数学物理学报, 2024, 44(5): 1229-1240

一类带有时变系数的分数阶扩散方程解的爆破性

高晓茹,*, 李建军, 徒君

辽宁工程技术大学理学院 辽宁阜新 123000

Blow-Up of Solutions for a Class of Fractional Diffusion Equations with Time Dependent Coefficients

Gao Xiaoru,*, Li Jianjun, Tu Jun

College of science, Liaoning Technical University, Liaoning Fuxin 123000

通讯作者: *高晓茹, E-mail: g12921606482023@163.com

收稿日期: 2023-09-18   修回日期: 2024-04-28  

基金资助: 国家自然科学基金(51704140)

Received: 2023-09-18   Revised: 2024-04-28  

Fund supported: NSFC(51704140)

摘要

该文主要研究了一类带有时间系数的分数阶扩散方程初边值问题解的爆破性. 采用位势阱理论, Nehari 流形, 凹凸性等方法, 结合各种微分不等式技巧, 分别证明了次临界初始能级, 负初始能级和任意正初始能级的情况下解的爆破性, 并且给出了爆破时间的上界估计. 特别地, 由于能量泛函和位势阱深与时变系数 $f(t)$ 有关, 所以在次临界初始能级的情况下, 爆破时间的上界会随着时变系数 $f(t)$ 的变化而变化.

关键词： 分数阶; 时变系数; 位势阱; 爆破

Abstract

In this paper, the blow-up properties of solutions for a class of fractional diffusion equations with time dependent coefficients is studied. By means of the potential well theory, Nehari manifold, concave conex method, and various differential inequalities, the finite time blow-up of the solutions under subcritical initial energy level, negative initial energy level and any positive initial energy level is discussed.And the upper bound of blow-up time is obtained.In particular, due to the energy functional and the depth of the potential well are related to the time-dependent coefficient $f(t)$, in the case of sub-critical initial energy level, the upper bound of blow-up time will change with $f(t)$.

Keywords： Fractional; Time-dependent coefficient; Potential well; Blow-up

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本文引用格式

高晓茹, 李建军, 徒君. 一类带有时变系数的分数阶扩散方程解的爆破性[J]. 数学物理学报, 2024, 44(5): 1229-1240

Gao Xiaoru, Li Jianjun, Tu Jun. Blow-Up of Solutions for a Class of Fractional Diffusion Equations with Time Dependent Coefficients[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(5): 1229-1240

1 引言

考虑下列带有分数阶 Laplace 算子和时间系数的扩散方程初边值问题

$\begin{equation}\label{eq:a1} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_t} + {{( - \Delta )}^s}{u^m} = f(t){{\left| u \right|}^{p - 1}}u, }&{}&{x \in \Omega, t > 0, }\\ {u(x, t) = 0, }&{}&{x \in \partial \Omega, t > 0, }\\ {u(x, 0) = {u_0}(x), }&{}&{x \in \Omega, } \end{array}} \right. \end{equation}$

其中 $\Omega \subset {R^N}$ 是光滑有界区域, $s \in \left( {0, 1} \right)$, $N > 2s$, $m > 1$, $1 < p \le 2_s^ * + 1 = \frac{{N + 2s}}{{N - 2s}}$ 且 $p + 1 > 2m$. 对任意的 $t \ge 0$, 时间系数 $f(t)$ 满足下列条件

$\begin{equation}\label{eq:a2} \ f(t)\in {C^1}([0, + \infty )), f(0) > 0, f'(t)> 0. \end{equation}$

近些年, 对非线性扩散方程的研究已经有了很大的进展, 尤其是带有分数阶 Laplace 算子的扩散方程的研究引起了大家的广泛关注. 分数阶 Laplace 算子最早是在 1832 年 Liouville 在势位问题中提出的, 在文献 [1⇓⇓-4] 中, 作者参照经典 Laplace 算子的性质对分数阶 Laplace 算子做了研究.另外, 带有分数阶 Laplace 算子的扩散方程可以描述非局部的扩散现象, 从某种意义上来说, 非局部的扩散方程更具有实际应用价值, 关于这类方程解的存在性和爆破性的研究可参考文献 [5⇓⇓⇓⇓⇓⇓-12]. 含有时变系数的抛物方程解的存在性和爆破性的研究见文献 [3⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-17].

在文献 [5] 中 Fu 和 Pucci 深入讨论了如下问题

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_t} + {{( - \Delta )}^s}u = {{\left| u \right|}^{p - 1}}u, }&{}&{(x, t) \in \Omega \times (0, \infty ), }\\ {u(x, t) = 0, }&{}&{(x, t) \in ({R^N}\backslash \Omega ) \times (0, \infty ), }\\ {u(x, 0) = {u_0}(x), }&{}&{x \in \Omega, } \end{array}} \right.$

给出了在 $0 < J({u_0}) < d$ 的情况下全局弱解的存在性以及强解的真空隔离和爆破结果.

在文献 [6] 中研究了分数阶多孔介质方程

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_t} + {{( - \Delta )}^{\frac{\sigma }{2}}}({{\left| u \right|}^{m - 1}}u) = 0, }&{}&{x \in {R^N}, t > 0, }\\ {u(x, 0) = f(x), }&{}&{x \in {R^N}, } \end{array}} \right.$

其中 $0 < \sigma < 2,m > 0$. 作者证明了在 ${R^N}$ 空间中上述问题解的存在性和唯一性.

在文献 [7] 中 Tan 和 Xie 研究了齐次 Dirichlet 边界条件下具有奇异势的分数阶扩散方程

${A_s}u = - \frac{{{u_t}}}{{{{\left| x \right|}^{2s}}}} + {\left| u \right|^{p - 2}}u, $

其中 $s \in (0, 1)$, $p \in (2, 2_s^ * )$, $2_s^ * $ 是分数阶索伯列夫迹嵌入不等式的临界指数.由于分数阶 Laplace 算子的非局部性, 作者利用 Caffffarelli-Silvestre 扩展方法[1] 将非局部问题转化为局部问题进行分析.并在适当的假设下, 证明了解的局部存在性, 得到了解的衰减估计, 长时间渐近性以及局部解的爆破性.

在文献 [8] 中彭红玲等人研究了一类在齐次 Dirichlet 边界条件下的半线性分数阶反应扩散方程

${( - \Delta )^s}u = - \frac{{{u_t}}}{{{{\left| x \right|}^{2s}}}} + a(x){u^p}, $

其中 $a(x) \in C(\mathop \Omega \limits^ - )$. 作者通过 Galerkin 近似法在适当的假设条件下证明了该方程整体解的存在性.

在上述工作的启发下, 本文研究时变系数 $f(t)$ 对问题 (1.1) 解的爆破条件和爆破时间的影响. 注意到, 在这类问题中, 能量泛函 $J(u)$ 显然依赖于时间变量, 即 $J(u;t)$. 因此, 与不含时变系数的问题比较起来明显有难度. 此外, 由于分数阶 Laplace 算子的非局部性, 所以将问题 (1.1) 按文献 [1] 中的方法进行延拓. 令 $U:\Omega \times (0, \infty ) \to R$ 是函数 $u:\Omega \to R$ 的延拓函数, 记 $D = \left\{ {(x, y)\left| {(x, y) \in \Omega \times (0, \infty )} \right.} \right\}$, $D$ 的横向边界为 ${\partial _L}D \times [0, \infty )$, 将问题 (1.1) 等价地转化为下列局部椭圆型定解问题

$\begin{equation}\label{eq:a3} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {\rm div}({y^{1 - 2s}}\nabla {U^m}(x, y, t)) = 0, }&{}&{(x, y) \in D, t > 0, }\\ {U(x, y, t) = 0, }&{}&{(x, y) \in {\partial _L}D, t > 0, }\\ {\partial _\nu ^s{U^m} = - {U_t} + f(t){{\left| U \right|}^{p - 1}}U, }&{}&{(x, y) \in \Omega \times \left\{ 0 \right\}, t > 0, }\\ {U(x, y, 0) = {U_0}, }&{}&{(x, y) \in D, } \end{array}} \right. \end{equation}$

其中 $\partial _\nu ^s{U^m} = {( - \Delta )^s}{u^m} = {k_s}\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {y^{1 - 2s}}\frac{{\partial {U^m}}}{{\partial \nu }} = - \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {k_s}{y^{1 - 2s}}\frac{{\partial {U^m}}}{{\partial y}}$, $\nu $ 是单位外法向量, $\nu = (0, \cdots, 0, - 1) \in {R^{N - 1}}$, ${k_s} = \frac{{\Gamma (s)}}{{{2^{1 - 2s}}\Gamma \left( {1 - s} \right)}}$. 这里等价性的证明过程可参考文献 [7,11].

2 预备知识

为方便起见, 之后用 ${\left\| \cdot \right\|_p}$ 表示空间 ${L^p}(\Omega )(p \ge 1)$ 的范数, 记 $\Phi (k)$ 是 $( - \Delta, H_0^1(\Omega ))$ 对应于特征值 ${\lambda _k}$ 的特征函数, 即

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \Delta {\Phi _k} = {\lambda _k}{\Phi _k}, }&{}&{x \in \Omega, }\\ {{\Phi _k} = 0, }&{}&{x \in \partial \Omega, } \end{array}} \right.$

并且满足 ${\left\| {{\Phi _k}} \right\|_{{2}}} = 1$, ${\left\| {\nabla {\Phi _k}} \right\|_{{2}}} = {\lambda _k}$, 其中 $H_0^s(\Omega )$ 是一个 Hilbert 空间, 可以表示为

$H_0^s(\Omega ) = \left. {\left\{ {u\left| {u = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}} {\Phi _k}(x) \in {L^2}} \right.} \right.(\Omega ), \sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}^2} \lambda _k^s < + \infty } \right\}, $ 该空间上的范数 ${\left\| u \right\|_{H_0^s}} = {\left( {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}^2{\lambda _k}^s} } \right)^{\frac{1}{2}}}$. 对于 $\forall {u^m}(t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k}(t){\Phi _k}(x)} \in H_0^s(\Omega )$, 则分数阶拉普拉斯算子 ${( - \Delta )^s}$ 可以定义为${( - \Delta )^s}:H_0^s(\Omega ) \to {H^{ - s}}(\Omega )$${( - \Delta )^s}{u^m} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k}(t)} \lambda _k^s{\Phi _k}(x) \in {H^{ - s}}(\Omega ), $

其中 ${c_k}(t) = \int_\Omega {{u^m}} {\Phi _k}(x){\rm d}x$, ${H^{ - s}}(\Omega )$ 为 $H_0^s(\Omega )$ 的对偶空间.

定义问题 (1.1) 和 (1.3) 的能量泛函以及问题 (1.3) 的 Nehari 泛函 $H(U(t), t)$ 如下

$J(u(t);t) = \frac{1}{2}\left\| {{{( - \Delta )}^{\frac{s}{2}}}{u^m}} \right\|_{{2}}^2 - \frac{{f(t)}}{{p + 1}}\left\| u \right\|_{{{p + 1}}}^{p + 1}, $
$\begin{equation}\label{eq:b1} E(U(t);t) = \frac{1}{2}\int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}} {\left| {\nabla {U^m}(t)} \right|^2}{\rm d}x{\rm d}y - \frac{{f(t)}}{{p + 1}}{\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|} ^{p + 1}}{\rm d}x, \begin{array}{*{20}{l}} {} \end{array}U \in H_{0, L}^s(D), \end{equation}\\$
$\begin{equation}\label{eq:b2} H(U(t);t) = \int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}} {\left| {\nabla {U^m}(t)} \right|^2}{\rm d}x{\rm d}y - f(t){\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|} ^{p + 1}}{\rm d}x, \begin{array}{*{20}{l}} {} \end{array}\begin{array}{*{20}{l}} {U \in H_{0, L}^s(D)}, \end{array} \end{equation}$

则

$\begin{equation}\label{eq:b3} E(U;t) = \frac{1}{{p + 1}}H(U) + \frac{{p - 1}}{{2(p + 1)}}\int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}} {\left| {\nabla {U^m}(t)} \right|^2}{\rm d}x{\rm d}y, \end{equation}$

其中

$H_{0, L}^s(D) = \left\{ {U\left| {U \in {L^2}(D):U = 0({\rm a.e.}(x, y) \in {\partial _L}D)} \right., \int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}{{\left| {\nabla {U^m}} \right|}^2}{\rm d}x{\rm d}y < \infty } } \right\}, $

该空间上的范数为 ${\left\| U \right\|_{H_{0, L}^s(D)}} = (\int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}{{\left| {\nabla U} \right|}^2}{\rm d}x{\rm d}y{)^{\frac{1}{2}}}}.$ 再由文献 [7] 和 [11] 可知

$(\int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}{{\left| {\nabla {U^m}} \right|}^2}{\rm d}x{\rm d}y{)^{\frac{1}{2}}}} = {\left\| {{U^m}} \right\|_{H_{0, L}^s(D)}} = {\left\| {{u^m}} \right\|_{H_0^s(\Omega )}} = {(\sum\limits_{k = 1}^\infty {c_k^2} \lambda _k^s)^{\frac{1}{2}}} = {\left\| {{{( - \Delta )}^{\frac{s}{2}}}{u^m}} \right\|_{{2}}}, $

那么问题 *(1.1) 与 (1.3) 的能量泛函相等, 即 $J(u(t);t) = E(U(t);t)$.

记

$h(U) = \int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}} {\left| {\nabla {U^m}(t)} \right|^2}{\rm d}x{\rm d}y, g(U) = {\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|} ^{p + 1}}{\rm d}x, $

则 $H(U) = h(U) - f(t)g(U)$.

定义正的集合 ${N_ + }$ 和负集合 ${N_ - }$

${N_ + } = \left\{ {U \in H_{0, L}^s(D):H(U) > 0} \right\}, {N_ - } = \left\{ {U \in H_{0, L}^s(D):H(U) < 0} \right\}.$

定义 Nehari 流形

$N = \left\{ {U \in H_{0, L}^s(D):H(U) = 0, U \ne 0} \right\}.$

定义位势阱深

$d = \mathop {\inf }\limits_{U \in H_{0, L}^s(D), U \ne 0} \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{\lambda \ge 0} E(\lambda U)} \right\} = \mathop {\inf }\limits_{U \in N} E(U).$

定义 2.1(弱解) 称函数 $U(x, y, t)$ 为问题 (1.3) 的弱解, 若 $U(x, y, t)$ 满足

(i) $U \in {L^\infty }(0, T;H_{0, L}^s(D))$, ${U_t} \in {L^2}(0, T;{L^2}(\Omega ))$, ${U^m} \in {L^\infty }(\left[ {0, T} \right];H_{0, L}^s(D))$.

(ii) 对任意的检验函数 $V \in C_0^\infty ([T], H_{0, L}^s(D))$, 下列积分等式成立

$\int_0^T {\int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}\nabla {U^m}\nabla V} } {\rm d}x{\rm d}y{\rm d}\tau + \int_0^T {\int_{\Omega \times \{ 0\} } {{U_\tau }} } V{\rm d}x{\rm d}\tau - {\int_0^T {\int_{\Omega \times \{ 0\} } {f(\tau )\left| U \right|} } ^{p - 1}}UV{\rm d}x{\rm d}\tau = 0.$

定义 2.2 (有限时间爆破) 若 $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的解, 如果最大存在时间 $T$ 是有限的, 并且满足 $\mathop {\lim }\limits_{t \to {T^ - }} \int_0^T {\left\| U \right\|} _{^2}^2{\rm d}\tau = + \infty $, 则称 $U(x, y, t)$ 在有限时间内爆破.

下面我们给出证明解在有限时间内发生爆破的必要引理. 其中, 引理 2.5 是对爆破时间上界进行估计的重要依据.

引理 2.1[7] 若 $f(t)$ 满足条件 (1.2), $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的弱解, 对任意的 $t \in [0, T)$ 有

$\begin{equation}\label{eq:b4} \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}(E\left( {U(t);t} \right)) = - (\left\| {{U_t}} \right\|_2^2 + \frac{{f'(t)}}{{p + 1}}\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {{{\left| U \right|}^{p + 1}}{\rm d}x} ) \le 0. \end{equation}$

说明能量泛函 $E(U(t))$ 关于 $t$ 单调不增, 即 $E(U)$ 是 Lyapunov 函数. 此引理的证明类似于文献 [7] 和 [11] 中的证明, 故略去证明过程.

引理 2.2[7] 若 $f(t)$ 满足条件 (1.2), 对任意的 $t \in [0, T)$, 都有

$d = \frac{{(p + 1){{(\frac{{f(t)}}{m})}^{\frac{{2m}}{{2m - 1 - p}}}} - 2f(t){{(\frac{{f(t)}}{m})}^{\frac{{p + 1}}{{2m - 1 - p}}}}}}{{2(p + 1)}}{S^{\frac{{2(p + 1)}}{{2m - 1 - p}}}} > 0, $

其中 ${S^{ - 1}} = \mathop {\inf }\limits_{U \in H_{0, L}^s(D), U \ne 0} \left( {\frac{{{h^{\frac{1}{2}}}(U)}}{{{g^{\frac{m}{{p + 1}}}}(U)}}} \right)$, 由于时变函数 $f(t)$ 的出现, 位势阱深度 $d$ 随 $f(t)$ 的变化而变化.

证 计算

$E(\lambda U) = \frac{{{\lambda ^{2m}}}}{2}\int_D {{k_s}} {y^{1 - 2s}}{\left| {\nabla {U^m}} \right|^2}{\rm d}x{\rm d}y - \frac{{{\lambda ^{p + 1}}}}{{p + 1}}f(t){\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|} ^{p + 1}}{\rm d}x, $

令

$\frac{{{\rm d}E(\lambda U)}}{{{\rm d}\lambda }} = m{\lambda ^{2m - 1}}h(U) - {\lambda ^p}f(t)g(U) = 0, $

则$ {\lambda _1} = {\left( {\frac{{f(t)g(U)}}{{mh(U)}}} \right)^{\frac{1}{{2m - 1 - p}}}}, {\lambda _2} = 0.$

所以

$\sup E(\lambda U) = E\left( {{\lambda _1}U} \right) = \frac{{(p + 1){{\left( {\frac{{f(t)}}{m}} \right)}^{\frac{{2m}}{{2m - 1 - p}}}} - 2f(t){{\left( {\frac{{f(t)}}{m}} \right)}^{\frac{{p + 1}}{{2m - 1 - p}}}}}}{{2(p + 1)}}{\left( {\frac{{g{{(U)}^{2m}}}}{{h{{(U)}^{p + 1}}}}} \right)^{ - \frac{{2(p + 1)}}{{2m - 1 - p}}}}, $

由位势阱深的定义可得

$d = \mathop {\inf }\limits_{U \in H_{0, L}^s(D), U \ne 0} \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{\lambda \ge 0} E(\lambda U)} \right\} = \frac{{(p + 1){{\left( {\frac{{f(t)}}{m}} \right)}^{\frac{{2m}}{{2m - 1 - p}}}} - 2f(t){{\left( {\frac{{f(t)}}{m}} \right)}^{\frac{{p + 1}}{{2m - 1 - p}}}}}}{{2(p + 1)}}{S^{\frac{{2(p + 1)}}{{2m - 1 - p}}}}, $

其中 ${S^{ - 1}} = \mathop {\inf }\limits_{U \in H_{0, L}^s(D), U \ne 0} \left( {\frac{{{h^{\frac{1}{2}}}(U)}}{{{g^{\frac{m}{{p + 1}}}}(U)}}} \right).$ 由于 $p + 1 > 2m$, $f(t) > 0$, 所以

$(p + 1){\left( {\frac{{f(t)}}{m}} \right)^{\frac{{2m}}{{2m - 1 - p}}}} > 2f(t){\left( {\frac{{f(t)}}{m}} \right)^{\frac{{p + 1}}{{2m - 1 - p}}}}, $

即 $d > 0$. 证毕.

引理 2.3 对任意的 $\lambda > 0$, 存在唯一的 ${\lambda ^ * } > 0$, 使得 $H({\lambda ^ * }U) = 0$. 并且当 $\lambda < {\lambda ^ * }$ 时, $H(\lambda U) > 0$; 当 $\lambda > {\lambda ^ * }$ 时, $H(\lambda U) < 0$.

证 根据 $H(U)$ 的定义可得

$H(\lambda U) = {\lambda ^{2m}}h(U) - {\lambda ^{p + 1}}f(t)g(U), $

则 ${\lambda ^ * } = {\left( {\frac{{h(U)}}{{f(t)g(U)}}} \right)^{\frac{1}{{p + 1 - 2m}}}}$, 显然结论成立. 证毕.

引理 2.4[7] (分数阶 Sobolev 迹嵌入不等式) 若 $U\in H_{0, L}^s(D)$, 则存在一个常数 ${C_ * } = (p, N, s, \left| D \right|) > 0$, 当 $1 \le p < 2_ * ^s$ 时, 有

${({\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|} ^p}{\rm d}x)^{\frac{1}{p}}} \le {C_ * }{(\int_D {{k_s}{y^{1 - 2s}}{{\left| {\nabla U} \right|}^2}{\rm d}x{\rm d}y} )^{\frac{1}{2}}} = {C_ * }{\left\| U \right\|_{H_{0, L}^s(D)}}.$

引理2.5[18] 设 $0 < T \le +\infty $, 非负函数 $F(t) \in {C^2}\left[ {0, T} \right)$, 满足

$F(t)F''(t) - (1 + \alpha ){(F'(t))^2} \ge 0, $

其中, $\alpha > 0$. 如果 $F(0) > 0$, $F'(0) > 0$, 则 $T \le \frac{{F(0)}}{{\alpha F'(0)}} < + \infty $, 并且当 $t \to T$ 时, $F(t) \to +\infty $.

3 主要结论及证明

下面定理分别证明了初始能级在三种不同情况下时, 问题 (1.3) 的解在有限时间内爆破, 并给出了爆破解的上界估计.

定理 3.1 若 $0 < E({U_0}) \le d$, $H({U_0}) < 0$, $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的弱解, $f(t)$ 满足条件 (1.2), 则 $U(x, y, t)$ 在有限时间 $T$ 爆破, 爆破时间上界 $T \le \frac{{4p\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p + 1)(d - E({U_0})){{(p - 1)}^2}}}$.

证步骤一 证明爆破发生, 下面分两种情况讨论.

(a) 若 $0<E({U_0}) < d$. 下证对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 有 $H(U(t)) < 0$.

因为 $H({U_0}) < 0$, 由 $U$ 的连续性可知, 存在充分小的 ${t_1} > 0$, 使对任意的 $t \in \left[ {0, t{}_1} \right)$, 都有 $H(U(t)) < 0$. 假设存在 ${t_2} > {t_1} > 0$, 使得 $H(U({t_2})) = 0$, 并且对 $t \in \left[ {0, {t_2}} \right)$, 有 $H(U(t)) < 0$, 由 $d$ 的定义和引理 2.1 得,

$d = \mathop {\inf }\limits_{U \in N} E(U({t_2})) \le E(U({t_2})) < E({U_0}), $

这与 $0 < E({U_0}) < d$ 矛盾. 因此, 对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 有 $H(U(t)) < 0$, 即 $U \in {N_ - }$.

现假设 $T = + \infty $, 定义函数

$M(t) = \frac{1}{2}\int_0^t {\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {{{\left| U \right|}^2}} } {\rm d}x{\rm d}\tau, $

则$M'(t) = \frac{1}{2}\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|{}^2}{\rm d}x, M{\kern 1pt} ''(t) = \int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {U{U_t}{\rm d}x}.$

另一方面, (1.3) 式的两边同乘以 $U$, 并在 $D$ 上积分, 也可以得到函数 $M(t)$ 的一阶导数和二阶导数, 具体表达式如下

$M'(t) = \int_0^t {\int_D { - {k_s}} } {y^{1 - 2s}}{\left| {\nabla {U^m}} \right|^2}{\rm d}x{\rm d}y{\rm d}\tau + \int_0^t {f(\tau )} \int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {{{\left| U \right|}^{p + 1}}{\rm d}x{\rm d}\tau }, $
$\begin{equation}\label{eq:c2} M''(t) = \int_D { - {k_s}{y^{1 - 2s}}{{\left| {\nabla {U^m}} \right|}^2}{\rm d}x{\rm d}y} + f(t)\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {{{\left| U \right|}^{p + 1}}{\rm d}x} = \int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {U{U_t}{\rm d}x} = - H(U). \end{equation}$

在 (2.4) 式两边对 $t$ 在 $\left[ {0, t} \right]$ 上积分, 可得

$\begin{equation}\label{eq:c3} E({U_0}) = E(U) + \int_0^t {\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {({U_\tau }} } {)^2}{\rm d}x{\rm d}\tau + \int_0^t {\int_{\Omega \times \{ 0\} } {\frac{{f'(\tau )}}{{p + 1}}{{\left| U \right|}^{p + 1}}} }{\rm d} x{\rm d}\tau. \end{equation}$

在 (3.2) 式的两边同时乘以 $(1 + p)$, 并与 (3.1) 式相加, 得

$\begin{equation}\label{eq:c4} M''(t) = \frac{{p - 1}}{2}h(U) - (p + 1)E({U_0}) + (p + 1)\int_0^t {\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {({U_\tau }} } {)^2}{\rm d}x{\rm d}\tau + \int_0^t {\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {f'(\tau ){{\left| U \right|}^{p + 1}}} } {\rm d}x{\rm d}\tau. \end{equation}$

又因为 $U \in {N_ - }$, 由引理 2.3 可知, 存在 ${\lambda ^ * } \in (0, 1)$, 使得 $H({\lambda ^ * }U) = 0$, 根据 (2.3) 式有

$\begin{equation}\label{eq:c5} d \le E({\lambda ^ * }U) = \frac{{p - 1}}{{2(p + 1)}}{({\lambda ^ * })^{2m}}h(U) < \frac{{p - 1}}{{2(p + 1)}}h(U). \end{equation}$

所以

$\begin{equation}\label{eq:c6} \frac{{p - 1}}{2}h(U) - (p + 1)E({U_0}) > \frac{{p - 1}}{2}h(U) - (p + 1)d > 0. \end{equation}$

结合 (3.3) 和 (3.5) 式, 可得

$\begin{equation}\label{eq:c7} M''(t) > (p + 1)\int_0^t {\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {({U_\tau }} } {)^2}{\rm d}x{\rm d}\tau. \end{equation}$

利用 Schwarz 不等式, 有

$\begin{align*}\label{eq:c8} M(t)M''(t) &> \frac{{p + 1}}{2}\int_0^t {{{\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| U \right|^2} }}} {\rm d}x{\rm d}\tau \int_0^t {{{\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {\left| {{U_\tau }} \right|^2} }}} {\rm d}x{\rm d}\tau\\ &\ge \frac{{p + 1}}{2}{(\int_0^t {\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {U{U_\tau }} } {\rm d}x{\rm d}\tau )^2}\\ &= \frac{{p + 1}}{2}{(\int_0^t {M''(\tau )} {\rm d}\tau )^2} = \frac{{p + 1}}{2}{(M'(t) - M'(0))^2}. \end{align*}$

由 (3.6) 式可知, $M''(t) > 0$, 所以对于任意 $t > {t_1} > 0$, 有

$\begin{equation}\label{eq:c9} \ M'(t) > M'({t_1}) > M'(0), \end{equation}$

当 $t \to + \infty $ 时, 有

$M(t) - M({t_1}) = \int_{{t_1}}^t {M'(\tau )} {\rm d}\tau \ge M'({t_1})(t - {t_1}) \to + \infty, $

所以 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } M(t) = + \infty $. 令 $\alpha = \frac{{p - 1}}{2} > 0$, 根据 (3.7) 和 (3.8) 式, 当 $t > {t_1}$ 时

$\begin{equation}\label{eq:c10} M'(t)M''(t) > \left( {1 + \alpha } \right){(M'(t) - M'(0))^2}\frac{{M'(t)}}{{M(t)}} > \left( {1 + \alpha } \right){(M'({t_1}) - M'(0))^2}\frac{{M'(t)}}{{M(t)}}. \end{equation}$

在 (3.9) 式两边关于 $t$ 在 $[{t_1}, t]$ 上积分, 再令 $t \to + \infty $, 得

$\frac{1}{2}{(M'(t))^2} > \left( {1 + \alpha } \right){(M'({t_1}) - M'(0))^2}\ln M(t)\left| {_{{t_1}}^t} \right. \to + \infty, $

故 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } M'(t) = + \infty $, 那么存在 ${t_2} > {t_1}$, 当 $t > {t_2}$ 时, 有

$M(t)M''(t) > (1 + \alpha ){(M'(t))^2}.$

设 $R(t) = M{(t)^{ - \alpha }}$, 则 $R'(t) = - \alpha M{(t)^{ - \alpha - 1}}M'(t)$, $R''(t) = \alpha M{(t)^{ - \alpha - 1}}((1 + \alpha )(M'{(t)^2} - M(t)M''(t)) < 0$, 根据 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } R(t) = 0$, 存在 ${t_3} > {t_2}$, 当 $T > t > {t_3}$ 时, 有 $R'(t) < R'({t_3}) < 0$, 那么

$0 < R(t) < R({t_3}) + R'({t_3})(t - {t_3}) \to - \infty (t \to T), $

这与 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } R(t) = 0$ 矛盾, 所以 $T < + \infty $, 即 $U$ 在有限时间内爆破.

(b) 若 $E({U_0}) = d$. 对于任意 $t > 0$, 都有 $H(U) < 0$, 重复 (a) 的过程仍可得到当 $t \to T$ 时, 有 $M'(t) \to + \infty $, 即 $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \int_0^t {\left\| U \right\|} _2^2{\rm d}\tau = + \infty $, 所以 $U$ 在有限时间内爆破.

步骤二 估计爆破时间的上界.

设 $U$ 是问题 (1.3) 中满足 $E({U_0}) < d$, $H({U_0}) < 0$ 的解, 则由第一步可知 $T < + \infty $. 定义函数

$X(t) = {\left( {\int_0^t {\left\| U \right\|_2^2{\rm d}\tau } } \right)^{\frac{1}{2}}}, Y(t) = {\left( {\int_0^t {\left\| {{U_\tau }} \right\|_2^2{\rm d}\tau } } \right)^{\frac{1}{2}}}.$

对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 考虑函数

$\begin{equation}\label{eq:c11} \ F(t) = \frac{1}{2}\int_0^t {\left\| U \right\|} _2^2{\rm d}\tau + \frac{1}{2}(T - t)\left\| {{U_0}} \right\|_2^2 + \frac{1}{2}\beta {(t + \sigma )^2}, \end{equation}$

其中 $\beta, \sigma $ 为待定正数, 则

$\begin{equation}\label{eq:c12} \ F'(t) = \frac{1}{2}\left\| U \right\|_2^2 - \frac{1}{2}\left\| {{U_0}} \right\|_2^2 + \beta (t + \sigma ) > \beta (t + \sigma ) > 0, \end{equation}$

因此

$F(t) \ge F(0) = \frac{1}{2}T\left\| {{U_0}} \right\|_2^2 + \frac{1}{2}\beta {\sigma ^2}.$

另外结合 (3.1) 式, 有

$\begin{equation}\label{eq:c13} \ F''(t) = \left( {U, {U_t}} \right) + \beta = - H(U) + \beta. \end{equation}$

由 (2.3) 和 (3.2) 式得

$\begin{equation}\label{eq:c14} \ - H(U) \ge - (p + 1)E({U_0}) + (p + 1)\int_0^t {\left\| {{U_\tau }} \right\|} _2^2{\rm d}\tau + \frac{{p +1-2m }}{2}\int_D {{k^s}} {y^{1 - 2s}}{\left| {\nabla {U^m}} \right|^2}{\rm d}x{\rm d}y. \end{equation}$

由 (3.5), (3.12), (3.13) 式有

$\begin{equation}\label{eq:c15} \ F''(t) \ge (p + 1)\int_0^t {\left\| {{U_\tau }} \right\|} _2^2{\rm d}\tau + (p + 1)\left( {d(t) - E({U_0})} \right) + \beta. \end{equation}$

根据 Schwartz 不等式, 对任意 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 有

$\begin{equation}\label{eq:c16} \ \frac{1}{2}\int_0^t {\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}} \left\| U \right\|_2^2{\rm d}\tau = \int_0^t {(U, {U_\tau }} ){\rm d}\tau \le \int_0^t {{{\left\| U \right\|}_2}} {\left\| {{U_\tau }} \right\|_2}{\rm d}\tau \le X(t)Y(t), \end{equation}$

所以

$\begin{align*} & 2(F(t) - \frac{1}{2}(T - t)\left\| {{U_0}} \right\|_2^2)(Y{(t)^2} + \beta )\\ &= \left( {X{{(t)}^2}Y{{(t)}^2} + \beta X{{(t)}^2} + \beta {{(t + \sigma )}^2}Y{{(t)}^2} + {\beta ^2}{{(t + \sigma )}^2}} \right)\\ &\ge {(X(t)Y(t) + \beta (t + \sigma ))^2} \ge {(\frac{1}{2}\int_0^t {\frac{d}{{{\rm d}\tau }}} \left\| U \right\|_2^2{\rm d}\tau + \beta (t + \sigma ))^2}. \end{align*}$

那么

$\begin{align*}\label{eq:c17} {(F'(t))^2} &= {(\frac{1}{2}\int_0^t {\frac{d}{{{\rm d}\tau }}} \left\| U \right\|_2^2{\rm d}\tau + \beta (t + \sigma ))^2} \le 2(F(t) - \frac{1}{2}(T - t)\left\| {{U_0}} \right\|_2^2)(Y{(t)^2} + \beta )\\ &\le 2F(t)(Y{(t)^2} + \beta ) \end{align*}$

由 (3.14) 和 (3.16) 式, 当 $t \in \left[ {0, T} \right)$ 时, 可以得到

$\begin{equation}\label{eq:c18} \ F''(t)F(t) - \frac{{p + 1}}{2}(F'(t)) > F(t)((p + 1)(d - E({U_0})) - p\beta ). \end{equation}$

选取 $\beta $ 充分小, 满足 $0 < \beta < \frac{{(p + 1)(d - E({U_0}))}}{p}$, 使得上式非负, 则由引理 2.5, 当取 $\sigma $ 充分大, 满足 $\sigma > \frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p - 1)\beta }}$, 可得

$T \le \frac{{\beta {\sigma ^2}}}{{(p - 1)\beta \sigma - \left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}, $

记上式右端为 ${T_{\beta, \sigma }}$, 则 $T \le \inf {T_{\beta, \sigma }}$, 显然, 当 $\sigma $ 取 $\frac{{2\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p - 1)\beta }}$ 时, ${T_{\beta, \sigma }}$ 取到最小, 通过计算得

$T \le \frac{{4p\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p + 1)(d - E({U_0})){{(p - 1)}^2}}}.$

证毕.

定理 3.2 若 $E({U_0}) < 0$, $U(x, y, t)$ 是问题 (1.3) 的弱解, $f(t)$ 满足条件 (1.2), 则 $U(x, y, t)$ 在有限时间内爆破, 爆破时间上界为 $T \le \frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}$, 另外

${\left\| U \right\|_2} \le {\left( {\frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^{p + 1}}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}} \right)^{\frac{1}{{p - 1}}}}{(T - t)^{^{\frac{1}{{1 - p}}}}}.$

证 定义辅助函数

$\varphi (t) = \left\| U \right\|_2^2, \psi (t) = - 2(p + 1)E(U).$

由引理 2.1, 得

$\begin{equation}\label{eq:c19} \psi '(t) = - 2(p + 1)\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}E(U) = 2(p + 1)\left\| {{U_t}} \right\|_2^2 + 2f'(t)\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {{{\left| U \right|}^{p + 1}}{\rm d}x} \ge 0, \end{equation}$

所以 $\psi (t)$ 为递增函数, 有

$\psi (t) \ge \psi (0) > 0.$

根据 (2.3) 和 (3.2) 式得

$\begin{equation}\label{eq:c20} \ \varphi '(t) = 2\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {U{U_t}}{\rm d}x = - 2H(U) \ge - 2(p + 1)E(U) = \psi (t). \end{equation}$

由 (3.19) 式及 Schwarz 不等式有

$\begin{align*}\label{eq:c21} \varphi \psi ' &= 2(p + 1)\left\| U \right\|_2^2\left\| {{U_t}} \right\|_2^2 + 2\left\| U \right\|_2^2f'(t)\int_{\Omega \times \left\{ 0 \right\}} {{{\left| U \right|}^{p + 1}}{\rm d}x} \\ &\ge 2(p + 1){\left( {\int_\Omega {U{U_t}{\rm d}x} } \right)^2} = \frac{{p + 1}}{2}{(\varphi '(t))^2} \ge \frac{{p + 1}}{2}\psi (t)\varphi '(t), \end{align*}$

所以

$\begin{equation}\label{eq:c22} (\psi {\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2}}})' = \psi '{\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2}}} - \frac{{1 + p}}{2}{\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2} - 1}}\varphi '\psi = {\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2} - 1}}(\psi '\varphi - \frac{{1 + p}}{2}\varphi '\psi ) \ge 0, \end{equation}$

即函数 $\psi {\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2}}}$ 单调递增, 则

$\begin{equation}\label{eq:c23} \psi (t)\varphi {(t)^{ - \frac{{1 + p}}{2}}} \ge \psi (0)\varphi {(0)^{ - \frac{{1 + p}}{2}}}.\ \end{equation}$

根据 (3.18) 和 (3.22) 式, 有

$\begin{equation}\label{eq:c24} \frac{{2(p + 1)}}{{1 - {p^2}}}({\varphi ^{\frac{{1 - p}}{2}}})' = ({\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2}}})\varphi ' \ge \psi {\varphi ^{ - \frac{{1 + p}}{2}}} \ge \psi (0)\varphi {(0)^{ - \frac{{1 + p}}{2}}}, \end{equation}$

对上式左右两端在 $[0, t)$ 上积分, 有

$\begin{equation}\label{eq:c25} \ {\varphi ^{\frac{{1 - p}}{2}}} \le \varphi {(0)^{\frac{{1 - p}}{2}}} - \frac{{p - 1}}{2}\psi (0)\varphi {(0)^{ - \frac{{p + 1}}{2}}}t, \end{equation}$

令 $t \to T$, 可得

$T \le \frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}.$

对 (3.23) 式左右两端在 $(t, T)$ 上积分, 可得

${\left\| U \right\|_2} \le {\left( {\frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^{p + 1}}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}} \right)^{\frac{1}{{p - 1}}}}{(T - t)^{^{\frac{1}{{1 - p}}}}}.$

证毕.

定理 3.3 若 $0 < E({U_0}) < \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}$, 则问题 (1.3) 的弱解 $U(x, y, t)$ 在有限时间内爆破, 并且 $T < \frac{{8pC_ * ^2\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{{{(p - 1)}^3}{{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m} - 2(p + 1){{(p - 1)}^2}C_ * ^2E({U_0}))}}$.

证步骤一 证明爆破发生. 利用 Holder 不等式, 有

$\left\| {{U^m}} \right\|_2^2 \ge {\left| \Omega \right|^{1 - m}}\left\| U \right\|_2^{2m}.$

根据 (2.3) 式和引理 2.4 可得

$\begin{align*}\label{eq:c26} H({U_0}) &= (p + 1)E({U_0}) - \frac{{p - 1}}{2}\left\| {{{({U_0})}^m}} \right\|_{H_{0, L}^s(D)}^2 \le (p + 1)E({U_0}) - \frac{{p - 1}}{{2C_ * ^2}}\left\| {{{({U_0})}^m}} \right\|_2^2\\ &\le (p + 1)E({U_0}) - \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m} < 0. \end{align*}$

下证对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, $H(U(t)) < 0$. 采用反证法, 假设存在 ${t_0} \in (0, T)$, 使得 $H(U({t_0})) = 0$ 且对于任意的 $t \in \left[ {0, {t_0}} \right)$ 有, $H(U(t)) < 0$, 那么当 $t \in \left[ {0, {t_0}} \right)$ 时

$\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\left\| U \right\|_2^2 = - 2H(U) > 0.$

因此, $\left\| U \right\|_2^2$ 关于 $t$ 在 $\left[ {0, {t_0}} \right)$ 上严格递增, 所以 $\left\| U \right\|_2^{2m}$ 也关于 $t$ 在 $\left[ {0, {t_0}} \right)$ 上严格递增, 有 $\left\| {U({t_0})} \right\|_2^{2m} > \left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}$, 则

$\begin{equation}\label{eq:c27} E({U_0}) < \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m} < \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| {U({t_0})} \right\|_2^{2m}. \end{equation}$

另一方面, 由于

$\begin{equation}\label{eq:c28} E(U) = \frac{1}{{p + 1}}H(U) + \frac{{p - 1}}{{2(p + 1)}}\left\| {{U^m}} \right\|_{H_{0, L}^s(D)}^2 \ge \frac{1}{{p + 1}}H(U) + \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| U \right\|_2^{2m}, \end{equation}$

再根据 $H(U({t_0})) = 0$, $E(U)$ 关于 $t$ 单调不增, 得

$\frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| {U({t_0})} \right\|_2^{2m} \le E(U({t_0})) \le E({U_0}), $

显然与 (3.26) 式矛盾. 所以对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 都有 $H(U(t)) < 0$. 再由 (2.3) 式可知, $E(U)>0$.

现假设最大存在时间 $T = + \infty $. 定义函数

$D(t) = \frac{1}{2}\left\| U \right\|_2^{2m} - \frac{{(p + 1)C_ * ^2}}{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}E(U), $

则$D(0) = \frac{{ - C_ * ^2}}{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}((p + 1)E({U_0}) - \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}) > 0.$

根据引理 2.1 和 $\left\| U \right\|_2^2$ 关于 $t$ 单调递增以及 $m > 1$, 得

$\begin{align*}\label{eq:c29} D'(t) &= - m\left\| U \right\|_2^{2(m - 1)}H(U) - \frac{{(p + 1)C_ * ^2}}{{(p -1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}\frac{\rm d}{{\rm d}t}E(U) > - m\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2(m - 1)}H(U)\\ &\ge m\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2(m - 1)}\left\{ {\frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2C_ * ^2}}\left\| U \right\|_2^{2m} - (p + 1)E(U)} \right\} \\ &= \frac{{m(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2(m - 1)}}}{{C_ * ^2}}D(t). \end{align*}$

由上式可知 $D'(t) > 0$, 所以 $D(t) > D(0) > 0$. 对 (3.28) 式从 $\left[ {0, t} \right]$ 积分, 可得

$\frac{1}{2}\left\| U \right\|_2^{2m} > D(t) > D(0){{\rm e}^{\frac{{m(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2(m - 1)}}}{{C_ * ^2}}t}}.$

另一方面, 由 Holder 不等式, 可得

$\begin{align*} {\left\| U \right\|_2} &= {\left\| {{U_0} + \int_0^t {{U_\tau }{\rm d}\tau } } \right\|_2} \le {\left\| {{U_0}} \right\|_2} + \int_0^t {{{\left\| {{U_\tau }} \right\|}_2}{\rm d}\tau } \le {\left\| {{U_0}} \right\|_2} + {t^{\frac{1}{2}}}{(\int_0^t {\left\| {{U_\tau }} \right\|_2^2{\rm d}\tau } )^{\frac{1}{2}}}\\ &\le {\left\| {{U_0}} \right\|_2} + {t^{\frac{1}{2}}}{(E({U_0}) - E(U))^{\frac{1}{2}}} \le {\left\| {{U_0}} \right\|_2} + {t^{\frac{1}{2}}}{(E({U_0}))^{\frac{1}{2}}}. \end{align*}$

所以

${(2D(0){{\rm e}^{\frac{{m(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2(m - 1)}}}{{C_ * ^2}}t}})^{\frac{1}{{2m}}}} \le {\left\| {{U_0}} \right\|_2} + {t^{\frac{1}{2}}}{(E({U_0}))^{\frac{1}{2}}}.$

显然, 存在充分大的 $t$, 使得上式不再成立. 这与最大存在时间 $T = + \infty $ 矛盾, 所以解在有限时间内爆破.

步骤二 估计爆破时间的上界. 由 (3.12) 式以及嵌入不等式, 得

$\begin{equation}\label{eq:c30} - H(U) \ge - (p + 1)E(U) + \left( {p + 1} \right)\int_0^t {\left\| {{U_\tau }} \right\|_2^2{\rm d}\tau } + \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2C_ * ^2}}\left\| U \right\|_2^{2m}. \end{equation}$

由 (3.12), (3.16), (3.29) 式得

$\begin{align*} FF'' - \frac{{p + 1}}{2}{(F')^2} &\ge F\left( { - H(U) + \beta - (p + 1)(\int_0^t {\left\| {{U_\tau }} \right\|} _2^2{\rm d}\tau + \beta )} \right) \\ &\ge F\left( {\frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{C_ * ^2}}D(0) - p\beta } \right). \end{align*}$

对任意的 $t \in \left[ {0, T} \right)$, 当 $\beta \in (0, \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}D(0)}}{{C_ * ^2p}})$ 时, $ FF'' - \frac{{p + 1}}{2}{(F')^2} \ge 0$, 由引理 2.5, 得

$T < \frac{{8pC_ * ^2\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{{{(p - 1)}^3}{{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m} - 2(p + 1){{(p - 1)}^2}C_ * ^2E({U_0}))}}.$

证毕.

4 总结

本文研究了一类带有时变系数的分数阶扩散方程在齐次 Dirichet 边界条件下解的爆破性.由于 $f(t)$ 的出现, 使得能量泛函显然依赖于时间变量, 给问题的研究带来困难.这里仅要求 $f(t)$ 满足连续且单调的条件, 在此基础上, 利用位势阱理论, Nehari 流形和凹凸性方法以及各种微分不等式技巧, 获得了如下三个关于解爆破的结果

(1) 当 $0 < E({U_0}) \le d$ 时, 爆破时间 $T \le \frac{{4p\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(p + 1)(d - E({U_0})){{(p - 1)}^2}}}$, 这里的 $d$ 随 $f(t)$ 的变化而变化.

(2) 当 $E({U_0}) < 0$ 时, 爆破时间 $T \le \frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}$, 并且 ${\left\| U \right\|_2} \le {\left( {\frac{{\left\| {{U_0}} \right\|_2^{p + 1}}}{{(1 - {p^2})E({U_0})}}} \right)^{\frac{1}{{p - 1}}}}{(T - t)^{^{\frac{1}{{1 - p}}}}}.$

(3) 当 $0 < E({U_0}) < \frac{{(p - 1){{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}}}{{2(p + 1)C_ * ^2}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m}$ 时, 爆破时间

$\begin{align*} T < \frac{{8pC_ * ^2\left\| {{U_0}} \right\|_2^2}}{{{{(p - 1)}^3}{{\left| \Omega \right|}^{1 - m}}\left\| {{U_0}} \right\|_2^{2m} - 2(p + 1){{(p - 1)}^2}C_ * ^2E({U_0}))}}. \end{align*}$

定理 3 的条件保证了 Nehari 泛函 $H({U_0}) < 0$, 因此也是解在有限时间内发生爆破的一个充分条件.

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In this work we prove a strong maximum principle for fractional elliptic problems with mixed Dirichlet-Neumann boundary data which extends the one proved by J. D ' avila (cf. [11]) to the fractional setting. In particular, we present a comparison result for two solutions of the fractional Laplace equation involving the spectral fractional Laplacian endowed with homogeneous mixed boundary condition. This result represents a non-local counterpart to a Hopf's Lemma for fractional elliptic problems with mixed boundary data.

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