在Nevanlinna的卓越工作之后,许多数学家尝试将经典的唯一性定理推广到亚纯映射的情形. Fujimoto^[5-6]首先得到了一些对于映到$ {\Bbb P}^{n}({\Bbb C}) $的亚纯映射的唯一性定理.他考虑了两个亚纯映射计重数分担超平面的情况.之后又有一些关于亚纯映射分担超平面IM(不计重数)的唯一性定理被证明.这些IM定理都假设我们考虑的两个亚纯映射在它们分担的超平面上取到相同的点.本文考虑这类唯一性定理.

设$ f: {\Bbb C}^{m} \rightarrow {\Bbb P}^{n}({\Bbb C}) $是一个非线性退化的亚纯映射,设$ \{ H_j \}_{j=1}^q $是$ {\Bbb P}^{n}({\Bbb C}) $中$ q (> n) $个处于与一般位置(即对任意$ n+1 $个互异指标$ j_1, \cdots, j_{n+1} $有$ \bigcap\limits_{k=1}^{n+1} H_{j_k} = \emptyset $)的超平面,它们满足

$ {\rm{dim}} \; f^{-1} (H_i \cap H_j) \leq m-2 \ (\forall i \neq j). $

另设$ d $是一个正整数或$ + \infty $.我们定义$ {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; d) $为所有满足下面两个条件的非线性退化的亚纯映射$ g: {\Bbb C}^m \rightarrow {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $构成的集合：

(a)对$ 1 \leq j \leq q$,有$ \min \{ \nu_{(f, H_{j})}, d \}= \min \{ \nu_{(g, H_{j})}, d \} $;

(b)对$ z \in \bigcup\limits_{j=1}^q f^{-1} (H_j)$,有$ f(z) = g(z)$.

这里$ \nu_{(f, H_j)} $表示$ (f, H_j) $的零点重数,它的确切定义在第二章.

在1983年, Smiley^[9]证明了下面的定理,它是经典的五值定理的推广:

定理A  如果$ q \geq 3n+2, $则$ \# {\cal F}(\{ H_j \} _{j=1}^{q}; f; 1)= 1, $其中$ \# A $表示集合$ A $的基数.

在文献[11]中, Thai和Quang证明了当$ n \geq 2 $时上面定理中"$ q \geq 3n+2 $"这个条件可替换为"$ q \geq 3n+1 $".

之后在2009年, Chen和Yan^[2]给出了下面这个更强的结果.

定理B  如果$ q \geq 2n+3, $则$ \# {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; 1)= 1. $

当$ q=2n+2 $时也有一些结果.在文献[8]中, Quang发展了一些新技术,并且证明了一个$ q=2n+2 $时的唯一性定理,这些技术被之后的一些研究者采纳^{[1, 4, 10]}.他的结果(文献[8, Theorem 2])蕴涵:

定理C  如果$ n \geq 2 $且$ q=2n+2 $,则$ \# {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; n+1)=1 $.

有了以上这些结果,接下来自然就是研究$ {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^{2n+2}; f; d) \ (2 \leq d \leq n) $以及$ q \geq 2n+3 $时在更弱条件下的唯一性定理.在本文中,我们给出了$ q=2n+2 $及$ 2 \leq d \leq n $时的一个结果.另外当$ q \geq 2n+3 $时,我们在$ f^{-1}(H_j) \subseteq g^{-1}(H_j) $这个条件下证明了一个唯一性定理.

我们主要采用文献[8]中的技术,另外有一些技巧还受到文献[1]的启发.

现在我们陈述本文的主要结果.主要结果之一是下面的定理：

定理1.1  设$ n \geq 2, \ 2 \leq d \leq n, \ q=2n+2. $如果$ \# {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; d) \geq 2 $,则对所有的$ i, j \in \{1, \cdots, q \} $有

$ \Big\| \ \frac{d-1}{n-1} \overline{N}_{(f, H_j)}(r)+ o(T_f(r)) \leq \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \leq \frac{n-1}{d-1} \overline{N}_{(f, H_j)}(r)+ o(T_f(r)), $

$ \Big\| \ \frac{N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)}{n} \leq \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \leq \frac{N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)}{d}+ o(T_f(r)), $

$ \Big\| \ \frac{(n+1)/n}{\frac{n-1}{d-1}(2n + 1) + 1} T_f(r)+ o(T_f(r)) \leq \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \leq \frac{(n+1)/d}{\frac{d-1}{n-1}(2n + 1) + 1} T_f(r)+ o(T_f(r)), $

其中"$ \Vert P $"表示断言$ P $对所有$ r \in [1, + \infty) $除去某个有限Lebesgue测度的子集$ E $成立.

可见只要增加一个条件使得定理1.1中的不等式不成立,那么我们就得到了一个唯一性定理.比如我们有

推论1.1  设$ n \geq 2, \ 2 \leq d \leq n, \ q=2n+2 $.如果

$\exists \ 1 \leq i \leq q, \ \mbox{使得}\ \underset{r\to +\infty }{\mathop{\lim \sup }}\, \frac{\overline{N}_{(f, H_i)}(r)}{T_f(r)} < \frac{(n+1)/n}{\frac{n-1}{d-1}(2n + 1) + 1}, $

或者

$\exists \ 1 \leq i, j \leq q, \ \mbox{使得}\ \underset{r\to +\infty }{\mathop{\lim \sup }}\, \frac{\overline{N}_{(f, H_j)}(r)}{\overline{N}_{(f, H_i)}(r)} < \frac{d-1}{n-1}, $

或者有某个$ i $使得$ (f, H_i) $没有重数$ \geq d $的零点,那么$ \# {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; d)= 1 $.

证  如果前两个条件有一个成立,则结论由定理1.1立得.所以我们假设$ (f, H_{i_0}) $没有重数$ \geq d $的零点且$ \# {\cal F}(\{ H_j \} _{j=1}^q; f; d) \geq 2. $则由定理1.1得

$ \Big\| \ \frac{N_{(f, H_{i_0})}^{[n]}(r)}{d}+ o(T_f(r)) \geq \overline{N}_{(f, H_{i_0})}(r) \geq \frac{N_{(f, H_{i_0})}^{[n]}(r)}{d-1}, $

故有$ \| N_{(f, H_{i_0})}^{[n]}(r)= o(T_f(r)) $.再次利用定理1.1得对所有$ j \in \{ 1, \cdots, q \} $有$ \| \overline{N}_{(f, H_j)}(r)= o(T_f(r)) $,这与第二基本定理矛盾.从而结论得证.

在第四章我们实际上证明一个比定理1.1更强的定理(即定理4.2).并且我们还给出了$ q=2n+2 $时的另外一个唯一性定理(即定理4.1).

除了定理1.1,我们还在条件$ f^{-1}(H_j) \subseteq g^{-1}(H_j) $下证明了一个$ q \geq 2n+3 $时的唯一性定理(即定理5.1).虽然这个定理已经被Chen和Yan在文献[3]中证得,但我们给出了一个简单很多的证明.

另外我们还证明了一个引理(即引理3.2).这个引理给出了两个不同的亚纯映射不计重数分担$ 2n+2 $个超平面时具有的一些性质.

本章我们介绍Nevanlinna理论的基本知识,参见文献[7, 12].

设$ h: D \rightarrow {\Bbb C} $是$ {\Bbb C}^m $中的区域$ D $上一个非零的全纯函数.对任意一点$ a \in D $,在$ a $的某一开邻域$ U (\subseteq D) $上我们可将$ h $展开得到$ h(z) = \sum\limits_{k=0}^{+ \infty} P_k (z-a) $,其中$ P_k $要么恒为零要么是次数为$ k $的齐次多项式.定义$ h $在$ a $点处的零点重数为$ \nu_h(a):= \min \{ k \in {\Bbb N} \ \vert \ P_k \not\equiv 0 \}. $

$ {\Bbb C}^m $上的一个除子是指一个取整数值的映射$ \nu : {\Bbb C}^m \rightarrow {\Bbb Z} $且满足以下条件：对任一点$ a \in {\Bbb C}^m $,存在$ a $的某一连通开邻域$ U $上的全纯函数$ F $和$ G $使得$ \nu(z)= \nu_F(z)- \nu_G(z) $对$ U $去掉某个维数$ \leq m-2 $的解析集中的所有点$ z $成立.令Supp $ \nu := \overline{ \{ z \in {\Bbb C}^m \vert \nu(z) \neq 0 \} } $.

现在取$ {\Bbb C}^m $上的一个不恒为零的亚纯函数$ h $.对每一点$ a \in {\Bbb C}^m $,我们可选取$ a $的某一开邻域$ U $上的全纯函数$ F $和$ G $使得$ \dim \big(F^{-1}(0) \cap G^{-1}(0) \big) \leq m-2 $且在$ U $上有$ h= \frac{F}{G} $,我们定义如下几个除子$ \nu_h^0 (a) := \nu_F(a) $, $ \nu_h ^{\infty}(a) := \nu_G(a) $以及$ \nu_h(a) := \nu_h^0(a)- \nu_h^{\infty}(a) $.

对于$ z=(z_1, \cdots, z_m) \in {\Bbb C}^m $,令$ \| z \| := \sqrt{ |z_1|^2 + \cdots + |z_m| ^2}. $再定义$ B(r) := \{ z \in {\Bbb C}^m | \| z \| < r \}, \ S(r):= \{ z \in {\Bbb C}^m | \| z \| = r \}. $令$ d^c:= \frac{ \sqrt{-1} }{ 4 \pi} (\overline{\partial} - \partial), $在$ {\Bbb C}^m \setminus \{ 0 \} $上定义形式$ v:=(d d^c \| z \| ^2) ^{m-1}, \ \sigma := d^c \log \| z \| ^2 \wedge (d d^c \| z \| ^2)^{m-1} $.

设$ f: {\Bbb C}^m \rightarrow {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $是一个亚纯映射,我们可取$ n+1 $个$ {\Bbb C}^m $上的全纯函数$ f_0, f_1, \cdots, f_n $使得解析集$ I_f:= \{ z \in {\Bbb C}^m | f_0(z)= f_1(z)= \cdots = f_n(z)=0 \} $的维数至多为$ m-2 $且在$ {\Bbb C}^m \setminus I_f $上有$ f(z)= [f_0(z): f_1(z): \cdots : f_n(z)]. $$ f $的这样一个表示$ (f_0, \cdots, f_n) $称为是既约表示.给定这样一个既约表示,我们令$ \| f \| := \sqrt{ |f_0| ^2 + \cdots + |f_n| ^2}, $并定义$ f $的特征函数为

$ T_f(r):= \int_{S(r)} \log \| f \| \sigma-\int _{S(1)} \log \| f \| \sigma, ~ \ r \geq 1.$

对于$ {\Bbb C}^m $上的一个除子$ \nu $,我们定义$ \nu $的计数函数为

$ N(r, \nu ):= \int_1 ^r \frac{n(t)}{t^{2m-1}} {\rm d}t, \;\;\; r \geq 1, $

其中若$ m \geq 2, $则$ n(t):= \int _{{\rm{supp}} \nu \cap B(t)} \nu v $,而若$ m=1 $,则$ n(t):= \sum \limits _{|z| \leq t} \nu(z) $.对一个正整数$ p $定义$ \nu ^{[p]} := \min \{ \nu, p \} $.为简单起见,有时我们将$ \nu $^[1]写成$ \overline{\nu} $.

现在取出$ {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $中的一个超平面$ H: a_0 w_0 + \cdots + a_n w_n=0 $,定义$ (f, H):= a_0 f_0 + \cdots + a_n f_n $.如果$ (f, H) \not \equiv 0 $,则我们定义$ f $取到$ H $的计数函数以及重数用$ p $截断的计数函数分别为$ N_{(f, H)}(r) := N(r, \nu_{(f, H)}) $和$ N_{(f, H)} ^{[p]}(r) := N(r, \nu _{(f, H)}^{[p]}) $.我们也将$ N_{(f, H)} $^[1]记为$ \overline{N}_{(f, H)} $.定义$ f $关于$ H $的接近函数为

$ m_f(r, H) :=\int_{S(r)} \log \frac{\| f \| \| H \|}{|(f, H)|} \sigma-\int_{S(1)} \log \frac{\| f \| \| H \|}{|(f, H)|} \sigma \ (r \geq 1), $

其中$ \| H \|:= \sqrt{ |a_0|^2 + \cdots + |a_n|^2} $.

我们可将$ \overline{{\Bbb C}} := {\Bbb C} \cup \{ \infty \} $等同于$ {\Bbb P}^1({\Bbb C}) $,这样$ \infty $就是$ {\Bbb P}^1({\Bbb C}) $中的一个超平面.对于$ {\Bbb C}^m $上的一个亚纯函数$ h $,容易得到$ m(r, h) = m_h(r, \infty)+ O(1) $,其中$ m(\cdot, h) $是$ h $经典的接近函数,它如下定义

$ m(r, h):= \int_{S(r)} \log ^{+} \vert h \vert \sigma, \ \mbox{其中} \ \log ^+ x := \left\{\begin{array}{ll} \log x, & \mbox{如果} \ x \geq 1, \\ 0, & \mbox{如果} \ 0 \leq x < 1.\end{array} \right.$

对于$ {\Bbb C}^m $上不恒为零的亚纯函数$ h $,我们有下面的Jensen公式(见文献[12,定理1.7])

$N(r, \nu_h^0)- N(r, \nu_h^{\infty})= \int_{S(r)} \log |h| \sigma-\int_{S(1)} \log |h| \sigma. $

现在我们陈述Nevanlinna理论的第一基本定理(见文献[7,定理2.1]).

定理2.1  $ T_f(r) = N_{(f, H)}(r) + m_f(r, H) $.

下面是第二基本定理(见文献[7,定理2.13]).

定理2.2  设$ f: {\Bbb C}^m \rightarrow {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $是一个非线性退化的亚纯映射, $ \{ H_j \}_{j=1}^q $是$ {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $中$ q $个处于一般位置的超平面.则有

$ \| (q-n-1)T_f(r) \leq \sum\limits_{j=1}^q N_{(f, H_j)}^{[n]}(r) + o(T_f(r)). $

我们首先给出下面这个引理:

引理3.1  设$ f_i, g_i, T :[1, + \infty) \rightarrow {\Bbb R} \ (i=1, \cdots, q, \ q \in {\Bbb Z}^+) $是$ 2q+1 $个函数,且$ \lim \limits_{r \rightarrow + \infty} T(r) = + \infty $.如果对所有$ 1 \leq i \leq q $有$ \| f_i \geq g_i + o(T(r)) $且$ \big\| \sum \limits_{j=1}^q f_j \leq \sum \limits_{j=1}^q g_j + o(T(r)), $那么对每个$ 1 \leq i \leq q $有$ \| f_i = g_i + o(T(r)) $.

证  由条件,存在有限Lebesgue测度的集合$ E \subseteq [1, + \infty) $和$ q+1 $个函数$ h_i= o(T(r))$$ (i=1, \cdots, q+1) $使得

$f_i \geq g_i + h_i \ \mbox{及} \ \sum\limits_{j=1}^q f_j \leq \sum\limits_{j=1}^q g_j + h_{q+1}$

在$ [1, + \infty) \setminus E $上成立.故对每个$ 1 \leq i \leq q, $在$ [1, + \infty) \setminus E $有

$0 \leq f_i-g_i-h_i \leq \sum\limits_{j=1}^q (f_j-g_j-h_j)= \sum\limits_{j=1}^q f_j-\sum\limits_{j=1}^q g_j- \sum\limits_{j=1}^q h_j \leq h_{q+1}- \sum\limits_{j=1}^q h_j = o(T(r)).$

因此$ \| f_i- g_i- h_i= o(T(r)). $这就证明了$ \| f_i= g_i+ o(T(r)). $

下面这个引理给出了两个不同的亚纯映射分担$ 2n+2 $个超平面时具有的一些性质.其中不少结果已经以某种形式出现在文献[8]和[1]中了.

引理3.2  设$ f: {\Bbb C}^m \rightarrow {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $是一个非线性退化的亚纯映射, $ \{ H_j \} _{j=1}^q $是$ {\Bbb P}^{n}({\Bbb C}) $中$ q=2n+2 $个处于一般位置的超平面且满足对所有$ i \neq j, $$ \dim f^{-1}(H_i \cap H_j) \leq m-2. $设$ g \in {\cal F} (\{ H_j \}_{j=1}^q; f; 1).$

令

$h_i :=\frac{(f, H_i)}{(g, H_i)}, i=1, \cdots, q, $

$K:= \{ i \in \{1, \cdots, q \} | \ \exists j \neq i, h_i \equiv h_j \}, $

$\tilde{K}:= \{ i \in \{1, \cdots, q \} | \ \| \ \overline{N}_{(f, H_i)}(r) = o(T_f(r)) \}.$

如果$ f \neq g $,则下面几个断言成立:

$(1)$  $ \Vert T_f(r) \leq nT_g(r) + o(T_f(r)), \ \| T_g(r) \leq nT_f(r) + o(T_g(r)). $

$(2)$  $ \| \ T_f(r) = \frac{1}{n+1} \sum \limits_{j=1}^q N_{(f, H_j)}^{[n]}(r)+ o(T_f(r)), \ \| T_g(r)= \frac{1}{n+1} \sum \limits_{j=1}^q N_{(g, H_j)}^{[n]}(r)+ o(T_g(r)), $且对每个$ i $有$ \| \ N(r, \nu _i)= \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ o(T_f(r)), $其中$ \nu _i $是由下面的(3.1)式定义的除子.

$(3)$  $ \forall i, j \in \{1, \cdots, q \}, $

$\begin{eqnarray*}&& \big\|\ N_{(f, H_i)}^{[n]}(r) + N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \\ && = N_{(f, H_j)}^{[n]}(r) + N_{(g, H_j)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_j)}(r) + o(T_f(r)) \\ && =\frac{1}{2} \Big( T_f(r)+ T_g(r)- \sum _{k=1}^q \overline{N}_{(f, H_k)}(r) \Big)+ o(T_f(r)).\end{eqnarray*}$

$(4)$  若$ n \geq 2 $且$ h_i/h_j $是常数,则$ h_i \equiv h_j $.

$(5)$  $ K \subseteq \tilde{K} $,从而由第二基本定理得$ \# K \leq n+1 $.进一步,如果$ n \geq 2 $且$ \min \{ \nu_{(f, H_i)}, 2 \} = \min \{ \nu_{(g, H_i)}, 2 \} $对所有$ 1 \leq i \leq q $成立,则$ K= \tilde{K} = \emptyset $.

证  我们分别取定$ f $和$ g $的既约表示为$ (f_0, \cdots, f_n) $和$ (g_0, \cdots, g_n). $令$ I_f:= \{ f_0(z)= \cdots =f_n(z)=0 \}, I_g:= \{ g_0(z)= \cdots =g_n(z)=0 \} $.对每个$ j=1, \cdots, q, $我们设$ H_j $的系数向量为$ (a^j_0, \cdots, a^j_n). $

首先对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $定义

(3.1) $\begin{equation} \label{def:fzchuzi} \nu_i(z):= \left\{ \begin{array}{ll} 0, \ &\mbox{若} \ \max \{ \nu_{(f, H_i)}(z), \nu_{(g, H_i)}(z) \} < n \ \mbox{或} \ \min \{ \nu_{(f, H_i)}(z), \nu_{(g, H_i)}(z) \} > n, \\ 1, \ &\mbox{其他情况.} \end{array} \right.\end{equation}$

由条件易知对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $有$ \nu_i \leq \overline{\nu}_{(f, H_i)}= \overline{\nu}_{(g, H_i)}, $所以

(3.2) $\begin{equation} \label{ieq:fzchuzi}N(r, \nu_i) \leq \overline{N}_{(f, H_i)}(r)= \overline{N}_{(g, H_i)}(r).\end{equation}$

定义指标集$ I := \{1, \cdots, 2n+2 \} $上的等价关系为$ i\sim j \Leftrightarrow h_i \equiv h_j $.设$ I / \sim = \{ I_1, \cdots, I_s \}. $由$ f \neq g $可知对每个$ j=1, \cdots, s $有$ \# I_j \leq n $.不失一般性我们可设$ I_1= \{1, \cdots, k_1 \}, $$ I_2= \{k_1+1, \cdots, k_2 \}, \cdots, I_s= \{k_{s-1}+1, \cdots, 2n+2 \} $,其中$ 1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_{s-1} < 2n+2 $.

取一个全排列$ \sigma = \Bigg(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 \quad \cdots & n+1 & n+2 \cdots & 2n+2 \\ n+2 & n+3 \cdots & 2n+2 & 1 \quad \cdots & n+1 \end{array}\Bigg), $并记$ \sigma_i :=\sigma (i). $则由$ | \sigma_i- i |= n+1 $知$ i, \sigma_i $属于不同的等价类,从而对所有$ 1 \leq i \leq q $有$ P_i:= (f, H_i)(g, H_{\sigma_i})-(f, H_{\sigma_i})(g, H_i) \not \equiv 0. $

由Jensen公式、Cauchy-Schwarz不等式以及特征函数的定义得

(3.3) $\begin{eqnarray} \label{ieq:NPi}N(r, \nu_{P_i})&=&\int_{S(r)} \log \vert P_i \vert \sigma + O(1) \\& \leq&\int_{S(r)} \log \sqrt{(|(f, H_i)|^2+ |(f, H_{\sigma_i})|^2) (|(g, H_i)|^2+ |(g, H_{\sigma_i})|^2)} \sigma + O(1) \\& =&\int_{S(r)} \log \sqrt{|(f, H_i)|^2 + |(f, H_{\sigma_i})|^2} \sigma \\&&+ \int_{S(r)} \log \sqrt{|(g, H_i)|^2+ |(g, H_{\sigma_i})|^2} \sigma + O(1) \\& \leq&\int_{S(r)} \log (C_1 \| f \|) \sigma + \int_{S(r)} \log (C_1 \| g \|) \sigma + O(1) \\ &=&T_f(r)+ T_g(r)+ O(1).\end{eqnarray}$

考虑$ z \in {\Bbb C}^m \setminus \Big(\bigcup \limits_{k \neq l} \big(f^{-1}(H_k) \cap f^{-1}(H_l) \big) \cup I_f \cup I_g \Big) $.如果$ \overline{\nu}_{(f, H_j)}(z)=1 $,则$ z \in f^{-1}(H_j) $,故由条件知$ f(z)=g(z), $即有非零常数$ c $使得$ \big(f_0(z), \cdots, f_n(z) \big)= c \big(g_0(z), \cdots, g_n(z) \big), $由此得$ P_i(z)= c(g, H_i)(g, H_{\sigma_i})-c(g, H_{\sigma_i})(g, H_i)=0, $即$ z $是$ P_i $的零点.以上讨论证明了对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $在一个维数$ \leq m-2 $的解析集外有

(3.4) $\begin{eqnarray} \label{ieq:nuPi}\nu_{P_i}&\geq& \min \{ \nu_{(f, H_i)}+ \nu_{(g, H_{\sigma_i})}, \nu_{(f, H_{\sigma_i})}+ \nu_{(g, H_i)} \}+ \sum\limits_{j \neq i, \sigma_i} \overline{\nu}_{(f, H_j)} \\& \geq& \min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} + \min \{ \nu_{(f, H_{\sigma_i})}, \nu_{(g, H_{\sigma_i})} \} + \sum\limits_{j \neq i, \sigma_i} \overline{\nu}_{(f, H_j)}.\end{eqnarray}$

(1)因为$ \min \{ \nu_{(f, H_k)}, \nu_{(g, H_k)} \} \geq \overline{\nu}_{(f, H_k)}= \overline{\nu}_{(g, H_k)} $,故由(3.4)式得对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $在一个维数$ \leq m-2 $的解析集外有

$ \nu_{P_i} \geq \sum\limits_{j=1}^q \overline{\nu}_{(f, H_j)}= \sum\limits_{j=1}^q \overline{\nu}_{(g, H_j)}. $

从而结合第二基本定理和(3.3)式我们得到

$\Big\Vert \ \frac{q-n-1}{n}T_f(r) + o(T_f(r)) \leq \sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(f, H_j)}(r) \leq N(r, \nu_{P_1}) \leq T_f(r)+ T_g(r)+ O(1). $

即$ \| \ T_f(r) \leq nT_g(r)+ o(T_f(r)). $类似地有$ \| \ T_g(r) \leq nT_f(r)+ o(T_g(r)) $,这证明了(1).并且这也说明$ o(T_f(r)) $与$ o(T_g(r)) $在一个有限测度集外是一致的.

(2)我们断言对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $

$\min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} \geq \nu_{(f, H_i)}^{[n]}+ \nu_{(g, H_i)}^{[n]} -n \overline{\nu}_{(f, H_i)}+ \big( \overline{\nu}_{(f, H_i)}-\nu_i \big) $

在一个维数$ \leq m-2 $的解析集外成立.

我们考虑$ z \in {\Bbb C}^m \setminus \Big(\bigcup \limits_{k \neq l}(f^{-1}(H_k) \cap f^{-1}(H_l)) \cup I_f \cup I_g \Big) $,

ⅰ)若$ z \not \in f^{-1}(H_i) $,则左边$ =0 \geq $右边$ =0 $；

ⅱ)若$ z \in f^{-1}(H_i) $且$ \min \{ \nu_{(f, H_i)}(z), \nu_{(g, H_i)}(z) \} > n $,则由定义$ \nu_i(z)=0 $,从而右边$ =n+n-n+1=n+1 \leq \min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} = $左边；

ⅲ)若$ z \in f^{-1}(H_{i}) $且$ \max \{ \nu_{(f, H_i)}(z), \nu_{(g, H_i)}(z) \} < n $,则$ \nu_i(z)=0 $,从而右边$ =\nu_{(f, H_i)}^{[n]}+ \nu_{(g, H_i)}^{[n]}- (n-1) \leq \min \{ \nu_{(f, H_i)}^{[n]}, \nu_{(g, H_i)}^{[n]} \} = $左边；

ⅳ)对于其他的$ z, $$ \nu_i(z)= \overline{\nu}_{(f, H_i)}(z)=1 $,从而右边$ =\nu_{(f, H_{i})} ^{[n]}+ \nu_{(g, H_i)}^{[n]}- n \leq \min \{ \nu_{(f, H_i)}^{[n]}, \nu_{(g, H_i)}^{[n]} \} \leq $左边.

故断言成立.

结合(3.4)式得对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $

(3.5) $ \begin{eqnarray} \label{ieq:nuPibetter} \nu_{P_i}& \geq&\nu_{(f, H_i)}^{[n]}+ \nu_{(g, H_i)}^{[n]}- n \overline{\nu}_{(f, H_i)}+ \big( \overline{\nu}_{(f, H_i)}- \nu_i \big) \\&&+ \nu_{(f, H_{\sigma_i})}^{[n]}+ \nu_{(g, H_{\sigma_i})}^{[n]}- n \overline{\nu}_{(f, H_{\sigma_i})}+ \big( \overline{\nu}_{(f, H_{\sigma_i})}- \nu_{\sigma_i} \big)+ \sum\limits_{j \neq i, \sigma_i} \overline{\nu}_{(f, H_j)} \end{eqnarray} $

在一个维数$ \leq m-2 $的解析集外成立.

所以对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $有

$\begin{eqnarray*} N(r, \nu_{P_i}) &\geq&N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)- n \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ \overline{N}_{(f, H_i)}(r)- N(r, \nu_i) \\ && + N_{(f, H_{\sigma_i})} ^{[n]}(r)+ N_{(g, H_{\sigma_i})}^{[n]}(r) - n \overline{N}_{(f, H_{\sigma_i})}(r)+ \overline{N}_{(f, H_{\sigma_i})}(r)- N(r, \nu_{\sigma_i}) \\ && + \sum\limits_{j \neq i, \sigma_i} \overline{N}_{(f, H_j)}(r). \end{eqnarray*} $

再结合(3.3)式得到对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $有

(3.6) $\begin{eqnarray} \label{ieq:critical}&& T_f(r)+ T_g(r) + O(1) \\ &\geq&N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r) - n \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ \overline{N}_{(f, H_i)}(r)- N(r, \nu_{i}) \\&&+ N_{(f, H_{\sigma_i})}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_{\sigma_i})}^{[n]}(r)- n \overline{N}_{(f, H_{\sigma_i})}(r)+ \overline{N}_{(f, H_{\sigma_i})}(r)- N(r, \nu_{\sigma_i}) \\ && + \sum\limits_{j \neq i, \sigma_i} \overline{N}_{(f, H_j)}(r). \end{eqnarray} $

将(3.6)式对$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $作和并利用第二基本定理及(3.2)式得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \label{ieq:sumcritical} &&\| \ (2n+2) \big( T_f (r)+ T_g(r) \big) + O(1) \\ &&\geq 2 \sum\limits_{i=1}^q \left( N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r) \right)+(q-2-2n) \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \\ && +2 \sum\limits_{i=1}^q \big( \overline{N}_{(f, H_{i})}(r)- N(r, \nu_{i}) \big) \\ &&= 2 \sum\limits_{i=1}^q \Big( N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r) \Big)+ 2 \sum\limits_{i=1}^q \big( \overline{N}_{(f, H_i)}(r)- N(r, \nu_i) \big) \\ &&\geq 2(n+1) \big( T_f(r)+ T_g(r) \big)+ o(T_f(r))+ o(T_g(r))+ 0 \\&& = (2n+2) \big( T_f(r)+ T_g(r) \big)+ o(T_f(r)). \end{eqnarray}$

由此利用引理3.1,我们得到上面出现的不等式在两边相差$ o(T_f(r)) $的意义上取到等号,即我们有

$ \big\| \ T_f(r) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{j=1}^q N_{(f, H_j)}^{[n]}(r) + o(T_f(r)), $

$\big\| \ T_g(r)= \frac{1}{n+1} \sum\limits_{j=1}^q N_{(g, H_j)}^{[n]}(r) + o(T_g(r)), $

$\| \ N(r, \nu_i)= \overline{N}_{ (f, H_i)}(r) + o(T_f(r)), $

$\begin{eqnarray*} \| \ T_f(r)+ T_g(r) & =& \sum\limits_{t=i, \sigma_i} \Big( N_{(f, H_t)}^{[n]}(r) + N_{(g, H_t)}^{[n]}(r) - n \overline{N}_{(f, H_t)}(r) - N(r, \nu_t) \Big)\\&& + \sum\limits_{k=1}^q \overline{N}_{(f, H_k)}(r) + o(T_f(r))\\ & =& \sum\limits_{t=i, \sigma_i} \Big( N_{(f, H_t)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_t)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_t)}(r) \Big) \\&&+ \sum\limits_{k=1}^q \overline{N}_{(f, H_k)}(r) + o(T_f(r)). \end{eqnarray*} $

故(2)得证.

(3)对任意的使得$ h_k \not \equiv h_l $的指标$ k, l, $我们可取一个全排列$ \tilde{\sigma}: \{ 1, \cdots, q \} \rightarrow \{1, \cdots, q \} $满足$ \tilde{\sigma}_k=l $且对所有$ t $有$ h_t \not \equiv h_{\tilde{\sigma}_t}. $然后与(2)中一样推理可得

$\begin{eqnarray*}&&\| \ T_f(r)+ T_g(r)- \sum _{j=1}^q \overline{N}_{(f, H_j)}(r)\\&& = \sum\limits_{ t= k, l} \Big( N_{(f, H_t)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_t)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_t)}(r) \Big)+ o(T_f(r)).\end{eqnarray*}$

现在固定两个指标$ i, j. $由$ f \not= g $我们可取一个$ k \in \{1, \cdots, q \} $使得$ h_i \not \equiv h_k, \ h_j \not \equiv h_k, $从而由上面的等式得

$\begin{eqnarray*}&&\Vert \ T_f(r) + T_g(r)- \sum _{t=1}^q \overline{N}_{(f, H_t)}(r)\\&& = \sum\limits_{t=i, k} \Big( N_{(f, H_t)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_t)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_t)}(r) \Big) + o(T_f(r)), \\&& \Vert \ T_f(r) + T_g(r)- \sum _{t=1}^q \overline{N}_{(f, H_t)}(r)\\ &&= \sum\limits_{t=j, k} \Big( N_{(f, H_t)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_t)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_t)}(r) \Big) + o(T_f(r)).\end{eqnarray*}$

将以上两式作差得

$\begin{eqnarray*}&&\Vert \ N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_i)}(r)\\&&= N_{(f, H_j)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_j)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_j)}(r)+ o(T_f(r)).\end{eqnarray*}$

因为上式对任意两个指标$ i, j $成立,故再次利用之前的等式得到对每个$ 1 \leq i \leq q $有

$\begin{eqnarray*}&&\Vert \ T_f(r) + T_g(r)- \sum\limits_{t=1}^q \overline{N}_{(f, H_t)}(r)\\&&= 2 \Big( N_{(f, H_{i})} ^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \Big) + o(T_f(r)), \end{eqnarray*}$

因此(3)得证.

(4)设$ h_i/h_j \equiv c $,即$ \frac{(f, H_i)}{(g, H_i)} \equiv c \frac{(f, H_j)}{(g, H_j)}. $令$ A= \cup_{t \neq s} f^{-1}(H_t \cap H_s) \cup I_f \cup I_g, $则$ \dim A \leq m-2. $因为$ 2n>n+1, $故由第二基本定理知$ \cup_{k \neq i, j} f^{-1}(H_k) \setminus A $非空,取出其中一个点$ z. $由定理条件知$ \frac{(f, H_i)}{(g, H_i)}(z)= \frac{(f, H_j)}{(g, H_j)}(z) \not= 0, $从而有$ c=1, $即$ h_i \equiv h_j $.

(5)设$ i \in K $,则有指标$ j \not= i $使得$ h_i \equiv h_j $,即$ \frac{(f, H_i)}{(f, H_j)} \equiv \frac{(g, H_i)}{(g, H_j)} $.所以

$ P_i = (f, H_i) (g, H_{\sigma_i})-(f, H_{\sigma_i}) (g, H_i) = \frac{(f, H_i)}{(f, H_j)} \big( (f, H_j) (g, H_{\sigma_i})-(f, H_{\sigma_i}) (g, H_j) \big). $

由条件, $ (f, H_i) $的零点一定也是$ (f, H_j) (g, H_{\sigma_i})- (f, H_{\sigma_i}) (g, H_j)=:G $的零点.故对于$ z \in {\Bbb C}^m \setminus \big(I_f \cup I_g \cup \big(f^{-1}(H_i) \cap f^{-1}(H_j) \big) \big) $,若$ \overline{\nu}_{(f, H_i)}(z)>0 $则$ \nu_{P_i}(z) \geq \nu_{(f, H_i)}+ \nu_G \geq \nu_{(f, H_i)} + 1 \geq \min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \}+ 1 $.刚才的讨论结合不等式(3.4)立得下面更强的这个不等式

$ \begin{eqnarray*} \nu_{P_i} &\geq&\min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} + \min \{ \nu_{(f, H_{\sigma_i})}, \nu_{(g, H_{\sigma_i})} \} + \sum\limits_{k \neq i, \sigma_i} \overline{\nu} _{(f, H_k)} + \overline{\nu} _{(f, H_i)} \\ &\geq&\sum\limits_{t=i, \sigma_i} \big( \nu_{(f, H_t)}^{[n]}+ \nu_{(g, H_t)}^{[n]}- n \overline{\nu}_{(f, H_t)}+ \overline{\nu}_{(f, H_t)}- \nu_t \big) + \sum\limits_{k \neq i, \sigma_i} \overline{\nu} _{(f, H_k)} + \overline{\nu} _{(f, H_i)} \end{eqnarray*} $

在一个维数$ \leq m-2 $的解析集外成立.

因此若$ i \in K $则不等式(3.6)的右边会增加$ \overline{N}_{(f, H_i)}(r) $这一项.故类似于(3.7)式我们推出

$ \| \ (2n+2)\big( T_f(r)+ T_g(r) \big) \geq 2(n+1) \left( T_f(r)+ T_g(r) \right)+ \sum\limits_{i \in K} \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ o(T_f(r)). $

这蕴涵$ \big\| \sum \limits_{i \in K} \overline{N}_{(f, H_i)}(r)= o(T_f(r)) $,故$ K \subseteq \tilde{K} $.再由第二基本定理易知$ \# K \leq n+1 $.

现在进一步假设$ n \geq 2 $且$ \min \{ \nu_{(f, H_i)}, 2 \}= \min \{ \nu_{(g, H_i)}, 2 \} $对所有$ i $成立.由$ \nu_i $的定义,如果$ \nu_i(z)> 0 $,则$ \min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} \leq n $且$ \max \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} \geq n (\geq 2) $,故$ \min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} \geq 2 $.这说明对每一个$ i $有$ \nu_i \leq \frac{\nu_{(f, H_i)}^{[n]}+ \nu_{(g, H_i)}^{[n]}}{n+2} $,从而由(2)我们得到

$\big\| \ N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r) \geq (n+2) N(r, \nu_i)= (n+2)\overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ o(T_f(r)). $

假设$ \tilde{K} \not= \emptyset $,取$ i_0 \in \tilde{K} $,则有$ \| \overline{N}_{(f, H_{i_0})}(r)= o(T_f(r)) $.由(3)及上面的不等式可得对每个$ i \in \{1, \cdots, q \} $有

$\begin{eqnarray*}\| \ o(T_f(r))& =& N_{(f, H_{i_0})}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_{i_0})}^{[n]}(r)- (n+1) \overline{N}_{(f, H_{i_0})}(r)\\&=& N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)- (n+1)\overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ o(T_f(r))\\& \geq &\overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ o(T_f(r)), \end{eqnarray*}$

从而$ \| \overline{N}_{(f, H_i)}(r)= o(T_f(r)). $这与第二基本定理矛盾,故有$ K= \tilde{K} = \emptyset $.引理3.2证毕.

注3.1  (1)  在引理3.2的证明中我们曾断言对所有$ j $有$ \# I_j \leq n $.假如这个断言不成立,则我们不妨设$ \frac{(f, H_1)}{(g, H_1)} =\frac{(f, H_2)}{(g, H_2)}= \cdots =\frac{(f, H_{n+1})}{(g, H_{n+1})} =: h $.

令$ A $为由$ H_{1}, \cdots, H_{n+1} $的系数向量构成的矩阵,由$ \{ H_j \} $处于一般位置我们知$ A $是一个可逆阵,因此有$ \left(\begin{array}{c} f_{0} \\ \vdots \\ f_{n}\end{array} \right)$$ = A^{-1} \left(\begin{array}{c}(f, H_{1}) \\ \vdots \\ (f, H_{n+1})\end{array} \right)$$ = h A^{-1} \left(\begin{array}{c}(g, H_{1}) \\ \vdots \\ (g, H_{n+1})\end{array} \right)$$ = h \left(\begin{array}{c} g_{0} \\ \vdots \\ g_{n}\end{array} \right), $这蕴涵$ f=g $.

(2)  在引理3.2 (3)的证明中,全排列$ \tilde{\sigma} $可如下选取：

首先设$ \Big(\{ 1, \cdots, 2n+2 \} \setminus \{ k, l \} \Big) / \sim \ = \{ L_1, \cdots, L_p \} $,则对每个$ j $有$ \# L_j \leq n $.设$ L_1= \{ i_1, \cdots, i_{t_1} \}, L_2= \{ i_{t_1+1}, \cdots, i_{t_2} \}, \cdots, L_p= \{ i_{t_{p-1}+1}, \cdots, i_{2n} \} $,其中$ 1 \leq t_1, t_2-t_1, \cdots, 2n-t_{p-1} \leq n $.现在可选$ \tilde{\sigma} $为$ \Bigg(\begin{array}{cccccc} k & l & i_1 \ \ \cdots & i_n & i_{n+1} \cdots & i_{2n} \\ l & k & i_{n+1} \cdots & i_{2n} & i_1 \ \ \cdots & i_n \end{array}\Bigg).$易见$ \tilde{\sigma}_k=l $且对所有$ t $有$ h_t \not \equiv h_{\tilde{\sigma}_t} $.

(3)  引理3.2 (2)蕴涵定理B.假设$ q=2n+3 $且$ g \in {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; 1), \ g \not= f $.每当我们选取$ H_1, \cdots, H_q $中的$ 2n+2 $个超平面,都可由引理3.2 (2)得到一个等式.将这些(共$ 2n+3 $个)等式相加得到

$\begin{eqnarray*} \| \ (2n+3)T_f(r)&= &\frac{2n+2}{n+1} \sum \limits_{j=1}^{2n+3} N_{(f, H_j)}^{[n]}(r)+ o(T_f(r)) \\ & \geq &2(2n+3-n-1) T_f(r)+ o(T_f(r)) \\ & = &(2n+4)T_f(r)+ o(T_f(r)), \end{eqnarray*} $

矛盾.故$ \# {\cal F} (\{ H_j \}_{j=1}^q; f; 1)=1 $.

我们首先给出下面的唯一性定理,它是引理3.2的一个简单推论.

定理4.1  设$ n \geq 1, q=2n+2, \ g \in {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; 1) $.如果对每个$ 1 \leq i \leq q, $在每一点$ z \in {\Bbb C}^m $处有$ \max \{ \nu_{(f, H_i)} (z), \nu_{(g, H_i)} (z) \} < n $或$ \min \{ \nu_{(f, H_i)} (z), \nu_{(g, H_i)} (z) \} > n $或$ \nu_{(f, H_i)} (z)+ \nu_{(g, H_i)} (z) > 4n $,则$ g=f $.

证  假设$ g \not= f $,我们与(3.1)式一样定义$ \nu_i. $由条件易知对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $有$ \nu_i \leq \frac{\nu_{(f, H_i)}+ \nu_{(g, H_i)}}{4n+1} $,故由第一基本定理得

$ N(r, \nu_i) \leq \frac{N_{(f, H_i)}(r)+N_{(g, H_i)}(r)}{4n+1} \leq \frac{T_f(r)+ T_g(r)}{4n+1}+ O(1). $

再由引理3.2 (2)得

$\begin{eqnarray*} \Big \| \ \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(f, H_i)}(r)&= &\sum\limits_{i=1}^q N(r, \nu_i)+ o(T_f(r)) \\&\leq &\frac{2n+2}{4n+1} \big( T_f(r)+T_g(r) \big)+ o(T_f(r)). \end{eqnarray*} $

另一方面由第二基本定理,我们有

$ \begin{eqnarray*} \Big \| \ \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(f, H_i)}(r)&=& \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^q \big( \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ \overline{N}_{(g, H_i)}(r) \big) \\&\geq& \frac{1}{2n} \sum\limits_{i=1}^q \Big( N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r) \Big) \\&\geq& \frac{q-n-1}{2n} \big( T_f(r)+ T_g(r) \big)+ o\big( T_f(r)+ T_g(r) \big) \\ & =& \frac{2n+2}{4n} \big( T_f(r)+ T_g(r) \big)+ o\big( T_f(r)+ T_g(r) \big), \end{eqnarray*} $

与上一式矛盾,故$ g=f $.

令$ n=1 $,我们得到下面的推论.

推论4.1  设$ f, g $是$ {\Bbb C}^m $上两个非常数的亚纯函数(因此它们可看成是从$ {\Bbb C}^m $到$ {\Bbb P}^1({\Bbb C}) $的非线性退化的亚纯映射).假设$ f, g $分担$ \overline{{\Bbb C}} $中的四个不同值$ \{ a_j \}_{j=1}^4 $IM且对每个$ j=1, 2, 3, 4, $$ f-a_j $和$ g-a_j $都没有单阶零点,则$ f=g $.

现在我们证明定理1.1.事实上我们证明下面这个更强的结果.

定理4.2  设$ n \geq 2, \ 2 \leq d \leq n, \ q=2n+2, \ g \in {\cal F}(\{ H_j \}_{j=1}^q; f; 1) $.如果对每个$ 1 \leq i \leq q, $在每一点$ z \in {\Bbb C}^m $处有$ \max \{ \nu_{(f, H_i)}(z), \nu_{(g, H_i)}(z) \} < d $或$ \min \{ \nu_{(f, H_i)}(z), \nu_{(g, H_i)}(z) \} \geq d $且$ g \neq f $,则对所有$ i, j \in \{1, \cdots, q \} $有

$ \Big\| \ \frac{d-1}{n-1} \overline{N}_{(f, H_j)}(r)+ o(T_f(r)) \leq \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \leq \frac{n-1}{d-1} \overline{N}_{(f, H_j)}(r)+ o(T_f(r)), $

$ \Big\| \ \frac{N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)}{n} \leq \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \leq \frac{N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)}{d}+ o(T_f(r)), $

$\Big\| \ \frac{(n+1)/n}{\frac{n-1}{d-1}(2n + 1) + 1} T_f(r)+ o(T_f(r)) \leq \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \leq \frac{(n+1)/d}{\frac{d-1}{n-1}(2n + 1) + 1} T_f(r)+ o(T_f(r)).$

对于$ g $我们有类似的不等式.

证  对于$ 1 \leq i \leq q, $我们与(3.1)式一样定义$ \nu_i. $由条件得对每个$ i \in \{1, \cdots, q \} $有

$\nu_i \leq \frac{\nu_{(f, H_i)}^{[n]}+ \nu_{(g, H_i)}^{[n]}}{n+d}, \quad \nu_i \leq \frac{\nu_{(f, H_i)}^{[n]}}{d}, \quad \nu_i \leq \frac{\nu_{(g, H_i)}^{[n]}}{d}. $

故

$ N(r, \nu_i) \leq \frac{N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)}{n+d}, \quad N(r, \nu_i) \leq \frac{N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)}{d}, \quad N(r, \nu_i) \leq \frac{N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)}{d}. $

因此由引理3.2 (2)和(3)我们得到对任意的$ i, j \in \{1, \cdots, q \} $有

$\big\| \ \overline{N}_{(f, H_i)}(r)= N(r, \nu_i)+ o(T_f(r)) \leq \frac{N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)}{d}+ o(T_f(r)), $

$\begin{eqnarray*}\| \ (d-1) \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ o(T_f(r))&=& (n+d)N(r, \nu_i)- (n+1)\overline{N}_{(f, H_i)}(r)\\&\leq& N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)- (n+1)\overline{N}_{(f, H_i)}(r)\\&= &N_{(f, H_j)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_j)}^{[n]}(r)- (n+1)\overline{N}_{(f, H_j)}(r)+o(T_f(r))\\&\leq& (n-1) \overline{N}_{(f, H_j)}(r)+ o(T_f(r)).\end{eqnarray*}$

所以$ \big\| \ \overline{N}_{(f, H_i)}(r) \leq \frac{n-1}{d-1} \overline{N}_{(f, H_j)}(r)+ o(T_f(r)). $

进一步我们得到对每个$ i $有

$\begin{eqnarray*}\| \ T_f(r)&=&\frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=1}^q N_{(f, H_k)}^{[n]}(r)+ o(T_f(r)) \geq \frac{d}{n+1} \sum\limits_{k=1}^q \overline{N}_{(f, H_k)}(r)+o(T_f(r))\\&\geq &\frac{d}{n+1} \Big( \frac{d-1}{n-1}(2n + 1)+1 \Big) \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+o(T_f(r)), \\ \| \ T_f(r)&=& \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=1}^q N_{(f, H_k)}^{[n]}(r)+ o(T_f(r)) \leq \frac{n}{n+1} \sum\limits_{k=1}^q \overline{N}_{(f, H_k)}(r)+o(T_f(r))\\&\leq& \frac{n}{n+1} \Big( \frac{n-1}{d-1}(2n + 1)+1 \Big) \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+o(T_f(r)).\end{eqnarray*}$

由以上的不等式我们就得到了定理4.2的结论.

在本章我们证明下面的唯一性定理.这个定理已经在文献[3]中被证明,但文献[3]中的证明比较复杂,这里我们给出一个相对简单的证明.

定理5.1  设$ f, g : {\Bbb C}^m \rightarrow {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $是两个非线性退化的亚纯映射,设$ \{ H_j \}_{j=1}^q $是$ {\Bbb P}^n({\Bbb C}) $中$ q (\geq 2n+3) $个处于一般位置的超平面.假设下面三个条件成立

(a)对所有$ i \neq j $有$ \dim f^{-1}(H_i \cap H_j) \leq m-2; $

(b)对所有$ j=1, \cdots, q $有$ f^{-1}(H_j) \subseteq g^{-1}(H_j); $

(c) $f(z)=g(z) $对$ z \in \bigcup\limits_{j=1}^q f^{-1}(H_j). $

如果

$\liminf\limits_{r \rightarrow + \infty } \frac{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(f, H_j)}(r)}{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(g, H_j)}(r)} > \frac{n}{q-n-2}, $

则$ f=g. $

推论5.1  在定理5.1的条件下,如果

$q=2n+3 \ \mbox{且}\ \liminf\limits_{r \rightarrow + \infty } \frac{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(f, H_j)}(r)}{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(g, H_j)}(r)} > \frac{n}{n+1}, $

或

$q=3n+2 \ \mbox{且}\ \liminf\limits_{r \rightarrow + \infty } \frac{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(f, H_j)}(r)}{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(g, H_j)}(r)} > \frac{1}{2}, $

则$ f=g $.

定理5.1的证明  假设$ f \neq g, $则与引理3.2的证明中一样的讨论我们可找到一个$ \{ 1, \cdots, q \} $的全排列$ \sigma $使得对每个$ 1 \leq i \leq q $有$ P_i:= (f, H_i)(g, H_{\sigma_i})-(f, H_{\sigma_i})(g, H_i) \not \equiv 0. $

由Jensen公式可得对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $有

(5.1) $\begin{equation} \label{npileqTf+Tg}N(r, \nu_{P_i}) \leq T_f(r)+ T_g(r)+ O(1).\end{equation}$

从定理5.1的条件不难得到对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $有

(5.2) $\begin{equation} \label{nupi_chushi}\nu_{P_i} \geq \min \{ \nu_{(f, H_i)}, \nu_{(g, H_i)} \} + \min \{ \nu_{(f, H_{\sigma_i})}, \nu_{(g, H_{\sigma_i})} \} + \sum\limits_{j \neq i, \sigma_i} \overline{\nu}_{(f, H_j)}\end{equation}$

在一个维数$ \leq m-2 $的解析集外成立.

由(5.1)式, (5.2)式及$ \min \{ \nu_{(f, H_k)}, \nu_{(g, H_k)} \} \geq \overline{\nu}_{(f, H_k)} $得

(5.3) $\begin{equation} \label{sum_N_fhi_leq_Tf+Tg} T_f(r)+ T_g(r) + O(1) \geq \sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(f, H_j)}(r) . \end{equation}$

另外由定理的条件容易证明对每个$ j $有

$ \min \{ \nu_{(f, H_j)}, \nu_{(g, H_j)} \} \geq \nu_{(f, H_j)}^{[n]}+ \nu_{(g, H_j)}^{[n]} - n \overline{\nu}_{(g, H_j)} .$

结合(5.1)式和(5.2)式,我们得到对每个$ i \in \{ 1, \cdots, q \} $有

(5.4) $\begin{eqnarray} \label{ieqbeforesum}&& T_f(r)+ T_g(r) + O(1) \\ &\geq&N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r)- n \overline{N}_{(g, H_i)}(r) \\&&+ N_{(f, H_{\sigma_i})}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_{\sigma_i})}^{[n]}(r)- n \overline{N}_{(g, H_{\sigma_i})}(r)+ \sum\limits_{j \neq i, \sigma_i} \overline{N}_{(f, H_j)}(r). \end{eqnarray}$

将(5.4)式对$ i=1, \cdots, q $作和得到

$ \begin{eqnarray*} && q \big( T_f (r)+ T_g(r) \big) + O(1) \\& \geq& 2 \sum\limits_{i=1}^q \Big( N_{(f, H_i)}^{[n]}(r)+ N_{(g, H_i)}^{[n]}(r) \Big)- 2n \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(g, H_i)}(r) + (q-2) \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(f, H_i)}(r). \end{eqnarray*}$

上面的不等式结合第二基本定理得

$\begin{eqnarray*} \Big\| \ 2n \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(g, H_i)}(r) \geq (q-2) \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ (q-2n-2 + o(1)) \big( T_f(r)+ T_g(r) \big). \end{eqnarray*} $

因此由(5.3)式和$ q > 2n+2 $这个假设,我们得到

(5.5) $ \begin{equation} \label{section5ieq} \Big\| \ 2n \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(g, H_i)}(r) \geq (2q-2n-4 +o(1)) \sum\limits_{i=1}^q \overline{N}_{(f, H_i)}(r)+ O(1). \end{equation} $

因为$ \lim \limits_{r \rightarrow + \infty } \sum \limits_{i=1}^q \overline{N}_{(g, H_i)}(r)= + \infty $,所以(5.5)式蕴涵

$ \liminf\limits_{r \rightarrow + \infty } \frac{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(f, H_j)}(r)}{\sum\limits_{j=1}^q \overline{N}_{(g, H_j)}(r)} \leq \frac{n}{q-n-2}, $

这与已知条件矛盾.因此有$ f=g. $