该文考虑一类具有混合初值条件的时滞微分包含问题

$ C^0 $-解在伪概自守函数空间的存在唯一性及一致渐近稳定性. 其中, $ \tau $ 为一非负常数, 对任意 Banach 空间 $ X $, 其范数记为 $ \|\cdot\|_X $. 集值算子 $ A: D(A)\subset X\rightarrow P(X)=\{Y:Y\subseteq X\} $ 通过 Crandall-Liggett 指数公式在其定义域 $ D(A)=\{x\in X:Ax\neq\emptyset\} $ 上生成一个收缩半群 $ \{S(t):t\geq0\} $,连续函数 $ f $ 对 $ u $ 满足利普希茨条件, 非局部条件 $ p $ 为非扩张的, 局部条件 $ \zeta $ 为连续的, 且 $ u_{t}:[-\tau,0]\rightarrow X $ 对任意 $ s\in[-\tau,0] $ 定义为 $ u_{t}(s)=u(s+t) $.

关于微分包含解的存在性的研究已经取得了不少的成果. 文献 [1] 整理并总结了二十世纪八十年代前的关于微分包含理论的研究成果, 随后 Tolstonogo^[2]概括了二十世纪有关微分包含理论的研究成果. Wang^[3]等也对 Banach 空间中一类微分包含解的稳定性进行了研究. 这些研究成果大多与 Cauchy 问题或周期问题有关^{[4⇓⇓⇓-8]}.

在生物种群、无线电波等实际工程问题中, 概周期函数比周期函数更能真实地刻画这些现象, 更能深刻地描述系统的规律性变化. 该文研究的伪概自守函数是在概周期函数基础上发展起来的更广泛的函数类, 因而伪概自守函数得到了更多学者的关注^[9-10].

2013 年, Vrabie^[11]研究了具有非局部条件的时滞微分包含

的概周期 $ C^0 $-解的存在唯一性. 这一结论是基于 Barbu^[12] 给出的一个关于具有局部条件的微分包含 $ C^0 $-解的存在性结果, 在一个一般的 Banach 空间中讨论得到的. Vrabie 先通过 Banach 不动点定理, 得到了微分包含 (1.2) $ C^0 $-解的存在唯一性, 然后再考虑了其唯一 $ C^0 $-解的概周期性.2021 年, Meknani 等^[13]研究了具有非局部条件的微分包含

的伪概周期 $ C^0 $-解的存在唯一性. 其结论是基于 Burlicǎ 等^[14]给出的关于具有非局部条件的时滞微分包含 $ C^0 $- 解的存在性结果, 在一个一般的 Banach 空间中根据伪概周期函数的定义讨论得出的.2023 年, Ye 等^[15]根据 Vrabie^[11] 的研究在 Banach 空间中讨论了具有混合初始条件的微分包含(1.1) 式的伪概周期 $ C^0 $-解的存在唯一性.

上述研究都是在一般的 Banach 空间中应用已有的存在性结果, 即微分包含问题 $ C^0 $-解在一般的 Banach 空间中的存在唯一性, 讨论其在概周期性或伪概周期性环境下, 概周期或伪概周期解的存在性. 该文则跳出先前的研究框架, 运用 $ \varepsilon $-离散化技术, 在伪概自守函数空间中构造微分包含

的 $ \varepsilon $-逼近解, 直接建立伪概自守 $ C^0 $-解的存在唯一性. 并在此基础上研究具有混合条件的时滞微分包含 (1.1) 式的伪概自守 $ C^0 $- 解的存在唯一性.

对于任意区间 $ I $, 记 $ C(I;X):=\{f:I\rightarrow X:f \mbox{是连续函数}\} $, 对任意 $ f\in C(I;X) $ 其范数为 $ \parallel f\parallel_{C(I;X)}=\sup\limits_{t\in I}\|f(t)\|_X $, 空间 $ C(I;\overline{D(A)}):=\{f:I\rightarrow\overline{D(A)}:f \mbox{是连续函数}\}\subset C(I;X) $ 为闭的. $ BC(I;X):=\{f:I\rightarrow X:f \mbox{是有界连续函数}\} $, 对任意 $ f\in BC(I;X) $ 其范数为 $ \parallel f\parallel_{BC(I;X)}=\sup\limits_{t\in I}\|f(t)\|_X $, 空间 $BC(I;\overline{D(A)}):=\{f:I\rightarrow\overline{D(A)}:f \mbox{是有界连续函数}\}\subset BC(I;X) $ 为闭的.

假设 $ a\in\mathbb{R} $, 记 $ C_{0}([a,+\infty);X):=\{f\in BC[a,+\infty),X):\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{1}{r}\int_{a}^{r+a}\|f(t)\|_{X}{d}t=0\} $, 及 $ C_{0}([a,+\infty)\times X,X):=\{f\in BC([a,+\infty)\times X,X): \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{1}{r}\int_{a}^{r+a}\|f(t,u)\|_{X} {d}t=0,\forall u\in X\} $.

定义 2.1^[16] 若函数 $ u\in C([a,+\infty);X) $, 任意实数列 $ (r_n') $ 对任意 $ t\geq a $ 都存在子列 $ (r_n) $ 使得$\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u(t+r_n-r_m)=u(t)$ 成立, 即$v(t):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u(t+r_n)$ 对任意 $ t\geq a $ 是良定的 {(well-defined)}, 且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}v(t-r_n)=u(t)$ 对任意 $ t\geq a $ 成立, 则函数 $ u $ 为概自守的. 将所有从 $ [a,+\infty) $ 到 $ X $ 的概自守函数构成的空间记为 $ AA([a,+\infty);X) $.

定义 2.2^[16] 若函数 $ f\in C([a,+\infty)\times X;X) $ 对 $ x\in K $ 一致关于 $ t\in[a,+\infty) $ 是概自守的, 其中 $ K $ 为 $ X $ 的任意有界子集, 即任意实数列 $ (r_n') $ 都存在子列 $ (r_n) $ 使得$\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(t+r_n-r_m,x)=f(t,x)$ 对 $ t\geq a $, $ x\in K $ 成立, 即$g(t,x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(t+r_n,x)$ 对任意 $ t\geq a $, $ x\in K $ 是良定的, 且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}g(t-r_n,x)=f(t,x)$ 对任意 $ t\geq a $, $ x\in K $ 成立. 将所有从 $ [a,+\infty)\times X $ 到 $ X $ 的概自守函数构成的空间记为 $ AA([a,+\infty)\times X;X) $.

注 2.1^[17] 若存在常数 $ l>0 $ 使得对任意 $ x,y\in X,t\in[a,+\infty) $ 有 $ \|f(t,x)-f(t,y)\|_X\leq l\|x-y\|_X, $则对 $ u\in PAP([a,+\infty);X) $ 有 $ f(\cdot,u(\cdot))\in PAP([a,+\infty);X). $

定义 2.3^[18] 若函数 $ u\in BC([a,+\infty);X) $ 可分解为 $ u=v+w $, 其中 $ v\in AA([a,+\infty);X) $, $ w\in C_0([a,+\infty);X) $, 则 $ u $ 称为伪概自守函数. 将所有从 $ [a,+\infty) $ 到 $ X $ 的伪概自守函数构成的空间记为 $ PAA([a,+\infty);X) $.

定义 2.4^[18] 若函数 $ f\in BC([a,+\infty)\times X;X) $ 可分解为 $ f=g+h $, 其中 $ g\in AA([a,+\infty)\times X;X) $, $ h\in C_0([a,+\infty)\times X;X) $ 为遍历项, 则 $ f $ 为伪概自守函数. 将所有从 $ [a,+\infty)\times X $ 到 $ X $ 的伪概自守函数构成的空间记为 $ PAA([a,+\infty)\times X;X) $.

引理 2.1^[19] 若 $ f\in PAA([a,+\infty)\times X;X) $, 且 $ f=h+g $, $ g\in AA([a,+\infty)\times X;X) $, $ h\in C_0([a,+\infty)\times X;X) $. 假设 $ g $ 在 $ X $ 每一个有界子集上关于 $ t\in[a,+\infty) $ 一致连续, 且存在非负函数 $ l\in L^p(\mathbb{R}),1\leq p<+\infty $ 使得对任意 $ x,y\in X,t\in[a,+\infty) $ 有$\|f(t,x)-f(t,y)\|_X\leq l(t)\|x-y\|_X,$ 则对 $ u\in PAA([a,+\infty);X) $ 有$f(\cdot,u(\cdot))\in PAA([a,+\infty);X).$

假设 $ x,y\in X $, 令 $ [x,y]_{+}:=\lim\limits_{t\downarrow0}[x,y]_{t}=\mbox{inf}\{[x,y]_{t}:t>0\},$其中 $ [x,y]_{t}:=\frac{1}{t}(\|x+ty\|_X-\|x\|_X).$ 关于 $ [\cdot,\cdot]_{+} $ 以及接下来要介绍的耗散算子和 $ C^0 $-解的相关概念和性质可参见文献 [12].

定义 2.5^[12] 若算子 $ A:D(A)\subset X\rightarrow P(X) $, 对任意 $ x_i\in D(A) $, $ y_i\in Ax_i $, $ i=1,2 $, 有 $ [x_1-x_2,y_1-y_2]_+\leq0 $成立, 则称该算子为耗散算子. 若 $ A $ 为耗散算子, 对任意 $ \lambda>0 $ 有 $ R(I-\lambda A)=X $ 成立, 则称 $ A $ 为 $ m $-耗散算子. 若 $ A $ 为耗散算子, 存在 $ \omega>0 $ 使得 $ A+\omega I $ 为耗散的, 则称 $ A $ 为 $ \omega $-耗散算子.

注 2.2^[12] 若算子 $ A $ 既是 $ m $-耗散算子又是 $ \omega $-耗散算子, 则称 $ A $ 为 $ \omega $-$ m $-耗散算子.

对 $ T\geq0 $ 考虑 Cauchy 问题

其中 $ A: D(A)\subset X\rightarrow P(X) $ 为 $ \omega $-耗散算子, $ u_0\in X $, $ f\in L^1(0,T;X) $.

定义 2.6^[12] 若函数 $ f\in L^1(0,T;X) $, $ \varepsilon>0 $, 方程 $ u'(t)\in Au(t)+f(t) $ 在 $ [T] $ 上的一个$ \varepsilon $-离散化由区间 $ [t_N] $ 上的一个划分 $ 0=t_0\leq t_1\leq t_2\leq\cdots\leq t_N $ 和一个有限数列 $ \{f_i\}_{i=1}^N\subset X $ 组成, 且

将这样的 $ \varepsilon $-离散化记为 $ D_A^{\varepsilon}(0=t_0,t_1,t_2,\cdots,t_N;f_1,\cdots,f_N) $.

微分包含 (2.1)式的一个 $D_A^{\varepsilon}(0=t_0,t_1,t_2,\cdots,t_N;f_1,\cdots,f_N)$ 的解为分段常数函数 $ v:[t_N]\rightarrow X $. 在 $ (t_{i-1},t_i] $ 中, $ v_i $ 的值满足微分包含

且

这样的函数 $ v=\{v_i\}_{i=1}^N $ 称为 (2.1) 式的一个 $ \varepsilon $- 逼近解.

令 $ v $ 为 $ \varepsilon $-离散化 $ D_A^{\varepsilon}(0=t_0,t_1,t_2,\cdots,t_N;f_1,\cdots,f_N) $ 的解, $ w $ 为 $ \varepsilon $-离散化 $ D_A^{\varepsilon}(0=s_0,s_1,s_2, \cdots,s_M;g_1,\cdots,g_M) $ 的解, 节点值分别为 $ v_i $ 和 $ w_j $. 记 $ a_{i,j}=\|v_i-w_j\|_X $, $ \delta_i=t_i-t_{i-1} $, $ \gamma_j=s_j-s_{j-1} $. 接下来给出两个相关的引理.

引理 2.2^[12] 若 $ A $ 为 $ \omega $-耗散算子, 则对任意整数 $ i\in[N] $, $ j\in[M] $ 有

特别地, 任意 $ x\in D(A) $, $ y\in Ax $, 满足

及

其中

为保证文章的完整性, 接下来需考虑一个一阶双曲方程

边界条件为

其中 $ b\in C[-T,T] $, $ \varphi(t,s)=\|f(t)-g(s)\|_X $.

定义网格: $D=\{(t_i,s_j):0\leq t_0\leq t_2\leq\cdots\leq t_N\leq T,0\leq s_0\leq s_2\leq\cdots\leq s_M\leq T,$且 $T-\varepsilon<t_N,s_M\leq T\},$ 及微分方程 (2.10) 的逼近为

其中 $ \delta_i=t_i-t_{i-1} $, $ \gamma_j=s_j-s_{j-1} $, $ \varphi_{i,j}=\|f_i-g_j\|_X $ 为 $ \varphi $ 的分段常数函数逼近. 整理后得

其中 $ i=1,\cdots,N, j=1,\cdots,M. $对 (2.10), (2.11) 式用特征法求得解

令 $ \Omega=(0,T)\times(0,T) $, 且对任一可测函数 $ \varphi:\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{R} $ 令

令 $ \Omega(\Delta)=[t_N]\times[s_M] $, $ B:[-s_M,t_N]\rightarrow\mathbb{R} $, $ \phi:\Omega(\Delta)\rightarrow\mathbb{R} $ 为分段常数函数, 即存在 $ b_{i,j} $, $ \phi_{i,j}\in\mathbb{R} $ 使得 $ b(0)=B(0) $ 且

$B(r+s)=b_{i,j},\ \ t_{i-1}<r\leq t_i,-s_j\leq s<-s_{j-1},$$\phi(t,s)=\phi_{i,j},\ \ (t,s)\in(t_{i-1},t_i]\times(s_{j-1},s_j].$

由 (2.14) 式通过 Banach 不动点定理知: 若 $ \Delta $ 的网格 $ m(\Delta)=\max\{(\delta_i,\gamma_j):i,j\} $ 足够小, 则 (2.13) 式在边界条件

下有唯一解 $ \{\psi_{i,j}\} $, $ i=1,\cdots,N $, $ j=1,\cdots,M $.

记 $ \Psi=H_{\Delta}(B,\phi) $ 为 $ \Omega $ 上的分段常数函数, 其中在 $ (t_{i-1},t_i]\times(s_{j-1},s_j] $ 上时, $ \Psi=\psi_{i,j} $ 为 (2.13) 和 (2.16) 式的解.

下一引理给出了 $ m(\Delta)\rightarrow0 $ 时 (2.12) 和 (2.16) 式的解的收敛性.

引理 2.3^[12] 设 $ b\in C([-T,T];\mathbb{R}) $, $ \varphi\in L^1(\Omega;\mathbb{R}) $. 当

时, 有

成立.

定义 2.7^[12] 若连续函数 $ u:[T]\rightarrow X $, 对任意 $ \varepsilon>0 $, 在 $ [T] $ 上有方程 $ u'(t)\in Au(t)+f(t) $ 的一个$ \varepsilon $-逼近解 $ v $, 使得对所有 $ t\in[T] $ 有 $ \|u(t)-v(t)\|_X\leq\varepsilon $, 且 $ u(0)=u_0 $, 则称 $ u $ 为 {Cauchy} 问题 (2.1) 的温和解.

注 2.3^[20] 若对任意有限区间 $ [T] $, $ u $ 都为 (2.1) 式的温和解, 则 $ u $ 为

的温和解.

定义 2.8^[12] 若 $ u=u(t) $ 为 $ u'\in Au+f $ 在 $ (0,T) $ 上的温和解, 且对任意 $ x\in D(A) $, $ y\in Ax $, 及任意 $ 0\leq s\leq t\leq T $ 满足

则 $ u $ 称为 (2.18) 式的 $ C^0 $-解 {(或积分解)}.

注 2.4^[12] 若 $ A $ 为 $ \omega $-$ m $-耗散算子, 则 (2.18)式的温和解与 $ C^0 $-解一致.

为讨论微分包含 (1.1) 式在空间 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中 $ C^0 $-解的存在唯一性, 首先需要在空间 $ PAA([0,+\infty);X) $ 中对 Cauchy 问题(2.18) 的 $ C^0 $-解进行研究. 为此, 先给出几个关于 Cauchy 问题 (2.18)的几个假设.

$ ({\rm H}_A) $ 算子 $ A:D(A)\subset X\rightarrow P(X) $ 满足以下条件

$ (A_1) $$ A $ 为 $ \omega $-$ m $-耗散算子, 且 $ 0\in D(A) $, $ 0\in A(0) $; $ (A_2) $$ A $ 在 $ D(A) $ 上生成一个收缩半群.

$ ({\rm H}_{f}) $$ f:[0,+\infty)\rightarrow X $ 为连续函数, 且满足

$ (f_1) $ 对任意 $ t\in [0,+\infty) $, 存在 $ m>0 $ 使得 $ \|f(t)\|_X\leq m; $$ (f_2 ) $$ f\in PAA([0,+\infty);X) $, 且 $ f=f_1+f_2 $, 其中 $ f_1\in AA([0,+\infty);X), f_2\in C_0([0,+\infty);X).$

定理 3.1 若微分包含 (2.18) 式满足假设条件 $ ({\rm H}_A) $ 和 $ ({\rm H}_f) $, (2.18) 式在 $ PAA([0,+\infty);X) $ 存在唯一 $ C^0 $-解.

证 根据微分包含 (2.18) 式的 $ C^0 $-解和 (2.1) 式的 $ \varepsilon $-逼近解之间的联系, 研究微分包含 (2.18) 式的 $ C^0 $-解的存在性时可先对任意 $ T\in\mathbb{R}_+ $ 及 $ \varepsilon>0 $ 时 (2.1) 式的 $ \varepsilon $-逼近解的存在性进行论证.

记 $ D_A^{\varepsilon}(0=t_0,t_1,t_2,\cdots,t_N;f_1,\cdots,f_N) $ 为方程 $ u'(t)\in Au(t)+f(t) $ 在 $ [T] $ 上的一个 $ \varepsilon $-离散化, 其中 $ \{t_i\}_{i=0}^N $, $ t_0=0 $, $ T-\varepsilon<t_N\leq T $, 为 $ [t_N] $ 的一个分割, 且 $ t_i-t_{i-1}<\varepsilon $, $ T-\varepsilon<t_N\leq T $, $ f_i $ 为 $ f $ 在 $ [T] $ 上的节点逼近, 即

由于 $ A $ 是 $ \omega $-$ m $-耗散算子, 故有 $ R(I-A)=X $. 从而存在分段常数函数 $ v:[t_N]\rightarrow X $, 满足 (2.5) 式且在 $ (t_{i-1},t_i] $ 中, $ v_i $ 的值满足(2.4) 式, 即存在函数 $ v=\{v_i\}_{i=1}^N $ 为(2.1)式的 $ \varepsilon $-逼近解.令 $ v $ 为 $ \varepsilon $-离散化 $ D_A^{\varepsilon}(0=t_0,t_1,t_2,\cdots,t_N;f_1,\cdots,f_N) $ 的解, 节点值为 $ v_i $, $ w $ 为 $ \varepsilon $-离散化 $ D_A^{\varepsilon}(0=s_0,s_1,s_2,\cdots,s_M;g_1,\cdots,g_M) $ 的解, 节点值为 $ w_j $.

接下来需证明存在 $ u\in PAA([0,+\infty);X) $, 使得 $ t\in[T] $ 时满足 $ \|u(t)-v(t)\|_X\leq\varepsilon $, 且$ u(0)=u_0 $. 记 $ a_{i,j}=\|v_i-w_j\|_X $, $ \delta_i=t_i-t_{i-1} $, $ \gamma_j=s_j-s_{j-1} $, $ \varphi(t,s)=\|f(t)-g(s)\|_X $, $ \phi=\{\phi_{i,j}\} $, $ \phi_{i,j}=\|f_i-g_j\|_X $, $ i=1,\cdots,N $, $ j=1,\cdots,M $, 其中 $ f_i $, $ g_j $ 分别为 $ f $, $ g $ 的节点值.

$b_{i,0} $, $ b_{0,j} $ 分别为 (2.7) 和 (2.8) 式的右侧, 即

其中 $ x\in D(A) $, $ y\in Ax $, $ \alpha_{i,k}=\prod\limits_{m=k}^i(1+\delta_m\omega)^{-1} $, $ \beta_{j,k}=\prod\limits_{m=k}^j(1+\gamma_m\omega)^{-1} $.

可见, 当 $ \varepsilon\rightarrow0 $ 时, 有

这是因为, $ \varepsilon\rightarrow0 $ 时,

其中 $ i=1,\cdots,N $.进而可得到

其中 $ i=1,\cdots,N $.

从而 $ t_{i-1}<t\leq t_i $, $ i=1,\cdots,N $, $ \varepsilon\rightarrow0 $ 时有

又由于

同理, $ \varepsilon\rightarrow0 $ 时

其中 $ j=1,\cdots,M $.

其中 $ j=1,\cdots,M $. 从而 $-s_j\leq s<-s_{j-1} $$ j=1,\cdots,M $, $ \varepsilon\rightarrow0 $ 时有$B(s)\rightarrow {\rm e}^{\omega s}\|w_0-x\|_X+\|v_0-x\|_X+\int_0^{(-s)}{\rm e}^{\omega(s+\tau)}(\|g(\tau)\|_X+\|y\|_X) {d}\tau=\psi(0,-s)=b(s). $由定义 2.6 中的 (2.3) 式知 $ \|\varphi-\phi\|_{\Omega(\Delta)}\leq2\varepsilon $. 由引理 2.2 有$a_{i,j}=\|v_i-w_j\|_X\leq H_{\Delta}(B,\phi)_{i,j}.$事实上, 由引理 $ 2.2 $ 及 $ b_{i,0} $ 和 $ b_{0,j} $ 的定义知$\psi_{i,0}=b_{i,0}\geq a_{i,0}, \psi_{0,j}=b_{0,j}\geq a_{0,j},$即当 $ i=0 $, $ j=0,1,\cdots,M $ 及 $ i=0,1,\cdots,N $, $ j=0 $ 时关系式 $ a_{i,j}=\|v_i-w_j\|_X\leq H_{\Delta}(B,\phi)_{i,j} $ 成立.假设 $ i=n-1 $, $ j=m $ 时, $ i=n $, $ j=m-1 $ 该关系式也都成立, 其中 $ n=1,2,\cdots,N $, $ m=1,2,\cdots,M $, 即 $ a_{n-1,m}=\|v_{n-1}-w_m\|_X\leq H_{\Delta}(B,\phi)_{n-1,m}=\psi_{n-1,m} $, $ a_{n,m-1}=\|v_n-w_{m-1}\|_X\leq H_{\Delta}(B,\phi)_{n,m-1}=\psi_{n,m-1} $. 则当 $ i=n $, $ j=m $ 时再由引理 $ 2.2 $ 有

从而对任意 $ i=1,2,\cdots,N $, $ j=1,2,\cdots,M $, $ a_{i,j}=\|v_i-w_j\|_X\leq H_{\Delta}(B,\phi)_{i,j} $.

对于任意 $ \eta>0 $, 当 $ \varepsilon $ 足够小且 $ 0<\varepsilon\leq\frac{\eta-\|G(b,\varphi)(t,s)-H_{\Delta}(B,\phi)_{i,j}\|_X}{2}:=y(\eta) $ 时, 由引理 2.3 有

其中 $ t\in(t_{i-1},t_i]\subset[T] $, $ s\in(s_{j-1},s_j]\subset[T] $, $ i=1,2,\cdots,N $, $ j=1,2,\cdots,M $. 若 $ v_0\equiv w_0 $ 且 $ f\equiv g $, 则

故对任意 $ x\in D(A) $, $ t\in[T] $ 及 $ 0<\varepsilon\leq y(\eta) $, 由 (3.1) 式可得到

由于 $ \|v_0-u_0\|_X<\varepsilon $, $ u_0\in\overline{D(A)} $, 且 $ x $ 为 $ D(A) $ 中任意元素, 则 $ \varepsilon $-逼近解的序列 $ v_{\varepsilon} $ 满足 Cauchy 准则, 故存在 $ u(t) $ 使得 $ u(t)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}v_{\varepsilon}(t) $ 对 $ t\in[T] $ 一致成立.

在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t+\theta $, $ g=f $, 及 $ v_0=w_0=u_0 $, 可得到

对任意 $ x\in D(A) $, $ y\in Ax $ 成立, 从而有 $ u\in C([T];X) $.由注 2.4 知微分包含 (2.1) 式存在 $ C^0 $-解.

在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ v_0=u_0 $, $ w(s)\equiv0 $, 且 $ s=t $, 可得到

即可推断 $ u $ 在 $ [T] $ 上为有界函数, 记 $ \max\limits_{t\in[T]}\|u(t)\|_X\leq U $.由注 2.3 可推断微分包含 (2.18) 存在有界 $ C^0 $-解.为证明 $ u\in PAA([0,+\infty);X) $, 只需证明 $ u $ 可被分解为 $ u=u_1+u_2 $, 其中 $ u_1\in AA([0,+\infty);X) $, $ u_2\in C_0([0,+\infty);X) $ 且分别为

和

的 $ C^0 $-解.由于 $ f_1\in AA([0,+\infty);X) $, 故任意实数列 $ \{r_n'\} $ 都存在子列 $ \{r_n\} $ 使得$\widetilde{f}_1(t):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_1(t+r_n)$ 对任意 $ t\in[0,+\infty) $ 是良定的, 且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\widetilde{f}_1(t-r_n)=f_1(t)$ 对任意 $ t\in[0,+\infty) $ 成立.

由于 $ u $ 在 $ [T] $ 上有界, 由致密性定理有 $ \{t\mapsto u_1(t+r_n):n\in\mathbb{N}\} $ 在 $ [T] $ 上有收敛子列, 不失一般性 (若需要, 可取另一子列), 存在 $ \widetilde{u}_1\in BC([T];X) $ 使得

对 $ t\in[T] $ 成立.

由前面的讨论及引理 2.3 可知 $ \widetilde{u}_1 $ 为

的 $ C^0 $-解.在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t $, $ w_0=\widetilde{u}_1(0) $, 且 $ v_0=u_1(r_n) $, 可得到

两边对 $ n $ 取极限有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|u_1(t+r_n)-\widetilde{u}_1(t)\|_X=0$ 对任意 $ t\in[T] $ 成立.

同理, 有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|u_1(t)-\widetilde{u}_1(t-r_n)\|_X=0$ 对任意 $ t\in[T] $ 成立. 再由 $ T $ 的任意性可推断 $ u_1\in AA([0,+\infty);X). $

在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t $, $ v_0=u_{0} $, $ w_0=u_{1,0} $ 可得到

故

其中, 当 $ r\rightarrow0 $ 时,

故 $ u_2\in C_0([0,+\infty);X) $, 从而 $ u\in PAA([0,+\infty);X) $. 接下来证明唯一性.

假设 $ u_a $, $ u_b\in PAA([0,+\infty);X) $ 为 (2.18) 式的两个解, 在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t $, $ v_0=u_a(0)=u_0 $, $ w_0=u_a(0)=u_0 $, 可得到$\|u_a(t)-u_b(t)\|_X\leq0,$ 即在 $ [T] $ 上 $ u_a=u_b $, 又 $ T $ 是任意的, 故微分包含 (2.18) 式在$ PAA([0,+\infty);X) $ 上存在唯一 $ C^0 $-解.证毕.

本节将论证具有混合初始条件 $ p(u)+\zeta\in C([-\tau,0];\overline{D(A)}) $ 的时滞微分包含 (1.1) 式在函数空间$ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中的 $ C^0 $-解的存在唯一性及全局渐近稳定性. 为此先前给出的假设的基础上改变并增加一些相对温和的假设.

$({\rm H}_f^*)$$ f:[+\infty)\times C([-\tau,0];\overline{D(A)})\rightarrow X $ 为连续函数, 且满足

$(f_1^*)$ 对任意 $ t\in[0,+\infty) $, 存在 $ m>0 $ 使得 $ \|f(t,0)\|_X\leq m; $

$(f_2^*)$ 对任意 $ u,v\in C([-\tau,0];\overline{D(A)}) $, $ t\in[0,+\infty) $, 存在 $ l>0 $ 使得 $\|f(t,u)-f(t,v)\|_X\leq l\|u-v\|_{C([-\tau,0];X)};$

$(f_3^*)$ 对任意 $ t\in[0,+\infty) $, 及有界子集 $ \mathcal{C}\subset C([-\tau,0];\overline{D(A)}) $, $ f\in PAA([0,+\infty)\times\mathcal{C};X) $, 且 $ f=f_1+f_2 $, $ f_1\in AA([+\infty)\times C([-\tau,0];\overline{D(A)});X) $, 且在有界子集 $ \mathcal{C} $ 上关于 $ t $ 一致连续, $ f_2\in C_0([+\infty)\times C([-\tau,0];\overline{D(A)});X) $.

$ ({\rm H}_{p}) $ 非局部条件 $ p: BC([-\tau,+\infty),\overline{D(A)})\rightarrow C([-\tau,0];\overline{D(A)}) $ 为连续函数, 且满足

$ (p_1) $ 对任意 $ u\in BC([-\tau,+\infty),\overline{D(A)}) $, 有 $\|p(u)\|_{C([-\tau,0];X)}\leq\|u\|_{BC([0,+\infty);X)};$

$ (p_2 ) $ 对任意 $ u,v\in BC([-\tau,+\infty),\overline{D(A)}) $, 存在 $ \alpha>0 $ 使得$\|p(u)-p(v)\|_{C([-\tau,0];X)}\leq\|u-v\|_{BC([\alpha,+\infty);X)}.$

$ ({\rm H}_{\zeta,p}) $ 对任意 $ u\in BC([-\tau,+\infty);\overline{D(A)}) $, $ p(u)+\zeta\in C([-\tau,0];\overline{D(A)}) $, 其中

$ ({\rm H}_{c}) $ 常数 $ \tau $, $ \omega $, $ l>0 $, 满足以下非震荡条件

$ (c_{1}) $$ l<\omega; $

$ (c_{2}) $$ l {\rm e}^{\omega\tau}<\omega $.

在论证过程中还需要用到以下引理.

引理 4.1^[14] 若 $ x,y\in BC([-\tau,+\infty);X) $, 假设存在 $ a>0 $, $ \omega>0 $, $ l>0 $, 及 $ m\geq0 $ 使得 $ x(t)\leq\|x\|_{BC([a,+\infty);X)} $ 对任意 $ t\in[-\tau,0] $ 成立, 且

对任意 $ t\in[0,+\infty) $ 成立. 则

注 4.1 若 $ P(t,v)=\zeta(t)+p(v) $, 其中 $ \zeta\in PAA([-\tau,+\infty);X) $, $ p\in C(X;X) $, 则 $ P\in PAA([-\tau,+\infty)\times X;X) $.

定理 4.1 若微分包含 (1.1) 式满足假设条件 $ ({\rm H}_A) $, $ ({\rm H}_f^*) $, $ ({\rm H}_{p}) $, $ ({\rm H}_{\zeta,p}) $ 和$ ({\rm H}_c) $ 中的 $ (c_1) $, 则微分包含 (1.1) 式在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 存在唯一 $ C^0 $-解.

证 先固定任意 $ \overline{u}\in PAA([-\tau,+\infty);X) $, 考虑微分包含

由 $ (f_2^*) $, $ (f_3^*) $ 及引理 2.1 可知 $ f(t,\overline{u}_{t}) $ 对 $ t\in[0,+\infty) $ 为伪概自守的, 再由定理 3.1 知微分包含

对任意 $ \overline{v}\in PAA([-\tau,+\infty);X) $ 存在唯一 $ C^0 $- 解 $ u\in PAA([-\tau,+\infty);X) $.

故可定义算子 $ S: PAA([-\tau,+\infty);\overline{D(A)})\rightarrow PAA([-\tau,+\infty);\overline{D(A)}) $, $ S(\overline{v})=u\in PAA([-\tau,\\+\infty);\overline{D(A)}) $ 为微分包含 (4.2) 式在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中的唯一 $ C^0 $-解. 而微分包含 (4.1) 式在函数空间 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中有唯一 $ C^0 $-解的充要条件是 $ S $ 有唯一不动点, 故由 Banach 不动点定理知, 只需证明 $ S^2 $ 是严格收缩的.

任取 $ \overline{v},z\in PAA([-\tau,+\infty);\overline{D(A)}) $, 在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t $, $ v_0=p(\overline{v})(0)+\zeta(0) $, $ \overline{v}_0=p(z)(0)+\zeta(0) $,对 $ t>\alpha $ 时

接下来证明 $ \|S^2\overline{v}-S^2z\|_{PAA([-\tau,+\infty);X}\leq {\rm e}^{-\omega\alpha}\|\overline{v}-z\|_{PAA([-\tau,+\infty);X)} $.先令 $ t\geq0 $, 在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t $, $ v_0=p(S\overline{v})(0)+\zeta(0) $, $ \overline{v}_0=p(Sz)(0)+\zeta(0) $, 则

其次, 若 $ t\in[-\tau,0] $,

故对任意 $ t\in[-\tau,+\infty) $ 都满足

即 $ S $ 有唯一不动点 $ u $, 从而 (4.1) 式在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中有唯一 $ C^0 $- 解 $ u $.

再定义算子 $ Q: PAA([-\tau,+\infty);\overline{D(A)})\rightarrow PAA([-\tau,+\infty);\overline{D(A)}) $, $ Q(\overline{u})=u\in PAA([-\tau,\\+\infty);\overline{D(A)}) $ 为 (4.1) 式在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中的唯一 $ C^0 $-解, 接下来只需证明 $ Q $ 是收缩的.

任取 $ \overline{u},y\in PAA([-\tau,+\infty);\overline{D(A)}) $, $ t>0 $ 时, 在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t $, $ v_0=p(Q\overline{u})(0)+\zeta(0) $, $ w_0=p(Qy)(0)+\zeta(0) $, 有

通过引理 4.1 可得: $ \|Q\overline{u}-Qy\|_{PAA([-\tau,+\infty);X)}\leq \frac{l}{\omega}\|\overline{u}-y\|_{PAA([-\tau,+\infty);X)} $, 再由 $ (c_1) $ 可推断 $ Q $ 是收缩的, 故 (1.1) 式在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中有唯一 $ C^0 $-解.证毕.

接下来讨论微分包含 (1.1) 式在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中唯一 $ C^0 $-解的全局渐近稳定性, 在此前先给出后续证明需用到的引理.

引理 4.2^[14] 令 $ y\in C([-\tau,+\infty);\mathbb{R}_+) $, $ \lambda\in[0,+\infty) $, 及 $ \alpha_0 $, $ l $, $ \omega $, $ \tau\in(0,+\infty) $. 若满足 $ (c_2) $ 且

对任意 $ t\in[0,+\infty) $ 成立, 则

对任意 $ t\in[0,+\infty) $ 成立.

定理 4.2 若微分包含 (4.1) 式满足假设条件 $ ({\rm H}_A) $, $ ({\rm H}_f^*) $, $ ({\rm H}_{p}) $, $ ({\rm H}_{\zeta,p}) $ 和$ ({\rm H}_c) $ 则微分包含(1.1)式在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中的唯一 $ C^0 $-解 $ u $ 是全局渐近稳定的.

证 对任意 $ \rho\in PAA([-\tau,+\infty);X) $, 对于 $ t\leq0 $, 令 $ v $ 为微分包含

在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中的唯一 $ C^0 $-解,在 (3.1) 式中令 $ \varepsilon\rightarrow0 $, $ s=t $, $ v_0=p(u)(0)+\zeta(0) $, $ w_0=\rho(0) $, 可得

由引理 4.2 有

对任意 $ t\geq0 $ 成立. 由 $ (c_2) $ 有 $ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\|u(t)-v(t)\|_X=0 $, 即 $ u $ 在 $ PAA([-\tau,+\infty);X) $ 中是全局渐近稳定的.证毕.

记 $ C_{\pi } $ 为所有从 $ \mathbb{R} $ 到 $ \mathbb{R} $ 的连续 $ \pi $-周期函数构成的空间, 并赋予范数 $ \|\cdot\|_{\pi } $, 对任意 $ u\in C_{\pi } $ 定义为 $ \|u\|_{\pi }:=\|u\|_{C([\pi ];\mathbb{R})} $. 考虑以下具有时滞的迁移方程的 $ C^0 $-解在空间 $ PAA([-\tau,+\infty);C_{\pi }) $ 中的存在唯一性

记 $ D(A)=\{u\in C_\pi :u'\in C_\pi \} $, 令 $ Au=-\omega u(t,x)-a\frac{\partial u}{\partial x}(t,x) $, 其中 $ a\in\mathbb{R}$$\setminus \{0\} $ 且 $\omega>0 $. 可见 $A$ 满足 $ ({\rm H}_A) $, 参见文献 [11]. 连续函数 $ f:[+\infty)\times C([-\tau,0];C_\pi )\rightarrow C_\pi $ 可取为$ f(t,u_t)=u_t\sin\frac{1}{2+\cos t+\cos\pi t}+\frac{u_t}{1+t^2} $, 其中 $ u_t(s)\in C([-\tau,0];C_\pi ) $, $ t\in[0,+\infty) $. 则函数 $ f(t,u_t) $ 满足假设 $ ({\rm H}_f^*) $. $ p:BC([-\tau,+\infty);C_\pi )\rightarrow C([-\tau,0];C_\pi ) $ 可取为 $ p(u)(t)=\int_\tau^{+\infty}k(\theta)u(t+\theta) {d}\theta $, 其中 $ \int_\tau^{+\infty}|k(\theta)| {d}\theta=1 $, $ k\in L^1([-\tau,+\infty);\mathbb{R}) $, 此时 $ p $ 满足 $ ({\rm H}_p) $.

定理 5.1 若迁移方程 (5.1) 满足以下假设条件.

(a) 存在常数 $ l $, $ m>0 $, 使得$\|f(t,v)-f(s,w)\|_{\pi }\leq l[|t-s|+\|v-w\|_{C([-\tau,0];C_{\pi })}],$ 及$\|f(t,v)\|_{\pi }\leq l\|v\|_{C([-\tau,0];C_{\pi })}+m$ 对任意 $ t $, $ s\in[0,+\infty) $ 及 $ v $, $ w\in C([-\tau,0];C_{\pi }) $ 成立.

(b) $ l{\rm e}^{\omega\tau}<\omega $.

(c) 对任意 $ t\in[0,+\infty) $, 及有界子集 $ \mathcal{C}\subset C([-\tau,0];\overline{D(A)}) $, $ f\in PAA([0,+\infty)\times\mathcal{C};X) $, 且 $ f=f_1+f_2 $, $ f_1\in AA([+\infty)\times C([-\tau,0];\overline{D(A)});X) $ 在有界子集 $ \mathcal{C}\subset C([-\tau,0];\overline{D(A)}) $上关于 $ t $ 一致连续, $ f_2\in C_0([+\infty)\times C([-\tau,0];\overline{D(A)});X) $.

(d) $ p $ 对任意 $ u $, $ v\in BC([-\tau.+\infty);C_{\pi }) $ 满足$\|p(u)\|_{C([-\tau,0];C_{\pi })}\leq\|u\|_{BC([0,+\infty);C_{\pi })},$ 且存在 $ \alpha>0 $ 使得 {:}$\|p(u)-p(v)\|_{C([-\tau,0];C_{\pi })}\leq\|u-v\|_{BC([a,+\infty);C_{\pi })}$ 成立.

(e) $ \zeta\in PAA([-\tau,+\infty); C_{\pi }) $.

则迁移方程 (5.1) 在 $ PAA([-\tau,+\infty);C_{\pi }) $ 上存在唯一 $ C^0 $-解 $ u $ 且 $ u $ 为一致渐近稳定的.

证 将 $ B:D(B)\subset C_{\pi }\rightarrow C_{\pi } $ 定义为

令 $ A=B-\omega I $, 则可将迁移方程 (5.1) 化为抽象形式 (1.1).

$ B $ 生成一个等距 $ C_0 $-群, 参见文献 [21], 由 $ [T(t)\xi](x)=\xi(x-at) $ 给出, 其中 $ \xi\in C_{\pi } $, $ x\in\mathbb{R} $, 及 $ t\in[0,+\infty) $. 因此 $ A $ 通过 $ S(t)={\rm e}^{-\omega t}T(t) $, $ t\in[0,+\infty) $, 生成收缩 $ C_0 $-半群 $ \{S(t):t\geq0\} $. 再由定理 4.1 即可得到结论.证毕.