松材线虫病, 又称松树萎蔫病, 是由松树线虫引起的具有毁灭性的森林病害, 属于中国重大外来入侵种, 已被中国列为对内、对外的森林植物检疫对象. 该病自 1982 年传入中国以来, 扩散蔓延迅速, 全国已有 14 个省 (市、区) 发生, 面积达 7.7 万 km$^{2}$, 导致大量松树枯死, 对中国的松林资源、自然景观和生态环境造成严重破坏, 并造成了严重的经济和生态损失. 在自然界中松材线虫的传播主要依赖媒介昆虫, 因此, 媒介昆虫既能携带松材线虫又能传递给寄主植物导致病害发生^[1]. 中国、日本和韩国松材线虫病的媒介昆虫主要是松墨天牛, 松墨天牛成虫取食健康松树嫩枝的树皮来补充营养. 携带松材线虫的天牛成虫在咬食松树皮时, 线虫幼虫从伤口侵入健康松树, 并在树脂道进行大量繁殖. 如此反复, 导致病害扩散蔓延. 松材线虫、松墨天牛和松树三者之间的联系构成了松材线虫病的侵害循环^[2,3]. 数学模型有助于从生物学角度理解松材线虫的传播机制并研究其传播动力学和提出有效的防控措施. Lee等人^[4]建立了一类具有非线性发生率的松材线虫病模型并提出了相应的最优控制问题. AI Basir等人^[5]建立并分析了具有多感染途径时滞效应的松材线虫病动力学模型. 高淑京等人^[6]研究了一类具有阶段结构的虫媒传播模型 (松材线虫病) 的全局动力学行为. 考虑空间因素后, El-Mesady 等人^[7]分析了反应扩散松材线虫病模型阈值动力学并提出了控制措施. Hou和Ding^[8] 建立了带有记忆扩散和非局部感染的松材线虫病模型并进行了动力学分析. Fotso等人^[14]提出了一种具有年龄结构的作物-害虫模型. 实际上, 携带松材线虫的天牛可以通过飞行进行长距离的扩散从而感染较远距离的松树, 而以往的拉普拉斯算子表示的局部扩散此时就无法刻画这一生物种群行为. 非局部扩散 $\int J(x-y)(u(y)-u(x)){\rm d}y$ 能很好地描述这一生物现象^[10]. 为了研究非局部扩散和感染年龄对松材线虫病的传播影响, 本文建立一类年龄-空间结构非局部扩散松材线虫病动力学模型. 为此, 考虑四个仓室:$S_h(t, x)$(易感松树在时间$t$和空间位置$x$处的密度分布), $I_h(t, x)$(感染松树在时间$t$和空间位置$x$ 处的密度分布), $S_v(t, x)$(不携带松材线虫的松墨天牛在时间$t$和空间位置$x$处的密度分布). 考虑到松墨天牛的携带松材线虫的时间 (感染年龄), 记$I_v(a, t, x)$为携带松材线虫的天牛在时间$t$, 空间位置$x$处和携带时间 (感染年龄)$a$的密度函数, 其对应的动力学模型如下

其中参数$\Lambda_h(x)(\Lambda_v(x))$和$\mu_h(x)(\mu_v(x))$分别表示松树 (天牛) 的输入率和正常死亡率, 参数$\omega(x)$和$\theta(a, x)$分别表示松树和天牛的因病死亡率. 系数$\beta_1(x)$和$\beta_2(x)$分别表示成熟感染的天牛与易感松树之间的疾病传播率以及易感的载体通过产卵传播疾病的速率. 系数$\beta_3(x)$表示成年天牛从枯树 (感染的松树) 上迁移时携带松材线虫的速率. 模型中参数都依赖空间变量$x$, 以此来刻画空间异质性. 非局部扩散算子$[\mathcal{L}](x)$具体形式如下

其中$\mathcal{J}(x-y)$表示个体从位置$y$移动到$x$处的概率分布. 于是$\int_\Omega J(x-y)u(x)\mbox{d}x$表示个体$u(x)$在$x$处的移入率, 而$\int_\Omega J(x-y)u(y)\mbox{d}y$表示个体$u(x)$在$x$处的移出率. 为了研究天牛个体的非局部扩散对疾病传播的影响, 本文利用上述非局部算子来刻画天牛个体的非局部扩散行为.

为了后续对系统(1.1)进行动力学分析, 根据文献[13], 首先对模型参数提出如下假设

假设 2.1 对于系统(1.1), 假设

(A1 ) 参数$\Lambda_h(\cdot)$, $\mu_v(\cdot)$, $\mu_h(\cdot)$, $\sigma(\cdot) \in L_+^\infty(\overline{\Omega})$, 其中$\overline{\Omega}$ 是有界区域$\Omega$的闭包. 参数$\theta(\cdot, \cdot)\in L_+^\infty(R_+, \overline{\Omega});$

(A2 ) 发生率$\beta_i(a, x, y)$$(i=1, 2)$满足

其中$h \in R^n$, $\|\cdot\|$记为$R^n$中的一般Euclidean范数. 此外, 存在函数 $\underline{\beta_i}(a)$ 使得对任意 $a \in R$, 有 $\beta_i(a, \cdot, \cdot) \geq \underline{\beta_i}(a)$ 成立, 并且存在区间 $[a_1, a_2] \subset R_+$ 使得 $\underline{\beta_i}(a) \geq 0, a \in [a_1, a_2]$;

(A3) 非局部扩散内核函数$J(x)$满足:$J(x)$是对称的且非负的, $\int_{\Omega}J(x){\rm d}x=1, J(0)=0, J(x)$在$\overline{\Omega}$上是Lipschitz 连续的.

定义空间$Y=L^2(\Omega), Z=R\times L^1(R_+, Y), X=Y\times Y\times Y\times Z,$其范数为$\left[ \int_{\Omega} \psi^2(y) \, \mbox{d}y \right]^{\frac{1}{2}}$, $\|\zeta\|_Z=|\zeta_1|+\int_{0}^{\infty}[\int_{\Omega}\zeta_2^2(a, y)\mbox{d}y]^{\frac{1}{2}}\mbox{d}a, \psi \in Y, (\zeta_1, \zeta_2)^T\in Z, \|\Phi\|_X=\|\Phi_1\|_Y+\|\Phi_2\|_Y+\|\Phi_3\|_Y+\|\Phi_4\|_X, \Phi=(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3, \Phi_4)^T\in X.$记$X_+, Y_+, Z_+$分别为$X, Y, Z$的正锥. 此外, 记$Z_0={0}\times L^1(R_+, Y), X_0:=Y\times Y\times Y\times Z_0,$其正锥为$Z_{0+}=Z\cap Z_+, X_{0+}=X\cap X_+$. 定义线性算子$\mathcal{A}_v:D(\mathcal{A}_v)\to \mathbb{Y}$如下

$\mathcal{A}_h:D\mathcal{A}_v\to Y$如下

$\mathcal{A}_{I_h}:D(\mathcal{A}_{I_h})\to Y$如下

$\mathcal{A}_{I_v}:D(\mathcal{A}_{I_v})\to Z$. 如下

其中$D(\mathcal{A}_{I_v}) = \{\psi_{I_v} \in Z \mid \partial_a \psi_{I_v}(a, \cdot) \in L^2(R_+), \psi(\cdot, x) = 0, x \in \partial\Omega\}.$于是记算子$\mathcal{A}:D(\mathcal{A})\to X$

$D(\mathcal{A})=D(\mathcal{A}_h)\times D(\mathcal{A}_{I_h})\times D(\mathcal{A}_v)\times D(\mathcal{A}_{I_v})$. 再定义非线性算子

$\psi \in X_0$.令$u(*)=(S_h(t, \cdot), l_h(t, \cdot), S_v(t, \cdot), I_v(a, t, \cdot))^T$, 则系统$(1.1)$可改写为如下抽象Cauchy问题

为了研究系统(2.2)解的存在性. 首先引入关于足够小的$\zeta$的扰动系统如下

其中$\mathcal{A}-\frac{1}{\zeta}E=(\mathcal{A}_h, \mathcal{A}_{I_h}, \mathcal{A}_v-\frac{1}{\zeta}E, \mathcal{A}_{I_v}-\frac{1}{\zeta}E)$, $E$ 是单位算子. 根据文献 [11,定理 3.1] 可知.

引理 2.1 算子$\mathcal{A}$如(2.1)式中所定义, $\mathcal{A}-\frac{1}{\zeta}$ 是闭线性算子且$\overline{D(\mathcal{A})}=X_0$. 此外, 对于所有的$\lambda >-\zeta_0-\frac{1}{\zeta}, \mathcal{A}-\frac{1}{\zeta}$满足Hille-Yosida估计.

其中$\zeta_0$是具有Dirichlet边界条件的算子$\mathcal{L}$的主特征值, 且满足

根据Fréchet可微定义, 易得如下结论.

引理 2.2 如果$\Phi \in X_0,$那么非线性算子$\mathcal{F}$是Fréchet可微的.

结合引理2.1、2.2以及文献 [9,命题 4.16], 可得如下结论

定理 2.1 若假设2.1成立, 则系统(2.2)存在唯一的解

定理 2.2 对于系统(2.2), 以下结论成立

(1) 如果$u_0\in X_{0+}$, 那么$u(t)\in R_+^4, t\in R_+;$

(2) 如果假设2.1成立, 那么(2.6)式中的$T_0 \to \infty$. 即系统(2.2)的解是全局存在的且系统(2.2)生成解半流$\Phi(t):=(S_h(t, \cdot), I_h(t, \cdot), S_v(t, \cdot), I_v(t, \cdot), u_0), t\geq 0.$

证 首先证明结论(1). 假定$S_h(t_0, \cdot)=0, S_v(t_0, \cdot)=0.$ 则从系统(1.1)第一个和第二个方程可得$\left. \frac{\partial S_h(t, \cdot)}{\partial t} \right|_{t=t_0} = \Lambda_h(\cdot) > 0, \left. \frac{\partial S_v(t, \cdot)}{\partial t} \right|_{t=t_0} = \Lambda_v(\cdot) > 0,$ 从而可得$S_h(t, \cdot)>0, S_v(t, \cdot)>0, t\in R_+.$利用特征线法求解第四个方程可得

其中$\Pi(0, a)[\Phi](\cdot) = \exp\left\{-\int_{0}^{a}(\mu_v(\cdot)+\theta(s, \cdot))\, {\rm d}s\right\}{\rm e}^{d_I \mathcal{L}a}[\Phi](\cdot)$, 继而有

其中$H_1(t)=\int_{\Omega}\int_{0}^{\infty}(\beta_1(a+t, \cdot, y)+\beta_2(a+t, \cdot, y))\Pi(a, a+t)[I_{v0}](a)\mbox{d}a\mbox{d}y$. 假设对于任意的$t\in R_+$, $I_h(t, x)$, $I_v(0, t, x)$都是非负的. 若假设不成立, 定义$t_h = \inf\limits_{t \in [0, t_0), x \in \Omega} \left\{ I_h(t, x) \right\}.$假设$t_0=t_h$, 则有$I_v(0, t_0, x)>0, I_h(t_0, x)>0, \left. \frac{\partial I_h}{\partial t} \right|_{t=t_0} < 0,$以及$I_v(0, t, x)>0$, $I_h(t, x)>0$, $t\in[0, t_0)$, $x\in \Omega$. 事实上, 由假设2.1以及$S_h(t, x), S_v(t, x)$的正性可知$\left. \frac{\partial I_h(t, x)}{\partial t} \right|_{t=t_0} > 0$, 这与假设矛盾. 因此, $I_h(t, x)$是非负的. 继而可知$I_v(0, t, x)$也是非负的. 故系统(1.1)解的非负性得证. 接下来, 证明结论(2). 为此定义

由系统(1.1)可得

其中$\underline{\mu} = \min \{ \underline{\mu}_v, \underline{\mu}_h \}$, 这意味着

其中

从而可得

再由$S_h(t, x)$和$S_v(t, x)$正性可得$S_h(t, x)\leq S_{h0}+\frac{\overline{\Lambda}_h\left| \Omega \right|}{\underline{\mu}_h}:=P_h$. 由$I_h(t, x)$的有界性易知$I_v(0, t, x)$也是有界的. 由(2.6)式可知$I_v(a, t, x)\in Z_0$, $(a, t, x)\in R_+\times[0, T_0)\times\overline{\Omega}$. 从而可知$I_v(a, t, x)$也是有界的. 综上所述, 系统(1.1)的解都是最终有界的. 结合定理{2.1} 中解的局部存在性结论可知系统$(1.1)$的解是全局存在的且系统(1.1) 生成解半流$\Phi:x_0 \to X$.

根据定理2.2和文献[12]可知下列集合是系统(1.1)解半流$\Phi(t)$的正向不变集

接下来, 讨论初值从$\mathcal{D}$中出发的系统(1.1)解的动力学行为.

从传染病学角度, 所谓基本再生数$\mathcal{R}_0$就是当一个感染个体进入一个易感群体中在其感染周期内平均所产生的新增感染个体数量. 它是衡量感染个体入侵能力的一个重要指标. 如果$\mathcal{R}_0>1$, 疾病会持久存在. 如果$\mathcal{R}_0<1$, 疾病最终会消亡. 针对本文提出的复杂年龄-空间非局部扩散模型, 本章节致力于通过建立一般的更新方程来推导出$\mathcal{R}_0$ 的泛函表达式. 根据文献 [10,引理2.3], 可知系统

存在唯一的Lipschitz连续的正解$S_v^0(\cdot)=-(d_v \mathcal{L}-\mu_v(\cdot)E)^{-1}[\Lambda_v](\cdot)$, 其中$E$是单位算子. 此外系统

也存在唯一的Lipschitz连续正解$S_h^0(\cdot)=\frac{\Lambda_h(x)}{\mu_h(x)}, x\in\Omega.$于是, 可知系统(1.1)始终存在唯一的无病平衡态$E_0=(S_h^0, 0, S_v^0, 0).$ 从而可得系统(1.1)在$E_0$处的线性化系统 (仅包含感染仓室)

假设系统(3.1)存在指数形式解$I_h(t, x)=\psi_2(x){\rm e}^{\lambda t}, I_v(a, t, x)=\psi_4(a, x){\rm e}^{\lambda t}, x\in\Omega$, 其中$(\psi_2, \psi_4)$ 是关于特征值$\lambda$的特征向量. 将此指数形式解代入到系统(3.1)中可得

于是, 可得$\psi_4(a, x)=\Pi_\lambda(0, a)[\psi_4](0, x), x\in\Omega$, 其中$\Pi_\lambda(0, a)[\phi](x)={\rm e}^{-\lambda a}\Pi(0, a)[\phi](x)$. 此外

将式$\psi_4(a, x)$代入到$\psi_2$中可得

再根据$\psi_4(0, x)$表达式可得

因此, 定义算子$\mathcal{L}_0:Y\to \mathbb{Y}$如下

利用特征线性求解系统(3.1)第二个方程可得

假设在感染一开始时$I_h(0, x)=0$, 利用常数变易公式求解系统(3.1) 的第一个方程可得

从而有

其中

显然, 方程(3.3)是系统(1.1)的更新方程. 根据文献 [11,第9.2小节], 定义下一代再生算子$\mathcal{R}:Y\to \mathbb{Y}$如下

引理 3.1 若假设2.1成立, 则下一代再生算子$\mathcal{R}$是紧的且是非支撑的.

证 首先证明算子$\mathcal{R}$的紧性. 假设$K<\mathcal{D}$是$\mathbb{Y}$ 中一个有界集, 则对任意的$\phi \in K$, 存在$M>0$使得$\left|\phi\right|\leq M$. 同时, 注意到$S_v^0(\cdot) = -\left(d_v\mathcal{L} - \mu_v(\cdot)E\right)^{-1} [\Lambda_v](\cdot) = \int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-\left[d_v\mathcal{L} + \mu_v(\cdot)\right]t}\Lambda_v(\cdot)\, \mbox{d}t \leq\frac{\overline{\Lambda}_v}{d_v \zeta_0+\mu_v} := M_v$, $S_h^0(\cdot) = \frac{\Lambda_h(\cdot)}{\mu_h(\cdot)} \leq \frac{\overline{\Lambda}_h}{\underline{\mu}_h} := M_h$. 这意味着$S_v^0(\cdot)$, $S_h^0(\cdot)$是一致有界的. 故

因此算子$\mathcal{R}$是一致有界的. 为了证明紧性, 还需证明算子$\mathcal{R}$是高度连续的, 利用 Minkowski 和 Cauchy-Schwariz 不等式可得对充分小的$h$有

显然由假设2.1可知算子$\mathcal{R}$是度连续的. 再根据Kolmogorov-Riesz定理可知. 可知算子$\mathcal{R}$是紧的. 接下来证明算子$\mathcal{R}$是非支撑的. 为此, 定义$E$的泛函$f$如下

由假设2.1可知f是严格正的. 注意到算子$\mathcal{R}$的定义可知$\mathcal{R}[\phi] \geq \langle f, \phi \rangle e, e \in \mathbb{Y}_+ \setminus \{0\}$从而有$\mathcal{R}^{n}[\phi] \geq \langle f, \phi \rangle^{n}e, n\in N_+.$因此, 对任意$\phi \in \mathbb{Y}_+ \setminus \{0\}, f \in \mathbb{Y}_+^{*} \setminus \{0\},$有$\langle f, \mathcal{R}^{n}[\phi] \rangle >0$成立, 其中$\mathbb{Y}_+^{*}$的共轭空间. 根据文献[10]可知算子$\mathcal{R}$ 是非支撑的.

结合引理2.1和Krein-Rutman定理可知算子$\mathcal{R}$是有一个具有正特征向量$\phi\in \mathbb{Y}_+ \setminus \{0\}$的正特征值. 根据算子$\mathcal{R}$和模型基本再生数$\mathcal{R}_0$的关系可定义

定理$s(\mathcal{L})$是算子$\mathcal{L}$的谱界, $s(\mathcal{L})=\sup\{R_e\lambda, \lambda \in \sigma(\mathcal{L})\}$, 其中$\sigma(\mathcal{L})$是算子$\mathcal{L}$的谱集. 于是根据文献[10,引理 3.3] 可有如下结论成立.

引理 3.2$r(\mathcal{R})-1$和$s(\mathcal{L}_0)$具有相同符号.

定理 3.1 如果$\mathcal{R}_0<1$, 那么系统(1.1)无病平衡态$E_0=(J_h^{0}(\cdot), 0, J_v^{0}(\cdot), 0)$是全局渐进稳定的.

证 首先证明$E_0$有局部渐进稳定性. 为此, 首先到系统(1.1)在无病平衡态$E_0$处的特征方程如下

其中$\psi$是关于特征值$\lambda$的特征向量, 选取关于算子$\mathcal{R}^{*}$的特征函数$\phi\in Y^{*}$($\mathcal{R}^{*}$ 是算子 $\mathcal{R}$ 的伴随算子, $Y^{*}$是空间$Y$的对偶空间). 因此, $\langle \psi, \phi \rangle =\langle \tilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda), \phi \rangle.$如果$\lambda\in R$, 由算子$\mathcal{R}$的正性可得$\langle \tilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda), \phi \rangle$关于$\lambda$是单调递减的. 于是, 如果$\lambda\geq0$, 那么$\langle \psi, \phi \rangle=\langle \tilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda), \phi \rangle=\langle \tilde{\mathcal{R}}[\psi](0), \phi \rangle=\langle \psi, \mathcal{R}^{*}[\phi] \rangle=\mathcal{R}_0\langle \psi, \phi \rangle$. 当$\mathcal{R}_0<1$, 这显然不成立. 如果$\mathcal{R}_0<1, \lambda<0$ 假设特征方程$\langle \psi, \phi \rangle = \left|\langle \tilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda), \phi \rangle\right| \leq \left|\langle \tilde{\mathcal{R}}[\alpha](\lambda), \phi \rangle\right|\leq \langle \tilde{\mathcal{R}}, \phi \rangle= \mathcal{R}_0 \langle \psi, \phi \rangle < \langle \psi, \phi \rangle.$ 这显然是矛盾的. 故如果$\mathcal{R}_0<1$, 那么$Re\lambda<0$. 因此可知当$\mathcal{R}_0<1$ 时无病平衡态是局部局部渐进稳定的. 接下来证明$E_0$的全局吸引性. 由系统(1.1)中$T_h(t, x)$和$T_v(t, x)$ 可知存在两个正常数$t_0$和$\omega$使得当$t>t_0$时, $S_h(t, x)\leq S_h^{0}(x)+\omega, S_v(t, x)\leq S_v^{0}(x)+\omega$恒成立. 由此可得

考虑如下比较系统

由$E_0$渐近稳定性可知系统(3.7)有其指数形式解$(c_2{\rm e}^{\lambda_\omega t}\psi_2(a, \cdot), c_2{\rm e}^{\lambda_\omega t}\psi_4(\cdot))$, 其中$(\psi_2, \psi_4)$是关于特征值$\lambda_\omega$的特征向量. 由比较原理可得$(I_h, I_v)\leq(c_2{\rm e}^{\lambda_\omega t}\psi_2(a, \cdot), c_2{\rm e}^{\lambda_\omega t}\psi_4(\cdot)),$其中$c_2, c_4$ 是足够大常数. 如果$\mathcal{R}_0<1$, 那么有$\lambda_\omega<0$. 因此当$t\to\infty$ 时, 有$(I_h, I_v)\to(0, 0).$ 此外由线性理论系统渐近理论易知$\lim\limits_{t\to \infty}(S_h(t, \cdot), S_v(t, \cdot))=(S_h^{0}(t, \cdot), S_v^{0}(t, \cdot)$. 由此可知$E_0$是全局吸引的. 综上, 可证$E_0$是全局渐进稳定的.

在本节中, 利用Krasoselskii不动点原理来证明证明系统(1.1)非平凡解的存在性, 记系统(1.1)的正平衡态$E^{*}=(S_h^{*}(x), I_h^{*}(x), S_v^{*}(x), I_v^{*}(a, x)),$其满足下列状态方程

求解状态方程(4.1)可得

将(4.2)式代入到系统(4.1)中的$I_v^{*}(0, x)$中并写成下列不动点问题

其中

对于不动点问题(4.3), 有如下结论

引理 4.1 如果假设2.1成立, 那么算子$\Phi$是正且紧的.

证 由引理2.1可知$-[d_v\mathcal{L}-\mu_v(x)]^{-1}$是预解正的. 因此, 如果$I_v^{*}(o, x)>0$, 那么

由系统(4.1)第3个方程易知当$I_v^{*}(0, x)>0$, 有$P_0[I_v^{*}](0, x)>0.$ 从而可知 $S_h^{*}(x):=P_h[I_v^{*}](0, x)$$>0.$继而可得$S_v^{*}(x)>0$. 因此算子$\Phi$是正的. 类似引理4.1 中的证明. 易知当$h\to0$时算子$\Phi$满足: $\| \Phi[\psi](x+h)-\Phi[\psi](x)\|_{\Upsilon}\to 0$(等度连续), 于是由Kolmogorov紧性定理可知算子$\Phi:Y\to \Upsilon$是紧的.

定理 4.1 若算子$\Phi$如式(4.3)中所定义, 则算子$\Phi$在$\mathbb{Y}_{+} \setminus \{0\}$中有一个正的不动点.

证 注意到$\Phi(0)=0, \Phi^{'}(0)=\mathcal{R}.$根据引理4.1可知算子满足文献 [11,命题 10.33] 条件 (1) 和 (2). 再由 Krein-Rutman 定理可得$\mathcal{R}_0>1$ 是具有正特征向量$\phi$的算子 $\mathcal{R}$ 的正特征值且算子$\mathcal{R}$没有关于特征值为1的特征向量. 因此, 文献 [11,命题 10.33] 中条件(3) 和(4)同样也满足. 于是由文献 [11,命题 10.33] 的结论可以知算子$\Phi$ 在$\mathbb{Y}_{+} \setminus \{0\}$ 中至少存在一个非平凡的不动点.

此小节主要讨论系统(1.1)在$d_v=0$时的正平衡态$E^{*}$的渐进性质. 为了后续讨论方便. 令$\omega^{0}(d, \zeta)$是如下特征问题的主特征值

其中$d>0, \zeta, \xi\in L^{2}(R_{+}, \mathbb{Y}).$显然主特征值$\omega^{0}(d, \zeta)$关于$d$和$\zeta$是连续的. 求解 (4.4) 可得 $\psi(x)=\int_{\Omega}\int_{0}^{\infty}\zeta(a, x, y)G(a, y)[\psi](y)\mbox{d}a\mbox{d}y$, $x\in \Omega$, 其中

继而

其中$\psi$是关于$\omega^{0}(d, \zeta)$的特征函数, $G_0(a, \cdot)[\phi](\cdot)={\rm e}^{-\int_{0}^{a}\xi(s, \cdot)\, \mbox{d}s} {\rm e}^{\mbox{d}\mathcal{L}a}[\phi](\cdot).$由定理2.8 ^[10]可知$\omega^{0}(d, \zeta)$关于$d$减函数且

其中$\Psi_\zeta(0, a)[\phi](y)=\exp{-\int_{0}^{a}\xi(s, y)\mbox{d}s}$, 此外, 如果存在$\zeta_1>\zeta_2$使得, 某些对 $x\in \overline{\Omega}$ 有$\omega^{0}(d, \zeta_1)>\omega^{0}(d, \zeta_2)$, 那么$\omega^{0}(d, \zeta)$关于$\zeta$是单增的.

针对系统(1.1), 令

是下列特征问题

的主特征值. 定义

于是可得如下引理

引理 4.2$\omega_s^{0}$和$r(\tilde{\mathcal{R}}_{\omega=0})-1$具有相同的符号.

引理 4.3 令$\omega_s^{0}$如(4.5)式中定义, 则下列非线性问题

具有如下性质

(1) 如果$\omega_s^{0}<0$, 那么系统(4.6)存在唯一的平凡解;

(2) 如果$\omega_s^{0}>0$, 那么系统(4.6)存在不依赖时间 $t$ 的正解.

证 首先证明结论(1). 假设结论(1)不成立, 则系统(4.6)在$\omega_s^{0}<0$时存在正解. 对于系统(4.6)求解可得

如果$\omega^{0}<0$, 由引理4.2可知$\tilde{\mathcal{R}}_{\omega=0}[\phi]<1$, 从而可得$\phi(0, x)=0$. 这与假设相矛盾. 因此假设不成立, 结论(1)得证. 接下来证明(2). 对任意的$\phi\in \mathbb{Y}_{+}, x\in\omega$, 令

显然对任意的$\phi\in\mathbb{Y}$, 有$\mathcal{R}^{[I]} [\phi]\leq \tilde{\mathcal{R}}_{\omega=0}[\phi]$成立. 由引理4.1可知非线性算子$\mathcal{R}^{[I]}$是紧的和非支撑的. 再根据定理4.1结论可知算子$\mathcal{R}^{[I]}$在$\mathbb{Y}_{+} \setminus \{0\}$中至少存在一个不动点.

定理 4.2 令$\omega_s^{0}$如式(4.5)可定义, 则下列结论成立.

(1)如果$\omega_s^{0}<0$, 那么存在$d_v^{*}>0$, 当$d_v<d_v^{*}>0$ 时, 使得系统(1.1)在$d_v=0$时存在唯一的平凡解;

(2)如果$\omega_s^{0}>0$, 那么存在$d_v^{*}>0$, 当$d_v<d_v^{*}>0$ 时, 使得系统(1.1)在$d_v=0$时至少存在一个不依赖于时间$t$的正平衡态. 此外, 当$d_v\to 0$时, 对$x\in \Omega$有$(S_h(x), I_h(x), S_v(x),$$I_v(a, x))$$\to (S_h^{*}(x), I_h^{*}(x), S_v^{*}(x), I_v^{*}(a, x))$一致成立. 其中

以及$I_v^{*}(0, x)$是系统(4.6)的解.

证 首先证明结论(1). 注意到

是下列算子

的主特征值. 定理4.1的结论确保当$\omega^{0}<0$时, 有$S_v(t, \cdot)\to \frac{\Lambda_v(\cdot)}{\mu_v(\cdot)}$, $S_h(t, x)\to\frac{\Lambda_h(\cdot)}{\mu_h(\cdot)}(d_v\to 0)$成立. 因而当$d_v\to 0$时有

此外, 如果$\omega^{0}<0$时, 那么存在$d_v^{*}$使得当$d_v<d_v^{*}$ 时有$r(\tilde{\mathcal{R}}_{\omega=0})<1$成立. 由引理4.2可知当$d_v<d_v^{*}$时系统(1.1)没有正平衡态. 接下来证明结论(2). 如果$\omega^{0}>0$, 那么存在$0<d_v<d_v^{*}$使得$r(\tilde{\mathcal{R}}_{\omega=0})>1$成立. 由定理4.1可知当$d_v<d_v^{*}$系统(1.1)存在一正解. 再由系统(1.1)的第一个方程可知$\| S_h\|_{1}\leq \frac{\overline{\Lambda}_h}{\underline{\mu}_v}$. 同理, 对系统(1.1)余下方程关于$x$积分求解可得知$I_h, S_v, I_v$都是一致有界的. 故存在序列$\{d_{vk}\}$使得当$d_{vk} \to 0 (k\to \infty)$时系统(1.1)的正解在$L^{P}(\Omega)\times L^{P}(\Omega)\times L^{P}(\Omega)\times W^{2, P}(R_{+}, \mathbb{Y})$中满足$(S_{hk}, I_{hk}, S_{vk}, I_{vk})$收敛于$(S_h^{*}, I_h^{*}, S_v^{*}, I_v^{*})$. 其中$S_h^{*}, I_h^{*}, S_v^{*}$如(4.7)式所示, 以及$I_v^{*}(0, x)$ 是系统(4.6)的一正解.

本小节致力于讨论在$d_I \to 0$时系统(1.1)正解的渐近性质. 为此, 记$\left\langle \alpha \right\rangle=\frac{\int_{\Omega} \alpha(y) \, {\rm d}y}{\left| \Omega \right|}$. 令$d_v \to \infty$, 得到系统(1.1)的影子系统如下

其中$Q(x) = \frac{\Lambda_h(x) \int_{\Omega} \int_{0}^{\infty} [\beta_1(a, x, y) + \beta_2(a, x, y)] I_v(a, y) \, {\rm d}a \, {\rm d}y}{(\mu_h(x) + \int_{\Omega} \int_{0}^{\infty} (\beta_1 + \beta_2) I_v(a, y) \, {\rm d}a \, {\rm d}y) (\sigma(x) + \mu_h(x))}$.令

其中$\phi$是关于特值$\omega_{1}$的特征函数.

类似引理4.3的结论可有如下引理.

引理 4.4 令$\omega_{1}$如(4.8)式所定义. 则下列非局部问题

具有如下性质

(1) 如果$\omega_{1}<0$, 那么问题(4.9)有唯一的平凡解;

(2) 如果$\omega_{2}>0$, 那么问题(4.9)存在不依赖时间$t$的非平凡解.

证 证明过程类似引理4.3的证明. 故省略.

类似定理4.2的证明过程可得如下定理.

定理 4.3 令$\omega_{1}$如式(4.8)所定义, 那么下列结论成立.

(1) 如果$\omega_{1}<0$, 那么存在$d_v^{*}>0$使得当$d_v>d_v{*}$ 时, 问题(4.9)有唯一的平凡解;

(2) 如果$\omega_{1}>0$, 那么存在$d_v^{*}>0$使得当$d_v>d_v{*}$ 时, 问题(4.9)存在不依赖时间$t$的非平凡解$(S_h, I_h, S_v, I_v^{*}(0, x)\Pi_{0}(a, x))$. 此外, 当$d_v\to \infty, x\in \Omega$ 时, $(S_h, I_h, S_v, I_v)$一致收敛于$(S_h^{*}, I_h^{*}, S_v^{*}, I_v^{*}(0, x)\Pi_{0}(a, x))$, 其中, $I_v^{*}(0, x)$是(4.9)式的唯一正解.

本文构建了一类具有非局部扩散的年龄-空间结构松材线虫病模型, 以研究媒介-天牛的个体扩散、感染年龄和和空间异质性对该病传播的影响. 首先讨论了模型的适定性, 证明了解的全局存在性和非负性. 其次通过构建模型一般更新方程得到下一代再生算子$\mathcal{R}$, 继而得出模型基本再生数$\mathcal{R}_0$ 是算子$\mathcal{R}$ 的谱半径, 在此基础上论证了当$\mathcal{R}_0<1$时疾病是消亡的. 最后, 为了研究模型正平衡态的渐近性质. 考虑$d_v=0$情形下模型正平衡态的相关性质. 具体地, 如果$\omega_s^{0}>0$时, 那么存在$d_v^{*}>0$, 当$d_v>d_v^{*}$时系统至少存在一个不依赖$t$的正平衡态. 当$d_v \to 0$时, 有$(S_h, S_I, S_v, S_I)$收敛于正平衡态$((S_h^{*}, S_I^{*}, S_v^{*}, \Pi_{0}(0, a)[I_v^{*}](0, x))$. 此外, 也论证了在$d_I \to 0$时平衡态的渐近性质. 值得提出的是, 本文所用的方法也可推广到其他媒介传播疾病模型中, 例如蚊媒传播的疟疾或登革热模型, 其中媒介 (如蚊子) 和宿主种群 (如人类) 之间的传播机制与松材线虫病类似. 此外, 该方法也能用于植物-病原微生物传播的研究, 如根结线虫等土壤传播病害, 这类病害的传播往往受到空间和环境因素的复杂影响. 本文的不足之处在于研究松材线虫病传播时, 仅涉及了松树、天牛和线虫之间的直接相互作用, 并未考虑森林防虫害措施所带来的影响, 而森林生态系统是一个复杂的整体, 其他生态因素 (如微生物群落、气候因素、其他动植物的影响等) 可能对疾病传播也有重要作用, 我们将在未来的工作内容中重点考虑以上因素.