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数学物理学报, 2025, 45(3): 858-874

具有时滞的离散扩散疫苗接种模型的行波解

武文斌, 任雪,, 张冉,*

黑龙江大学数学科学学院 哈尔滨 150080; 黑龙江省复杂系统理论与计算重点实验室 哈尔滨 150080

Traveling Waves for a Discrete Diffusive Vaccination Model with Delay

Wu Wenbin, Ren Xue,, Zhang Ran,*

School of Mathematical Sciences, Heilongjiang University, Harbin 150080; Heilongjiang Provincial Key Laboratory of the Theory and Computation of Complex Systems, Harbin 150080

通讯作者: 张冉, Email: ranzhang@hlju.edu.cn

收稿日期: 2024-05-17   修回日期: 2025-01-3  

基金资助: 国家自然科学基金(12101309)
国家自然科学基金(12371490)
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黑龙江省省属高等学校基本科研业务费(2023-KYYWF-1493)
黑龙江大学杰出青年科学基金(JCL202203)

Received: 2024-05-17   Revised: 2025-01-3  

Fund supported: NSFC(12101309)
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Outstanding Youth Funds of Heilongjiang University(JCL202203)

作者简介 About authors

任雪,Email:xueren@hlju.edu.cn

摘要

该文研究具有时滞的离散扩散疫苗接种模型的行波解. 该模型综合考虑了人口的自然增长、感染、治愈以及疫苗接种等因素, 并考虑了易感者、接种疫苗者与感染者之间的直接接触感染的时滞效应. 通过建立适当的格点动力系统, 得到了模型行波解的存在性和渐近行为. 进一步结果表明, 疫苗接种率、染病者的移动能力以及传播率对行波解的形成和速度有重要影响, 可能导致行波解的加速或减缓. 这些发现对于制定有效的疫苗接种策略和控制传染病的传播具有重要的理论和实际意义.

关键词: 行波解; 疫苗接种; 扩散传染病模型; 格点动力系统; Lyapunov 泛函

Abstract

This paper considers the traveling wave solutions of a discrete diffusion vaccination model with time delay. The model comprehensively considers factors such as natural population growth, infection, recovery, and vaccination, as well as the time delay effect of direct contact infection between susceptible individuals, vaccinated individuals, and infected individuals. By establishing appropriate lattice dynamical system, the existence and asymptotic behavior of the traveling wave solutions are obtained. Further results indicate that vaccination rates, the mobility of infected individuals, and transmission rates have a significant impact on the formation and speed of traveling wave solutions. These findings have important theoretical and practical significance for formulating effective vaccination strategies and controlling the spread of infectious diseases.

Keywords: traveling wave solution; vaccination; diffusion epidemic model; lattice dynamical system; Lyapunov functional

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本文引用格式

武文斌, 任雪, 张冉. 具有时滞的离散扩散疫苗接种模型的行波解[J]. 数学物理学报, 2025, 45(3): 858-874

Wu Wenbin, Ren Xue, Zhang Ran. Traveling Waves for a Discrete Diffusive Vaccination Model with Delay[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(3): 858-874

1 引言

传染病在历史上一直对人类健康构成持续威胁, 促使人们不断努力了解和控制其传播. 数学建模已成为这一努力中的有力工具, 为多种疾病传播的复杂动态和干预策略的潜在影响提供了很多见解, 例如严重急性呼吸综合症(SARS)、 埃博拉病毒(Ebola Virus)和新型冠状病毒(COVID-2019)的传播等, 并且传染病建模已成为当前数学建模相关课程的最佳训练途径之一[1]. 众所周知, 疫苗接种作为一种医疗干预措施, 旨在刺激免疫系统产生针对特定病原体(如病毒或细菌)的免疫反应, 而不会引起疾病本身. 这一过程有助于身体对目标病原体产生免疫力, 从而为未来的感染提供保护. 从数学建模的角度说, 建立并研究疫苗传染病模型是分析疫苗接种计划和流行病动态之间相互作用的有效利器.

研究疫苗接种模型的传统方法是建立相应的微分方程, 通过数学分析以推导系统平衡态的稳定性条件, 并结合数值模拟验证理论结果给出相应的疾病控制策略. Liu等[2]基于常微分方程建立了一类疫苗接种模型

{dS(t)dt=Λβ1S(t)I(t)(μ+α)S(t),dV(t)dt=αS(t)β2V(t)I(t)(μ+δ)V(t),dI(t)dt=β1S(t)I(t)+β2V(t)I(t)(μ+γ)I(t),dR(t)dt=δV(t)+γI(t)μR(t),
(1.1)

其中S(t), V(t), I(t)R(t)分别表示时刻t的易感者、疫苗接种者、染病者和恢复者的种群密度. Λ表示人群的增长率; β1β2分别为易感者和疫苗接种者接触染病者并被成功感染的概率; α 表示疫苗接种率; μ表示自然死亡率; γ 表示染病者的恢复率; δ表示接种疫苗的人获得免疫力的比率. 通过对模型(1.1)进行阈值动力学分析, Liu等得到了通过疫苗接种降低基本再生数有助于疾病控制的相关结论. 自此, 越来越多的学者以模型(1.1)为基础, 并结合多种因素来分析疫苗接种在控制传染病传播中的作用, 相关工作可参见文献 [3,4,5,6] 等.

虽然上述研究提供了针对疫苗接种模型很多有价值的见解, 但它们可能忽略了疾病传播的关键因素, 特别是人口流动这一因素. 从数学建模的角度来看, 反应扩散传染病模型是一类将传染病传播与空间扩散相结合的数学模型. 该类模型考虑了传染病在空间上的传播和人群中的相互作用, 常用于描述在地理空间上的传染病传播过程. 另一方面, 针对反应扩散系统, 有一类称为行波解的特殊形式的解引起了广大学者的关注. 传染病模型中的行波解描述了疾病传播的动态模式, 其中疾病以恒定速率传播, 并在在空间传播过程中保持稳定形状. 通过分析行波解的速度和形状, 可以为流行病动力学提供了独特的视角, 并且收集到驱动疾病传播的潜在机制. 文献[7]提出了具有局部扩散的SVIR模型, 研究了该模型在有界域上的全局动力学和无界域上的行波解. 同时, 文献[8]和文献[9]分别研究了两类具有非局部扩散的SVIR模型的行波解问题.

需要指出, 上述提到的局部扩散和非局部扩散传染病所考虑的空间是连续的. 若空间是以离散的单元(格点或节点)来表示, 传染病在这些离散单元之间传播通常用差分方法来建模, 而每个格点可以表示一个地理位置. 因此, 离散扩散模型适用于描述传染病在城市或者网络之间的传播[10]. Fu等人在2016年提出了如下具有离散扩散的SIR传染病模型[11]

{dSn(t)dt=[Sn+1+Sn12Sn]βSnIn,dIn(t)dt=d[In+1+In12In]+βSnInγIn,
(1.2)

其中 nN. 状态变量SnIn分别表示易感者和感染者在时刻t格点位置n的种群密度, d为感染者的扩散率. 文献[11]通过非线性分析的相应方法得到了模型(1.2)在基本再生数大于1时的行波解存在性. 此后, Wu 研究了模型(1.2)临界行波解的存在性[12]. 通过引入种群的出生和死亡, Chen 等人在模型(1.2)基础上考虑了种群动力学[13], 并得到了系统半行波解的存在性. 而文献[13]中提出模型的强行波解, 由Zhang等人通过Lyapunov泛函的技巧得以解决[14].

应用上述离散扩散的建模思想, 本文建立如下具有时滞的离散扩散SVIR传染病模型

{dSn(t)dt=d1[Sn+1(t)+Sn1(t)2Sn(t)]+Λβ1Sn(t)In(tτ)(μ+α)Sn(t),dVn(t)dt=d2[Vn+1(t)+Vn1(t)2Vn(t)]+αSn(t)β2Vn(t)In(tτ)(μ+δ)Vn(t),dIn(t)dt=d3[In+1(t)+In1(t)2In(t)]+[β1Sn(t)+β2Vn(t)]In(tτ)(μ+γ)In(t),dRn(t)dt=d4[Rn+1(t)+Rn1(t)2Rn(t)]+δVn(t)+γIn(t)μRn(t),
(1.3)

其中nN. 状态变量Sn, Vn, InRn分别表示易感者、疫苗接种者、感染者和恢复者在时刻t格点位置n的种群密度, di(i=1,2,3,4)为各人群的扩散率, τ为疾病的潜伏时间. 模型(1.3)其他参数的生物学意义与模型(1.1)相同. 注意到模型(1.3)的最后一个方程可以从系统中解耦,下面的章节中将只考虑前三个方程所构成的系统, 并证明模型(1.3)行波解的存在性以及相关渐近行为.

2 预备工作

模型(1.3)对应的无扩散系统为下述时滞微分方程

{dS(t)dt=Λβ1S(t)I(tτ)μ1S(t),dV(t)dt=αS(t)β2V(t)I(tτ)μ2V(t),dI(t)dt=[β1S(t)+β2V(t)]I(tτ)μ3I(t),
(2.1)

其中μ1:=μ+α, μ2:=μ+δ, μ3:=μ+γ.显然, 模型(1.3)存在一个常数无病平衡点E0=(S0,V0,0), 其中S0:=Λμ1, V0:=Λαμ1μ2.进一步, 定义系统(2.1)基本再生数为

0=β1S0+β2V0μ3.

由文献[2]可知, 当0>1时, 系统(2.1)存在一个唯一的地方病平衡点E=(S,V,I)满足

{Λβ1SIμ1S=0,αSβ2VI=μ2V,β1S+β2V=μ3.
(2.2)

令行波变量ξ=n+ctR, 其中c为波速, 将系统(1.3)中的状态变量看成关于nt的二元函数, 并将ξ带入, 则系统(1.3)转化为

{cS(ξ)=d1J[S](ξ)+Λβ1S(ξ)I(ξcτ)μ1S(ξ),cV(ξ)=d2J[V](ξ)+αS(ξ)β2V(ξ)I(ξcτ)μ2V(ξ),cI(ξ)=d3J[I](ξ)+[β1S(ξ)+β2V(ξ)]I(ξcτ)μ3I(ξ),
(2.3)

其中J[()](ξ)=()(ξ+1)+()(ξ1)2()(ξ). 本文的主要目的是证明行波系统 (2.3) 存在解(S(ξ),V(ξ),I(ξ)), 并且满足边界条件

lim
(2.4)

2.1 特征值问题

将 (2.3) 式的第三个方程在无病平衡点E_0处线性化得到

c I'(\xi) = {d_3} \mathcal{J}[I](\xi) + (\beta_1 S_0 + \beta_2 V_0) I(\xi-c\tau) - \mu_3 I(\xi).

I(\xi)={\rm e}^{\lambda\xi}并带入上式, 有

d_3 \left(\mathrm{e}^{\lambda} + \mathrm{e}^{-\lambda} - 2\right) + \left(\beta_1 S_0 + \beta_2 V_0\right) \mathrm{e}^{-c \lambda \tau} - \mu_3 - c \lambda = 0.

定义特征方程如下

\Delta(\lambda,c) = d_3 \left(\mathrm{e}^{\lambda} + \mathrm{e}^{-\lambda} - 2\right) + \left(\beta_1 S_0 + \beta_2 V_0\right) \mathrm{e}^{-c \lambda \tau} - \mu_3 - c \lambda.

\Re_0>1, \lambda>0以及c>0时, 直接计算可得

\begin{align*} &\Delta(0,c) = (\beta_1 S_0 + \beta_2 V_0) - \mu_3 > 0,\ \ \lim_{c\rightarrow+\infty}\Delta(\lambda,c) = -\infty,\\ & \frac{\partial\Delta(\lambda,c)}{\partial\lambda}\bigg|_{(0,c)}=-c \tau (\beta_1 S_0 + \beta_2 V_0) - c < 0,\\ &\frac{\partial\Delta(\lambda,c)}{\partial\lambda^2}={d_3} (e^{\lambda}+e^{-\lambda}) +c^2 \tau^2 (\beta_1 S_0 + \beta_2 V_0) \mathrm{e}^{-c \lambda \tau} >0,\\ &\frac{\partial\Delta(\lambda,c)}{\partial c}= - \lambda\tau (\beta_1 S_0 + \beta_2 V_0) \mathrm{e}^{-c \lambda \tau} - \lambda<0. \end{align*}

至此, 特征方程\Delta(\lambda,c)根的分布如下引理所示.

引理 2.1\Re_0>1时, 存在一对正常数(\lambda^*,c^*)使得

\frac{\partial\Delta(\lambda,c)}{\partial \lambda}\bigg|_{(\lambda^*, c^*)}=0, \ \ \ \Delta(\lambda^*,c^*)=0.

并且

(i) 当0<c<c^*时, \Delta(\lambda,c)>0, \forall\lambda\in(0,+\infty).

(ii) 当c=c^*时, \Delta(\lambda,c)=0有一个正实根\lambda_c.

(iii) 当c>c^*时, \Delta(\lambda,c)=0有两个正实根\lambda_1\lambda_2满足\lambda_1<\lambda_2.

进一步地, 当\lambda\in(\lambda_1,\lambda_2)时, \Delta(\lambda,c)<0; 当\lambda\in(-\infty,\lambda_1)\cup(\lambda_2,+\infty)时, \Delta(\lambda,c)>0.

2.2 上、下解

本节中始终固定\Re_0>1以及c>c^*. 应用引理2.1中的\lambda_1, 定义如下六个函数

\left\{ \begin{array}{c} S^+(\xi)=S_0,\\ V^+(\xi)=V_0,\\ I^+(\xi)=\mathrm{e}^{\lambda_1\xi},\\ \end{array}\right.\hspace{1.5cm} \left\{\begin{array}{c} S^-(\xi)=\max\left\{S_0\left(1-M_1\mathrm{e}^{\varepsilon_1\xi},0\right)\right\},\\ V^-(\xi)=\max\left\{V_0\left(1-M_2\mathrm{e}^{\varepsilon_2\xi},0\right)\right\},\\ I^-(\xi)=\max\left\{\mathrm{e}^{\lambda_1\xi}\left(1-M_3\mathrm{e}^{\varepsilon_3\xi},0\right)\right\}. \end{array}\right.

其中常数\varepsilon_i > 0M_i > 0\ (i=1,2,3)将在下述引理中确定.

引理 2.2 函数(S^+(\xi),V^+(\xi),I^+(\xi))(S^-(\xi),V^-(\xi),I^-(\xi))满足

\begin{equation} \label{SuperSolution}\left\{ \begin{array}{l} c {S^{+}}'(\xi) \geq {d_1} \mathcal{J}[S^{+}](\xi) + \Lambda - \beta_1 S^{+}(\xi) I^{-}(\xi-c\tau) - \mu_1 S^{+}(\xi),\\ c {V^{+}}'(\xi) \geq {d_2} \mathcal{J}[V^{+}](\xi) + \alpha S^{+} - \beta_2 V^{+}(\xi)I^{-}(\xi-c\tau)- \mu_2 V^{+}(\xi),\\ c {I^{+}}'(\xi) \geq {d_3} \mathcal{J}[I^{+}](\xi) + [\beta_1 S^{+}(\xi) + \beta_2 V^{+}(\xi)] I^{+}(\xi-c\tau) - \mu_3 I^{+}(\xi),\\ \end{array}\right. \end{equation}
(2.5)

以及

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} c {S^{-}}'(\xi) \leq {d_1} \mathcal{J}[S^{-}](\xi) + \Lambda - \beta_1 S^{-}(\xi) I^{+}(\xi-c\tau) - \mu_1 S^{-}(\xi),\hspace{13.7mm} \xi\neq=\mathfrak{X}_1,\\ c {V^{-}}'(\xi) \leq {d_2} \mathcal{J}[V^{-}](\xi) + \alpha S^{-}(\xi) - \beta_2 V^{-}(\xi)I^{+}(\xi-c\tau)- \mu_2 V^{-}(\xi),\hspace{3mm} \xi\neq=\mathfrak{X}_2,\\ c {I^{-}}'(\xi) \leq {d_3} \mathcal{J}[I^{-}](\xi) + [\beta_1 S^{-}(\xi) + \beta_2 V^{-}(\xi)] I^{-}(\xi-c\tau) - \mu_3 I^{-}(\xi),\hspace{3mm} \xi\neq=\mathfrak{X}_3. \end{array}\right. \end{equation}
(2.6)

其中\mathfrak{X}_i : = \frac{1}{\varepsilon_i}\ln{\frac{1}{M_i}},\ i=1,2,3.

S_0V_0是常数, 以及引理2.1可知不等式组(2.5)显然成立. 下证不等式组(2.6)的第一个不等式成立. 若\xi > \mathfrak{X}_1, 则S^{-}(\xi)=0, 不等式组(2.6)的第一个不等式显然成立. 若\xi < \mathfrak{X}_1, 则S^- (\xi)=S_0\left(1-M_1\mathrm{e}^{\varepsilon_1\xi}\right)以及

S^-(\xi-1) \geq S_0\left(1-M_1\mathrm{e}^{\varepsilon_1(\xi-1)}\right),\ \ \ S^-(\xi+1) \geq S_0\left(1-M_1\mathrm{e}^{\varepsilon_1(\xi+1)}\right).

因此

\begin{align*} &{d_1} \mathcal{J}[S^{-}](\xi) + \Lambda - \beta_1 S^{-}(\xi) I^{+}(\xi-c\tau) - \mu_1 S^{-}(\xi) - c {S^{-}}'(\xi) \\ \geq\ & \mathrm{e}^{\varepsilon_1\xi} S_0 [ - M_1 (d_1 \mathrm{e}^{\varepsilon_1} + d_1 \mathrm{e}^{-\varepsilon_1} - 2d_1 -c\varepsilon_1 - \mu_1) -\beta_1 \mathrm{e}^{(\lambda_1 - \varepsilon_1) \xi }\mathrm{e}^{- \lambda_1 c \tau }]. \end{align*}

由于

\lim _{\varepsilon_1 \rightarrow 0^+} \left[-d_1 (2 - \mathrm{e}^{\varepsilon_1} - \mathrm{e}^{-\varepsilon_1} ) -c\varepsilon_1 - \mu_1\right] < 0,

选择充分小的\varepsilon_1满足 0 < \varepsilon_1 < \lambda_1 以及-d_1 (2 - \mathrm{e}^{\varepsilon_1} - \mathrm{e}^{-\varepsilon_1} ) -c\varepsilon_1 - \mu_1 < 0, 则此时 \mathrm{e}^{(\lambda_1 - \varepsilon_1)\xi} \leq 1 . 因此可以选择一个充分大的M_1满足

M_1 > - \frac{\beta_1 \mathrm{e}^{- \lambda_1 c \tau }}{d_1 (\mathrm{e}^{\varepsilon_1} + \mathrm{e}^{-\varepsilon_1} - 2) + c\varepsilon_1 + \mu_1},

使得不等式组(2.6)的第一个不等式成立. 同理可以证明不等式组(2.6)的第二个不等式成立.

下面取M_3充分大使得

\frac{1}{\varepsilon_3}\ln{\frac{1}{M_{3}}} > \max\left\{ \frac{1}{\varepsilon_1} \ln{\frac{1}{M_{1}}}, \frac{1}{\varepsilon_2} \ln{\frac{1}{M_{2}}}\right\}.

\xi > \mathfrak{X}_3, 则 I^{-}(\xi)=0 , 不等式组(2.6) 的第三个不等式显然成立. 若 \xi < \mathfrak{X}_3, 则 I^- (\xi) = \mathrm{e}^{\lambda_1\xi}\left(1-M_3\mathrm{e}^{\varepsilon_3\xi}\right) 以及

I^- (\xi - 1) \geq \mathrm{e}^{\lambda_1\xi}\left(1-M_3\mathrm{e}^{\varepsilon_3(\xi-1)}\right),\ \ \ I^- (\xi + 1) \geq \mathrm{e}^{\lambda_1\xi}\left(1-M_3\mathrm{e}^{\varepsilon_3(\xi+1)}\right).

因此

\begin{align*} & {d_3} \mathcal{J}[I^{-}](\xi) + [\beta_1 S^{-} + \beta_2 V^{-}] I^{-}(\xi-c\tau) - \mu_3 I^{-} - c {I^{-}}'(\xi) \\ \geq\ & \mathrm{e}^{\lambda_1\xi}\Delta(\lambda_1,c)- \mathrm{e}^{(\lambda_1+\varepsilon_3)\xi} M_3 \Delta(\lambda_1+\varepsilon_3,c)\\ & - \beta_1 S_0 M_1 \mathrm{e}^{(\lambda_1+\varepsilon_1)\xi} \mathrm{e}^{-\lambda_1 c \tau} - \beta_2 V_0 M_2 \mathrm{e}^{(\lambda_1+\varepsilon_2)\xi} \mathrm{e}^{-\lambda_1 c \tau}. \end{align*}

通过\Delta(\lambda,c)的定义和引理2.1可知, 对于充分小的0<\varepsilon_3<\min\{\lambda_1,\lambda_2 - \lambda_1\}, 有\Delta(\lambda_1,c) = 0以及\Delta(\lambda_1+\varepsilon_3,c)<0. 因此取充分大的常数M_3满足

M_3 \geq \frac{\beta_1 S_0 M_1 \mathrm{e}^{(\lambda_1+\varepsilon_1)\xi} + \beta_2 V_0 M_2 \mathrm{e}^{(\lambda_1+\varepsilon_2)\xi}}{\Delta(\lambda_1+\varepsilon_3,c)},

使得不等式组(2.6)的第三个不等式成立.

3 行波解的存在性

\mathcal{O}>\mathfrak{X}>0, 其中\mathfrak{X}:=\max\{-\mathfrak{X}_1,-\mathfrak{X}_2,-\mathfrak{X}_3,1,c\tau\}, 且\mathfrak{X}_1, \mathfrak{X}_2, \mathfrak{X}_3由(2.6)式中给出. 定义集合

\begin{equation*} \Gamma_\mathcal{O} := \left\{(\phi, \varphi, \psi)\in C([-\mathcal{O},\mathcal{O}],{R}^3)\left| \begin{array}{l} \displaystyle S^-(\xi)\leq \phi(\xi) \leq S^+(\xi),\ V^-(\xi)\leq \varphi(\xi) \leq V^+(\xi),\\ \displaystyle I^-(\xi)\leq \psi(\xi) \leq I^+(\xi),\ \ \ \ \ \forall\xi\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}],\\ \displaystyle \phi(-\mathcal{O})=S^-(-\mathcal{O}),\ \ \varphi(-\mathcal{O})=V^-(-\mathcal{O}),\\ \displaystyle \psi(-\mathcal{O})=I^-(-\mathcal{O}). \end{array}\right.\right\}. \end{equation*}

对于任意的(\phi,\varphi,\psi)\in C([-\mathcal{O},\mathcal{O}],{R}^3),定义

\begin{equation*} \label{hat1} \hat{\phi}(\xi)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \phi(\mathcal{O}), &\xi\in[\mathcal{O},\mathcal{O}+\mathfrak{X}], \\ \displaystyle \phi(\xi), &\xi\in(-\mathcal{O},\mathcal{O}), \\ \displaystyle S^-(\xi), &\xi\in[-\mathcal{O}-\mathfrak{X},-\mathcal{O}], \end{array}\right.\ \ \ \hat{\varphi}(\xi)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \varphi(\mathcal{O}), &\xi\in[\mathcal{O},\mathcal{O}+\mathfrak{X}], \\ \displaystyle \varphi(\xi), &\xi\in(-\mathcal{O},\mathcal{O}), \\ \displaystyle V^-(\xi), &\xi\in[-\mathcal{O}-\mathfrak{X},-\mathcal{O}], \end{array}\right. \end{equation*}

以及

\begin{equation*} \label{hat2} \hat{\psi}(\xi)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \psi(\mathcal{O}), &\xi\in[\mathcal{O},\mathcal{O}+\mathfrak{X}], \\ \displaystyle \psi(\xi), &\xi\in(-\mathcal{O},\mathcal{O}), \\ \displaystyle I^-(\xi), &\xi\in[-\mathcal{O}-\mathfrak{X},-\mathcal{O}]. \end{array}\right. \end{equation*}

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle H_1(\psi,\varphi,\psi): = d_1\hat{\phi}(\xi+1) + d_1\hat{\phi}(\xi-1) + \Lambda + \rho_1 \phi(\xi) - \beta_1 \phi(\xi)\psi(\xi-c\tau),\\ \displaystyle H_2(\psi,\varphi,\psi): = d_2\hat{\varphi}(\xi+1) + d_2\hat{\varphi}(\xi-1) + \alpha\phi(\xi) + \rho_2 \varphi - \beta_2 \varphi(\xi)\psi(\xi-c\tau),\\ \displaystyle H_3(\psi,\varphi,\psi): = d_3\hat{\psi}(\xi+1) + d_3\hat{\psi}(\xi-1) + \beta_1 \phi(\xi)\psi(\xi-c\tau) + \beta_2 \varphi(\xi)\psi(\xi-c\tau), \end{array}\right. \end{equation}
(3.1)

其中\rho_1是充分大的常数使得\rho_1 \phi - \beta_1 \phi\psi关于\phi是非减的, \rho_2是充分大的常数使得\rho_2 \varphi - \beta_2 \varphi\psi 关于\varphi是非减的.对于任意的(\phi,\varphi,\psi)\in \Gamma_\mathcal{O}, 考虑如下的初值问题

\begin{equation} \label{TruPro}\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle cS'(\xi) + (2d_1+\mu_1+\rho_1)S(\xi) = H_1(\psi,\varphi,\psi),\\ \displaystyle cV'(\xi) + (2d_2+\mu_2+\rho_2)V(\xi) = H_2(\psi,\varphi,\psi),\\ \displaystyle cI'(\xi) + (2d_3+\mu_3)I(\xi) = H_3(\psi,\varphi,\psi),\\ \displaystyle (S,V,I)(-\mathcal{O}) = (S^-,V^-,I^-)(-\mathcal{O}). \end{array}\right. \end{equation}
(3.2)

由标准的时滞微分方程理论知, 系统(3.2)存在唯一解(S_\mathcal{O}(\xi),V_\mathcal{O}(\xi),I_\mathcal{O}(\xi))\in C([-\mathcal{O},\mathcal{O}],{R}^3). 定义算子

\mathcal{A} = (\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\mathcal{A}_3):\Gamma_\mathcal{O}\rightarrow C\left([-\mathcal{O},\mathcal{O}],{R}^3\right),

其中

S_\mathcal{O}(\xi)=\mathcal{A}_1(\phi,\varphi,\psi)(\xi),\ \ V_\mathcal{O}(\xi)=\mathcal{A}_2(\phi,\varphi,\psi)(\xi),\ \ I_\mathcal{O}(\xi)=\mathcal{A}_3(\phi,\varphi,\psi)(\xi).

为了说明行波解的存在性, 将应用不动点定理证明算子\mathcal{A}\Gamma_\mathcal{O}中存在不动点.

引理 3.1\mathcal{A}(\Gamma_\mathcal{O}) \subset \Gamma_\mathcal{O}, 并且\mathcal{A}: \Gamma_\mathcal{O} \mapsto \Gamma_\mathcal{O}是全连续的.

首先应用引理2.2以及常数\rho_1\rho_2的定义, 可知\mathcal{A}\Gamma_\mathcal{O}映射到\Gamma_\mathcal{O}.下面将关注引理3.1的第二部分.对于i=1,2, 假设(\phi_i(\xi),\varphi_i(\xi),\psi_i(\xi))\in\Gamma_\mathcal{O}满足

S_{\mathcal{O},i}(\xi)=\mathcal{A}_1(\phi_i(\xi),\varphi_i(\xi),\psi_i(\xi)),\ \ V_{\mathcal{O},i}(\xi)=\mathcal{A}_2(\phi_i(\xi),\varphi_i(\xi),\psi_i(\xi)),

以及

I_{\mathcal{O},i}(\xi)=\mathcal{A}_3(\phi_i(\xi),\varphi_i(\xi),\psi_i(\xi)).

直接计算有

S_\mathcal{O}(\xi) = S^-(-\mathcal{O}) \mathrm{e} ^{-\frac{2d_1+\mu_1+\rho_1}{c}(\xi+\mathcal{O})} + \frac{1}{c}\int_{-\mathcal{O}}^\xi \mathrm{e} ^{\frac{2d_1+\mu_1+\rho_1}{c}(s-\xi)}H_1(\phi,\varphi,\psi)(s)\mathrm{d} s,
V_\mathcal{O}(\xi) = V^-(-\mathcal{O}) \mathrm{e} ^{-\frac{2d_2+\mu_2+\rho_2}{c}(\xi+\mathcal{O})} + \frac{1}{c}\int_{-\mathcal{O}}^\xi \mathrm{e} ^{\frac{2d_2+\mu_2+\rho_2}{c}(s-\xi)}H_2(\phi,\varphi,\psi)(s)\mathrm{d} s,

以及

I_\mathcal{O}(\xi) = I^-(-\mathcal{O}) \mathrm{e} ^{-\frac{2d_3+\mu_3}{c}(\xi+\mathcal{O})} + \frac{1}{c}\int_{-\mathcal{O}}^\xi \mathrm{e} ^{\frac{2d_3+\mu_3}{c}(s-\xi)}H_3(\phi,\varphi,\psi)(s)\mathrm{d} s.

对于i=1,2以及任意的(\phi_i, \varphi_i, \psi_i)\in\Gamma_\mathcal{O}, 有

\begin{align*} \Psi : = & \ |\phi_1(\xi)\psi_1(\xi-c\tau) - \phi_2(\xi)\psi_2(\xi-c\tau)|\\ \leq & \ |\phi_1(\xi)\psi_1(\xi-c\tau) - \phi_1(\xi)\psi_2(\xi-c\tau)|+|\phi_1(\xi)\psi_2(\xi-c\tau) - \phi_2(\xi)\psi_2(\xi-c\tau)|\\ \leq & \ S_0 \max_{\xi\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}]}|\psi_1(\xi)-\psi_2(\xi)| + e^{\lambda_1 \mathcal{O}} \max_{\xi\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}]}|\phi_1(\xi)-\phi_2(\xi)|. \end{align*}

因此,

\begin{align*} &\ c(S_{\mathcal{O},1}'(\xi)-S_{\mathcal{O},2}'(\xi))+(2d_1+\mu_1)(S_{\mathcal{O},1}(\xi)-S_{\mathcal{O},2}(\xi))\\ \leq &\ d_1|(\hat{\phi}_1(\xi+1)-\hat{\phi}_2(\xi+1))| + d_1|(\hat{\phi}_1(\xi-1)-\hat{\phi}_2(\xi-1))| + \beta_1 \Psi\\ \leq &\ \beta_1S_0 \max_{\xi\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}]}|\psi_1(\xi)-\psi_2(\xi)| + \left(2d_1+\beta_1e^{\lambda_1 \mathcal{O}}\right)\max_{\xi\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}]}|\phi_1(\xi)-\phi_2(\xi)|. \end{align*}

V_\mathcal{O}I_\mathcal{O}方程应用上述类似的讨论, 知算子\mathcal{A}是连续的. 进一步地, 由系统(3.2) 知S_\mathcal{O}', V_\mathcal{O}'I_\mathcal{O}'是有界的.至此证明了\mathcal{A}: \Gamma_\mathcal{O} \mapsto \Gamma_\mathcal{O}是全连续的.

应用Schauder不动点定理, 对于任意的\xi\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}], 存在(S_\mathcal{O},V_\mathcal{O},I_\mathcal{O})\in\Gamma_\mathcal{O} 使得

(S_\mathcal{O}(\xi),V_\mathcal{O}(\xi),I_\mathcal{O}(\xi)) = \mathcal{A}(S_\mathcal{O},V_\mathcal{O},I_\mathcal{O})(\xi).

为了给出(S_\mathcal{O},V_\mathcal{O},I_\mathcal{O})的相关估计, 引入空间

C^{1,1}([-\mathcal{O},\mathcal{O}])=\{\upsilon\in C^1([-\mathcal{O},\mathcal{O}])\ |\ \upsilon,\upsilon' \textrm{是Lipschitz连续的}\},

其范数定义如下

\begin{gather*} \|\upsilon\|_{C^{1,1}([-\mathcal{O},\mathcal{O}])}=\max_{x\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}]}|\upsilon|+\max_{x\in[-\mathcal{O},\mathcal{O}]}|\upsilon'|+ \sup_{\begin{subarray}{c} x,y\in [-\mathcal{O},\mathcal{O}] \\ x\neq y \end{subarray}}\frac{|\upsilon'(x)-\upsilon'(y)|}{|x-y|}. \end{gather*}

引理 3.2 对于任意的\mathcal{X}<\mathcal{O}, 存在常数\mathcal{C}(\mathcal{X})>0使得

\begin{equation*} \|S_\mathcal{O}\|_{C^{1,1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq \mathcal{C}(\mathcal{X}),\ \ \|V_\mathcal{O}\|_{C^{1,1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq \mathcal{C}(\mathcal{X}),\ \ \|I_\mathcal{O}\|_{C^{1,1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq \mathcal{C}(\mathcal{X}). \end{equation*}

由于(S_\mathcal{O},V_\mathcal{O},I_\mathcal{O})\mathcal{A} 的不动点, 因此

\begin{equation} \label{FixEqu}\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle cS_\mathcal{O}'(\xi) = d_1\hat{S}_\mathcal{O}(\xi+1) + d_1\hat{S}_\mathcal{O}(\xi-1) - (2d_1+\mu_1)S_\mathcal{O}(\xi) + \Lambda - \beta_1 S_\mathcal{O}(\xi)I_\mathcal{O}(\xi-c\tau),\\ \displaystyle cV_\mathcal{O}'(\xi) = d_2\hat{V}_\mathcal{O}(\xi+1) + d_2\hat{V}_\mathcal{O}(\xi-1) - (2d_2+\mu_2)V_\mathcal{O}(\xi) + \alpha S_\mathcal{O}(\xi) - \beta_2 V_\mathcal{O}(\xi)I_\mathcal{O}(\xi-c\tau),\\ \displaystyle cI_\mathcal{O}'(\xi) = d_3\hat{I}_\mathcal{O}(\xi+1) + d_3\hat{I}_\mathcal{O}(\xi-1) - (2d_3+\mu_3)I_\mathcal{O}(\xi) + (\beta_1 S_\mathcal{O}(\xi) + \beta_2 V_\mathcal{O}(\xi))I_\mathcal{O}(\xi-c\tau), \end{array}\right. \end{equation}
(3.3)

其中

\begin{equation*} \label{hatSV} (\hat{S}_\mathcal{O},\hat{V}_\mathcal{O},\hat{I}_\mathcal{O})(\xi)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (S_\mathcal{O},V_\mathcal{O},I_\mathcal{O})(\mathcal{O}), &\xi\in[\mathcal{O},\mathcal{O}+\mathfrak{X}], \\ \displaystyle (S_\mathcal{O},V_\mathcal{O},I_\mathcal{O})(\xi), &\xi\in(-\mathcal{O},\mathcal{O}), \\ \displaystyle (S^-,V^-,I^-)(\xi), &\xi\in[-\mathcal{O}-\mathfrak{X},-\mathcal{O}]. \end{array}\right. \end{equation*}

对于任意的\xi\in[-\mathcal{X},\mathcal{X}], 有0\leq S_\mathcal{O}(\xi)\leq S_0, 0\leq V_\mathcal{O}(\xi)\leq V_0以及0\leq I_\mathcal{O}(\xi)\leq \mathrm{e}^{\lambda_1 \mathcal{X}},由 (3.3) 式可知

|S_\mathcal{O}'(\xi)|\leq \frac{4d_1+\mu_1}{c}S_0 + \frac{\Lambda}{c} + \frac{\beta_1S_0}{c}\mathrm{e}^{\lambda_1 \mathcal{X}},\ \ |V_\mathcal{O}'(\xi)|\leq \frac{4d_2+\mu_2}{c}V_0 + \frac{\alpha S_0}{c} + \frac{\beta_2V_0}{c}\mathrm{e}^{\lambda_1 \mathcal{X}},

以及

|I_\mathcal{O}'(\xi)|\leq \frac{4d_3+\mu_3 + (\beta_1S_0 + \beta_2V_0)}{c}\mathrm{e}^{\lambda_1 \mathcal{X}}.

因此存在C_1(\mathcal{X}) > 0使得

\|S_\mathcal{O}\|_{C^{1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq C_1(\mathcal{X}),\ \ \|V_\mathcal{O}\|_{C^{1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq C_1(\mathcal{X}),\ \ \|I_\mathcal{O}\|_{C^{1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq C_1(\mathcal{X}),

对于任意的\xi,\eta\in[-\mathcal{X},\mathcal{X}], 由文献[15,引理 2.4] 可知 |\hat{S}_\mathcal{O}(\xi+1)-\hat{S}_\mathcal{O}(\eta+1)|\leq C_1(\mathcal{X})|\xi-\eta|以及|\hat{S}_\mathcal{O}(\xi-1)-\hat{S}_\mathcal{O}(\eta-1)|\leq C_1(\mathcal{X})|\xi-\eta|. 进一步地, 对于任意的\xi,\eta\in[-\mathcal{X},\mathcal{X}]

\begin{align*} &\ |\beta_1 S_\mathcal{O}(\xi)I_\mathcal{O}(\xi) - \beta_1 S_\mathcal{O}(\eta)I_\mathcal{O}(\eta)|\\ \leq &\ |\beta_1 S_\mathcal{O}(\xi)I_\mathcal{O}(\xi) - \beta_1 S_\mathcal{O}(\xi)I_\mathcal{O}(\eta)|+|\beta_1 S_\mathcal{O}(\xi)I_\mathcal{O}(\eta) - \beta_1 S_\mathcal{O}(\eta)I_\mathcal{O}(\eta)|\\ \leq &\ \beta_1 C_1(\mathcal{X})\left(|S_\mathcal{O}(\xi)-S_\mathcal{O}(\eta)| + |I_\mathcal{O}(\xi)-I_\mathcal{O}(\eta)|\right). \end{align*}

因此, 存在常数\mathcal{C}(\mathcal{X}) > 0使得\|S_\mathcal{O}\|_{C^{1,1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq \mathcal{C}(\mathcal{X}).类似地, 对于\mathcal{X}<\mathcal{O}, 有

\|V_\mathcal{O}\|_{C^{1,1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq \mathcal{C}(\mathcal{X}),\ \ \|I_\mathcal{O}\|_{C^{1,1}([-\mathcal{X},\mathcal{X}])}\leq \mathcal{C}(\mathcal{X}).

由上述估计并结合 Arzela-Ascoli 定理 (见文献[14]), 可以得到系统(2.3)存在解(S, V, I) 并满足

S^-\leq S(\xi)\leq S^+,\ \ V^-\leq V(\xi)\leq V^+,\ \ I^-\leq I(\xi)\leq I^+,\ \ \forall \xi\in{R}.

至此, 行波解的存在性得证, 下面关注解的有界性和渐近行为.

4 行波解的有界性

引理 4.1 函数S(\xi), V(\xi), I(\xi)满足

0<S(\xi)<S_0,\ \ 0<V(\xi)<V_0,\ \ I(\xi)>0,\ \ \forall\xi\in{R}.

首先证明S(\xi)>0. 应用反证法, 如果存在\xi_0使得S(\xi_0) = 0, 则d_1\mathcal{J}[S](\xi_0)\geq0以及S'(\xi_0) = 0. 通过 (2.3) 式可知

0 = d_1\mathcal{J}[S](\xi_0) + \Lambda > 0,

此处得到矛盾, 因此S(\xi)>0. 类似地, 可以得到V(\xi)>0.

其次, 如果存在\xi_1使得I(\xi_1) = 0以及当\xi<\xi_1I(\xi)>0.由(2.3) 式的第三个方程, 可得

I(\xi_1+1) + I(\xi_1-1) = 0.

注意到I(\xi)\geq0, 因此, I(\xi_1+1) = I(\xi_1-1) = 0, 这与\xi_1 的定义矛盾, 所以I(\xi)>0.

最后, 继续应用反证法证明S(\xi)<S_0, 如果存在\xi_2使得S(\xi_2) = S_0, 则

0 = d_1\mathcal{J}[S](\xi_2) - \beta_1 S(\xi_2)I(\xi_2) <0,

此矛盾说明S(\xi)<S_0. 类似地, 可以证明V(\xi)<V_0.

下面说明如下的4个论断成立

论断 I\displaystyle \frac{I(\xi\pm1)}{I(\xi)}{R}上有界.

\kappa := (2d_3+\mu_3)/c以及U(\xi) := \mathrm{e}^{\kappa \xi} I(\xi), 则

c U'(\xi) = \mathrm{e}^{\kappa \xi}c I'(\xi) + (\mu_3 + 2d_3) I(\xi)>0.

U(\xi)单调性可知

\frac{I(\xi-1)}{I(\xi)} < \mathrm{e}^\kappa,\ \ \ \forall \xi\in{R}.

直接计算可得

\begin{matrix} \nonumber\left[\mathrm{e}^{\kappa\xi} I(\xi)\right]' & = \frac{1}{c}\mathrm{e}^{\kappa\xi}\left[d_3 I(\xi+1) + d_3 I(\xi-1) + (\beta_1S(\xi) + \beta_2 V(\xi)) I(\xi)\right]\\ & > \frac{d_3}{c}\mathrm{e}^{\kappa\xi} I(\xi+1). \end{matrix}
(4.1)

将(4.1) 式在[\xi,\xi+1]上积分并应用\mathrm{e}^{\kappa \xi}的单调性, 有

\begin{align*} \mathrm{e}^{\kappa(\xi+1)} I(\xi+1)\ > & \ \mathrm{e}^{\kappa\xi} I(\xi) + \frac{d_3}{c}\int_\xi^{\xi+1}\mathrm{e}^{\kappa s} I(s+1)\mathrm{d} s\\ > & \ e^{\kappa\xi} I(\xi) + \frac{d_3}{c}\int_\xi^{\xi+1}\mathrm{e}^{\kappa (\xi+1)} I(\xi+1)\mathrm{e}^{-\kappa}\mathrm{d} s\\ = & \ \mathrm{e}^{-\kappa}\mathrm{e}^{\kappa(\xi+1)}\left[ I(\xi) + \frac{d_3}{c} I(\xi+1)\right]. \end{align*}

因此

\left[\mathrm{e}^{\kappa\xi} I(\xi)\right]' > \left(\frac{d_3}{c}\right)^2 \mathrm{e}^{-2\kappa}\mathrm{e}^{\kappa(\xi+1)} I(\xi+1).
(4.2)

将(4.2)式从\xi-\frac{1}{2}\xi积分得到

\frac{I\left(\xi+\frac{1}{2}\right)}{I(\xi)} < 2 \left(\frac{c}{d_3}\right)^2 \mathrm{e}^{\frac{3}{2}\kappa},\ \ \forall\xi\in{R}.

类似地, 将(4.2)式在\left[\xi, \xi+\frac{1}{2}\right]上积分有

\frac{ I(\xi+1)}{ I\left(\xi+\frac{1}{2}\right)} < 2 \left(\frac{c}{d_3}\right)^2 \mathrm{e}^{\frac{3}{2}\kappa},\ \ \forall\xi\in{R}.

从而

\frac{I(\xi+1)}{I(\xi)} = \frac{I\left(\xi+\frac{1}{2}\right)}{I(\xi)} \frac{I(\xi+1)}{I\left(\xi+\frac{1}{2}\right)} < 4 \left(\frac{c}{d_3}\right)^4 \mathrm{e}^{3\kappa},\ \ \forall\xi\in{R}.

同理可知

\frac{I(\xi-c\tau)}{I(\xi)} < \mathrm{e}^{-\kappa c \tau},\ \ \ \forall \xi\in{R}.

断言 II\displaystyle \frac{I'(\xi)}{I(\xi)}{R} 上有界.

由(2.3)式的第三个方程并结合断言\mathrm{I}可知此断言成立.

断言 III 对于序列\{\xi_k\}, 当k\rightarrow +\infty 时, 若I(\xi_k)\rightarrow +\infty, 则S(\xi_k)\rightarrow 0以及 V(\xi_k)\rightarrow 0.

应用反证法, 假设存在\varepsilon>0, 选取\xi_k的一族子列\{\xi_k\}_{k\in\mathbb{N}}, 当k\rightarrow +\infty时, 若I(\xi_k)\rightarrow +\infty, 则S(\xi_k)\geq\varepsilon.\tilde{c}>0\{c_k\}的下界, 则

S'_k(\xi)\leq \frac{2S_0+\Lambda}{\tilde{c}} := \delta_0,\ \ \forall \xi \in {R}.

进一步令\displaystyle \delta = \frac{\varepsilon}{\delta_0}, 有

S_k(\xi)\geq\frac{\varepsilon}{2},\ \ \ \forall\xi\in[\xi_k-\delta,\xi_k],\ \ \forall k\in\mathbb{N}.

由断言II知, 存在一个常数C_0>0使得

\frac{ I_k(\xi_k)}{ I_k(\xi)} = \exp\left\{\int_{\xi}^{\xi_k}\frac{ I'_k(\sigma)}{ I_k(\sigma)}\mathrm{d} \sigma\right\}\leq \mathrm{e}^{C_0\delta},\ \ \forall\xi\in[\xi_k-\delta, \xi_k],\ \ \forall k\in\mathbb{N}.

因此

\min_{\xi\in[\xi_k-\delta,\ \xi_k]} I_k(\xi)\geq \mathrm{e}^{-C_0\delta} I_k(\xi_k),

这意味着当k\rightarrow+\infty

\min_{\xi\in[\xi_k-\delta,\xi_k]} I_k(\xi) \rightarrow +\infty.

由(2.3)式的第一个方程知, 当k\rightarrow+\infty时, 有

\max_{\xi\in[\xi_k-\delta, \xi_k]}S'_k(\xi)\leq \delta_0 - \frac{\beta_1\varepsilon}{2}\min_{\xi\in[\xi_k-\delta,\xi_k]} I_k(\xi)\rightarrow-\infty.

因此存在K>0使得

S'_k(\xi)\leq - \frac{2S_0}{\delta},\ \ \forall k\geq K,\ \ \forall \xi\in[\xi_k-\delta, \xi_k].

从而有S_k(\xi_k)\leq-S_0, \forall k\geq K, 这与S'_k(\xi)\leq \delta_0S_k(\xi)\geq \frac{\epsilon}{2}, \forall\xi\in[\xi_k-\delta,\xi_k], k\in \mathbb{N}是矛盾的. 所以当k\rightarrow+\inftyS_k(\xi_k)\rightarrow0.类似地, 可以证明当k\rightarrow+\inftyV_k(\xi_k)\rightarrow0.

断言 IV 如果\limsup\limits_{\xi\rightarrow+\infty} I(\xi)=+\infty, 则\lim\limits_{\xi\rightarrow+\infty} I(\xi)=+\infty.

应用文献[13,引理 3.4]中类似的证明, 上述断言成立.下面将应用断言I-IV证明I(\xi)是有界的.

引理 4.2I(\xi){R}上有界.

应用反证法, 假设\limsup\limits_{\xi\rightarrow+\infty} I(\xi)=+\infty, 那么由断言III和IV可知

\lim\limits_{\xi\rightarrow+\infty}(S(\xi),V(\xi))=(0,0).

\theta(\xi)=\frac{I'(\xi)}{ I(\xi)}, 有

c\theta(\xi) = d_3 \mathrm{e}^{\int_{\xi}^{\xi+1}\theta(s)\mathrm{d} s} + d_3 \mathrm{e}^{\int_{\xi}^{\xi-1}\theta(s)\mathrm{d} s} - (2d_3+\mu_3) + \left(\beta_1S(\xi)+\beta_2 V(\xi)\right)\mathrm{e}^{\int_{\xi}^{\xi-c\tau}\theta(s)\mathrm{d} s}.

应用文献[16,引理 3.4]中类似的讨论,可知\theta(+\infty)存在, 记上述极限为\kappa, 且满足

\Upsilon(\kappa,c) := d_3\left(\mathrm{e}^\kappa + \mathrm{e}^{-\kappa} - 2\right) -c\kappa - \mu_3 = 0.

显然, \Upsilon(\kappa,c) = 0有唯一的正实根\kappa_0, 且

d_3\left(\mathrm{e}^{\lambda_2} + \mathrm{e}^{-\lambda_2} - 2\right) -c\lambda_2 - \mu_3 < 0.

继续由\lambda_1\lambda_2的定义知\lambda_2<\kappa_0. 因为\lim\limits_{\xi\rightarrow+\infty}\theta(\xi) = \kappa_0, 所以存在\tilde{\xi}使得

I(\xi)\geq C \mathrm{e}{\left(\frac{\lambda_2+\kappa_0}{2}\right)\xi},\ \ \ \forall\xi\geq\tilde{\xi},

其中C为常数, 这与 I(\xi)\leq \mathrm{e}^{\lambda_1\xi}以及\lambda_1<\kappa_0矛盾. 得证.

至此得到了系统的行波解存在并且是有界的.

5 行波解的收敛性

这一节将探讨行波解的收敛性.

定理 5.1 如果\Re_0>1, 则对于c>c^*, 系统(1.3)存在行波解满足(2.4) 式.

应用上、下解的定义并应用两边夹定理, 可知

\lim_{\xi \rightarrow -\infty}(S(\xi),V(\xi),I(\xi))=(S_0,V_0,0).

下面关注\xi \rightarrow +\infty的情况.设g(x)=x-1- \ln x,\ \forall x\geq 0, 定义Lyapunov泛函如下

L(\xi)=W_1(\xi)+d_1 S^* W_2(\xi)+d_2 V^* W_3(\xi)+d_3 I^* W_4(\xi),

其中

W_1(\xi) = c S^* g\left(\frac{S(\xi)}{S^*}\right) + cV^* g\left(\frac{ V(\xi)}{V^*}\right)+c I^* g\left(\frac{I(\xi)}{I^*}\right)+\mu_3 I^*\int_{0}^{c\tau}g\left(\frac{I(\xi-\sigma)}{I^*}\right)\mathrm{d}\sigma,
W_2(\xi) = \int_{0}^{1}g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta - \int_{-1}^{0}g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta,
W_3(\xi) = \int_{0}^{1}g\left(\frac{V(\xi-\theta)}{V^*}\right)\mathrm{d}\theta - \int_{-1}^{0}g\left(\frac{V(\xi-\theta)}{V^*}\right)\mathrm{d}\theta,

以及

W_4(\xi) = \int_{0}^{1}g\left(\frac{I(\xi-\theta)}{I^*}\right)\mathrm{d}\theta - \int_{-1}^{0}g\left(\frac{I(\xi-\theta)}{I^*}\right)\mathrm{d}\theta.

W_1(\xi)的导数计算如下

\begin{align*} \frac{\textrm{d}W_1(\xi)}{\textrm{d} \xi} = &\left(1- \frac{S^*}{S(\xi)}\right) d_1 \mathcal{J}[S](\xi) + \left(1- \frac{V^*}{V(\xi)}\right) d_2 \mathcal{J}[V](\xi)\\ &+ \left(1- \frac{I^*}{I(\xi)}\right) d_3 \mathcal{J}[I](\xi) + \Theta(\xi) + \Sigma(\xi), \end{align*}

其中

\begin{align*} \Theta(\xi)=\mu_3 I^* \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\xi} \int_{0}^{c\tau}g\left(\frac{I(\xi-\sigma)}{I^*}\right)\mathrm{d}\sigma &=\mu_3 I^* \int_{0}^{c\tau} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\xi} g\left(\frac{I(\xi-\sigma)}{I^*}\right)\mathrm{d}\sigma\\ &=- \mu_3 I^* \int_{0}^{c\tau} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\sigma} g\left(\frac{I(\xi-\sigma)}{I^*}\right)\mathrm{d}\sigma\\ & = \mu_3 I^* \left[\frac{I(\xi)}{I^*} - \frac{I(\xi-c\tau)}{I^*} + \ln \frac{I(\xi-c\tau)}{I(\xi)}\right], \end{align*}

以及

\begin{align*} \Sigma(\xi) &=\left(1- \frac{S^*}{S(\xi)}\right) (\Lambda - \beta_1 S(\xi) I(\xi-c\tau) - \mu_1 S(\xi))\\ &+ \left(1- \frac{V^*}{V(\xi)}\right) (\alpha S(\xi) - \beta_2 V(\xi)I(\xi-c\tau)- \mu_2 V(\xi))\\ &+ \left(1- \frac{I^*}{I(\xi)}\right) ([\beta_1 S(\xi) + \beta_2 V(\xi)] I(\xi-c\tau) - \mu_3 I(\xi)). \end{align*}

注意到 E^{*} = (S^{ *},V^{*},I^{*})是(2.3)式的常数地方病平衡态, 因此\mu_1=\mu+\alpha, 通过计算得到

\begin{align*} \Theta(\xi) + \Sigma(\xi) &= \mu S^* \left(2-\frac{S^*}{S(\xi)}-\frac{S(\xi)}{S^*}\right) - \mu_2 V^* g\left(\frac{V(\xi)}{V^*}\right) - \alpha S^* g\left(\frac{S(\xi)V^*}{S^* V(\xi)}\right)\\ & -\beta_1 S^* I^* g\left(\frac{S(\xi)I(\xi-c\tau)}{S^* I(\xi)}\right)-\beta_2 V^* I^* g\left(\frac{V(\xi)I(\xi-c\tau)}{V^* I(\xi)}\right)\\ & -(\alpha S^* + \beta_1 S^* I^*)g\left(\frac{S^*}{S(\xi)}\right). \end{align*}

W_2(\xi)的导数计算如下

\begin{align*} \frac{\textrm{d}W_2(\xi)}{\textrm{d}\xi} &=\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\xi} \left[\int_{0}^{1}g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta - \int_{-1}^{0}g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta\right]\\ &=\int_{0}^{1} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\xi} g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta - \int_{-1}^{0}\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\xi} g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta \\ &=- \int_{0}^{1} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\theta} g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta + \int_{-1}^{0}\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\theta} g\left(\frac{S(\xi-\theta)}{S^*}\right)\mathrm{d}\theta \\ &=2g\left(\frac{S(\xi)}{S^*}\right) -g\left(\frac{S(\xi+1)}{S^*}\right)-g\left(\frac{S(\xi-1)}{S^*}\right). \end{align*}

同理, 可以得到

\frac{\textrm{d}W_3(\xi)}{\textrm{d}\xi}=2g\left(\frac{V(\xi)}{V^*}\right) -g\left(\frac{V(\xi+1)}{V^*}\right)-g\left(\frac{V(\xi-1)}{V^*}\right),

以及

\frac{\textrm{d}W_4(\xi)}{\textrm{d}\xi}=2g\left(\frac{I(\xi)}{I^*}\right) -g\left(\frac{I(\xi+1)}{I^*}\right)-g\left(\frac{I(\xi-1)}{I^*}\right).

进一步计算有

\begin{align*} &\left(1- \frac{S^*}{S(\xi)}\right) d_1 J[S](\xi) + d_1 S^*\frac{\textrm{d}W_2(\xi)}{\textrm{d}\xi} = -d_1 S^*\left[g\left(\frac{S(\xi-1)}{S(\xi)}\right)+g\left(\frac{S(\xi+1)}{S(\xi)}\right)\right],\\ &\left(1- \frac{V^*}{V(\xi)}\right) d_2 J[V](\xi) + d_2 V^*\frac{\textrm{d}W_3(\xi)}{\textrm{d}\xi} = -d_2 V^*\left[g\left(\frac{V(\xi-1)}{V(\xi)}\right)+g\left(\frac{V(\xi+1)}{V(\xi)}\right)\right],\\ &\left(1- \frac{I^*}{I(\xi)}\right) d_3 J[I](\xi) + d_3 I^*\frac{\textrm{d}W_4(\xi)}{\textrm{d}\xi} = -d_3 I^*\left[g\left(\frac{I(\xi-1)}{I(\xi)}\right)+g\left(\frac{I(\xi+1)}{I(\xi)}\right)\right]. \end{align*}

进而, Lyapunov泛函对系统(2.3)的全导数如下

\begin{align*} \frac{\textrm{d}L(\xi)}{\textrm{d}\xi}&= \mu S^* \left(2-\frac{S^*}{S(\xi)}-\frac{S(\xi)}{S^*}\right) - \mu_2 V^* g\left(\frac{V(\xi)}{V^*}\right) - \alpha S^* g\left(\frac{S(\xi)V^*}{S^* V(\xi)}\right)\\ & -\beta_1 S^* I^* g\left(\frac{S(\xi)I(\xi-c\tau)}{S^* I(\xi)}\right)-\beta_2 V^* I^* g\left(\frac{V(\xi)I(\xi-c\tau)}{V^* I(\xi)}\right)\\ & -(\alpha S^* + \beta_1 S^* I^*)g\left(\frac{S^*}{S(\xi)}\right) - d_1S^*\left[g\left(\frac{S(\xi-1)}{S(\xi)}\right)+g\left(\frac{S(\xi+1)}{S(\xi)}\right)\right]\\ &-d_2 V^*\left[g\left(\frac{V(\xi-1)}{V(\xi)}\right) + g\left(\frac{V(\xi+1)}{V(\xi)}\right)\right]-d_3 I^*\left[g\left(\frac{I(\xi-1)}{I(\xi)}\right) + g\left(\frac{I(\xi+1)}{I(\xi)}\right)\right]. \end{align*}

注意到对任意的x \geq 0, 都有g(x)=x-1- \ln x \geq 0, 则映射\xi \mapsto L(\xi)是非增的. 选取一族单调递增的点列\{\xi_k\}_{k\geq0} 满足\xi_k > 0, 且当k\rightarrow +\infty时, \xi_k \rightarrow + \infty .

\{S_k(\xi)=S(\xi+\xi_k)\}_{k \geq 0}, \ \ \{V_k(\xi)=V(\xi+\xi_k)\}_{k \geq 0}, \ \ \{I_k(\xi)=I(\xi+\xi_k)\}_{k \geq 0}.

由于(S,V,I)及其导数是有界的, 通过Arzela-Ascoli定理知\{S_k\},\{V_k\}, \{I_k\}C_{loc}^{\infty}(\mathbb{R})上收敛. 不失一般性, 假设序列\{S_k(\xi)\},\{V_k(\xi)\}\{I_k(\xi)\}收敛于一些非负的C^{\infty}函数 S_{\infty},V_{\infty}I_{\infty}. 由文献[17]知, 存在一个常数M_0和充分大的k, 使得

M_0 \leq L(S_k,V_k,I_k)(\xi) = L(S,V,I)(\xi+\xi_k) \leq L(S,V,I)(\xi).

因此, 存在\delta \in \mathbb{R}, 使得

\lim_{k \rightarrow + \infty}L(S_k,V_k,I_k)(\xi) = \delta, \ \ \xi \in {R}.

利用Lebesgue控制收敛定理, 可以得到

\lim_{k \rightarrow + \infty}L(S_k,V_k,I_k)(\xi) = L(S_{\infty},V_{\infty},I_{\infty})(\xi), \ \ \xi \in {R}.

因此, L(S_{\infty},V_{\infty},I_{\infty})(\xi)= \delta. 注意到\frac{\textrm{d}L(\xi)}{\textrm{d}\xi} = 0当且仅当S \equiv S^*,V \equiv V^* 以及I \equiv I^*, 进而, L(S_{\infty},V_{\infty},I_{\infty})(\xi) \equiv (S^*,V^*,I^*).

6 数值模拟及讨论

本节将提供一些数值模拟来验证本文的理论结果. 系统(2.3)中的参数取值选取为 \mu = 0.05, \delta = 0.1, \alpha=0.08, \Lambda=1, \gamma=0.3,\beta_1 = 0.2, \beta_2 = 0.1, \tau= 4,d_1 = 0.8, d_2 = 0.8, d_3 =0.01.基于这些参数取值可得, 基本再生数 \Re_0=5.568, 最小波速 c^*=0.524.

首先, 模拟了系统(2.3)的解曲线.图 1 中, 在基本再生数 \Re_0=5.568, 波速 c>c^* 的情况下, 模拟了系统(2.3)的解曲线 (S(\xi), V(\xi), I(\xi)), 该解为系统(2.3)的行波解.此外, 在基本再生数 \Re_0=0.872, 波速 c<c^* 时, 系统(2.3)的解曲线 (S(\xi), V(\xi), I(\xi)), 如图2 所示.

图1

图1   \Re_0=5.568, c^*<c=2时, 系统(2.3)的解曲线.


图2

图2   \Re_0=0.872, c^*>c=0.4时, 系统(2.3)的解曲线.


其次, 模拟了易感者和疫苗接种者接触染病者被成功感染的概率 \beta_1, \beta_2, 染病者的扩散率 d_3, 以及接种疫苗的人获得免疫力的比率 \delta 对最小波速的影响, 进而确定影响波速的关键因素.图 3 表明, 最小波速会随着参数 \beta_1, \beta_2, d_3的增加而增大, 随着参数 \delta 的增加大而减小.因此, 为了降低疾病的传播速度, 可以通过实施有效的控制措施来减少疾病的感染率和染病者的扩散率.此外, 增加疫苗接种的成功率也是一个关键的策略, 能够显著地控制疾病的蔓延.

图3

图3   参数\beta_1, \beta_2, d_3, \delta的变化对最小波速c^*的影响.


最后, 通过 PRCC 评估输出变量 \Re_0 与输入参数 (\beta_1, \beta_2, \gamma, \mu) 的敏感性.图 4 表明基本再生数 \Re_0 和参数 \beta_1, \beta_2 具有较强的正相关性.此外, 基本再生数 \Re_0 和参数 \gamma 呈高度负相关, 与参数 \mu 呈中度负相关.因此, 通过强化预防措施、加强早期筛查与隔离力度、提升治疗水平以及优化医疗资源配置等多方面的综合措施, 能够有效地遏制疾病的蔓延.

图4 基本再生数对参数的相关性, 其中浅灰色区域表示在统计上不显著的 PRCC 值, 深灰色区域表示中度相关的 PRCC 值.

另一方面, 注意到基本再生数和最小波速是行波解存在与否的阈值. 通过计算不难验证, 波速c关于参数d_3,\ \beta_1\beta_2是单调非减的, 关于\delta是单调非增的, 即

\bullet 疫苗接种越成功, 疾病传播就越慢;

\bullet 感染者移动得越快, 疾病传播得越快;

\bullet 感染越有效, 疾病传播就越快.

从生物学角度来看, 研究结果表明: 感染者移动能力和感染能力可以加速传染病的传播, 而疫苗接种的成功率可以减缓疾病的传播. 上述理论结果都由数值模拟得到了验证.

参考文献

许孟, 许春根.

拔尖创新工科人才培养中的 "数学建模" 课程研究

黑龙江教育 (高教研究与评估), 2021 (6): 31-33

[本文引用: 1]

Xu M, Xu C G.

Research on the "Mathematical Modeling" course in cultivating top-notch innovative engineering talents

Heilongjiang Education (Research and Evaluation of Higher Education), 2021 (6): 31-33

[本文引用: 1]

Liu X, Takeuchi Y, Iwami S.

SVIR epidemic models with vaccination strategies

Journal of Theoretical Biology, 2008, 253: 1-11

PMID:18023819      [本文引用: 2]

Vaccination is important for the elimination of infectious diseases. To finish a vaccination process, doses usually should be taken several times and there must be some fixed time intervals between two doses. The vaccinees (susceptible individuals who have started the vaccination process) are different from both susceptible and recovered individuals. Considering the time for them to obtain immunity and the possibility for them to be infected before this, two SVIR models are established to describe continuous vaccination strategy and pulse vaccination strategy (PVS), respectively. It is shown that both systems exhibit strict threshold dynamics which depend on the basic reproduction number. If this number is below unity, the disease can be eradicated. And if it is above unity, the disease is endemic in the sense of global asymptomatic stability of a positive equilibrium for continuous vaccination strategy and disease permanence for PVS. Mathematical results suggest that vaccination is helpful for disease control by decreasing the basic reproduction number. However, there is a necessary condition for successful elimination of disease. If the time for the vaccinees to obtain immunity or the possibility for them to be infected before this is neglected, this condition disappears and the disease can always be eradicated by some suitable vaccination strategies. This may lead to over-evaluating the effect of vaccination.

Kuniya T.

Global stability of a multi-group SVIR epidemic model

Nonlinear Anal: Real World Appl, 2013, 14(2): 1135-1143

[本文引用: 1]

李丹, 魏凤英, 毛学荣.

具有媒体报道的 SVIR 传染病模型的生存性分析

数学物理学报, 2023, 43A(5): 1595-1606

[本文引用: 1]

Li D, Wei F Y, Mao X R.

Survival analysis of an SVIR epidemic model with media coverage

Acta Math Sci, 2023, 43A(5): 1595-1606

[本文引用: 1]

Wang J, Zhang R, Kuniya T.

The dynamics of an SVIR epidemiological model with infection age

IMA Journal of Applied Mathematics, 2016, 81(2): 321-343

[本文引用: 1]

杨瑜.

一类非局部时滞的SVIR反应扩散模型的全局吸引性

数学物理学报, 2021, 41A(6): 1864-1870

[本文引用: 1]

Yang Y.

Global attractivity of a nonlocal delayed and diffusive SVlR model

Acta Math Sci, 2021, 41A(6): 1864-1870

[本文引用: 1]

Xu Z, Xu Y, Huang Y.

Stability and traveling waves of a vaccination model with nonlinear incidence

Computers and Mathematics with Applications, 2018, 75: 561-581

[本文引用: 1]

Zhang R, Liu S.

Traveling waves for SVIR epidemic model with nonlocal dispersal

Mathematical Biosciences and Engineering, 2019, 16}(3): 1654-1682

[本文引用: 1]

Zhou J, Yang Y, Hsu C H.

Traveling waves for a nonlocal dispersal vaccination model with general incidence

Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, 2020, 25(4): 1469-1495

[本文引用: 1]

San X F, Wang Z C, Feng Z.

Traveling waves for an epidemic system with bilinear incidence in a periodic patchy environment

Journal of Differential Equations, 2023, 357: 98-137

[本文引用: 1]

Fu S C, Guo J S, Wu C C.

Traveling wave solutions for a discrete diffusive epidemic model

Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 2016, 17: 1739-1751

[本文引用: 2]

Wu C C.

Existence of traveling waves with the critical speed for a discrete diffusive epidemic model

Journal of Differential Equations, 2017, 262: 272-282

[本文引用: 1]

Chen Y, Guo J, Hamel F.

Traveling waves for a lattice dynamical system arising in a diffusive endemic model

Nonlinearity, 2017, 30: 2334-2359

[本文引用: 3]

Zhang R, Wang J, Liu S.

Traveling wave solutions for a class of discrete diffusive SIR epidemic model

J Nonlinear Science, 2021, 31: 1-33

[本文引用: 2]

Zhang Q, Wu S L.

Wave propagation of a discrete SIR epidemic model with a saturated incidence rate

International Journal of Biomathematics, 2019, 12(3): 1950029

[本文引用: 1]

Chen X, Guo J.

Uniqueness and existence of traveling waves for discrete quasilinear monostable dynamics

Mathematische Annalen, 2003, 326(1): 123-146

[本文引用: 1]

Dang J, Zhang G B, Tian G.

Wave propagation for a discrete diffusive mosquito-borne epidemic model

Nonlinearity, 2024, 23(3): 104

[本文引用: 1]

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