1 引言
具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述.
对于满足 Berman 条件的具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ 15 ] 考虑了其超过数点过程与部分和的联合渐近分布. 超过数点过程定义为
其中 $B$ $(0,1]$ $I$ $u_{n}(x)=b_{n}+x/a_{n}$
(1.1) $\begin{align*}\label{eq2} a_{n}=\sqrt{2\log n},\quad b_{n}=\sqrt{2\log n}-\frac{\log \log n+\log4\pi }{2\sqrt{2\log n}}. \end{align*}$
针对聚集现象, 文献 [20 ] 首次提出了聚集点过程的概念, 并证明了平稳序列在满足某种条件下其聚集点过程依分布收敛于泊松点过程. 类似地, 对于正整数 $r_{n}$ $ q_{n}=[n/r_{n}]$ $[x]$ $x$ $ \{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$
(1.2) $\begin{align*}\label{eq1.1} N_{n}(B)=\sum\limits_{s=1}^{q_{n}}I(\cup_{i\in U_{s}}X_{i,n}>u_{n}(x),\;\ \frac{i}{n}\in B), \end{align*}$
其中 $U_{s}=\{(s-1)r_{n}+1, (s-1)r_{n}+2,\cdots, sr_{n}\}$ $s=1, 2, \cdots, q_{n}$ . 然而, 目前关于聚集点过程渐近行为的研究较少, 对于平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布以及与部分和的联合渐近行为仍需要进一步研究. 在文献 [15 ,20 ] 的启发下, 本文主要研究聚集点过程 $N_{n}(B)$
值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究.
本文的组织结构如下: 在第 $2$ $3$
2 主要结果
在与文献 [14 ] 相同的条件下, 本文首先推导了中心化平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布, 证明了聚集点过程依分布收敛于泊松过程, [14 ] 中极值的渐近分布是该结果的直接推论. 在极限分布的基础上, 本文进一步研究了聚集点过程与平稳高斯三角阵的部分和的联合行为.
定理 2.1 设 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $\rho_{j,n}$ $n\rightarrow \infty$
(2.1) $\begin{align*} \label{ad1} (1-\rho_{j,n})\log n\, \rightarrow \delta_{j}\in(0,\infty],\quad j\geq1, \end{align*}$
存在正整数 $r_{n}$ $l_{n}$
(2.2) $\begin{align*} \label{eq2.1} \frac{\ell_{n}}{r_{n}}\rightarrow0\,,\quad \frac{r_{n}}{n}\rightarrow0, \end{align*}$
(2.3) $\begin{align*} \label{eq2.2} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^{2}}{r_{n}}\sum\limits_{j=\ell_{n}}^{n}\frac {|\rho_{j,n}|}{(1-\rho_{j,n}^{2})^{1/2}}\exp \left \{ -\frac{2\log n-\log \log n}{1+\rho_{j,n}}\right \} =0, \end{align*}$
(2.4) $\begin{align*} \label{eq2.3} \lim_{m\rightarrow \infty}\limsup_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{j=m}^{r_{n} }n^{-(1-\rho_{j,n})/(1+\rho_{j,n})}\frac{(\log n)^{-\rho_{j,n}/(1+\rho_{j,n} )}}{(1-\rho_{j,n}^{2})^{1/2}}=0. \end{align*}$
则聚集点过程 $N_{n}$ $N$ $N$ $\vartheta \exp{(-x)}$
(2.5) $\begin{align*} \label{add1} \vartheta=P\{E/2+\sqrt{\delta_{k}}W_{k}\leq \delta_{k} \quad \text{对所有的}\quad k\geq1\quad \text{使得}\quad \delta_{k}<\infty \}. \end{align*}$
其中对所有 $k\geq1$ $\delta=\infty$ $\vartheta=1$ $E$ $\{W_{k}:\delta_{k}<\infty,k\geq1\}$ $E$
接下来, 本文研究了聚集点过程与部分和之间的关系.
定理 2.2 设 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i,n}$ . 假设相关系数 $\rho_{j-i,n}=E \left( X_{i,n} X_{j,n}\right) $
(2.6) $\begin{align*}\label{eq2.4} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\log n}{n^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} |\rho_{j-i,n}|=0. \end{align*}$
则聚集点过程 $N_{n}$ $S_{n}$
推论 2.1 在定理 2.1 和定理 2.2 的条件下, 有
其中$\sigma_{n}^{2}=Var(S_{n})$ .
注 2.1 由文献 [14 ] 可得, 如果条件 (2.1) 式成立, 且
(2.7) $\begin{eqnarray*} \label{eq2.5} \lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{l_{n}\leq j\leq n}\left \vert \rho _{j,n}\right \vert \log n=0, \end{eqnarray*}$
(2.8) $\begin{eqnarray*} \label{eq2.6} \lim_{m\rightarrow \infty}\sup_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{j=m}^{l_{n}} n^{-\frac{1-\rho_{j,n}}{1+\rho_{j,n}}}\frac{\left( \log n\right) ^{-\rho_{j,n}/(1+\rho_{j,n})}}{\sqrt{1-\rho_{j,n}^{2}}}=0. \end{eqnarray*}$
则条件 (2.2), (2.3), (2.4) 也成立. 特别地, 若取 $l_{n}=\left( \log n\right) \left( \log \log n\right) ^{2}$ $n\to\infty$
3 主要定理的证明
假设 $J$ $\{1,\cdots,n\}$ $M(J)=\max \{X_{i,n},i\in J\}$ $S_{n}(J)=\sum\limits_{i\in J}X_{i,n}$ $M_{r_{n}}=\max \{X_{i,n},1\leq i\leq r_{n}\}$ . 进一步, 对于 $0<a_{1}<b_{1}<a_{2}<b_{2}<\cdots<a_{m} <b_{m}\leq1$ $m$ $E_{m}=\cup_{i=1}^{m}(a_{i},b_{i}]$ $B_{i}=([na_{i}],[nb_{i}]]$ $m_{n}^{\delta}$ $B_{i}$ $B_{j}$ $C$
引理 3.1 在定理 2.1 中的条件下, 当 $n \to \infty$
(3.1) $\begin{align*} & P\{ \cap_{i=1}^{m}(M(B_{i})\leq u_{n}(x))\}-\Pi_{i=1} ^{m}P\{M(B_{i})\leq u_{n}(x)\} \nonumber \label{lemma1::2}\\ \leq\ & C\Bigg[\sum\limits_{i\in B_{1}}\sum\limits_{j\notin B_{1}}\frac{|\rho_{j-i,n} |}{(1-\rho_{j-i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho _{j-i,n}|}\right) \nonumber \\ & +\sum\limits_{i\in B_{2}}\sum\limits_{j\notin B_{2}}\frac{|\rho_{j-i,n}|} {(1-\rho_{j-i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho_{j-i,n} |}\right) \nonumber \\ & +\cdots+\sum\limits_{i\in B_{m}}\sum\limits_{j\notin B_{m}}\frac{|\rho_{j-i,n}|} {(1-\rho_{j-i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho_{j-i,n} |}\right) \Bigg]\nonumber \\ \leq\ & Cm^{2}n\sum\limits_{i=m_{n}^{\delta}}^{n}\frac{|\rho_{i,n}|} {(1-\rho_{i,n}^{2})^{1/2}}\exp \left( -\frac{u_{n}^{2}(x)}{1+|\rho_{i,n} |}\right). \end{align*}$
及对于足够大的 $n$ $m_{n}^{\delta}>l_{n}$ $n\to\infty$ $0$
定理 2.1 的证明 遵循在文献 [12 ] 中详细介绍的研究点过程的方法. 需要证明当 $n \to \infty$
且$ {\rm (b)} \quad P \{ N_n(E_m) =0 \} \to P\{ N(E_m) =0 \}.$
为了得到 (a), 首先定义 $v_{n}$ $([na],[nb]]$ $((s-1)r_{n},sr_{n}]$ $n$
(3.2) $\begin{align*}\label{eq::th11} v_{n}\sim nr_{n}^{-1}(b-a)\sim q_{n}(b-a). \end{align*}$
(3.3) $\begin{align*}\label{eq::th12} E N_n ( (a,b] ) = \sum\limits_{j=1}^{v_n} P( \cup_{i \in U_j} X_{i,n} >u_n (x)) = v_n P (M_{r_n} > u_n(x) ). \end{align*}$
同时, 由文献 [14 ,25 ] 的结论可得, 当 $n \to \infty$
(3.4) $\begin{align*} \label{eq::th13} q_n P(M_{r_n} > u_n(x)) \sim \vartheta {\rm e}^{-x}, \end{align*}$
因此, 从 (3.2) 和 (3.3) 式可以得到, 当 $n \to \infty$
为了证明 (b), 注意对于足够大的 $n$
(3.5) $\begin{align*}\label{eq::th14} P\{ N_n(E_m)=0 \} &=P \{ \cap_{i=1}^m M(B_i) \leq u_n(x) \} +o(1) \nonumber\\ &= \Pi_{i=1}^m P \{ M(B_i) \leq u_n(x) \} \nonumber\\ &~~~ +\left( P\{ \cap_{i=1}^m M(B_i) \leq u_n(x)\}-\Pi_{i=1}^m P\{ M(B_i)\leq u_n(x) \} \right) +o(1), \end{align*}$
(3.6) $\begin{align*}\label{eq::th15} \Pi_{i=1}^m P \{ M(B_i) \leq u_n(x) \} \to \exp\left(\sum\limits_{i=1}^{m}(b_i-a_i)\vartheta {\rm e}^{-x}\right),\quad n \to \infty. \end{align*}$
因此, 由引理 3.1, (3.5) 和 (3.6) 式, 得到 $(b)$
定理 2.2 的证明 本定理的证明与文献 [23 ] 和 [15 ] 的证明过程类似. 令一个整数序列 $m(n)$
(3.7) $\begin{align*}\label{eq::pth21} \lim_{n \to \infty} m(n)=\infty, \end{align*}$
(3.8) $\begin{align*}\label{eq::pth22} \lim_{n \to \infty} \frac{m(n)\log n}{n^2} \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^n |\rho_{j-i,n}|=0. \end{align*}$
不失一般性, 假设 $I_{n}^{+}\neq \emptyset$ $I_{n}^{-}\neq \emptyset$ . 进一步, 令 $S_{n}^{+}=\sum\limits_{i\in I_{n}^{+}}, \delta_{n}(i)$ $S_{n}^{-}=\sum\limits_{i\in I_{n}^{-}}\delta_{n}(i)$
设 $K_{n}=K_{n}^{+}\cup K_{n}^{-}$ $J_{n}=\{1,\cdots,n\} \backslash K_{n}$
其中 $\#(K_{n})$ $K_{n}$
(3.9) $\begin{align*}\label{eq::pth23} \#(K_n) \leq \frac{2n}{\log (m(n))}=o(n). \end{align*}$
其中 $C_{i,n}^{+}=\delta_{n}(i)/S_{n}^{+}$ $C_{i,n}^{-}=\delta_{n}(i)/S_{n}^{-}$ $S_{n}(J)=\sum\limits_{i\in J}X_{i,n}$ . 可见, $S_{n}$ $\{Y_{i,n},i\in J_{n}\}$
若能证明当 $n\rightarrow \infty$ $N_{n}(B)-N_{n}^{\ast}(B)=o_{p}(1)$ $N_{n}^{\ast}(B)-N_{n}^{^{\prime}}(B)=o_{p}(1)$
基于 (3.9) 式及当 $n\rightarrow \infty$ $nP(X_{i,n} >u_{n}(x))\rightarrow {\rm e}^{-x}$
(3.10) $\begin{align*}\label{eq::pth24} E |N_n(B)-N_n^{\ast}(B)| &\leq \sum\limits_{i\in K_n} P( X_{i,n} >u_n(x) ) \nonumber\\ & \leq \frac{\# (K_n)}{n} n(1-\Phi(u_n(x))) \to 0, \;\ n\rightarrow \infty. \end{align*}$
这表明 $N_{n}(B)-N_{n}^{\ast}(B)=o_{p}(1)$ . 接下来, 记
由 $J_{n}$ $C_{i,n}^{\pm}$
又由 Cauchy-Schwarz 不等式和式子 (1.1), (3.8) 得, 当 $n\rightarrow \infty$
结合 Chebyshev 不等式, 上式表明当 $n\rightarrow \infty$ $P\left( Q_{n} >a_{n}^{-1}\varepsilon_{n}\right) \leq \varepsilon_{n}\rightarrow0$ . 对于足够大的 $n$
由 (3.4) 式, 当 $n\rightarrow \infty$
同时, 当 $n\rightarrow \infty$ $\varepsilon>0$
(3.11) $\begin{align*}\label{eq::pth25} &~~~P(|N_n^{\ast}(B) -N_n^{'}(B)| >\varepsilon) \nonumber\\ &\leq P(Q_n > a_n^{-1} \varepsilon_n)+P(|N_n^{\ast}(B) -N_n^{'}(B)| >\varepsilon, Q_n \leq a_n^{-1}\varepsilon_n) \nonumber\\ &\leq \varepsilon_n +\varepsilon^{-1} E|N_n^{\ast}(B) -N_n^{'}(B)|I(Q_n \leq a_n^{-1}\varepsilon_n) \to 0. \end{align*}$
则该定理由 (3.10) 和 (3.11) 式得到, 证毕.
参考文献
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1
2005
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
Confidence intervals for extreme Pareto-type quantiles
1
2020
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
The sum and the maximum of iid random variables
1
1978
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
The asymptotic distribution of the maxima of a Gaussian random field on a lattice
1
2013
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...
Maxima of a triangular array of multivariate Gaussian sequence
1
2015
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...
Limit laws for extremes of dependent stationary Gaussian arrays
1
2013
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...
A simple general approach to inference about the tail of a distribution
1
1975
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
On the asymptotic joint distribution of the sum and maximum of stationary normal random variables
2
1996
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
... 定理 2.1 的证明 遵循在文献 [12 ] 中详细介绍的研究点过程的方法. 需要证明当 $n \to \infty$
Asymptotic distribution of sum and maximum for strongly dependent Gaussian processes
1
1999
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
The extremes of a trangular array of normal random variables
8
1996
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵$ \{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $ \rho_{j,n}=E\left( X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ 14 ] 的条件下, 本文证明了该高斯三角阵的聚集点过程依分布收敛于泊松过程, 并且聚集点过程与该高斯三角阵的部分和渐近独立. ...
... Let $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $ \rho_{j,n}=E\left( X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ 14 ], this paper is interested in the joint behavior of the point process of clusters and the partial sum of the Gaussian triangular array. It is shown that the point process of clusters converges in distribution to a Poisson process and is asymptotically independent with the partial sums. ...
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...
... 在与文献 [14 ] 相同的条件下, 本文首先推导了中心化平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布, 证明了聚集点过程依分布收敛于泊松过程, [14 ] 中极值的渐近分布是该结果的直接推论. 在极限分布的基础上, 本文进一步研究了聚集点过程与平稳高斯三角阵的部分和的联合行为. ...
... ] 相同的条件下, 本文首先推导了中心化平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布, 证明了聚集点过程依分布收敛于泊松过程, [14 ] 中极值的渐近分布是该结果的直接推论. 在极限分布的基础上, 本文进一步研究了聚集点过程与平稳高斯三角阵的部分和的联合行为. ...
... 注 2.1 由文献 [14 ] 可得, 如果条件 (2.1) 式成立, 且 ...
... 同时, 由文献 [14 ,25 ] 的结论可得, 当 $n \to \infty$
... 由文献 [14 ] 可得 ...
Joint behavior of point process of exceedances and partial sum from a Gaussian sequence
4
2009
... 对于满足 Berman 条件的具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ 15 ] 考虑了其超过数点过程与部分和的联合渐近分布. 超过数点过程定义为 ...
... 其中 $U_{s}=\{(s-1)r_{n}+1, (s-1)r_{n}+2,\cdots, sr_{n}\}$ $s=1, 2, \cdots, q_{n}$ . 然而, 目前关于聚集点过程渐近行为的研究较少, 对于平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布以及与部分和的联合渐近行为仍需要进一步研究. 在文献 [15 ,20 ] 的启发下, 本文主要研究聚集点过程 $N_{n}(B)$
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
... 定理 2.2 的证明 本定理的证明与文献 [23 ] 和 [15 ] 的证明过程类似. 令一个整数序列 $m(n)$
Limit distribution of the sum and maximum from multivariate Gaussian sequences
1
2007
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
A mixed bivariate distribution with exponential and geometric marginals
1
2005
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
A new multivariate model involving geometric sums and maxima of exponentials
1
2011
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
Extremes and local dependence in stationary sequences
2
1983
... 针对聚集现象, 文献 [20 ] 首次提出了聚集点过程的概念, 并证明了平稳序列在满足某种条件下其聚集点过程依分布收敛于泊松点过程. 类似地, 对于正整数 $r_{n}$ $ q_{n}=[n/r_{n}]$ $[x]$ $x$ $ \{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$
... 其中 $U_{s}=\{(s-1)r_{n}+1, (s-1)r_{n}+2,\cdots, sr_{n}\}$ $s=1, 2, \cdots, q_{n}$ . 然而, 目前关于聚集点过程渐近行为的研究较少, 对于平稳高斯三角阵聚集点过程的极限分布以及与部分和的联合渐近行为仍需要进一步研究. 在文献 [15 ,20 ] 的启发下, 本文主要研究聚集点过程 $N_{n}(B)$
2
1983
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...
... 证 由正态比较引理[21 ] 可得 ...
Extremes of stationary random fields on a lattice
1
2019
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...
Asymptotic distribution for the sum and maximum of Gaussian processes
2
2000
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
... 定理 2.2 的证明 本定理的证明与文献 [23 ] 和 [15 ] 的证明过程类似. 令一个整数序列 $m(n)$
Limit distribution for the maximum of stationary Gaussian processes
1
1975
... 具有单位方差的中心化平稳高斯三角阵 $\{X_{i,n},1\leq i\leq n\}$ $E(X_{i,n})=0$ $E(X_{i,n}^{2})=1$ $M_{n}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_{i,n}$ $\rho_{j,n}=E\left(X_{i,n}X_{i+j,n}\right)$ $M_{n}$ $n$ [4 ,21 ] . 进一步, 文献 [24 ] 在相关系数满足更弱的条件下也得到了最大值 $M_{n}$ 14 ] 通过限制平稳高斯三角阵的相关系数, 首次得到了聚集现象下的平稳高斯三角阵最大值的渐近分布. 文献 [10 ] 以及 [9 ] 将结果分别推广到二维与多维平稳高斯三角阵上. 此外, 文献 [8 ] 以及 [22 ] 将结果进一步扩展到了平稳随机场. 一个随机序列的极值性质不仅可以由最大值的渐近性质来描述, 也可以用点过程的渐近性质来描述. ...
Extreme values for stationary and Markov sequences
1
1987
... 同时, 由文献 [14 ,25 ] 的结论可得, 当 $n \to \infty$
On the joint limiting distribution of sums and maxima of stationary normal sequence
1
2003
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
部分和乘积的几乎处处中心极限定理
1
2009
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
部分和乘积的几乎处处中心极限定理
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2009
... 值得一提的是, 有关随机变量序列的极值与部分和的联合渐近行为的研究有着悠久的历史. 随着大数据时代的到来, 各个行业获取的数据量和数据类型都有了质的提升, 由于二者的重要性, 许多研究者加大了对随机序列的部分和与极值之间渐近关系的重视, 可以发现部分和与极值的相关研究陆续出现在不同的主题中, 例如: 金融、保险、工程以及能源建模等[5 ,18 ,19 ] . 除了关于极值与部分和的大量的直接理论研究外, 部分和在著名的 Hill 估计量中也占有十分重要的地位[6 ,11 ] . 因此关于随机变量的部分和与极值的联合渐近性质研究是非常具有实践与理论意义的. 文献 [7 ] 是早期具有影响力的文章之一, 他们主要关注独立同分布随机变量的部分和与极值. 文献 [1 ⇓ -3 ] 将他们的结论扩充到了满足强混合条件的随机序列上, 文献 [27 ] 得到了独立同分布随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理. 对于平稳高斯序列, 文献 [12 ,13 ,23 ] 与 [26 ] 证明了当高斯序列弱相关时, 最大值与部分和渐近独立; 当高斯序列强相关时, 最大值与部分和渐近相依. 文献 [16 ] 考虑了多维高斯三角阵的最大值与部分和的联合渐近分布. 进一步, 文献 [15 ] 将最大值与部分和研究扩展到了超过数点过程与部分和的研究. ...
