \infty}}$

可知,上述爆破准则改进了Wu在文献[34]中的结果.事实上,

$V_\Theta$

空间中所有有界函数组成的集合正好是Log-Lipschitz函数的

$LL$

空间,

${B}^1_{\infty, \infty}$

是

$LL$

空间的子空间,详见文献[3]. ...

... 和空间嵌入关系式

$W^{s, p}\hookrightarrow B_{p, \max(p, 2)}^s\hookrightarrow B_{p, \infty}^m$

,详见文献[34]. ...

Global regularity for a class of generalized magnetohydrodynamic equations

2011

... 这里

$\delta, \epsilon>0$

$B^s_{p, q}$

表示非齐次的Besov空间.更多MHD方程组的爆破准则结果详见参考文献[35-40, 47]以及其它相关文献. ...

Remark on an improved regularity criterion for the 3D MHD equations

2015

$H^1$

范数可以由流体速度的

$\|\cdot\|_{V_\Theta}$

范数控制.下面的对数型Sobolev不等式 ...

... 在

$H^1$

范数的估计中起到了重要的作用,其中

$u\in{W^{s, p}}({\mathbb{R}} ^3)$

$s>\frac{3}{p}$

,详见文献[24].由定义2.1可知,

$\|\cdot\|_{V_\Theta}$

范数弱于

$\|\cdot\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$

范数,

$0＜\alpha＜1$

.对于高阶导数估计,我们利用文献[21, 36]中弱非线性的能量估计方法发现解的

$H^s$

-范数(

$s\geq 2$

)可以被

$L^{2(2 s+1)}(0, T;H^1)$

范数控制,进而在爆破准则的条件假设下得到解的整体存在性.在该文中,

$C$

表示正的常数,出现在不同位置的

$C$

的值可能会有所不同.为了简化证明,我们假设流体的粘性系数和磁扩散系数

$\nu=\eta=1$

. ...

... 然后利用文献[21, 36]中的方法,通过定理2.1和引理2.3,我们可以得到如下的BKM型爆破准则 ...

Note on global regularity of 3D generalized magnetohydrodynamicmodel with zero diffusivity

2015

Global well-posedness and decay results to 3D generalized viscous magnetohydrodynamic equations

2016

Global regularity of 3D generalized incompressible magnetohydrodynamic model

2014

Global regularity of the two-dimensional incompressible generalized magnetohydrodynamics system

2014

... 这里

$\delta, \epsilon>0$

$B^s_{p, q}$

表示非齐次的Besov空间.更多MHD方程组的爆破准则结果详见参考文献[35-40, 47]以及其它相关文献. ...

Refined blow-up criterion for the 3D magnetohydrodynamics equations

2013

... 注2.5 对于

$\Theta(N)=N\log N$

的情形, Zhang^[41]证明了MHD方程组的解在齐次Besov空间中的Osgood型爆破准则 ...

Remarks on regularities for the 3D MHD equations

2005

... 其中

$M$

是常数,

$\Delta_j$

是频率空间

$|\xi|\approx2^j$

$b$

的正则性准则,即如果速度

$u$

满足下列其中任一条件 ...

On the blow-up criterion of smooth solutions to the 3D Idea lMHD equations

2004

... 其中

$j=\nabla\times{b}$

是磁场

$b$

的旋度.最近文献[5, 43]分别将BKM型爆破准则(1.5)推广到了Besov空间 ...

An Osgood type regularity criterion for the liquid crystal flows

2014

... 关于Osgood型爆破准则的更多结果详见文献[30, 44-45]. ...

Osgood type regularity criterion for the 3D Newton-Boussinesq equation

2013

... 关于Osgood型爆破准则的更多结果详见文献[30, 44-45]. ...

Navier-Stokes equations with vorticity in Besov spaces of negative regular indices

2016

... 成立,那么三维Euler方程组(

$\nu=0$

)的经典解

$u$

在时间

$[0, T]$

上保持光滑,其中

$w=\nabla\times{u}$

是速度的旋度.最近, Zhang和Yang ^[46]给出了带有负指数Besov空间中的爆破准则,如果满足条件 ...

$H^1$

范数可以由流体速度的

$\|\cdot\|_{V_\Theta}$

范数控制.下面的对数型Sobolev不等式 ...

A logarithmically improved regularity criterion for the 3D MHD system involving the velocity field in homogeneous Besov spaces

2016

... 这里

$\delta, \epsilon>0$

$B^s_{p, q}$

表示非齐次的Besov空间.更多MHD方程组的爆破准则结果详见参考文献[35-40, 47]以及其它相关文献. ...

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