本文研究如下带有尺度不变阻尼项, 质量项和一般的非线性记忆项的半线性波动方程弱耦合系统的 Cauchy 问题

其中 $u=u(t,x)$ 和 $v=v(t,x)$ 是未知函数, $t$ 是时间变量,

$x\in \mathbb{R}^n$, 系数 $\mu_1 >0$ 和 $\mu_2\geqslant0$, 指数 $p,q>1$, (时间) 卷积非线性项是

这里的时变记忆核 (或称松弛函数) $g_k=g_k(t)>0, k=1,2$.

(1.1) 式中的方程称为尺度不变的, 是因为其相应的线性方程在所谓的双曲尺度变换 (hyperbolic scaling)

$\begin{equation*} \widetilde{u}(t,x)=u(\lambda (1+t)-1,\lambda x),\quad \lambda >0 \end{equation*}$之下是不变的, 见文献 [23].

方程

在物理学中用来描述大颗粒在溶剂中的运动. 这里 $m$ 是质量, $k$ 是记忆项, $F_{R}(t)$ 是随机力. 由 $V(t)$ 表征的稳态解可视为一中心高斯过程, 它的自相关函数 $r(t)$ 满足确定性时滞微分方程

方程中的右端项就是特殊的非线性记忆项, 更多细节参见文献 [18].

方程

其中 $0<\gamma<1,\ p>1$, $\Gamma$ 是 Euler-Gamma 函数, 可视为经典的半线性波动方程

的一个近似, 这是因为在分布意义下成立

研究方程 (1.3) 的 Cauchy 问题的解的破裂与小初值整体解的存在性问题称为 Strauss 猜想.具体来说, 若 $1< p\leqslant p_S(n)$, 则具非负初值的解在有限时刻内破裂, 否则, 当 $p>p_S(n)$ 时, 具小初值的解整体存在, 其中临界指数 $p=p_S(n)$ 是 Strauss 指数: 当 $n=1$ 时, $p_S(1)=\infty$; 当 $n\geqslant2$ 时则是如下方程之正根

更多细节可参见文献 [7-9,12,13,17,27-29,32-34].

回顾有关无记忆项的半线性波方程的一些结果. 对尺度不变的阻尼型波方程

其中 $p>1$, $\mu_1>0$, 当 $1< p\leqslant p_F(n), \mu_1>1$ 或 $1< p\leqslant p_F(n+\mu_1-1), 0<\mu_1\leqslant1$ 时, Wakasugi^[31] 得出了解的破裂结果, 这里 $p_F(n)=1+\frac{2}{n}$ 是 Fujita 指数. 对方程 (1.5) 解的适定性和渐近行为也已有广泛研究^[5,10,15].

若考虑质量项, (1.5) 式化为

其中 $p>1$, $\mu_1$, $\mu_2$ 为非负常数. 记

它用来刻画阻尼项和质量项之间的相互作用. 一方面, 当 $\delta \geqslant(n+1)^2$ 时, 阻尼起主导作用, 临界指数为 Fujita 型的 $p_F\big(n+{\mu_1-1-\sqrt{\delta}}{2}\big)$^[21],此时, 方程性状表现地像抛物型方程. 另一方面, 当 $\delta \geqslant0, 1< p< p_S(n+\mu_1)$ 或 $0\leqslant \delta< n^2, p=p_S (n+\mu_1)$ 时, 文献 [25] 证明了 (1.6) 式的能量解将在有限时刻内破裂, 并得到了生命跨度的上界估计. 因此, 至少在考虑解的破裂现象时, 此时 (1.6) 式性状表现地类似波动方程.

下面考察两个带有非线性幂次项的半线性波动方程的弱耦合系统.

其中 $p,\,q>1$, 在 $p-q$ 平面上的临界曲线由

决定. 大致来说, 当 $F(p,q)\geqslant 0$ 时, (1.8) 式的局部解将在有限时刻内破裂; 而当 $F(p,q)< 0$ 时, 其小初值整体解将存在且唯一. 应当指出弱耦合系统的研究并不是对单个半线性方程的相应结果的简单推广. 事实上, 易知

注意到不等式

中, 等号当且仅当 $p=q$ 时成立. 因而, 对 $p\neq q$ 有可能出现

(这意味着在 $p-q$ 平面内 $(p,q)$ 属于系统 (1.8) 的解的破裂区域), 但 $p$ 或 $q$ 中可能有一个比 Strauss 指数 $p_S(n)$ 大, 即单个方程 (1.3) 的解全局存在. 在文献 [1,11,14,26] 中可查阅更多细节.

若考虑到线性阻尼项的影响, 则 (1.8) 式化为

其中 $p,q>1$. 系统 (1.9) 的临界曲线为

Sun 和 Wang^[30] 分别研究了当 $n=1,3$ 时 (1.9) 式的解的整体存在性和 $n\geqslant 1$ 的整体解的不存在性. Narazaki^[19] 将 Sun 和 Wang 的整体解的结果推广到 $n=1,2,3$ 并改进了 $n=3$ 时的时间衰减估计. 另外,Nishihara^[20] 对任意空间维数在加权能量空间中给出了 (1.9) 式的解的整体存在性和破裂结果.

现在, 考虑具有非线性卷积记忆项的半线性波动方程或方程组的相关结果. Chen 与 Palmieri^[3] 对带有特殊的记忆项 (1.2) 的问题

确定了一个广义指数 $p_{0,S}(n,\gamma)$, 它是下述方程的最大正根

他们进一步指出, 在次临界情况 (即 $1 < p < p_{0,S}(n,\gamma), n\geqslant2$ 和 $p > 1, n=1$) 与临界情况下 (即 $p=p_{0,S}(n,\gamma), n\geqslant 2$), 问题 (1.10) 的能量解在有限时间内破裂.

Chen^[2] 研究了一类具有一般非线性记忆项的弱耦合系统

其中 $p,\,q>1$. 若记忆核 $g_k (k=1,2)$ 满足两种不同的增长条件 (见文献 [2,定理 2.2]), 他证明了方程 (1.11) 的能量解 $(u,v)$ 必在有限时间内破裂. 值得注意的是, 系统 (1.8), (1.9) 和 (1.11) 中波传播的速度相同. Li 和 Wang^[16] 研究了一组具有不同波速的耦合波动方程的部分同步系统.

本文在假设 $p,q>1$ 和常数 $\mu_1>0$, $\mu_2\geqslant0$ 使得 $\delta > 0$ 情形下研究 Cauchy 问题 (1.1), 另外, 还假定 $g_k(t)\in C^1([0,\infty)), k=1,2$.

为了研究解的破裂现象, 需要建立解的局部存在性结果 (定理 2.1). 我们将利用 Banach 不动点定理来证明定理 2.1. 为此, 需要用到 Palmieri 对相应线性齐次方程解的衰减估计来构造工作空间 (见引理 3.1-3.2). 然而, 由于参数 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 的取值变化, 导致相互作用量 $\delta$ 的范围不确定, 故需要根据 $\delta$ 的值进行分类分析.

研究半线性波方程解的破裂的一种有效方法是试验函数方法并结合 Kato 型微分不等式, 参见文献 [28,32]. 然而, 由于记忆项的影响, 得到破裂函数的精确下界估计具有挑战性 (见文献 [32,(2.7) 式]). 受文献 [2] 和 [25] 的启发, 我们将采用试验函数结合迭代方法 (见 Palmieri 与 Takamura^[24], Chen 与 Reissig^[4] 以及其参考文献) 来研究 (1.1) 式解的破裂. 由于方程组 (1.1) 较 (1.11) 式来说更为复杂, 在 Chen^[2] 中所选取的试验函数不能直接运用, 本文选取函数

作为替代, 这里

其中的 $K_{{\sqrt{\delta}}{2}}(t+1)$ 是修正的第二类 Bessel 函数 ($t\geqslant 0$);

$\mathbb{S}^{n-1}$ 是 $n-1$ 维单位球面. 此外, 由于非线性记忆项的一般性, 文献 [28] 中所建立的 Kato 引理对 (1.1) 式不再适用. 受 Chen^[2] 的启发, 我们引入函数 $G_k(t)$$(k=1,2)$ 并采用迭代过程进行证明.

本文安排如下. 在第 2 节, 给出本文的主要结果, 包括局部适定性 (定理 2.1) 和解的破裂结果 (定理 2.2). 在对线性方程结果做初步介绍之后, 第 3 节将给出局部适定性结果的证明. 最后在第四节, 将通过试验函数方法结合迭代技术来证明主要结果: 解的破裂 (定理 2.2).

记号说明. 本文中 $f\lesssim (\text{或}\gtrsim)\ g$ 表示存在常数 $C>0$ 使得 $f\leqslant (\text{或}\geqslant)\ Cg$, $g\lesssim f \lesssim g$ 记为 $f\sim g$. 记自然数集为 $N_0=N\cup \{0\}$. 此外, $B_R=B_R(0)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中以 $R$ 为半径的球. 函数空间均定义在 $\mathbb{R}^n$ 上, 在不引起混淆的情况下省略 $\mathbb{R}^n$.

先给出系统 (1.1) 的局部适定性结果

定理 2.1 局部适定性 假设 $(u_0,u_1,v_0,v_1) \in (H^1 \times L^2)^2$, 其紧支集含在球 $B_R(0)$ 中;

$\mu_1 >0$, $\mu_2\geqslant 0$ 使得

非负时变记忆核 $g_k(t) \in L_{loc}^1([0,\infty)) (k=1,2)$. 则存在 $T\in (0,\infty]$ 和系统 (1.1) 的唯一温和解 (mild solution)

使得对任意的 $t \in [0,T)$, $\text{supp} u(t,\cdot),\ \text{supp} v(t,\cdot) \subset B_{R+t}$.

解的破裂结果与能量解有关, 其定义如下

定义 2.1 设 $(u_0,u_1,v_0,v_1) \in (H^1 \times L^2)\times (H^1 \times L^2)$, $(u,v)$ 是弱耦合系统 (1.1) 在 $[0,T)$ 上的能量解, 如果

且对任意的试验函数 $\phi,\psi \in C_0^{\infty}([0,\infty)\times \mathbb{R}^n)$ 和任意的 $t\in (0,T)$, 成立

与

基于局部适定性结果和能量解的定义, 解的破裂结果是

定理 2.2 (解的破裂) 假设 $n=1, 2$ 时 $1< p,\ q<\infty$, $n\geqslant3$ 时 $1< p,\ q\leqslant\frac{n}{n-2}$; $\mu_1 >0$, $\mu_2\geqslant 0$ 使得 $\delta> 0$; 非负时变记忆核 $g_k(t)\in L^1_{loc}([0,\infty))\cap C^1([0,\infty)), \ k=1,2$; $p,\ q$ 满足

$(u_0,u_1,v_0,v_1) \in \big(H^1 \times L^2 \big)^2$ 非负且其紧支集含在 $B_R(0)$ 中, $u_1,v_1$ 不恒为零且

则弱耦合系统 (1.1) 在 $[0,T)$ 上的局部能量解 $(u,v)$ 满足

且必在有限时刻内破裂, 这里 $T$ 是解 $(u,v)$ 的生命跨度.

例 2.1 考虑如下带有多项式衰减的非线性记忆项的弱耦合系统

在定理 2.2 的假设下, 可知弱耦合系统 (2.8) 的解 $(u,v)$ 在有限时间内破裂.

线性齐次方程

的解 $w=w(t,x)$ 可表成

这里 $\mu_1 >0$, $\mu_2\geqslant 0$, $E_0(t,s,x)$ 和 $E_1(t,s,x)$ 是在分布意义下初值分别为 $(w_0,w_1)=(\delta_0,0)$ 及 $(0,\delta_0)$ 的解, $\delta_0$ 是变量 $x$ 的 Dirac 分布函数, $\ast_{(x)}$ 表示对变量 $x$ 的卷积. 另外, 要求初值属于具有 $L^1$ 正则性的经典能量空间, 即

对任意的 $k \in [0,1]$, 令

下面两个衰减估计在局部适定性 (定理 2.1) 的证明中起了重要作用. 若初始时间为 $s=0$, 则有

引理 3.1 设 $\mu_1 >0$, $\mu_2\geqslant 0$ 使得 $\delta =(\mu_1-1)^2-4\mu_2^2>0$, $(w_0,w_1) \in D(\mathbb{R}^n)$, 则对任意的 $k \in [0,1]$, (3.1) 式的能量解 $w$ 满足衰减估计

这里 $\ell(t)=1+(\ln(1+t))^{{1}{2}}$. 此外, 若在 (3.2)诸式中取 $k=1$, 则 $\|w_t(t,\cdot)\|_{L^2}$ 和 $\|\nabla w(t,\cdot)\|_{L^2}$ 满足同样的衰减估计.

若初始时间为 $s\geqslant 0$, 且第一个初值为零, 则有

引理 3.2 设$\mu_1 >0$, $\mu_2\geqslant 0$ 使得 $\delta =(\mu_1-1)^2-4\mu_1^2>0$, $w_0=0$, $w_1\in L^2\cap L^1$, 则对 $t\geqslant s$ 以及 $k \in [0,1]$, (3.1) 式的能量解 $w$ 满足

其中 $\tilde{\ell}(t,s)=1+(\ln ({1+t}{1+s}))^{{1}{2}}$. 此外, 若在 (3.3) 诸式中取 $k=1$, 则 $\|w_t(t,\cdot)\|_{L^2}$ 和 $\|\nabla w(t,\cdot)\|_{L^2}$ 满足同样的衰减估计.

引理 3.3 (Gagliardo-Nirenberg 不等式 ^[6]) 设 $p,q,r (1\leqslant p,q,r\leqslant \infty)$ 与 $\sigma \in$$[0,1]$ 满足

(除 $p=\infty$ 或 $r=n, n\geqslant 2$ 外). 则对任意的 $h \in C_0^1$, 存在常数 $C=C(p,q,r,n)>0,$ 使得

现在证明定理 2.1. 定义

并赋以范数

其中

容易验证 $(X(T),\|\cdot\|_{X(T)})$ 是 Banach 空间. 对 $T,K>0$, 定义

由Duhamel 原理, 可定义算子

这里

$Nu= u^l + u^n$ 是如下问题的唯一解

$Nv= v^l + v^n$ 是如下问题的唯一解

我们的目标是通过选取合适的 $T$ 和 $K$, 使映射 $N$ 是从 $X(T,K)$ 到其自身的压缩映射. 这意味着问题 (1.1) 的局部解为算子 $N$ 的不动点. 为此, 需建立如下不等式

这里 $C_{0,T}$ 仅与初值 $u_0,u_1,v_0,v_1$ 的范数大小有关且当 $T\to 0$ 是有界的. 另外, $C_{T}$ 与 $C_{T}^{'}$ 均趋于 0 ($T\to 0$). 事实上, 因 $T\rightarrow 0$ 时 $C_T \rightarrow 0$, 故对于充分大的 $K$, 可选取充分小的 $T$ 使得 (3.10) 式右端的两项均小于 ${K}{2}$. 因此, $N$ 将 $X(T,K)$ 映射到自身. 而对上述充分小的 $T$, 易从 (3.11) 式推出 $N$ 的压缩性. 因此, 在 $X(T)$ 中, (1.1) 式局部解的存在性与唯一性就由 Banach 不动点定理得到.

考虑到 $Nu = u^l + u^n$ 和 $Nv = v^l +v^n$, 若要建立 (3.10) 与 (3.11) 式需要对 $u^l,\ v^l$, $u^n$ 和 $v^n$ 做估计. 简便起见, 下面只给出 $u^l$ 和 $u^n$ 的证明, $v^l$ 和 $v^n$ 的估计可类似得出.

在引理 3.1 中分别取 $k=0,1$, 可得

与

这里 $\ell(t)=1+(\ln(1+t))^{{1}{2}}$.

对应于 $\delta$ 的不同取值, 下面的证明将分五种情形, 如下图所示.

情形 1 ${1+\sqrt{\delta}-n}{2}>1>0$, 即 $\delta >(n+1)^2>(n-1)^2$.

由 (3.12a) 与 (3.13a) 式得

故

从而

容易看出 $C_{0,T}$ 仅依赖于初值的范数且当 $T\rightarrow 0$ 时有界. 类似地可以处理

情形 2 $0<{1+\sqrt{\delta}-n}{2}<1$, 即 $(n-1)^2<\delta <(n+1)^2$ (由 (3.12a) 和 (3.13c) 式可得);

情形 3 ${1+\sqrt{\delta}-n}{2}<0<1$, 即 $\delta <(n-1)^2 <(n+1)^2$ (由 (3.12c) 和 (3.13c) 式可得);

情形 4 $0={1+\sqrt{\delta}-n}{2}<1$, 即 $(n-1)^2=\delta <(n+1)^2$ (由 (3.12b) 和 (3.13c) 式可得);

情形 5 $0<{1+\sqrt{\delta}-n}{2}=1$, 即 $(n-1)^2<\delta =(n+1)^2$ (由 (3.12a) 和 (3.13b) 式可得).

因此

接下来估计 $u^n$. 对任意的 $\eta \in [0,T)$, 由 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (引理 (3.3)) 可得

这里 $n=1,2$ 时 $r>1$, $n\geqslant3$ 时 $1< r\leqslant \frac{n}{n-2}$.

在引理 3.2 中分别取 $s=0$, $k=0,1$, 可得

和

这里 $\tilde{\ell}(t)=1+(\ln(1+t))^{{1}{2}}$.

情形 1 ${1+\sqrt{\delta}-n}{2}>1>0$, 即 $\delta >(n+1)^2>(n-1)^2$.

注意到 (3.6) 式中要求函数有紧支集, 利用 $\rm H\ddot{o}lder$ 不等式, 可得

由 Gagliardo-Nirenberg 不等式得到

这里当 $n=1, 2$ 时 $1< p<\infty$, 当 $n\geqslant 3$ 时 $1< p\leqslant\frac{n}{n-2}$. 再由 Duhamel 原理以及 (3.20a) 式可得

这里

是因为 $g_1(t) \in L_{loc}^1([0,\infty))$.

记 $\nabla^j\partial_t^m u^n=\nabla^j\partial_t^m \int _0^t E_1(t-\tau,0,x)\ast (g_{1} \ast |v|^p)(\tau,x) {\rm d}\tau$, 这里 $j+m=1$, $j,m\in N\bigcup \{0\}$. 易见 $j=0,m=1$ 时, $\nabla^j\partial_t^m u^n=u_t^n$, 而 $j=1,m=0$ 时, $\nabla^j\partial_t^m u^n=\nabla u^n$.

类似于 (3.24) 式, 由 (3.21a), (3.22) 和 (3.23) 式可得

上式中用到的

$\begin{equation*} \begin{split} (1+t-\tau)^{-1-{n+\mu_1}{2}+{1+\sqrt{\delta}}{2}} <(1+t-\tau)^{{1+\sqrt{\delta}-n}{2}-1}<(1+t)^{{1+\sqrt{\delta}-n}{2}-1}=(1+t)^{{-1-n+\sqrt{\delta}}{2}} \end{split} \end{equation*} 是因为$\delta >(n+1)^2$ 的缘故.

结合 (3.24) 和 (3.26) 式, 得到

可利用相同的方式来处理情形 2-5 中的 $u^n$. 因此

其中 $C_{T}\rightarrow 0 (T\rightarrow 0).$

至此, 不等式 (3.10) 可以由 (3.17) 和 (3.28) 式推出.

对任意的 $(u,v),\ (\overline{u},\overline{v})\in X(T)$, 易得

其中

和

注意到

故

这里当 $n=1,2$ 时 $r>1$, 而当 $n\geqslant3$ 时 $1< r\leqslant \frac{n}{n-2}$, $r'$ 是 $r$ 的共轭指数, 且用到了对任意的 $\eta \in [T]$ 成立

由 (3.31) 式可得

因此, 从 (3.29) 式得

其中 $C'_T\rightarrow 0 (T\rightarrow 0)$. $\|\nabla^j\partial_t^m(u^n,v^n)\|_{L^2}$ ($j+m=1$ 且 $j,m\in N_0$) 的估计可用类似方法得到. 至此, (3.11) 式证毕.

在构造试验函数之前, 先回顾第二类 $\zeta$ 阶修正 Bessel 函数

它是如下方程的解

以下是 $K_{\zeta}(t)$ ($\zeta$ 是实参数) 一些有用的性质, 更多细节可参考文献 [25].

$\bullet$ 极限性质

$\bullet$ 导数恒等式

令

它满足

仿照 Yordanov 和 Zhang^[32], 引入函数

这里 $\mathbb{S}^{n-1}$ 是 $n-1$ 维单位球面. 函数 $\varphi$ 满足

和

利用文献 [25,引理 2.1] 的证明方法, 注意到系统 (1.1) 中非线性项的非负性, 选取

作为试验函数去推导 $\int_{\mathbb{R}^n} |u(t,x)|^q{\rm d}x$ 和 $\int_{\mathbb{R}^n} |v(t,x)|^p{\rm d}x$ 的下界,可得

引理 4.1 假定$u_0,u_1,v_0,v_1$ 非负且其紧支集含在球 $B_R(0)$ 中, 满足

则 (1.1) 式的局部解 $(u,v)$ 满足

同时存在一个充分大且不依赖于 $u_0,u_1,v_0,v_1$ 的 $T_0$, 使得对任意的 $t>T_0$, 当 $p,q>1$ 时, 成立

为了研究解的破裂, 我们将研究如下与解相关的泛函的演化情况

将证明: 当变量 $t$ 趋于某个有限时间, 这两个泛函趋于无穷,从而解 $(u,v)$ 必在有限时刻内破裂. 以下证明分为四个步骤进行.

首先, 推导迭代框架. 在 (3.2) 和 (2.4) 式中选取试验函数 $\phi$ 和 $\psi$ 满足

使得

和

此即

和

对 $t$ 求导得

二次方程

在 $\delta=(\mu_1-1)^2-4\mu_2^2> 0$ 时有两个互异实根

显然有

从而 (4.13) 式可改写为

两边同乘 $(1+t)^{r_2+1}$, 在 $[t]$ 上积分, 利用 (2.6) 式得

两边再次同乘 $(1+t)^{r_2+1}$ 并在 $[t]$ 上积分, 则有

这里由 $u_0(x)\geqslant 0$ 可知

$U(0)=\int_{\mathbb{R}^n}u(0,x){\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^n}u_0dx$ 是非负的, 因此

注意到 $r_1-r_2-1<0$, 将

代入到 (4.20) 式, 得

类似地, 可得

(4.22) 和 (4.23) 式两个不等式将作为迭代框架在后续证明中使用.

其次, 推导 $U(t)$ 和 $V(t)$ 的第一个下界估计. 对 $g_k\in C^1([0,\infty))$, $k=1,2$, 引入

它满足

$\bullet$$G_k^{'}(t)=g_k(t)>0,\ G_k(0)=0.$

$\bullet$$G_k(t)$ 是严格单调递增函数且 $G_k(t)\geqslant 0$.

$\bullet$ 对任意的 $t\geqslant t_0>0$, $\int_0^tg_k(t-\eta)\eta^{\alpha}{\rm d}\eta= \int_0^tg_k(\eta)(t-\eta)^{\alpha}{\rm d}\eta$

这里 $\alpha \geqslant 0$.

由 (4.20) 式, 引理 4.1 以及 (4.25) 式, 当$t\geqslant \max\{T_0, t_0\}$ 时, 可得

类似地, 当 $t\geqslant \max\{T_0, t_0\}$ 成立

下面, 开始迭代过程. 假设

和

这里 $\{Q_j\}_{j\geqslant 1},\{\widetilde{Q}_j\}_{j\geqslant 1},\{\theta_{j}\}_{j\geqslant 1},\{\widetilde{\theta}_{j}\}_{j\geqslant 1},\{\sigma_j\}_{j\geqslant 1},\{\widetilde{\sigma}_j\}_{j\geqslant 1}$是非负实数列 (在后续归纳步骤中待定). 当 $j=1$ 时, (4.26)-(4.27) 式给出

受 Chen^[2] 的启发, 构造 $\{L_j\}_{j\geqslant1}$ 如下

易知 $L_j$ 是单调递增的, $\prod_{k=0}^{\infty}l_k$ 是收敛的 (由比式判别法可证), $\lim\limits_{k\to \infty}(\ln l_{k+1})/(\ln l_k)=(pq)^{-{1}{2}}$$< 1$; 进一步, 利用数学归纳法可知 $L\triangleq\prod_{k=0}^{\infty}l_k>1$ 且 $L_j \in [L]$.

将 (4.29) 式代入 (4.22) 式, 得

换元并分部积分, 对任意的 $s\geqslant L_{j+1}t_0$, 可得

这里用到了

注意到 $g_1(t) \in C^1([0, \infty))$, $L>1$, $L_j \in [L] (j\geqslant 1)$, 可知存在正整数 $j_0$ 使得当 $j\geqslant j_0$ 时, 成立

因此

式中 $\xi \in (0,L_jt_0(pq)^{-{j}{2}}), \zeta \in (0, \xi)$, 选取的正整数 $j_1$ 保证了 $(pq)^{{j}{2}} g_1(0)+g_1^{'}(\zeta)O(1)\geqslant C >0$ (由于 $g_1(0)>0$). 联合 (4.32)-(4.34) 式, 对 $t \geqslant L_{j+1}t_0, j \geqslant \max\{j_0,j_1\}$, 得到

对 $t \geqslant L_{j+1}t_0, j \geqslant \max\{j_0,\widetilde{j_1}\}$, 类似可得

其中选取 $\widetilde{j_1}$ 使得 $(pq)^{{j}{2}} g_2(0)+g_2^{'}(0)O(1)\geqslant C>0$ (由于 $g_2(0)>0$).从而, 令

则迭代过程 (4.28) 与 (4.29) 式是合理的.

最后, 证明解 $(u,v)$ 必在有限时刻内破裂. 对任意奇数$j\geqslant\max\{j_0, j_1, \widetilde{j_1}\}$, 有

和

同样地, 对于任意偶数 $j\geqslant\max\{j_0, j_1, \widetilde{j_1}\}$, 则有

和

从而对任意的正整数 $j\geqslant \max\{j_0,j_1,\widetilde{j_1}\}$, 存在与 $j$ 无关的正常数 $B_1^{'}, \widetilde{B_1^{'}}$ 使得

由 (4.37) 式可知

以及

故对任意奇数 $j\geqslant \max\{j_0,j_1,\widetilde{j_1}\}$, 成立

和

若取 $j_2, \widetilde{j_2}$ 为分别满足

的最小正整数, 则对任意的奇数

$j\geqslant \max\{j_0,j_1,\widetilde{j_1},j_2,\widetilde{j_2}\}$, 成立

和

其中 $E_3,\ \widetilde{E_3}$ 是与 $j$ 无关的正常数.

当 $t\geqslant \max\{T_0,1,2Lt_0\}$ 时, 易得

从而对任意的奇数

$j\geqslant \max\{j_0,j_1,\widetilde{j_1},j_2,\widetilde{j_2}\}$, 注意到

(4.38), (4.39) 及 (4.44) 式, 考虑到 $L>1$ 且$L_j \in [L]$, (见 (4.31) 式), 从 (4.28) 式中可推出: 当 $t\geqslant\max\{T_0,1,2Lt_0\}$ 时,

其中

类似地, 可得到: 当 $t\geqslant\max\{T_0,1,2Lt_0\}$ 时,

其中

对任意的奇数

$j\geqslant \max\{j_0,j_1,\widetilde{j_1},j_2,\widetilde{j_2}\}$, 条件 (2.5) 保证了函数 $J_2(t)$ 和 $\widetilde{J_2}(t)$ 中 $t$ 的幂次是正的, 从而存在 $t_1,\ \widetilde{t_1}$ 使得

和

由此, 若取 $t\geqslant \max\{T_0,1,2Lt_0\}$ 且 $t\geqslant \min \{t_1,\widetilde{t_1}\}$, 则当 $j\to \infty$ 时, (4.47) 和 (4.59) 式中的泛函 $U(t),\ V(t)$ 的下界必在有限时刻内破裂, 这就完成了定理 2.2 的证明.