分式优化问题作为最优化研究的一个重要分支,具有重要的理论研究意义及应用价值,如在求解资源分配,投资回报和股息覆盖率,生产优化和调度等问题时常常涉及到求解分式优化问题,因此,分式优化问题的研究受到了学者们的广泛关注^[1-7].特别地,对于带锥约束的分式优化问题引起了学者们的高度重视.对于分式优化问题,通常利用文献[1]的方法,将分式优化问题转化为非分式优化问题进行研究.如文献[5]首先将分式优化问题转化为约束优化问题,研究了带有限个凸约束不等式系统的分式优化问题的Farkas引理;文献[6-7]在函数具有下半连续性,集合为闭集的情形下,分别利用闭性条件和次微分条件,建立了带锥约束的分式优化问题的Farkas类结果, Fenchel-Lagrange对偶及最优解的特征刻画.

与此同时,由于许多优化问题,例如凸约束优化问题,极大极小问题,锥优化等,都可以看成复合优化问题的特例,因此,复合优化问题的对偶理论引起了学者们的高度重视,并得到了一系列有意义的结论^[8-14].例如在文献[10]中作者利用闭性条件给出了复合凸优化问题的强对偶成立的充分条件,文献[11]则利用广义的Moreau-Rockafellar型条件刻画了复合凸优化问题的稳定强对偶.近来,文献[12]在函数不具有连续性的情形下研究了DC复合凸优化的对偶理论,建立了该问题的弱对偶,零对偶及强对偶等.

受上述文献的启发,本文研究如下带复合函数的分式优化问题

$(P)\quad\quad \begin{array}{ll}\inf~~~& \frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)}\\ \mbox{s. t. }& x\in C, \ h(x)\in -K, \end{array}$

其中$X$, $Y$, $Z$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $K$和$S$分别是$Y$和$Z$中的闭凸锥, $Y$和$Z$是$K$和$S$所定义的序空间, $f_1:Y^\bullet\rightarrow \overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$是真凸$K$ -增函数, $g_1:Z^\bullet\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$是真凸$S$ -增函数, $f_2:X\rightarrow Y^\bullet$是真$K$ -凸函数, $g_2:X\rightarrow Z^\bullet$是真$S$ -凸函数,满足$f_{1}(\infty_{Y})=+\infty$, $g_{1}(\infty_{Z})=+\infty, $$C是X$的非空凸子集, $h:X\rightarrow Y$是$K$ -凸函数.

本文在函数不具有连续性的情况下研究分式优化问题$(P)$的Farkas类引理及对偶理论.首先利用文献[1]的方法,将问题$(P)$转化为约束优化问题,然后借助非分式优化问题的对偶理论研究问题$(P)$的Farkas类引理.由于经典的分式优化问题,复合优化问题,凸优化问题都可视为问题$(P)$的特例,因此本文推广了前人的部分相关结果.

设$X$, $Y$, $Z$是局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $X^\ast$, $Y^\ast$, $Z^\ast$分别表示$X$, $Y$, $Z$的共轭空间,赋予弱$^\ast$拓扑$w(X, X^\ast)$, $w(Y, Y^\ast)$及$w(Z, Z^\ast)$.设$K$和$S$分别是$Y$和$Z$中的闭凸锥, $Y$和$Z是K$和$S$所定义的序空间.对于$Y$和$Z$中的偏序$\leq_K$及$\leq_S$,定义$Y$, $Z$中的最大元分别为$\infty_Y$和$\infty_Z$.记$Y^\bullet:=Y\cup \{\infty_Y\}$以及$Z^\bullet:=Z\cup \{\infty_Z\}$. $\langle x^\ast, x\rangle$表示泛函$x^\ast\in X^\ast$在点$x\in X$的值,即$\langle x^\ast, x\rangle=x^\ast(x)$.闭凸锥$K$的对偶锥$K^\oplus$定义为

$K^\oplus=\{y^\ast\in Y^\ast: \langle y^\ast, y\rangle\geq 0, \quad \forall y\in K\}.$

令$\delta_D$表示集合$D\subseteq X$的示性函数,定义为

$\delta_D(x):=\left\{\begin{array}{ll}0, \quad&x\in D, \\ +\infty, \quad&x\in X\setminus D . \end{array}\right.$

设$f:X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$为真凸函数, $f$的定义域记为dom$f$,即$\hbox{dom}f=\{x\in X:f(x)<\infty\}. $$f$的共轭函数$f^\ast:X^\ast\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$定义为

$f^\ast(x^\ast)=\sup\{\langle x^\ast, x\rangle-f(x):x\inX\}, ~\forall x^\ast\in X^\ast.$

定义函数$f$的上图为$\hbox{epi}f:=\{(x, r)\in X\times \mathbb{R}:f(x)\le r\}.$据文献[15,定理2.3.1]可知

(2.1) $\begin{equation}\label{YF}f(x)+f^\ast(x^\ast)\ge \langle x^\ast, x \rangle, \quad\forall (x, x^\ast)\in X\times X^\ast.\end{equation}$

如果$g:X\to \overline{\mathbb{R}}$是真凸函数且满足${\rm dom}\, f\cap {\rm dom}\, g\neq \emptyset$,则

(2.2) $ \begin{equation}\label{eqcll*} {\rm epi}\, f^\ast+{\rmepi}\, g^\ast\subseteq{\rm epi}\, (f+g)^\ast, \end{equation}$

(2.3) $\begin{equation}\label{eqcll} f\le g \Longrightarrow f^\ast\ge g^\ast \Longleftrightarrow {\rm epi}\, f^\ast\subseteq {\rm epi}\, g^\ast. \end{equation}$

设函数$\varphi:Y\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$,对任意$y_1, y_2\in Y$,若当$y_1\leq_K y_2$时有$\varphi(y_1)\leq \varphi(y_2)$,则称$\varphi$是$K$ -增函数.

定义函数$h:X\rightarrow Y^{\bullet}$的有效域为${\rm dom}h:=\{x\in X: h(x)\in Y\}.$若${\rm dom}\, h\neq \emptyset$,则称$h$是真函数.记${\rm epi}_K h:=\{(x, y)\in X\times Y: y\in h(x)+K\}.$若${\rm epi}_K h$为闭集,则称$h$为$K$ -上图闭函数.若对任意的$x_1, x_2\in X$和$t\in [0, 1]$,有

$h(tx_1+(1-t)x_2)\leq_K t h(x_1)+(1-t)h(x_2), $

则称$h是K$ -凸函数.对任意的$\lambda \in K^{\oplus}$,定义函数$(\lambda h)(\cdot):X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$为

$(\lambda h)(x):= \left\{\begin{array}{ll} \langle \lambda, h(x)\rangle,& x\in {\rm dom}\, h, \\ +\infty, &\mbox{其他.} \end{array}\right.$

易证$h$是$K$ -凸函数当且仅当对任意的$\lambda \in K^{\oplus}$, $\lambda h$是凸函数.特别地,若对任意的$\lambda\in K^\oplus$, $\lambda h$是下半连续函数,则称$h$是star下半连续函数.

为建立分式优化问题$(P)$的Farkas类引理,本文利用Dinkelbach的方法(参看文献[1]),首先将问题$(P)$转化为如下约束优化问题

(3.1) $\begin{equation}\label{eq02} (P_{\mu})\quad\quad\quad \begin{array}{ll} \mbox{ inf }&\{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\mu(g_1\circ g_2)(x)\}\\ \mbox{s.t.}&x\in C, \ h(x)\in -K, \end{array} \end{equation}$

其中$\mu\in{\Bbb R}$,然后研究$(P_\mu)$的对偶问题及其弱对偶与强对偶，从而借助$(P_\mu)$的对偶理论来建立问题$(P)$的Farkas类引理.显然,问题$(P)$的最优值$v(P)$与$(P_\mu)$的最优值$v(P_\mu)$之间存在以下关系.

引理3.1  $v(P)\geq \mu$当且仅当$v(P_{\mu})\geq 0$.

注意到, $(P_{\mu})$的目标函数$f_{1}\circ{f_{2}}-\mu(g_1\circ g_2)$的性质与参数$\mu$的取值有关.当$\mu>0$时, $(P_{\mu})$的目标函数为DC函数;而当$\mu\leq0$, $(P_{\mu})$的目标函数是凸函数.因此本文分两种情况分别对问题$(P_\mu)$进行讨论.

设$\mu>0$, $p\in X^{\ast}.$考虑带线性扰动的分式优化问题

(3.2) $\begin{equation}\label{eq01} (P_p)\quad\quad \begin{array}{ll}\inf&\frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)}\\ \mbox{s. t. }& x\in C, \ h(x)\in -K, \end{array} \end{equation}$

及

(3.3) $ (P_{(\mu, p)})\quad\quad\quad \begin{array}{ll}\inf &\{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\mu(g_1\circ g_2)(x)-\langle p, x\rangle\}\\ \mbox{s.t.}& x\in C, \ h(x)\in -K. \end{array}$

定义$(P_{(\mu, p)})$的Lagrange对偶问题$(D_{(\mu, p)})$如下

(3.4) $ \begin{equation}\label{4-D}\begin{array}{ll} \inf\limits _{ { \beta\in {\rm dom}g^{*}_{1}}\atop {\alpha\in {\rm dom}g^{*}_{2}}}\sup\limits _{ { \lambda\in K^\oplus}\atop {\xi \in {\rm{\rm dom}}f^{*}_{1}}}\{(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi) -(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p+\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\}. \end{array}\end{equation}$

注意到,当$p=0$时,问题$(P_p), (P_{(\mu, p)})$分别为前述问题$(P)与(P_{\mu})$,而对偶问题$(D_{(\mu, p)})$则转化为

(3.5) $(D_{\mu})\quad\begin{array}{ll} \inf\limits _{ { \beta\in {\rm dom}g^{*}_{1}}\atop {\alpha\in {\rm dom}g^{*}_{2}}}\sup\limits _{ { \lambda\in K^\oplus}\atop {\xi \in {\rm{\rm dom}}f^{*}_{1}}}\{(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\}.\nonumber\end{array}$

设$v(D_{\mu})$表示优化问题$(D_{\mu})$的最优值.

定义3.1  (ⅰ)若$v(P_{\mu})\geq v(D_{\mu})$,则称$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的弱对偶成立;

(ⅱ)若$v(P_{\mu})=v(D_{\mu})$且对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,子问题

(3.6) $\begin{array}{ll}\sup\limits _{ { \lambda\in K^\oplus}\atop {\xi \in {\rm{\rm dom}}f^{*}_{1}}}\{(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\}\nonumber\end{array}$

有最优解,则称$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的强对偶成立;

(ⅲ)若对任意的$p\in X^{*}$, $(P_{(\mu, p)})$和$(D_{(\mu, p)})$之间的弱对偶(强对偶)成立,则称$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的稳定弱对偶(稳定强对偶)成立.

注3.1  (a)由定义可知, $(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的强对偶成立当且仅当$v(P_{\mu}) = v(D_{\mu})$且对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times {\rm dom}f_{1}^{*}$使得

(3.7) $ \begin{equation}\label{add1} (\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\ge v(D_{\mu}). \end{equation}$

(b)由文献[16]可知,即使当$f_2$和$g_2$为单位算子时, $(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的弱对偶和稳定弱对偶也不一定成立.

与此同时,本文将考虑问题$(P)$的Farkas类引理.若下面的等价关系成立

(3.8) $\begin{eqnarray}\label{fakkk}&&\bigg[ \frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)}\geq \mu, \forall x\in A\bigg]\\&\Longleftrightarrow&[\forall(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}, \exists (\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}, \mbox{ s.t. }\nonumber\\&&(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\ge 0], \end{eqnarray} $

则称问题$(P)$的Farkas引理成立;若对任意的$p\in X^{*}$,下面的等价关系成立

(3.9) $ \begin{eqnarray}\label{fa1}& & \bigg[ \frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)} \geq \mu, \forall x\in A \bigg]\nonumber\\&\Longleftrightarrow&[\forall(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}, \exists (\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}, \mbox{ s.t. }\nonumber\\&&(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p+\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\ge 0], \end{eqnarray} $

则称问题$(P)$的稳定Farkas引理成立.

为方便起见,定义$X^*\times Y^*\times\overline{\mathbb{R}}$上的集合$\Phi_{\mu}$, $\Psi_{\mu}$如下

$\Phi_{\mu}: =\{(x^{*}, 0, r):(x^{*}, r)\in {\rm epi}(f_{1}\circ{f_{2}}-(\mu g_1)\circ g_2+\delta_{A})^\ast\}, $

$\begin{array}{lll}\Psi_{\mu}:&=& \bigcap\limits _{ { \beta\in {\rm dom}g^{*}_{1}}\atop {\alpha\in {\rm dom}g^{*}_{2}}}\bigg(\bigcup\limits _{ { \lambda\in\ K^\oplus}\atop {\xi \in {\rm{\rm dom}}f^{*}_{1}}}\Big(\{(x^{*}, -\xi, r):(x^{*}, r)\in {\rm epi}(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast \}\\&+&\{(0, y^{*}, r):(y^{*}, r)\in {\rm epi}\, f_1^\ast\}\Big)-(\alpha, 0, (\mu g_1)^\ast(\beta)+(\beta g_2)^\ast(\alpha))\bigg).\end{array}$

引理3.2  设$r\in {\Bbb R}$.下面结论成立

(ⅰ) $v(P_{\mu})\geq -r$当且仅当$(0, 0, r)\in \Phi_{\mu}.$

(ⅱ) $( 0, 0, r)\in \Psi_{\mu}$当且仅当对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$使得

(3.10) $ \begin{equation}\label{4-eqn08}(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\ge -r. \end{equation}$

证  (ⅰ)由共轭函数的定义知

$v(P_{\mu})=-(f_1\circ f_2-(\mu g_1)\circ g_2+\delta_{A})^\ast(0).$

因此, (ⅰ)成立.

(ⅱ)设$(0, 0, r)\in \Psi_{\mu}$.任取$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,则存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$和$r_1, ~r_2\in \mathbb{R}$使得

(3.11) $\begin{equation}\label{4-eqn9}(0, 0, r)=(x^{*}, -\xi, r_1)+(0, y^{*}, r_2)-(\alpha, 0, (\mu g_1)^\ast(\beta)+(\beta g_2)^{*}(\alpha)), \nonumber\end{equation} $

其中

$( x^{*}, r_1)\in {\rm epi}(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast, (y^{*}, r_2)\in {\rm epi}\, f_1^\ast .$

因此$x^\ast=\alpha$, $y^\ast=\xi$且

$\begin{eqnarray}\label{4-ad-1}-r&=&-r_1-r_2+(\mu g_1)^\ast(\beta)+(\beta g_2)^{*}(\alpha)\nonumber\\&\leq& -(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(\alpha)-f_1^\ast(\xi)+(\mu g_1)^\ast(\beta)+(\beta g_2)^{*}(\alpha).\nonumber\end{eqnarray}$

故(3.10)式成立.

反之,假设对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$满足(3.10)式.设$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$.故存在$(\lambda', \xi')\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$使得

$(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi')-(\xi' f_2+\delta_{C}+\lambda' h)^\ast(\alpha)+(\beta g_2)^*(\alpha)\ge -r.$

记$r_1:=(\xi^{'} f_2+\delta_{C}+\lambda' h)^\ast(\alpha)$, $r_2:=r-r_1+(\mu g_1)^\ast (\beta)+(\beta g_2)^\ast(\alpha)$.由共轭函数的上图定义和(3.10)式知, $(\alpha, r_1)\in {\rm epi}(\xi^{'} f_2+\delta_{C}+\lambda^{'} h)^\ast$, $(\xi^{'}, r_2)\in {\rm epi}\, f_1^\ast$.因此

$\begin{eqnarray*}(0, 0, r)&=&(\alpha, -\xi^{'}, r_{1})+(0, \xi^{'}, r_{2})-(\alpha, 0, (\mu g_1)^\ast(\beta)+(\beta g_2)^{*}(\alpha))\\&\in&\bigcup\limits _{ { \lambda\in K^{\oplus}}\atop {\xi \in {\rm{\rm dom}}f^{*}_{1}}}\Big(\{(x^{*} , -\xi, r):(x^{*} , r)\in {\rm epi}(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast\}\\ && +\{(0, y^{*}, r):(y^{*}, r)\in {\rm epi}\, f_1^\ast\}-(\alpha, 0, (\mu g_1)^\ast(\beta)+(\beta g_2)^{*}(\alpha))\Big).\end{eqnarray*}$

从而由$\beta$和$\alpha$的任意性可知, $(0, 0, r)\in \Psi_{\mu}$.

下述定理建立了$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的弱对偶成立的充分和必要条件.

定理3.1  考虑以下命题

(ⅰ) $(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的弱对偶成立.

(ⅱ) $\Psi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R})\subseteq \Phi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R}).$

(ⅲ)式(3.8)的"$\Longleftarrow"$成立.

则有${\rm (i)}\Longleftrightarrow{\rm (ii)} \Longrightarrow{\rm (iii)}.$

证  ${\rm(i)}\Longleftrightarrow{\rm(ii)}$.假设(ⅰ)成立,即$v(P_{\mu})\geq v(D_{\mu})$.设$(0, 0, r)\in \Psi_{\mu}$.由引理3.2(ⅱ)知, $v(D_{\mu})\geq -r$.由于$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的弱对偶成立,故$v(P_{\mu})\geq -r$.因此,由引理3.2(ⅰ)可知, $(0, 0, r)\in \Phi_{\mu}$.故(ⅱ)成立.

反之,假设(ⅱ)成立.要证$v(P_{\mu})\geq v(D_{\mu})$,反设$v(P_{\mu})< v(D_{\mu})$.故存在$r\in \mathbb{R}$使得$v(P_{\mu})< -r< v(D_{\mu})$.因此,对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$使得(3.10)式成立.于是,由引理3.2(ⅱ)知, $(0, 0, r)\in \Psi_{\mu}$,从而$(0, 0, r)\in \Phi_{\mu}$.再由引理3.2(ⅰ)可知$v(P_{\mu})\geq -r$,从而与假设$v(P_{\mu})< -r $矛盾.故$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的弱对偶成立.

(ⅱ) $\Longrightarrow$(ⅲ)假设(ⅱ)成立.若对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$使得

(3.12) $\begin{equation}\label{qq}(\mu g_{1})^{*}(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_{2}+\delta_{C}+ \lambda h)^{*}(\alpha)+(\beta g_{2})^{*}(\alpha)\geq 0, \end{equation}$

则$v(D_{\mu})\ge 0$.由引理3.2(ⅱ)知, $(0, 0, 0)\in \Psi_{\mu}$.由命题(ⅱ), $(0, 0, 0)\in \Phi_{\mu}$.于是由引理3.1(ⅰ)可知$v(P_{\mu})\ge 0$.从而由引理3.1可得$v(P)\geq \mu$,故(ⅲ)成立.

类似定理3.1的证明可得$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的稳定弱对偶成立的充分和必要条件.

定理3.2  考虑以下命题:

(ⅰ) $(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的稳定弱对偶成立.

(ⅱ) $\Psi_{\mu}\subseteq \Phi_{\mu}.$

(ⅲ) (3.9)式的"$\Longleftarrow"$成立.

则有${\rm (i)}\Longleftrightarrow{\rm (ii)} \Longrightarrow{\rm (iii)}.$

下面定理刻画了问题$(P)$的Farkas引理以及$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的强对偶.

定理3.3  考虑以下命题

(ⅰ) $(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的强对偶成立.

(ⅱ) $\Phi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R})=\Psi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R}).$

(ⅲ)问题$(P)$的Farkas引理成立.

则有${\rm (i)}\Longleftrightarrow{\rm (ii)} \Longrightarrow{\rm (iii)}.$

证  ${\rm (i)}\Longleftrightarrow{\rm (ii)}$.假设${\rm(i)}$成立.由定理3.1知, $\Psi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R})\subseteq \Phi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R}).$因此要证${\rm (ii)}$成立,只需证

(3.13) $ \begin{equation}\label{cd} \Phi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R})\subseteq \Psi_{\mu}\cap(\{(0, 0)\}\times\mathbb{R}).\end{equation}$

为此,设$(0, 0, r)\in \Phi_{\mu} $.由引理3.2(ⅰ)知, $v(P_{\mu})\geq -r$.由于$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的强对偶成立,所以$v(D_{\mu})\geq -r$且对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus \times {\rm dom}f_{1}^{*}$使得(3.10)式成立.从而由引理3.2(ⅱ)知, $(0, 0, r)\in \Psi_{\mu}$.故(3.13)式成立.

反之,假设(ⅱ)成立.由定理3.1可知, $v(P_{\mu})\geq v(D_{\mu})$.不妨设$ -r=v(P_\mu)\in \mathbb{R}$ (如果$v(P_\mu)=-\infty$,则结论自然成立).由引理3.2(ⅰ), $(0, 0, r)\in \Phi_\mu$.由命题(ⅱ), $(0, 0, r)\in \Psi_\mu$.故由引理3.2(ⅱ),对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$使得(3.10)式成立.注意到, $(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的弱对偶成立.因此, $v(P_\mu)=v(D_\mu)$且$(\lambda, \xi)$为子问题$(D_{\mu}^{(\beta, \alpha)})$的最优解,即$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的强对偶成立.

${\rm (ii)}\Longrightarrow {\rm (iii)}$.假设${\rm (ii)}$成立.由定理3.1知,要证(ⅲ),只需证(3.8)式中的$''\Longrightarrow''$成立.为此,假设对任意的$x\in A$有$v(P)\geq \mu$.则由引理3.1可知$v(P_{\mu})\geq 0$.因此,由引理3.2(ⅰ)得, $(0, 0, 0)\in \Phi_{\mu}$.由于假设${\rm (ii)}$成立,因此$(0, 0, 0)\in \Psi_{\mu}$.从而,由引理3.2(ⅱ)知,对任意的$(\beta, \alpha)\in{\rm dom}g^{*}_{1}\times{\rm dom}g^{*}_{2}$,存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus \times {\rm dom}f_{1}^{*}$使得

$(\mu g_1)^\ast(\beta)-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(\alpha)+(\beta g_2)^{*}(\alpha) \geq 0.$

故${\rm (iii)}$成立.

类似定理3.3的证明可得以下定理.

定理3.4  考虑以下命题

(ⅰ) $(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的稳定强对偶成立.

(ⅱ) $\Phi_{\mu}=\Psi_{\mu}.$

(ⅲ)问题$(P)$的稳定Farkas引理成立.

则有${\rm (i)}\Longleftrightarrow{\rm (ii)} \Longrightarrow{\rm (iii)}.$

设$\mu\le 0$, $p\in X^{\ast}$.考虑带线性扰动的分式优化问题$(P_p)$ ((3.3)式)及$ (P_{(\mu, p)})$ ((3.4)式).注意到,对任意的$\mu\leq0$,问题$(P_{(\mu, p)})$的目标函数是凸函数,故$(P_{(\mu, p)})$为凸优化问题.借助凸优化问题的研究方法,建立其Lagrange对偶问题如下

$(D_{(\mu, p)})\quad\sup\limits _{\stackrel{ \lambda\in K^\oplus} {\stackrel {\eta_{1}\in {\rm dom} f_{1}^{*}}{ \scriptscriptstyle {\eta_{2}\in {\rm dom} g_{1}^{*}}}} }\{-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p)\}.$

特别地,当$p=0$时,记对偶问题$(D_{(\mu, p)})$为

$(D_{\mu})\quad\sup\limits _{\stackrel{ \lambda\in K^\oplus} {\stackrel {\eta_{1}\in {\rm dom} f_{1}^{*}}{ \scriptscriptstyle {\eta_{2}\in {\rm dom} g_{1}^{*}}}} }\{-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(0)\}.$

本节继续研究问题$(P)$的Farkas引理及$(P_\mu)与(D_\mu)$之间的强对偶.若下述等价关系成立

(3.14) $ \begin{eqnarray}\label{fak}&& \bigg[ \frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)} \geq \mu, \forall x\in A \bigg]\\& \Longleftrightarrow&[\exists (\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus \times{\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}, \mbox{ s.t. } \\ &&-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(0)\ge 0], \end{eqnarray} $

则称问题$(P)$的Farkas引理成立.若对任意的$p\in X^{\ast}$,下述等价关系成立

(3.15) $\begin{eqnarray}\label{fa111}&& \bigg[ \frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)} \geq \mu, \forall x\in A \bigg] \\&\Longleftrightarrow&[\exists (\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus \times{\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}, \mbox{ s.t. } \\ &&-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p)\ge 0], \end{eqnarray}$

则称问题$(P)$的稳定Farkas引理成立.

注3.2  (a)由共轭函数定义可知,对任意的$p\in X^\ast$,以下命题等价

(ⅰ) $\frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)}\geq \mu, \forall x\in A .$

(ⅱ) $(f_{1}\circ{f_{2}})(x)+(-\mu g_{1})\circ{g_{2}}(x)-\langle p, x\rangle\geq 0, \forall x\in A .$

(ⅲ) $ -(f_{1}\circ{f_{2}}+(-\mu g_{1})\circ{g_{2}}+\delta_{A})^{*} {(p)}=v(P_{(\mu, p)}) \ge 0.$

(b)注意到,对任意的$p\in X^\ast$及$(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus \times {\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}$,有

$\begin{eqnarray}&& -f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p)\nonumber\\&\leq& -(f_{1}\circ{f_{2}}+(-\mu g_{1})\circ{g_{2}}+\delta_{A})^{*} {(p)}.\nonumber \end{eqnarray} $

因此, $(P_{\mu})与(D_{\mu})$之间的稳定弱对偶成立,且(3.15)式成立当且仅当(3.15)式中的$''\Longrightarrow''$成立.

为简便起见,对任意的$(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus \times {\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}$,记

$K_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})}:={\rm epi}(\eta_{1} f_{2}+ \eta_{2} g_{2}+ \delta_{C}+ \lambda h)^{*} +(0, f_{1}^{*}(\eta_{1}))+(0, (-\mu g_{1})^{*}(\eta_{2})).$

为刻画问题$(P_{\mu})$的Farkas引理及$(P_{\mu})$和$(D_{\mu})$之间的强对偶理论,我们引入以下约束规范条件

$ \begin{eqnarray}(CC)\quad\quad{\rm epi}(f_{1}\circ{f_{2}}+(-\mu g_{1})\circ{g_{2}}+\delta_{A})^{*}\nonumber= \bigcup\limits _{\stackrel{ \lambda\in K^\oplus} {\stackrel {\eta_{1}\in {\rm dom} f_{1}^{*}}{ \scriptscriptstyle {\eta_{2}\in {\rm dom} g_{1}^{*}}}} }K_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})}. \nonumber \end{eqnarray}$

注3.3  注意到,对任意的$(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2}) \in K^\oplus \times{\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}$,有

$K_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})}\subseteq{{\rm epi}(f_{1} \circ {f_{2}}+(-\mu g_{1}) \circ {g_{2}}+\delta_{A})^{*}}, $

故$(CC)$条件成立当且仅当

(3.16) $\begin{equation}\label{ccc} {\rm epi}(f_{1}\circ{f_{2}}+(-\mu g_{1}) \circ {g_{2}} + \delta_{A})^{*} \subseteq \bigcup\limits _{\stackrel{ \lambda\in K^\oplus} {\stackrel {\eta_{1}\in {\rm dom} f_{1}^{*}}{ \scriptscriptstyle {\eta_{2}\in {\rm dom} g_{1}^{*}}}} }K_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})} .\end{equation}$

定理3.5  考虑以下命题

(ⅰ) $ {(P_\mu)}$和$ {(D_\mu)}$之间的稳定强对偶成立,即对任意的$p\in X^\ast$, $v(P_{(\mu, p)})=v(D_{(\mu, p)})$且问题$(D_{(\mu, p)})$有最优解.

(ⅱ) $(CC)$条件成立.

(ⅲ)问题${(P)}$的稳定Farkas引理成立.

则有${\rm (i)}\Longleftrightarrow {\rm (ii)} \Longrightarrow {\rm (iii)}$.

证  ${\rm (i)}\Longleftrightarrow {\rm (ii)}$.假设$ {(P_\mu)}$和$ {(D_\mu)}$之间的稳定强对偶成立.任取$(p, r)\in{\rm epi}(f_{1}\circ{f_{2}}+(-\mu g_{1})\circ{g_{2}}+\delta_{A})^{*}$.由共轭函数定义知$v(P_{(\mu, p)})\ge -r$.由于${(P_{\mu})}$和$ {(D_{\mu})}$之间的稳定强对偶成立,故$v(D_{(\mu, p)})\ge -r$且存在$(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus \times{\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}$使得

$-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p)\ge -r, $

即

$(p, r-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2}))\in {\rm epi}(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast .$

因此, $(p, r)\in K_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})}$,从而(3.16)式成立.于是,由注3.3可知$(CC)$条件成立.

反之,假设$(CC)$条件成立.设$p\in X^\ast$, $r:=v(P_{(\mu, p)}).$由共轭函数定义可知$(p, -r)\in{\rm epi}(f_{1}\circ{f_{2}}+(-\mu g_{1})\circ{g_{2}}+\delta_{A})^{*}$.由于$(CC)$条件成立,故

$(p, -r)\in\bigcup\limits_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus \times{\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}}K_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})}.$

因此存在$(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus \times{\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}$使得$(p, -r)\in K_{(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})}$.故

$(p, -r-f_1^\ast(\eta_1)-(-\mu g_1)^\ast(\eta_2))\in {\rm epi}(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast , $

即

$(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p)\le -r-f_1^\ast(\eta_1)-(-\mu g_1)^\ast(\eta_2).$

于是

$r\le -f_1^\ast(\eta_1)-(-\mu g_1)^\ast(\eta_2)-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p).$

由于$(P_{(\mu, p)})与(D_{(\mu, p)})$之间的弱对偶成立,故由上式可知$v(P_{(\mu, p)})=v(D_{(\mu, p)})且(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})$是问题$(D_{(\mu, p)})$的最优解.

${\rm (ii)} \Longrightarrow {\rm (iii)}$.假设$(CC)$条件成立,则$ {(P_\mu)}$和$ {(D_\mu)}$之间的稳定强对偶成立.由注3.2(b)可知,要证问题${(P)}$的稳定Farkas引理成立,只需证明(3.15)式中"$\Longrightarrow$"成立.为此,设$p\in X^\ast$且

$\frac{(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle}{(g_{1}\circ{g_{2}})(x)} \geq \mu, ~~~\forall x\in A.$

因此由注3.2(a)可知, $v(P_{(\mu, p)})\ge 0$.于是,由$ {(P_\mu)}$和$ {(D_\mu)}$之间的稳定强对偶可知,存在$(\lambda, \eta_{1}, \eta_{2}) \in K^\oplus \times{\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}$使得

$-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\eta_{1} f_2+\eta_{2} g_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p)\ge 0, $

从而(3.15)式中"$\Longrightarrow$"成立.

特别地,当$p=0$时,由定理3.5的证明可知下面定理成立.

定理3.6  考虑以下命题

(ⅰ) $ {(P_{\mu})}$和$ {(D_{\mu})}$之间的强对偶成立,即$v(P_\mu)=v(D_\mu)$且问题$(D_\mu)$有最优解.

(ⅱ)下式成立

${\rm epi}(f_{1}\circ{f_{2}}+(-\mu g_{1})\circ{g_{2}}+\delta_{A})^{*}\cap(\{0\}\times\mathbb{R}) = \bigcup\limits _{\stackrel{ \lambda\in K^\oplus} {\stackrel {\eta_{1}\in {\rm dom} f_{1}^{*}}{ \scriptscriptstyle {\eta_{2}\in {\rm dom} g_{1}^{*}}}} } K_{(\lambda, \eta_1, \eta_2)}\cap(\{0\}\times\mathbb{R}).$

(ⅲ)问题$ {(P)}$的Farkas引理成立.

则有${\rm (i)}\Longleftrightarrow {\rm (ii)} \Longrightarrow {\rm (iii)}$.

设$f_2=g_2={\rm Id}_X$,则问题$(P_p)$和$(P_{(\mu, p)})$分别转化为如下分式优化问题

(4.1) $\begin{equation}\label{eq53.2} (\overline {P_{p}})\quad\quad\quad \begin{array}{ll} \mbox{ inf }& \frac{f(x)-\langle p, x\rangle}{g(x)} \\ \mbox{s.t.}& x\in C, \ h(x)\in -K \nonumber \end{array} \end{equation}$

和

$ (\overline {P_{(\mu, p)}})\quad\quad\quad \begin{array}{ll} \mbox{ inf }&\{f (x)-\mu g (x)-\langle p, x\rangle\}\\ \mbox{s.t.}& x\in C, \ h(x)\in -K. \end{array}$

设$\mu\le 0$.类似文献[6]的方法,定义$(\overline {P_{(\mu, p)}})$的对偶问题为

$\label{754-D} (\overline {D_{(\mu, p)}})\qquad\sup\limits _{\stackrel{ \lambda\in K^\oplus}{\stackrel{ \eta_{1} \in {\rm{\rm dom}}f^{*}_{1}}{ \scriptscriptstyle {\eta_{2} \in {\rm{\rm dom}}g^{*}_{1}}}} }\{-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p-\eta_{1}-\eta_{2})\}.$

特别地,当$p=0$时,记$(\overline {D_{(\mu, p)}})$为$(\overline {D_{\mu}})$.注意到,在此情形下, 3.2节中的$(CC)$条件转化为$(\overline{CC})$,即

${\rm epi}(f+(-\mu g)+\delta_{A})^{*}={\rm epi} f^\ast+{\rm epi}(-\mu g)^\ast+\bigcup\limits_{\lambda\in K^\oplus} {\rm epi}(\delta_{C}+\lambda h)^{*}. $

因此,由定理3.5可知以下推论成立.

推论4.1  考虑下列命题

(ⅰ) $(\overline {P_{\mu}})$和$(\overline {D_{\mu}})$之间的稳定强对偶成立.

(ⅱ) $(\overline{CC})$条件成立.

(ⅲ) $(\overline {P_{\mu}})$的稳定Farkas引理成立,即对任意的$p\in X^{*}$,有

$\begin{eqnarray*}& & \bigg[ \frac{f_{1}(x)-\langle p, x\rangle}{g_{1}(x)}\geq \mu, \ \forall x\in A \bigg]\\ &\Longleftrightarrow&[\exists (\lambda, \eta_{1}, \eta_{2})\in K^\oplus\times {\rm dom}f_{1}^{*} \times{\rm dom}g_{1}^{*}, \mbox{ s.t. } \\ &&-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-(\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p-\eta_{1}-\eta_{2})\ge 0]. \end{eqnarray*}$

则有${\rm (i)}\Longleftrightarrow {\rm (ii)}\Longrightarrow {\rm (iii)}.$

注4.1  在假设$C\subseteq X$为非空闭凸子集, $h$是star下半连续函数, $f, g:X\rightarrow \overline{{\Bbb R}}$为真凸下半连续函数的条件下,文献[6]研究了分式优化问题

(4.2) $\begin{equation}\label{eq0-1} (\mathcal{P})\qquad   \begin{array}{ll}\inf&\frac{f(x)}{g(x)}\\ \mbox{s.t.}& x\in C, h(x) \in -K \nonumber \end{array} \end{equation}$

的Farkas类引理.利用闭性条件

(4.3) $\begin{equation}\label{closed0}{\rm epi} f^\ast+{\rm epi}(-\mu g)^\ast+{\rm epi}\delta_C^\ast+\bigcup\limits_{\lambda\in K^\oplus} {\rm epi}(\lambda h)^{*}\mbox{是$w^\ast$ -闭集}, \end{equation}$

证明了以下等价关系成立

$\begin{eqnarray*}&&\bigg[ \frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}\geq \mu, \forall x\in A \bigg]\\&\Longleftrightarrow&[\exists (\lambda, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3})\in K^\oplus\times X^{*} \times X^{*}\times X^{*}, \mbox{ s.t. } \\ &&-f_1^\ast(\eta_{1})-(-\mu g_1)^\ast(\eta_{2})-\delta_C^\ast (\eta_{3})+(\lambda h)^\ast(-\eta_{1}-\eta_{2}-\eta_{3})\ge 0]. \end{eqnarray*}$

注意到,当$C$是闭集, $f, g$下半连续时,参照文献[17]的证明方法可知,闭性条件(4.3)等价于

${\rm epi}(f+(-\mu g)+\delta_{A})^{*}={\rm epi} f^\ast+{\rm epi}(-\mu g)^\ast+{\rm epi}\delta_C^\ast+\bigcup\limits_{\lambda\in K^\oplus} {\rm epi}(\lambda h)^{*}.$

从而,利用本文的证明方法同样可建立$C$不一定是闭集,函数$f, g$不一定是下半连续函数情形下问题$(\mathcal{P})$的Farkas类引理.

设$g_{1}=g_2= {\rm Id}_X$,则问题$({P_{p}})$转化为如下凸复合优化问题

(4.4) $\begin{equation}\label{eq54.2} (\widehat{P_p})\quad\quad\quad \begin{array}{ll} \mbox{ inf }&(f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle\\ \mbox{s.t.}& x\in C, \ h(x)\in -K. \nonumber \end{array} \end{equation}$

定义问题$ (\widehat{P_p})$的对偶问题为

$\label{753-D} (\widehat{D_p})\qquad\sup\limits _{ { \lambda\in K^{\oplus}}\atop { \xi\in {\rm dom }f_{1}^{*}}}\{-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_2+\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p)\}.$

特别地,当$p=0$时,分别记$( \widehat{ P_{p}})$和$ ( \widehat{D_{p}})$为$( \widehat{P})$和$( \widehat{D})$.对任意的$p\in X^\ast$, $(\xi, \lambda)\in{\rm dom}f_{1}^{*}\times K^\oplus$,由共轭函数定义有

$\begin{eqnarray*}-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_{2}+\delta_{C}+\lambda h)^{*}(p) &\le& f_1(f_2(x))-\langle \xi, f_2(x)\rangle +(\xi f_{2}+\delta_{C}+\lambda h)(x)-\langle p, x\rangle \\&\le& f_1(f_2(x))-\langle p, x\rangle, \quad\forall x\in A. \end{eqnarray*}$

故$v( \widehat{D})\le v( \widehat{P})$,即$( \widehat{P})$和$( \widehat{D})$之间的弱对偶成立.注意到,此时$(CC)$条件转化为$ (\widehat{CC})$条件,即

$\begin{eqnarray*}{\rm epi}(f_{1}\circ{f_{2}}+\delta_{A})^{*}&=&\bigcup\limits_{ \lambda\in K^\oplus\atop {\xi\in {\rm dom} f_{1}^{*}}}\{{\rm epi}(\xi f_{2}+\delta_{C}+\lambda h)^{*}+(0, f_{1}^{*}(\xi))\}. \end{eqnarray*}$

推论4.2  下面命题等价

(ⅰ) $( \widehat{P})$和$( \widehat{D})$之间的稳定强对偶成立.

(ⅱ) $( \widehat{CC})$条件成立.

(ⅲ) $( \widehat{P})$和$( \widehat{D})$之间的稳定Farkas引理成立,即对任意的$p\in X^{*}, r\in\mathbb{R}$,

$ \begin{eqnarray*}\label{fa11}&&[ (f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle\geq r, \forall x\in A]\nonumber\\&\Longleftrightarrow&[\exists(\lambda, \xi)\in K^\oplus \times {\rm dom}f_{1}^{*}\mbox{ s.t. }-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_{2}+\delta_{C}+ \lambda h)^{*}(p)\geq r]. \nonumber\end{eqnarray*}$

证  由定理3.5可知, ${\rm (i)}\Leftrightarrow {\rm (ii)}\Rightarrow {\rm (iii)}$成立.下证${\rm (iii)}\Rightarrow {\rm (ii)}$成立.为此,假设(ⅲ)成立.设$p\in X^\ast$, $r:=v( \widehat{P_p})$.则对任意的$x\in A$有$ (f_{1}\circ{f_{2}})(x)-\langle p, x\rangle\geq r$.于是由命题(ⅲ),存在$(\lambda, \xi)\in K^\oplus \times {\rm dom}f_{1}^{*}$使得

$-f_1^\ast(\xi)-(\xi f_{2}+\delta_{C}+\lambda h)^{*}(p)\geq r.$

注意到, $( \widehat{P_p})$和$( \widehat{D_p})$之间的弱对偶成立.因此$v( \widehat{P_p})=v( \widehat{D_p})且(\lambda, \xi)$是问题$( \widehat{D_p})$的最优解,即$( \widehat{D_p})$和$( \widehat{D_p})$之间的强对偶成立.

设$f_{2}=g_{1}=g_{2}={\rm Id}_X$,则问题$(P_{p})$转化为

$\begin{eqnarray*} (\widetilde{P_p}) \quad\quad \begin{array}{ll} \inf&f (x)-\langle p, x\rangle\\ \mbox{s.t.}& x\in C, h(x)\in -K, \end{array} \end{eqnarray*}$

而相应的对偶问题转化为

$\begin{eqnarray*} (\widetilde{D_p}) \qquad\sup\limits _{ { \lambda\in K^\oplus}\atop { \xi\in {\rm dom }f^{*}}}\{-f^\ast(\xi)-(\delta_{C}+\lambda h)^\ast(p-\xi)\}.\end{eqnarray*}$

特别地,当$p=0$时,我们记$(\widetilde{P_p})$及$ (\widetilde{D_p}) $分别为$ (\widetilde{P}) $和$ (\widetilde{D}) $.注意到,对任意的$p\in X^\ast$, $(\lambda, \xi)\in K^\oplus\times{\rm dom}f_{1}^{*}$有

$-f^\ast(\xi)-(\lambda h+\delta_{C})^\ast(p-\xi)\le f(x)+\delta_{C}(x)+(\lambda h) (x)-\langle p, x\rangle\le f_1(x)-\langle p, x\rangle, \quad \forall x\in A.$

故$ v(\widetilde{D_p})\le v(\widetilde{P_p})$,因此$ (\widetilde{P}) $和$ (\widetilde{D}) $之间的稳定弱对偶成立.

由推论4.2可得以下结论.

推论4.3  下面命题等价

(ⅰ) $ (\widetilde{P}) $和$ (\widetilde{D}) $之间稳定强对偶成立.

(ⅱ) $ {\rm epi}(f+\delta_{A})^\ast={\rm epi}f^\ast+ \bigcup\limits _{ { \lambda\in K^\oplus} }{\rm epi}( \delta_{C}+\lambda h)^\ast.$

(ⅲ) $ (\widetilde{P}) $的稳定Farkas引理成立,即对任意的$p\in X^{*}$及$r\in\mathbb{R}$,有

$\begin{eqnarray*}&& [ f_{1}(x)-\langle p, x\rangle\geq r, \forall x\in A]\\ &\Longleftrightarrow&[\exists (\xi, \lambda)\in {\rm dom }f_{1}^{*} \times K^\oplus, \mbox{ s.t. } -f_1^\ast(\xi)-(\delta_{C}+\lambda h)^{*}(p-\xi)\geq r].\end{eqnarray*}$

注4.2  在假设$C\subseteq X$为非空闭凸子集, $h是K$ -上图闭函数, $f, g:X\rightarrow \overline{{\Bbb R}}$为真凸下半连续函数的条件下,文献[9]利用条件$C_2(f, A)$

$\label{closed}{\rm epi} f^\ast+ \bigcup\limits_{\lambda\in K^\oplus} {\rm epi}(\delta_C+\lambda h)^{*}\mbox{是$w^\ast$ -闭集}, $

研究了问题$(\widetilde{P})$及其对偶问题$(\widetilde{D})$之间的强对偶.注意到,在此条件下, $C_2(f, A)$条件与推论4.3中的命题(ⅱ)等价,因此,本文的结论推广了文献[9]中的定理2.