考虑如下无约束优化问题

(1.1) $\min f(x), x\in {\Bbb R}^n , $

其中$ f:{\Bbb R}^n \rightarrow {\Bbb R} $是连续可微函数,求解该问题的方法有:最速下降法^[1-2]、共轭梯度法^{[1, 3-9]}、谱共轭梯度法^[10-12]、牛顿法^[13-14]、拟牛顿法^[15-17]等等.文献[3]中, Shi提出了一类新的共轭梯度法求解该无约束优化问题,该方法从初始点$ x_{0}\in {\Bbb R}^n $出发,由如下迭代过程给出近似解的序列$ \{x_{k}\} $

(1.2) $x_{k+1}=x_{k}+\alpha_{k}d_{k}, k=0, 1, 2, \cdots, $

其中$ \alpha_{k} $是某种线搜索确定的搜索步长, $ d_{k} $是下式确定的搜索方向

$d_{k}=\left \{ \begin{array}{rl} -g_{k}, ~~~~~~~~~~~~& k=0; \\ -g_{k}+\beta_{k}d_{k-1},&k \geq 1, \end{array} \right.$

其中$ g_{k}=\nabla f(x_{k}) $, $ \beta_{k} $是共轭参数. Shi在文献[3]中选取$ \beta_{k} $时引入混合因子$ \lambda $,将传统的PRP方法^[18]和LS^[19]方法相结合得到以下共轭参数

$\beta_{k}=\frac{g^{T}_{k}y_{k-1}}{(1-\lambda) \|g_{k-1}\|^{2}-\lambda g^{T}_{k-1}d_{k-1}}, $

其中$ y_{k-1}=g_{k}-g_{k-1} $, $ \lambda \in [0, 1] $.并且提出一种新的非单调线搜索技术.

给定参数$ \mu \in (0, \frac{1}{2}) $, $ \rho \in (0, 1) $, $ c \in (\frac{1}{2}, 1) $.令

(1.3) $s_{k}=\frac{1-c}{L_{k}} \frac{(1-\lambda) \|g_{k}\|^{2}+\lambda g^{T}_{k}d_{k}}{\|d_{k}\|^{2}}, $

在集合$ \{ s_{k}, s_{k} \rho, s_{k} \rho^{2}, \cdots \} $中寻找满足以下两式的最大步长$ \alpha_{k} $,

$\max \limits_{0<j<m(k)} \{f_{k-j}\}-f(x_{k}+\alpha_{k}d_{k}) \geq -\alpha_{k}\mu \Big[g^{T}_{k}d_{k}+\frac{1}{2} \alpha_{k}L_{k}\|d_{k}\|^{2}\Big], $

$g(x_{k}+\alpha_{k}d_{k})^{T}d(x_{k}+\alpha_{k}d_{k}) \leq -c\|g(x_{k}+\alpha_{k}d_{k})\|^{2}, $

其中$ m(k) $是由非单调Armijo线搜索定义的, $ L_{k} $是Lipschitz常数的估计值.

在文献[10]中,胡将谱方法和共轭梯度法相结合,提出了一种新的非单调谱共轭梯度法,其搜索方向为

(1.4) $d_{k}=\left\{\begin{array}{ll} -g_{k}, ~~~~~~~~~~~~~~~ &k=0;\\ -\theta_{k}g_{k}+\beta_{k}d_{k-1},&k\geq1, \end{array} \right.$

其中$ \theta_{k} $是谱系数, $ \beta_{k} $是共轭参数,分别为

(1.5) $\theta_{k}=1+\frac{\beta_{k}d^{T}_{k-1}g_{k}}{\| g_{k}\| ^{2}}, $

(1.6) $\beta_{k}=\frac{g^{T}_{k}y_{k-1}}{(1-\lambda)\| g_{k}\| ^{2}+\lambda d^{T}_{k-1}y_{k-1}}.$

与Shi不同的是,胡^[10]在选取共轭参数时,是将PRP方法和HS方法^[20]相结合得到新的共轭参数$ \beta_{k} $,并且引入谱系数$ \theta_{k} $保证了该搜索方向在任何搜索条件下都是充分下降的,即$ d_{k}^{T} g_{k} = -\| g_{k}\| ^{2} $.与此同时,胡在文献[10]中提出了另一种非单调线搜索技术.

给定参数$ 0<\rho<1 $, $ C_{0}=f(x_{0}) $, $ 0<\delta<\sigma<1 $, $ 0\leq\eta_{\min}\leq\eta_{k}\leq\eta_{\max}\leq1 $, $ Q_{0}=1 $, $ c_{1}\in(0, 1) $.令

(1.7) $s_{k}=\frac{1-c_{1}}{L_{k}} \frac{(1-\lambda)\| g_{k}\| ^{2}+\lambda d^{T}_{k}y_{k}}{\| d_{k}\| ^{2}}, $

在集合$ \{s_{k}, s_{k}\rho, s_{k}\rho ^{2}, \cdots\} $中寻找满足以下两式的最大步长$ \alpha_{k} $,

(1.8) $f(x_{k}+\alpha_{k}d_{k})\leq C_{k}+\delta \alpha_{k} g^{T}_{k} d_{k}, $

(1.9) $g(x_{k}+\alpha_{k}d_{k})^{T}d_{k}\geq \sigma g^{T}_{k} d_{k}, $

其中$ C_{k+1}=(\eta_{k} Q_{k} C_{k} +f(x_{k+1}))/Q_{k+1} $, $ Q_{k+1}=\eta_{k}Q_{k}+1 $, $ L_{k} $是Lipschitz常数$ L $的估计值,并且取

(1.10) $L_{k}=\max\bigg\{L_{k-1}, \frac{ | \gamma^{T}_{k-1}y_{k-1} |}{\| \gamma_{k-1}\| ^{2}}\bigg\}, $

其中$ \gamma_{k-1}=x_{k}-x_{k-1} $, $ \eta_{k} \in [ \eta_{\min}, \eta_{\max} ] $.

众所周知,线搜索技术需要选取合适的初始步长.初始步长的选取如果太大,则需要调用几个评估函数,如果太小,相应的算法效率就会降低,类似于文献[3]中近似的Lipschitz常数的修正这一思想,胡^[10]中提出了一种新的非单调线搜索技术,并且在引理3.2中,证明了$ L_{k} $是有界的,所以使用该线搜索技术很容易得到合适的初始步长.胡在文献[10]中确定迭代步长$ \alpha_{k} $时, $ s_{k} $的表达式是类似于Shi^[3]选取的.对比(1.3)式与(1.7)式,不难发现,胡将(1.3)式分子中$ d_{k} $修正为$ y_{k} $,由于$ y_{k}=g_{k+1}-g_{k} $,即在确定第$ k $步迭代步长时,需要知道第$ k+1 $步的梯度,然而第$ k+1 $步的梯度在第$ k $步是不可知的,所以$ s_{k} $的选取不合理,胡^[10]所提出的新的非单调线搜索技术并不能得到合理的迭代步长.基于以上问题,本文就参数$ s_{k} $给出修正,提出如下两种修正的非单调谱共轭梯度法,给出算法1、算法2及其收敛性证明,最后将这两种算法应用于非负矩阵分解中,并进行数值实验.

根据以上分析,我们首先给出$ s_{k} $的第一种修正,将(1.7)式中的第$ k $步的梯度$ g_{k} $、下降方向$ d_{k} $以及$ y_{k} $改为第$ k-1 $步时对应的参数,这样在确定搜索步长时,保证了所有参数都是可知的,令

(2.1) $s^{\prime}_{k}=\frac{1-c_{1}}{L_{k}}\frac{(1-\lambda)\| g_{k-1}\| ^{2}+\lambda d^{T}_{k-1}y_{k-1}}{\| d_{k-1}\| ^{2}}, $

其中$ L_{k} $由(1.10)式确定.

在本文引理3.1中证明了$ s^{\prime}_{k} $是大于零的.为了防止迭代步长大于1,取$ s_{k} $为

(2.2) $s_{k}=\min\{s^{\prime}_{k}, 1\}, $

在集合$ \{s_{k}, s_{k}\rho, s_{k}\rho ^{2}, \cdots \} $中寻找满足(1.8)式和(1.9)式的最大步长$ \alpha_{k} $为迭代步长.在此基础上,为了保证算法的收敛性,本文采用了重启技术,当迭代步数是$ k_{0} $（$k_{0}$为正整数）的倍数时,我们的算法将重新开始,即在搜索过程中每个第$ k_{0} $步时,重新确定搜索方向为$ -g_{k} $,这样保证了引理3.1是成立的.根据以上搜索步长和搜索方向的确定方法,提出如下非单调谱共轭梯度法算法.

算法1 (非单调谱共轭梯度法算法A)

步0  给定参数$ 0\leq \eta_{\min} \leq \eta_{k} \leq \eta_{\max} \leq 1 $, $ 0<\rho<1 $, $ c_{1}\in (0, 1) $, $ 0<\delta<\sigma<1 $, $ k_{0} \in N_{+}$,选择初始点$ x_{0} \in {\Bbb R}^n $,置$ k:=0 $.

步1  如果$ \| g_{k}\| \leq\varepsilon $,则算法终止.否则转步2.

步2  由

(2.3) $d_{k}=\left\{\begin{array}{rl} -g_{k}, ~~~~~~~~~~~~~~ &k=0 ;\\ -g_{k}, ~~~~~~~~~~~~~~ &k\geq 1, \mod(k, k_{0})=0 ;\\ -\theta_{k}g_{k}+\beta_{k}d_{k-1},&k \geq 1, \mod(k, k_{0})\neq0 , \end{array} \right.$

(1.5)和(1.6)式计算$ d_{k} $.

步3  在(2.2)式$ s_{k} $的选取下,由(1.8)和(1.9)式确定$ \alpha_{k} $.

步4  令$ x_{k+1}=x_{k}+\alpha_{k}d_{k} $,置$ k:=k+1 $,返回步1.

除了上述$ s_{k} $的选取方法,我们给出第二种修正,取

(2.4) $s_{k}=\frac{\| g_{k}\| ^{2}}{\| d_{k}\| ^{2}}, $

同样在集合$ \{s_{k}, s_{k}\rho, s_{k}\rho^{2}, \cdots \} $中寻找满足(1.8)式和(1.9)式的最大步长$ \alpha_{k} $,搜索方向$ d_{k} $用(1.4)式确定.依据以上搜索步长和搜索方向的确定方法,我们提出如下非单调谱共轭梯度法算法.

算法2 (非单调谱共轭梯度法算法B)

步0  给定参数$ 0\leq \eta_{\min} \leq \eta_{k} \leq \eta_{\max} \leq 1$, $ \rho\in(0, 1) $, $ \delta \in (0, 1) $,选择初始点$ x_{0} \in {\Bbb R}^n $,置$ k:=0 $.

步1  如果$ \| g_{k}\| \leq\varepsilon $,则算法终止.否则转步2.

步2  由(1.4), (1.5)和(1.6)式计算$ d_{k} $.

步3  在(2.4)式$ s_{k} $的选取下,由(1.8)和(1.9)式确定$ \alpha_{k} $.

步4  令$ x_{k+1}=x_{k}+\alpha_{k}d_{k} $,置$ k:=k+1 $,返回步1.

注2.1  控制非单调性程度的参数$ \eta_{k} $是区间$[0, 1]$内的固定值,文献[21]给出了$ \eta_{k} $的具体选取规则

$\eta_{k}=\left\{\begin{array}{ll} \|g_{k+1}\| / (2\|g_{k}\|), ~~~~~~~ &(y_{k}^{T}\gamma_{k}) / \|g_{k}\|^{2} \leq \epsilon \|g_{k}\|^{\nu}; \\ \|g_{k+1}\| / (\|y_{k}\|+\|g_{k}\|), &(y_{k}^{T}\gamma_{k}) / \|g_{k}\|^{2} > \epsilon \|g_{k}\|^{\nu}, \end{array} \right.$

其中$ \epsilon > 0 $, $ \nu > 0 $为常数,并且在其性质2.1^[21]中证明了$ \eta_{k} \in [0, 1] $.文献[22]给出了$ \eta_{k} $的另一种选取规则,如下

$\eta_{k}=\left\{\begin{array}{ll} \eta_{0}/2, ~~~~~~~~~~~~ &k=1;\\ (\eta_{k-1}+\eta_{k-2})/2, &k \geq 2, \end{array} \right.$

其中$ \eta_{0}\in[0, 1] $为常数.上述两个算法在实际执行过程中,可以令$ \eta_{k} $为一常数,也可以采用文献[21-22]中提出的选取方法.

本节中我们研究上述两个算法的全局收敛性,首先给出如下假设.

假设1  水平集$ \Omega=\{x\in {\Bbb R}^n |f(x) \leq f(x_{0})\} $有界.

假设2  在$ \Omega $的某个领域N内, $ f $连续可微且它的梯度Lipschitz连续,即存在常量$ L>0 $,使得

(3.1) $\| g(x)-g(y)\| \leq L\| x-y\| , \forall x, y \in N.$

接下来类似于文献[10]的引理3.5,我们给出如下引理.

引理3.1^[10]  假设$ d_{k} $由(1.4)-(1.6)式或(2.3), (1.5), (1.6)式确定.则对任何$ k\geq 0 $成立

$g_{k}^{T}d_{k} = -\|g_{k}\|^{2}.$

引理3.2  设$ \{x_{k}\} $是由算法$1$产生的迭代点列,当假设$1$和假设$2$成立时,必有

(3.2) $\| d_{k}\| \leq c_{2} \| g_{k}\| , \forall k$

成立.其中$ c_{2} = \max \{ 1+c_{3}, 1+c_{3}(1+c_{3})^{2}, 1+c_{3}(1+c_{3}(1+c_{3})^{2})^{2}, \cdots, 1+c_{3}(1+c_{3}(1+c_{3}(1+\cdots)^{2})^{2})^{2} \} $, $ c_{3}=\frac{2L}{1-\lambda \sigma } $.

证  根据$ d^{T}_{k} g_{k} = -\| g_{k} \|^{2} $,有

$\begin{eqnarray*}(1-\lambda)\|g_{k-1} \|^{2}+\lambda d^{T}_{k-1} y_{k-1}& =&\|g_{k-1}\|^{2}-\lambda \|g_{k-1}\|^{2}+\lambda d^{T}_{k-1}(g_{k}-g_{k-1})\\& =&\|g_{k-1}\|^{2}-\lambda \|g_{k-1}\|^{2}+\lambda d^{T}_{k-1}g_{k}+\lambda \|g_{k-1}\|^{2}\\& =&\|g_{k-1}\|^{2}+\lambda d^{T}_{k-1} g_{k}\\&\geq& \|g_{k-1}\|^{2}-\lambda \sigma \|g_{k-1}\|^{2}\\& =&(1-\lambda \sigma ) \|g_{k-1}\|^{2} >0.\end{eqnarray*}$

即证明了(2.1)式中$ s'_{k} $是大于零的,那么$ s_{k}\in (0, 1] $.在算法1中,我们采用了$ k_{0} $步重开始技术（$ k_{0} $为正整数）.

当$ k=0 $或者$ k\geq 1$且$\mod(k, k_{0})=0 $时,有$\| d_{k}\| =\| g_{k}\| \leq c_{2}\| g_{k}\| $成立.

当$ k\geq 1 $且$ \mod{(k, k_{0})} \neq 0 $时,由非单调线搜索技术可知$ \alpha_{k-1}\leq s_{k-1} $,有

$\begin{eqnarray*}\| d_{k}\| &=&\|-\theta_{k} g_{k} +\beta_{k} d_{k-1}\| \\ &=&\Big\|-g_{k}-\frac{\beta_{k}d^{T}_{k-1}g_{k}}{\|g_{k}\|^2}g_{k} +\beta_{k}d_{k-1}\Big\| \\ &\leq& \|g_{k}\|+\frac{|\beta_{k}d^{T}_{k-1}g_{k} | \, \|g_{k}\|}{\|g_{k}\|^{2}}+|\beta_{k}|\, \|d_{k-1}\| \\ &\leq &\|g_{k}\|+2|\beta_{k}|\, \|d_{k-1}\| \\ &= &\|g_{k}\|+\frac{2|g^{T}_{k}y_{k-1}|}{(1-\lambda)\|g_{k-1}\|^{2}+\lambda d^{T}_{k-1}y_{k-1}} \|d_{k-1}\| \\ &\leq& \|g_{k}\|+\frac{2\|g_{k}\| \|y_{k-1}\| \|d_{k-1}\|}{(1-\lambda)\|g_{k-1}\|^{2}+\lambda d^{T}_{k-1}y_{k-1}}\\ &\leq &\|g_{k}\|+\frac{ 2L\alpha_{k-1}\|g_{k}\|\|d_{k-1}\|^{2} }{(1-\lambda) \|g_{k-1}\|^{2}+\lambda d^{T}_{k-1}y_{k-1} }\\ &\leq &\|g_{k}\|\Big[1+\frac{2L\|d_{k-1}\|^{2}}{(1-\lambda \sigma )\|g_{k-1}\|^{2}}\Big]\\ &= &\|g_{k}\|\Big(1+c_{3} \frac{\|d_{k-1}\|^{2}}{\|g_{k-1}\|^{2}}\Big), \end{eqnarray*}$

其中$ c_{3}=\frac{2L}{1-\lambda \sigma} $,不难得出$ c_{3}>0 $.

令$ \mod(k, k_{0})=k_{1} $,

当$ k_{1}=1 $时,有$ \| d_{k}\| \leq \| g_{k}\| (1+c_{3})$, $ c_{3} $的最高次为1;

当$ k_{1}=2 $时,有$ \| d_{k}\| \leq \| g_{k}\| (1+c_{3}(1+c_{3})^{2}) $, $ c_{3} $的最高次为3;

当$ k_{1}=3 $时,有$ \| d_{k}\| \leq \| g_{k}\| (1+c_{3}(1+c_{3}(1+c_{3})^{2})^{2}) $, $ c_{3} $的最高次为7, $\cdots$;

当$ k_{1}=k_{0}-1 $时,有$ \| d_{k}\| \leq \| g_{k}\| (1+c_{3}(1+c_{3}(1+c_{3}(1+\cdots)^{2})^{2})^{2}) $, $ c_{3} $的最高次为$ 2^{k_{0}-1}-1 $.

上述不等式中$ c_{3} $的最高次和$ k_{0} $有关,令$ c_{2}=\max\{1+c_{3}, 1+c_{3}(1+c_{3})^{2}, 1+c_{3}(1+c_{3}(1+c_{3})^{2})^{2}, \cdots, 1+c_{3}(1+c_{3}(1+c_{3}(1+\cdots)^{2})^{2})^{2})\}$, $ k_{0} $取某一正整数时, $ c_{2} $的取值是存在的.则有$ \| d_{k}\| \leq c_{2}\| g_{k}\| $成立.

引理3.3  设$ \{x_{k}\} $是由算法$2$产生的迭代点列,当假设$1$和假设$2$成立时,必有

(3.3) $\| d_{k}\| \leq c_{4} \| g_{k}\| , \forall k$

成立,其中$ c_{4}=1+c_{3} $, $ c_{3}=\frac{2L}{1-\lambda \sigma } $.

证  当$ k=0 $时,有$ \| d_{k}\| =\| g_{k}\| \leq c_{4} \| g_{k}\| $成立.当$ k\geq 1 $时,由非单调线搜索技术可知$ \alpha_{k-1}\leq s_{k-1} $,并且$ d^{T}_{k}g_{k}=-\| g_{k}\| ^{2} $,有

$\begin{eqnarray*}\| d_{k}\| &\leq& \| g_{k}\| +2|\beta_{k}| \| d_{k-1}\| \\ &\leq &\| g_{k}\|\Big [1+\frac{2L \alpha_{k-1}\| d_{k-1}\| ^{2}}{(1-\lambda \sigma)\| g_{k-1}\| ^{2}}\Big] \\ &\leq &\| g_{k}\| \Big(1+\frac{2L}{1-\lambda \sigma}\Big) =\|g_{k}\|(1+c_{3}), \end{eqnarray*}$

其中$ c_{4}=1+c_{3} $, $ c_{3}=\frac{2L}{1-\lambda \sigma } $,则$ \| d_{k}\| \leq c_{4}\| g_{k}\| $成立.

其余全局收敛性的证明与文献[10]类似.

引理3.4^[10]  设$ \{x_{k}\} $是由算法$1$和算法$2$产生的迭代点列.则

(1) $f_{k} \leq C_{k}, $

(2) $Q_{k+1} \leq k+2 , ~\forall k. $

引理3.5^[10]  设$ \{x_{k}\} $是由算法$1$和算法$2$产生的迭代点列.如果假设$ 1 $和假设$ 2 $成立,则有$ \alpha_{k} \geq 0. $

引理3.6^[10]  设$ \{x_{k}\} $是由算法$1$和算法$2$产生的迭代点列.如果假设$ 1 $和假设$ 2 $成立,则对任意的$ k $,如下不等式$ f_{k+1} \leq C_{k} - t \|g_{k}\|^{2} $成立,其中$ t = \frac{ (1-\sigma)\delta }{Lc_{2}^{2}} $或$ t = \frac{ (1-\sigma)\delta }{Lc_{4}^{2}} $为常数.

定理3.1^[10]  设$ \{x_{k}\} $是由算法$1$和算法$2$产生的迭代点列.如果假设$ 1 $和假设$ 2 $成立,则$ \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \inf \|g_{k}\| = 0, $更进一步,如果$ \eta_{\max} < 1 $,则$ \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \|g_{k}\| = 0. $

我们将以上两个算法运用到非负矩阵分解(NMF)^[23-24]中.首先介绍一下NMF问题：一个非负矩阵$ V $可以分解为两个维数较低的非负矩阵$ W $和$ H $,即

(4.1) $V \approx WH, $

其中$ V\in {\Bbb R}^{m \times n}$, $ W\in {\Bbb R}^{m\times r} $是基矩阵, $ H\in {\Bbb R}^{r\times n} $是权重矩阵.我们可以将NMF问题转化为以下欧几里得距离模型^[23]

(4.2) $\min \limits_{W, H}~~F(W, H)=\frac{1}{2}\| V-WH\| ^{2}_{F}, ~~{\rm s.t.}~~W, H\geq 0, $

其中$ \| \cdot \| _{F} $是对应矩阵的Frobenius范数,容易看出目标函数$ F(W, H) $是非凸的.通常我们采用交替非负最小二乘法(ANLS)^[25]解决该问题,目标函数$ F(W, H) $分别关于$ W $和$ H $求最小值,每次迭代过程中,固定其中一个变量,对另一个变量求最小值^[26],表示如下

(4.3) $H^{k+1}=\arg \min \frac{1}{2} \| V-W^{k}H\| ^{2}_{F}, ~~{\rm s.t.}~~H \geq 0, $

其中矩阵W固定;

(4.4) $W^{k+1}=\arg \min \frac{1}{2} \| V-WH^{k+1}\| ^{2}_{F}, ~~{\rm s.t.}~~W \geq 0, $

其中矩阵H固定.

一般我们采用投影法来保证矩阵的非负性,根据KKT条件, $ (W, H) $是问题(4.2)的稳定点当且仅当$ (W, H) $满足

(4.5) $W \geq 0, ~~~~ H \geq 0, $

(4.6) $\bigtriangledown_{W} F(W, H) > 0, ~~~~\bigtriangledown_{H} F(W, H) > 0, $

(4.7) $W \cdot \bigtriangledown_{W} F(W, H) = 0, ~~~~ H \cdot \bigtriangledown_{H} F(W, H) = 0, $

这里"$ \cdot $"表示点乘,显然互补系统(4.5)(4.6)和(4.7)等价于下面的形式

$W-[W-\bigtriangledown_{W} F(W, H)]_{+}=0, $

$ H-[H-\bigtriangledown_{H} F(W, H)]_{+}=0, $

其中$ [x]_{+}=\max\{ x, 0 \} $是一个正交投影算子.

本部分我们研究所提出算法的数值效果.本文中所有算法都是在配置为Windows 8.1操作系统的个人计算机上进行的, CPU频率为1.9GHz,内存为1GB,运行环境为MATLAB7.10.我们将Shi^[3]的算法记为ncg,参数取值如下

$\mu=0.25, \rho=0.75, \lambda=0.25, c=0.75, m(k)=6. $

本文算法1和算法2的参数取值如下

$\delta=0.25, \sigma=0.75, \rho=0.75, \eta=0.85, \lambda=0.65, c_{1}=0.5, k_{0}=10.$

我们将本文给出的两个算法与Shi^[3]的算法分别运用于非负矩阵分解问题,并作对比.使用随机的初始点,分别测试它们的函数值(fun)、最优解(opt)、CPU时间(time),实验数据如表 5.1所示.

从表中可以看出,本文提出的两种算法迭代次数少,分解误差小,时间消耗少,具有良好的计算性能.

本文提出一类修正的非单调谱共轭梯度方法,并将其运用在非负矩阵分解中.一方面,我们说明了胡^[10]在选取参数时的错误原因,并且做出修正,在满足基本假设的条件下,证明了该方法的全局收敛性.另一方面,我们选取新的参数,并且给出一类新的非单调谱共轭梯度法,同样在满足基本假设的条件下,证明了该方法的全局收敛性.最后将两种算法应用在非负矩阵分解中,与文献[3]作对比,数值实验表明算法的效果是值得肯定的.