2015 年, Berestycki 等^[1]提出用于描述社会张力-动荡演化的常微分方程模型,

这里$u(\tau)$代表 “社会张力”, $v(\tau)$表示 “动荡水平”, $G(u)=u(1-u)$ 为 logistic 函数, 它代表社会的从众效应; $r(v)=\frac{1}{1+{\rm e}^{-\beta(v-\alpha)}}$ 为 sigmoid 型函数, 它代表开关机制, 即当 $v$ 足够大时, 从众效应才被体现;

$h(u)=\theta(1+u)^{-p}$ 代表 $u$ 对 $v$ 的影响, $h(u)$ 单调递减时为张力增强, 单调递增时为张力抑制, 此处 $h(u)$ 的单调性由未知参数 $p$ 来控制; $\theta$ 指的是单位时间内张力的自然衰减率, $\sum_{i=1}^{n}A_{i}\delta_{x=x_{i},t=t_{i}}$ 指的是外界因素对社会张力的影响.

基于上述 Berestycki 等提出的常微分系统, Bakhshi 等^[2]考虑了扩散效应, 提出了如下用于描述社会张力-动荡演化的反应-扩散系统

这里$u=u(\tau,x)$代表 “社会张力”, $v=v(\tau,x)$表示 “动荡水平”, 函数 $G, r, h$ 与上面所述相同. 在扩散系数满足 $0<d_i\ll1, i=1,2$ 或 $0<d_1=O(1), 0<d_2\ll1$ 的假设下, Bakhshi 等^[2]利用几何奇异摄动理论, 证明系统 (1.1) 存在连接两个稳态解的波前解.

基于 Bakhshi 等^[2]提出的反应-扩散系统, 本文引入 Allee 效应, 即考虑如下反应-扩散系统,

这里 $a\in(0,1)$ 为 Allee 效应参数, 其他参数与前面模型相同, 且由于研究张力抑制的情况, 因此 $p>0$. 一方面, 从数学建模的角度看, 相比于 logistic 增长, Allee 效应作为生态学中的一个重要概念, 它可用于 “阈值” 问题的建模, 对于刻画 “社会张力” 的爆发阈值有一定意义, 因此模型的建立应该是更为合理; 另一方面, 从数学理论的角度看, Allee 效应的引入, 使得 (1.2) 式的稳态解的个数比模型 (1.1) 更多且类型难以判断, 这导致模型 (1.2) 波前解的产生更为复杂. 那么, 相比于模型 (1.1), 模型 (1.2) 是否有新的波前解的产生, 是本文研究的主要内容. 模型 (1.2) 的异宿连接, 代表着从不同的稳态之间的迁移.

本文结构安排如下: 第 2 节分析了 (1.2) 式稳态解的个数及其类型; 第 3 节在扩散系数 $d_i, i=1,2$ 均很小的假设下, 利用几何奇异摄动理论, 通过降维证明了 (1.2) 式存在连接两个不同稳态解的波前解; 在第 4 节中在扩散系数 $0<d_1=O(1), 0<d_2\ll1$ 的假设下, 基于几何奇异摄动理论降维并结合相平面分析方法, 证明了模型 (1.2) 波前解的存在性.

令$\Gamma/\omega=\gamma$, 则可将 (1.2) 式改写为

显然, 系统 (2.1) (等价于系统 (1.2)) 的稳态解为如下非线性代数方程组的根,

引理 2.1 方程组 (2.2) 最多有三个根, 即系统 (1.2) 最多有三个稳态解, 即存在临界参数 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 使得

(1) 当 $a<a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, (2.2) 式只有一个非退化根 $A(0,1)$, 见图1(a);

(2) 当 $a=a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, (2.2) 式有两个根 $A(0,1)$, $B(\overline{u},\overline{v})$, 其中 $B(\overline{u},\overline{v})$ 为退化根, 此时鞍结分支产生, 见图1(b);

(3) 当 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, (2.2) 式有三个非退化根 $A(0,1)$, $B(\overline{u},\overline{v})$, $C(u^*,v^*)$, 见图1(c), 其中 $(\overline{u},\overline{v})$ 和 $(u^*,v^*)$ 为如下超越方程在 $a$ 取不同值情况下的解,

见图-1, 而 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 由下述的方程组消去 $u$ 后确定,

证 方程组 (2.2) 的根为如下方程组

和

的根. 由方程 (2.5) 可得稳态解 $A(0,1)$. 对于方程组 (2.6) 的根, 可将第一个方程的 $v$ 用第二个方程代入, 从而得到关于 $u$ 的非线性方程 (2.3). 对方程 (2.3) 进行变形可得方程组 (2.4) 的第一个方程. 接着对方程组 (2.6) 的第一个方程进行变形, 用 $u$ 表示 $v$, 并关于 $u$ 求导, 同时对方程组 (2.6) 的第二个方程关于 $u$ 求导, 令两个的导数相等, 可得方程组 (2.4) 的第二个方程. 在方程组 (2.4) 中消去 $u$ 后, 可以求得方程组 (2.4) 代表的两条曲线相切时参数 $a$ 的临界值 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 从而引理 1 得证.

注 2.1 由于临界参数 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 的显式表达式难以得出, 因此图-1 为固定参数 $\beta, \gamma,p$ 的情况下改变 $a$ 的值而得到的示意图.

本文考虑系统 (1.2)) 有三个稳常态解 $A(0,1)$, $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$ 和 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 时的波前解的连接和存在性问题, 因此以下均假设 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$.

记$f_1(u_1,v_1)=-(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1), f_2(u_1,v_1)=-(1-(1+u_1)^pv_1).$

考虑如下平面系统

引理 2.2 若系统 (2.7) 有三个平衡点 $A(0, 1)$, $B(\overline{u}_{1}, \overline{v}_{1})$, $C(u_{1}^*, v_{1}^*)$, 则点 $A(0, 1)$ 为系统 (2.7) 的不稳定结点; 点 $B(\overline{u}_{1}, \overline{v}_{1})$ 为系统 (2.7) 的鞍点; 若 $u_{1}^*\geq\frac{a+1}{2}$, 则点 $C(u_{1}^*, v_{1}^*)$ 是不稳定的平衡点, 若 $u_{1}^*<\frac{a+1}{2}$, 则 $C(u_{1}^*, v_{1}^*)$ 的类型无法判断.

证 直接计算可得

则其雅可比矩阵的特征值为

因此, 系统 (2.7) 在点 $A(0,1)$ 的特征值为 $\lambda_{1}(A)=\frac{1}{c}, \lambda_{2}(A)=\frac{\omega(a\gamma+2)}{2c}$, 则点 $A(0,1)$ 为一个不稳定结点.

根据引理 2.1, $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$ 和 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 满足

对于第一个方程, 可将方程改写为

即

方程两边同时对 $u_{1}$ 求导可得,

对于第二个方程, 可将方程改写为

方程两边同时对 $u_{1}$ 求导可得,

从引理 2.1 中的图1, 比较两曲线在 $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$ 和 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 的斜率可知

以及

因此, 对于点 $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$, 代入得

故有

因此, 点$B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$是鞍点.

对于点 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$, 可类似计算得$f_{1u_{1}}(C)f_{2v_{1}}(C)-f_{1v_{1}}(C)f_{2u_{1}}(C)>0$, 即$C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 不可能是鞍点.

此时, 需要再判断 $\omega f_{1u_{1}}(C)+f_{2v_{1}}(C)$ 的符合. 计算可得

(1) 若 $u_{1}^*\geq\frac{a+1}{2}$, 则 $\omega f_{1u_{1}}(C)+f_{2v_{1}}(C)>0$, 因此 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 是不稳定的平衡点;

(2) 若 $u_{1}^*<\frac{a+1}{2}$, 则 $\omega f_{1u_{1}}(C)+f_{2v_{1}}(C)$ 大小与 $\omega$ 取值有关, 此时无法判断 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 的类型.

引入行波坐标 $\xi=x-c\tau$, 其中 $c$ 为传播速度, 可得系统 (1.2) 对应的行波系统

因 $0<d_1, d_2\ll1$, 故可令 $d_1=\epsilon$, $d_2=\mu d_1$, 其中 $0<\mu=O(1)$, $0<\epsilon\ll 1$, 则

将系统 (3.2) 写为一阶系统的形式

我们称系统 (3.3) 为慢系统. 引入快变量 $\zeta=\xi/\epsilon$ 可得对应的快系统

在快系统 (3.4) 令 $\epsilon=0$, 可得层系统

其平衡点集合为

它是四维空间中的二维临界流形.

系统 (3.5) 在 $M_0$ 的每一点线性化系统有两个 $0$ 特征值以及两个 $-c$ 特征值, 由此可知 $M_0$ 是法向双曲且吸引的.

在临界流形 $M_0$ 上, 慢-极限动力学由如下平面系统控制

根据 Fenichel's 不变流形定理^[3,4], 存在 $M_0$ 的个 $\epsilon-$ 阶扰动 $M_\epsilon$, $M_\epsilon$

上的慢流是 $M_0$ 上极限慢流的 $\epsilon$-阶扰动.

根据引理 2.2, 我们只考虑 $u_{1}^*\geq\frac{a+1}{2}$ 的情况. 为降维的需要, 我们分别讨论 $\omega\ll 1$ 和 $\omega\gg1$ 两种情形.

情形 1 $\omega\ll 1$.

对系统 (3.7), 令 $\eta=\omega\xi$, 则有

这里 $v_1$ 和 $u_1$ 分别为快、慢变量. 在系统 (3.7) 和 (3.8) 中分别令 $\omega=0$, 可得

以及

因此, 系统 (3.7) 的临界集为

其上的极限慢流为

它有三个平衡点, 分别为 $\overline{A}=0$、$\overline{B}=\overline{u}_1$ 以及 $\overline{C}=u_{1}^*$.

系统 (3.12) 在点 $\overline{A}$ 的线性化方程有一个正的特征值 $\frac{\gamma a+2}{2c}$, 在点 $\overline{B}$ 有一个负的特征值, 在点 $\overline{C}$ 有一个正的特征值, 因此 $\overline{A}$ 和 $\overline{C}$ 为不稳定平衡点, $\overline{B}$ 为稳定平衡点. 因此, 一维的临界曲线 (3.12) 上存在从 $\overline{A}$ 到 $\overline{B}$ 的异宿连接以及从 $\overline{C}$ 到 $\overline{B}$ 的异宿连接.

对于系统 (3.9), 它关于 (3.11) 式任意一点 $(u_1,v_1)$ 的线性化矩阵有一个正的特征值 $\frac{1}{c}(1+u_1)^p$ 和一个 $0$ 特征值, 因此集合 (3.11) 是法向双曲且排斥的. 由于临界流形 (3.11) 是法向双曲的, 根据 Fenichel 不变流形理论^[3,4], 当 $\omega$ 充分小时, 系统 (3.7) 中存在慢流形, 它也是法向排斥的, 并且是系统 (3.9) 临界流形的 $\omega-$ 阶扰动, 其表达式如下

其上的流由 (3.12) 式的 $\omega-$ 阶扰动给出, 即

显然, 当 $\omega$ 充分小时, 不稳定平衡点 $\overline{A}, \overline{C}$ 和稳定平衡点 $\overline{B}$ 经扰动成为系统 (3.14) 的平衡点且它们之间的异宿连接保持, 该异宿连接具有横截性.

进一步地, 根据 Fenichel 不变流形理论^[3,4],当 $\epsilon$ 充分小时, 四维相空间中存在连接平衡点 $(0,0,1,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 以及平衡点 $(u^*,0,v^*,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 异宿轨道.

定理 3.1 设 $\gamma, c, \beta, p, a>0$ 且 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 那么当 $0<\epsilon\ll\omega\ll1$ 时, 系统 (3.4) 存在连接 $(0,0,1,0)$ 和 $(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 以及连接 $(u^{*},0,v^{*},0)$ 和 $(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 的异宿轨道, 即系统 (1.2) 存在连接 $A(0,1)$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 以及 $C(u^{*},v^{*})$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 的波前解.

情形 2 $\omega \gg 1$.

令 $\delta=\frac{1}{\omega}$, 则 $0<\delta\ll1$, 从而系统 (3.7) 可以写为

此时 $u_1$ 和 $v_1$ 分别为快、慢变量.

令 $z=\xi/\delta$, 则与系统 (3.15) 拓扑等价的快系统为

在系统 (3.16) 和 (3.15) 中分别令 $\delta=0$ 可得对应的层系统

和退化系统

此时的临界曲线由直线 $S^{1}_{0}=\{(u_1,v_1):u_1=0\}$ 以及曲线 $S^{2}_{0}=\{(u_1,v_1):\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}(1-u_1)(u_1-a)-1=0\}$ 组成.直接验证可知: $S^{1}_{0}$ 为法向排斥; $S^{2}_{0}$ 在 $u_{1}<\frac{a+1}{2}$ 法向吸引, 在 $u_{1}>\frac{a+1}{2}$ 法向排斥. $S^{1}_{0}$ 和 $S^{2}_{0}$ 上退化系统分别为

和

对于系统 (3.19), 其平衡点 $v_1=1$ 是排斥的. 因此, 当 $\delta$ 足够小时, $S^{1}_{0}$的不稳定流形扰动为 $(0,1)$ 的二维不稳定流形. 对于系统 (3.20), 其平衡点 $v_1=\overline{v_1}$ 和 $v_1=v^{*}_1$ 都是不稳定的. 因此, 对于足够小的 $\delta$, $u_{1}<\frac{a+1}{2}$ 的临界流形 $S^{2}_{0}$ 的不稳定流形扰动为 $(\overline{u_1},\overline{v_1})$ 的二维不稳定流形, $S^{2}_{0}$ 在 $u_{1}>\frac{a+1}{2}$ 的不稳定流形扰动为 $(u^{*}_1,v^{*}_1)$ 的二维不稳定流形. 因此, 对于足够小的 $\delta$, $(\overline{u_1},\overline{v_1})$ 的稳定流形和 $(0,1)$ 的不稳定流形相交, $(u^{*}_1,v^{*}_1)$ 的不稳定流形和 $(\overline{u_1},\overline{v_1})$ 的稳定流形相交, 形成系统 (3.16) 的异宿轨道. 从而, 根据 Fenichel 不变流形理论^[3,4], 四维相空间中存在连接平衡点 $(0,0,1,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 以及平衡点 $(u^*,0,v^*,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 异宿轨道.

定理 3.2 设 $\gamma, c, \beta, p, a>0$ 且 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 那么当 $0<\epsilon\ll\frac{1}{\omega}\ll1$ 时, 系统 (3.4) 存在连接 $(0,0,1,0)$ 和$(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 的异宿轨道以及连接 $(u^{*},0,v^{*},0)$ 和 $(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 的异宿轨道, 即方程 (1.2) 存在连接 $A(0,1)$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 以及 $C(u^{*},v^{*})$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 的波前解.

总结起来, 当 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, 系统 (2.1) 存在三个稳态解. 利用几何奇异摄动理论的降维方法, 我们在 $0<\epsilon\ll\omega\ll1$ 和 $0<\epsilon\ll\frac{1}{\omega}\ll1$ 两种不同的极限状态下, 分别证明了连接 $A(0,1)$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 以及 $C(u^{*},v^{*})$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 的 (2.1) 式的波前解的 存在性. 值得指出的是: 上述两种不同的极限的波前解的连接机制有区别的.

因 $0<d_1=O(1)$, $0<d_2\ll1$, 故令 $d_1=1,d_2=\epsilon \ll 1$, 代入系统 (3.1) 得

将系统 (4.1) 写为一阶系统的形式

称系统 (4.2) 为慢系统, 令 $\zeta=\xi/\epsilon$, 对应的快系统为

不同于第三节, 本节的系统 (4.2) 和 (4.3) 的快慢变量的维数分别为 1 维和 3 维.

对于快慢系统 (4.2) 和 (4.3), 其三维的临界流形为

它为如下层系统的平衡点的集合

系统 (4.5) 在 $M_{\epsilon=0,\omega}$ 上任一点的线性化系统有三个 $0$ 特征值以及一个 $-c$ 特征值, 由此可知 $M_{\epsilon=0,\omega}$ 是法向双曲且吸引的. 由 Fenichel 不变流形定理^[3,4], 对于足够小的 $\epsilon>0$, 存在法向吸引的不变流形 $M_{\epsilon,\omega}$, 它是 $M_{\epsilon=0,\omega}$的$O(\epsilon)$-阶扰动

在不变流形 $M_{\epsilon,\omega}$ 上, 系统 (4.3) 产生的慢流由如下方程控制

系统 (4.7) 的极限即为如下退化系统

显然, 若 $0<\omega\ll1$ ($\epsilon\ll\omega$), 那么 (4.8) 式亦为快慢系统. 这意味着 (4.3) 和 (4.2) 式为三尺度系统.

令 $z=\xi/\omega$, 则系统 (4.8) 的快形式为

对于系统 (4.9), 令 $\omega=0$ 可得如下对应的层系统

其中, 临界流形

系统 (4.10) 在 $M_{\epsilon=0,\omega=0}$ 上的任意点 $(\widetilde{u_1},\widetilde{v_1})$ 线性化后系统有两个 $0$ 特征值和一个正特征值 $\frac{1}{c}(1+\widetilde{u_1})^p$, 因此 $M_{\epsilon=0,\omega=0}$ 是排斥的.

$M_{\epsilon=0,\omega=0}$ 上的慢极限动力学为

它等价于

显然, 系统 (4.13) 为如下反应-扩散方程对应的行波方程

引理 4.1^[7] 考虑方程 $u_t=u_{xx}+f(u)$, 其中 $t, x\in R$ 分别为时空变量., 若 $f\in C^{1}[0,1],$$f(0)=f(1)=0,f'(0)<0,f'(1)<0$ 且 $f$ 在 $(0, 1)$ 只有一个零点, 则该方程存在唯一波前解 $u=q(x-ct)$ (即唯一的 $c$ 值) 满足

类似于引理 4.1 的证明, 可得下述推论.

推论 4.1 对于方程 $u_t=u_{xx}+f(u),x, u\in R$, 设 $f\in C^{1}[L], l\in R^{+},f(0)=f(L)=0,f'(0)<0, f'(L)<0$, $f$ 在 $(0, L)$ 只有一个零点. 则方程存在唯一一个波前解 $u=q(x-ct)$ (即唯一的 $c$ 值) 满足

对于方程 (4.14) 来说, 有

显然, $f(0)=f(u^*)=0$. 同时, 经过计算可得

另由不等式 (2.12) 及 $u_1=u$ 计算可得

即可得 $f'(0)<0,f'(u^{*})<0$. 则由推论 4.1 可知方程 (4.14) 存在唯一一个波前解 $u=q(x-ct)$ (即唯一的 $c$ 值) 满足 $q(-\infty)=0, q(\infty)=u^{*}.$

另一方面, 当 $c=0$ 时, 层系统 (4.12) 退化为

它有三个平衡点, 其中 $(0, 0)$ 和 $(u_1^*, 0)$ 为鞍点, $(\bar{u}_1,0)$ 为中心. 显然, 系统 (4.15) 为哈密顿系统, 它的哈密顿函数为

其中 $G(u_1)$ 为 $g(u_1)=-u_{1}+\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)$ 的原函数. 根据 $G(0)$ 与 $G(u_1^*)$ 的大小关小 (即不同的 $a$ 值), 系统 (4.15) 全局相图如图2 所示, 这里我们总假定 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$.

然而, 如果 $c$ 从 $c=0$ 开始增加, 此时层系统 (4.12) 加入了耗散项 $-cu_{2}$, 在耗散项作用下, 我们得到如下结论.

命题 4.1 层系统 (4.12) 对应的向量场关于 $c$ 形成广义旋转向量场, 其轨道随 $c$ 的增加顺时针旋转.

证 层系统 (4.12) 的轨道切线的斜率为

此式对 $c$ 求导得到

即除了在有限个数的 $\theta$ 值外, 有

这说明系统 (4.15) 对应的向量场除了在有限条直线 (这些直线不是系统的轨道) 外, 向量场严格旋转. 因此, 对应的向量场形成一个广义旋转向量场. 系统 (4.15) 的任何轨道的切向量除了可能在有限个数的点外, 都随 $c$ 的增加而顺时针旋转.

针对图-2(b), 我们定义系统 (4.12) 平衡点 $(0,0)$ 的不稳定流形 $\Gamma_{0}^{u}$ (位于第一象限) 和平衡点 $(u^{*},0)$ 的稳定流形$\Gamma_{u^{*}}^{s}$ (位于第一象限) 之间的距离函数为

其中 $h_{i}(c,a), i=1,2$ 分别为 $\Gamma_{0}^{u}$ 和 $\Gamma_{u^{*}}^{s}$ 与截线的交点. 显然, 根据图-2(b) 知 $d(0,a)>0$. 又根据命题 1, 系统 (4.12) 对应的向量场 形成广义旋转向量场, 其轨道随 $c$ 的增加而顺时针旋转, 因此 $d(c,a)$ 随 $c$ 单调递减, 即

因此, 从几何上讲, $(0,0)$ 的不稳定流形 $\Gamma_{0}^{u}$ (位于第一象限) 和 $(u^{*},0)$ 的稳定流形 $\Gamma_{u^{*}}^{s}$ (位于第一象限) 越来越接近. 进一步地, 根据推论 1, 存在 $c=c^{*}(a)$, 使得 $\Gamma_{0}^{u}$ 和 $\Gamma_{u^{*}}^{s}$ 重合, 即存在连接平衡点 $(0,0)$ 和 $(u^{*},0)$ 的异宿轨道, 且根据 (4.17) 知该异宿轨道是横截连接的.

将系统 (4.9) 在点 $(0,0,1)$ 线性化有

直接计算可知: 系统 (4.9) 在点 $(0,0,1)$ 线性化后有两个正特征值分别为$\frac{1}{c}$ 和 {\scriptsize{$\frac{-\omega c+\sqrt{\omega^{2}c^{2}+\omega^{2}(4+2a\gamma)}}{2}$}} 以及一个负特征值 {\scriptsize{$\frac{-\omega c-\sqrt{\omega^{2}c^{2}+\omega^{2}(4+2a\gamma)}}{2}$}}; 而对于点 $(u^{*},0,v^{*})$ 来说, 可以通过快慢结构分析可得, 则系统 (4.9) 在点 $(u^{*},0,v^{*})$ 线性化后, 有两个负特征值以及一个正特征值. 因此通过维数计算可得, 点 $(0,0,1)$ 的二维不稳定流形与点 $(u^{*},0,v^{*})$ 的二维稳定流形在三维空间中横截相交, 即存在从点 $(0,0,1)$ 到点 $(u^{*},0,v^{*})$ 的异宿轨道, 且它们的相交是横截的, 从而此异宿轨道在足够小的扰动 $\epsilon$ 下也存在, 即

定理 4.1 设 $\gamma, c, \beta, p, a>0$ 且 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 那么当 $0<\epsilon\ll\omega\ll1$ 时, 存在某个 $c^{*}(a)$ 使得系统 (1.2) 存在连接 $A(0,1)$ 和 $C(u^{*},v^{*})$ 的波前解.

值得指出的是: 定理 1-3 的波前解的连接机制均是不一样的.