一类具有瞬时和非瞬时脉冲的 ψ -Caputo 型分数阶微分方程的多解性
Multiple Solutions for a Class of ψ -Caputo-Type Fractional Differential Equations with Instantaneous and Non-Instantaneous Impulses
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收稿日期: 2024-05-7 修回日期: 2024-11-27
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Received: 2024-05-7 Revised: 2024-11-27
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作为整数阶微分方程的推广, 分数阶微分方程近年来是一个十分热门的研究对象. 分数阶微分方程在反常扩散、流体流动、流行病学和粘弹性力学等许多科学与工程实际问题的建模中发挥着重要作用. 该文研究一类包含
关键词:
In recent years, as an extension of integer-order differential equations, fractional differential equations have became a popular research object. They play an important role in modeling many practical problems of science and engineering, such as anomalous diffusion, fluid flow, epidemiology, viscoelastic mechanics, etc. In this paper, a class of fractional differential equation involving
Keywords:
本文引用格式
姚旺进, 张慧萍.
Yao Wangjin, Zhang Huiping.
1 引言
本文主要研究如下一类具有瞬时和非瞬时脉冲的
其中
脉冲现象在自然界和人类社会活动中广泛存在. 根据持续作用时间的不同, 脉冲可分为瞬时脉冲和非瞬时脉冲. 瞬时脉冲由于常被用来描述物理学, 医学和自动控制系统等领域中的瞬时突变现象而备受关注. 利用变分方法研究瞬时脉冲微分方程解的存在性和多重性的工作始于 Tian-Ge[18] 和 Nieto-O'Regan[14]. 在此之后, 越来越多的学者关注到这个领域, 并取得丰硕的研究成果, 具体可参见文献 [5,13,17,20,24,28,30]. 然而, 在现实生活中, 并不是所有的现象都能用瞬时脉冲来描述, 比如地震和海啸. 因此, Hernández-O'Regan[6] 引入了非瞬时脉冲. 最早利用变分方法研究非瞬时脉冲微分方程的是 Bai-Nieto[2]. 在此之后, 也有许多学者关注到这个领域, 并取得大量的研究成果, 具体可参见文献 [3,8,23,27]. 随着研究的更进一步发现, 在现实生活中, 有些现象是具有瞬时脉冲和非瞬时脉冲的混合过程, 比如静脉注射现象[21,22], 即人体在注射药物后,血液中的药物浓度会立即增加 (这相当于发生了瞬时脉冲),但随着药物在体内被不断吸收,血液中的浓度会逐渐降低,这是一个渐进而连续的过程 (这相当于发生了非瞬时脉冲). 因此, Tian-Zhang[19] 在非瞬时脉冲微分方程的基础上, 引入瞬时脉冲, 从而研究一类同时具有瞬时和非瞬时脉冲的二阶微分方程, 并利用 Ekeland 的变分原理证明至少一个古典解的存在性. 在文献 [19] 的基础上, 近 5 年来, 大量的学者主要集中于利用变分方法研究具有瞬时和非瞬时脉冲的分数阶微分方程. 特别的, Zhang-Liu[25] 考虑了如下一类具有瞬时和非瞬时脉冲的分数阶微分方程, 通过极小化方法获得至少一个古典解的存在性.
其中,
其中
受到以上文献启发, 本文主要研究问题 (1.1), 利用变分方法和两类三临界点定理获得至少三个古典解的存在性. 当

下文安排如下; 第 2 节主要给出一些预备知识作为后续定理证明的基础; 第 3 节给出主要定理的证明; 第 4 节给出一些例子来验证我们的主要结果.
2 预备知识
本节先介绍分数阶微积分的一些定义以及下文需要用到的一些引理和定理.
函数
其中, 当
其中, 当
值得注意的是, 当
定义 2.3[1] 如果
其中, 当
注 2.1[引理3] 当
定义
显然, 空间
引理 2.1[引理2] 对任意的
其中
引理 2.2 若
证 类似文献 [引理 5] 的做法,可证该引理成立, 证明过程这里省略.
定义泛函
其中
显然,
引理 2.3 若
证 与文献 [定理 2] 的证明类似, 我们可得引理 2.3 成立, 证明过程这里省略.
引理 2.4[7] 令
定理 2.1[16] 设
且
定理 2.2[4] 假设
(A1)
(A2) 对于任意的
那么, 对于任意的
3 主要定理及其证明
在本节, 我们主要利用变分方法和两类三临界点定理证明问题 (1.1) 解的多重性.
定理 3.1 假设存在非负常数
(H1)
(H2)
那么, 对每个区间
证 定义泛函
其中
由文献 [11] 可知,
因此,
另一方面, 根据 (H1) 可知, 存在
由
令
因此,
另外, 如果
结合 (3.4) 和 (3.5) 式, 有
更进一步, 由 (H2) 可知,
因此, 由定理 2.1 和引理 2.3 可知, 对每个区间
定理 3.2 假设如下条件成立
(H3) 存在正常数
其中,
(H4) 存在
并且下面的不等式成立
那么, 对任意的
使得, 对每一个
证 定义泛函
其中
令
鉴于
如果
如果
另一方面, 再根据
结合 (3.8) 和 (3.9) 式可得
因此, 定理 2.2 的条件 (A1) 成立. 最后, 我们验证条件 (A2) 也成立. 对任意的
因为
我们注意到参数
定理 3.3 假设如下条件成立
(H3)' 存在正常数
(H4)' 存在
并且 (3.6) 式成立.
那么, 对每一个
使得, 对任意的
证 与定理 3.2 的证明类似, 因为
如果
另一方面, 由
经过简单计算可知
现在, 我们证明
由于
定理 3.4 假设条件 (H3) 成立, 并且存在常数
和
以及下面的不等式成立
那么, 对每个
使得, 对任意的
证 我们主要还是利用定理 2.2 来证明该定理成立. 定义函数
可得
和
因此,
由 (3.10) 式可知,
若
若
另一方面, 根据 (3.11) 式, 可得
所以,
若
鉴于 (3.13) 和 (3.14) 式, 有
这意味着条件 (A1) 成立. 条件 (A2) 的证明与定理 3.2 类似, 这里省略. 因此, 由定理 2.2 可得, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.
类似的, 当
定理 3.5 假设条件 (H3)
使得, 对任意的
证 由于
假设
另一方面,
假设
剩余的证明与定理 3.3 类似, 这里我们省略. 因此, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.
4 例子
例 4.1 取
其中
显然,
例 4.2 令
选取
其中
选取另一个函数
显然,
显然,
这意味着 (3.6) 式成立. 令
存在
使得, 对每个
5 结论
本文主要通过 Bonanno-Marano 和 Ricceri 的三临界点定理证明一类具有瞬时和非瞬时脉冲的
致谢
非常感谢审稿专家对本篇论文所提出的宝贵修改建议, 使文章更加严谨和完整!
参考文献
A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function
Variational approach to differential equations with not instantaneous impulses
Variational approach to non-instantaneous impulsive nonlinear differential equations
On the structure of the critical set of non-differentiable functions with a weak compactness condition
Existence of solutions to boundary value problem for impulsive fractional differential equations
On a new class of abstract impulsive differential equations
Existence of weak solutions for
On variational methods to non-instantaneous impulsive fractional differential equation
Multiple solutions for a class of
Instantaneous and non-Instantaneous impulsive boundary value problem involving the generalized
Solvability for the
基于变分方法的脉冲微分方程 Neumann 边值问题多重解的存在性
Variational approach to existence of multiple solutions for Neumann boundary value problem of impulsive differential equations
Variational approach to impulsive differential equations
The fractional derivative of a composite function
A further three critical points theorem
Multiple solutions to boundary value problem for impulsive fractional differential equations
Applications of variational methods to boundary-value problem for impulsive differential equations
Variational method to differential equations with instantaneous and non-instantaneous impulses
DOI:10.1016/j.aml.2019.02.034
[本文引用: 2]
The aim of this paper is to study the existence of solutions for second-order differential equations with instantaneous and non-instantaneous impulses. Applying variational method, the existence result is obtained. (C) 2019 Elsevier Ltd.
Multiplicity results for second order impulsive differential equations via variational methods
Existence of solutions for fractional instantaneous and non-instantaneous impulsive differential equations with perturbation and Dirichlet boundary value
Applications of variational methods to some three-point boundary value problems with instantaneous and noninstantaneous impulses
Variational approach to non-instantaneous impulsive differential equations with
一类含有
Existence and multiplicity of solutions for a class of impulsive differential equations with
Variational approach to fractional Dirichlet problem with instantaneous and non-instantaneous impulses
Study on a new
Existence results for non-instantaneous impulsive nonlinear fractional differential equation via variational methods
Nontrivial solutions for impulsive fractional differential equations via Morse theory
Variational approach to
/
〈 |
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