高斯三角阵的聚集点过程与部分和的联合渐近行为

高斯三角阵的聚集点过程与部分和的联合渐近行为

鲁盈吟¹, 张文静¹, 郭金辉^,²^,^*

¹西南石油大学理学院成都 610500

²西南财经大学统计学院成都 611130

Joint Behavior of Point Process of Clusters and Partial Sum for a Gaussian Triangular Array

Lu Yingyin¹, Zhang Wenjing¹, Guo Jinhui^,²^,^*

¹School of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500

²School of Statistics, Southwestern University of Finance and Economics, Chengdu 611130

通讯作者: *郭金辉, E-mail: guojinhui94@163.com

收稿日期: 2023-09-5 修回日期: 2024-03-1

基金资助:

四川省自然科学基金(2022NSFSC1838)

Received: 2023-09-5 Revised: 2024-03-1

Fund supported:

Natural Science Foundation of Sichuan(2022NSFSC1838)

摘要

具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ , 在其相关系数 $\rho_{j,n}=E\left( X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ 满足文献 [14] 的条件下, 本文证明了该高斯三角阵的聚集点过程依分布收敛于泊松过程, 并且聚集点过程与该高斯三角阵的部分和渐近独立.

关键词： 高斯三角阵; 聚集点过程; 部分和; 渐近行为

Abstract

Let $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ be a centered stationary Gaussian triangular array with unit variance. Assuming the correlation $\rho_{j,n}=E\left( X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ satisfies the conditions in [14], this paper is interested in the joint behavior of the point process of clusters and the partial sum of the Gaussian triangular array. It is shown that the point process of clusters converges in distribution to a Poisson process and is asymptotically independent with the partial sums.

Keywords： Stationary gaussian triangular array; Point process of clusters; Partial sum; Joint behavior

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本文引用格式

鲁盈吟, 张文静, 郭金辉. 高斯三角阵的聚集点过程与部分和的联合渐近行为[J]. 数学物理学报, 2024, 44(5): 1310-1317

Lu Yingyin, Zhang Wenjing, Guo Jinhui. Joint Behavior of Point Process of Clusters and Partial Sum for a Gaussian Triangular Array[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(5): 1310-1317

1 引言

具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ , 即 $E(X_{i,n})=0$ , $E(X_{i,n}^{2})=1$ , 其最大值 $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ 的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数 $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ 满足 Berman 条件时, $M_{n}$ 的渐近分布与 $n$ 个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 的渐近分布. 然而在实际应用中, 超过某一高水平的极端值常常会出现聚集现象. 文献 [14] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10] 以及 [9] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8] 以及 [22] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述.

对于满足 Berman 条件的具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ , 文献 [15] 考虑了其超过数点过程与部分和的联合渐近分布. 超过数点过程定义为

$\begin{align*} \widetilde{N_{n}}(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}I\left(X_{i,n}>u_{n}(x),\;\ \frac{i}{n}\in B\right),\nonumber \end{align*}$

其中 $B$ 为 $(0,1]$ 上的 Borel 集, $I$ 为示性函数. 这里的超过水平 $u_{n}(x)=b_{n}+x/a_{n}$ , 其中

$\begin{align*}\label{eq2} a_{n}=\sqrt{2\log n},\quad b_{n}=\sqrt{2\log n}-\frac{\log \log n+\log4\pi }{2\sqrt{2\log n}}. \end{align*}$

(1.1)

针对聚集现象, 文献 [20] 首次提出了聚集点过程的概念, 并证明了平稳序列在满足某种条件下其聚集点过程依分布收敛于泊松点过程. 类似地, 对于正整数 $r_{n}$ , 设 $q_{n}=[n/r_{n}]$ , 其中 $[x]$ 表示实数 $x$ 的整数部分, 定义具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ 形成的聚集点过程为

$\begin{align*}\label{eq1.1} N_{n}(B)=\sum\limits_{s=1}^{q_{n}}I(\cup_{i\in U_{s}}X_{i,n}>u_{n}(x),\;\ \frac{i}{n}\in B), \end{align*}$

(1.2)

其中 $U_{s}=\{(s-1)r_{n}+1, (s-1)r_{n}+2,\cdots, sr_{n}\}$ , $s=1, 2, \cdots, q_{n}$ . 然而, 目前关于聚集点过程渐近行为的研究较少, 对于平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布以及与部分和的联合渐近行为仍需要进一步研究. 在文献 [15,20] 的启发下, 本文主要研究聚集点过程 $N_{n}(B)$ 的渐近分布以及其与部分和的联合渐近行为.

值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等^[5,18,19]. 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位^[6,11]. 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓-3] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12,13,23] 与 [26] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究.

本文的组织结构如下: 在第 $2$ 节中给出了主要的结果, 第 $3$ 节给出了定理的证明.

2 主要结果

在与文献 [14] 相同的条件下, 本文首先推导了中心化平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布, 证明了聚集点过程依分布收敛于泊松过程, [14] 中极值的渐近分布是该结果的直接推论. 在极限分布的基础上, 本文进一步研究了聚集点过程与平稳高斯三角阵的部分和的联合行为.

定理 2.1 设 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ 是具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵. 假设相关系数 $\rho_{j,n}$ 满足当 $n\rightarrow \infty$ 时,

$\begin{align*} \label{ad1} (1-\rho_{j,n})\log n\, \rightarrow \delta_{j}\in(0,\infty],\quad j\geq1, \end{align*}$

(2.1)

存在正整数 $r_{n}$ 与 $l_{n}$ , 使得

$\begin{align*} \label{eq2.1} \frac{\ell_{n}}{r_{n}}\rightarrow0\,,\quad \frac{r_{n}}{n}\rightarrow0, \end{align*}$

(2.2)

$\begin{align*} \label{eq2.2} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^{2}}{r_{n}}\sum\limits_{j=\ell_{n}}^{n}\frac {|\rho_{j,n}|}{(1-\rho_{j,n}^{2})^{1/2}}\exp \left \{ -\frac{2\log n-\log \log n}{1+\rho_{j,n}}\right \} =0, \end{align*}$

(2.3)

以及

$\begin{align*} \label{eq2.3} \lim_{m\rightarrow \infty}\limsup_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{j=m}^{r_{n} }n^{-(1-\rho_{j,n})/(1+\rho_{j,n})}\frac{(\log n)^{-\rho_{j,n}/(1+\rho_{j,n} )}}{(1-\rho_{j,n}^{2})^{1/2}}=0. \end{align*}$

(2.4)

则聚集点过程 $N_{n}$ 依分布收敛于 $N$ , 其中 $N$ 是参数为 $\vartheta \exp{(-x)}$ 的泊松过程, 且

$\begin{align*} \label{add1} \vartheta=P\{E/2+\sqrt{\delta_{k}}W_{k}\leq \delta_{k} \quad \text{对所有的}\quad k\geq1\quad \text{使得}\quad \delta_{k}<\infty \}. \end{align*}$

(2.5)

其中对所有 $k\geq1$ , 如果 $\delta=\infty$ , 则 $\vartheta=1$ ; $E$ 是一个标准的指数随机变量, $\{W_{k}:\delta_{k}<\infty,k\geq1\}$ 是一个独立于 $E$ 的零均值高斯序列, 相关系数为

$E \left(W_{i}W_{j}\right)=\frac{\delta_{i}+\delta_{j}-\delta_{|i-j|}}{2(\delta_{i}\delta_{j})^{1/2}}.$

接下来, 本文研究了聚集点过程与部分和之间的关系.

定理 2.2 设 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ 是具有单位方差的中心化平稳高斯序列, 部分和为 $S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i,n}$ . 假设相关系数 $\rho_{j-i,n}=E \left( X_{i,n} X_{j,n}\right)$ 满足

$\begin{align*}\label{eq2.4} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\log n}{n^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} |\rho_{j-i,n}|=0. \end{align*}$

(2.6)

则聚集点过程 $N_{n}$ 与部分和 $S_{n}$ 是渐近独立的.

推论 2.1 在定理 2.1 和定理 2.2 的条件下, 有

$\lim_{n\rightarrow \infty}P\{M_{n}\leq u_{n}(x),\frac{S_{n} }{\sigma_{n}}\leq y\}=\exp(-\vartheta {\rm e}^{-x})\Phi(y),$

其中 $\sigma_{n}^{2}=Var(S_{n})$ .

注 2.1 由文献 [14] 可得, 如果条件 (2.1) 式成立, 且

$\begin{eqnarray*} \label{eq2.5} \lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{l_{n}\leq j\leq n}\left \vert \rho _{j,n}\right \vert \log n=0, \end{eqnarray*}$

(2.7)

其中 $l_{n}=o(n)$ , 同时

$\begin{eqnarray*} \label{eq2.6} \lim_{m\rightarrow \infty}\sup_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{j=m}^{l_{n}} n^{-\frac{1-\rho_{j,n}}{1+\rho_{j,n}}}\frac{\left( \log n\right) ^{-\rho_{j,n}/(1+\rho_{j,n})}}{\sqrt{1-\rho_{j,n}^{2}}}=0. \end{eqnarray*}$

(2.8)

则条件 (2.2), (2.3), (2.4) 也成立. 特别地, 若取 $l_{n}=\left( \log n\right) \left( \log \log n\right) ^{2}$ , 则当 $n\to\infty$ 时,

$\begin{align*} \frac{\log n}{n^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}|\rho_{j-i,n}| & \leq \frac{2}{n}\sum\limits_{l=0}^{n}|\rho_{l,n}|\log n=\frac{2}{n}\sum _{l=0}^{l_{n}}|\rho_{l,n}|\log n+\frac{2}{n}\sum\limits_{l=l_{n}+1}^{n}|\rho _{l,n}|\log n\\ & \leq \frac{2\log n}{n}\left( \log n(\log \log n)^{2}+1\right) +\frac{2} {n}\sum\limits_{l=\ell_{n}+1}^{n}|\rho_{l,n}|\log n\\ & \rightarrow0. \end{align*}$

于是条件 (2.6) 也成立.

3 主要定理的证明

假设 $J$ 是 $\{1,\cdots,n\}$ 的一个子集, 则令 $M(J)=\max \{X_{i,n},i\in J\}$ 且 $S_{n}(J)=\sum\limits_{i\in J}X_{i,n}$ , 设 $M_{r_{n}}=\max \{X_{i,n},1\leq i\leq r_{n}\}$ . 进一步, 对于 $0<a_{1}<b_{1}<a_{2}<b_{2}<\cdots<a_{m} <b_{m}\leq1$ , 其中 $m$ 是一个正整数, 定义 $E_{m}=\cup_{i=1}^{m}(a_{i},b_{i}]$ 和 $B_{i}=([na_{i}],[nb_{i}]]$ , $m_{n}^{\delta}$ 为任意两个集合 $B_{i}$ 和 $B_{j}$ 之间的最小间距. 主要定理的证明需要以下引理. 在本文中, $C$ 为常数且它的值可以随位置的变化而变化.

引理 3.1 在定理 2.1 中的条件下, 当 $n \to \infty$ 时, 有

$\operatorname*{\mathbb{P}}\{ \cap_{i=1}^{m}(M(B_{i})\leq u_{n}(x)) \}-\Pi_{i=1}^{m}\operatorname*{\mathbb{P}}\{M(B_{i})\leq u_{n}(x) \} \to0. \quad$

证由正态比较引理^[21] 可得

$\begin{align*} & P\{ \cap_{i=1}^{m}(M(B_{i})\leq u_{n}(x))\}-\Pi_{i=1} ^{m}P\{M(B_{i})\leq u_{n}(x)\} \nonumber \label{lemma1::2}\\ \leq\ & C\Bigg[\sum\limits_{i\in B_{1}}\sum\limits_{j\notin B_{1}}\frac{|\rho_{j-i,n} |}{(1-\rho_{j-i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho _{j-i,n}|}\right) \nonumber \\ & +\sum\limits_{i\in B_{2}}\sum\limits_{j\notin B_{2}}\frac{|\rho_{j-i,n}|} {(1-\rho_{j-i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho_{j-i,n} |}\right) \nonumber \\ & +\cdots+\sum\limits_{i\in B_{m}}\sum\limits_{j\notin B_{m}}\frac{|\rho_{j-i,n}|} {(1-\rho_{j-i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho_{j-i,n} |}\right) \Bigg]\nonumber \\ \leq\ & Cm^{2}n\sum\limits_{i=m_{n}^{\delta}}^{n}\frac{|\rho_{i,n}|} {(1-\rho_{i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho_{i,n} |}\right). \end{align*}$

(3.1)

因为

$u_{n}^{2}(x)=2\log n-\log \log n+O(1),$

及对于足够大的 $n$ 有 $m_{n}^{\delta}>l_{n}$ , 则由 (2.2) 和 (1.3) 式, 可得当 $n\to\infty$ 时, (3.1) 式趋于 $0$ , 从而本引理得证.

定理 2.1 的证明 遵循在文献 [12] 中详细介绍的研究点过程的方法. 需要证明当 $n \to \infty$ 时, 有

${\rm (a)} \quad E N_n\left( (a,b] \right)\to E N\left( (a,b] \right), \quad \quad 0 <a <b \leq 1,$

且 ${\rm (b)} \quad P \{ N_n(E_m) =0 \} \to P\{ N(E_m) =0 \}.$

为了得到 (a), 首先定义 $v_{n}$ 为完全包含在区间 $([na],[nb]]$ 中整数区间 $((s-1)r_{n},sr_{n}]$ 的个数. 则对于足够大的 $n$ ,

$\begin{align*}\label{eq::th11} v_{n}\sim nr_{n}^{-1}(b-a)\sim q_{n}(b-a). \end{align*}$

(3.2)

由于平稳性, 则

$\begin{align*}\label{eq::th12} E N_n ( (a,b] ) = \sum\limits_{j=1}^{v_n} P( \cup_{i \in U_j} X_{i,n} >u_n (x)) = v_n P (M_{r_n} > u_n(x) ). \end{align*}$

(3.3)

同时, 由文献 [14,25] 的结论可得, 当 $n \to \infty$ 时, 有

$\begin{align*} \label{eq::th13} q_n P(M_{r_n} > u_n(x)) \sim \vartheta {\rm e}^{-x}, \end{align*}$

(3.4)

因此, 从 (3.2) 和 (3.3) 式可以得到, 当 $n \to \infty$ 时,

$\begin{align*} E N_n((a,b] ) \to (b-a)\vartheta {\rm e}^{-x}. \end{align*}$

从而式子 (a) 成立.

为了证明 (b), 注意对于足够大的 $n$ , 有

$\begin{align*}\label{eq::th14} P\{ N_n(E_m)=0 \} &=P \{ \cap_{i=1}^m M(B_i) \leq u_n(x) \} +o(1) \nonumber\\ &= \Pi_{i=1}^m P \{ M(B_i) \leq u_n(x) \} \nonumber\\ &~~~ +\left( P\{ \cap_{i=1}^m M(B_i) \leq u_n(x)\}-\Pi_{i=1}^m P\{ M(B_i)\leq u_n(x) \} \right) +o(1), \end{align*}$

(3.5)

由文献 [14] 可得

$\begin{align*}\label{eq::th15} \Pi_{i=1}^m P \{ M(B_i) \leq u_n(x) \} \to \exp\left(\sum\limits_{i=1}^{m}(b_i-a_i)\vartheta {\rm e}^{-x}\right),\quad n \to \infty. \end{align*}$

(3.6)

因此, 由引理 3.1, (3.5) 和 (3.6) 式, 得到 $(b)$ , 由此完成定理 2.1 的证明.

定理 2.2 的证明 本定理的证明与文献 [23] 和 [15] 的证明过程类似. 令一个整数序列 $m(n)$ 满足

$\begin{align*}\label{eq::pth21} \lim_{n \to \infty} m(n)=\infty, \end{align*}$

(3.7)

以及

$\begin{align*}\label{eq::pth22} \lim_{n \to \infty} \frac{m(n)\log n}{n^2} \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^n |\rho_{j-i,n}|=0. \end{align*}$

(3.8)

设

$\delta_{n}(i)=E X_{i,n}S_{n}=\sum\limits_{j=1}^{n}\rho_{j-i,n}$

及

$I_{n}^{+}=\{i:\delta_{n}(i)\geq0,1\leq i\leq n\},\quad I_{n}^{-}=\{i:\delta_{n}(i)<0,1\leq i\leq n\}.$

不失一般性, 假设 $I_{n}^{+}\neq \emptyset$ 和 $I_{n}^{-}\neq \emptyset$ . 进一步, 令 $S_{n}^{+}=\sum\limits_{i\in I_{n}^{+}}, \delta_{n}(i)$ 及 $S_{n}^{-}=\sum\limits_{i\in I_{n}^{-}}\delta_{n}(i)$ , 记

$K_{n}^{+}=\left \{ i\in I_{n}^{+}:\frac{\delta_{n}(i)}{S_{n}^{+}}\geq\frac{\log m(n)}{n}\right \},$

$K_{n}^{-}=\left \{ i\in I_{n}^{-}:\frac{\delta_{n}(i)}{S_{n}^{-}}\geq \frac{\log m(n)}{n}\right \}.$

设 $K_{n}=K_{n}^{+}\cup K_{n}^{-}$ , $J_{n}=\{1,\cdots,n\} \backslash K_{n}$ , 注意

$\#(K_{n}^{+})\frac{\log m(n)}{n}\leq \sum\limits_{i\in K_{n}^{+}}\frac{\delta_{n} (i)}{S_{n}^{+}}\leq1,$

$\#(K_{n}^{-})\frac{\log m(n)}{n}\leq \sum\limits_{i\in K_{n}^{-}}\frac{\delta_{n} (i)}{S_{n}^{-}}\leq1,$

其中 $\#(K_{n})$ 表示 $K_{n}$ 的基数. 由 (3.7) 式, 得

$\begin{align*}\label{eq::pth23} \#(K_n) \leq \frac{2n}{\log (m(n))}=o(n). \end{align*}$

(3.9)

令

$Y_{i, n}=\left\{\begin{array}{l} X_{i, n}-C_{i, n}^{+} S_{n}\left(I_{n}^{+}\right) ; \text {if } i \in I_{n}^{+} \cap J_{n} ; \\ X_{i, n}-C_{i, n}^{-} S_{n}\left(I_{n}^{-}\right), \text {if } i \in I_{n}^{-} \cap J_{n}, \end{array}\right.$

其中 $C_{i,n}^{+}=\delta_{n}(i)/S_{n}^{+}$ , $C_{i,n}^{-}=\delta_{n}(i)/S_{n}^{-}$ 且 $S_{n}(J)=\sum\limits_{i\in J}X_{i,n}$ . 可见, $S_{n}$ 与随机变量 $\{Y_{i,n},i\in J_{n}\}$ 相互独立. 再令

$N_{n}^{^{\prime}}(B)=\sum\limits_{s=1}^{q_{n}}I(\cup_{i\in U_{s}}Y_{i,n} >u_{n}(x),i\notin K_{n},\frac{i}{n}\in B),$

$N_{n}^{\ast}(B)=\sum\limits_{s=1}^{q_{n}}I(\cup_{i\in U_{s}}X_{i,n}>u_{n}(x),i\notin K_{n},\frac{i}{n}\in B).$

若能证明当 $n\rightarrow \infty$ 时, $N_{n}(B)-N_{n}^{\ast}(B)=o_{p}(1)$ 且 $N_{n}^{\ast}(B)-N_{n}^{^{\prime}}(B)=o_{p}(1)$ , 则定理得证.

基于 (3.9) 式及当 $n\rightarrow \infty$ 时, $nP(X_{i,n} >u_{n}(x))\rightarrow {\rm e}^{-x}$ , 则

$\begin{align*}\label{eq::pth24} E |N_n(B)-N_n^{\ast}(B)| &\leq \sum\limits_{i\in K_n} P( X_{i,n} >u_n(x) ) \nonumber\\ & \leq \frac{\# (K_n)}{n} n(1-\Phi(u_n(x))) \to 0, \;\ n\rightarrow \infty. \end{align*}$

(3.10)

这表明 $N_{n}(B)-N_{n}^{\ast}(B)=o_{p}(1)$ . 接下来, 记

$Q_{n}=\max_{i\in J_{n}}|C_{i,n}^{\pm}|(|S_{n}(I_{n}^{+})|+|S_{n}(I_{n}^{-})|).$

由 $J_{n}$ 与 $C_{i,n}^{\pm}$ 的定义, 可得

$\max_{i\in J_{n}}|C_{i,n}^{\pm}|^{2}\leq \left(\frac{\log m(n)}{n}\right)^2,$

又由 Cauchy-Schwarz 不等式和式子 (1.1), (3.8) 得, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有

$\begin{align*} \varepsilon_{n}^{2}:=a_{n}E{Q_{n}} & \leq a_{n}\max_{i\in J_{n}}|C_{i,n}^{\pm}|(\sqrt{Var(S_{n}(I_{n}^{+}))}+\sqrt{Var(S_{n}(I_{n} ^{-}))})\\ & \leq2a_{n}\sqrt{\max_{i\in J_{n}}|C_{i,n}^{\pm}|^{2}\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}|\rho_{j-i,n}|}\\ & \leq2\sqrt{2\frac{(\log m(n))^2}{m(n)}\frac{m(n)\log n}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}|\rho_{j-i,n}|}\rightarrow 0. \end{align*}$

结合 Chebyshev 不等式, 上式表明当 $n\rightarrow \infty$ 时, $P\left( Q_{n} >a_{n}^{-1}\varepsilon_{n}\right) \leq \varepsilon_{n}\rightarrow0$ . 对于足够大的 $n$ , 有

$\begin{align*} & \sum\limits_{s=1}^{q_{n}}I(\cup_{i\in U_{s}\backslash K_{n}}X_{i,n}>u_{n} (x+\varepsilon_{n}),\frac{i}{n}\in B)\\ \leq\ & N_{n}^{\prime}(B)\leq \sum\limits_{s=1}^{q_{n}}I(\cup_{i\in U_{s}\backslash K_{n}}X_{i,n}>u_{n}(x-\varepsilon_{n}),\frac{i}{n}\in B). \end{align*}$

因此

$\begin{align*} |N_{n}^{\ast}(B)-N_{n}^{^{\prime}}(B)| & \leq \sum\limits_{s=1}^{q_{n}}\Big(I(\cup_{i\in U_{s}\backslash K_{n}}X_{i,n} >u_{n}(x-\varepsilon_{n}),\frac{i}{n}\in B)\\ & ~~~ -I(\cup_{i\in U_{s}\backslash K_{n}}X_{i,n}>u_{n}(x+\varepsilon _{n}),\frac{i}{n}\in B)\Big)\\ & \leq \sum\limits_{s=1}^{q_{n}}\Big(I(\cup_{i\in U_{s}}X_{i,n}>u_{n}(x-\varepsilon _{n}),\frac{i}{n}\in B)\\ & ~~~ -I(\cup_{i\in U_{s}}X_{i,n}>u_{n}(x+\varepsilon_{n}),\frac{i}{n}\in B)\Big). \end{align*}$

由 (3.4) 式, 当 $n\rightarrow \infty$ 时,

$\begin{align*} &~~~E|N_n^{\ast}(B)-N_n^{'}(B)|I(Q_n \leq a_n^{-1}\varepsilon_n)\\ &\leq q_n( P(M_{r_n}>u_n(x-\varepsilon_n))-P(M_{r_n}>u_n(x+\varepsilon_n))) \to 0. \end{align*}$

同时, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 对于任意的 $\varepsilon>0$ , 有

$\begin{align*}\label{eq::pth25} &~~~P(|N_n^{\ast}(B) -N_n^{'}(B)| >\varepsilon) \nonumber\\ &\leq P(Q_n > a_n^{-1} \varepsilon_n)+P(|N_n^{\ast}(B) -N_n^{'}(B)| >\varepsilon, Q_n \leq a_n^{-1}\varepsilon_n) \nonumber\\ &\leq \varepsilon_n +\varepsilon^{-1} E|N_n^{\ast}(B) -N_n^{'}(B)|I(Q_n \leq a_n^{-1}\varepsilon_n) \to 0. \end{align*}$

(3.11)

则该定理由 (3.10) 和 (3.11) 式得到, 证毕.

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文中引用次数倒序

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DOI:10.1007/s10687-019-00349-z [本文引用: 1]

Extremal behavior of stationary Gaussian sequences/random fields is widely investigated since it models common cluster phenomena and brings a bridge between discrete and continuous extremes. We establish extensively limit theorems of stationary random fields under certain mixing and dependence conditions, which are further illustrated by typical examples of order statistics of Gaussian random fields and skew-Gaussian random fields. The positivity of the cluster index involved and its link with the expected cluster size are discussed.

[23]

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部分和乘积的几乎处处中心极限定理

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Almost sure central limit theorem for the product of partial sums

Acta Math Sci, 2009, 29A(6): 1689-1698

[本文引用: 1]

The joint limiting distribution of sums and maxima of stationary sequences

1991

... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等^[5,18,19]. 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位^[6,11]. 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1⇓-3] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12,13,23] 与 [26] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...

Limiting joint distributions of sums and maxima in a statistical context

1993

Sums and maxima of stationary sequences with heavy tailed distributions

1995

Limit theorems for the maximum term in stationary sequences

1964

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

的渐近分布. 然而在实际应用中, 超过某一高水平的极端值常常会出现聚集现象. 文献 [14] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10] 以及 [9] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8] 以及 [22] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...

A new model for quantifying climate episodes

2005

Confidence intervals for extreme Pareto-type quantiles

2020

The sum and the maximum of iid random variables

1978

The asymptotic distribution of the maxima of a Gaussian random field on a lattice

2013

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

Maxima of a triangular array of multivariate Gaussian sequence

2015

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

Limit laws for extremes of dependent stationary Gaussian arrays

2013

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

A simple general approach to inference about the tail of a distribution

1975

On the asymptotic joint distribution of the sum and maximum of stationary normal random variables

1996

... 定理 2.1 的证明 遵循在文献 [12] 中详细介绍的研究点过程的方法. 需要证明当

$n \to \infty$

时, 有 ...

Asymptotic distribution of sum and maximum for strongly dependent Gaussian processes

1999

The extremes of a trangular array of normal random variables

1996

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 在其相关系数

$\rho_{j,n}=E\left( X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足文献 [14] 的条件下, 本文证明了该高斯三角阵的聚集点过程依分布收敛于泊松过程, 并且聚集点过程与该高斯三角阵的部分和渐近独立. ...

... Let

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

be a centered stationary Gaussian triangular array with unit variance. Assuming the correlation

$\rho_{j,n}=E\left( X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

satisfies the conditions in [14], this paper is interested in the joint behavior of the point process of clusters and the partial sum of the Gaussian triangular array. It is shown that the point process of clusters converges in distribution to a Poisson process and is asymptotically independent with the partial sums. ...

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

... 在与文献 [14] 相同的条件下, 本文首先推导了中心化平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布, 证明了聚集点过程依分布收敛于泊松过程, [14] 中极值的渐近分布是该结果的直接推论. 在极限分布的基础上, 本文进一步研究了聚集点过程与平稳高斯三角阵的部分和的联合行为. ...

... ] 相同的条件下, 本文首先推导了中心化平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布, 证明了聚集点过程依分布收敛于泊松过程, [14] 中极值的渐近分布是该结果的直接推论. 在极限分布的基础上, 本文进一步研究了聚集点过程与平稳高斯三角阵的部分和的联合行为. ...

... 注 2.1 由文献 [14] 可得, 如果条件 (2.1) 式成立, 且 ...

... 同时, 由文献 [14,25] 的结论可得, 当

$n \to \infty$

时, 有 ...

... 由文献 [14] 可得 ...

Joint behavior of point process of exceedances and partial sum from a Gaussian sequence

2009

... 对于满足 Berman 条件的具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 文献 [15] 考虑了其超过数点过程与部分和的联合渐近分布. 超过数点过程定义为 ...

... 其中

$U_{s}=\{(s-1)r_{n}+1, (s-1)r_{n}+2,\cdots, sr_{n}\}$

$s=1, 2, \cdots, q_{n}$

. 然而, 目前关于聚集点过程渐近行为的研究较少, 对于平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布以及与部分和的联合渐近行为仍需要进一步研究. 在文献 [15,20] 的启发下, 本文主要研究聚集点过程

$N_{n}(B)$

的渐近分布以及其与部分和的联合渐近行为. ...

... 定理 2.2 的证明 本定理的证明与文献 [23] 和 [15] 的证明过程类似. 令一个整数序列

$m(n)$

满足 ...

Limit distribution of the sum and maximum from multivariate Gaussian sequences

2007

1976

A mixed bivariate distribution with exponential and geometric marginals

2005

A new multivariate model involving geometric sums and maxima of exponentials

2011

Extremes and local dependence in stationary sequences

1983

... 针对聚集现象, 文献 [20] 首次提出了聚集点过程的概念, 并证明了平稳序列在满足某种条件下其聚集点过程依分布收敛于泊松点过程. 类似地, 对于正整数

$r_{n}$

, 设

$q_{n}=[n/r_{n}]$

, 其中

$[x]$

表示实数

$x$

的整数部分, 定义具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

形成的聚集点过程为 ...

... 其中

$U_{s}=\{(s-1)r_{n}+1, (s-1)r_{n}+2,\cdots, sr_{n}\}$

$s=1, 2, \cdots, q_{n}$

$N_{n}(B)$

的渐近分布以及其与部分和的联合渐近行为. ...

1983

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

... 证由正态比较引理^[21] 可得 ...

Extremes of stationary random fields on a lattice

2019

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

Asymptotic distribution for the sum and maximum of Gaussian processes

2000

... 定理 2.2 的证明 本定理的证明与文献 [23] 和 [15] 的证明过程类似. 令一个整数序列

$m(n)$

满足 ...

Limit distribution for the maximum of stationary Gaussian processes

1975

... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵

$\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$

, 即

$E(X_{i,n})=0$

$E(X_{i,n}^{2})=1$

, 其最大值

$M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$

的渐近分布目前已经得到了广泛的研究. 在相关系数

$\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$

满足 Berman 条件时,

$M_{n}$

的渐近分布与

$n$

个独立同分布的正态随机变量的最大值渐近分布相同^[4,21]. 进一步, 文献 [24] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值

$M_{n}$

Extreme values for stationary and Markov sequences

1987

... 同时, 由文献 [14,25] 的结论可得, 当

$n \to \infty$

时, 有 ...

On the joint limiting distribution of sums and maxima of stationary normal sequence

2003

部分和乘积的几乎处处中心极限定理

2009

部分和乘积的几乎处处中心极限定理

2009

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