设$f$属于Schwartz函数${\cal S}(\mathbb{R}^{n})$且

$S_{t, a}f(x)=u(x, t)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi}{\rm e}^{{\rm i}t|\xi|^{a}}\hat{f}(\xi){\rm d}\xi, \qquad t\in \mathbb{R}\ \ \mbox{和}\ \a>1.$

众所周知, $u$是以下分数次Schrödinger方程的解

(1.1) $ \begin{eqnarray}\label{frac Schrdinger equat}\bigg\{ \begin{array}{ll}\text{i}\partial _{t}u+(-\Delta)^{a/2} u=0, \qquad (x, t)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}, \\u(x, 0)=f(x).\end{array}\end{eqnarray}$

其中$\hat{f}$表示$f$的Fourier变换,且定义为$\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\rm e}^{-{\rm i}\xi\cdot x}f(x){\rm d}x.$非齐次Sobolev空间$H^{s}(\mathbb{R}^{n})\, (s\in\mathbb{R})$定义为

$H^{s}(\mathbb{R}^{n})=\bigg\{f\in {\cal S}^{\prime}:\, \|f\|_{H^{s}}=\bigg(\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^{2})^{s}|\hat{f}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\bigg)^{1/2} <\infty\bigg\}.$

与算子族$\{S_{t, a}\}_{0 <t <1}$相应的极大算子$S^{\ast}_a$定义为

$S^{\ast}_af(x)=\displaystyle\sup\limits_{0 <t <1}|S_{t, a}f(x)|, \quad x\in\mathbb{R}^n.$

对于$s\in\mathbb{R}$和$1\leq q\leq\infty, $极大整体估计

(1.2) $\begin{equation}\label{local global estimate}\|S^{\ast}_af\|_{L^{q}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|f\|_{H^{s}(\mathbb{R}^n)}, \end{equation} $

被文献中广泛的研究,参见文献[3, 13, 17, 20-26].特别的, Sjölin在文献[25], Sjölin和Soria在文献[26]中给出了估计(1.2)的以下结果.

定理A  对于$a>1$,

(ⅰ)假设$n=1, $若$2 <q <4, $$s\geq \frac{1}{2}-\frac{a}{4}+\frac{a}{q}-\frac{1}{q}, $则整体估计(1.2)成立.

(ⅱ)假设$n\geq2$且$f$是径向,若$2 <q <\frac{4n}{2n-1}, $$s\geq \frac{n}{2}-\frac{(2n-1)a}{4}+\frac{an}{q}-\frac{n}{q}, $则整体估计(1.2)成立.

在本文中,我们考虑与广义振荡积分算子相应的极大整体估计.假设$\phi: \mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}$满足

(H1)存在$m_{1}\in\mathbb{R}$且$m_{1}>1, $使得$|\phi^{\prime}(r)|\sim r^{m_{1}-1}$和$|\phi^{\prime\prime}(r)|\gtrsim r^{m_{1}-2}$对于所有的$0 <r <1$;

(H2)存在$m_{2}\in\mathbb{R}$且$m_{2}>1, $使得$|\phi^{\prime}(r)|\sim r^{m_{2}-1}$和$|\phi^{\prime\prime}(r)|\gtrsim r^{m_{2}-2}$对于所有的$r\geq1$;

(H3) $\phi^{\prime\prime}(r)>0$或者$\phi^{\prime\prime}(r) <0$对于所有的$r>0$.

对于$\phi$满足上述条件, $f\in{\cal S}(\mathbb{R}^{n})$且$t\in\Bbb R$,振荡积分算子$S_{t, \phi}$定义为

$S_{t, \phi}f(x)=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb{R}^{n}} {\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi+{\rm i}t\phi(|\xi|)}\hat{f}(\xi){\rm d}\xi, \qquad x\in{\Bbb R}^n.$

与算子族$\{S_{t, \phi}\}_{0 <t <1}$相应的极大算子$S^{\ast}_{\phi}$定义为

$S^{\ast}_{\phi}f(x)=\displaystyle\sup\limits_{0<t<1} |S_{t, \phi}f(x)|, \qquad x\in\mathbb{R}^n.$

对于$1\leq q \leq\infty, $$s\in\mathbb{R}, $我们将考虑整体极大估计

(1.3) $\begin{equation}\label{global estimate}\|S^{\ast}_{\phi}f\|_{L^{q}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|f\|_{H^{s}(\mathbb{R}^n)}. \end{equation} $

注意到

$u(x, t)={\rm e}^{{\rm i}t\phi(\sqrt{-\Delta})}f(x)=(2\pi)^{-n} \int_{{\Bbb R}^{n}}{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi+{\rm i}t\phi(|\xi|)} \hat{f}(\xi){\rm d}\xi=: S_{t, \phi}f(x)$

是以下初值为$f$的广义色散方程的形式解

(1.4) $\begin{eqnarray}\label{general Schrdinger equat} \bigg\{ \begin{array}{ll} \text{i}\partial _{t}u+\phi(\sqrt{-\Delta})u=0, \qquad (x, t)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}, \\ u(x, 0)=f(x). \end{array} \end{eqnarray} $

事实上,很多色散方程可以归结为这种情形.例如,半波方程($\phi(r)=r$),分数次Schrödinger方程($\phi(r)= r^a\, (0 <a, a\neq1))$, Beam方程$(\phi(r)=\sqrt{1+r^4})$, Klein-Gordon方程$(\phi(r)=\sqrt{1+r^2})$, Boussinesq方程$(\phi(r)=r\sqrt{1+r^2})$, imBq方程$(\phi(r)=\frac r{\sqrt{1+r^2}})$和四阶Schrödinger方程$(\phi(r)=r^2+r^4)$等.因此,不等式(1.3)蕴含着广义色散方程(1.4)的解点态收敛于初值,该问题首先由Carleson在文献[4]中对于经典的Schrödinger方程提出.关于Schrödinger方程解的点态收敛初值的结果,参见文献[1-2, 6-7, 14-16, 19, 29-31].

最近,当$\phi$满足一些适当的增长条件,广义色散方程(1.4)解的Strichartz估计被广泛研究,参见文献[5, 11-12].另一方面,当$\phi$满足适当的增长条件,我们在文献[8]中给出了极大算子$S_{\phi}^*$的$L^{2}$整体估计,在文献[10]中对于径向初值,给出了整体估计(1.3)的一些刻画.当象征$\phi$满足条件(H1)-(H3),曲线满足适当的增长条件,在文献[9]中我们给出了与广义色散方程(1.4)解相关的沿曲线极大算子的整体加权$L^{q}$估计.

本文的结果陈述如下.

定理1.1  假设$n=1$, $\phi$满足条件(H1)-(H3).若$2 <q <4, $$s\geq \frac{1}{2}-\frac{m_{2}}{4}+\frac{m_{2}}{q}-\frac{1}{q}, $则整体估计(1.3)成立.

定理1.2  假设$n\geq2$和$f$是径向, $\phi$满足条件(H1)-(H3).若$2 <q <\frac{4n}{2n-1}$, $s\geq \frac{n}{2}-\frac{(2n-1)m_{2}}{4}+\frac{m_{2}n}{q}-\frac{n}{q}, $则整体估计(1.3)成立.

注1.1  有很多函数$\phi$满足条件(H1)-(H3),例如, $ r^a\, (a>1)$, $\sqrt{1+r^4}, $和$r^2+r^4$等.因此,定理1.1和定理1.2是定理A的推广.然而,上面提到的$\sqrt{1+r^2}$, $r\sqrt{1+r^2}$和$\frac r{\sqrt{1+r^2}}$不满足条件(H1)或者(H2).

注1.2  设

${\rm e}^{{\rm i}t\phi(D)}f(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\rm e}^{2\pi {\rm e}x\cdot\xi+{\rm i}t\phi(\xi)}\hat{f}(\xi){\rm d}\xi, $

其中$\widehat{\phi(D)u}=\phi(\xi)\widehat{u}(\xi)$且$\phi(\xi)$是实值的.记${\Bbb B}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n} :|x|\leq1\}$是$\mathbb{R}^n$中球心在原点的单位球. Rogers在文献[18]中考虑了局部估计

(1.5) $\begin{equation}\label{local estimate 1}\big\|{\rm e}^{{\rm i}t\phi(D)}f\big\|_{L_{x}^{q}({\Bbb B}^{n}, L_{t}^{r}[0, 1])}\leq C\|f\|_{H^{s}(\mathbb{R}^n)}\end{equation}$

和整体估计

(1.6) $\begin{equation}\label{global estimate 01}\big\|{\rm e}^{{\rm i}t\phi(D)}f\big\|_{L_{x}^{q}(\mathbb{R}^{n}, L_{t}^{r}[0, 1])}\leq C\|f\|_{H^{s}(\mathbb{R}^n)}.\end{equation}$

在文献[18]中,当$\phi$满足类似(H1)-(H3)的增长条件,局部估计(1.5)和整体估计(1.6)的等价刻画被证明了.更精确地说,文献[18, p2120]中得到下述结果.

定理B  设$q, $$r\geq2.$假设$\phi$是$m$次齐次的,并且对于$\xi\in\mathbb{R}^{n}\backslash\{0\}, $$|D^{\alpha}\phi(\xi)|\leq C_{0}|\xi|^{m-|\alpha|}$和$|\nabla\phi(\xi)|\geq C_{0}^{-1}|\xi|^{m-1}$,其中$|\alpha|\leq2$和$m>1.$则局部估计(1.5)对于所有的$s>s_{0}$成立当且仅当整体估计(1.6)对于所有的$s>ms_{0}-(m-1)(n(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})-\frac{m}{r})$成立.

本文的结构安排如下:定理1.1和定理1.2的证明过程分别在第2节和第3节中给出.在上述定理的证明过程中,引理2.1发挥了关键作用,其证明将在第4节中给出.

下面给出定理1.1的证明,为此我们首先给出引理2.1,引理2.1在证明定理1.1和定理1.2发挥了关键作用,其证明将在第4节中给出.

引理2.1  假设$\phi$满足条件(H1)-(H3).如果$\frac{1}{2}\leq \alpha\leq \frac{m_{2}}{2}$, $-1 <d <1$, $\beta=\frac{\alpha+\frac{m_{2}}{2}-1}{m_{2}-1}$和$\mu\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$.那么对于$x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$和$N=1, 2, 3, \cdots, $有

(2.1) $\begin{equation}\label{estimate lemma high frequence}\bigg|\int_{\mathbb{R}} \frac{{\rm e}^{{\rm i}({\rm d}\phi(|\xi|)-x\xi)}}{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}\mu(\frac{\xi}{N}){\rm d}\xi\bigg|\leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}, \end{equation}$

其中常数$C$只与$\alpha, $$m_{1}$, $m_{2}$和$\mu$有关,而与$x, $$d$和$N$无关.

下面给出定理1.1的证明过程.

证  假设$n=1$, $\phi$满足条件(H1)-(H3).由Sobolev空间的嵌入定理知,只需证明当$2 <q <4$和$s= \frac{1}{2}-\frac{m_{2}}{4}+\frac{m_{2}}{q}-\frac{1}{q}$时,整体估计(1.3)成立.设$t(x): \mathbb{R}\rightarrow (0, 1)$可测函数.记

$Tf(x)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi}{\rm e}^{{\rm i}t(x)\phi(|\xi|)}\hat{f}(\xi){\rm d}\xi, \, \, \, \, f\in{\cal S}(\mathbb{R}).$

由极大算线性化(参见文献[19]),为证明(1.3)式只需证明

(2.2) $\begin{equation}\label{n=1 Tf estimate}\|Tf\|_{L^{q}(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^{s}}, \end{equation}$

其中$2 <q <4$和$s= \frac{1}{2}-\frac{m_{2}}{4}+\frac{m_{2}}{q}-\frac{1}{q}.$记

$ Rg(x)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi}{\rm e}^{{\rm i}t(x)\phi(|\xi|)}\big(1+|\xi|^{2}\big)^{-\frac{s}{2}}g(\xi){\rm d}\xi, \qquad g\in{\cal S}(\mathbb{R}). $

我们首先假设估计

(2.3) $\begin{equation}\label{n=1 Rg estimate}\|Rg\|_{L^{q}(\mathbb{R})}\leq C\|g\|_{L^{2}(\mathbb{R})}\end{equation}$

成立来完成(2.2)式的证明.注意到$Tf(x)=R\Big(\big(1+|\cdot|^{2}\big)^{\frac{s}{2}} \hat{f}(\cdot)\Big)(x), $由(2.3)式,我们有

$\begin{eqnarray*}\label{}\bigg(\int_{\mathbb{R}}|Tf(x)|^{q}{\rm d}x\bigg)^{1/q}&=&\bigg(\int_{\mathbb{R}}\bigg|R\Big(\big(1+|\cdot|^{2}\big)^{\frac{s}{2}} \hat{f}(\cdot)\Big)(x)\bigg|^{q}{\rm d}x\bigg)^{1/q} \\&\leq& C \bigg(\int_{\mathbb{R}} \big(1+|\xi|^{2}\big)^{s}\hat{f}(\xi)|^{2} {\rm d}\xi\bigg)^{1/2} \\&= &C \|f\|_{H^{s}(\mathbb{R})}, \end{eqnarray*} $

由此得到估计(2.2)成立.下面证明估计(2.3).选取实值函数$\rho\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$使得:当$|x|\leq1$时, $\rho(x)=1$;当$|x|\geq2$时, $\rho(x)=0$.对于$N>2$,定义算子$R_N$为

$R_{N}g(x)=\rho_{N}(x)\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi}{\rm e}^{{\rm i}t(x)\phi(|\xi|)}\rho_{N}(\xi)(1+|\xi|^{2})^{-\frac{s}{2}}g(\xi){\rm d}\xi, $

其中$\rho_{N}(\xi)=\rho(\frac{\xi}{N})$. $R_{N}$的对偶算子为

$ R^{\prime}_{N}h(\xi)=(1+|\xi|^{2})^{-\frac{s}{2}}\rho_{N}(\xi)\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}{\rm e}^{-{\rm i}t(x)\phi(|\xi|)}\rho_{N}(x)h(x){\rm d}x, \, \, \, \, N>2. $

为证明(2.3)式只需证明

(2.4) $\begin{equation}\label{n=1 RN estimate}\|R_{N}g\|_{L^{q}(\mathbb{R})}\leq C\|g\|_{L^{2}(\mathbb{R})}.\end{equation}$

通过对偶,证明(2.4)式只需证明

(2.5) $\begin{equation}\label{n=1 RN star estimate}\|R_{N}^{\prime}h\|_{L^{2}(\mathbb{R})}\leq C\|h\|_{L^{q^{\prime}}(\mathbb{R})}, \end{equation}$

其中$\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{\prime}}=1$.因为

(2.6) $\begin{eqnarray}\label{n=1 RN star h estimate 0}\|R^{\prime}_{N}h\|_{L^{2}(\mathbb{R})}^{2}&=&\int_{\mathbb{R}}|R^{\prime}_{N}h(\xi)|^{2}{\rm d}\xi \\&=&\int_{\mathbb{R}}\bigg((1+|\xi|^{2})^{-\frac{s}{2}}\rho(\frac{\xi}{N})\int_{\mathbb{R}}\rho(\frac{x}{N}){\rm e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}{\rm e}^{-{\rm i}t(x)\phi(|\xi|)}h(x){\rm d}x\bigg) \\ && \times\overline{\bigg((1+|\xi|^{2})^{-\frac{s}{2}}\rho(\frac{\xi}{N})\int_{\mathbb{R}}\rho(\frac{y}{N}){\rm e}^{-{\rm i}y\cdot\xi}{\rm e}^{-{\rm i}t(y)\phi(|\xi|)}h(y){\rm d}y\bigg)}{\rm d}\xi \\&=:& \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}K_{N}(x, y)h(x)h(y){\rm d}x{\rm d}y, \end{eqnarray}$

其中

$K_{N}(x, y)=\rho(\frac{x}{N})\rho(\frac{y}{N})\int_{\mathbb{R}} (1+|\xi|^{2})^{-s} {\rm e}^{{\rm i}[(y-x)\xi+(t(y)-t(x))\phi(|\xi|)]}\rho_{N}(\frac{\xi}{N})^{2}{\rm d}\xi.$

因为$2 <q <4$和$s= \frac{1}{2}-\frac{m_{2}}{4}+\frac{m_{2}}{q}-\frac{1}{q}, $可得$\frac{1}{4} <s <\frac{m_{2}}{4}.$记$\alpha=2s, $我们有$\frac{1}{2} <\alpha <\frac{m_{2}}{2}.$于是,利用引理2.1和$\rho\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}), $我们有

(2.7) $ \begin{equation}\label{KN}|K_{N}(x, y)|\leq C\frac{1}{|x-y|^{\beta}}, \end{equation}$

其中$\beta=\frac{\alpha+\frac{m_{2}}{2}-1}{m_{2}-1}.$由此可得$\frac{1}{2} <\beta <1.$记$r=1-\beta$,从而有$\frac 1q=\frac 1{q'}-r$.由(2.6)式, (2.7)式和Hölder不等式,我们有

(2.8) $\begin{eqnarray}\label{RN star estimate 1}\int|R^{\prime}_{N}g(\xi)|^{2}{\rm d}\xi&\leq& C \int_{\mathbb{R}}\bigg(\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{|x-y|^{1-r}}|g(y)|{\rm d}y\bigg)|g(x)|{\rm d}x \\&= &C \int_{\mathbb{R}}|g(x)||I_{r}(|g|)(x)|{\rm d}x \\&\leq& C\|g\|_{L^{q^{\prime}}(\mathbb{R})}\|I_{r}(|g|)\|_{L^{q}(\mathbb{R})} \\&\leq& C \|g\|^{2}_{L^{q^{\prime}}(\mathbb{R})}, \end{eqnarray} $

这里用到$\frac{1}{q}=\frac{1}{q^{\prime}}-r, $这里和下文中$I_{\alpha}$指$\alpha$阶Riesz位势,其定义为

$I_\alpha(f)(u)=\int_{\mathbb{R}}\frac {f(v)}{|u-v|^{1-\alpha}}{\rm d}v.$

从而由估计(2.8),可知(2.5)式成立.我们完成了定理1.1的证明.

类似定理1.1的证明,由Sobolev空间的嵌入定理,只需证明下述引理.

引理3.1  假设$n\geq2$和$f$是径向, $\phi$满足条件(H1)-(H3).则对于$2 <q <\frac{4n}{2n-1}$和$s= \frac{n}{2}-\frac{(2n-1)m_{2}}{4}+\frac{m_{2}n}{q}-\frac{n}{q}$,有

(3.1) $\begin{equation}\label{global estimate 1}\|S^{\ast}_{\phi}f\|_{L^{q}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|f\|_{H^{s}(\mathbb{R}^n)}.\end{equation}$

证  设$f$是径向且属于${\cal S}(\mathbb{R}^n)$,则

$\hat{f}(\xi)=(2\pi)^{\frac{n}{2}}|\xi|^{1-\frac{n}{2}}\int_{0}^{\infty}f(s)J_{\frac{n}{2}-1}(s|\xi|)s^{\frac{n}{2}}{\rm d}s, $

其中$J_{m}(r)$指$m$阶Bessel函数且定义为

$J_{m}(r)=\frac{(\frac{r}{2})^{m}}{\Gamma(m+\frac{1}{2}) \pi^{\frac{1}{2}}}\int_{-1}^{1} {\rm e}^{{\rm i}rt}(1-t^{2})^{m-\frac{1}{2}}{\rm d}t, \, \, \m>-\frac{1}{2}.$

于是

$S_{t, \phi}f(u)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}u^{1-\frac{n}{2}}\int_{0}^{\infty}J_{\frac{n}{2}-1}(ru){\rm e}^{{\rm i}t\phi(r)}\hat{f}(r)r^{\frac{n}{2}}{\rm d}r, \, \, \, \, u>0.$

我们记$S_{t, \phi}f(u)=S_{t, \phi}f(x)$当$u=|x|$且$\hat{f}(r)=\hat{f}(\xi)$当$r=|\xi|.$设$t(u)$是在$(0, \infty)$的且取值为$0 <t(u) <1$的可测函数.算子$T$定义为

$Tf(u)=u^{1-\frac{n}{2}}\int_{0}^{\infty}J_{\frac{n}{2}-1}(ru){\rm e}^{{\rm i}t(u)\phi(r)}\hat{f}(r)r^{\frac{n}{2}}{\rm d}r, \, \, \, \, u>0.$

由极大算子线性化,证明(3.1)式只需证明

(3.2) $\begin{equation}\label{Tf estimate}\bigg(\int_{0}^{\infty}|Tf(u)|^{q}u^{n-1}{\rm d}u\bigg)^{1/q}\leq\bigg(\int_{0}^{\infty}|\hat{f}(r)|^{2}(1+r^{2})^{s}r^{n-1}{\rm d}r\bigg)^{1/2}.\end{equation}$

记

(3.3) $\begin{equation}\label{g(r)}g(r)=\hat{f}(r)(1+r^{2})^{\frac{s}{2}}r^{\frac{n}{2}-\frac{1}{2}}, \, \, \, \, r>0.\end{equation}$

因此得到

$\begin{eqnarray*}\label{} Tf(u)u^{\frac{n-1}{q}}&=& u^{\frac{n}{q}-\frac{1}{q}+1-\frac{n}{2}}\int_{0}^{\infty} J_{\frac{n}{2}-1}(ru){\rm e}^{{\rm i}t(u)\phi(r)}\hat{f}(r) r^{\frac{n}{2}}{\rm d}r \\&=& u^{\frac{n}{q}-\frac{1}{q}+1-\frac{n}{2}}\int_{0}^{\infty}J_{\frac{n}{2}-1}(ru){\rm e}^{{\rm i}t(u)\phi(r)}g(r)(1+r^{2})^{-\frac{s}{2}}r^{\frac{1}{2}}{\rm d}r \\&=:& Pg(u), \end{eqnarray*}$

其中算子$P$定义为

$Pg(u):=u^{\frac{n}{q}-\frac{1}{q}+1-\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty}J_{\frac{n}{2}-1}(ru){\rm e}^{{\rm i}t(u)\phi(r)}g(r) (1+r^{2})^{-\frac{s}{2}}r^{\frac{1}{2}}{\rm d}r, \quad r>0.$

于是,为证明估计(3.2)只需证明

(3.4) $\begin{equation}\label{Pg estimate}\bigg(\int_{0}^{\infty}|Pg(u)|^{q}{\rm d}u\bigg)^{1/q}\leq C\bigg(\int_{0}^{\infty}|g(r)|^{2}{\rm d}r\bigg)^{1/2}.\end{equation}$

记$P^{\prime}$为$P$的对偶算子,即满足

(3.5) $\begin{equation}\label{adjoint}\int_{0}^{\infty}Pg(r)\overline{h(r)}{\rm d}u =\int_{0}^{\infty}g(r)\overline{P'h(r)}{\rm d}r.\end{equation}$

很容易得到

$P^{\prime}h(r)=(1+r^{2})^{-\frac{s}{2}}r^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\infty}J_{\frac{n}{2}-1}(ru){\rm e}^{-{\rm i}t(u)\phi(r)}u^{\frac{n}{q}-\frac{1}{q}+1-\frac{n}{2}}h(u){\rm d}u, \quad r>0.$

从而,由(3.4)和(3.5)式,为证(3.2)式只需验证

(3.6) $ \begin{equation}\label{Pxh estimate}\|P^{\prime}h\|_{L^{2}(0, \infty)}\leq C\|h\|_{L^{p}(0, \infty)}, \end{equation} $

其中$p$满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$且$2 <q <\frac{4n}{2n-1}$.记$\sigma=(n-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}).$于是有

$P^{\prime}h(r)=(1+r^{2})^{-\frac{s}{2}}\int_{0}^{\infty}(ru)^{\frac{1}{2}}J_{\frac{n}{2}-1}(ru){\rm e}^{-{\rm i}t(u)\phi(r)}u^{-\sigma}h(u){\rm d}u.$

下面我们回顾Bessel函数的渐近性质,将在下面的证明过程中用到.

引理3.2^{[27, p158]}   当$r\rightarrow\infty$时, $J_{m}(r)=\sqrt{\frac{2}{\pi r}}\cos(r-\frac{\pi m}{2}-\frac{\pi}{4})+{O}(r^{-\frac{3}{2}})$.特别的,当$r\rightarrow\infty$时, $J_{m}(r)={O}(r^{-\frac{1}{2}})$.

于是,利用引理3.2,参见文献[8, p15]或者[25, p148-149],我们可以得到以下估计

(3.7) $\begin{equation}\label{Bessel large}|t^{\frac{1}{2}}J_{\frac{n}{2}-1}(t)-(b_{1}{\rm e}^{{\rm i}t}+b_{2}{\rm e}^{-{\rm i}t})|\leq \frac{C}{t}, \, \, \, \, t>1, \end{equation}$

且

(3.8) $\begin{equation}\label{Bessel small}|t^{\frac{1}{2}}J_{\frac{n}{2}-1}(t)-(b_{1}{\rm e}^{{\rm i}t}+b_{2}{\rm e}^{-{\rm i}t})|\leq C, \, \, \, \, 0 <t\leq1, \end{equation}$

其中$b_{1}$和$b_{2}$与$n$有关的常数.利用(3.7)和(3.8)式,我们有

(3.9) $\begin{equation}\label{Ph}P^{\prime}h(r)=: b_{1}B_{1}(r)+ b_{2}B_{2}(r) + C(r), \end{equation}$

其中

$B_{1}(r)=(1+r^{2})^{-\frac{s}{2}}\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}ru}{\rm e}^{-{\rm i}t(u)\phi(r)}u^{-\sigma}h(u){\rm d}u, $

$B_{2}(r)=(1+r^{2})^{-\frac{s}{2}}\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-{\rm i}ru}{\rm e}^{-{\rm i}t(u)\phi(r)}u^{-\sigma}h(u){\rm d}u$

和

(3.10) $\begin{equation}\label{express B(r)}|C(r)|\leq C(1+r^{2})^{-\frac{s}{2}}\int_{0}^{\infty}\min\bigg\{1, \frac{1}{ru}\bigg\}u^{-\sigma}|h(u)|{\rm d}u.\end{equation}$

由文献[25, p151-154]中引理1.4的证明,我们有

(3.11) $\begin{equation}\label{C(r)}\bigg(\int_{0}^{\infty}|C(r)|^{2}{\rm d}r\bigg)^{1/2}\leqC\|h\|_{L^{p}(0, \infty)}.\end{equation}$

现在来估计$B_{1}$和$B_{2}.$设

$B(\xi)=(1+\xi^{2})^{-\frac{s}{2}}\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}\xi u}{\rm e}^{-{\rm i}t(u)\phi(|\xi|)}u^{-\sigma}h(u){\rm d}u, \, \, \, \, \xi\in\mathbb{R}.$

我们首先假设以下估计

(3.12) $\begin{equation}\label{estimate B}\bigg(\int_{\mathbb{R}}|B(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\bigg)^{1/2}\leqC\|h\|_{L^{p}(0, \infty)}\end{equation}$

成立来完成估计(3.6)的证明.因为

(3.13) $\begin{equation}\label{estimate Bi}\bigg(\int_{0}^{\infty}|B_{i}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\bigg)^{1/2}\leq C\bigg(\int_{\mathbb{R}}|B(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\bigg)^{1/2}, \, \, \, \, i=1, 2.\end{equation}$

由(3.12)和(3.13)式,我们有

(3.14) $\begin{equation}\label{estimate Bii}\bigg(\int_{0}^{\infty}|B_{i}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\bigg)^{1/2}\leqC\|h\|_{L^{p}(0, \infty)}, \, \, \, \, i=1, 2.\end{equation}$

因此,由估计(3.9), (3.11)和(3.14),可知估计(3.6)成立.

下面我们证明估计(3.12).选取实值函数$\rho\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$使得当$|\xi|\leq1$时, $\rho(\xi)=1$,并且当$|\xi|\geq2$时, $\rho(\xi)=0$,对于$N>1$,设$\rho_{N}(\xi)=\rho(\xi/N)$.算子$B_{N}$定义为

$B_{N}(\xi)=\rho_{N}(\xi)(1+\xi^{2})^{-\frac{s}{2}}\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}\xi u}{\rm e}^{-{\rm i}t(u)\phi(|\xi|)}u^{-\sigma}h(u){\rm d}u.$

我们首先假设估计

(3.15) $\begin{equation}\label{estimate BN}\bigg(\int_{\mathbb{R}}|B_{N}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\bigg)^{1/2}\leqC\|h\|_{L^{p}(0, \infty)}, \end{equation}$

成立,于是在(3.15)式中令$N\rightarrow\infty, $并利用Fatou引理,可得估计(3.12).下面验证(3.15)式.由Fubini定理,我们有

(3.16) $\begin{equation}\label{BN uv}\int_{\mathbb{R}}|B_{N}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}I(u, v)u^{-\sigma}h(u)v^{-\sigma}\overline{h(v)}{\rm d}u{\rm d}v, \end{equation}$

其中

$I(u, v)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{{\rm i}[(u-v)\xi-(t(u)-t(v))\phi(|\xi|)]}(1+\xi^{2})^{-s}\rho_{N}(\xi)^{2}{\rm d}\xi.$

利用引理2.1,可得

(3.17) $\begin{equation}\label{I uv}I(u, v)\leq C\frac{1}{|u-v|^{\beta}}, \end{equation}$

其中$\beta=\frac{2s+\frac{m_{2}}{2}-1}{m_{2}-1}.$利用估计(3.16)和(3.17),我们有

(3.18) $\begin{equation}\label{BN2 uv}\int_{\mathbb{R}}|B_{N}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\leq C\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{|u-v|^{\beta}}u^{-\sigma}|h(u)|v^{-\sigma}|h(v)|{\rm d}u{\rm d}v.\end{equation}$

为完成引理3.1的证明,我们需要以下引理.

引理3.3^[25]  假设$0 <a <1, $$\frac{2}{2-a}\leq p\leq 2, $$b=1-\frac{a}{2}-\frac{1}{p}, $和$h\in L^{p}(\mathbb{R}).$则

(3.19) $\begin{equation}\label{key2 estimate }\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\frac{|h(u)||h(v)|}{|u-v|^{a}|u|^{b}|v|^{b}}{\rm d}u{\rm d}v\leq C\|h\|_{L^{p}(\mathbb{R})}^{2}.\end{equation}$

下面我们来验证估计(3.15).由于$\frac{1}{4} <s <\frac{m_{2}}{4}, $可得$\frac{1}{2}<\beta<1.$因为$\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$, $\frac{4n}{2n+1}<p<2$和

$ \sigma=(n-1)\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}\bigg), $

$ s= \frac{n}{2}-\frac{(2n-1)m_{2}}{4}+\frac{m_{2}n}{q}-\frac{n}{q}, $

$ \beta=\frac{2s+\frac{m_{2}}{2}-1}{m_{2}-1}, $

可得$\beta=-n+1+\frac{2n}{q}$, $\sigma=1-\frac{\beta}{2}-\frac{1}{p}$和$(2-\beta)p\geq2.$于是,利用引理3.3和估计(3.18),我们有

(3.20) $\begin{equation}\label{BN3 uv}\int_{\mathbb{R}}|B_{N}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\leq C\|h\|_{L^{p}(\mathbb{R})}^{2}, \end{equation}$

这里$h$定义在$\mathbb{R}$上,并且$h(u)=0$当$u\leq0.$因此,我们证明了估计(3.15),从而完成了引理3.1的证明.

为证明引理2.1,我们需要以下引理.

引理4.1^{[28, p309-312]}  假设$a <b$且设$I=[a, b]$.设$F\in C^{\infty}(I)$是实值的,并且假设$\psi\in C^{\infty}(I)$.

(ⅰ)假设$|F^{\prime}(x)|\geq \lambda>0$对于$x\in I$且$F^{\prime}$在$I$上单调.则

$\bigg|\int_{a}^{b}{\rm e}^{{\rm i}F(x)}\psi(x){\rm d}x\bigg|\leq C\frac{1}{\lambda}\bigg\{|\psi(b)|+\int_{a}^{b}|\psi^{\prime}(x)|{\rm d}x\bigg\}, $

其中$C$与$F$, $\psi$和$I$无关.

(ⅱ)假设$|F^{\prime\prime}(x)|\geq \lambda>0$对于$x\in I$.则

$\bigg|\int_{a}^{b}{\rm e}^{{\rm i}F(x)}\psi(x){\rm d}x\bigg|\leq C\frac{1}{\lambda^{1/2}} \bigg\{|\psi(b)|+\int_{a}^{b}|\psi^{\prime}(x)|{\rm d}x\bigg\}, $

其中$C$与$F$, $\psi$和$I$无关.

引理4.2  假设$\phi$满足条件(H1)-(H3).如果$\frac{1}{2}\leq s <1$和$\mu\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}), $则对于$x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $t\in\mathbb{R}$和$N\in\mathbb{N}, $有

$\bigg|\int_{\mathbb{R}} {\rm e}^{{\rm i}x\xi+{\rm i}t\phi(|\xi|)}|\xi|^{-s}\mu\big(\frac{\xi}{N}\big){\rm d}\xi\bigg|\leq C\frac{1}{|x|^{1-s}}, $

其中常数$C$与$s, $$m_{1}$, $m_{2}$和$\mu$有关,而与$x, $$t$和$N$无关.

注4.1  引理4.2的证明类似文献[9]中引理2.1的证明,这里我们忽略其证明过程.

引理2.1的证明  由于$\phi$满足条件(H1)和(H2),于是存在正常数$C_{i}$ ($i=1, 2, \cdots, 6$)对于$r\geq1$和$m_{2}>1$使得

(4.1) $\begin{equation}\label{curve high frequence}C_{1}r^{m_{2}-1}\leq|\phi^{\prime}(r)|\leq C_{2}r^{m_{2}-1}\, \, \mbox{和}\, \, |\phi^{\prime\prime}(r)|\geq C_{3}r^{m_{2}-2}, \end{equation}$

并且对于$0 <r <1$和$m_{1}>1$使得

(4.2) $\begin{equation}\label{curve low frequence}C_{4}r^{m_{1}-1}\leq|\phi^{\prime}(r)|\leq C_{5}r^{m_{1}-1}\, \, \mbox{和} \, \, |\phi^{\prime\prime}(r)|\geq C_{6}r^{m_{1}-2}.\end{equation}$

设

$J=\int_{\mathbb{R}} \frac{{\rm e}^{{\rm i}({\rm d}\phi(|\xi|)-x\xi)}}{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}\mu(\frac{\xi}{N}){\rm d}\xi.$

为证明引理2.1,只需证明存在常数$C$使得对于$x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\beta=\frac{\alpha+\frac{m_{2}}{2}-1}{m_{2}-1}$和$N\in\mathbb{N}, $

(4.3) $\begin{equation}\label{estimate lemma}|J|\leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}, \end{equation}$

其中$C$只与$\alpha$, $m_{1}$, $m_{2}, $$C_{i}$$(i=1, 2, \cdots, 6)$和$\mu$有关.不失一般性,不妨设$\xi, $$ d>0.$记$\psi(\xi)={(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}}}\mu(\frac{\xi}{N})$,我们有

(4.4) $\begin{equation}\label{0 estimate}\max\limits_{\xi\geq 0}|\psi(\xi)|+\int_{ 0}^{\infty}|\psi^{\prime}(\xi)|{\rm d}\xi\leq C.\end{equation}$

事实上,因为$\mu\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$和$\frac{1}{2}\leq \alpha\leq\frac{m_{2}}{2}, $可得

(4.5) $\begin{equation}\label{1estimate}\max\limits_{\xi\geq0}|\psi(\xi)|\leq C .\end{equation}$

注意到

(4.6) $ \begin{equation}\label{express}\psi^{\prime}(\xi)=-\alpha\xi{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}-1}}\mu\big(\frac{\xi}{N}\big)+{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}}}\frac{1}{N}\mu^{\prime}\big(\frac{\xi}{N}\big).\end{equation}$

于是,我们有

(4.7) $\begin{eqnarray}\label{2estimate}\int_{0}^{\infty}|\psi^{\prime}(\xi)|{\rm d}\xi&\leq&\alpha\int_{0}^{\infty}\xi{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}-1}}\big|\mu\big(\frac{\xi}{N}\big)\big|{\rm d}\xi+\int_{0}^{\infty}{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}}}\frac{1}{N}\big|\mu^{\prime}\big(\frac{\xi}{N}\big)\big|{\rm d}\xi \\&=:&G_{1}+G_{2}.\end{eqnarray}$

因为$\mu\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$和$\frac{1}{2}\leq \alpha\leq\frac{m_{2}}{2}, $可得

(4.8) $\begin{equation}\label{3estimate}G_{1}\leq C \int_{0}^{\infty}\xi{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}-1}}{\rm d}\xi=C \int_{0}^{\infty}{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}-1}}{\rm d}(1+\xi^{2}) =C\end{equation}$

和

(4.9) $\begin{equation}\label{4estimate}G_{2}\leq C \int_{0}^{\infty}\frac{1}{N}\big|\mu^{\prime}\big(\frac{\xi}{N}\big)\big|{\rm d}\xi\leq C.\end{equation}$

利用估计(4.7), (4.8)和(4.9),我们有

(4.10) $\begin{equation}\label{5estimate}\int_{ 0}^{\infty}|\psi^{\prime}(\xi)|{\rm d}\xi\leq C.\end{equation}$

因此,由估计(4.5)和(4.10),可知估计(4.4)成立.

为证明估计(4.3),我们选取正常数$M=\max\{(\frac{1}{\delta})^{m_{2}-1}, 2C_{5}, 2\}, $其中$\delta$是较小的正常数,且满足$\delta^{m_{2}-1}C_{2}\leq\frac{1}{2}.$下面我们将通过$|x|\geq M$和$|x|<M$两种情形来证明(4.3)式.

情形(Ⅰ) $|x|\geq M.$

设$F(\xi)={\rm d}\phi(\xi)-x\xi$,我们有

$F^{\prime}(\xi)={\rm d}\phi^{\prime}(\xi)-x, \, \, F^{\prime\prime}(\xi)={\rm d}\phi^{\prime\prime}(\xi).$

记$\rho=(\frac{|x|}{d})^{\frac{1}{m_{2}-1}}$,我们有$\delta\rho\geq1.$事实上,注意到$|x|\geq(\frac{1}{\delta})^{m_{2}-1}$, $0 <d <1$, $m_{2}>1$和$\frac{|x|}{d}>|x|$,可得$\delta\rho>\delta |x|^{\frac{1}{m_{2}-1}}\geq1$.我们选取较大的正数$\lambda$满足$\lambda\geq\max\{(\frac{2}{C_{1}})^{\frac{1}{m_{2}-1}}, \delta\}.$记

$I_{1}=[0, \delta\rho], \, \, \, \, \, \, I_{2}=[\delta\rho, \lambda\rho], \, \, \, \, \, \, I_{3}=[\lambda\rho, \infty).$

于是,我们有

(4.11) $\begin{eqnarray}\label{J estimate}|J|=\bigg|\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}F(\xi)}\psi(\xi){\rm d}\xi\bigg|\leq\sum\limits_{j=1}^3\bigg|\int_{I_{j}}{\rm e}^{{\rm i}F(\xi)}\psi(\xi){\rm d}\xi\bigg|=:\sum\limits_{j=1}^3 J_{j}.\end{eqnarray}$

首先我们估计$J_{1}.$我们将证明以下估计

(4.12) $ \begin{equation}\label{F1 low high}|F^{\prime}(\xi)|\geq \frac{|x|}{2}, \, \, \, \, \, \, \xi\in[0, \delta\rho].\end{equation} $

下面我们通过$\xi$的不同取值来验证(4.12)式.

情形(Ⅰ-a) $\xi\in[0, 1).$

因为$m_{1}>1$和$0 <d <1$,我们有

(4.13) $\begin{equation}\label{F1 low0 }d|\phi^{\prime}(\xi)|\leq C_{5} {\rm d}\xi^{m_{1}-1}\leq C_{5}\leq \frac{M}{2}\leq\frac{|x|}{2}.\end{equation}$

利用(4.13)式,当$\xi\in[0, 1), $可得

(4.14) $\begin{equation}\label{F1 low1 }|F^{\prime}(\xi)|\geq|x|-d|\phi^{\prime}(\xi)|\geq \frac{|x|}{2}.\end{equation}$

情形(Ⅰ-b) $\xi\in[1, \delta\rho].$

因为$m_{2}>1, $可得

(4.15) $\begin{equation}\label{F1 high0 }d|\phi^{\prime}(\xi)|\leq C_{2} {\rm d} \xi^{m_{2}-1}\leq C_{2}{\rm d} \delta^{m_{2}-1}\frac{|x|}{d}\leq C_{2} \delta^{m_{2}-1}|x|\leq\frac{|x|}{2}.\end{equation} $

利用(4.15)式,我们有

(4.16) $\begin{equation}\label{F1 high1 }|F^{\prime}(\xi)|\geq|x|-d|\phi^{\prime}(\xi)|\geq \frac{|x|}{2}.\end{equation}$

因此,利用估计(4.14)和(4.16),可知估计(4.12)成立.因为$\phi^{\prime}$在$\mathbb{R}^{+}$上单调,由条件(H3)和$d>0, $可得$F^{\prime}$在$ I_{1}$上也单调.于是,利用引理4.1中的结论(ⅰ)和估计(4.12), (4.4),我们有

(4.17) $\begin{equation}\label{J1 estimate }|J_{1}|\leq C\frac{1}{|x|} \leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}, \end{equation} $

这里用到$|x|\geq2$和$\frac{1}{2}\leq\beta\leq 1.$下面给出$J_{3}$的估计.因为$\xi\geq\lambda(\frac{|x|}{d})^{\frac{1}{m_{2}-1}}>1$和$\lambda\geq(\frac{2}{C_{1}})^{\frac{1}{m_{2}-1}}, $可得

$d|\phi^{\prime}(\xi)|\geq C_{1} {\rm d}\xi^{m_{2}-1}\geq C_{1}{\rm d}\lambda^{m_{2}-1} \frac{|x|}{d}\geq2|x|.$

于是我们有

(4.18) $ \begin{equation}\label{estimate F1 high }|F^{\prime}(\xi)|\geq 2|x|-|x|=|x|, \, \, \, \, \, \, \xi\in[\lambda\rho, \infty).\end{equation} $

利用引理4.1中的结论(ⅰ)和估计(4.18), (4.4),我们有

(4.19) $ \begin{equation}\label{J3 high estimate}|J_{3}|\leq C\frac{1}{|x|} \leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}, \end{equation} $

这里用到$|x|\geq2$和$\frac{1}{2}\leq\beta\leq 1.$现在给出$J_{2}$的估计.因为$\xi\in I_{2}$,我们有$|\xi|\geq1.$利用(4.1)式,可得

(4.20) $ \begin{equation}\label{F22 high estimate}|F^{\prime\prime}(\xi)|\geq d|\phi^{\prime\prime}(\xi)|\geq C_{3}{\rm d}\xi^{m_{2}-2} \geq C_{3}d \bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{\frac{m_{2}-2}{m_{2}-1}}.\end{equation}$

首先我们假设以下估计成立

(4.21) $ \begin{equation}\label{I2 high estimate}\max\limits_{I_{2}}|\psi|+\int_{I_{2}}|\psi^{\prime}|{\rm d}\xi\leq C\bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{-\frac{\alpha}{m_{2}-1}}.\end{equation} $

事实上,因为$\mu\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$和$\frac{1}{2}\leq \alpha\leq\frac{m_{2}}{2}, $可得

(4.22) $\begin{equation}\label{I2 1estimate}\max\limits_{\xi\in A_{2}}|\psi(\xi)|\leq C(\delta\rho)^{-\alpha}=C\delta^{-\alpha}(\rho)^{-\alpha}=C\delta^{-\alpha}\bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{-\frac{\alpha}{m_{2}-1}}.\end{equation}$

利用(4.6)式,我们有

(4.23) $\begin{eqnarray}\label{I2 A estimate}\int_{A_{2}}|\psi^{\prime}(\xi)|{\rm d}\xi&\leq&\alpha\int_{A_{2}}\xi{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}-1}}|\mu\big(\frac{\xi}{N}\big)|{\rm d}\xi+\int_{A_{2}}{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}}}\frac{1}{N}\big|\mu^{\prime}\big(\frac{\xi}{N}\big)\big|{\rm d}\xi \\&=:&L_{1}+L_{2}.\end{eqnarray}$

因为$\mu\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$和$\frac{1}{2}\leq \alpha\leq\frac{m_{2}}{2}, $可得

(4.24) $\begin{equation}\label{I2 3estimate}L_{1}\leq C \int_{A_{2}}\xi{(1+\xi^{2})^{-\frac{\alpha}{2}-1}}{\rm d}\xi\leq C \int_{\delta\rho}^{\lambda\rho}\xi^{-\alpha-1}{\rm d}\xi =C\bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{-\frac{\alpha}{m_{2}-1}}\end{equation}$

和

(4.25) $\begin{equation}\label{I2 4estimate}L_{2}\leq C (\delta\rho)^{-\alpha} \int_{A_{2}}\frac{1}{N}\big|\mu^{\prime}\big(\frac{\xi}{N}\big)\big|{\rm d}\xi\leq C \bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{-\frac{\alpha}{m_{2}-1}}.\end{equation}$

利用估计(4.23), (4.24)和(4.25),我们有

(4.26) $ \begin{equation}\label{I2 5estimate}\int_{ 0}^{\infty}|\psi^{\prime}(\xi)|{\rm d}\xi\leq C\bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{-\frac{\alpha}{m_{2}-1}}.\end{equation} $

于是,由估计(4.22)和(4.26),可知估计(4.21)成立.利用引理4.1中的结论(ⅱ)和估计(4.20), (4.21),我们有

(4.27) $ \begin{equation}\label{J2 estimate}|J_{2}|\leq d^{-\frac{1}{2}} \bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{-\frac{m_{2}-2}{2(m_{2}-1)}} \bigg(\frac{|x|}{d}\bigg)^{-\frac{\alpha}{m_{2}-1}}=C\frac{d^{\frac{\alpha-\frac{1}{2}}{m_{2}-1}}}{|x|^{\frac{\alpha+\frac{m_{2}}{2}-1}{m_{2}-1}}}\leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}.\end{equation} $

这里最后一个不等式用到$\frac{\alpha-\frac{1}{2}}{m_{2}-1}\geq 0$和$0 <d <1$.因此,对于$|x|\geq M, $利用估计(4.11), (4.17), (4.19)和(4.27),可知估计(4.3)成立.

情形(Ⅱ) $|x| <M.$

下面根据$\alpha$的三种取值,我们来验证估计(4.3).

情形(Ⅱ-a) $\alpha>1.$

因为$\mu\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$和$\alpha>1, $可得

(4.28) $\begin{equation}\label{large 1 estimate0 } |J|=\bigg|\int_{0}^{\infty} \frac{{\rm e}^{{\rm i}({\rm d}\phi(|\xi|)-x\xi)}}{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}\mu(\frac{\xi}{N}){\rm d}\xi\bigg|\leq C\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}}{\rm d}\xi\leq C.\end{equation}$

注意到$|x| <M$和$\frac{1}{2}\leq\beta\leq1, $利用估计(4.28),我们有

(4.29) $ \begin{equation}\label{large 1 estimate } |J|\leq C=C|x|^{\beta}\frac{1}{|x|^{\beta}}\leq CM^{\beta}\frac{1}{|x|^{\beta}}=C\frac{1}{|x|^{\beta}}, \end{equation} $

由此得到估计(4.3).

情形(Ⅱ-b) $\frac{1}{2}\leq\alpha <1.$

利用中值定理,当$\frac{1}{2}\leq\alpha <1, $可得

(4.30) $\begin{equation}\label{Mean value estimate } 0 <(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}-\xi^{\alpha} =(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}-(\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\alpha}{2}(\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}-1}\leq\xi^{\alpha-2}.\end{equation}$

由估计(4.30),我们有

(4.31) $\begin{equation}\label{Mean value estimate1 } \frac{1}{\xi^{\alpha}}-\frac{1}{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}} =O\big(\frac{1}{\xi^{\alpha+2}}\big), \, \, \, \, \, \, \, \, \, \xi\rightarrow\infty.\end{equation}$

注意到$\frac{1}{2}\leq\alpha <1, $利用(4.31)式,可得

(4.32) $\begin{equation}\label{Mean value estimate2 } \int_{0}^{\infty} \bigg| \frac{1}{\xi^{\alpha}}- \frac{1}{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}\bigg|{\rm d}\xi \leq C\end{equation}$

和

(4.33) $\begin{eqnarray}\label{I2 2estimate}|J|&=&\bigg|\int_{0}^{\infty} \frac{{\rm e}^{{\rm i}({\rm d}\phi(|\xi|)-x\xi)}}{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}\mu(\frac{\xi}{N}){\rm d}\xi\bigg| \\&\leq &\bigg|\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}({\rm d}\phi(|\xi|)-x\xi)}\bigg( \frac{1}{(1+\xi^{2})^{\frac{\alpha}{2}}} -\frac{1}{\xi^{\alpha}}\bigg)\mu(\frac{\xi}{N}){\rm d}\xi\bigg|+\bigg|\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}({\rm d}\phi(|\xi|)-x\xi)} \frac{1}{\xi^{\alpha}}\mu(\frac{\xi}{N}){\rm d}\xi\bigg| \\&=:&K_{1}+K{2}.\end{eqnarray}$

利用(4.32)式,我们有

(4.34) $\begin{equation}\label{K1 estimate } |K_{1}|\leq C=C|x|^{\beta}\frac{1}{|x|^{\beta}}\leq CM^{\beta}\frac{1}{|x|^{\beta}}=C\frac{1}{|x|^{\beta}}.\end{equation}$

利用引理4.2,可得

(4.35) $\begin{equation}\label{K2 estimate0 } |K_{2}|\leq C\frac{1}{|x|^{1-\alpha}}.\end{equation}$

由$\frac{1}{2}\leq\alpha <1, $$\frac{1}{2}\leq\beta\leq1, $可得$\beta\geq1-\alpha, $且$\frac{1}{|x|}>\frac{1}{M}, $我们有

(4.36) $\begin{equation}\label{x estimate }|x|^{1-\alpha}=|x|^{\beta}|x|^{1-\alpha-\beta}=|x|^{\beta}\big(\frac{1}{|x|}\big)^{\beta-(1-\alpha)}\geq C|x|^{\beta}.\end{equation}$

于是,利用(4.35)和(4.36)式,我们有

(4.37) $\begin{equation}\label{K2 estimate } |K_{2}|\leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}.\end{equation}$

从而,由估计(4.34)和(4.37)可知估计(4.3)成立.

情形(Ⅱ-c) $\alpha=1.$

从引理4.2的证明过程知,注意到$M\geq2, $我们可以得到

(4.38) $\begin{equation}\label{J estimate equal 1 0 }\mbox{当}\ 0 <|x|\leq\frac{1}{2}\mbox{时, }~~ |J|\leq C \log(\frac{1}{|x|})\end{equation}$

和

(4.39) $\begin{equation}\label{J estimate equal 1 1}\mbox{当}\ \frac{1}{2} <|x| <M\mbox{时, }~~ |J|\leq C.\end{equation}$

利用(4.38)式和$\frac{1}{2}\leq\beta\leq1$,对于$0 <|x|\leq\frac{1}{2}$,我们有

(4.40) $\begin{equation}\label{J estimate equal 1 01 } |J|\leq C \log(\frac{1}{|x|})\leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}.\end{equation}$

利用(4.39)式,对于$\frac{1}{2} <|x| <M$,我们有

(4.41) $\begin{equation}\label{J estimate equal 1 02 } |J|\leq C=C|x|^{\beta}\frac{1}{|x|^{\beta}}\leq CM^{\beta}\frac{1}{|x|^{\beta}}=C\frac{1}{|x|^{\beta}}.\end{equation}$

从而,对于$\alpha=1, $$|x| <M, $利用(4.40)和(4.41)式,可得

(4.42) $ \begin{equation}\label{J estimate equal 1 x small } |J|\leq C\frac{1}{|x|^{\beta}}, \end{equation} $

即估计(4.3)成立.

综合以上估计,我们证明了估计(4.3),从而完成了引理2.1的证明.