摘要： 文[1]通过考虑四阶非对称微分算子Aλ:(K (i,j),‖·‖H4)→(AλK(i,j),‖·‖L2)(诸定义见如下的一定义与问题)相应于λ的一对一性,处理了边值问题Aλy=f,y∈K(i,j),f∈c[0,l]相应于λ的y对于f的唯一性问题。这恰好描述了某一类飞行器飞行的平稳性状之一即飞行器不振动的情形,值得指出,由于Aλ非对称,及上述的二个空间即使在扩张意义下也不是同一个Hilbert空间,因而难以用自伴算子的技巧来处理Aλ的一对一与同构,故文[1]的结论实际上是引入F.沙特林[2]中的带算子内积(Aλy,z),并对Re (Aλy,y)y)进行先验估计而得到的。
本文将进一步处理对刻划飞行器飞行平稳性状更为重要的正则性:即边值问题Aλy=f中y与f互相连续地依赖的情形,等价地,如上的算子Aλ相应于λ为同构的情形。除了避免使用自伴算子技巧外,我们知道,文[1]中的方法也不再适用,从形式Re (Aλy,y),可以想到采用或模仿单调算子的技巧,但Aλ并不是单调算子,此外即使将算子Aλ分为实部与虚部考虑,对于某些λ成为单调算子,充其量只能得到带有扰动算子的满射性结果[3],因为无法得到使极大单调线性算子成为同构的强制性条件,故本文采用对‖Aλy‖L2进行下界估计的方法,通过较为复杂的先验估计,本文得到了使‖Aλy‖L22 ≥ εo2‖y‖H42成立的λ的条件,从而对于这些λ,得到了同构Aλ:(K (i,j),‖·‖H4)≈(AλK(i,j),‖·‖L2)及其扩张同构Aλ∽:(K (i,j)‖·‖H4,‖·‖H4≈(AλK(i,j)‖·‖L2,‖·‖L2)更有趣的是,通过泛函分析的方法尤其是逆算子定理,上述的同构还可以转化为更为精细的局构
Aλ:(K (i,j),‖·‖c4≈(AλK(i,j),‖·‖c).