两类Kampé de Fériet,级数的简化和求和公式

两类Kampé de Fériet,级数的简化和求和公式

刘红梅^,^*, 李阳

大连民族大学理学院辽宁大连 116600

Reduction and Summation Formulas for Two Types of Kampé de Fériet Series

Liu Hongmei^,^*, Li Yang

School of Science, Dalian Minzu University, Liaoning Dalian 116600

通讯作者: * 刘红梅, E-mail:liuhm7911@163.com

收稿日期: 2023-08-30 修回日期: 2024-08-15

Received: 2023-08-30 Revised: 2024-08-15

摘要

基于两个 $_3F_2$ -超几何级数求和公式, 该文建立了两个一般的双变量级数变换公式. 在经典超几何级数求和公式的帮助下, 这两个变换公式变形出一系列形如 $F_{q:1;0}^{p:2;1}$ 的 Kampé de Fériet 级数求和公式. 另外, 利用四个 Saalschützian $_4F_3[1]$ -求和公式, 一些形如 $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 的 Kampé de Fériet 级数的简化和变换公式也被推导出来.

关键词： 超几何级数; Kampé de Fériet 级数; 简化和求和公式

Abstract

Two $_3F_2[1]$ -summation theorems are employed to establish two general transformation formulas for double infinite series. With the help of some classical hypergeometric series summation formulas, the two transformations yield a number of summation formulas for Kampé de Fériet series of type $F_{q:1;0}^{p:2;1}$ . Furthermore a list of reduction and transformation formulas for Kampé de Fériet series of type $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ are derived by utilizing four Saalschützian $_4F_3[1]$ -summation formulas.

Keywords： hypergeometric series; Kampé de Fériet series; reduction and summation formulas

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本文引用格式

刘红梅, 李阳. 两类Kampé de Fériet,级数的简化和求和公式[J]. 数学物理学报, 2025, 45(1): 136-152

Liu Hongmei, Li Yang. Reduction and Summation Formulas for Two Types of Kampé de Fériet Series[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(1): 136-152

1 引言

超几何级数定义如下, 设变量 $z$ 为复数, $p$ 和 $q$ 为非负整数 ^[2]

$_{1 + p} F_{q} [\begin{matrix} a_{0}, a_{1}, \dots, a_{p} \\ b_{1}, \dots, b_{q} \end{matrix}| z] = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(a_{0})}_{k} {(a_{1})}_{k} \dots {(a_{p})}_{k}}{k! {(b_{1})}_{k} \dots {(b_{q})}_{k}} z^{k},$

其中, 当 $n=1,2,\cdots$ 时, 升阶乘 $(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)$ , 而当 $n=0$ 时, $(x)_0=1$ . $_pF_q$ 的收敛条件和性质, 可参考文献 [2].

超几何级数的推广形式 Kampé de Fériet 级数的定义如下, 参见文献 [32]

$F_{μ : u; v}^{λ : r; s} [\begin{array}{l} α_{1}, \dots, α_{λ} : a_{1}, \dots, a_{r}; c_{1}, \dots, c_{s} \\ β_{1}, \dots, β_{μ} : b_{1}, \dots, b_{u}; d_{1}, \dots, d_{v} \end{array}| x, y]$

$= \sum_{m, n = 0}^{\infty} \frac{{(α_{1}, \dots, α_{λ})}_{m + n} {(a_{1}, \dots, a_{r})}_{m} {(c_{1}, \dots, c_{s})}_{n}}{{(β_{1}, \dots, β_{μ})}_{m + n} {(b_{1}, \dots, b_{u})}_{m} {(d_{1}, \dots, d_{v})}_{n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m! n!},$

这里 $(a_1, a_2, \cdots, a_r)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_r)_n.$ 关于这个函数收敛性的更多细节, 可参考文献 [31,33].

将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6,9,10,14,19,20,23,24,28,30,31,34,35]. 最近, Bezrodnykh 等 ^[3⇓-5]研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $q$ -Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26].

基于前面的工作, 我们发现在建立简化公式时, 某些变换公式起到重要的作用. 本文, 我们将利用一个已知的变换公式来推导新的简化公式,

这个变换公式如下, 可参考文献[6,19,20]:

$\begin{align*} \sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)g(i){\varOmega}(j) \frac{x^iy^j}{i!j!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{x^n}{n!}\sum\limits_{j=0}^{n}\frac{(-n)_jg(n-j){\varOmega}(j)} {j!}\big(-\frac{y}{x}\big)^j, \end{align*}$

这里假设级数是绝对收敛的. 当 $g(i)=\frac{(\lambda)_{i}(\mu)_{i}}{(\beta)_i}$ , 这个变换公式变为下列公式.

引理1.1 对任意的复数序列 $\{f(n)\}$ 和 $\{{\varOmega}(j)\}$ , 如果下列每一个级数都是绝对收敛的, 有如下变换公式成立

$\begin{matrix} &~~~~\sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(\lambda)_{i}(\mu)_{i}}{(\beta)_i}{\varOmega}(j) \frac{x^iy^j}{i!j!}\nonumber\\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\lambda)_{n}(\mu)_{n}x^n}{n!(\beta)_n}\sum\limits_{j=0}^{n}\frac{(-n)_j(1-\beta-n)_j} {j!(1-\lambda-n)_j(1-\mu-n)_j}\Big(\frac{y}{x}\Big)^j\varOmega(j)\,.\label{lem1} \end{matrix}$

(1.1)

本文旨在利用上述变换公式推导出两种类型的 Kampé de Fériet 级数的简化公式. 文章的其余部分安排如下: 在第二节中, 基于一些经典超几何级数求和公式建立一系列形如 $F_{q:1;0}^{p:2;1}$ 的 Kampé de Fériet 级数的简化和求和公式. 第三节中, 基于四个 Saalschützian $_4F_3[1]$ 求和公式, 建立若干将形如 $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 的 Kampé de Fériet 级数表示为 $_{p+3}F_{q+2}$ 或者 $_{p+4}F_{q+3}$ 的简化公式, 并由此给出 8 个 Kampé de Fériet $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 级数的变换公式.

2 $F_{q:1;0}^{p:2;1}$ 级数的简化和求和公式

定理2.1 对任意的复数序列 $\{f(n)\}$ , 下列变换公式成立

$\begin{matrix} \sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(\lambda)_i(\mu)_i}{(\beta)_i}(\beta-\lambda-\mu)_j\frac{x^{i+j}}{i!j!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\beta-\lambda)_n(\beta-\mu)_n}{(\beta)_n}\frac{x^n}{n!}\,,\label{red1} \end{matrix}$

(2.1)

这里假设公式里的级数都是绝对收敛的.

证在 (1.1) 式中令 $\varOmega(j)=(\beta-\lambda-\mu)_j$ 并且 $x=y$ , 有

$\begin{matrix} &~~~~\sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(\lambda)_i(\mu)_i}{(\beta)_i}(\beta-\lambda-\mu)_j\frac{x^{i+j}}{i!j!}\nonumber\\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\lambda)_{n}(\mu)_{n}x^n}{n!(\beta)_n} \sum\limits_{j=0}^{n}\frac{(-n)_j(1-\beta-n)_j(\beta-\lambda-\mu)_j} {j!(1-\lambda-n)_j(1-\mu-n)_j}. \label{eq1} \end{matrix}$

(2.2)

在 (2.2) 式内部的和式中利用 Saalschütz 定理, 参考文献 [2,第 2.2 节,Eq.(1)]{bai} 和 [29,Eq.(2.3.1.3)]

$_{3} F_{2} [\begin{matrix} a, b, - n \\ c, 1 + a + b - c - n \end{matrix}| 1] = \frac{{(c - a)}_{n} {(c - b)}_{n}}{{(c)}_{n} {(c - a - b)}_{n}},$

我们得到 (2.1) 式.

在 (2.1) 式中, 当 $f(n)=\frac{(a_1,\cdots,a_p)_n}{(b_1,\cdots,b_q)_n}$ , 我们能够得到一个形如 $F_{q:1;0}^{p:2;1}$ 的 Kampé de Fériet 级数简化公式

$F_{q : 1; 0}^{p : 2; 1} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p} : λ, μ; β - λ - μ \\ b_{1}, \dots, b_{q} : β; - \end{matrix}| x, x] = _{p + 2} F_{q + 1} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, β - λ, β - μ \\ b_{1}, \dots, b_{q}, β \end{matrix}| x] .$

如果 $p<q$ , 对 $x$ 的所有取值, 这两个级数都是收敛的. 如果 $p>q$ , 只要 $x\neq 0$ , 这些级数都是发散的. 如果 $p=q$ , 当 $|x|<1$ , 或者当 $x=1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\lambda+\mu-\beta)>0$ , 或者当 $x=-1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\lambda+\mu-\beta+1)>0$ 时, 这些级数是收敛的.

推论2.1 (求和公式)

$F_{0 : 1; 0}^{0 : 2; 1} [\begin{matrix} - : λ, μ; β - λ - μ \\ - : β; - \end{matrix} | 1, 1] = \frac{Γ (β) Γ (λ + μ - β)}{Γ (λ) Γ (μ)}, R e (λ + μ - β) > 0,$

(2.3)

$F_{0 : 1; 0}^{0 : 2; 1} [\begin{matrix} - : \\ - : 1 - λ + μ; \end{matrix} - 1, - 1] = \frac{Γ (1 - λ + μ) Γ (\frac{3}{2} - λ + \frac{μ}{2})}{Γ (2 - 2 λ + μ) Γ (\frac{1}{2} + \frac{μ}{2})}, R e (λ) > 0$

(2.4)

$F_{0 : 1; 0}^{0 : 2; 1} [\begin{matrix} - : λ, 1 - λ; β - 1 \\ - : β; - \end{matrix} |\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = \frac{Γ (\frac{1}{2}) Γ (β)}{Γ (\frac{1}{2} + \frac{β}{2} - \frac{λ}{2}) Γ (\frac{β}{2} + \frac{λ}{2})},$

(2.5)

$F_{0 : 1; 0}^{0 : 2; 1} [\frac{- : λ, μ; \frac{1 - λ - μ}{2}}{- : \frac{1 + λ + μ}{2};} \frac{1}{2}, \frac{1}{2}|] = \frac{Γ (\frac{1 + λ + μ}{4}) Γ (\frac{3 + λ + μ}{4})}{Γ (\frac{1 + λ}{2}) Γ (\frac{1 + μ}{2})},$

(2.6)

$F_{1 : 1; 0}^{1 : 2; 1} [\begin{matrix} γ : λ, 1 - λ; β - 1 \\ 2 γ : & β; - \end{matrix}| 1, 1] = \frac{Γ (\frac{1}{2}) Γ (γ + \frac{1}{2}) Γ (β) Γ (1 - β + γ)}{Γ (\frac{1 + β - λ}{2}) Γ (\frac{β + λ}{2}) Γ (\frac{1 - β + λ}{2} + γ) Γ (1 - \frac{β + λ}{2} + γ)},$

$R e (γ + 1 - β) > 0 .$

(2.7)

证在 (2.1) 式中令 $f(n)=1$ , $x=1$ , 利用 Gauss 定理, 参考文献 [2,第 1.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.(1.7.6)]

$_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}| 1] = \frac{Γ (c) Γ (c - a - b)}{Γ (c - a) Γ (c - b)},$

我们建立求和公式 (2.3).

在 (2.1) 式中令 $f(n)=1$ , $\beta=1-\lambda+\mu$ 且 $x=-1$ , 利用 Kummer 定理, 参考文献 [2,第 2.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.(1.7.1.6)]

$_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, b \\ 1 + a - b \end{matrix} ∣ - 1] = \frac{Γ (1 + a - b) Γ (1 + \frac{a}{2})}{Γ (1 + a) Γ (1 + \frac{a}{2} - b)},$

我们得到求和公式 (2.4).

在 (2.1) 式中令 $f(n)=1$ , $\mu=1-\lambda$ 且 $x=\frac{1}{2}$ , 利用第二 Gauss 定理, 参考文献 [2,第 2.4 节,Eq.(2)] 和 [29,(1.7.1.9)]

$_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, b \\ \frac{1 + a + b}{2} \end{matrix}| \frac{1}{2}] = \frac{Γ (\frac{1}{2}) Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2})}{Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2}) Γ (\frac{1}{2} + \frac{b}{2})},$

我们得到求和公式(2.5).

在 (2.1) 式中令 $f(n)=1$ , $\beta=\frac{1+\lambda+\mu}{2}$ , $x=\frac{1}{2}$ , 利用 Bailey 定理, 参考文献 [2,第 2.4 节,Eq.(3)]和 [29,Eq.(1.7.1.8)]

$_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, 1 - a \\ c \end{matrix}| \frac{1}{2}] = \frac{Γ (\frac{c}{2}) Γ (\frac{1}{2} + \frac{c}{2})}{Γ (\frac{c}{2} + \frac{a}{2}) Γ (\frac{1}{2} + \frac{c}{2} - \frac{a}{2})},$

我们建立求和公式(2.6).

在 (2.1) 式中令 $f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(2\gamma)_n},\ \mu=1-\lambda,\ x=1,$ 利用 Watson 定理, 参考文献[2,第 3.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.III.23]

$_{3} F_{2} [\begin{matrix} a, b, c \\ \frac{1 + a + b}{2}, 2 c \end{matrix}| 1] = \frac{Γ (\frac{1}{2}) Γ (c + \frac{1}{2}) Γ (\frac{1 + a + b}{2}) Γ (\frac{1 - a - b}{2} + c)}{Γ (\frac{1 + a}{2}) Γ (\frac{1 + b}{2}) Γ (\frac{1 - a}{2} + c) Γ (\frac{1 - b}{2} + c)},$

我们建立求和公式 (2.7).

定理2.2 对任意复数序列 $\{f(n)\}$ , 下列变换公式成立

$\begin{matrix} \sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(1+\beta)_i(2\beta)_i}{(\beta)_i}(\alpha)_j\frac{x^{i+j}}{i!j!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\alpha+2\beta)_n(1+\frac{\alpha}{2}+\beta)_n}{(\frac{\alpha}{2}+\beta)_n}\frac{x^n}{n!}\,,\label{red2} \end{matrix}$

(2.8)

这里假设公式中的所有级数都绝对收敛.

证一个超几何级数变换公式

$_{3} F_{2} [\begin{matrix} a, b, - n \\ c, d \end{matrix} ∣ 1] = \frac{{(c - a)}_{n}}{{(c)}_{n}} _{3} F_{2} [\begin{matrix} a, d - b, - n \\ d, 1 + a - c - n \end{matrix}| 1],$

是 Slater^[29] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12,27]. 在这个变换公式中将 $c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n$ , 可得

$_{3} F_{2} [\begin{matrix} a, b, - n \\ 1 + a - b, 1 + 2 b - n \end{matrix}| 1] = \frac{{(1 - b)}_{n}}{{(1 + a - b)}_{n}} _{3} F_{2} [\begin{matrix} a, 1 + b - n, - n \\ b - n, 1 + 2 b - n \end{matrix}| 1] .$

接下来利用 [29,Eq.III.16]

$_{3} F_{2} [\begin{matrix} a, b, - n \\ 1 + a - b, 1 + 2 b - n \end{matrix}| 1] = \frac{{(a - 2 b)}_{n} {(1 + \frac{a}{2} - b)}_{n} {(- b)}_{n}}{{(1 + a - b)}_{n} {(\frac{a}{2} - b)}_{n} {(- 2 b)}_{n}},$

我们得到下面的恒等式

$_{3} F_{2} [\begin{array}{l} a, 1 + b - n, - n \\ b - n, 1 + 2 b - n \end{array}| 1] = \frac{{(a - 2 b)}_{n} {(1 + \frac{a}{2} - b)}_{n} {(- b)}_{n}}{{(1 - b)}_{n} {(\frac{a}{2} - b)}_{n} {(- 2 b)}_{n}} .$

在 (1.1) 式中令 $\lambda=1+\beta$ , $\mu=2\beta$ , $x=y$ , $\Omega(j)=(\alpha)_j$ , 并在内和中利用上述公式, 我们即可得到定理中的结果.

当 (2.8) 式中 $f(n)=\frac{(a_1,\cdots,a_p)_n}{(b_1,\cdots,b_q)_n}$ , 我们得到另一个形如 $F_{q:1;0}^{p:2;1}$ 的 Kampé de Fériet 级数一般化的简化公式

$F_{q : 1; 0}^{p : 2; 1} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : 1 + β, 2 β; α \\ b_{1}, \dots, b_{q} : & β; - \end{array}| x, x]$

$= _{p + 2} F_{q + 1} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, α + 2 β, 1 + \frac{α}{2} + β \\ b_{1}, \dots, b_{q}, \frac{α}{2} + β \end{matrix} ∣ x] .$

如果 $p<q$ , 对任意 $x$ , 这两个级数都是收敛的. 如果 $p>q$ , 只要 $x\neq 0$ , 这些级数都是发散的. 如果 $p=q$ , 当 $|x|<1$ , 或者当 $x=1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\alpha-2\beta-1)>0$ , 或者当 $x=-1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\alpha-2\beta)>0$ 时, 这些级数是收敛的.

推论2.2 (求和公式)

$F_{1 : 1; 0}^{1 : 2; 1} [\begin{matrix} γ : & 1 + β, 2 β; α \\ 1 + α + 2 β - γ : & β; - \end{matrix} | - 1, - 1] = \frac{Γ (\frac{1}{2} + \frac{α}{2} + β) Γ (1 + α + 2 β - γ)}{Γ (1 + α + 2 β) Γ (\frac{1}{2} + \frac{α}{2} + β - γ)},$

$R e (γ) < \frac{1}{2}$

(2.9)

$F_{2 : 1; 0}^{2 : 2; 1} [\begin{matrix} γ, δ : & 1 + β, 2 β; α \\ 1 + α + 2 β - γ, 1 + α + 2 β - δ : & β; - \end{matrix}| 1, 1]$

$= \frac{Γ (\frac{1}{2} + \frac{α}{2} + β) Γ (1 + α + 2 β - γ) Γ (1 + α + 2 β - δ) Γ (\frac{1}{2} + \frac{α}{2} + β - γ - δ)}{Γ (1 + α + 2 β) Γ (\frac{1}{2} + \frac{α}{2} + β - γ) Γ (\frac{1}{2} + \frac{α}{2} + β - δ) Γ (1 + α + 2 β - γ - δ)},$

$R e (1 + α + 2 β - 2 γ - 2 δ) > 0,$

(2.10)

$F_{2 : 1; 0}^{2 : 2; 1} [\begin{matrix} γ, δ : & 1 + β, 2 β; α \\ 1 + α + 2 β - γ, 1 + α + 2 β - δ : & β; - \end{matrix}| - 1, - 1]$

$= \frac{Γ (1 + α + 2 β - γ) Γ (1 + α + 2 β - δ)}{Γ (1 + α + 2 β) Γ (1 + α + 2 β - γ - δ)}, R e (2 + α + 2 β - 2 γ - 2 δ) > 0,$

(2.11)

$F_{3 : 1; 0}^{3 : 2; 1} [\begin{matrix} γ, δ, ω : & 1 + β, 2 β; α \\ 1 + α + 2 β - γ, 1 + α + 2 β - δ, 1 + α + 2 β - ω : & β; - \end{matrix}| 1, 1]$

$= \frac{Γ (1 + α + 2 β - γ) Γ (1 + α + 2 β - δ) Γ (1 + α + 2 β - ω) Γ (1 + α + 2 β - γ - δ - ω)}{Γ (1 + α + 2 β) Γ (1 + α + 2 β - γ - δ) Γ (1 + α + 2 β - γ - ω) Γ (1 + α + 2 β - δ - ω)},$

$R e (1 + α + 2 β - γ - δ - ω) > 0,$

(2.12)

$F_{4 : 1; 0}^{4 : 2; 1} [\begin{matrix} γ, 1 - γ, δ, 1 - δ : & 1 + β, 2 β; α \\ 1 + α + 2 β - γ, α + 2 β + γ, 1 + α + 2 β - δ, α + 2 β + δ : & β; - \end{matrix} |- 1, - 1]$

$= \frac{π 2^{1 - 2 α - 4 β} Γ (1 + α + 2 β - γ) Γ (α + 2 β + γ) Γ (1 + α + 2 β - δ) Γ (α + 2 β + δ)}{Γ (α + 2 β) Γ (1 + α + 2 β) Γ (\frac{1 + α + 2 β + δ - γ}{2}) Γ (\frac{α + 2 β + γ + δ}{2}) Γ (1 + \frac{α + 2 β - γ - δ}{2}) Γ (\frac{1 + α + 2 β + γ - δ}{2})},$

$R e (α + 2 β) > 0 .$

(2.13)

证在 (2.8) 式中令 $f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n}$ , $x=-1$ , 利用文献[29,Eq.III.21]

$_{3} F_{2} [\begin{array}{l} a, 1 + \frac{a}{2}, b \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b \end{array}| - 1] = \frac{Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2}) Γ (1 + a - b)}{Γ (1 + a) Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2} - b)},$

我们建立求和公式 (2.9).

在 (2.8) 式中令 $f(n)=\frac{(\gamma)_n(\delta)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n(1+\alpha+2\beta-\delta)_n}$ 且 $x=1$ , 利用文献 [29,Eq.III.22]

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c \end{matrix}| 1] = \frac{Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2}) Γ (1 + a - b) Γ (1 + a - c) Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2} - b - c)}{Γ (1 + a) Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2} - b) Γ (\frac{1}{2} + \frac{a}{2} - c) Γ (1 + a - b - c)},$

我们建立求和公式(2.10).

在 (2.8) 式中令

$f(n)=\frac{(\gamma)_n(\delta)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n(1+\alpha+2\beta-\delta)_n},~~ x=-1,$

利用文献 [29,Eq.III.10]

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c \end{matrix}| - 1] = \frac{Γ (1 + a - b) Γ (1 + a - c)}{Γ (1 + a) Γ (1 + a - b - c)},$

我们建立求和公式(2.11).

在 (2.8) 式中令

$f(n)=\frac{(\gamma)_n(\delta)_n(\omega)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n(1+\alpha+2\beta-\delta)_n(1+\alpha+2\beta-\omega)_n}$

并且 $x=1$ , 利用文献 [29,Eq.III.12]

$_{5} F_{4} [\begin{matrix} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c, d \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - d \end{matrix}| 1]$

$= \frac{Γ (1 + a - b) Γ (1 + a - c) Γ (1 + a - d) Γ (1 + a - b - c - d)}{Γ (1 + a) Γ (1 + a - b - c) Γ (1 + a - b - d) Γ (1 + a - c - d)},$

我们建立求和公式(2.12).

在 (2.8) 式中令

$f (n) = \frac{{(γ)}_{n} {(1 - γ)}_{n} {(δ)}_{n} {(1 - δ)}_{n}}{{(1 + α + 2 β - γ)}_{n} {(α + 2 β + γ)}_{n} {(1 + α + 2 β - δ)}_{n} {(α + 2 β + δ)}_{n}},$

且 $x=-1$ , 利用文献[22,[Eq.(3.2)]

$_{6} F_{5} [\begin{matrix} a, 1 + \frac{a}{2}, & c, & 1 - c, & e, & 1 - e \\ \frac{a}{2}, & 1 + a - c, & a + c, & 1 + a - e, & a + e \end{matrix}| - 1]$

$= π 2^{1 - 2 a} Γ [\begin{matrix} 1 + a - c, a + c, 1 + a - e, a + e \\ a, 1 + a, \frac{1}{2} + \frac{a + e - c}{2}, \frac{a + e + c}{2}, 1 + \frac{a - e - c}{2}, \frac{1}{2} + \frac{a - e + c}{2} \end{matrix}],$

这个公式等价于文献[29,Eq. III.27], 我们建立求和公式(2.13).

3 $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 级数的简化公式

在引理1.1中, 当 $f(n)=\frac{(a_1,\cdots,a_p)_n}{(b_1,\cdots,b_q)_n}$ , $\varOmega(j)=\frac{(\gamma)_j(\delta)_j}{(\varepsilon)_j}$ , $x=y$ , (1.1) 式将变为

$F_{q : 2; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : λ, μ; γ, δ \\ b_{1}, \dots, b_{q} : β; ε \end{array}| x, x]$

$= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(a_{1}, \dots, a_{p})}_{n}}{{(b_{1}, \dots, b_{q})}_{n}} \frac{{(λ)}_{n} {(μ)}_{n} x^{n}}{n! {(β)}_{n}} _{4} F_{3} [\begin{matrix} γ, δ, 1 - β - n, - n \\ ε, 1 - λ - n, 1 - μ - n \end{matrix}| 1] .$

(3.1)

如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式 $_4F_3[1]$ 上, 我们将得到关于 Kampé de Fériet 级数 $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 的简化公式. 在文献 [20] 中, 两个 $_4F_3[1]$ 求和公式被应用在上述公式的内和中, 推导出一些 Kampé de Fériet 级数的简化公式. 这两个 $_4F_3[1]$ 求和公式满足 Saalschützian 条件, 也就是级数通项分母中的变量之和与分子中的变量之和的差为 1. 除了这两个求和公式外, Carlitz^[8]和 Gasper^[15] 给出相似的恒等式

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} b, b + \frac{1}{2}, 2 d + n, - n \\ d + 1, d + \frac{1}{2}, 2 b \end{matrix}| 1] = \frac{d}{d + n} \frac{{(2 d - 2 b + 1)}_{n}}{{(2 d)}_{n}} .$

(3.2)

最近, 李等^[21]利用线性化方法将这一公式进行了推广. 本节中, 我们从中选择了三个公式来帮助我们寻找 Kampé de Fériet 级数简化公式. 它们是文献[21]中的 (Ex.3), (Ex.6) 和 (Ex.15)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} b, b - \frac{1}{2}, 2 d + n, - n \\ d, d - \frac{1}{2}, 2 b + 1 \end{matrix}| 1] = \frac{(2 d - 2 b) _{n} [(1 + 2 b) (2 d - 1) + 4 b n]}{(2 d) _{n} (1 + 2 b) (2 d - 1)},$

(3.3)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} b + 1, b - \frac{1}{2}, 2 d + n, - n \\ d + 1, d + \frac{1}{2}, 2 b \end{matrix}| 1] = \frac{(2 d - 2 b + 1) _{n} (d) _{n} [b (2 d - 2 b + 1) + n]}{(2 d) _{n} (d + 1) _{n} b (2 d - 2 b + 1)},$

(3.4)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} b - 1, b + \frac{1}{2}, 2 d + n - 1, - n \\ d, d - \frac{1}{2}, 2 b \end{matrix}| 1] = \frac{{(2 d - 2 b)}_{n} [b (2 d - 2 b) + n]}{{(2 d - 1)}_{n} b (2 d - 2 b)} .$

(3.5)

虽然上面的公式都是 Saalschützian, 但是不能直接应用于 (3.1) 式的内和中. 因此, 我们需要先将这些公式变换为 (3.1) 式的形式, 这个过程需要利用著名的终止 Saalschützian 级数变换, 参见文献[2,第 7.2 节,Eq.(1)]

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} x, y, z, - n \\ u, v, w \end{matrix}| 1] = \frac{{(v - z)}_{n} {(w - z)}_{n}}{{(v)}_{n} {(w)}_{n}} _{4} F_{3} [\begin{matrix} u - x, u - y, z, - n \\ 1 - v + z - n, 1 - w + z - n, u \end{matrix}| 1],$

(3.6)

这里 $u+v+w=1+x+y+z-n$ . 那么, 我们将得到几个形如 $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 的 Kampé de Fériet 级数简化公式

定理3.1

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a, b - \frac{1}{2}; a, b + \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b; a + b \end{array} ∣ x, x]$

$= _{p + 3} F_{q + 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b, a + b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b, 2 a + 2 b - 1 \end{array}| x],$

(3.7)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : & a, b; a, b \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{1}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= _{p + 3} F_{q + 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b, a + b \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + \frac{1}{2}, 2 a + 2 b - 1 \end{matrix}| x],$

(3.8)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b; a - \frac{1}{2}, b \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b; a + b \end{array} ∣ x, x]$

$= _{p + 3} F_{q + 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b, a + b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b, 2 a + 2 b - 1 \end{array}| x],$

(3.9)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2}; a - \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{1}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= _{p + 3} F_{q + 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b, a + b \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + \frac{1}{2}, 2 a + 2 b - 1 \end{matrix}| x] .$

(3.10)

如果 $p<q$ , 对任意 $x$ , 这两个级数都是收敛的. 如果 $p>q$ , 这些级数只在 $x=0$ 处收敛. 如果 $p=q$ , 当 $|x|<1$ , 或者当 $x=1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{1}{2})>0$ , 或者当 $x=-1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\frac{1}{2})>0$ 时, 这些级数是收敛的.

证令 $2d=1-2a-2n$ , (3.2) 式变为

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} b, b + \frac{1}{2}, 1 - 2 a - n, - n \\ \frac{3}{2} - a - n, 1 - a - n, 2 b \end{array} ∣ 1] = \frac{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(2 a)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{2 n}}{{(a - \frac{1}{2})}_{n} {(2 a)}_{2 n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n}} .$

在 (3.6) 式中, 设

$u=1-a-n, v=\frac{3}{2}-a-n, w=2b, x=1-2a-n,$

$y=b, z=b+\frac{1}{2}$ 或者 $y=b+\frac{1}{2}, z=b$ , 有

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a, b + \frac{1}{2}, 1 - a - b - n, - n \\ a + b, 1 - a - n, \frac{3}{2} - b - n \end{array}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n}}{{(a)}_{n} {(b - \frac{1}{2})}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n}},$

(3.11)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, b, \frac{1}{2} - a - b - n, - n \\ a + b - \frac{1}{2}, 1 - a - n, 1 - b - n \end{matrix}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b)}_{n}}{{(a)}_{n} {(b)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n}},$

(3.12)

(3.12) 式恰好是文献 [20] 中的 (Eq.Ia).

在变换公式 (3.6) 中, 设

$u=a+b, v=1-a-n, w=\frac{3}{2}-b-n, x=a, y=b+\frac{1}{2}, z=1-a-b-n,$

求和公式 (3.11) 变为

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a - \frac{1}{2}, b, 1 - a - b - n, - n \\ a + b, \frac{1}{2} - a - n, 1 - b - n \end{array}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n}}{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(b)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n}} .$

(3.13)

在变换公式 (3.6) 中, 设

$u=a+b-\frac{1}{2}, v=1-a-n, w=1-b-n, x=a, y=b, z=\frac{1}{2}-a-b-n,$

求和公式 (3.12) 变为

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a - \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - a - b - n, - n \\ a + b - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - a - n, \frac{1}{2} - b - n \end{array}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b)}_{n}}{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(b + \frac{1}{2})}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n}},$

(3.14)

这个公式恰好是文献[20,Eq.Ib].

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a$ , $\mu=b-\frac{1}{2}$ , $\beta=a+b$ , $\gamma=a$ , $\delta=b+\frac{1}{2}$ , $\varepsilon=a+b$ , 利用 (3.11) 式, 我们可得到(3.7) 式.

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a$ , $\mu=b$ , $\beta=a+b+\frac{1}{2}$ , $\gamma=a$ , $\delta=b$ , $\varepsilon=a+b-\frac{1}{2}$ , 利用 (3.12) 式, 我们可得到 ((3.8) 式.

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a+\frac{1}{2}$ , $\mu=b$ , $\beta=a+b$ , $\gamma=a-\frac{1}{2}$ , $\delta=b$ , $\varepsilon=a+b$ , 利用 (3.13) 式, 我们可得到 (3.9) 式.

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a+\frac{1}{2}$ , $\mu=b+\frac{1}{2}$ , $\beta=a+b+\frac{1}{2}$ , $\gamma=a-\frac{1}{2}$ , $\delta=b-\frac{1}{2}$ , $\varepsilon=a+b-\frac{1}{2}$ , 利用 (3.14) 式, 我们可得到 (3.10) 式.

(3.7) 和 ((3.8) 式在文献 [20] 中也有提到.

定理 3.2

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b + 1; a - 1, b \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b + 1, a + b, a + 2 a b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + \frac{1}{2}, 2 a + 2 b, a + 2 a b \end{matrix}| x],$

(3.15)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b + \frac{3}{2}; a - 1, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b \end{matrix}| x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b + 1, a + b + \frac{1}{2}, a + 2 a b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + 1, 2 a + 2 b, a + 2 a b \end{matrix} ∣ x],$

(3.16)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a - \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2}; a + \frac{1}{2}, b + \frac{3}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b + 1, a + b, a + 2 a b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + \frac{1}{2}, 2 a + 2 b, a + 2 a b \end{array} ∣ x],$

(3.17)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a - \frac{1}{2}, b; a + \frac{1}{2}, b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b \end{array} ∣ x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b + 1, a + b + \frac{1}{2}, a + 2 a b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + 1, 2 a + 2 b, a + 2 a b \end{matrix} ∣ x] .$

(3.18)

如果 $p<q$ , 对任意 $x$ , 这两个级数都是收敛的. 如果 $p>q$ , 这些级数只在 $x=0$ 处收敛. 如果 $p=q$ , 当 $|x|<1$ , 或者当 $x=1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{3}{2})>0$ , 或者当 $x=-1$ 且 ${\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{1}{2})>0$ 时, 这些级数是收敛的.

证如果 $2d=1-2a-2n$ , 求和公式 (3.3) 变为

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} b - \frac{1}{2}, b, 1 - 2 a - n, - n \\ \frac{1}{2} - a - n, - a - n, 2 b + 1 \end{array}| 1] = \frac{{(2 a + 2 b)}_{2 n} {(2 a)}_{n} [(1 + 2 b) (- 2 a - 2 n) + 4 b n]}{{(2 a + 2 b)}_{n} {(2 a)}_{2 n} (1 + 2 b) (- 2 a - 2 n)} .$

在变换公式 (3.6) 中令

$u=-a-n, v=\frac{1}{2}-a-n, w=2b+1, x=1-2a-n,$

$y=b-\frac{1}{2}, z=b$ 或者 $y=b, z=b-\frac{1}{2}$ , 有

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a - 1, b, \frac{1}{2} - a - b - n, - n \\ a + b + \frac{1}{2}, - a - n, - b - n \end{array}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b + 1)}_{n} {(a + b)}_{n}}{{(a)}_{n} {(b + 1)}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n}} \frac{(1 + 2 b) (- 2 a - 2 n) + 4 b n}{(- 2 a - 2 n) (2 b + 1)},$

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a - 1, b - \frac{1}{2}, - a - b - n, - n \\ a + b, - a - n, - \frac{1}{2} - b - n \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b + 1)}_{n} {(a + b + \frac{1}{2})}_{n}}{{(a)}_{n} {(b + \frac{3}{2})}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n}} \frac{(1 + 2 b) (- 2 a - 2 n) + 4 b n}{(- 2 a - 2 n) (2 b + 1)} .$

计算分式

$\begin{align*} \frac{(1+2b)(-2a-2n)+4bn}{(-2a-2n)(2b+1)}=\frac{a+2ab+n}{(a+n)(2b+1)}=\frac{(a+2ab+1)_n(a)_n}{(a+2ab)_n(a+1)_n}. \end{align*}$

则上述两个求和公式可被重写为

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a - 1, b, \frac{1}{2} - a - b - n, - n \\ a + b + \frac{1}{2}, - a - n, - b - n \end{array}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b + 1)}_{n} {(a + b)}_{n} {(a + 2 a b + 1)}_{n}}{{(a + 1)}_{n} {(b + 1)}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(a + 2 a b)}_{n}},$

(3.19)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a - 1, b - \frac{1}{2}, - a - b - n, - n \\ a + b, - a - n, - \frac{1}{2} - b - n \end{matrix}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b + 1)}_{n} {(a + b + \frac{1}{2})}_{n} {(a + 2 a b + 1)}_{n}}{{(a + 1)}_{n} {(b + \frac{3}{2})}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(a + 2 a b)}_{n}} .$

(3.20)

再一次应用变换公式 (3.6) 到这两个公式中, 我们能够建立另外两个 $_4F_3[1]$ 求和公式

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a + \frac{1}{2}, b + \frac{3}{2}, \frac{1}{2} - a - b - n, - n \\ a + b + \frac{1}{2}, \frac{3}{2} - a - n, \frac{3}{2} - b - n \end{array}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b + 1)}_{n} {(a + b)}_{n} {(a + 2 a b + 1)}_{n}}{{(a - \frac{1}{2})}_{n} {(b - \frac{1}{2})}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(a + 2 a b)}_{n}},$

(3.21)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a + \frac{1}{2}, b + 1, - a - b - n, - n \\ a + b, \frac{3}{2} - a - n, 1 - b - n \end{matrix}| 1] = \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b + 1)}_{n} {(a + b + \frac{1}{2})}_{n} {(a + 2 a b + 1)}_{n}}{{(a - \frac{1}{2})}_{n} {(b)}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(a + 2 a b)}_{n}} .$

(3.22)

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a+1$ , $\mu=b+1$ , $\beta=a+b+\frac{1}{2}$ , $\gamma=a-1$ , $\delta=b$ , $\varepsilon=a+b+\frac{1}{2}$ , 利用 (3.19) 式, 我们能得到简化公式 (3.15).

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a+1$ , $\mu=b+\frac{3}{2}$ , $\beta=a+b+1$ , $\gamma=a-1$ , $\delta=b-\frac{1}{2}$ , $\varepsilon=a+b$ , 利用 (3.20)式, 我们能得到简化公式(3.16).

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a-\frac{1}{2}$ , $\mu=b-\frac{1}{2}$ , $\beta=a+b+\frac{1}{2}$ , $\gamma=a+\frac{1}{2}$ , $\delta=b+\frac{3}{2}$ , $\varepsilon=a+b+\frac{1}{2}$ , 利用(3.21)式, 我们能得到简化公式(3.17).

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a-\frac{1}{2}$ , $\mu=b$ , $\beta=a+b+1$ , $\gamma=a+\frac{1}{2}$ , $\delta=b+1$ , $\varepsilon=a+b$ , 利用 (3.22)式, 我们能得到简化公式(3.18).

定理3.3

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : & a, b + \frac{1}{2}; a, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b - 1 \end{array}| x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b, a + b - \frac{1}{2}, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + 1, 2 a + 2 b - 1, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) \end{array}| x],$

(3.23)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : & a, b - 1; a, b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b - \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a, 2 b, a + b - 1, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + \frac{1}{2}, 2 a + 2 b - 1, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) \end{array}| x],$

(3.24)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b + 1; a - \frac{1}{2}, b - 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b - 1 \end{array}| x, x]$

(3.25)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2}; a - \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b - \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

(3.26)

证相似地, 设 $2d=1-2a-2n$ , (3.4) 式变为

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} b + 1, b - \frac{1}{2}, 1 - 2 a - n, - n \\ \frac{3}{2} - a - n, 1 - a - n, 2 b \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(2 a)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{2 n}}{{(a - \frac{1}{2})}_{n} {(2 a)}_{2 n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n}} \frac{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n) + n}{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n)} .$

在变换公式 (3.6) 中令

$u=1-a-n, v=\frac{3}{2}-a-n, w=2b, x=1-2a-n,$

$y=b+1, z=b-\frac{1}{2}$ 或者 $y=b-\frac{1}{2}, z=b+1$ , 我们有

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, b - \frac{1}{2}, - a - b - n, - n \\ a + b - 1, 1 - a - n, \frac{1}{2} - b - n \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n}}{{(a)}_{n} {(b + \frac{1}{2})}_{n} {(a + b - 1)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n}} \frac{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n) + n}{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n)},$

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, b + 1, \frac{3}{2} - a - b - n, - n \\ a + b + \frac{1}{2}, 1 - a - n, 2 - b - n \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n}}{{(a)}_{n} {(b - 1)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n} {(a + b + \frac{1}{2})}_{n}} \frac{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n) + n}{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n)}$

计算分式

$\frac{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n) + n}{b (2 - 2 a - 2 b - 2 n)} = \frac{2 b (a + b - 1) + (2 b - 1) n}{2 b (a + b - 1 + n)} = \frac{\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + n}{\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1 + n)}$

$= \frac{{(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + 1)}_{n} {(a + b - 1)}_{n}}{{(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1))}_{n} {(a + b)}_{n}} .$

则上面两个公式可以表示为

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, b - \frac{1}{2}, - a - b - n, - n \\ a + b - 1, 1 - a - n, \frac{1}{2} - b - n \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + 1)}_{n}}{{(a)}_{n} {(b + \frac{1}{2})}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1))}_{n}},$

(3.27)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, b + 1, \frac{3}{2} - a - b - n, - n \\ a + b + \frac{1}{2}, 1 - a - n, 2 - b - n \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n} {(a + b - 1)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + 1)}_{n}}{{(a)}_{n} {(b - 1)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n} {(a + b + \frac{1}{2})}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1))}_{n}} .$

(3.28)

再次应用变换公式 (3.6) 到这两个公式, 我们又得到另外两个 $_4F_3[1]$ 求和公式

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a - \frac{1}{2}, b - 1, - a - b - n, - n \\ a + b - 1, \frac{1}{2} - a - n, - b - n \end{array}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + 1)}_{n}}{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(b + 1)}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1))}_{n}},$

(3.29)

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a - \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2}, \frac{3}{2} - a - b - n, - n \\ a + b + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - a - n, \frac{3}{2} - b - n \end{array}| 1]$

$= \frac{{(2 a)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n} {(a + b - 1)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1) + 1)}_{n}}{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(b - \frac{1}{2})}_{n} {(a + b + \frac{1}{2})}_{n} {(2 a + 2 b - 1)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - 1))}_{n}} .$

(3.30)

在 (3.1) 式中, 令 $\lambda=a$ , $\mu=b+\frac{1}{2}$ , $\beta=a+b+1$ , $\gamma=a$ , $\delta=b-\frac{1}{2}$ , $\varepsilon=a+b-1$ , 利用 (3.27) 式, 我们能得到简化公式 (3.23).

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a$ , $\mu=b-1$ , $\beta=a+b-\frac{1}{2}$ , $\gamma=a$ , $\delta=b+1$ , $\varepsilon=a+b+\frac{1}{2}$ , 利用 (3.28) 式, 我们能得到简化公式(3.24).

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a+\frac{1}{2}$ , $\mu=b+1$ , $\beta=a+b+1$ , $\gamma=a-\frac{1}{2}$ , $\delta=b-1$ , $\varepsilon=a+b-1$ , 利用 (3.29) 式, 我们能得到简化公式 (3.25).

在 (3.1) 式中令 $\lambda=a+\frac{1}{2}$ , $\mu=b-\frac{1}{2}$ , $\beta=a+b-\frac{1}{2}$ , $\gamma=a-\frac{1}{2}$ , $\delta=b+\frac{1}{2}$ , $\varepsilon=a+b+\frac{1}{2}$ , 利用(3.30)式, 我们能得到简化公式 (3.26).

定理3.4

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b - \frac{1}{2}; a, b + \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : \end{matrix} \begin{matrix} x, x \\ a + b; a + b + 1 \end{matrix}| x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a + 1, 2 b, a + b - \frac{1}{2}, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + 1, 2 a + 2 b, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) \end{matrix} ∣ x],$

(3.31)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b + 1; & a, b - 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : & a + b + \frac{3}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= _{p + 4} F_{q + 3} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p}, 2 a + 1, 2 b, a + b, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q}, a + b + \frac{3}{2}, 2 a + 2 b, \frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) \end{matrix} ∣ x],$

(3.32)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b - 1; a + \frac{1}{2}, b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b; a + b + 1 \end{matrix} ∣ x, x]$

(3.33)

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2}; a + \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{3}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

(3.34)

证采用上述三个定理同样的证明方法, 利用 (3.5) 式, 我们能够推导出四个求和公式

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a, b + \frac{1}{2}, 1 - a - b - n, - n \\ a + b + 1, - a - n, \frac{3}{2} - b - n \end{array}| 1]$

$= \frac{{(2 a + 1)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n} {(a + b)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) + 1)}_{n}}{{(a + 1)}_{n} {(b - \frac{1}{2})}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(a + b + 1)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}))}_{n}},$

(3.35)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a, b - 1, - \frac{1}{2} - a - b - n, - n \\ a + b - \frac{1}{2}, - a - n, - b - n \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(2 a + 1)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) + 1)}_{n}}{{(a + 1)}_{n} {(b + 1)}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}))}_{n}},$

(3.36)

$_{4} F_{3} [\begin{array}{l} a + \frac{1}{2}, b + 1, 1 - a - b - n, - n \\ a + b + 1, \frac{1}{2} - a - n, 2 - b - n \end{array}| 1]$

$= \frac{{(2 a + 1)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b - \frac{1}{2})}_{n} {(a + b)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) + 1)}_{n}}{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(b - 1)}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(a + b + 1)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}))}_{n}},$

(3.37)

$_{4} F_{3} [\begin{matrix} a + \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} - a - b - n, - n \\ a + b - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - a - n, \frac{1}{2} - b - n \end{matrix}| 1]$

$= \frac{{(2 a + 1)}_{n} {(2 b)}_{n} {(a + b)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) + 1)}_{n}}{{(a + \frac{1}{2})}_{n} {(b + \frac{1}{2})}_{n} {(2 a + 2 b)}_{n} {(\frac{2 b}{2 b - 1} (a + b - \frac{1}{2}) + 1)}_{n}},$

(3.38)

在 (3.1) 式中插入上述四个求和公式, 我们就可得到本定理中的简化公式.

当然, 更多的相似的求和公式也会被推导出来, 这里我们把它们留给感兴趣的读者.

令我们吃惊的是, 这些简化公式中有几个是相等的, 例如,(3.7) 和 (3.9) 式的右边式子是相等的, 因此它们的左边也是相等的, 那么下面的变换公式成立

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a, b - \frac{1}{2}; a, b + \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b; a + b \end{array} ∣ x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b; a - \frac{1}{2}, b \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b; a + b \end{array}| x, x] .$

相似地, 我们发现公式 ((3.8) 和 (3.10) 也有相同的特征, 因此我们又得到一个 Kampé de Fériet 级数 $F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 的变换公式

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : & a, b; a, b \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{1}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2}; a - \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{1}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x] .$

由 (3.15) 和 (3.17) 式, 有下列变换

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b + 1; & a - 1, b \\ b_{1}, \dots, b_{q} : & a + b + \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a - \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2}; a + \frac{1}{2}, b + \frac{3}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x] .$

由 (3.16) 和 (3.18) 式, 有

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b + \frac{3}{2}; a - 1, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b \end{matrix}| x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a - \frac{1}{2}, b; a + \frac{1}{2}, b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b \end{array}| x, x] .$

由 (3.23) 和 (3.25) 式, 有

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : & a, b + \frac{1}{2}; a, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b - 1 \end{array}| x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b + 1; a - \frac{1}{2}, b - 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + 1; a + b - 1 \end{array}| x, x] .$

由 (3.24) 和 (3.26) 式, 有

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a, b - 1; a, b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b - \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2}; a - \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b - \frac{1}{2}; a + b + \frac{1}{2} \end{array}| x, x] .$

由 (3.31) 和 (3.33) 式, 有

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b - \frac{1}{2}; a, b + \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : \end{matrix} \begin{matrix} a, b + \frac{1}{2} \\ a + b; a + b + 1 \end{matrix}| x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{matrix} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b - 1; a + \frac{1}{2}, b + 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b; a + b + 1 \end{matrix}| x, x] .$

由 (3.32) 和 (3.34) 式, 有

$F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + 1, b + 1; & a, b - 1 \\ b_{1}, \dots, b_{q} : & a + b + \frac{3}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x]$

$= F_{q : 1; 1}^{p : 2; 2} [\begin{array}{l} a_{1}, \dots, a_{p} : a + \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2}; a + \frac{1}{2}, b - \frac{1}{2} \\ b_{1}, \dots, b_{q} : a + b + \frac{3}{2}; a + b - \frac{1}{2} \end{array}| x, x] .$

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Appell

, Kampé de Fériet

. Fonctions Hypergéométriques et Hypersphériques Polynomes D'Hermite. Paris: Gauthier-Villars, 1926

[2]

Bailey

W N

. Generalized Hypergeometric Series, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 32. London: Cambridge University Press, 1935

[本文引用: 9]

[3]

Bezrodnykh

S I

Analytic continuation of Lauricella's function $F_D^{(N)}$ for large in modulo variables near hyperplanes $\{z_j=z_l\}$

Integral Transforms Spec Funct, 2022, 33(4): 276-291

[本文引用: 1]

[4]

Bezrodnykh

S I

Analytic continuation of Lauricella's function $F_D^{(N)}$ for variables close to unit near hyperplanes $\{z_j=z_l\}$

Integral Transforms Spec Funct, 2022, 33(5): 419-433

[本文引用: 1]

[5]

Bezrodnykh

S I

Analytic continuation of the Kampé de Fériet function and the general double Horn series

Integral Transforms Spec Funct, 2022, 33(11): 908-928

[本文引用: 1]

[6]

Buschman

R G

, Srivastava

H M

Series identities and reducibility of Kampé de Fériet functions

Math Proc Cambridge Philos Soc, 1982, 91(3): 435-440

[本文引用: 2]

[7]

Bytev

V V

, Kniehl

B A

Derivatives of any Horn-type hypergeometric functions with respect to their parameters

Nuclear Phys B, 2020, 952: 114911

[本文引用: 1]

[8]

Carlitz

Summation of a special $_4F_3$

Boll Unione Mat Ital, 1963, 18: 90-93

[本文引用: 1]

[9]

Chan

W C C

, Chen

K Y

, Chyan

C J

, Srivastava

H M

Some multiple hypergeometric transformations and associated reduction formulas

J Math Anal Appl, 2004, 294(2): 418-437

[本文引用: 1]

[10]

Chen

K Y

, Srivastava

H M

Series identities and associated families of generating functions

J Math Anal Appl, 2005, 311(2): 582-599

[本文引用: 1]

[11]

Chu

W C

, Li

N N

Reduction and summation formulae for semi-terminating $q$ -Kampé de Fériet series

Afrika Matematika, 2013, 24(4): 647-664

[本文引用: 1]

[12]

Chu

W C

, Srivastava

H M

Ordinary and basic bivariate hypergeometric transformations associated with the Appell and Kampé de Fériet functions

J Comput Appl Math, 2003, 156(2): 355-370

[本文引用: 1]

[13]

Chu

W C

, Zhang

W L

Well-posed reduction formulas for the $q$ -Kampé de Fériet function

Ukrainian Math J, 2011, 62(11): 1783-1802

[本文引用: 1]

[14]

Cvijović

, Miller

A R

A reduction formula for the Kampé de Fériet function

Appl Math Lett, 2010, 23(7): 769-771

[本文引用: 1]

[15]

Gasper

Positive integrals of Bessel functions

SIAM J Math Anal, 1975, 6(5): 868-881

[本文引用: 1]

[16]

Jia

C Z

, Wang

T M

Reduction and transformation formulae for bivariate basic hypergeometric series

J Math Anal Appl, 2007, 328(2): 1152-1160

[本文引用: 1]

[17]

Jia

C Z

, Wang

T M

Transformation and reduction formulae for double $q$ -Clausen series of type $\Phi_{1:1;\mu}^{1:2;\lambda}$

J Math Anal Appl, 2007, 328(1): 609-624

[本文引用: 1]

[18]

Kampé de Fériet

Les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur à deux variables

CR Acad Sci Paris, 1921, 173: 401-404

[19]

Karlsson

P W

Some reducible generalized Kampé de Fériet functions

J Math Anal Appl, 1983, 96(2): 546-550

[本文引用: 2]

[20]

Karlsson

P W

Some reduction formulae for double power series and Kampé de Fériet functions

Indag Math, 1984, 87(1): 31-36

[本文引用: 6]

[21]

N N

, Chu

Terminating balanced $_4F_3$ -series and very well-poised $_7F_6$ -series

Ramanujan J, 2019, 49: 465-482

[本文引用: 2]

[22]

Liu

H M

Hypergeometric series summations and $\pi$ -formulas

J Math Anal Appl, 2014, 419(1): 553-561

[本文引用: 1]

[23]

Liu

H M

, Wang

W P

Transformation and summation formulae for Kampé de Fériet series

J Math Anal Appl, 2014, 409(1): 100-110

[本文引用: 1]

[24]

刘红梅, 周文书, 李阳.

双变量超几何级数的变换与简化公式

数学物理学报, 2016, 36A(1): 150-156

[本文引用: 1]

Liu

H M

, Zhou

W S

, Li

Transformation and reduction formulae for bivariate hypergeometric series

Acta Math Sci, 2016, 36A(1): 150-156

[本文引用: 1]

[25]

Luo

M J

, Raina

R K

On certain results related to the hypergeometric function $F_K$

J Math Anal Appl, 2021, 504(2): 125439

[本文引用: 1]

[26]

Mouayn

, Chhaiba

, Kassogue

, Kikodio

P K

Husimi Q-functions attached to hyperbolic Landau levels

Rep Math Phys, 2022, 89(1): 27-57

[本文引用: 1]

[27]

Pitre

S N

, Van der Jeugt

Transformation and summation formulas for Kampé de Fériet series $F_{1:1}^{0:3}(1,1)$

J Math Anal Appl, 1996, 202(1): 121-132

[本文引用: 1]

[28]

Santander

J L G

A note on some reduction formulas for the generalized hypergeometric function $_2F_2$ and Kampé de Fériet function

Results Math, 2017, 71: 949-954

[本文引用: 1]

[29]

Slater

L J

. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge: Cambridge Univ Press, 1966

[本文引用: 13]

[30]

Rao

K S

, Van der Jeugt

Stretched 9- $j$ coefficients and summation theorems

J Phys A: Math Gen, 1994, 27(9): 3083-3090

[本文引用: 1]

[31]

Srivastava

H M

, Daoust

M C

A note on the convergence of Kampé de Fériet's double hypergeometric series

Math Nachr, 1972, 53(1/6): 151-159

[本文引用: 2]

[32]

Srivastava

H M

, Karlsson

P W

. Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Chichester: Ellis Horwood, 1985

[本文引用: 1]

[33]

Srivastava

H M

, Panda

An integral representation for the product of two Jacobi polynomials

J Lond Math Soc, 1976, 2(4): 419-425

[本文引用: 1]

[34]

Van der Jeugt

Transformation formula for a double Clausenian hypergeometric series, its $q$ -analogue, and its invariance group

J Comput Appl Math, 2002, 139(1): 65-73

[本文引用: 1]

[35]

Van

der Jeugt J

, Pitre

S N

, Rao

K S

Transformation and summation formulas for double hypergeometric series

J Comput Appl Math, 1997, 83(2): 185-193

[本文引用: 1]

[36]

Zhang

W L

New transformation and reduction formulae for double $q$ -Clausen series

J Math Anal Appl, 2013, 402(2): 710-718

[本文引用: 1]

1926

1935

... 超几何级数定义如下, 设变量

$z$

为复数,

$p$

和

$q$

为非负整数 ^[2] ...

... 其中, 当

$n=1,2,\cdots$

时, 升阶乘

$(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)$

, 而当

$n=0$

时,

$(x)_0=1$

$_pF_q$

的收敛条件和性质, 可参考文献 [2]. ...

... 在 (2.2) 式内部的和式中利用 Saalschütz 定理, 参考文献 [2,第 2.2 节,Eq.(1)]{bai} 和 [29,Eq.(2.3.1.3)] ...

... 证在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$x=1$

, 利用 Gauss 定理, 参考文献 [2,第 1.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.(1.7.6)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$\beta=1-\lambda+\mu$

且

$x=-1$

, 利用 Kummer 定理, 参考文献 [2,第 2.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.(1.7.1.6)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$\mu=1-\lambda$

且

$x=\frac{1}{2}$

, 利用第二 Gauss 定理, 参考文献 [2,第 2.4 节,Eq.(2)] 和 [29,(1.7.1.9)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$\beta=\frac{1+\lambda+\mu}{2}$

$x=\frac{1}{2}$

, 利用 Bailey 定理, 参考文献 [2,第 2.4 节,Eq.(3)]和 [29,Eq.(1.7.1.8)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(2\gamma)_n},\ \mu=1-\lambda,\ x=1,$

利用 Watson 定理, 参考文献[2,第 3.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.III.23] ...

... 虽然上面的公式都是 Saalschützian, 但是不能直接应用于 (3.1) 式的内和中. 因此, 我们需要先将这些公式变换为 (3.1) 式的形式, 这个过程需要利用著名的终止 Saalschützian 级数变换, 参见文献[2,第 7.2 节,Eq.(1)] ...

Analytic continuation of Lauricella's function

$F_D^{(N)}$ for large in modulo variables near hyperplanes

$\{z_j=z_l\}$

2022

... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6,9,10,14,19,20,23,24,28,30,31,34,35]. 最近, Bezrodnykh 等 ^[3⇓-5]研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性.

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Analytic continuation of Lauricella's function

$F_D^{(N)}$ for variables close to unit near hyperplanes

$\{z_j=z_l\}$

2022

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Analytic continuation of the Kampé de Fériet function and the general double Horn series

2022

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Series identities and reducibility of Kampé de Fériet functions

1982

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

... 这个变换公式如下, 可参考文献[6,19,20]: ...

Derivatives of any Horn-type hypergeometric functions with respect to their parameters

2020

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Summation of a special

$_4F_3$

1963

... 如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式

$_4F_3[1]$

上, 我们将得到关于 Kampé de Fériet 级数

$F_{q:1;1}^{p:2;2}$

的简化公式. 在文献 [20] 中, 两个

$_4F_3[1]$

求和公式被应用在上述公式的内和中, 推导出一些 Kampé de Fériet 级数的简化公式. 这两个

$_4F_3[1]$

求和公式满足 Saalschützian 条件, 也就是级数通项分母中的变量之和与分子中的变量之和的差为 1. 除了这两个求和公式外, Carlitz^[8]和 Gasper^[15] 给出相似的恒等式 ...

Some multiple hypergeometric transformations and associated reduction formulas

2004

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Series identities and associated families of generating functions

2005

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Reduction and summation formulae for semi-terminating

$q$ -Kampé de Fériet series

2013

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Ordinary and basic bivariate hypergeometric transformations associated with the Appell and Kampé de Fériet functions

2003

... 是 Slater^[29] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12,27]. 在这个变换公式中将

$c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n$

, 可得 ...

Well-posed reduction formulas for the

$q$ -Kampé de Fériet function

2011

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

A reduction formula for the Kampé de Fériet function

2010

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Positive integrals of Bessel functions

1975

... 如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式

$_4F_3[1]$

上, 我们将得到关于 Kampé de Fériet 级数

$F_{q:1;1}^{p:2;2}$

的简化公式. 在文献 [20] 中, 两个

$_4F_3[1]$

求和公式被应用在上述公式的内和中, 推导出一些 Kampé de Fériet 级数的简化公式. 这两个

$_4F_3[1]$

Reduction and transformation formulae for bivariate basic hypergeometric series

2007

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Transformation and reduction formulae for double

$q$ -Clausen series of type

$\Phi_{1:1;\mu}^{1:2;\lambda}$

2007

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur à deux variables

1921

Some reducible generalized Kampé de Fériet functions

1983

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

... 这个变换公式如下, 可参考文献[6,19,20]: ...

Some reduction formulae for double power series and Kampé de Fériet functions

1984

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

... 这个变换公式如下, 可参考文献[6,19,20]: ...

... 如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式

$_4F_3[1]$

上, 我们将得到关于 Kampé de Fériet 级数

$F_{q:1;1}^{p:2;2}$

的简化公式. 在文献 [20] 中, 两个

$_4F_3[1]$

求和公式被应用在上述公式的内和中, 推导出一些 Kampé de Fériet 级数的简化公式. 这两个

$_4F_3[1]$

... (3.12) 式恰好是文献 [20] 中的 (Eq.Ia). ...

... 这个公式恰好是文献[20,Eq.Ib]. ...

... (3.7) 和 ((3.8) 式在文献 [20] 中也有提到. ...

Terminating balanced

$_4F_3$ -series and very well-poised

$_7F_6$ -series

2019

... 最近, 李等^[21]利用线性化方法将这一公式进行了推广. 本节中, 我们从中选择了三个公式来帮助我们寻找 Kampé de Fériet 级数简化公式. 它们是文献[21]中的 (Ex.3), (Ex.6) 和 (Ex.15) ...

... 利用线性化方法将这一公式进行了推广. 本节中, 我们从中选择了三个公式来帮助我们寻找 Kampé de Fériet 级数简化公式. 它们是文献[21]中的 (Ex.3), (Ex.6) 和 (Ex.15) ...

Hypergeometric series summations and

$\pi$ -formulas

2014

... 且

$x=-1$

, 利用文献[22,[Eq.(3.2)] ...

Transformation and summation formulae for Kampé de Fériet series

2014

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

双变量超几何级数的变换与简化公式

2016

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

双变量超几何级数的变换与简化公式

2016

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

On certain results related to the hypergeometric function

$F_K$

2021

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Husimi Q-functions attached to hyperbolic Landau levels

2022

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Transformation and summation formulas for Kampé de Fériet series

$F_{1:1}^{0:3}(1,1)$

1996

... 是 Slater^[29] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12,27]. 在这个变换公式中将

$c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n$

, 可得 ...

A note on some reduction formulas for the generalized hypergeometric function

$_2F_2$ and Kampé de Fériet function

2017

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

1966

... 在 (2.2) 式内部的和式中利用 Saalschütz 定理, 参考文献 [2,第 2.2 节,Eq.(1)]{bai} 和 [29,Eq.(2.3.1.3)] ...

... 证在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$x=1$

, 利用 Gauss 定理, 参考文献 [2,第 1.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.(1.7.6)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$\beta=1-\lambda+\mu$

且

$x=-1$

, 利用 Kummer 定理, 参考文献 [2,第 2.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.(1.7.1.6)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$\mu=1-\lambda$

且

$x=\frac{1}{2}$

, 利用第二 Gauss 定理, 参考文献 [2,第 2.4 节,Eq.(2)] 和 [29,(1.7.1.9)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=1$

$\beta=\frac{1+\lambda+\mu}{2}$

$x=\frac{1}{2}$

, 利用 Bailey 定理, 参考文献 [2,第 2.4 节,Eq.(3)]和 [29,Eq.(1.7.1.8)] ...

... 在 (2.1) 式中令

$f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(2\gamma)_n},\ \mu=1-\lambda,\ x=1,$

利用 Watson 定理, 参考文献[2,第 3.3 节,Eq.(1)] 和 [29,Eq.III.23] ...

... 是 Slater^[29] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12,27]. 在这个变换公式中将

$c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n$

, 可得 ...

... 接下来利用 [29,Eq.III.16] ...

... 证在 (2.8) 式中令

$f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n}$

$x=-1$

, 利用文献[29,Eq.III.21] ...

... 在 (2.8) 式中令

$f(n)=\frac{(\gamma)_n(\delta)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n(1+\alpha+2\beta-\delta)_n}$

且

$x=1$

, 利用文献 [29,Eq.III.22] ...

... 利用文献 [29,Eq.III.10] ...

... 并且

$x=1$

, 利用文献 [29,Eq.III.12] ...

... 这个公式等价于文献[29,Eq. III.27], 我们建立求和公式(2.13). ...

Stretched 9-

$j$ coefficients and summation theorems

1994

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

A note on the convergence of Kampé de Fériet's double hypergeometric series

1972

... 这里

$(a_1, a_2, \cdots, a_r)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_r)_n.$

关于这个函数收敛性的更多细节, 可参考文献 [31,33]. ...

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

1985

... 超几何级数的推广形式 Kampé de Fériet 级数的定义如下, 参见文献 [32] ...

An integral representation for the product of two Jacobi polynomials

1976

... 这里

$(a_1, a_2, \cdots, a_r)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_r)_n.$

关于这个函数收敛性的更多细节, 可参考文献 [31,33]. ...

Transformation formula for a double Clausenian hypergeometric series, its

$q$ -analogue, and its invariance group

2002

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

Transformation and summation formulas for double hypergeometric series

1997

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

New transformation and reduction formulae for double

$q$ -Clausen series

2013

$q$

-Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11,13,16,17,36]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7,25,26]. ...

1 引言

$F_{q:1;0}^{p:2;1}$ 级数的简化和求和公式

$F_{q:1;1}^{p:2;2}$ 级数的简化公式

参考文献

〈

〉