一类统计量的乘积的渐近性质和几乎处处中心极限定理

数学物理学报 ›› 2013, Vol. 33 ›› Issue (3): 475-482.

一类统计量的乘积的渐近性质和几乎处处中心极限定理

邱瑾¹|陆传荣²

1.浙江财经学院数学与统计学院杭州 310018|2.浙江大学数学系杭州 310028

收稿日期:2011-11-19 修回日期:2013-02-28 出版日期:2013-06-25 发布日期:2013-06-25
基金资助:
浙江省自然科学基金(Y6110615)和教育部人文社会科学研究规划基金(12YJA910003)资助

The Asymptotic Properties and Almost Sure Central Limit Theorems for the Products of a Class of Statistics

QIU Jin¹, LU Chuan-Rong²

1.School of Mathematics and Statistics, Zhejiang University of Finance and Economics, Hangzhou 310018;
2.Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou 310028

Received:2011-11-19 Revised:2013-02-28 Online:2013-06-25 Published:2013-06-25
Supported by:
浙江省自然科学基金(Y6110615)和教育部人文社会科学研究规划基金(12YJA910003)资助

摘要/Abstract

摘要：

设{X_n, -∞<n<∞}为独立同分布平方可积正值随机变量序列, μ=EX₁, σ²=Var X₁>0. 记S_n=∑ⁿ_i₌₁X_i, T_n=Tn(X₁, …, X_n)是一统计量(或随机函数), 可被表示为T_n=a_nS_n+R_n, 其中a_n>0为常数序列, R_n为余项. 该文证明若R_n=o(a_n√n) a.s., 则对统计量T_n的乘积的几乎处处中心极限定理成立, 且给出了它的渐近分布和弱不变原理. 并以U统计量, Von-Mises统计量, 线性模型误差方差的估计等几个常见的统计量为例说明结果应用的广泛性. 推广了以往文献中关于独立同分布随机变量和的乘积及U统计量乘积的相应结果.

关键词: 统计量的乘积, 几乎处处中心极限定理, 渐近分布, 弱不变原理

Abstract:

Let {X_n, -∞<n<∞} be a sequence of independent and identically distributed, positive, square integrable random variables with μ=EX₁, σ²=Var X₁>0. The asymptotic properties for the products of a class of statistics (or random functions) expressed by T_n=a_nS_n+R_n are discussed, where S_n=∑ⁿ_i=1X_i, a_n>0 is a sequence of constants, R_n=o(a_n√n) a.s.. The results contain the almost sure central limit theorems, asymptotically lognormality and the weak invariance principles. Some examples such as U-statistics, Von-Mises statistics, error variance estimates in linear models are stated to illustrate the generality of the results.

Key words: Products of statistics, Almost sure central limit theorem, Central limit theorem, Weak invariance principle

中图分类号:

60F05

邱瑾, 陆传荣. 一类统计量的乘积的渐近性质和几乎处处中心极限定理[J]. 数学物理学报, 2013, 33(3): 475-482.

QIU Jin, LU Chuan-Rong. The Asymptotic Properties and Almost Sure Central Limit Theorems for the Products of a Class of Statistics[J]. Acta mathematica scientia,Series A, 2013, 33(3): 475-482.

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