考虑下列带有分数阶 Laplace 算子和时间系数的扩散方程初边值问题

其中 $\Omega \subset {R^N}$ 是光滑有界区域, $s \in \left( {0, 1} \right)$, $N > 2s$, $m > 1$, $1 < p \le 2_s^ * + 1 = \frac{{N + 2s}}{{N - 2s}}$ 且 $p + 1 > 2m$. 对任意的 $t \ge 0$, 时间系数 $f(t)$ 满足下列条件

近些年, 对非线性扩散方程的研究已经有了很大的进展, 尤其是带有分数阶 Laplace 算子的扩散方程的研究引起了大家的广泛关注. 分数阶 Laplace 算子最早是在 1832 年 Liouville 在势位问题中提出的, 在文献 [1⇓⇓-4] 中, 作者参照经典 Laplace 算子的性质对分数阶 Laplace 算子做了研究.另外, 带有分数阶 Laplace 算子的扩散方程可以描述非局部的扩散现象, 从某种意义上来说, 非局部的扩散方程更具有实际应用价值, 关于这类方程解的存在性和爆破性的研究可参考文献 [5⇓⇓⇓⇓⇓⇓-12]. 含有时变系数的抛物方程解的存在性和爆破性的研究见文献 [3⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-17].

在文献 [5] 中 Fu 和 Pucci 深入讨论了如下问题

给出了在 $0 < J({u_0}) < d$ 的情况下全局弱解的存在性以及强解的真空隔离和爆破结果.

在文献 [6] 中研究了分数阶多孔介质方程

其中 $0 < \sigma < 2,m > 0$. 作者证明了在 ${R^N}$ 空间中上述问题解的存在性和唯一性.

在文献 [7] 中 Tan 和 Xie 研究了齐次 Dirichlet 边界条件下具有奇异势的分数阶扩散方程

其中 $s \in (0, 1)$, $p \in (2, 2_s^ * )$, $2_s^ *$ 是分数阶索伯列夫迹嵌入不等式的临界指数.由于分数阶 Laplace 算子的非局部性, 作者利用 Caffffarelli-Silvestre 扩展方法^[1] 将非局部问题转化为局部问题进行分析.并在适当的假设下, 证明了解的局部存在性, 得到了解的衰减估计, 长时间渐近性以及局部解的爆破性.

在文献 [8] 中彭红玲等人研究了一类在齐次 Dirichlet 边界条件下的半线性分数阶反应扩散方程

其中 $a(x) \in C(\mathop \Omega \limits^ - )$. 作者通过 Galerkin 近似法在适当的假设条件下证明了该方程整体解的存在性.

在上述工作的启发下, 本文研究时变系数 $f(t)$ 对问题 (1.1) 解的爆破条件和爆破时间的影响. 注意到, 在这类问题中, 能量泛函 $J(u)$ 显然依赖于时间变量, 即 $J(u;t)$. 因此, 与不含时变系数的问题比较起来明显有难度. 此外, 由于分数阶 Laplace 算子的非局部性, 所以将问题 (1.1) 按文献 [1] 中的方法进行延拓. 令 $U:\Omega \times (0, \infty ) \to R$ 是函数 $u:\Omega \to R$ 的延拓函数, 记 $D = \left\{ {(x, y)\left| {(x, y) \in \Omega \times (0, \infty )} \right.} \right\}$, $D$ 的横向边界为 ${\partial _L}D \times [0, \infty )$, 将问题 (1.1) 等价地转化为下列局部椭圆型定解问题

其中 $\partial _\nu ^s{U^m} = {( - \Delta )^s}{u^m} = {k_s}\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {y^{1 - 2s}}\frac{{\partial {U^m}}}{{\partial \nu }} = - \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {k_s}{y^{1 - 2s}}\frac{{\partial {U^m}}}{{\partial y}}$, $\nu$ 是单位外法向量, $\nu = (0, \cdots, 0, - 1) \in {R^{N - 1}}$, ${k_s} = \frac{{\Gamma (s)}}{{{2^{1 - 2s}}\Gamma \left( {1 - s} \right)}}$. 这里等价性的证明过程可参考文献 [7,11].

为方便起见, 之后用 ${\left\| \cdot \right\|_p}$ 表示空间 ${L^p}(\Omega )(p \ge 1)$ 的范数, 记 $\Phi (k)$ 是 $( - \Delta, H_0^1(\Omega ))$ 对应于特征值 ${\lambda _k}$ 的特征函数, 即

并且满足 ${\left\| {{\Phi _k}} \right\|_{{2}}} = 1$, ${\left\| {\nabla {\Phi _k}} \right\|_{{2}}} = {\lambda _k}$, 其中 $H_0^s(\Omega )$ 是一个 Hilbert 空间, 可以表示为

$H_0^s(\Omega ) = \left. {\left\{ {u\left| {u = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}} {\Phi _k}(x) \in {L^2}} \right.} \right.(\Omega ), \sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}^2} \lambda _k^s < + \infty } \right\},$ 该空间上的范数 ${\left\| u \right\|_{H_0^s}} = {\left( {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}^2{\lambda _k}^s} } \right)^{\frac{1}{2}}}$. 对于 $\forall {u^m}(t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k}(t){\Phi _k}(x)} \in H_0^s(\Omega )$, 则分数阶拉普拉斯算子 ${( - \Delta )^s}$ 可以定义为${( - \Delta )^s}:H_0^s(\Omega ) \to {H^{ - s}}(\Omega )$${( - \Delta )^s}{u^m} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k}(t)} \lambda _k^s{\Phi _k}(x) \in {H^{ - s}}(\Omega ),$

其中 ${c_k}(t) = \int_\Omega {{u^m}} {\Phi _k}(x){\rm d}x$, ${H^{ - s}}(\Omega )$ 为 $H_0^s(\Omega )$ 的对偶空间.

定义问题 (1.1) 和 (1.3) 的能量泛函以及问题 (1.3) 的 Nehari 泛函 $H(U(t), t)$ 如下

则

其中

该空间上的范数为 ${\left\| U \right\|_{H_{0, L}^s(D)}} = (\int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}{{\left| {\nabla U} \right|}^2}{\rm d}x{\rm d}y{)^{\frac{1}{2}}}}.$ 再由文献 [7] 和 [11] 可知

那么问题 *(1.1) 与 (1.3) 的能量泛函相等, 即 $J(u(t);t) = E(U(t);t)$.

记

则 $H(U) = h(U) - f(t)g(U)$.

定义正的集合 ${N_ + }$ 和负集合 ${N_ - }$

定义 Nehari 流形

定义位势阱深

定义 2.1(弱解) 称函数 $U(x, y, t)$ 为问题 (1.3) 的弱解, 若 $U(x, y, t)$ 满足

(i) $U \in {L^\infty }(0, T;H_{0, L}^s(D))$, ${U_t} \in {L^2}(0, T;{L^2}(\Omega ))$, ${U^m} \in {L^\infty }(\left[ {0, T} \right];H_{0, L}^s(D))$.

(ii) 对任意的检验函数 $V \in C_0^\infty ([T], H_{0, L}^s(D))$, 下列积分等式成立

定义 2.2 (有限时间爆破) 若 $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的解, 如果最大存在时间 $T$ 是有限的, 并且满足 $\mathop {\lim }\limits_{t \to {T^ - }} \int_0^T {\left\| U \right\|} _{^2}^2{\rm d}\tau = + \infty$, 则称 $U(x, y, t)$ 在有限时间内爆破.

下面我们给出证明解在有限时间内发生爆破的必要引理. 其中, 引理 2.5 是对爆破时间上界进行估计的重要依据.

引理 2.1^[7] 若 $f(t)$ 满足条件 (1.2), $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的弱解, 对任意的 $t \in [0, T)$ 有

说明能量泛函 $E(U(t))$ 关于 $t$ 单调不增, 即 $E(U)$ 是 Lyapunov 函数. 此引理的证明类似于文献 [7] 和 [11] 中的证明, 故略去证明过程.

引理 2.2^[7] 若 $f(t)$ 满足条件 (1.2), 对任意的 $t \in [0, T)$, 都有

其中 ${S^{ - 1}} = \mathop {\inf }\limits_{U \in H_{0, L}^s(D), U \ne 0} \left( {\frac{{{h^{\frac{1}{2}}}(U)}}{{{g^{\frac{m}{{p + 1}}}}(U)}}} \right)$, 由于时变函数 $f(t)$ 的出现, 位势阱深度 $d$ 随 $f(t)$ 的变化而变化.

证 计算

令

则${\lambda _1} = {\left( {\frac{{f(t)g(U)}}{{mh(U)}}} \right)^{\frac{1}{{2m - 1 - p}}}}, {\lambda _2} = 0.$

所以

由位势阱深的定义可得

其中 ${S^{ - 1}} = \mathop {\inf }\limits_{U \in H_{0, L}^s(D), U \ne 0} \left( {\frac{{{h^{\frac{1}{2}}}(U)}}{{{g^{\frac{m}{{p + 1}}}}(U)}}} \right).$ 由于 $p + 1 > 2m$, $f(t) > 0$, 所以

即 $d > 0$. 证毕.

引理 2.3 对任意的 $\lambda > 0$, 存在唯一的 ${\lambda ^ * } > 0$, 使得 $H({\lambda ^ * }U) = 0$. 并且当 $\lambda < {\lambda ^ * }$ 时, $H(\lambda U) > 0$; 当 $\lambda > {\lambda ^ * }$ 时, $H(\lambda U) < 0$.

证 根据 $H(U)$ 的定义可得

则 ${\lambda ^ * } = {\left( {\frac{{h(U)}}{{f(t)g(U)}}} \right)^{\frac{1}{{p + 1 - 2m}}}}$, 显然结论成立. 证毕.

引理 2.4^[7] (分数阶 Sobolev 迹嵌入不等式) 若 $U\in H_{0, L}^s(D)$, 则存在一个常数 ${C_ * } = (p, N, s, \left| D \right|) > 0$, 当 $1 \le p < 2_ * ^s$ 时, 有

引理2.5^[18] 设 $0 < T \le +\infty$, 非负函数 $F(t) \in {C^2}\left[ {0, T} \right)$, 满足

其中, $\alpha > 0$. 如果 $F(0) > 0$, $F'(0) > 0$, 则 $T \le \frac{{F(0)}}{{\alpha F'(0)}} < + \infty$, 并且当 $t \to T$ 时, $F(t) \to +\infty$.

下面定理分别证明了初始能级在三种不同情况下时, 问题 (1.3) 的解在有限时间内爆破, 并给出了爆破解的上界估计.

定理 3.1 若 $0 < E({U_0}) \le d$, $H({U_0}) < 0$, $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的弱解, $f(t)$ 满足条件 (1.2), 则 $U(x, y, t)$ 在有限时间 $T$ 爆破, 爆破时间上界 $T \le \frac{{4p\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p + 1)(d - E({U_0})){{(p - 1)}^2}}}$.

证步骤一 证明爆破发生, 下面分两种情况讨论.

(a) 若 $0<E({U_0}) < d$. 下证对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 有 $H(U(t)) < 0$.

因为 $H({U_0}) < 0$, 由 $U$ 的连续性可知, 存在充分小的 ${t_1} > 0$, 使对任意的 $t \in \left[ {0, t{}_1} \right)$, 都有 $H(U(t)) < 0$. 假设存在 ${t_2} > {t_1} > 0$, 使得 $H(U({t_2})) = 0$, 并且对 $t \in \left[ {0, {t_2}} \right)$, 有 $H(U(t)) < 0$, 由 $d$ 的定义和引理 2.1 得,

这与 $0 < E({U_0}) < d$ 矛盾. 因此, 对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 有 $H(U(t)) < 0$, 即 $U \in {N_ - }$.

现假设 $T = + \infty$, 定义函数

则$M'(t) = \frac{1}{2}\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|{}^2}{\rm d}x, M{\kern 1pt} ''(t) = \int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {U{U_t}{\rm d}x}.$

另一方面, (1.3) 式的两边同乘以 $U$, 并在 $D$ 上积分, 也可以得到函数 $M(t)$ 的一阶导数和二阶导数, 具体表达式如下

在 (2.4) 式两边对 $t$ 在 $\left[ {0, t} \right]$ 上积分, 可得

在 (3.2) 式的两边同时乘以 $(1 + p)$, 并与 (3.1) 式相加, 得

又因为 $U \in {N_ - }$, 由引理 2.3 可知, 存在 ${\lambda ^ * } \in (0, 1)$, 使得 $H({\lambda ^ * }U) = 0$, 根据 (2.3) 式有

所以

结合 (3.3) 和 (3.5) 式, 可得

利用 Schwarz 不等式, 有

由 (3.6) 式可知, $M''(t) > 0$, 所以对于任意 $t > {t_1} > 0$, 有

当 $t \to + \infty$ 时, 有

所以 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } M(t) = + \infty$. 令 $\alpha = \frac{{p - 1}}{2} > 0$, 根据 (3.7) 和 (3.8) 式, 当 $t > {t_1}$ 时

在 (3.9) 式两边关于 $t$ 在 $[{t_1}, t]$ 上积分, 再令 $t \to + \infty$, 得

故 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } M'(t) = + \infty$, 那么存在 ${t_2} > {t_1}$, 当 $t > {t_2}$ 时, 有

设 $R(t) = M{(t)^{ - \alpha }}$, 则 $R'(t) = - \alpha M{(t)^{ - \alpha - 1}}M'(t)$, $R''(t) = \alpha M{(t)^{ - \alpha - 1}}((1 + \alpha )(M'{(t)^2} - M(t)M''(t)) < 0$, 根据 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } R(t) = 0$, 存在 ${t_3} > {t_2}$, 当 $T > t > {t_3}$ 时, 有 $R'(t) < R'({t_3}) < 0$, 那么

这与 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } R(t) = 0$ 矛盾, 所以 $T < + \infty$, 即 $U$ 在有限时间内爆破.

(b) 若 $E({U_0}) = d$. 对于任意 $t > 0$, 都有 $H(U) < 0$, 重复 (a) 的过程仍可得到当 $t \to T$ 时, 有 $M'(t) \to + \infty$, 即 $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \int_0^t {\left\| U \right\|} _2^2{\rm d}\tau = + \infty$, 所以 $U$ 在有限时间内爆破.

步骤二 估计爆破时间的上界.

设 $U$ 是问题 (1.3) 中满足 $E({U_0}) < d$, $H({U_0}) < 0$ 的解, 则由第一步可知 $T < + \infty$. 定义函数

对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 考虑函数

其中 $\beta, \sigma$ 为待定正数, 则

因此

另外结合 (3.1) 式, 有

由 (2.3) 和 (3.2) 式得

由 (3.5), (3.12), (3.13) 式有

根据 Schwartz 不等式, 对任意 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 有

所以

那么

由 (3.14) 和 (3.16) 式, 当 $t \in \left[ {0, T} \right)$ 时, 可以得到

选取 $\beta$ 充分小, 满足 $0 < \beta < \frac{{(p + 1)(d - E({U_0}))}}{p}$, 使得上式非负, 则由引理 2.5, 当取 $\sigma$ 充分大, 满足 $\sigma > \frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p - 1)\beta }}$, 可得

记上式右端为 ${T_{\beta, \sigma }}$, 则 $T \le \inf {T_{\beta, \sigma }}$, 显然, 当 $\sigma$ 取 $\frac{{2\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p - 1)\beta }}$ 时, ${T_{\beta, \sigma }}$ 取到最小, 通过计算得

证毕.

定理 3.2 若 $E({U_0}) < 0$, $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的弱解, $f(t)$ 满足条件 (1.2), 则 $U(x, y, t)$ 在有限时间内爆破, 爆破时间上界为 $T \le \frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}$, 另外

证 定义辅助函数

由引理 2.1, 得

所以 $\psi (t)$ 为递增函数, 有

根据 (2.3) 和 (3.2) 式得

由 (3.19) 式及 Schwarz 不等式有

所以

即函数 $\psi {\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2}}}$ 单调递增, 则

根据 (3.18) 和 (3.22) 式, 有

对上式左右两端在 $[0, t)$ 上积分, 有

令 $t \to T$, 可得

对 (3.23) 式左右两端在 $(t, T)$ 上积分, 可得

证毕.

定理 3.3 若 $0 < E({U_0}) < \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}$, 则问题 (1.3) 的弱解 $U(x, y, t)$ 在有限时间内爆破, 并且 $T < \frac{{8pC_ * ^2\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{{{(p - 1)}^3}{{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m} - 2(p + 1){{(p - 1)}^2}C_ * ^2E({U_0}))}}$.

证步骤一 证明爆破发生. 利用 Holder 不等式, 有

根据 (2.3) 式和引理 2.4 可得

下证对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, $H(U(t)) < 0$. 采用反证法, 假设存在 ${t_0} \in (0, T)$, 使得 $H(U({t_0})) = 0$ 且对于任意的 $t \in \left[ {0, {t_0}} \right)$ 有, $H(U(t)) < 0$, 那么当 $t \in \left[ {0, {t_0}} \right)$ 时

因此, $\left\| U \right\|_2^2$ 关于 $t$ 在 $\left[ {0, {t_0}} \right)$ 上严格递增, 所以 $\left\| U \right\|_2^{2m}$ 也关于 $t$ 在 $\left[ {0, {t_0}} \right)$ 上严格递增, 有 $\left\| {U({t_0})} \right\|_2^{2m} > \left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}$, 则

另一方面, 由于

再根据 $H(U({t_0})) = 0$, $E(U)$ 关于 $t$ 单调不增, 得

显然与 (3.26) 式矛盾. 所以对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 都有 $H(U(t)) < 0$. 再由 (2.3) 式可知, $E(U)>0$.

现假设最大存在时间 $T = + \infty$. 定义函数

则$D(0) = \frac{{ - C_ * ^2}}{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}((p + 1)E({U_0}) - \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}) > 0.$

根据引理 2.1 和 $\left\| U \right\|_2^2$ 关于 $t$ 单调递增以及 $m > 1$, 得

由上式可知 $D'(t) > 0$, 所以 $D(t) > D(0) > 0$. 对 (3.28) 式从 $\left[ {0, t} \right]$ 积分, 可得

另一方面, 由 Holder 不等式, 可得

所以

显然, 存在充分大的 $t$, 使得上式不再成立. 这与最大存在时间 $T = + \infty$ 矛盾, 所以解在有限时间内爆破.

步骤二 估计爆破时间的上界. 由 (3.12) 式以及嵌入不等式, 得

由 (3.12), (3.16), (3.29) 式得

对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 当 $\beta \in (0, \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}D(0)}}{{C_ * ^2p}})$ 时, $FF'' - \frac{{p + 1}}{2}{(F')^2} \ge 0$, 由引理 2.5, 得

证毕.

本文研究了一类带有时变系数的分数阶扩散方程在齐次 Dirichet 边界条件下解的爆破性.由于 $f(t)$ 的出现, 使得能量泛函显然依赖于时间变量, 给问题的研究带来困难.这里仅要求 $f(t)$ 满足连续且单调的条件, 在此基础上, 利用位势阱理论, Nehari 流形和凹凸性方法以及各种微分不等式技巧, 获得了如下三个关于解爆破的结果

(1) 当 $0 < E({U_0}) \le d$ 时, 爆破时间 $T \le \frac{{4p\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p + 1)(d - E({U_0})){{(p - 1)}^2}}}$, 这里的 $d$ 随 $f(t)$ 的变化而变化.

(2) 当 $E({U_0}) < 0$ 时, 爆破时间 $T \le \frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}$, 并且 ${\left\| U \right\|_2} \le {\left( {\frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^{p + 1}}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}} \right)^{\frac{1}{{p - 1}}}}{(T - t)^{^{\frac{1}{{1 - p}}}}}.$

(3) 当 $0 < E({U_0}) < \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}$ 时, 爆破时间

定理 3 的条件保证了 Nehari 泛函 $H({U_0}) < 0$, 因此也是解在有限时间内发生爆破的一个充分条件.