Orlicz^[1,2] 通过 Orlicz 函数将 Lebesgue 空间推广为 Orlicz 空间, 更进一步, Musielak^[3] 通过 Orlicz 函数推广为现在所称的 Musielak-Orlicz 函数, 将 Orlicz 空间推广为 Musielak-Orlicz 空间. 杨大春, 袁文和卓次强^[4]引入 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间, 并建立 Frazier 和 Jawerth 意义上的 $\varphi$ 变换特征, 还得到了嵌入和提升性质, 以及这些空间的 Peetre 极大函数, 局部均值, Lusin 面积函数, 光滑原子和分子分解的刻画. 随后梁熠宇, 杨大春和蒋仁进^[5]通过极大函数引入弱 Musielak-Orlicz-Hardy 空间, 然后获得其垂直或非切向极大函数特征, 以及原子, 分子, Lusin 面积函数, Littlewood-Paley $g$-函数或 $g^{\ast}_{\lambda}$-函数等特征. Musielak-Orlicz 类函数空间被应用于微分方程中, 参见文献 [6].

另一方面, Grafakos 和贺丹青^[7]引入了弱 Triebel-Lizorkin 空间. 李文昌和徐景实^[8]根据 Peetre 极大函数给出弱 Triebel-Lizorkin 空间的等价拟范数. 作为这些等价拟范数的应用, 给出弱 Triebel-Lizorkin 空间的原子分解. Diening, Hästö 和 Roudenko^[9] 研究具有可变光滑指标, 可变求和指标和可变积分指标的 Triebel-Lizorkin 空间. Almeida 和 Hästö^[10] 引入具有可变光滑指标, 可变积分指标和可变求和指标的 Besov 空间, 并建立它们的 $\varphi$ 变换, 光滑原子和 Peetre 极大函数的特征以及 Sobolev 型嵌入. 在此基础上, 李文昌和徐景实^[11]引入具有可变积分指标, 可变求和指标和可变光滑指标的弱 Triebel-Lizorkin 空间, 得到它们的 Peetre 极大函数和 $\varphi$ 变换刻画以及原子和分子分解刻画.

受以上文献的启发, 本文研究具有可变光滑指标的弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间. 本文后续如下安排, 在第 2 节中, 首先给出定义和概念, 然后陈述主要结果, 即通过 Peetre 极大函数得到具有可变光滑指标的弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间的等价拟范数, 它们的原子和分子分解以及在它们上的 $\varphi$ 变换的有界性. 第 3 节是一个关键不等式和预备结果. 主要结果的证明推迟到第 4 节.

设 $S$ 为 $\mathbb R^n$ 的可测集, $|S|$ 表示 $S$ 的 Lebesgue 测度, $\chi_S$ 是 $S$ 的特征函数. 如果存在一个常数 $c>0$ 使得 $a\leq cb$, 记为 $a\lesssim b$; 如果 $a\lesssim b$ 和 $b\lesssim a$, 记作 $a\thickapprox b$. $\mathscr{S}(\mathbb R^n)$ 表示 Schwartz 空间, 并用$\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 表示它的对偶空间. $\hat{\varphi}$ 或$\mathcal{F}{\varphi}$ 表示 $\varphi$ 的 Fourier 变换, $\check{\varphi}$ 表示它的逆 Fourier 变换.

设 $\mathbb{N}_{0}: =\mathbb{N\cup}\{0\}$. 设 $p(\cdot)$ 是$\mathbb R^n$ 上实可测函数, 定义 $p^{-}:={\rm ess}\inf_{x\in\mathbb R^n}p(x)$,

$p^{+}:={\rm ess}\sup_{x\in\mathbb R^n}p(x)$, 若 $\Omega$ 为 $\mathbb R^n$ 的可测集, 则 $p_{\Omega}^{-}:={\rm ess}\inf_{\Omega}p(x)$,

$p_{\Omega}^{+}:={\rm ess}\sup_{\Omega}p(x)$. 如果 $a\in\mathbb R$, 则符号 $a_{+}$ 表示 $a$ 的正数部分, 即 $a_{+}=\max\{0,a\}$.

如果一个函数 $\Lambda:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 是非降的, $\Lambda(0)=0, \Lambda(t)>0, t\in(0,\infty)$ 且 $\lim_{t\rightarrow\infty}\Lambda(t)$$=\infty$, 则称 $\Lambda$ 为 Orlicz 函数.

给定一个函数 $\tau:\mathbb R^n\times[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$, 使得对任意 $x\in\mathbb R^n, \tau(x,\cdot)$ 是 Orlicz 函数, 对 $p\in[0,\infty)$, 若存在一个正的常数 $c$ 使得对所有 $x\in\mathbb R^n, t\in[0,\infty)$ 和 $s\in[1,\infty)$ (相应地, $s\in[0,1]$ ), $\tau(x,st)\leq cs^{p}\tau(x, t)$, 则函数 $\tau$ 被称为一致 $p$ 上型 (相应地, 一致 $p$ 下型).

设 $i(\tau):=\sup\{p\in(0,\infty):\tau \mbox{是一致} p \mbox{下型}\}$;

$I(\tau):=\inf\{p\in(0,\infty):\tau \mbox{是一致} p \mbox{上型}\}$. $i(\tau)$ 和 $I(\tau)$ 可能无法达到^[12].

设 $\tau:\mathbb R^n\times[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 满足对所有 $t\in[0,\infty),x\mapsto\tau(x,t)$ 是可测的.

其中 $r\in(1,\infty)$ 且 $1/r+1/r'=1$, 则称 $\tau(\cdot, \cdot)$ 满足一致 Muckenhoupt 条件, 记作$\tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n)$. 此概念首先出现于文献 [13].

若对所有 $x\in\mathbb R^n, \tau(x,\cdot): [0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 是 Orlicz 函数和对所有 $t\in[0,\infty)$, $\tau(\cdot,t)$ 是 Lebesgue 可测的, 则称函数 $\tau:\mathbb R^n\times[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 为 Musielak-Orlicz 函数.

对 $\mathbb R^n$ 中任意可测子集 $E$ 和 $t\in[0,\infty)$, 简单地将 $\int_{E}\tau(x,t){\rm d}x$ 记为 $\tau(E,t)$.

弱 Musielak-Orlicz 空间 $WL^{\tau}(\mathbb R^n)$ 定义为满足 $\sup_{\alpha\in(0,\infty)}\tau\Big(\{x\in\mathbb R^n:|f(x)|>\alpha\},\alpha\Big)<\infty$ 的所有可测函数 $f$ 组成的空间, 其中

设 $\omega$ 为 $\mathbb R^n$ 上的非负局部可积函数, $p\in(0,\infty)$, 空间 $L_{\omega}^{p}(\mathbb R^n)$ 定义为满足 $\|f\|_{L_{\omega}^{p}(\mathbb R^n)}<\infty$ 的所有可测函数 $f$ 组成的空间, 其中

设 $E$ 为 $\mathbb R^n$ 内的任意可测集, $p\in[1,\infty)$, $\tau$ 为 Musielak-Orlicz 函数, 空间 $L^{p}_{\tau}(E)$ 定义为满足$\|f\|_{L^{p}_{\tau}(E)}<\infty$ 的所有可测函数 $f$ 的集合, 其中

此空间首见于文献 [14,定义 1.2.2].

设 $s(\cdot)$ 是 $\mathbb R^n$ 上的实值可测函数. 若存在常数 $C_1$, 使得

则称 $s(\cdot)$ 局部 $\log-\rm H\ddot{o}lder$ 连续.

定义 2.1 函数对 $(\varphi, \Phi)$ 被称作可允许的, 若 ${\varphi, \Phi}\in{\mathscr{S}(\mathbb R^n)}$ 满足

和

在这种情况下, 对 $v\in{\mathbb{N}}$, 记 $\varphi_{v}(x)={2^{vn}}\varphi(2^{v}{x})$ 及 $\varphi_{0}: =\Phi$.

定义 2.2 给定数列 $\{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0}}$, 定义

定义 2.3 设 $\varphi_{v}, v\in\mathbb N_{0}$ 满足定义2.1, $\tau$ 是 Musielak-Orlicz 函数, 弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 定义为 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 中满足 $\|f\|_{WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)}<\infty$ 的全体分布 $f$ 所组成的空间, 其中

注意到, $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的定义依赖可允许函数对 $(\varphi, \Phi)$ 的选择, 本文的目标之一是证明在等价拟范数的意义下, 每一对可允许函数所定义空间都一样. 为达到这个目标, 我们利用文献 [15] 中引入的 Peetre 极大函数. 给定一列函数 $\{\Psi_k\}_{k\in\mathbb{N}_0}\subset\mathscr{S}(\mathbb R^n)$ 及一个正数 $a$, 对任意 $f\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^{n})$, 则与 $\{\Psi_k\}_{k\in\mathbb{N}_0}$ 相伴的经典 Peetre 极大函数为

记 $D^{\gamma}$ 表示 $\frac{\partial^{\gamma_1}}{\partial{x_1}^{\gamma_1}}\cdots\frac{\partial^{\gamma_n}}{\partial {x_n}^{\gamma_n}}$, 其中 $\gamma=(\gamma_1, \cdots, \gamma_n)$ 及 $|\gamma|=\sum_{i=1}^{n}\gamma_i$.

定理 2.1 设 $s(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb R^n)$ 且满足局部 $\log-\rm H\ddot{o}lder$ 连续, $q\in(0,\infty]$ 且 $0< i(\tau)\leq I(\tau)<\infty$, $a>0$ 以及 $R\in\mathbb{N}_0$ 满足$R>\|s(\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb R^n)}$, 并假设$\phi_{0},\psi_{0},\phi_{1}, \psi_{1}\in\mathscr{S}(\mathbb R^n)$, 对某个 $\eta>0$ 满足

设 $\psi_{j}(x): =\psi_{1}(2^{-j+1}x), \phi_{j}(x): =\phi_{1}(2^{-j+1}x), x\in\mathbb R^n$,

$\Psi_j=\check{\psi}_j$ 和 $\Phi_j=\check{\phi}_j$, $j\in\mathbb{N}_0$. 则存在常数 $c$, 使得

对任意 $f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 成立.

定理 2.2 设 $s(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb R^n)$ 且满足局部 $\log-\rm H\ddot{o}lder$ 连续, $q\in(1,\infty]$, $\tau$ 是具有一致 $p_{\tau}^{-}$ 下型和一致 $p_{\tau}^{+}$ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 存在 $r\in(1,\infty)$ 使得 $\tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n)$ 且 $r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty$, $a>0$, 以及 $R\in\mathbb{N}_0$ 满足 $R>\|s(\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb R^n)}$, 并假设 $\psi_{0}, \psi_{1}\in\mathscr{S}(\mathbb R^n)$, 对某个 $\eta>0$ 满足

若 $j\in\mathbb{N}_0$, 设 $\psi_{j}(x): =\psi_{1}(2^{-j+1}x), x\in\mathbb R^n$, $\Psi_j=\check{\psi}_j$. 如果 $a>R+n/q$, 则存在常数 $c$, 使得

对任意 $f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 成立.

作为上面定理的推论, 我们得到 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的 Peetre 极大函数的刻画.

推论 2.1 设 $s(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb R^n)$ 且满足局部 $\log-\rm H\ddot{o}lder$ 连续, $q\in(1,\infty]$, $\tau$ 是具有一致 $p_{\tau}^{-}$ 下型和一致 $p_{\tau}^{+}$ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 存在 $r\in(1,\infty)$ 使得 $\tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n)$ 且 $r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty$,

$a>0$, 以及 $R\in\mathbb{N}_0$ 满足 $R>\|s(\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb R^n)}$, 并假设 $\psi_{0},\ \psi_{1}\in\mathscr{S}(\mathbb R^n)$, 对某个 $\eta>0$ 满足

若 $j\in\mathbb{N}_0$, 设 $\psi_{j}(x):=\psi_{1}(2^{-j+1}x), x\in\mathbb R^n, \Psi_j=\check{\psi}_j$, 如果 $a>R+n/q$, 则

对任意 $f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 成立.

定理 2.1 和推论 2.1 说明了在等价拟范数的意义下, 每一对可允许函数所定义的空间都一样.

接下来考虑 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的 $\varphi$ 变换刻画. 用 $Q_{j,k}$ 表示二进方体 $2^{-j}([0,1]^{n}+k)$, $x_{Q_{j,k}}:=2^{-j}k$ 表示其左下角的顶点, $l(Q_{j,k})$ 表示其边长. 设 $\mathcal D$ 为 $\mathbb R^n$ 中的全体二进方体组成的集合, $\mathcal D^{+}$ 表示边长不超过 1 的二进方体所组成的集合. 设 $\mathcal D_{v}=\{Q\in\mathcal D: l(Q)=2^{-v}\}$, 当 $c>0$, 我们设 $cQ$ 表示具有和 $Q$ 相同中心且其边长为 $cl(Q)$ 的方体.

给定一可允许函数对 $(\varphi, \Phi)$, 由文献 [16] 我们可以选择另外一可允许函数对 $(\psi, \Psi)$, 使得对所有 $\xi\in \mathbb R^n$,

这里 $\widetilde{\Phi}(x)=\overline {\Phi(-x)}$, $\widetilde{\varphi}$ 是类似的表示.

若 $Q\in\mathcal D_{v}, v\in\mathbb N_{0}$, 记$\varphi_{Q}(x)=|Q|^{1/2}\varphi_{v}(x-x_{Q})$, 其中 $x_{Q}$ 为 $Q$ 的左下端点. 下文的 $\psi_{Q}$ 同 $\varphi_{Q}$. 对任意 $f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$, 定义 $f$ 的 $S_{\varphi}$ 变换为 ${(S_{\varphi}f)}_{Q\in\mathcal D^{+}}$, 其中

${(S_{\varphi}f)}_{Q}=\langle f, \varphi_Q\rangle$, 这里 $\langle, \rangle$ 表示 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 与 $\mathscr{S}(\mathbb R^n)$ 的对偶. 注意到 ${(S_{\varphi}f)}_{Q}=|Q|^{1/2}\tilde{\varphi}_v\ast f(x_{Q}), \ l(Q)=2^{-v}\leq1$. $S_{\varphi}$ 的逆变换 $T_{\psi}$ 是将 $s=\{s_Q\}_{l(Q)\leq1}$ 映射到 $T_{\psi}=\sum\limits_{l(Q)=1}s_{Q}\Psi_{Q}+\sum\limits_{l(Q)<1}s_{Q}\psi_{Q}$.

对 $f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$, 由文献 [17,引理 2.1],

设 $s(\cdot)$ 满足局部 $\log$-$\rm H\ddot{o}lder$ 连续, $\tau$ 为 Musielak-Orlicz 函数, $q\in(0,\infty]$, $p\in[1,\infty)$, 对于一列实数 ${\{s_Q\}}_{Q\in\mathcal D^{+}}$, 定义

及

空间 $Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 由全体满足上式小于无穷的点列 $\{s_Q\}_{Q\in\mathcal D^{+}}$ 组成的集合. 下面的定理说明

是有界算子.

定理 2.3 设 $s(\cdot)$ 是非负有界局部 $\log$-$\rm H\ddot{o}lder$ 连续的且在无穷远处存在极限, $q\in(1,\infty]$, $\tau$ 是具有一致 $p_{\tau}^{-}$ 下型和一致 $p_{\tau}^{+}$ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 存在 $r\in(1,\infty)$ 使得 $\tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n)$ 且 $r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty$, 则

为了得到 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的原子分解和分子分解, 我们将利用文献 [9] 中的一些概念, 它们的原始形式出自文献 [16-18].

对 $v\in\mathbb N_{0}, m\in\mathbb R \ \mbox{和}\ x\in\mathbb R^n$, 记

定义 2.4 设 $v\in\mathbb N_0,\ Q\in\mathcal D_v,\ k\in\mathbb Z,\ l\in\mathbb N_0$ 及 $M\geq n$, 若存在某个 $m>M$, 函数 $m_{Q}$ 满足下面的条件

$({\rm i})\ \mbox{若} v>0, \mbox{对所有的} |\gamma|\leq k,\ \mbox{则} \int_{\mathbb R^n}x^{\gamma}m_Q(x){\rm d}x=0$;\\

$({\rm ii})\ \mbox{对多重指标} \gamma\in\mathbb N_{0}^{n}\mbox{且}|\gamma|\leq l,\ |D^{\gamma}m_Q(x)|\leq2^{|\gamma|v}|Q|^{\frac{1}{2}}\eta_{v, m}(x+x_Q)$.

则 $m_Q$ 被称作一个关于 $Q$ 的 $(k, l, M)$-光滑分子.

注意到, 若 $k<0$, 则 $(\rm i)$ 显然满足. 当 $M=n$, 上面的定义是文献 [16] 中分子定义的一种特殊情况. 不同之处在于我们仅考虑 $k$ 和 $l$ 为整数, $l$ 非负的情形.

定义 2.5 设 $K, L: \mathbb R^n\rightarrow\mathbb R$ 且 $M>n$, 对每个 $Q\in\mathcal D^{+}$, 若 $m_Q$ 是 $(\lfloor K_{Q}^{-}\rfloor, \lfloor L_{Q}^{-}\rfloor, M)$-光滑分子, 则 $\{m_Q\}_Q$ 被称作一族 $(K, L, M)$-光滑分子. 其中 $K_{Q}^{-}$ 表示 $K$ 限制在 $Q$ 上并对其取本性下界, $L_{Q}^{-}$ 类似.

定义 2.6 若对某些 $\varepsilon>0$ 及充分大的常数 $M$, $\{m_Q\}_Q$ 是一族 $(N+\varepsilon, s+1+\varepsilon, M)-$光滑分子, 其中

则称 $\{m_Q\}_Q$ 为 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的一列光滑分子. 充分大的 $M$ 可取为

这里, $\mathcal C_{\log(s)}$ 表示 $s$ 的 $\log$-$\rm H\ddot{o}lder$ 的连续常数.

由于 $M$ 可以根据参数而固定, 我们通常会从分子的概念中省略它. 注意到 $\varphi_Q$ 是任意阶连续光滑的分子.

定理 2.4 设 $s(\cdot), q, \tau$ 满足定理 2.3 一样的条件, $\{m_Q\}_Q$ 是 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的一列光滑分子及 $\{s_Q\}_Q\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$, 则 $f=\sum\limits_{v\geq0}\sum\limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_Q$, 即和式在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 中收敛到 $f$, 且

由定理 2.3 和定理 2.4, 可得变换 $S_{\varphi}$ 是 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 到 $Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的一个子空间的同构, 即有如下推论.

推论 2.2 设 $s(\cdot), q, \tau$ 满足定理 2.3 一样的条件, 则对任意 $f\in WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$,

下面给出原子分解的结果.

定义 2.7 设 $v\in\mathbb N_0,\ Q\in\mathcal D_v, \ K\in\mathbb Z,\ L\in\mathbb N_0$ 及 $M\geq n$, 若存在某个 $m>M$, 函数 $a$ 满足下面的条件

${\rm(i)}\ {\rm supp}\ a\subset 3Q$;

${\rm(ii)}\ \mbox{若} v>0,\ \mbox{对所有的} |\gamma|\leq K,\ \mbox{则} \int_{\mathbb R^n}x^{\gamma}a(x){\rm d}x=0$;

${\rm(iii)}\ \mbox{对多重指标} \gamma\in\mathbb N_{0}^{n} \mbox{且} |\gamma|\leq L,\ |D^{\gamma}a(x)|\leq2^{|\gamma|v}|Q|^{\frac{1}{2}}\eta_{v, m}(x+x_Q)$.

则称 $a$ 为关于 $Q$ 的 $(K, L,M)-$光滑原子, 并记 $a$ 为 $a_{Q}$.

显然光滑原子是一个分子.

定理 2.5 设 $s(\cdot), q, \tau$ 满足定理 2.3 一样的条件, $f\in WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$. 则存在一列 $(K,L,M)$-光滑原子 $\{a_Q\}_Q$ 及一列系数 $\{t_Q\}_Q$ 使得

所选择的原子能够满足定义 2.7 的条件, 其中的阶数可以任意高. 反之, 若存在一列光滑原子 $\{a_Q\}_Q$ 使得 $\{a_{Q}\}_{Q}$ 为 $WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 的一列光滑分子及 $\{t_Q\}_Q\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$, 则 $f=\sum\limits_{Q\in\mathcal D^+}t_{Q}a_{Q}$, 即和式在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 中收敛到 $f$, 并且

为给出上节的结果的证明, 需要一些预备结论.

对任意 $f\in L^{1}_{\rm loc}(\mathbb R^n)$, Hardy-Littlewood 极大函数 $Mf(x)$ 定义如下

引理 3.1 文献 [5,定理 2.8] 设 $q\in(1,\infty], \ \tau$ 是具有一致 $p_{\tau}^{-}$ 下型和一致 $p_{\tau}^{+}$ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, $\tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n)$ 且 $r\in(1,\infty)$, 若 $r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty$, 则存在正的常数 $c$, 使得对所有 $\{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0} }\in WL^{\tau}(\ell^{q},\mathbb R^n)$ 和 $\lambda>0$, 有

由引理 3.1可得如下推论.

推论 3.1 设 $q\in(1,\infty],\ \tau$ 是具有一致 $p_{\tau}^{-}$ 下型和一致 $p_{\tau}^{+}$ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, $\tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n)$ 且 $r\in(1,\infty)$, 若 $r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty$, 则存在正的常数 $c$, 使得对所有 $\{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0} }\in WL^{\tau}(\ell^{q},\mathbb R^n)$ 和 $\lambda>0$, 有

推论 3.2 设 $q\in(1,\infty],\ \tau$ 是具有一致 $p_{\tau}^{-}$ 下型和一致 $p_{\tau}^{+}$ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, $r\in(1,\infty)$ 且 $\tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n)$, 若 $r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty$, 则对任意域 $\Omega\subset\mathbb R^n$, 存在正的常数 $c$, 使得对所有支集在 $\Omega$ 上的 $\{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0} }\in WL^{\tau}(\ell^{q},\mathbb R^n)$ 和 $m>n$, 有

证 对于 $v\in\mathbb N_0$, 设 $g_v=f_v\chi_{\Omega}$, 则由推论 3.1 得

引理 3.2 文献 [引理 2] 设 $0< q\leq\infty, \delta>0$, 对任意非负可测函数序列 $\{g_{j}\}_{j\in\mathbb N_0}$, 记

则存在常数 $c=c(q, \delta)$, 使得

引理 3.3 文献 [引理 3] 设 $s(\cdot)$ 是局部 $\log-\rm H\ddot{o}lder$ 连续函数且 $\vartheta\geq\mathcal C_{\log(s)}$, 则存在常数 $c>0$, 使得对任意 $x,y\in\mathbb R^n$, $v\in\mathbb N_{0}$,

引理 3.4 文献 [9,引理 A.5] 设 $g,h\in L^{1}_{\rm loc}(\mathbb R^n), k\in\mathbb N_{0}$, 使得对所有的多重指标 $\gamma$, 当 $|\gamma|\leq k$ 时, 有 $D^{\gamma}g\in L^{1}(\mathbb R^n)$. 设存在 $m_{0}>n$, $m_{1}>n+k$ 使得 $|h|\leq\eta_{\mu,m_{1}}$ 且当 $|\gamma|\leq k$ 时, $|D^{\gamma}g|\leq2^{vk}\eta_{v,m_{0}}$. 进一步地, 若

则 $|g\ast h(x)|\leq c2^{k(v-\mu)}\eta_{v,m_{0}}\ast\eta_{\mu,m_{1}-k}$.

定理 2.1 的证明 采用文献 [21,定理 3.6] 的证明方法, 由于 $s(\cdot)$ 满足文献 [21,引理 2.5] 的条件, 得 $\{2^{js(\cdot)}\}_{j\in\mathbb N_0}\in W_{\alpha_{1}, \alpha_{2}}^{s}$ (其定义见文献 [21]), 因此将文献 [21,定理 3.6 的证明 (21) 式] 中的 $w_{k}(x)$ 替换成 $2^{ks(x)}$, 得

再由引理 3.2 和 (4.1), 则存在常数 $c$, 使得

定理 2.2 的证明 由于 $s(\cdot)$ 满足文献 [21,引理 2.5] 的条件, $\{2^{js(\cdot)}\}_{j\in\mathbb N_0}\in W_{\alpha_{1}, \alpha_{2}}^{s}$, 类似文献 [21,定理 3.8] 的推导, 将文献 [21,定理 3.8 的证明 (29) 式] 中的 $w_{v}(x)$ 换成 $2^{vs(x)}$, 得到如下逐点估计

由引理 3.2 得

对 (4.2) 利用推论 3.1 得

即得 (2.1).

定理 2.3 的证明 设 $f\in WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$, 由 (2.1) 则

在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 中收敛.

让 $m$ 足够大能用引理 3.3, 则函数 $\varphi_{v}\ast f$ 满足文献 [9,引理 A.6] 中的条件, 因此

由引理 3.3 和推论 3.1, 得

为了证明定理 2.4 我们需要将 $\mathbb R^n$ 分成几个部分, 并利用如下引理. 为此我们需要在区域 $\Omega$ 上定义弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间, 这只需将定义 $WF_{\tau, q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 和 $Wf_{\tau, q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$ 中的 $WL^{\tau}(\mathbb R^n)$ 换成 $WL^{\tau}(\Omega)$

和

引理 4.1 设函数 $s(\cdot), q, \tau$ 满足定理 2.3 一样的条件. 设 $\Omega$ 为一个方体或有限个方体之并的余集并假设 $\{m_Q\}_{Q}, Q\subset\Omega$, 是一列 $(-s^{+}+\varepsilon, s^{+}+1+\varepsilon,M)-$光滑分子, 对任意 $\varepsilon>0$,

若 $f=\sum\limits_{v\geq0}\sum\limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_{Q}$ 在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 中收敛到 $f$, 其中当 $Q\nsubseteq\Omega$ 时, $s_{Q}\neq0$. 则 $\|f\|_{WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\Omega)}\leq$$c\|\{s_Q\}_Q\|_{Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\Omega)},$ 其中 $c>0$ 不依赖于 $\{s_Q\}_Q$ 和 $\{m_Q\}_Q$.

证 设 $m+\mathcal C_{\log(s)}>M$ (见分子的定义), 选取 $\varepsilon>0,\ k_1>s^{+}+2\varepsilon$ 及$k_2\geq-s^{-}+2\varepsilon$, 使得 $\{m_Q\}_Q$ 是 $(k_2, k_{1}+1, M)-$光滑分子, 定义 $k(v, \mu): =k_{1}(v-\mu)_{+}+k_{2}(\mu-v)_{+}$ 及 $\tilde{s}_{Q_{\mu}}: =s_{Q_{\mu}}|Q_{\mu}|^{-\frac{1}{2}}$.

应用引理 3.4 两次: 如果 $\mu\geq v$, 令 $g=\varphi_{v}, h(x)= m_{Q_{\mu}}(x-x_{Q_{\mu}})$ 且 $k = \lfloor k_{2}\rfloor+1$; 如果 $\mu< v$, 令 $g(x)=m_{Q_\mu}(x-x_{Q_\mu})$, $h=\varphi_v$ 且 $k =\lfloor k_{1}\rfloor+1$. 由文献 [9,引理 A.2] 得

则

由文献 [9,引理 6.1] 和推论 3.1 得

利用文献 [9,引理 6.3] 证明当中的估计有

$\Big\|\sum_{\mu\geq0}\sum_{Q_{\mu}\in\mathcal D_{\mu}}|\tilde{s}_{Q_{\mu}}|2^{\mu s(\cdot)-2\varepsilon|v-\mu|}\eta_{\mu, m+\mathcal C_{\log(s)}}\ast \chi_{Q_{\mu}}\Big\|_{\ell_{v}^{q}}\leq c\Big\|\eta_{\mu, m}\ast\Big(\sum_{Q_{\mu}\in\mathcal D_{\mu}}2^{\mu s(\cdot)}|\tilde{s}_{Q_{\mu}}| \chi_{Q_{\mu}}\Big)\Big\|_{\ell_{v}^{q}}.$

因此

再由推论 3.1 得

引理得证.

引理 4.2 设函数 $s(\cdot),q,\tau$ 满足定理 2.3 的条件, 假设 $\{m_Q\}_Q$ 是一列 $(K,L,M)$-光滑分子及 $\{s_Q\}_{Q}\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$. 若 $f=\sum\limits_{v\geq0}\sum \limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_{Q}$ 即和式在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 中收敛到 $f$, 则

证 我们采用文献 [9,命题 6.2] 的证明方法. 设 $m+\mathcal C_{\log(s)}>M$ (见分子的定义), 存在 $\varepsilon>0$ 使得分子 $m_Q$ 是 $(N+4\varepsilon, s+1+3\varepsilon, M)$-光滑的, 由 $s(\cdot)$ 的一致连续性, 选取 $\mu_{0}\geq0$ 使得 $N_{Q}^{-}>-s_{Q}^{-}-\varepsilon$ 及 $s_{Q}^{-}>s_{Q}^{+}-\varepsilon$ 对任意长度为 $\mu_{0}$ 的方体 $Q$ 成立. 注意到若 $Q_0$ 是一个长度为 $\mu_{0}$ 的方体, $Q\subset Q_0$ 是另外一个方体, 则 $N_{Q}^{-}\geq N_{Q_{0}}^{-}>-s_{Q_0}^{-}-\varepsilon\geq -s_{Q}^{-}-\varepsilon.$ 同理可得 $s_{Q}^{-}>s_{Q}^{+}-\varepsilon$. 因此当 $Q$ 的边长不超过 $\mu_{0}$ 时, 可知 $m_Q$ 是 $(-s_{Q}^{-}+3\varepsilon, s_{Q}^{+}+1+2\varepsilon, M)$-光滑的.

由于 $s(\cdot)$ 在无穷远处存在极限, 所以存在紧集 $K\subset\mathbb R^n$, 使 $N_{\mathbb R^n\backslash K}^{-}>-s_{\mathbb R^n\backslash K}^{-}-\varepsilon$ 及 $s_{\mathbb R^n\backslash K}^{-}>s_{\mathbb R^n\backslash K}^{+}-\varepsilon$. 将边长为 $\mu_{0}$ 且与 $K$ 相交的方体排成一列记为 $\Omega_{i}, i=1, \cdots, L$, 并且定义 $\Omega_{0}: =\mathbb R^n \backslash\bigcup_{i=1}^{L}\Omega_{i}$.

对任意整数 $i\in[L]$, 记 $k_{i}: =-s_{\Omega_i}^{-}+2\varepsilon$ 及 $K_i: =s_{\Omega_i}^{+}+2\varepsilon$. 则当 $Q$ 的边长不超过 $\mu_{0}$ 时, $m_Q$ 是一个 $(k_i, K_{i}+\varepsilon,M)$-光滑分子. 令 $k_{i}(v-\mu): =K_{i}(v-\mu)_{+}+k_{i}(v-\mu)_{+}$ 及 $\tilde{s}_{Q_{\mu}}: =s_{Q_{\mu}}|Q_{\mu}|^{-1/2}$. 由常数 $k_i$ 和 $K_i$ 的选取可知对每个集合 $\Omega_i$, 利用引理 4.1 的结论, 因此

再由引理 4.1, 最后一个和式中的每一项都可被 $\|\{s_Q\}_Q\|_{Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)}$ 控制, 因此

因此只需考虑右边的第一项. 由引理 4.1 证明过程可知, 对分子光滑性的假设仅是为了得到文献 [9,估计式 (6.4)]. 而现在我们有以下替换

当 $\mu\leq\mu_{0}$ 及 $v\geq0$ 时, 然而 $2^{(\mu-v)_{+}}\leq2^{\mu_0}$, 即该式右边为常数, 作此修改之后由引理 4.1 的证明可得结果.

引理 4.3 设 $s(\cdot), q, \tau$ 满足定理 2.3 的条件, $1\leq p<\infty$, 则对所有的 $t\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n)$

此外 $T_{\psi}t:f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n)\rightarrow \mathscr{S}'(\mathbb R^n) \mbox{是连续的}$.

证 只要证明存在一个 $M\in \mathbb N$, 使得对所有 $t\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n)$ 和 $h\in\mathscr{S}(\mathbb R^n)$,

其中 $\|h\|_{\mathscr{S}_{M}(\mathbb R^n)}=\sup\limits_{|\gamma|< M}\sup\limits_{x\in\mathbb R^n}|\partial^{r}h(x)|(1+|x|)^{n+M+\gamma}$.

对于任意的 $Q\in\mathcal D_v$,

则

对 $I_1$, 由于 $\Psi\in\mathscr{S}(\mathbb R^n)$, 对充分大的 $M$ 有

对 $I_2$, 由文献 [22,引理 2.4]

从而当 $M$ 足够大时有 $|\langle T_{\psi}t,h\rangle|\lesssim\|t\|_{f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n)}\|h\|_{\mathscr{S}_{M}(\mathbb R^n)}.$ 因此, $T_{\psi}t$ 属于 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 且 $T_{\psi}$ 是连续的.

引理 4.4 设 $\{\gamma_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)$, $\tau$ 是具有一致 $p_{\tau}^{-}$ 下型和一致 $p_{\tau}^{+}$ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 当 $1< p_{1}< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}< p_{2}<\infty$ 时, 则 $\{\gamma_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}=\{\xi_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}+\{\eta_{j,m}\}_{j\in \mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}$ 并且 $\{\eta_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^ {s(\cdot),p_1}(\mathbb R^n)$ 及 $\{\xi_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_{2}}(\mathbb R^n)$. 因此由引理 4.3, $\sum\limits_{v\geq0}\sum\limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_{Q}$ 在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 中收敛.

为了证明引理 4.4, 需要如下引理.

引理 4.5 若 $g\in WL^{\tau}(\mathbb R^n)$, $1< p_{1}< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}< p_{2}<\infty,$$\alpha\in(0,\infty)$, 则有\linebreak $g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|>\alpha\}}$$\in L^{p_1}_{\tau}(\mathbb R^n)$ 及 $g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|\leq\alpha\}}\in L^{p_2}_{\tau}(\mathbb R^n)$.

证 采用文献 [5,定理 2.5] 的证明方法, 记

同理,

综上可得, $g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|>\alpha\}}\in L^{p_1}_{\tau}(\mathbb R^n)$ 及 $g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|\leq\alpha\}}\in L^{p_2}_{\tau}(\mathbb R^n)$.

引理 4.4 的证明 定义

及

其中 $j\in\mathbb N_0$ 及 $m\in\mathbb Z^n$. 由定义可知,

下面, 我们证明 $\{\eta_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_1}(\mathbb R^n)$ 及 $\{\xi_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_2}(\mathbb R^n)$.

(i) 定义 $\Gamma_1: =\{(j, m)\in\mathbb N_0 \times \mathbb Z^n: \eta_{j,m}=\gamma_{j,m}\neq0$ \}, 则

因此由引理 4.5,

即 $\{\eta_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_1}(\mathbb R^n)$. \\

(ii) 定义 $\Gamma_2: =\Gamma_{1}^{c}$, 则

从而

对任意 $x\in\mathbb R^n$, 若 $g(x)\leq\alpha$, 由 $\Gamma_2$ 的定义, 容易看出

若 $x\in\bigcup_{(j, m)\in\Gamma_2}Q_{j,m}\backslash\{x: g(x)\leq\alpha\}$, 则 $g(x)>\alpha$ 并且存在一列 $\{Q_{j,m_{j}}\}_{j=0}^{\infty}$ 满足 $x\in Q_{j,m_{j}}\,\mbox{及}$$Q_{j,m_{j}}\supseteq Q_{j+1, m_{j+1}},$ 且存在 $N\in\mathbb N$, 使得当 $j>N$, $\inf_{y\in Q_{j,m_{j}}}g(y)>\alpha\,\mbox{及}\, \inf_{y\in Q_{i,m_{i}}}g(y)\leq\alpha,$$0\leq i\leq N,$ 由 $\xi_{j,m}$ 的定义, 当 $j\geq N+1$ 时, 有 $\xi_{j,m}=0$. 因此

其中用了如下事实, 对 $y\in Q_{N,m_{N}}$

综合 (4.4) 和 (4.5}) 式即得 (4.3) 式.

显然, $\bigcup_{(j, m)\in\Gamma_2}Q_{j, m}\backslash\{x: g(x)\leq\alpha\}$ 具有有限测度因为 $g\in WL^{\tau}(\mathbb R^n)$. 因此由引理 4.5

即 $\{\xi_{j, m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_2}(\mathbb R^n)$.

定理 2.4 的证明 可由引理 4.2 和引理 4.4 得.

最后, 我们给出 定理 2.5 的证明

主要基于文献 [9,定理 3.11] 的证明方法, 定义常数 $K:=\varepsilon$ 及 $L:=s^{+}+1+\varepsilon$.构造与定义 2.7 中一样的 $(K, L, M)-$光滑原子 $\{a_Q\}_{Q\in\mathcal D_v}$.

设 $f\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n), \varphi_{Q}, \psi_{Q}$ 如定义2.1, 将 $f$ 表示成 $f=\sum_{Q\in\mathcal D^{+}}t_{Q}\varphi_{Q}$ 其中求和是在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 意义下, $t_{Q}=\langle f, \psi_{Q}\rangle$. 接着对 $Q=Q_{v,k}, v\in\mathbb{N}_0$ 及 $k\in\mathbb{N}^n$, 定义

对这些点列 $t^{\ast}_Q$, 由文献 [16], $f=\sum_{Q}t^{\ast}_Q a_Q$, 收敛是在 $\mathscr{S}'(\mathbb R^n)$ 意义下, 其中 $a_{Q}$ 都是原子.

对 $v\in\mathbb N_{0}$, 定义 $T_{v}: =\sum_{Q\in\mathcal D_{v}}t_{Q}\chi_{Q}$. 由定义, $t^{\ast}$ 是 $T_v$ 和 $\eta_{v, m}$ 的离散卷积, 换成连续型的, 有 $t^{\ast}_{Q_{v,k}}\approx(\eta_{v, m}\ast|T_v|)(x),\ x\in Q_{v,k}$, 由此逐点估计得

由引理 3.3 和定理 2.1 得

由于 $f=\sum_{Q}t^{\ast}_{Q}\varphi_Q$, 定理 2.3 说明最后一式可被常数倍的 $\|f\|_{WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)}$ 控制.

下证另一个方向, 由定理 2.4 可得

因为原子都是分子.