该文研究如下三维不可压缩MHD方程组在Besov空间中的爆破准则

(1.1) $ \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_t-\nu\Delta{u}+u\cdot\nabla{u}-b\cdot\nabla{b}+\frac{1}{2}\nabla{b^2}+\nabla{p}=0, \\ \displaystyle b_t-\eta\Delta{b}+u\cdot\nabla{b}-b\cdot\nabla{u}=0, \\ \displaystyle \nabla\cdot{u}=\nabla\cdot{b}=0, \\ \displaystyle u(x, 0)=u_0(x), \quad b(x, 0)=b_0(x), \end{array}\right.$

其中$u=\left(u^1(x, t), u^2(x, t), u^3(x, t)\right)$, $b=\left(b^1(x, t), b^2(x, t), b^3(x, t)\right)$和$p=p(x, t)$分别表示流体的速度,空间磁场强度和流体单位面积上受到的压力,自变量$(x, t)\in{\mathbb{R}} ^3\times{\mathbb{R}} ^+$. $u_0$和$b_0$是初始值并且满足$\nabla\cdot{u}_0=\nabla\cdot{b}_0=0$. $\nu>0$是粘性系数, $\eta>0$是磁扩散系数.当$\nu=\eta=0$时,系统(1.1)称为理想的MHD方程,当流体不受电磁影响时,即$b=0$,系统(1.1)退化为不可压缩的Navier-Stokes方程组.

关于MHD方程组的理论研究可以追溯到1942年Alfvén^[1]通过导电流体来研究电磁动力波的产生机制.此后,不可压缩MHD方程组主要被用来描述导电流体在磁场中的运动,它有着重要的物理意义和广泛的应用领域,例如在地球物理学,天体物理学和工程问题等领域(详见文献[19]).近些年, MHD方程组的数学研究得到了许多学者的关注并且获得了丰富的进展. Duvaut和Lions^[10]建立了局部强解和Leray-Hopf型的全局弱解.文献[13]给出了MHD方程组从弱解到经典解的充分条件,弱解和经典解的局部行为详见文献[14].对于系统(1.1)在不同函数空间的局部适定性结果,有兴趣的读者可以参考文献[8-9, 23, 29]以及其它相关文献.然而,关于三维MHD方程组的弱解正则性仍然是公开问题,因此研究系统(1.1)强解或经典解的爆破准则机制和奇性的产生变得相当重要.对于退化情形的三维Navier-Stokes方程组, 1934年Leray在能量空间$L^\infty({\mathbb{R}} ^+;L^2)\cap L^2({\mathbb{R}} ^+;\dot{H}^1)$中给出了全局弱解的存在性.随后相继出现了多种类型的爆破准则, Serrin型爆破准则(参见文献[11, 20, 25, 28])描述了如果下列条件

(1.2) $\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u\in L^q([0, T];L^p({\mathbb{R}} ^d)), \quad \frac{2}{q}+\frac{d}{p}=1, \quad d＜p\leqslant+\infty, \\ \displaystyle u\in C([0, T];L^3({\mathbb{R}} ^3)), \\ \displaystyle u\in L^\infty([0, T];L^d({\mathbb{R}} ^d)), \quad d \geqslant4 \end{array}\right. $

满足其中一个,那么Leray型弱解可以在局部时间$[0, T]$上保持光滑.在文献[4]中, Beale等人证明了BKM型爆破准则,如果

(1.3) $\int_0^T\|w(\tau)\|_{L^\infty}{\rm d}\tau＜+\infty$

成立,那么三维Euler方程组($\nu=0$)的经典解$u$在时间$[0, T]$上保持光滑,其中$w=\nabla\times{u}$是速度的旋度.最近, Zhang和Yang ^[46]给出了带有负指数Besov空间中的爆破准则,如果满足条件

(1.4) $\int_0^T\|w(\tau)\|_{\dot{B}^{-r}_{\infty, \infty}}^\frac{r}{2-r}{\rm d}\tau＜+\infty, \quad 0＜r＜2, $

那么方程组Cauchy问题的弱解可以在时间$[0, T]$上保持光滑.更多关于Navier-Stokes方程组或Euler方程组的爆破准则结果可以参考文献[16-17, 31]以及其它相关文献.

对于三维不可压MHD方程组, Wu在文献[32-33]中给出了依赖于速度$u$和磁场强度$b$的Serrin型爆破准则. Caflisch等人^[9]将BKM型爆破准则推广到了三维理想的MHD方程组

(1.5) $ \int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{L^\infty}+\|j(\tau)\|_{L^\infty}\right){\rm d}\tau＜+\infty, $

其中$j=\nabla\times{b}$是磁场$b$的旋度.最近文献[5, 43]分别将BKM型爆破准则(1.5)推广到了Besov空间

(1.6) $\int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{\dot{B}^0_{\infty, \infty}}+\|j(\tau)\|_{\dot{B}^0_{\infty, \infty}}\right){\rm d}\tau\int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{L^\infty}+\|j(\tau)\|_{L^\infty}\right){\rm d}\tau＜+\infty$

和

(1.7) $\lim\limits_{\epsilon\to0}\sup\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}\int_{T-\epsilon}^T\left(\|\Delta_jw(\tau)\|_{L^{\infty}}+\|\Delta_jj(\tau)\|_{L^{\infty}}\right){\rm d}\tau=\delta\int_0^T\left(\|w(\tau)\|_{L^\infty}+\|j(\tau)\|_{L^\infty}\right){\rm d}\tau = \delta ＜ M, $

其中$M$是常数, $\Delta_j$是频率空间$|\xi|\approx2^j$上的局部化算子.然而数值实验^[12,26]表明在MHD方程组解的正则性理论中速度场的作用要比磁场重要.在此背景下, He等人^[13]和Zhou^[42]建立了不依赖于磁场强度$b$的正则性准则,即如果速度$u$满足下列其中任一条件

(1.8) $\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u\in L^q([0, T];L^p({\mathbb{R}} ^3)), \quad \frac{2}{q}+\frac{3}{p}\leqslant1, \quad 3＜p\leqslant+\infty, \\[8pt] \displaystyle u\in C([0, T];L^3({\mathbb{R}} ^3)), \\[8pt] \displaystyle \nabla{u}\in L^q([0, T];L^p({\mathbb{R}} ^3)), \quad \frac{2}{q}+\frac{3}{p}\leqslant2 , \quad\frac{3}{2}＜p\leqslant+\infty, \end{array}\right. $

那么弱解可以在区域$[0, T]\times{{\mathbb{R}} ^3}$上保持光滑.随后, Chen等人^[7]通过傅立叶局部技术和Bony仿积分解,将条件(1.8)推广到了Besov空间

(1.9) $\int_0^T\|u(\tau)\|_{\dot{B}^{s}_{p, \infty}}^q {\rm d}\tau＜+\infty, $

其中

$\frac{2}{q}+\frac{3}{p}=1+s, \, \frac{3}{1+s}＜p\leqslant+\infty, \, -1＜s\leqslant1, \, (p, s)\neq(+\infty, 1), $

并且在文献[6]中进一步证明了解在齐次Besov空间中依赖速度旋度的BKM型爆破准则

(1.10) $ \lim\limits_{\epsilon\to0}\sup\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}\int_{T-\epsilon}^T\|\dot\Delta_jw\|_\infty {\rm d}\tau=\delta＜M. $

在非齐次Besov空间中, Wu^[34]运用能量估计和仿积技术建立了如下形式的爆破准则

(1.11) $ \int_0^T\|u(\tau)\|_{B^1_{\infty, \infty}}^{1+\delta}{\rm d}\tau＜+\infty, \quad \mbox{或者} \quad \int_0^T\|u(\tau)\|_{B^{1+\epsilon}_{\infty, \infty}}{\rm d}\tau＜+\infty, $

这里$\delta, \epsilon>0$, $B^s_{p, q}$表示非齐次的Besov空间.更多MHD方程组的爆破准则结果详见参考文献[35-40, 47]以及其它相关文献.

目前MHD方程组的解在非齐次Besov空间中的爆破结果还比较少,尤其是正则指数是负数的情形.受到上述文献[24, 36, 46]的启发,该文将建立方程组(1.1)的经典解在负指数非齐次Besov空间中的爆破准则.在主要结论定理2.1的证明过程中,我们通过低阶导数估计发现方程组(1.1)解的$H^1$范数可以由流体速度的$\|\cdot\|_{V_\Theta}$范数控制.下面的对数型Sobolev不等式

(1.12) $\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C\big(1+\|u\|_{V_\Theta}\Theta(\log(\|u\|_{W^{s, p}}+e))\big), $

在$H^1$范数的估计中起到了重要的作用,其中$u\in{W^{s, p}}({\mathbb{R}} ^3)$, $s>\frac{3}{p}$,详见文献[24].由定义2.1可知, $\|\cdot\|_{V_\Theta}$范数弱于$\|\cdot\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$范数, $0＜\alpha＜1$.对于高阶导数估计,我们利用文献[21, 36]中弱非线性的能量估计方法发现解的$H^s$-范数($s\geq 2$)可以被$L^{2(2 s+1)}(0, T;H^1)$范数控制,进而在爆破准则的条件假设下得到解的整体存在性.在该文中, $C$表示正的常数,出现在不同位置的$C$的值可能会有所不同.为了简化证明,我们假设流体的粘性系数和磁扩散系数$\nu=\eta=1$.

在给出该文主要结论前,我们首先介绍一些函数空间和Littlewood-Paley理论.假设${\cal S}({\mathbb{R}} ^3)$是速降函数空间,对给定的$f\in{\cal S}$,它的傅立叶变换定义为

$\begin{eqnarray*} \hat{f}(\xi)=(2\pi)^{-\frac{3}{2}}\int_{{\mathbb{R}} ^3}e^{-{\rm i}x\cdot\xi}f(\xi){\rm d}x . \end{eqnarray*}$

选择两个非负,值域在$[0, 1]$上,支集在$B=\{{\xi\in{\mathbb{R}} ^3}, |\xi|\leqslant\frac{4}{3}\}$, ${\cal C}=\{{\xi\in{\mathbb{R}} ^3}, \frac{3}{4}\leqslant|\xi|\leqslant\frac{8}{3}\}$上的径向函数$\chi$和$\varphi$满足

$ \begin{eqnarray*} \chi(\xi)+\sum\limits_{j\geqslant0}\varphi(2^{-j}\xi)=1, \quad \forall\xi\in{\mathbb{R}} ^3, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\varphi(2^{-j}\xi)=1, \quad \forall\xi\in{\mathbb{R}} ^3\setminus\{0\} . \end{eqnarray*}$

让$h={\cal F}^{-1}\varphi$和$\widetilde{h}={\cal F}^{-1}\chi$,由此非齐次局部算子$\Delta_j$定义为

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \Delta_j=0, \quad \quad j\leqslant-2, \\[8pt] \displaystyle \Delta_{-1}u=\chi(D)u=\int_{{\mathbb{R}} ^3}\widetilde{h}(y)u(x-y){\rm d}y , \\[8pt] \displaystyle \Delta_j{u}=\varphi(2^{-j}D)u=2^{3j}\int_{{\mathbb{R}} ^3}h(2^jy)u(x-y){\rm d}y, \quad j\geqslant0. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

非齐次低频截断算子$S_j$定义为

$S_j{u}=\chi(2^{-j}D)u=\sum\limits_{{k}\leqslant{j-1}}\Delta_k{u}.$

齐次局部算子$\dot\Delta_j$和齐次低频截断算子$\dot S_j$定义为

$\begin{eqnarray*} \dot\Delta_j{u}=\varphi(2^{-j}D)u=2^{3j}\int_{{\mathbb{R}} ^3}h(2^jy)u(x-y){\rm d}y, \end{eqnarray*}$

$\dot S_j{u}=\chi(2^{-j}D)u=2^{3j}\int_{{\mathbb{R}} ^3}\widetilde h(2^jy)u(x-y){\rm d}y.$

对所有的$j\in{\Bbb Z}$.形式上, $\Delta_j$是频率投射到环$\{|\xi|\thickapprox{2^j}\}$上的算子, $S_j$是频率投射到球$\{|\xi|\lesssim2^j\}$上的算子.由Littlewood-Paley分解可知

(2.1) $u=\Delta_{-1}u+\sum\limits_{j=0}^\infty\Delta_j{u}, \quad\quad u=\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\dot\Delta_j{u}.$

让$s\in{{\mathbb{R}} }$, $1\leqslant{p}, {q}\leqslant\infty$.非齐次Besov空间${B}^s_{p, q}$定义为

$ \begin{eqnarray*} {B}^s_{p, q}=\{u\in{\cal S}^{'}({\mathbb{R}} ^3);\|u\|_{{B}^s_{p, q}}＜+\infty\}, \end{eqnarray*}$

其中

(2.2) $ \|u\|_{{B}^s_{p, q}}= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \bigg(\sum\limits_{j=-1}^{\infty}2^{jsq}\|\Delta_j{u}\|^q_{L^p}\bigg)^\frac{1}{q} , \quad \quad q＜+\infty , \\ \displaystyle \quad\sup\limits_{j\geqslant{-1}}2^{js}\|\Delta_j{u}\|_{L^p} , \quad \, \, \quad\, \, \quad q=+\infty. \end{array}\right. $

齐次Besov空间$\dot{B}^s_{p, q}$定义为

$ \begin{eqnarray*} \dot{B}^s_{p, q}=\{u\in{\cal S}_h^{'}({\mathbb{R}} ^3);\|u\|_{\dot{B}^s_{p, q}}＜+\infty\}, \end{eqnarray*}$

其中

(2.3) $ \|u\|_{\dot{B}^s_{p, q}}= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \bigg(\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}2^{jsq}\|\dot\Delta_j{u}\|^q_{L^p}\bigg)^\frac{1}{q} , \quad \quad q＜+\infty , \\ \displaystyle \quad\sup\limits_{j\in{\Bbb Z}}2^{js}\|\dot\Delta_j{u}\|_{L^p} , \quad \, \quad\, \, \quad q=+\infty. \end{array}\right. $

接下来我们给出如下修正过的Besov型非齐次空间,详见参考文献[24].

定义2.1  定义空间$V_\Theta$,它由所有的分布函数$u$组成且满足$\{u\in{\cal S}^{'}({\mathbb{R}} ^3);\| {u} \|_{V_\Theta}＜+\infty\}$,空间范数定义为

$\begin{eqnarray*} \| {u} \|_{V_\Theta}=\sup\limits_{N\geq2}\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j{u}\bigg\|_\infty}{\Theta(N)}, \end{eqnarray*} $

其中$\|\cdot\|_\infty$表示为$L^\infty({\mathbb{R}} ^3)$空间中的范数, $\Theta$是$[1, \infty)$上的非递减函数.

注2.1  我们注意到

$\| {u} \|_{V_\Theta}\leq\sup\limits_{N\geq2}\frac{\sum\limits_{j=-1}^{N}\left\|\Delta_j{u}\right\|_\infty}{\Theta(N)}\leqslant{C}\|{u}\|_{B^0_{\infty, \infty}}, $

如果$\Theta(N)\geq N$成立.

类似的,我们给出如下修正过的Besov型齐次空间.

定义2.2  定义空间$Y_\Theta$,它由${\cal S}_h^\prime$空间中的分布函数组成且满足$\{u\in{\cal S}_h^\prime({\mathbb{R}} ^3);\| {u} \|_{Y_\Theta}＜+\infty\}$,空间范数定义为

$ \begin{eqnarray*} \| {u} \|_{Y_\Theta}=\sup\limits_{N=1, 2, \cdots}\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot\Delta_j{u}\bigg\|_\infty}{\Theta(N)}. \end{eqnarray*} $

关于上述定义中记号${\cal S}^{'}$和${\cal S}_h^\prime$的详细定义,感兴趣的读者可以参考文献[3].

下面我们给出交换子估计,它在能量估计中会经常用到,详见参考文献[18].

引理2.1  假设$s>0$, $p\in(1, \infty)$. $f$和$g$是两个光滑函数满足$\nabla{f}\in{L}^{{p}_1}$, $\Lambda^{s}{f}\in{L}^{{p}_3}$, $\Lambda^{s-1}{g}\in{L}^{{p}_2}$和${g}\in{L}^{{p}_4}$,那么存在一个不依赖于函数$f$和$g$的常数$C$满足

(2.4) $\|[\Lambda^{s}, f]g\|_{L^p}\leqslant{C}(\|\nabla{f}\|_{L^{p_1}}\|\Lambda^{s-1}{g}\|_{L^{p_2}}+\|\Lambda^{s}{f}\|_{L^{p_3}}\|g\|_{L^{p_4}}), $

其中$\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$, $p_2, p_3 \in(1, \infty)$满足

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}=\frac{1}{p_3}+\frac{1}{p_4}, \end{eqnarray*}$

这里$[\Lambda^{s}, f]g=\Lambda^{s}(fg)-f\Lambda^{s}{g}$.

同时我们给出如下的分数型Gagliardo-Nirenberg不等式,详见参考文献[2, 15].

引理2.2  如果$1＜ p, q, r ＜ \infty$, $0\leqslant\theta\leqslant1$, $s, s_1, s_2\in{\mathbb{R}} $, $u\in{C^\infty_c}({\mathbb{R}} ^3)$,那么有

(2.5) $\|\Lambda^{s}{u}\|_{L^p}\leqslant C\|u\|^{1-\theta}_{L^q}\|\Lambda^{s_1}u\|^{\theta}_{L^r}, $

其中

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p}-\frac{s}{n}=\frac{1-\theta}{q}+\theta\bigg(\frac{1}{r}-\frac{s_1}{n}\bigg), \quad s\leqslant\theta s_1. \end{eqnarray*}$

下面的对数型Sobolev不等式在$L^\infty$-范数的估计过程中扮演了重要的角色.

引理2.3  假设$m >\frac{3}{2}$,那么存在依赖于$m$, $p$和$\Theta$的常数$C$满足

(2.6) $\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C\big(1+\|u\|_{V_\Theta}\Theta(\log(\|u\|_{H^m}+e))\big) $

和

(2.7) $\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C\big(1+\|u\|_{Y_\Theta}\Theta(\log(\|u\|_{H^m}+e))\big), $

对所有的$u \in H^m({\mathbb{R}} ^3)$成立.

注2.2  该文中,我们考虑$\Theta(N)=2^{(1-\alpha)N}$, $0＜\alpha＜1$的情形,由不等式(2.6),可以得到

(2.8) $\|u\|_{{L^\infty}({\mathbb{R}} ^3)}\leqslant C+C\|u\|_{V_\Theta}\left(\|u\|_{{H^m}({\mathbb{R}} ^3)}+e\right)^\frac{2(1-\alpha)}{2m-3}.$

现在我们给出该文在非齐次Besov空间中的主要结果.

定理2.1  假设$\nu>0$, $\eta>0$,初始条件满足$(u_0, b_0)\in{H}^s({\mathbb{R}} ^3)\times {H}^s({\mathbb{R}} ^3)$, $s\geqslant3$且散度为零.那么方程组(1.1)在集合${C([0, T);H^s)}\cap{C^1([0, T);H^{s-1})}$中的解$(u, b)$满足

(2.9) $\limsup\limits_{t\nearrow{T}}(\|u(t)\|_{H^s}+\|b(t)\|_{H^s})=+\infty, $

当且仅当

(2.10) $\int_0^T \| {u} \|_{V_\Theta}^\frac{8m-12}{2m\alpha-3}{\rm d}\tau=+\infty, $

其中$\frac{3}{2}＜m\leqslant 2$, $\frac{3}{2m}＜\alpha＜1$, $T＜+\infty$.

注2.3  事实上,如果我们取$m=2$,那么由上述定理可以得到如下的爆破准则

(2.11) $\int_0^T \| {u} \|_{V_\Theta}^\frac{4}{4\alpha-3}{\rm d}\tau=+\infty, $

其中$\frac{3}{4}＜\alpha＜1$.

注2.4  如果我们取$\Theta(N)=N+1$,对等式(4.3)的右端进行分部积分可以得到

$ I_1+I_2+I_3\leqslant \|\nabla{u}\|_\infty \left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^2+\|\nabla{b}\|_{L^2}^2\right), $

然后利用文献[21, 36]中的方法,通过定理2.1和引理2.3,我们可以得到如下的BKM型爆破准则

(2.12) $\int_0^T \| \nabla{u} \|_{V_\Theta}{\rm d}\tau=+\infty.$

由嵌入关系式$\|\nabla{u}\|_{V_\Theta}\leqslant{C}\|\nabla{u}\|_{B^0_{\infty, \infty}}\leqslant{C}\|u\|_{B^1_{\infty, \infty}}$可知,上述爆破准则改进了Wu在文献[34]中的结果.事实上, $V_\Theta$空间中所有有界函数组成的集合正好是Log-Lipschitz函数的$LL$空间, ${B}^1_{\infty, \infty}$是$LL$空间的子空间,详见文献[3].

注2.5  对于$\Theta(N)=N\log N$的情形, Zhang^[41]证明了MHD方程组的解在齐次Besov空间中的Osgood型爆破准则

(2.13) $\sup\limits_{2\leq N＜\infty}\int_0^T\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot\Delta_j\nabla u(\tau)\bigg\|_\infty}{N\log N}{\rm d}\tau=+\infty.$

关于Osgood型爆破准则的更多结果详见文献[30, 44-45].

注2.6  本节中我们取$\Theta(N)=2^{(1-\alpha)N}$, $0＜\alpha＜1$,由此构成非齐次Besov空间中的范数$\|\cdot\|_{V_\Theta}$比上述提到的范数都要弱.具体来说我们有

$\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_ju\bigg\|_\infty}{2^{(1-\alpha)N}}\leq\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j u\bigg\|_\infty}{N\log N}\leq\frac{\bigg\|\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j u\bigg\|_\infty}{N+1}, \quad N\geq 2.$

进一步,当$s＜0$时由于等价范数

(2.14) $C^{-|s|}\|u\|_{{B}^{s}_{p, r}}\leq \left\|\left(2^{js}\|S_ju\|_{L^p}\right)_j\right\|_{l^r}\leq C\left(1+\frac{1}{|s|}\right)\|u\|_{{B}^{s}_{p, r}}$

成立,我们有$\|u\|_{V_\Theta}\leq\|u\|_{{B}^{\alpha-1}_{\infty, \infty}}$ (详见文献[3]).

注2.7  对于我们定理的结果,我们给出下面的函数作为例子

$f(x)=\log\left(\frac{1}{|x|}+e\right)\log\log\left(\frac{1}{|x|}+e\right)\in V_\Theta, $

但是函数$f(x)$不属于${B}^{0}_{\infty, \infty}$函数空间,详见文献[24, 27].

为了该文证明的完整性,接下来我们给出引理2.3的证明,详见参考文献[24].

证  首先,我们证明非齐次不等式(2.6).通过Littlewood-Paley理论,我们将函数分解为低频和高频部分.具体来说

(3.1) $u(x)=u_l(x)+u_h(x), $

其中

$u_l(x)=\sum\limits_{j=-1}^{N}\Delta_j{u}, \;\;\;\;\;\; u_h(x)=\sum\limits_{j>N}\Delta_j{u}, $

整数$N$待定.

对于高频部分$u_h(x)$,我们有

(3.2) $\|u_h(x)\|_\infty \leqslant \sum\limits_{j>N}\|\Delta_j{u}\|_\infty\leqslant C\sum\limits_{j>N}2^{-(m-3/2)j}\|u\|_{B_{2, \infty}^m} \leqslant C2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m}, $

其中$ j \geqslant 0$, $m>\frac{3}{2}$,这里我们用到了如下的Bernstein估计

$ \begin{eqnarray*} \|\Delta_j{u}\|_{L^{p_2}}\leqslant C2^{jd(\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2})}\|\Delta_j{u}\|_{L^{p_1}}, \quad j \geqslant 0, \, 1\leqslant p_1 \leqslant p_2\leqslant+\infty \end{eqnarray*}$

和空间嵌入关系式$W^{s, p}\hookrightarrow B_{p, \max(p, 2)}^s\hookrightarrow B_{p, \infty}^m$,详见文献[34].

由定义2.1,我们有

(3.3) $\|u_l(x)\|_\infty \leqslant\Theta(N)\|u\|_{V_\Theta}.$

联立(3.1)-(3.3)式可以得到

(3.4) $\|u(x)\|_\infty \leqslant C\left(2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m}+\Theta(N)\|u\|_{V_\Theta}\right).$

取$N=\left[\frac{\log(\|u\|_{H^m}+e)}{(m-3/2)}\right]+1$,其中$[\, \cdot\, ]$表示取整符号,估计式(2.6)得证.

为了得到齐次不等式(2.7),我们将函数分解为如下低频,中频和高频部分

(3.5) $u(x)=\sum\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}\dot{\Delta}_j{u}=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x), $

其中

$ \begin{eqnarray*} u_1(x)=\sum\limits_{j＜-N}\dot\Delta_j{u}, \quad u_2(x)=\sum\limits_{-N\leqslant{j}\leqslant{N}}\dot\Delta_j{u}, \quad u_2(x)=\sum\limits_{j>N}\dot\Delta_j{u}. \end{eqnarray*} $

对于低频部分$u_1(x)$,可以得到

(3.6) $ \begin{eqnarray*} \|u_1(x)\|_\infty &\leqslant& \sum\limits_{j＜-N}\|\dot\Delta_j{u}\|_\infty\leqslant \sum\limits_{j＜-N}C2^{3j/2}\|\dot\Delta_j{u}\|_{L^2} \nonumber \\ &\leqslant &C\sum\limits_{j＜-N}2^{3j/2}\|{u}\|_{L^2} \leqslant C2^{-\frac{3}{2}N}\|{u}\|_{L^2}.\end{eqnarray*} $

类似于(3.2)式,通过Bernstein估计和齐次嵌入关系式$\dot W^{m, p}\hookrightarrow \dot B_{p, max(p, 2)}^m\hookrightarrow \dot B_{p, \infty}^m$,高频部分有如下估计

(3.7) $\|u_3(x)\|_\infty \leqslant \sum\limits_{j>N}\|\dot\Delta_j{u}\|_\infty\leqslant C2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m}, \quad m>\frac{3}{2}.$

最后我们考虑中频部分$u_2(x)$的估计,由定义2.2,我们有

(3.8) $\|u_2(x)\|_\infty \leqslant \Theta(N)\|u\|_{Y_\Theta}.$

结合(3.5)-(3.8)式,有

(3.9) $ \|u(x)\|_\infty \leqslant C(2^{-\frac{3}{2}N}\|u\|_{L^2}+2^{-(m-3/2)N} \|u\|_{H^m}+ \Theta(N)\|u\|_{Y_\Theta}). $

取$N=\left[\frac{\log(\|u\|_{H^m}+e)}{\min(m-3/2, 3/2)}\right]+1$, (2.7)式得证.

证  由标准的能量估计方法^[22],可知对于初值$(u_0, b_0)\in H^s({\mathbb{R}} ^3)$, $s\geqslant3$,存在$T>0$使得Cauchy问题(1.1)在$[0, T )$上有唯一的局部光滑解$(u(t, x), b(t, x))$满足

$\begin{eqnarray*} (u(t, x), b(t, x))\in{C([0, T);H^s)}\cap{C^1([0, T);H^{s-1})}, \quad T＜+\infty. \end{eqnarray*}$

由嵌入不等式$\|{u} \|_{V_\Theta}\leqslant{C}\|u\|_{B^0_{\infty, \infty}}\leqslant C\|{u}\|_\infty \leqslant C\|u(t)\|_{H^s}$可知(2.10)式蕴含(2.9)式.因此只要证明(2.9)式蕴含(2.10)式.如果(2.9)式成立,可以得到对任意的$\epsilon>0$,存在$T_0 = T_0(\epsilon)＜ T$使得

(4.1) $ \int_{T_0}^T \|{u} \|_{V_\Theta}^\frac{8m-12}{2m\alpha-3}{\rm d}\tau＜\epsilon. $

首先,由$L^2$能量估计可以得到

(4.2) $ \|u(t)\|_{L^2}^2+\|b(t)\|_{L^2}^2+\int_0^T\left( \| \nabla{u(\tau)} \|_{L^2}^2+\| \nabla{b(\tau)} \|_{L^2}^2\right)\, {\rm d}\tau\leqslant C＜+\infty. $

接下我们进行$H^1, H^2, H^s$范数估计.

($H^1$估计).将(1.1)式前两个方程分别乘以$\Delta{u}$和$\Delta{b}$,通过分部积分和散度为零的条件,可以得到

(4.3) $ \begin{eqnarray}& &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}( \|\nabla u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla b(t)\|_{L^2}^2)+ \| \nabla^2{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^2{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{u} \, {\rm d}x+\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{b} \, {\rm d}x-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left((b\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{b}+(b\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{u}\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &:=&I_1+I_2+I_3.\end{eqnarray} $

上述三项可以估计为

(4.4) $I_1=\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{u} \, {\rm d}x =\int_{{\mathbb{R}} ^3}u_i\partial_iu_j\partial_k\partial_k u_j\, {\rm d}x\leqslant \|{u}\|_\infty \|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}, $

这里我们用到了Einstein求和记号,同样的方法可以得到

(4.5) $ I_2=\int_{{\mathbb{R}} ^3}(u\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{b} \, {\rm d}x \leqslant \|{u}\|_\infty \|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}. $

最后一项

(4.6) $\begin{eqnarray}I_3&=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left((b\cdot\nabla{u})\cdot\Delta{b}+(b\cdot\nabla{b})\cdot\Delta{u}\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(\partial_k(b_i\partial_iu_j)\partial_k b_j+\partial_k(b_i\partial_ib_j)\partial_k u_j\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(\partial_k b_i\partial_i u_j\partial_k b_j+b_i\partial_k\partial_iu_j\partial_k b_j+\partial_kb_i\partial_ib_j\partial_k u_j+b_i\partial_k\partial_ib_j\partial_k u_j\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(u_j\partial_i (\partial_k b_i\partial_k b_j)+ u_j\partial_k(\partial_kb_i\partial_ib_j)\right)\, {\rm d}x \nonumber \\&\leqslant &\|{u}\|_\infty \|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}, \end{eqnarray} $

其中我们用到了散度为零的条件和等式

$\begin{eqnarray*} \int_{{\mathbb{R}} ^3}(b\cdot\nabla(\nabla u))\nabla{b} \, {\rm d}x+\int_{{\mathbb{R}} ^3}(b\cdot\nabla(\nabla b))\nabla{u} \, {\rm d}x=0 . \end{eqnarray*}$

将估计式(4.4)-(4.6)代入(4.3)式,然后运用(2.8)式,对任意的$\delta>0$有

(4.7) $ \begin{eqnarray}& &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t} \left(\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla b(t)\|_{L^2}^2\right)+\| \nabla^2{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^2{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C\|{u}\|_\infty \left(\|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\left(\|u\|_{{H^m}({\mathbb{R}} ^3)}+e\right)^\frac{2(1-\alpha)}{2m-3}\right)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)\|u\|_{H^m}^\frac{2(1-\alpha)}{2m-3}\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)\|u\|_{H^2}^\frac{m(1-\alpha)}{2m-3}\left(\|\nabla^2{u}\|_{L^2}^\frac{3}{2}+\|\nabla^2{b}\|_{L^2}^\frac{3}{2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &\delta\left(\|u\|_{H^2}^\frac{4m(1-\alpha)}{8m-2m\alpha-9}\|\nabla^2{u}\|_{L^2}^\frac{6(2m-3)}{8m-2m\alpha-9}+\|u\|_{H^2}^\frac{4m(1-\alpha)}{8m-2m\alpha-9}\|\nabla^2{b}\|_{L^2}^\frac{6(2m-3)}{8m-2m\alpha-9}\right)+C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)^\frac{8m-12}{2m\alpha-3} \nonumber \\ &\leqslant &\delta C\left(\|u\|_{H^2}^2+\|b\|_{H^2}^2\right)+C\left(1+\|u\|_{V_\Theta}\right)^\frac{8m-12}{2m\alpha-3}, \end{eqnarray} $

在最后两个不等式中我们用到了Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式.

对(4.7)式在$(T_0, t)$上积分,然后联立(4.1)和(4.2)式,得到

(4.8) $\sup\limits_{t\in[0, T]}\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla b(t)\|_{L^2}^2\leqslant C.$

($H^2$估计)将算子$\nabla^2$分别作用到方程组(1.1)中的前两个等式,然后在全空间上积分,将所得到的等式相加可以得到

(4.9) $\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\nabla^2 u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 b(t)\|_{L^2}^2\right)+ \| \nabla^3{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^3{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{u} \, {\rm d}x-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{b} \, {\rm d}x \nonumber \\ &&+\int_{{\mathbb{R}} ^3}\left(\nabla^2(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{u} +\nabla^2(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{b}\right)\, {\rm d}x \nonumber \\ &:=&J_1+J_2+J_3 . \end{eqnarray} $

接下来我们将分别估计(4.9)式的右端项

(4.10) $\begin{eqnarray}J_1&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{u} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^2, u\cdot\nabla]u\cdot\nabla^2{u}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^2, u\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla{u}\|_{L^3})\|\nabla^2{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant& C\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{2}} \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{5}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{7}{4}} \nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{2}+C(\epsilon)\|\nabla{u}\|_{L^2}^{10}, \end{eqnarray}$

其中我们用到了引理2.1交换子估计,引理2.2 Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式.通过同样的方法我们有

(4.11) $ \begin{eqnarray} J_2&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{b} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^2, u\cdot\nabla]b\cdot\nabla^2{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^2, u\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}+\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\right)\|\nabla^2{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}^2+\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}\right)\nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^3{b}\|_{L^2}^{\frac{3}{2}}+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^3{b}\|_{L^2}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\right)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^3{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{6}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{8}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right) \end{eqnarray} $

和

(4.12) $\begin{eqnarray} J_3&=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^2(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^2{u} +\nabla^2(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^2{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^2, b\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|[\nabla^2, b\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^2{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}^2\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}\|\nabla^2{u}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^2{b}\|_{L^3}^2\right)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^3{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^3{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{6}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{8}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right). \end{eqnarray} $

将上述估计代入(4.9)式,取$\epsilon$适当的小可以得到

(4.13) $ \begin{eqnarray}& &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\nabla^2 u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 b(t)\|_{L^2}^2\right)+ \| \nabla^3{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^3{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{10}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{6}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{8}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right)^5. \end{eqnarray} $

将不等式(4.13)从$T_0$到$t$积分,可以得到

(4.14) $ \begin{eqnarray} &&\|\nabla^2 u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 b(t)\|_{L^2}^2+\int_{T_0}^t\left(\| \nabla^3{u(\tau)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^3{b(\tau)} \|_{L^2}^2\right)\, {\rm d}\tau \nonumber \\ &\leqslant &C(T_0)+C(\epsilon)\int_{T_0}^t\left(\|\nabla{u(\tau)}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b(\tau)}\|_{L^2}^{2}\right)^5\, {\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

($H^s$估计)\q将算子$\nabla^s$分别作用到方程组(1.1)中的前两个等式,然后在全空间上积分,将所得到的等式相加

(4.15) $\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}( \|\nabla^s u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^s b(t)\|_{L^2}^2)+ \| \nabla^{s+1}{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^{s+1}{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{u} \, {\rm d}x-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{b} \, {\rm d}x \nonumber \\ &&+\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{u} +\nabla^s(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &:=&K_1+K_2+K_3. \end{eqnarray} $

上述三项可以估计为

(4.16) $ \begin{eqnarray} K_1&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{u} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^s, u\cdot\nabla]u\cdot\nabla^s{u}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^s, u\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla{u}\|_{L^3}\right)\|\nabla^s{u}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{s}} \nonumber \\ &\leqslant &C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s+1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{4s-1}{2s}} \nonumber \\ &\leqslant &\epsilon \|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{2}+C(\epsilon)\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s+1)}, \end{eqnarray} $

其中我们用到了Young不等式和如下在三维空间中的Gagliardo-Nirenberg不等式

$ \|\nabla{u}\|_{L^3}\leqslant C\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}} $

$ \|\nabla^s{u}\|_{L^3}\leqslant C \|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}. $

类似的有

(4.17) $\begin{eqnarray} K_2&=&-\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(u\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{b} \, {\rm d}x=-\int_{{\mathbb{R}} ^3}[\nabla^s, u\cdot\nabla]b\cdot\nabla^s{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^s, u\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}+\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\right)\|\nabla^s{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}^2+\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}\right)\nonumber \\ &\leqslant &C\big(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{\frac{1}{s}}\|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{s}} \nonumber \\ &&+\|\nabla{b}\|_{L^2}\|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}\|\nabla{u}\|_{L^2}^{\frac{1}{2s}}\|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{\frac{2s-1}{2s}}\big)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s-1)}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{4s}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right), \end{eqnarray} $

(4.18) $\begin{eqnarray} K_3&=&\int_{{\mathbb{R}} ^3}\nabla^s(b\cdot\nabla{b})\cdot\nabla^s{u} +\nabla^s(b\cdot\nabla{u})\cdot\nabla^s{b}\, {\rm d}x \nonumber \\ &\leqslant &\|[\nabla^s, b\cdot\nabla]b\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|[\nabla^s, b\cdot\nabla]u\|_{L^\frac{3}{2}}\|\nabla^s{b}\|_{L^3} \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}^2\right) \nonumber \\ &\leqslant &C\left(\|\nabla{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}\|\nabla^s{u}\|_{L^3}+\|\nabla{u}\|_{L^3}\|\nabla^s{b}\|_{L^3}^2\right)\nonumber \\ &\leqslant& \epsilon \|\nabla^{s+1}{u}\|_{L^2}^{2}+\epsilon \|\nabla^{s+1}{b}\|_{L^2}^2+C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s-1)}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{4s}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right). \end{eqnarray}$

将上述估计代入(4.15)式,然后取$\epsilon$适当的小可以得到

(4.19) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\nabla^s u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^s b(t)\|_{L^2}^2\right)+ \| \nabla^{s+1}{u(t)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^{s+1}{b(t)} \|_{L^2}^2 \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s+1)}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2(2s-1)}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{4}+\|\nabla{u}\|_{L^2}^{4s}\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right) \nonumber \\ &\leqslant &C(\epsilon)\left(\|\nabla{u}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b}\|_{L^2}^{2}\right)^{2s+1}. \end{eqnarray} $

将不等式(4.19)从$T_0$到$t$积分可以得到

(4.20) $\begin{eqnarray}& &\|\nabla^s u(t)\|_{L^2}^2+\|\nabla^s b(t)\|_{L^2}^2+\int_{T_0}^t\left(\| \nabla^{s+1}{u(\tau)} \|_{L^2}^2+\| \nabla^{s+1}{b(\tau)} \|_{L^2}^2\right)\, {\rm d}\tau \nonumber \\ &\leqslant &C(T_0)+C(\epsilon)\int_{T_0}^t\left(\|\nabla{u(\tau)}\|_{L^2}^{2}+\|\nabla{b(\tau)}\|_{L^2}^{2}\right)^{2s+1}\, {\rm d}\tau .\end{eqnarray} $

联立(4.2), (4.8), (4.14)和(4.20)式然后相加,结合(4.8)式,我们有

$ \sup\limits_{t\in[0, T]}\|u(t)\|_{H^s}^2+\|b(t)\|_{H^s}^2\leqslant C. $

因此我们得到了局部解$(u, b)$的$H^s\times H^s$范数有界性,对所有的时间$t \in [T_0, T]$成立,定理得证.