早在1970年, Gray就系统地研究了Nearly Kaehler流形(近凯勒流形)^[7].众所周知, Nearly Kaehler流形是带有殆复结构$J$的Almost Hermitian流形(殆埃尔米特流形),满足张量场$\bar{\nabla}J$是反对称的,其中研究的最广泛的Nearly Kaehler流形是$6$维球面${\Bbb S}^6$.我们知道,一般情况下, Nearly Kaehler流形的子流形分为殆复子流形和全实子流形.全实子流形是在殆复结构$J$的作用下将切向量变成法向量的流形,其中$3$维的全实子流形称为拉格朗日子流形. Nearly Kaehler ${\Bbb S}^6$上的子流形已经被许多人研究过(参见文献[3, 5-6, 10]).而本文是在文献[12]的基础上继续对Nearly Kaehler流形${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$上的拉格朗日子流形进行研究,文献[2]系统地介绍了Nearly Kaehler流形${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$的殆复曲面,为本文的研究提供了很好的启示.本文我们将初步研究${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$上赋予了殆切触度量结构的拉格朗日子流形,殆切触度量结构的种类有很多,它们的一些性质在文献[1, 4, 8-9, 11]中都有详细的介绍.本篇文章旨在找出由${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$的拉格朗日子流形上的一个单位向量场典范引出的殆切触度量结构是$\alpha$-Sasakian, $\beta$-Kenmotsu, cosymplectic, nearly cosymplectic的充要条件,并且讨论这个殆切触度量结构是正规时的情形.

殆埃米尔特流形(Almost Hermitian Manifold) $(\bar{M}, g, J)$是一个带有殆复结构$J$的流形,并且$J$与黎曼度量$g$相容,即, $\forall p\in\bar{M}$,自同态$J:T\bar{M}\rightarrow T\bar{M}$满足$J_{p}^{2}=-Id$和$g(JX, JY)=g(X, Y)$.近凯勒流形(Nearly Kaehler Manifold)是一个殆埃米尔特流形满足条件: $(1, 2)$ -型张量场$G=\bar{\nabla}J$是反对称的,即

$(\bar{\nabla}_{X}J)Y+(\bar{\nabla}_{Y}J)X=0, $

其中, $\forall X, Y\in T\bar{M}$,这里$\bar{\nabla}$表示度量$g$的Levi-Civita共变导数. ${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$上的张量场$G$满足下面的性质^[2]

(2.1) $ \begin{equation}G(X, Y)=-G(Y, X), \end{equation}$

(2.2) $ \begin{equation}G(X, JY)=-JG(X, Y), \end{equation}$

(2.3) $ \begin{equation}g(G(X, Y), Z)=-g(G(X, Z), Y), \end{equation}$

(2.4) $ \begin{equation}g(G(X, Y), Z)=g(G(Y, Z), X)=g(G(Z, X), Y), \end{equation}$

(2.5) $ \begin{equation}(\bar{\nabla}G)(X, Y, Z)=\frac{1}{3}(g(Y, JZ)X+g(X, Z)JY-g(X, Y)JZ), \end{equation}$

(2.6) $ \begin{eqnarray}g(G(X, Y), G(Z, W))&=&\frac{1}{3}(g(X, Z)g(Y, W)-g(X, W)g(Y, Z)\nonumber\\ &&+g(JX, Z)g(JW, Y)-g(JX, W)g(JZ, Y)), \end{eqnarray}$

其中$X, Y, Z, W$为${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$上的任意向量场.

我们用相同的字母$g$表示${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$和它的子流形$M$的度量, $TM$为$M$的切丛, $T^{\bot}M$为$M$的法丛.如果$JTM= T^{\bot}M$,则$M$为${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$的一个拉格朗日子流形.若用$\nabla$, $\nabla^{\bot}$分别表示$M$上的黎曼联络和法丛$T^{\bot}M$上的法联络,则Gauss和Weingarten公式分别为

(2.7) $ \begin{equation}\bar{\nabla}_{X}Y=\nabla_{X}Y+\sigma(X, Y), \end{equation}$

(2.8) $ \begin{equation}\bar{\nabla}_{X}N=-A_{N}X+\nabla_{X}^{\bot}N, \end{equation}$

且从文献[2, 12]我们知道如下性质

(2.9) $ \begin{equation} \nabla^{\bot}_{X}JY = J\nabla_{X}Y+G(X, Y), \end{equation}$

(2.10) $ \begin{equation} \sigma(X, Y) =JA_{JY}X, \end{equation}$

(2.11) $ JG(X, JG(Y, Z)) = \frac{1}{3}(g(X, Z)Y-g(X, Y)Z), $

(2.12) $-\sigma(X, JG(Y, Z))+JG(\sigma(X, Y), Z)+JG(Y, \sigma(Z, X))=0, $

其中$X, Y\in TM$, $N\in T^{\bot}M$, $\sigma$是第二基本形式, $A_{JY}$是关于法向量场$JY$的Weingarten变换, $\sigma$和$A_{N}$之间有如下关系式

(2.13) $g(\sigma(X, Y), N)=g(A_{N}X, Y).$

下面让我们回顾殆切触度量结构的相关知识(参见文献[1, 4, 8-9, 11]).

一个$(2n+1)$维光滑流形$M$称为殆切触度量流形(Almost Contact Metric Manifold),若$\forall X, Y\in TM$, $M$上存在一个整体1形式$\eta$,一个单位向量场$\xi$,一个$(1, 1)$ -型张量场$\varphi$和黎曼度量$g$满足下列方程

(2.14) $\varphi^{2}=-I+\eta\otimes\xi, ~ \eta(\xi)=1, ~ g(\varphi X, \varphi Y)=g(X, Y)-\eta(X)\eta(Y).$

显然, $\varphi\xi=0$, $\eta\circ\varphi=0$, $g(X, \xi)=\eta(X)$. $M$上的殆切触度量结构$(\eta, \xi, g)$称为切触度量结构,若满足

(2.15) $({\rm d}\eta)(X, Y)=g(X, \varphi Y).$

一个殆切触度量称为$\alpha$-Sasakian的当且仅当

(2.16) $(\nabla_{X}\varphi)Y=\alpha(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X) .$

一个殆切触度量称为$\beta$-Kenmotsu的当且仅当

(2.17) $(\nabla_{X}\varphi)Y=\beta(g(\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\varphi X), $

其中, $\alpha, \beta\in C^{\infty}(M)$.一个殆切触度量称为cosymplectic的当且仅当

(2.18) $(\nabla_{X}\varphi)Y=0 .$

$M$上的一个殆切触结构是正规的(Normal),若在$M\times R$上的殆复结构$J$是可积的,其中$J$定义为

$J(X, f\frac{\rm d}{{\rm d}t})=(\varphi X-f\xi, \eta(X)\frac{\rm d}{{\rm d}t}).$

首先,我们给出如下引理^[12].

引理3.1  设$M$为Nearly Kaehler流形${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$的一个拉格朗日子流形, $\forall X, Y\in TM$,有$G(X, Y)\in T^{\bot}M$.

再次,我们令$\xi$是$M$上的一个单位向量场,遵从$M$上的度量$g$,定义一个1形式$\eta$满足$\eta(X)=g(X, \xi)$.由(2.2)式可知, $\forall X\in TM$,向量场$G(X, J\xi)=-JG(X, \xi)$,由引理3.1可知, $G(X, J\xi)\in TM$.因此我们给出如下引理^[12].

引理3.2  Nearly Kaehler流形${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$的拉格朗日子流形$(M, g)$上的一个单位向量场$\xi$,引出一个典范殆切触度量结构$(\varphi, g, \xi)$,其中结构张量$\varphi$定义为$\varphi X=\sqrt{3}G(X, J\xi)$.

同样地,我们给出如下定义.

定义3.1  $(\varphi, \xi, \eta, g)$称为$M$上的典范殆切触度量结构,其中单位向量场$\xi$由上述引理定义.

由于$M$为Nearly Kaehler流形${\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3$的一个拉格朗日子流形,可令$\nabla_{X}^{\bot}J\xi=JFX$,其中$F$是$M$上的一个$(1, 1)$ -型张量场.我们可以得到如下定理.

定理3.1  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形, $\xi$是$M$上的一个单位向量场,带有典范引出的$M$上的殆切触度量结构$(\varphi, g, \xi)$,则这个结构是$\alpha$-Sasakian的当且仅当$F=(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)\varphi$,其中$\alpha\in C^{\infty}(M)$.

证  由引理3.2,我们计算出$\varphi$的共变导数

$\begin{eqnarray*}(\bar{\nabla}_{X}\varphi)(Y)&=&\sqrt{3}\bar{\nabla}_{X}G(Y, J\xi)-\sqrt{3}G(\bar{\nabla}_{X}Y, J\xi)\\ &=&\sqrt{3}(\bar{\nabla}_{X}G)(Y, J\xi)+\sqrt{3}G(Y, \bar{\nabla}_{X}J\xi).\end{eqnarray*}$

将(2.5)式和(2.8)式带入上式得

$\begin{eqnarray*}(\bar{\nabla}_{X}\varphi)(Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, \nabla_{X}^{\bot}J\xi)-\sqrt{3}G(Y, A_{J\xi}X).\end{eqnarray*}$

通过比较上述等式左右两端的切向分量,我们有

$\begin{eqnarray*}(\nabla_{X}\varphi)(Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, \nabla_{X}^{\bot}J\xi).\end{eqnarray*}$

由假设$\nabla_{X}^{\bot}J\xi=JFX$,则上式变为

(3.1) $\begin{equation}(\nabla_{X}\varphi)(Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, JFX).\end{equation}$

若这个结构为$\alpha$-Sasakian,则有$(\nabla_{X}\varphi)Y=\alpha(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)$,对比上式及(3.4)式有

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}G(Y, JFX)=(\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3})(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X). \end{eqnarray*}$

令$Y=\xi$,有$\sqrt{3}G(\xi, JFX)=(\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3})(\eta(X)\xi-X)$,而

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}G(\xi, JFX)=-\sqrt{3}JG(\xi, FX)=-\sqrt{3}G(FX, J\xi)=-\varphi FX, \end{eqnarray*}$

则有$-\varphi FX=(\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3})(\eta(X)\xi-X)$,两边用$\varphi$作用一下,可以得到

$ \begin{eqnarray*} FX-\eta(FX)\xi=-(\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3})\varphi X. \end{eqnarray*} $

由于$\eta(FX)=g(FX, \xi)=-g(J\nabla^{\bot}_{X}J\xi, \xi)=g(\nabla^{\bot}_{X}J\xi, J\xi)=0$,则上式变为

$\begin{eqnarray*} FX=-(\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3})\varphi X, \end{eqnarray*}$

即$F=(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)\varphi$.

反之,若$F=(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)\varphi$,则有

$\begin{eqnarray*}\sqrt{3}G(Y, JFX)&=&-\sqrt{3}JG(Y, (\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)\varphi X)=-(1-\sqrt{3}\alpha)JG(Y, \varphi X)\\&=&-(\sqrt{3}-3\alpha)JG(Y, G(X, J\xi))=(\sqrt{3}-3\alpha)JG(Y, JG(X, \xi))\\&=&(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)(\eta(Y)X-g(X, Y)\xi), \end{eqnarray*}$

因此(3.1)式变为

$\begin{eqnarray*}(\nabla_{X}\varphi)(Y)&=&\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, JFX)\\&=&\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)(\eta(Y)X-g(X, Y)\xi)\\&=&\alpha(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X), \end{eqnarray*}$

即这个结构为$\alpha$-Sasakian.

在上述定理中令$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$则可得到如下结论^[12].

推论3.1  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形, $\xi$是$M$上的一个单位向量场,带有典范引出的$M$上的殆切触度量结构$(\varphi, g, \xi)$,则这个结构是$\frac{\sqrt{3}}{3}$-Sasakian的当且仅当$F=0$.

现在给出并证明下面这个引理:

引理3.3  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形, $\xi$是$M$上的一个单位向量场,带有典范引出的$M$上的殆切触度量结构$(\varphi, g, \xi)$,则$\nabla_{X}\xi=-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X+FX$.

证  由$\nabla_{X}^{\bot}J\xi=JFX$,我们有$FX=-J\nabla_{X}^{\bot}J\xi$.再由(2.7)式, (2.8)式及引理3.2有

$\begin{eqnarray*} FX&=&-J\nabla_{X}^{\bot}J\xi\\ &=&-J(\bar{\nabla}_{X}J\xi+A_{J\xi}X)\\ &=&-J((\bar{\nabla}_{X}J)\xi+J\bar{\nabla}_{X}\xi)-JA_{J\xi}X\\ &=&-J(\bar{\nabla}_{X}J)\xi+\bar{\nabla}_{X}\xi-JA_{J\xi}X\\ &=&-JG(X, \xi)+\bar{\nabla}_{X}\xi-\sigma(X, \xi)\\ &=&G(X, J\xi)+\nabla_{X}\xi\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X+\nabla_{X}\xi, \end{eqnarray*} $

即$\nabla_{X}\xi=-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X+FX$.

接着,我们给出如下几个公式^[9]:

引理3.4  设$M$为$3$维的殆切触度量流形, $\forall X, Y\in TM$,则

(3.2) $\begin{equation}(\nabla_{X}\varphi)Y=g(\varphi\nabla_{X}\xi, Y)\xi-\eta(Y)\varphi\nabla_{X}\xi.\end{equation}$

引理3.5  设$M$为$3$维正规的殆切触度量流形, $\forall X, Y\in TM$,则

(3.3) $\begin{equation} (\nabla_{X}\varphi)Y=\alpha(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\beta(g(\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\varphi X), \end{equation} $

(3.4) $\begin{equation} \nabla_{X}\xi=-\alpha\varphi X+\beta(X-\eta(X)\xi), \end{equation} $

(3.5) $\begin{equation} \xi \alpha=-2\alpha\beta, \end{equation}$

其中, $\alpha, \beta\in C^{\infty}(M)$.

定理3.2  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形, $\xi$是$M$上的一个单位向量场,带有典范引出的$M$上的殆切触度量结构$(\varphi, g, \xi)$,则这个结构是$\beta$-Kenmotsu的当且仅当$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi-\beta\varphi^{2}$,其中, $\beta\in C^{\infty}(M)$.

证  由定理3.1知, $(\nabla_{X}\varphi)(Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, JFX)$.

若这个结构是$\beta$-Kenmotsu,则$(\nabla_{X}\varphi)Y=\beta(g(\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\varphi X)$,对比上述两式可得

$\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, JFX)=\beta(g(\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\varphi X).$

令$Y=\xi$,并由定理3.1知

$-\varphi FX=-\beta\varphi X-\frac{\sqrt{3}}{3}(\eta(X)\xi-X).$

两边用$\varphi$作用一下,有$FX-\eta(FX)\xi=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X-\beta\varphi^{2}X$,而由定理3.1知$\eta(FX)=0$,则上式变为

$ FX=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X-\beta\varphi^{2}X, $

即$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi-\beta\varphi^{2}$.

反之,若$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi-\beta\varphi^{2}$,则由引理3.3及引理3.4知

$ \begin{eqnarray*} (\nabla_{X}\varphi)Y&=&g(\varphi\nabla_{X}\xi, Y)\xi-\eta(Y)\varphi\nabla_{X}\xi\\ &=&g(-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2}X+\varphi FX, Y)\xi-\eta(Y)(-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2}X+\varphi FX)\\ &=&g(-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2}X+\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2}X+\beta\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)(-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2}X+\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2}X+\beta\varphi X)\\ &=&g(\beta\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\beta\varphi X=\beta(g(\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\varphi X), \end{eqnarray*} $

即这个结构是$\beta$-Kenmotsu.

定理3.3  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形, $\xi$是$M$上的一个单位向量场,带有典范引出的$M$上的殆切触度量结构$(\varphi, g, \xi)$,则这个结构是cosymplectic的当且仅当$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi$.

证  由定理3.1知, $(\nabla_{X}\varphi)(Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, JFX). $

若这个结构是cosymplectic,即$(\nabla_{X}\varphi)Y=0$,则上式变为

$\sqrt{3}G(Y, JFX)=-\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X).$

令$Y=\xi$,则有$-\varphi FX=-\frac{\sqrt{3}}{3}(\eta(X)\xi-X)$,两边再用$\varphi$作用一下有

$FX-\eta(FX)\xi=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X, $

而由定理3.1知$\eta(FX)=0$,则上式变为$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi$.

反之,若$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi$,则由引理3.2及(2.11)式有

$\begin{eqnarray*}\sqrt{3}G(Y, JFX)&=&-\sqrt{3}JG(Y, \frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X)=-JG(Y, \varphi X)\\ &=&-\sqrt{3}JG(Y, G(X, J\xi))=\sqrt{3}JG(Y, JG(X, \xi))\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{3}(\eta(Y)X-g(X, Y)\xi), \end{eqnarray*} $

故$(\nabla_{X}\varphi)(Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, JFX)=0$,即这个结构为cosymplectic.

推论3.2  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形, $\xi$是$M$上的一个单位向量场,带有典范引出的$M$上的殆切触度量结构$(\varphi, g, \xi)$,则这个结构是nearly cosymplectic的当且仅当$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi$,即在上述条件下, nearly cosymplectic与cosymplectic是等价的.

证  由定理3.1知$(\nabla_{X}\varphi)(Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\sqrt{3}G(Y, JFX)$,同理可得$(\nabla_{Y}\varphi)(X)=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(X)Y)+\sqrt{3}G(X, JFY)$,即

$\begin{eqnarray*} (\nabla_{X}\varphi)(Y)+(\nabla_{Y}\varphi)(X)&=&\frac{\sqrt{3}}{3}(2g(X, Y)\xi-\eta(Y)X-\eta(X)Y)\\&&+\sqrt{3}G(Y, JFX)+\sqrt{3}G(X, JFY). \end{eqnarray*}$

若这个结构是cosymplectic,即$(\nabla_{X}\varphi)Y+(\nabla_{Y}\varphi)(X)=0$,则上式变为

$\sqrt{3}G(Y, JFX)+\sqrt{3}G(X, JFY)=-\frac{\sqrt{3}}{3}(2g(X, Y)\xi-\eta(Y)X-\eta(X)Y). $

令$Y=\xi$,则有$-\varphi FX+\sqrt{3}G(X, JF\xi)=-\frac{\sqrt{3}}{3}(\eta(X)\xi-X)$,两边再用$\varphi$作用一下有

(3.6) $ \begin{equation} FX-\eta(FX)\xi+\sqrt{3}\varphi G(X, JF\xi)=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X, \end{equation}$

其中, $\sqrt{3}\varphi G(X, JF\xi)=3G(G(X, JF\xi), J\xi)=-3JG(\xi, JG(X, F\xi))=\eta(X)F\xi-\eta(F\xi)X$而由定理3.1知, $\eta(FX)=0$,则上式变为$FX+\eta(X)F\xi=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X$,令$X=\xi$,则有$F\xi=0$,故$FX=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X$,即$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi$.反之,若$F=\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi$,则可由定理3.3直接得到$M$是nearly cosymplectic.

进一步,假设这个典范殆切触结构是正规的,我们有如下结论.

定理3.4  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形,假设$M$上的典范殆切触度量结构是正规的.若div$F=0$,则$M$是$\frac{\sqrt{3}}{3}$-Sasakian或cosymplectic.

证  由引理3.3知, $\nabla_{X}\xi=-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi X+FX$,且由引理3.5有$\nabla_{X}\xi=-\alpha\varphi X+\beta(X-\eta(X)\xi)$,对比两式,有

$FX=(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)\varphi X+\beta(X-\eta(X)\xi), $

对上式沿着$Y\in TM$求共变导数,有

$ \begin{eqnarray*} (\nabla_{Y}F)X&=&-(Y\alpha)\varphi X+(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)(\nabla_{Y}\varphi)X+(Y\beta)(X-\eta(X)\xi)\\&&-\beta((\nabla_{Y}\eta)X)\xi-\beta\eta(X)\nabla_{Y}\xi. \end{eqnarray*}$

设$\{e_{i}\}_{i=1}^{3}$为$M$的一组局部正交基.令$Y=e_{i}$,并与$e_{i}$作内积,再求和,由${\rm div}F=0$有

(3.7) $\begin{equation} X\beta-\eta(X)\xi\beta-(\varphi X)\alpha=2[\alpha(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)+\beta^{2}]\eta(X), \end{equation}$

令$X=\xi$得

(3.8) $ \begin{equation} \alpha(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)+\beta^{2}=0, \end{equation} $

则(3.7)式变为

(3.9) $ \begin{equation} X\beta-\eta(X)\xi\beta-(\varphi X)\alpha=0. \end{equation}$

此时只可能有两种情形: (ⅰ)在$M$上有$\beta=0$,则由(3.8)式有$\alpha=0$或$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$; (ⅱ)在某个开邻域$U\subseteq M$上有$\beta\neq0$,则在$U$上有$\alpha\neq0$且$\alpha\neq\frac{\sqrt{3}}{3}$;下面我们来在$U$上进行推导,然后证明情形(ⅱ)是不可能的.

对(3.8)式沿着$X$求导,其中$\forall X\in TU$,再令$X=\xi$有

(3.10) $\begin{equation}X\beta=\frac{2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3}}{2\beta}X\alpha, \;\;\; \xi \beta=-\alpha(2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3}). \end{equation} $

将(3.10)式代入(3.9)式得

$\frac{2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3}}{2\beta}X\alpha+\alpha(2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3})\eta(X)-(\varphi X)\alpha=0, $

由于$X$是任意的,可用$\varphi X$代替$X$得

(3.11) $ \begin{equation} X\alpha+2\alpha\beta\eta(X)+\frac{2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3}}{2\beta}(\varphi X)\alpha=0, \end{equation}$

在上述两个方程中消去$(\varphi X)\alpha$,再用$\varphi X$代替$X$得, $(\varphi X)\alpha=0$.则(3.9)式变为${\rm d}\beta=(\xi\beta)\eta$.两边用${\rm d}$作用,得${\rm d}(\xi \beta)\wedge\eta+(\xi\beta){\rm d}\eta=0$.对$\forall X\in TU$,且$X\bot\xi$,有$0=({\rm d}(\xi\beta)\wedge\eta+(\xi\beta){\rm d}\eta)(X, \varphi X)=(\xi\beta)({\rm d}\eta)(X, \varphi X)$,即

$ (\xi\beta)[g(\nabla_{X}\xi, \varphi X)-g(\nabla_{\varphi X}\xi, X)]=0, $

由$\nabla_{X}\xi=-\alpha\varphi X+\beta(X-\eta(X)\xi)$,有

$ \alpha(\xi\beta)g(\varphi X, \varphi X)=\alpha(\xi\beta)g(X, X)=0, $

而在$U$上, $\alpha\neq0$,且$X$是任意的,则$\xi\beta=0$,即${\rm d}\beta=0$,即$\beta$在$U$上是常数.因此,由(3.10)式知$\alpha X\alpha=0$,得$X\alpha=0$,即$\alpha$在$U$上也是常数,故由(3.11)式知, $\alpha\beta=0$,这与$\beta\neq0$且$\alpha\neq0, \alpha\neq\frac{\sqrt{3}}{3}$矛盾,即情形(ⅱ)是不可能的.故若${\rm div}F=0$,则$\alpha=0, \beta=0$或$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \beta=0$.而由引理3.5有

$(\nabla_{X}\varphi)Y=\alpha(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)+\beta(g(\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\varphi X), $

则当$\alpha=0, \beta=0$时, $(\nabla_{X}\varphi)Y=0$,即$M$为cosymplectic;当$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \beta=0$时, $(\nabla_{X}\varphi)Y=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(X, Y)\xi-\eta(Y)X)$,即$M$为$\frac{\sqrt{3}}{3}$-Sasakian.

定理3.5  设$M$是Nearly Kaehler流形$({\Bbb S}^3\times {\Bbb S}^3, g, J)$的一个拉格朗日子流形,假设$M$上的典范殆切触度量结构是正规的.若div$(F-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi+\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2})(X)=0$,则$M$是$\frac{\sqrt{3}}{3}$-Kenmotsu或cosymplectic.

证  由定理3.4知

$\begin{eqnarray*} (\nabla_{Y}F)X&=&-(Y\alpha)\varphi X+(\frac{\sqrt{3}}{3}-\alpha)(\nabla_{Y}\varphi)X+(Y\beta)(X-\eta(X)\xi)\\&&-\beta((\nabla_{Y}\eta)X)\xi-\beta\eta(X)\nabla_{Y}\xi. \end{eqnarray*}$

即

$ \begin{eqnarray*} (\nabla_{Y}F)X-\frac{\sqrt{3}}{3}(\nabla_{Y}\varphi)X+\frac{\sqrt{3}}{3}(\nabla_{Y}\varphi^{2})X &=&-(Y\alpha)\varphi X-\alpha(\nabla_{Y}\varphi)X+(Y\beta)(X-\eta(X)\xi) \\&&+(\frac{\sqrt{3}}{3}-\beta)((\nabla_{Y}\eta)X)\xi+(\frac{\sqrt{3}}{3}-\beta)\eta(X)\nabla_{Y}\xi. \end{eqnarray*} $

设$\{e_{i}\}_{i=1}^{3}$为$M$的一组局部正交基.令$Y=e_{i}$,并与$e_{i}$作内积,再求和,由${\rm div}(F-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi+\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2})(X)=0$有

(3.12) $ \begin{equation} X\beta-\eta(X)\xi\beta-(\varphi X)\alpha=-2[\alpha^{2}+\beta(\frac{\sqrt{3}}{3}-\beta)]\eta(X), \end{equation}$

令$X=\xi$得

(3.13) $ \begin{equation} \alpha^{2}+\beta(\frac{\sqrt{3}}{3}-\beta)=0, \end{equation} $

则(3.12)式变为

(3.14) $ \begin{equation} X\beta-\eta(X)\xi\beta-(\varphi X)\alpha=0. \end{equation}$

此时只可能有两种情形: (ⅰ)在$M$上有$\alpha=0$,则由(3.13)式有$\beta=0$或$\beta=\frac{\sqrt{3}}{3}$; (ⅱ)在某个开邻域$U\subseteq M$上有$\alpha\neq0$,则在$U$上有$\beta\neq0$且$\beta\neq\frac{\sqrt{3}}{3}$.类似于定理3.4,我们可以证明情形(ⅱ)是不可能发生的.故若${\rm div}(F-\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi+\frac{\sqrt{3}}{3}\varphi^{2})(X)=0$,则$\alpha=0, \beta=0$或$\alpha=0, \beta=\frac{\sqrt{3}}{3}$;当$\alpha=0, \beta=0$时, $(\nabla_{X}\varphi)Y=0$,即$M$为cosymplectic;当$\alpha=0, \beta=\frac{\sqrt{3}}{3}$时, $(\nabla_{X}\varphi)Y=\frac{\sqrt{3}}{3}(g(\varphi X, Y)\xi-\eta(Y)\varphi X)$,即$M$为$\frac{\sqrt{3}}{3}$-Kenmotsu.