在文献[1]中, Li和Xie引进了一类具有非局部源的$p$-Laplace方程

(1.1) $u_{t}-\textrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x, \qquad (x, t)\in \Omega \times (0, t^{*}), $

(1.2) $u(x, 0)=u_{0}(x)\geq0, \qquad x\in\Omega.$

方程(1.1)满足Dirichlet边界条件

(1.3) $u(x, t)=0, \qquad (x, t)\in \partial\Omega\times(0, t^{*}), $

或Robin边界条件

(1.4) $\frac{\partial u}{\partial \nu}+ku=0, \qquad (x, t)\in \partial\Omega\times(0, t^{*}), $

这里$\Omega\subseteq{\Bbb R}^{3}$是一个有光滑边界$\partial\Omega$的有界区域, $p>2$, $q\geq1$,初值$u_{0}(x)$在边界$\partial\Omega$上满足相容性条件, $\nabla$是梯度算子, $t^{*}$是可能发生爆破的时间, $k$是一个正值常数, $\frac{\partial u}{\partial\nu}$是$u$在$\partial\Omega$上的外法向导数.

在文献[1]中,他们借助于上下解的方法来得到问题(1.1)-(1.3)局部解的存在唯一性.进一步,他们证明了当初值$u_{0}(x)\geq 0$时,则在区域$\Omega\times(0, t^{*})$上解$u(x, t)$几乎处处大于零,并且当$q>p-1$且初值充分大时,解会在有限时刻发生爆破.对于问题(1.1)-(1.2), (1.4),我们也可以利用不动点定理来证明方程解的存在唯一性.本文中,我们主要考虑方程解的爆破时间下界估计,所以我们将此过程略去.对此感兴趣的读者,可以阅读文献[2], Niculescu和Roventa在Neumann-Robin边界条件下得到一类非局部$p$-Laplace方程的有限时刻的爆破解.近几十年,已有很多学者致力于研究具有局部或非局部源的非线性退化方程,参见文献[3-8].

方程(1.1)是一类退化抛物型方程,在描述非牛顿流体在多孔介质中的流动、具有人为控制分布的生物种群传播以及燃烧物质温度扩散等实际中均有应用$^{[6]}$.在实践中,由于解的爆破时间的下界可以给出一个安全的可操控的时间,所以对于解的爆破时间的下界估计同样具有十分重要的意义.实际上,国内外很多学者采用不同的方法来研究抛物型方程或方程组解的整体存在唯一性、解的渐近行为以及解的爆破性质,例如爆破速率、爆破点集和爆破时间的上界估计等(参见文献[9-12]).然而,对于方程解的爆破时间下界估计一般比较难得到.

近期,关于爆破解的爆破时间下界估计的研究方面有了一些进展, Payne和Schaefer在文献[13]中通过构造合适的辅助函数,利用微分不等式技巧在三维空间中Dirichlet边界条件下得到一类热方程初边值问题解的爆破时间下界估计.随后,他们应用同样的技巧得到了热方程分别在齐次Neumann边界条件和Robin边界条件下的解的爆破时间下界估计^[14-15].接下来很多学者将上述论文中的Laplace算子推广到一般的椭圆算子(参见文献[16-23]).进一步,这种微分不等式的技巧也可以推出方程解不会发生爆破的充分条件^[16-18],并被运用在很多具体的模型^[24-25].

下面我们简要回顾与本文研究内容相关的已有工作.在文献[17]中, Payne, Philippin和Schaefer考虑了三维空间中有界区域上的带有齐次Dirichlet边界和非负初值的一类非线性退化抛物方程

(1.5) $u_{t}-\textrm{div}\left(\rho(|\nabla u|^{2})\nabla u\right)=f(u), \qquad (x, t)\in\Omega\times(0, t^{*}), $

为了得到解爆破时间的下界估计,作者假设$\rho$是$C^{1}$函数并且满足:对任意$s>0$,有$\rho(s)+2s\rho'(s)>0$,且$\rho(s)\geq b_{1}+b_{2}s^{q}$成立.进一步,要求非线性项$f$满足:对任意$s>0$, $0<f(s)\leq a_{1}+a_{2}s^{p}$,这里$p>1$, $0<2q<p-1$, $a_{1}$, $a_{2}$, $b_{1}$, $b_{2}$均是正值常数.另外,作者利用微分不等式技巧给出了方程(1.5)的解不会发生爆破的情形.在文献[18]中, Li等人在Payne等人工作的基础上考虑将方程(1.5)在齐次Robin边界和非负初值条件下的情形进行讨论,同样利用微分不等式技巧得到了方程解爆破时间的下界估计.在本文中,方程(1.1)中的非线性项$\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x$比较特殊,并不满足上述一般假设条件,所以需要我们仔细去计算.

后来, Payne和Song在文献[26]中讨论了三维空间中有界光滑区域$\Omega$上的非线性抛物方程

$u_{t}-\Delta u=u^{p}-|\nabla u|^{q},\qquad (x,t)\in\Omega\times(0,t^{*}).$

他们证明当$p>\max{\{1, q\}}$时,方程的解在有限时刻会在$L^{n(p-1)}$-范数$(n\geq2)$下发生爆破.当爆破发生时,作者给出了爆破时间的下界估计.

在文献[27]中, Song研究解决了具有如下形式的带有非局部反应项的非线性反应-扩散方程

$u_{t}-\Delta u=\int_{\Omega}u^{p}\, {\rm d}x-ku^{q}, \qquad (x, t)\in\Omega\times(0, t^{*}).$

他证明当$p>\max{\{1, q\}}$时,方程的解会在有限时刻发生爆破,同时得到了解的爆破时间的下界估计.

最近, Liu, Mu和Xin在文献[28]中和Liu在文献[29]中研究了如下非线性多孔介质方程

$u_{t}-\Delta u^{m}=u^{p}\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x, \qquad (x, t)\in\Omega\times(0, t^{*}).$

当$p>q>m$时,他们分别在不同边界条件下得到方程解的爆破时间下界估计.

受国内外学者在非线性抛物型方程的爆破问题上的研究成果启发,在本文中我们同样运用微分不等式技巧来得到方程(1.1)分别在Dirichlet边界条件和Robin边界条件下解的爆破时间下界估计,并且我们得到当$q<p-1$时,方程解在$L^2$-范数下不会发生爆破.

定理2.1  假设$p>2$, $q\geq1$满足条件$q>p-1$.若$u(x, t)$是问题(1.1)-(1.3)的非负古典解并且在有限时刻$t=t^{*}$在$\varphi$的度量下发生爆破,那么$t^{*}$有一个下界估计

$t^{*}\geq \frac{1}{(2\alpha-1)K}[\varphi(0)]^{1-2\alpha}, $

这里度量$\varphi$定义为

$\varphi(t)=\int_{\Omega}u^{\sigma}\, {\rm d}x, \quad\varphi(0)=\int_{\Omega}u_{0}^{\sigma}\, {\rm d}x, \quad \sigma=(n-1)p+2, $

其中$n$是一个满足$ n> \frac {3q+p-1}{p}$的参数,且$\alpha=\frac {np+3q+3-p}{2\sigma}$,

$K=\frac {K_{1}\sigma|\Omega|^{\frac {1}{3}(5-2\alpha)}}{3\theta^{2}}, \quad K_{1}=\frac {pC}{2}\left(\frac {p}{2\sqrt{\lambda_{1}}}\right)^{\frac{2p-3}{3}}, \quad\theta =\frac {3\sigma}{2K_{1}n^{p}|\Omega|^{\frac {1}{3}(5-2\alpha)}}, $

$C=4^{\frac {1}{3}}3^{-\frac {1}{2} }\pi^{-\frac {2}{3}}$均为可计算的正值常数, $|\Omega|$表示区域$\Omega$的测度.

证  首先,我们构造辅助函数

(2.1) $ \varphi(t)=\int_{\Omega}u^{\sigma}\, {\rm d}x, $

其中$\sigma=(n-1)p+2$且$n> \frac {3q+p-1}{p}$.

对$\varphi(t)$关于时间$t$求导并运用散度定理,得到

(2.2) $\begin{eqnarray}\varphi'(t)\nonumber&=&\sigma\int_{\Omega}u^{(n-1)p+1}\, u_{t}\, {\rm d}x\\\nonumber&=&\sigma\int_{\Omega}u^{(n-1)p+1}\left(\textrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x\right)\, {\rm d}x\\&=&-\sigma(\sigma-1)\int_{\Omega}u^{(n-1)p}\, |\nabla u|^{p}\, {\rm d}x+\sigma\int_{\Omega}u^{(n-1)p+1}\, {\rm d}x\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x. \label{22}\end{eqnarray}$

对(2.2)式中第二项应用Hölder不等式,有

(2.3) $\varphi'(t)\leq-\sigma(\sigma-1)\int_{\Omega}u^{(n-1)p}\, |\nabla u|^{p}\, {\rm d}x+\sigma |\Omega|\int_{\Omega}u^{(n-1)p+q+1}\, {\rm d}x, $

由于$ |\nabla u^{n}|^{p}=n^{p}u^{(n-1)p}|\nabla u|^{p}$,我们将$(2.3)$式改写为

$\varphi'(t)\leq-\frac {\sigma(\sigma-1)}{n^{p}}\int_{\Omega}|\nabla u^{n}|^{p}\, {\rm d}x+\sigma\, |\Omega|\int_{\Omega}u^{(n-1)p+q+1}\, {\rm d}x.$

为了在叙述上更为方便,我们令

$u^{n}=v, \quad\gamma=q+1-p, $

从而,得到

(2.4) $\varphi'(t)\leq-\frac {\sigma(\sigma-1)}{n^{p}}\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x+\sigma\, |\Omega|\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x.$

接下来我们要对(2.4)式中第二项进行估计,应用Hölder不等式,有

(2.5) $\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x=\int_{\Omega}v^{\frac{2}{3}p}v^{\frac{p}{3}+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\leq \bigg(\int_{\Omega}v^{2p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{3}}\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{p}{2}+\frac{3\gamma}{2n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}$

和

(2.6) $\int_{\Omega}v^{2p}\, {\rm d}x=\int_{\Omega}v^{\frac{p}{2}}v^{\frac{3}{2}p}\, {\rm d}x\leq \bigg(\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega}v^{3p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}.$

进一步,应用Sobolev嵌入不等式$H_{0}^{1}(\Omega)\hookrightarrow L^{6}(\Omega)$,我们得到

(2.7) $\bigg(\int_{\Omega}v^{3p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{6}}=\bigg(\int_{\Omega}(v^{\frac{p}{2}})^{6}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{6}}\leq C\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}, $

这里$C=4^{\frac {1}{3}}3^{-\frac {1}{2} }\pi^{-\frac {2}{3}}$为最优嵌入常数(参见文献[30]).

因此,将(2.6)式和(2.7)式合并在(2.5)式中得到

(2.8) $\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\leq C\bigg(\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{6}}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{p}{2}+\frac{3\gamma}{2n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}.$

由于$|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}=\frac{p^{2}}{4}v^{p-2}|\nabla v|^{2}$,再次应用Hölder不等式,有

(2.9) $\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x=\frac{p^{2}}{4}\int_{\Omega}v^{p-2}|\nabla v|^{2}\, {\rm d}x\leq\frac{p^{2}}{4} \bigg(\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p-2}{p}}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{p}}.$

应用Poincaré不等式,得到

(2.10) $\lambda_{1}\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x \leq\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x, $

其中$\lambda_{1}$是$-\triangle$在$\Omega$上带有齐次Dirichlet边界条件的第一正特征值. Daners在文献[31]中给出$\lambda_{1}$的一个下界估计.

联立(2.9)式和(2.10)式,有

(2.11) $\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x\leq\left(\frac{p}{2\sqrt{\lambda_{1}}}\right)^{p}\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x.$

将(2.9)式和$(2.11)$式代入到$(2.8)$式中,得到

$\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\leq K_{1}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{p}{2}+\frac{3\gamma}{2n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}, $

其中$K_{1} = \frac{pC}{2}\left(\frac{p}{2\sqrt{\lambda_{1}}}\right)^{\frac{2p-3}{3}}$.

由假设条件$n> \frac {3q+p-1}{p}$,应用Hölder不等式可得

$\int_{\Omega}v^{\frac{p}{2}+\frac{3\gamma}{2n}}\, {\rm d}x=\int_{\Omega}u^{\frac{np+3q+3-p}{2}}\, {\rm d}x\leq |\Omega|^{1-\alpha}\bigg(\int_{\Omega}u^{\sigma}\, {\rm d}x\bigg)^{\alpha}, $

这里$\alpha=\frac {np+3q+3-p}{2\sigma}$.

从而可以得到

$\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\leq K_{1}|\Omega|^{\frac{2}{3}(1-\alpha)}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}[\varphi(t)]^{\frac{2}{3}\alpha}.$

现在我们应用Young不等式有

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\nonumber&\leq& K_{1}|\Omega|^{\frac{2}{3}(1-\alpha)}\big[\theta^{-2}\varphi(t)^{2\alpha}\big]^{\frac{1}{3}}\bigg(\theta\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}\\&\leq &K_{1}|\Omega|^{\frac{2}{3}(1-\alpha)}\left(\frac{1}{3\theta^{2}}[\varphi(t)]^{2\alpha}+\frac{2}{3}\theta\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x\right), \label{216} \end{eqnarray*}$

其中$\theta$是待定的参数.

将上式代入到(2.4)式中可以导出

$\varphi'(t)\leq\left[-\frac{\sigma(\sigma-1)}{n^{p}}+\frac{2\theta K_{1}\sigma|\Omega|^{\frac{1}{3}(5-2\alpha)}}{3} \right]\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x+\frac{K_{1}\sigma|\Omega|^{\frac{1}{3}(5-2\alpha)}}{3\theta^{2}}[\varphi(t)]^{2\alpha}.$

我们接下来选取$\theta$使得积分项$\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x$前面的系数为$0$,即

$-\frac{\sigma(\sigma-1)}{n^{p}}+\frac{2\theta K_{1}\sigma|\Omega|^{\frac{1}{3}(5-2\alpha)}}{3}=0, $

得$\theta=\frac {3(\sigma-1)}{2n^{p}K_{1}|\Omega|^{\frac{1}{3}(5-2\alpha)}}$.

综合上述,我们可以整理得到如下关于$\varphi(t)$的微分不等式

(2.12) $\varphi'(t) \leq K[\varphi(t)]^{2\alpha}, $

其中$K=\frac {K_{1}\sigma|\Omega|^{\frac{1}{3}(5-2\alpha)}}{3\theta^{2}}$.

对不等式(2.12)式从$0$到$t$进行积分,有

$\frac{1}{1-2\alpha}\Big[\varphi(t)^{1-2\alpha}-\varphi(0)^{1-2\alpha}\Big] \leq Kt.$

这样若$u$在$\varphi$的度量下在有限时刻$t^{*}$发生爆破,即$\lim\limits_{t\rightarrow t^{*}} \varphi(t)=+\infty$.我们得到一个关于爆破时刻$t^{*}$的下界估计

$t^{*}\geq \frac{1}{(2\alpha-1)K}[\varphi(0)]^{1-2\alpha}, $

其中$\varphi(0)=\int_{\Omega}u_{0}^{\sigma}\, {\rm d}x$.

定理证毕.

在这一节中,我们将对区域$\Omega$的几何形状加以限制.假定区域$\Omega$是${\Bbb R}^{3}$中的有界星形区域并且在两个正交方向上是凸的.进一步,若对于问题(1.1)-(1.2), (1.4)存在有限时刻$t=t^{*}$发生爆破的解$u(x, t)$,我们将在合适的度量下给出爆破时间$t^{*}$的一个下界估计.

首先,我们构造和上一节类似的辅助函数

(3.1) $\varphi(t)=\int_{\Omega}u^{\sigma}\, {\rm d}x, $

这里$\sigma=(n-1)p+2$并且要求$n>\max\Big\{\frac{4q-p-2}{2p}, 2\Big\}$.

首先,我们通过计算得到

(3.2) $\begin{eqnarray} \varphi'(t)\nonumber&=&-\sigma(\sigma-1)\int_{\Omega}u^{(n-1)p}|\nabla u|^{p}\, {\rm d}x+\sigma\int_{\partial\Omega}u^{\sigma-1}|\nabla u|^{p-2}\frac {\partial u}{\partial \nu}\, {\rm d}x\\ \nonumber &&+\sigma\int_{\Omega}u^{(n-1)p+1}{\rm d}x\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x\\ \nonumber&\leq& -\sigma(\sigma-1)\int_{\Omega}u^{(n-1)p}|\nabla u|^{p}\, {\rm d}x+\sigma |\Omega|\int_{\Omega}u^{(n-1)p+q+1}\, {\rm d}x\\& =&-\frac {\sigma(\sigma-1)}{n^{p}}\int_{\Omega}|\nabla u^{n}|^{p}\, {\rm d}x+\sigma |\Omega|\int_{\Omega}u^{(n-1)p+q+1}\, {\rm d}x.\label{32}\end{eqnarray}$

为方便起见,我们令

$u^{n}=v, \, \quad \gamma=q+1-p, $

从而有

(3.3) $\varphi'(t)\leq-\frac {\sigma(\sigma-1)}{n^{p}}\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x+\sigma\, |\Omega|\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x.$

接下来我们开始考虑(3.3)式中不等式符号右端第一项.由于$|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}=\frac{p^{2}}{4}v^{p-2}|\nabla v|^{2}$,并运用Hölder不等式,有

(3.4) $\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\leq\frac{p^{2}}{4} \bigg(\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p-2}{p}} \bigg(\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{p}}.$

令$\mu_{1}$是如下弹性薄膜问题的第一正特征值

$\Delta\omega+\mu\omega=0, \quad\omega>0, \quad x\in\Omega, \qquad \frac{\partial\omega}{\partial\nu}+k\omega=0, \quad x\in\partial\Omega.$

由文献[31]知, $\mu_{1}$存在一个下界估计.

借助于一般的Poincaré不等式,有

(3.5) $\mu_{1}\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x \leq \int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x - \int_{\partial\Omega}v^{\frac{p}{2}} \frac{\partial v^{\frac{p}{2}}}{\partial\nu}\, {\rm d}S.$

由于$\frac{\partial v^{\frac{p}{2}}}{\partial\nu}=-\frac {knp}{2}v^{\frac{p}{2}}$,有

(3.6) $\mu_{1}\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x \leq \int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x +m_{1}\int_{\partial\Omega}v^{p}\, {\rm d}S, $

这里$m_{1}=\frac {knp}{2}$.

接下来,我们主要估计$(3.6)$式中不等式符号右端最后一项.对下面等式在区域$\Omega$上进行积分

$\textrm{div}(v^{p}\, x)=3v^{p}+pv^{p-1}(\nabla v\cdot x), $

并利用散度定理就可以得到

$\int_{\partial\Omega}v^{p}(x\cdot\nu)\, {\rm d}S=\int_{\Omega}\textrm{div}(v^{p}\, x)\, {\rm d}x=3\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x+p\int_{\Omega}v^{p-1}(\nabla v\cdot x)\, {\rm d}x.$

因此

(3.7) $\begin{eqnarray}\int_{\partial\Omega}v^{p}\, {\rm d}S\nonumber&\leq &\frac{3}{\rho_{0}}\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x+ \frac{dp}{\rho_{0}}\int_{\Omega}v^{p-1}|\nabla v|\, {\rm d}x\\ &\leq &\frac{3}{\rho_{0}}\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x+\frac{2d}{\rho_{0}}\left(\int_{\Omega} v^{p}\, {\rm d}x\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}, \label{38} \end{eqnarray}$

其中$\rho_{0}= \min\limits_{\partial\Omega}(x \cdot \nu)$, $d=\max\limits_{\overline{\Omega}} |x|$, $\nu$表示在边界$\partial\Omega$上的单位外法向量.需要说明的是我们假设$\Omega$是一个星形区域,所以$\rho_{0}$是一个正值常数.

利用不等式

$\left( \int_{\Omega} v^{p}\, {\rm d}x \int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}} \leq \frac{\varepsilon}{2}\int_{\Omega} v^{p}\, {\rm d}x + \frac{1}{2\varepsilon} \int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x, $

这里$\varepsilon$是一个待定正值常数.

将上式代入到$(3.7)$式中,我们得到

(3.8) $\int_{\partial\Omega}v^{p}\, {\rm d}S \leq \bigg(\frac{3}{\rho_{0}}+\frac{d \varepsilon}{\rho_{0}}\bigg)\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x+ \frac{d}{\rho_{0}\varepsilon}\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x.$

联立(3.6)式和(3.8)式,有

(3.9) $\left(\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}-\frac{m_{1}d\varepsilon }{\rho_{0}}\right)\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x \leq \bigg(1 +\frac{m_{1}d}{\rho_{0}\varepsilon}\bigg)\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x.$

我们限定区域$\Omega$满足$\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}>0$,进一步选取$\varepsilon$充分小,使得$\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}-\frac{m_{1}d\varepsilon }{\rho_{0}}>0$成立.

将(3.9)式代入到(3.4)式中,我们得到

(3.10) $\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\leq m_{2}\int_{\Omega}|\nabla v|^{p}\, {\rm d}x, $

其中$m_{2}=(\frac{p}{2})^{p}\bigg(\frac{1+\frac{m_{1}d}{\rho_{0}\varepsilon}}{\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}-\frac{m_{1}d\varepsilon}{\rho_{0}}}\bigg)^{\frac{p-2}{2}}$.

联立$(3.10)$式和$(3.3)$式可以导出

(3.11) $\varphi'(t)\leq-\frac{\sigma(\sigma-1)}{m_{2}n^{p}}\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x+\sigma |\Omega|\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x.$

现在,令$\beta=\frac{\sigma}{2n}+\frac{p}{2}$.由前提假设条件$n>\max\Big\{\frac{4q-p-2}{2p}, 2\Big\}$可以保证$0<\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}<1$.应用Hölder不等式,有

$\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\leq\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{3}{2}\beta}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}} |\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}.$

最后,我们要估计积分项$\int_{\Omega}v^{\frac{3}{2}\beta}\, {\rm d}x$,借助于文献[32,引理A.2]及Hölder不等式,经计算可以得到

(3.12) $\begin{eqnarray} \int_{\Omega}v^{\frac{3}{2}\beta}\, {\rm d}x\nonumber &\leq& \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}\left[\frac{3}{2\rho_{0}}\int_{\Omega}v^{\beta}\, {\rm d}x+\frac{\beta}{2}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\int_{\Omega}v^{\beta-1}|\nabla v|\, {\rm d}x\right]^{\frac{3}{2}}\\& \leq& \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}\left[\frac{3}{2\rho_{0}}\int_{\Omega}v^{\beta}\, {\rm d}x+\frac{\beta}{p}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{3}{2}}.\label{315} \end{eqnarray}$

应用Hölder不等式,有

(3.13) $\int_{\Omega}v^{p} \, {\rm d}x \leq |\Omega|^{\frac{\frac{\gamma}{n}}{p+\frac{\gamma}{n}}}\, \bigg(\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{p+\frac{\gamma}{n}}}$

和

(3.14) $\int_{\Omega}v^{\beta}\, {\rm d}x=\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{2n}}v^{\frac{p}{2}}\, {\rm d}x\leq\bigg(\int_{\Omega}v^{p}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}.$

联立(3.13)式和(3.14)式可得

$\int_{\Omega}v^{\beta}\, {\rm d}x\leq|\Omega|^{\frac{\gamma}{2(np+\gamma)}}\, \bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2(p+\frac{\gamma}{n})}}.$

利用以上不等式,我们有

$\begin{eqnarray*}\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{3}{2}\beta}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\nonumber&\leq&\frac{1}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}}\bigg\{\frac{3}{2\rho_{0}}|\Omega|^{\frac{\gamma}{2(np+\gamma)}} \bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg) ^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega}v^{p+ \frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2(p+\frac{\gamma}{n})}}\\&&+\frac{\beta}{p}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\}^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}. \end{eqnarray*}$

接下来,由下面基本不等式

$(a+b)^{s}\leq 2^{s-1}(a^{s}+b^{s}), \quad s\geq1, \quad a, b\geq0, $

我们得到

$\begin{eqnarray*} \bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{3}{2}\beta}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+ \frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\nonumber &\leq&\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}}\bigg\{\bigg(\frac{3}{2\rho_{0}}\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}} |\Omega|^{\frac{\gamma}{2n\beta}} \bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}\bigg(\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2\beta}}\\& &+\bigg[\frac{\beta}{p}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg]^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}\bigg\}.\end{eqnarray*}$

进一步,应用Young不等式,有

$\begin{eqnarray*}&&\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\\&\leq&\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{3}{2}\beta}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\\\nonumber&\leq&|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}}\bigg\{\bigg(\frac{3}{2\rho_{0}}\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}} |\Omega|^{\frac{\gamma}{2n\beta}} \bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}\bigg(\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2\beta}}\\ \nonumber &&+\bigg[\frac{\beta}{p}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg]^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}\bigg(\int_{\Omega}v^{\frac{\sigma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}\bigg(\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}\bigg\}\\ \nonumber &=&|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}} \bigg\{\bigg(\frac{3}{2\rho_{0}}\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}| \Omega|^{\frac{\gamma}{2n\beta}} \Big[\varepsilon_{1}^{-\frac{np}{\sigma}}[\varphi(t)]^{\frac{p +\frac{\gamma}{n}}{\frac{\sigma}{n}}}\Big]^{\frac{\frac{\sigma}{n}}{2\beta}} \bigg(\varepsilon_{1}\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2\beta}}\\ \nonumber &&+\bigg[\frac{\beta}{p} \bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg]^{\frac{p+ \frac{\gamma}{n}}{\beta}} \Big[{\varepsilon_{2}^{-\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}} [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}\Big]^{\frac{\sigma-\gamma}{2n\beta}}\bigg(\varepsilon_{2}\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}\bigg\}\\\nonumber&\leq&|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}} \bigg\{\bigg(\frac{3}{2\rho_{0}}\bigg)^{\frac{p +\frac{\gamma}{n}}{\beta}}|\Omega|^{\frac{\gamma}{2n\beta}} \bigg[\frac{\sigma}{2n\beta}\frac{1}{\varepsilon_{1}^{\frac{np}{\sigma}}} [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma}}+\frac{p}{2\beta}\varepsilon_{1} \int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\bigg]\\& &+\bigg[\frac{\beta}{p}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg]^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}} \bigg[\frac{\sigma-\gamma}{2n\beta}\frac{1}{\varepsilon_{2} ^{\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}}[\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}+\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}\varepsilon_{2}\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x\bigg]\bigg\}, \end{eqnarray*}$

这里$\varepsilon_{1}$和$\varepsilon_{2}$都是待定的正值常数.

从而,我们有

$\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\leq C_{1}\, [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma}}+C_{2}\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x+C_{3}\, [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}+C_{4}\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x, $

其中

$C_{1}=|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}}\bigg(\frac{3}{2\rho_{0}}\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}|\Omega|^{\frac{\gamma}{2n\beta}}\frac{\sigma}{2n\beta}\frac{1}{\varepsilon_{1}^{\frac{np}{\sigma}}}, $

$C_{2}=|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}}\bigg(\frac{3}{2\rho_{0}}\bigg)^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}|\Omega|^{\frac{\gamma}{2n\beta}}\frac{p}{2\beta}\varepsilon_{1}, $

$C_{3}=|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}}\bigg[\frac{\beta}{p}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg]^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}\frac{\sigma-\gamma}{2n\beta}\frac{1}{\varepsilon_{2}^{\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}}, $

$C_{4}=|\Omega|^{1-\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\frac{3}{2}\beta}}\frac{2^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}-1}}{3^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}}}\bigg[\frac{\beta}{p}\bigg(\frac{d}{\rho_{0}}+1\bigg)\bigg]^{\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{\beta}}\frac{p+\frac{\gamma}{n}}{2\beta}\varepsilon_{2}.$

选取$\varepsilon_{1}$使得$C_{2}=\frac{1}{2}$,导出

$\int_{\Omega}v^{p+\frac{\gamma}{n}}\, {\rm d}x\leq 2C_{1}\, [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma}}+2C_{3}\, [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}+2C_{4}\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x.$

将上式代入到(3.11)式中,得到

$\begin{eqnarray*} \varphi'(t)&\leq&\bigg[-\frac {\sigma(\sigma-1)}{m_{2}n^{p}}+2C_{4}\sigma|\Omega|\bigg]\int_{\Omega}|\nabla v^{\frac{p}{2}}|^{2}\, {\rm d}x+ 2C_{1}\sigma|\Omega|\, [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma}} \\& &+2C_{3}\sigma|\Omega|\, [\varphi(t)]^{\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}}.\label{324} \end{eqnarray*}$

接下来计算$\varepsilon_{2}$使得$-\frac {\sigma(\sigma-1)}{m_{2}n^{p}}+2C_{4}\sigma|\Omega|=0$.从而,我们得到以下关于$\varphi(t)$的微分不等式,简写成

(3.15) $\varphi'(t)\leq L_{1}[\varphi(t)]^{\xi_{1}}+L_{2}[\varphi(t)]^{\xi_{2}}, $

其中$L_{1}=2C_{1}\sigma|\Omega|$, $L_{2}=2C_{3}\sigma|\Omega|$, $\xi_{1}=\frac{np+\gamma}{\sigma}$, $\xi_{2}=\frac{np+\gamma}{\sigma-\gamma}$均为可计算的正值常数.

对不等式(3.15)式从$0$到$t$进行积分,有

$\int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)}\frac{1}{L_{1}\eta^{\xi_{1}} +L_{2}\eta^{\xi_{2}}}\, {\rm d}\eta\leq t.$

若$\lim\limits_{t\rightarrow t^{*}} \varphi(t)=+\infty$,则我们得到一个关于爆破时刻$t^{*}$的下界估计

$t^{*}\geq \int_{\varphi(0)}^{\infty}\frac{1}{L_{1}\eta^{\xi_{1}} +L_{2}\eta^{\xi_{2}}}\, {\rm d}\eta, $

其中$\varphi(0)=\int_{\Omega}u_{0}^{\sigma}\, {\rm d}x=\int_{\Omega}u_{0}^{(n-1)p+2}\, {\rm d}x$.

综合以上计算,我们可以建立下面的定理.

定理3.1  假设$p>2$, $q\geq1$且$q>p-1$,我们限制区域$\Omega$是${\Bbb R}^{3}$中的有界星形区域并且在两个正交方向上是凸的使得$\lambda_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}>0$成立.若$u(x, t)$是问题(1.1)-(1.2), (1.4)的非负古典解且在有限时刻$t=t^{*}$在由(3.1)式所定义$\varphi$的度量下发生爆破,那么$t^{*}$有一个形如(3.16)式的下界估计.

在最后这一节中,我们将会给出方程$(1.1)$分别在Dirichlet边界条件和Robin边界条件下保证解不发生爆破的充分条件.

定理4.1  假设$p>2$, $q\geq1$, $q<p-1$且$u(x, t)$是方程$(1.1)$-$(1.3)$的非负古典解,则$u(x, t)$在$L^{2}$ -范数下在有限时刻不会发生爆破.

证  我们定义能量泛函

$e(t)=\int_{\Omega}u^{2}\, {\rm d}x. $

直接计算可得

$\begin{eqnarray*}e'(t)&=\nonumber&2\int_{\Omega}u\, u_{t}\, {\rm d}x\\&=\nonumber&2\int_{\Omega}u\, \bigg[\textrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x\bigg]\, {\rm d}x\\&=\nonumber&2\int_{\Omega}u\, \textrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)\, {\rm d}x+2\int_{\Omega}u\, {\rm d}x\int_{\Omega}u^{q}\, {\rm d}x\\&\leq&-2\int_{\Omega}|\nabla u|^{p}\, {\rm d}x+2|\Omega|\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x.\end{eqnarray*}$

应用不等式(2.11)式,我们有

(4.1) $e'(t)\leq -2\left(\frac{2\sqrt{\lambda_{1}}}{p}\right)^{p}\int_{\Omega}u^{p}\, {\rm d}x+2|\Omega|\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x.$

运用Hölder不等式,可以得到

(4.2) $\int_{\Omega}u^{p}\, {\rm d}x\geq|\Omega|^{\frac{q+1-p}{q+1}}\bigg(\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{q+1}}$

和

(4.3) $\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x\geq|\Omega|^{\frac{1-q}{2}}\bigg(\int_{\Omega}u^{2}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac{q+1}{2}}.$

联立$(4.1)$式, $(4.2)$式和$(4.3)$式,有

(4.4) $e'(t)\leq2\left[|\Omega|-\left(\frac{2\sqrt{\lambda_{1}}}{p}\right)^{p}|\Omega|^{\frac{q+1-p}{2}}[e(t)]^{\frac{p-q-1}{2}}\right]\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x.$

在假设条件$q<p-1$下,若$u(x, t)$在有限时刻$t^{*}$趋向于无穷大,那么$e(t)$会在有限时刻$t^{*}$趋向于充分大,由(4.4)式可以得出$e'(t)$在某个区间$[t_{0}, t^{*}]$上是负值,这样在区间$[t_{0}, t^{*}]$上,有$e(t)\leq e(t_{0})$.因此$e(t)$在区间$[t_{0}, t^{*}]$上有界,从而导出矛盾,故$u(x, t)$在$L^{2}$ -范数下在有限时刻不会发生爆破.值得注意的是在此定理的证明过程中并不需要限制空间维数.

定理4.2  假设$p>2$, $q\geq1$且$q<p-1$,我们限制$\Omega$是一星形区域并且使得$\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}>0$成立.若$u(x, t)$是问题(1.1)-(1.2), (1.4)的非负古典解,则$u(x, t)$在$L^{2}$ -范数下在有限时刻不会发生爆破.

证  该定理证明过程与定理4.1的证明类似,首先我们令

$e(t)=\int_{\Omega}u^{2}\, {\rm d}x$

从而得到

$e'(t)\leq-2\int_{\Omega}|\nabla u|^{p}\, {\rm d}x+2|\Omega|\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x.$

利用不等式(3.9)式和(3.10)式,有

(4.5) $e'(t)\leq-\frac{2}{m_{2}}\left(\frac{\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}-\frac{m_{1}d\varepsilon }{\rho_{0}}}{1 +\frac{m_{1}d}{\rho_{0}\varepsilon}}\right)\int_{\Omega}u^{p}\, {\rm d}x+2|\Omega|\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x.$

进一步,联立(4.2)式, (4.3)式和(4.5)式,可以得到

(4.6) $e'(t)\leq 2\left[|\Omega|-\frac{1}{m_{2}}\left(\frac{\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}-\frac{m_{1}d\varepsilon }{\rho_{0}}}{1 +\frac{m_{1}d}{\rho_{0}\varepsilon}}\right)|\Omega|^{\frac{q+1-p}{2}}[e(t)]^{\frac{p-q-1}{2}}\right]\int_{\Omega}u^{q+1}\, {\rm d}x.$

通过(4.6)式,经过类似定理4.1的证明过程的讨论可以得到$u(x, t)$在$L^{2}$ -范数下在有限时刻不会发生爆破.这里需要我们对区域$\Omega$做出部分限制,使得$\mu_{1}-\frac{3 m_{1}}{\rho_{0}}>0$成立.