具有时滞的离散扩散疫苗接种模型的行波解
Traveling Waves for a Discrete Diffusive Vaccination Model with Delay
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收稿日期: 2024-05-17 修回日期: 2025-01-3
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Received: 2024-05-17 Revised: 2025-01-3
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作者简介 About authors
任雪,Email:
该文研究具有时滞的离散扩散疫苗接种模型的行波解. 该模型综合考虑了人口的自然增长、感染、治愈以及疫苗接种等因素, 并考虑了易感者、接种疫苗者与感染者之间的直接接触感染的时滞效应. 通过建立适当的格点动力系统, 得到了模型行波解的存在性和渐近行为. 进一步结果表明, 疫苗接种率、染病者的移动能力以及传播率对行波解的形成和速度有重要影响, 可能导致行波解的加速或减缓. 这些发现对于制定有效的疫苗接种策略和控制传染病的传播具有重要的理论和实际意义.
关键词:
This paper considers the traveling wave solutions of a discrete diffusion vaccination model with time delay. The model comprehensively considers factors such as natural population growth, infection, recovery, and vaccination, as well as the time delay effect of direct contact infection between susceptible individuals, vaccinated individuals, and infected individuals. By establishing appropriate lattice dynamical system, the existence and asymptotic behavior of the traveling wave solutions are obtained. Further results indicate that vaccination rates, the mobility of infected individuals, and transmission rates have a significant impact on the formation and speed of traveling wave solutions. These findings have important theoretical and practical significance for formulating effective vaccination strategies and controlling the spread of infectious diseases.
Keywords:
本文引用格式
武文斌, 任雪, 张冉.
Wu Wenbin, Ren Xue, Zhang Ran.
1 引言
传染病在历史上一直对人类健康构成持续威胁, 促使人们不断努力了解和控制其传播. 数学建模已成为这一努力中的有力工具, 为多种疾病传播的复杂动态和干预策略的潜在影响提供了很多见解, 例如严重急性呼吸综合症(SARS)、 埃博拉病毒(Ebola Virus)和新型冠状病毒(COVID-2019)的传播等, 并且传染病建模已成为当前数学建模相关课程的最佳训练途径之一[1]. 众所周知, 疫苗接种作为一种医疗干预措施, 旨在刺激免疫系统产生针对特定病原体(如病毒或细菌)的免疫反应, 而不会引起疾病本身. 这一过程有助于身体对目标病原体产生免疫力, 从而为未来的感染提供保护. 从数学建模的角度说, 建立并研究疫苗传染病模型是分析疫苗接种计划和流行病动态之间相互作用的有效利器.
研究疫苗接种模型的传统方法是建立相应的微分方程, 通过数学分析以推导系统平衡态的稳定性条件, 并结合数值模拟验证理论结果给出相应的疾病控制策略. Liu等[2]基于常微分方程建立了一类疫苗接种模型
虽然上述研究提供了针对疫苗接种模型很多有价值的见解, 但它们可能忽略了疾病传播的关键因素, 特别是人口流动这一因素. 从数学建模的角度来看, 反应扩散传染病模型是一类将传染病传播与空间扩散相结合的数学模型. 该类模型考虑了传染病在空间上的传播和人群中的相互作用, 常用于描述在地理空间上的传染病传播过程. 另一方面, 针对反应扩散系统, 有一类称为行波解的特殊形式的解引起了广大学者的关注. 传染病模型中的行波解描述了疾病传播的动态模式, 其中疾病以恒定速率传播, 并在在空间传播过程中保持稳定形状. 通过分析行波解的速度和形状, 可以为流行病动力学提供了独特的视角, 并且收集到驱动疾病传播的潜在机制. 文献[7]提出了具有局部扩散的SVIR模型, 研究了该模型在有界域上的全局动力学和无界域上的行波解. 同时, 文献[8]和文献[9]分别研究了两类具有非局部扩散的SVIR模型的行波解问题.
应用上述离散扩散的建模思想, 本文建立如下具有时滞的离散扩散SVIR传染病模型
其中
2 预备工作
模型(1.3)对应的无扩散系统为下述时滞微分方程
其中
由文献[2]可知, 当
令行波变量
其中
2.1 特征值问题
将 (2.3) 式的第三个方程在无病平衡点
令
定义特征方程如下
当
至此, 特征方程
引理 2.1 当
并且
(i) 当
(ii) 当
(iii) 当
进一步地, 当
2.2 上、下解
本节中始终固定
其中常数
引理 2.2 函数
以及
其中
证 由
因此
由于
选择充分小的
使得不等式组(2.6)的第一个不等式成立. 同理可以证明不等式组(2.6)的第二个不等式成立.
下面取
若
因此
通过
使得不等式组(2.6)的第三个不等式成立.
3 行波解的存在性
取
对于任意的
以及
记
其中
由标准的时滞微分方程理论知, 系统(3.2)存在唯一解
其中
为了说明行波解的存在性, 将应用不动点定理证明算子
引理 3.1
证 首先应用引理2.2以及常数
以及
直接计算有
以及
对于
因此,
对
应用Schauder不动点定理, 对于任意的
为了给出
其范数定义如下
引理 3.2 对于任意的
证 由于
其中
对于任意的
以及
因此存在
对于任意的
因此, 存在常数
由上述估计并结合 Arzela-Ascoli 定理 (见文献[14]), 可以得到系统(2.3)存在解
至此, 行波解的存在性得证, 下面关注解的有界性和渐近行为.
4 行波解的有界性
引理 4.1 函数
证 首先证明
此处得到矛盾, 因此
其次, 如果存在
注意到
最后, 继续应用反证法证明
此矛盾说明
下面说明如下的4个论断成立
论断 I
令
由
直接计算可得
将(4.1) 式在
因此
将(4.2)式从
类似地, 将(4.2)式在
从而
同理可知
断言 II
由(2.3)式的第三个方程并结合断言
断言 III 对于序列
应用反证法, 假设存在
进一步令
由断言II知, 存在一个常数
因此
这意味着当
由(2.3)式的第一个方程知, 当
因此存在
从而有
断言 IV 如果
应用文献[13,引理 3.4]中类似的证明, 上述断言成立.下面将应用断言I-IV证明
引理 4.2
证 应用反证法, 假设
记
应用文献[16,引理 3.4]中类似的讨论,可知
显然,
继续由
其中
至此得到了系统的行波解存在并且是有界的.
5 行波解的收敛性
这一节将探讨行波解的收敛性.
定理 5.1 如果
证 应用上、下解的定义并应用两边夹定理, 可知
下面关注
其中
以及
对
其中
以及
注意到
对
同理, 可以得到
以及
进一步计算有
进而, Lyapunov泛函对系统(2.3)的全导数如下
注意到对任意的
由于
因此, 存在
利用Lebesgue控制收敛定理, 可以得到
因此,
6 数值模拟及讨论
本节将提供一些数值模拟来验证本文的理论结果. 系统(2.3)中的参数取值选取为
图1
图2
其次, 模拟了易感者和疫苗接种者接触染病者被成功感染的概率
图3
最后, 通过 PRCC 评估输出变量
图4 基本再生数对参数的相关性, 其中浅灰色区域表示在统计上不显著的 PRCC 值, 深灰色区域表示中度相关的 PRCC 值.
另一方面, 注意到基本再生数和最小波速是行波解存在与否的阈值. 通过计算不难验证, 波速
从生物学角度来看, 研究结果表明: 感染者移动能力和感染能力可以加速传染病的传播, 而疫苗接种的成功率可以减缓疾病的传播. 上述理论结果都由数值模拟得到了验证.
参考文献
拔尖创新工科人才培养中的 "数学建模" 课程研究
Research on the "Mathematical Modeling" course in cultivating top-notch innovative engineering talents
SVIR epidemic models with vaccination strategies
Vaccination is important for the elimination of infectious diseases. To finish a vaccination process, doses usually should be taken several times and there must be some fixed time intervals between two doses. The vaccinees (susceptible individuals who have started the vaccination process) are different from both susceptible and recovered individuals. Considering the time for them to obtain immunity and the possibility for them to be infected before this, two SVIR models are established to describe continuous vaccination strategy and pulse vaccination strategy (PVS), respectively. It is shown that both systems exhibit strict threshold dynamics which depend on the basic reproduction number. If this number is below unity, the disease can be eradicated. And if it is above unity, the disease is endemic in the sense of global asymptomatic stability of a positive equilibrium for continuous vaccination strategy and disease permanence for PVS. Mathematical results suggest that vaccination is helpful for disease control by decreasing the basic reproduction number. However, there is a necessary condition for successful elimination of disease. If the time for the vaccinees to obtain immunity or the possibility for them to be infected before this is neglected, this condition disappears and the disease can always be eradicated by some suitable vaccination strategies. This may lead to over-evaluating the effect of vaccination.
Global stability of a multi-group SVIR epidemic model
具有媒体报道的 SVIR 传染病模型的生存性分析
Survival analysis of an SVIR epidemic model with media coverage
The dynamics of an SVIR epidemiological model with infection age
一类非局部时滞的SVIR反应扩散模型的全局吸引性
Global attractivity of a nonlocal delayed and diffusive SVlR model
Stability and traveling waves of a vaccination model with nonlinear incidence
Traveling waves for SVIR epidemic model with nonlocal dispersal
Traveling waves for a nonlocal dispersal vaccination model with general incidence
Traveling waves for an epidemic system with bilinear incidence in a periodic patchy environment
Traveling wave solutions for a discrete diffusive epidemic model
Existence of traveling waves with the critical speed for a discrete diffusive epidemic model
Traveling waves for a lattice dynamical system arising in a diffusive endemic model
Traveling wave solutions for a class of discrete diffusive SIR epidemic model
Wave propagation of a discrete SIR epidemic model with a saturated incidence rate
Uniqueness and existence of traveling waves for discrete quasilinear monostable dynamics
Wave propagation for a discrete diffusive mosquito-borne epidemic model
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