本文, 我们研究了一类奇性 $\phi$-Laplacian Rayleigh 型方程

其中 $f\in C(\mathbb{R}/T\mathbb{Z}\times\mathbb{R},\mathbb{R})$, $f(t,0)\equiv0$, $ h \in C(\mathbb{R}/T\mathbb{Z}\times(0,+\infty),\mathbb{R})$ 在 $u=0$ 处有奇性并且是非自治的, $e\in C(\mathbb{R}/T\mathbb{Z},\mathbb{R})$, $T$ 是一个正常数. 此外, $\phi\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\phi(0)=0$, 并且满足下列性质

$(A_{1})$ 对 $\forall v_{1}, v_{2}\in\mathbb{R}$, 并且 $v_{1} \neq v_{2}$, 有$(\phi(v_{1})-\phi(v_{2}))(v_{1}-v_{2})>0$;

$(A_{2})$ 对 $\forall v\in\mathbb{R}$, 存在一个函数 $\varphi(x)\in\left([0,+\infty),[0,+\infty)\right)$, 当 $x\rightarrow+\infty$ 时, 有 $\varphi(x) \rightarrow +\infty$, 使得 $\phi(v)\cdot v\geq\varphi(|v|)|v|$.

显然, 这里的 $\phi$ 不仅适用于恒等算子, 而且还适用于其他类型的非线性算子. 例如下面两类经典的算子

(i) $p$-Laplacian 算子 $\phi_p (v)=|v|^{p-2}v$, 并且 $p>1$;

(ii) $(p,q)$-Laplacian 算子 $\phi_{p,q} (v)=\left(|v|^{p-2}+|v|^{q-2}\right)v$, 并且 $p,q>1$.

Rayleigh 型方程作为一类经典的数学模型, 被广泛应用在物理, 力学和工程技术等诸多领域^[1⇓-3], 一直以来都是微分方程周期解研究热点问题之一. 在 1977 年, Gaines 和 Mawhin^[4] 改进了重合度延拓定理, 并应用该定理讨论了Rayleigh 型方程

周期解的存在性. 受该文献的启发, 国内外许多数学研究者们开始致力于 Rayleigh 型方程周期解的研究, 并取得了一定的研究成果^{[5⇓⇓⇓-9]}. 其中, 在 2001 年, Habets 和 Torres^[7] 利用上下解方法, 通过假设 $h=h(t,u,u')$ 有界 $($或从下有界$)$, 证明了方程 (1.2) 至少存在一个周期解. 之后, 王在洪和马田田^[8] 在 2015 年研究了一类具有强排斥型奇性的 Rayleigh 型方程

应用时间映射, 他们证明了方程 (1.3) 至少存在一个周期解.

在此基础上, 学者们进一步研究了 $p$-Laplacian Rayleigh 型方程周期解的存在性问题^{[10⇓⇓⇓-14]}. 例如, 在 2018 年程志波等人^[10] 研究了一类具有时滞的强吸引型奇性 $p$-Laplacian Rayleigh 型方程

其中 $\sigma\in C^1(\mathbb{R}/T\mathbb{Z},\mathbb{R})$ 并且 $\sigma'(t)<1$, 利用 Mawhin 连续定理, 作者证明了方程 (1.4) 至少存在一个周期解.

近年来, 学者们对 $\phi$-Laplacian Rayleigh 型方程的研究, 虽然已经取得了一些进展^[15,16], 但仍有待完善. 在 2014 年, 利用 Mawhin 连续定理, 辛云和程志波^[16] 证明了不含奇性项的方程 (1.1) 周期解的存在唯一性.

受文献 [10] 和 [16] 的启发, 在本文中, 我们证明了方程 (1.1) 在强排斥型奇性或强弱吸引型奇性条件下周期解的存在性. 值得一提的是, 与文献 [10,13,15,17,18] 相比, 方程 (1.1) 周期解的先验界估计会相对困难, 具体如下

首先, 本文研究的 $\phi$-Laplacian 算子相对于文献 [10,13] 中的 $p$-Laplacian 算子有着更加复杂的不确定性. 例如 $\phi_p$ 关于先验界的获得, $\int^{T}_{0}(\phi_p (u'(t)))'u(t){\rm d}t=-\int^{T}_{0}|u'(t)|^{p}{\rm d}t$, 已经不再适用于 $\phi$-Laplacian 算子, 需要借助 $\int^{T}_{0}(\phi (u'(t)))'u'(t){\rm d}t=0$ 将 $\phi$-Laplacian 算子项消掉, 由此便引出了一个新的问题: 方程 (1.1) 中的奇性项 $h(t,u(t))$ 是非自治的, 导致文献 [15] 中的 $\int^{T}_{0}h(u(t))u'(t){\rm d}t=0$ 不再适用于 $h(t,u(t))$, 即$\int^{T}_{0}h(t,u(t))u'(t){\rm d}t\neq0$.

其次, 文献 [17,18] 中研究的 $\mathrm{Li\acute{e}nard}$ 型方程, 其阻力项 $f(u(t))u'(t)$ 满足 $\int^{T}_{0}f(u(t))u'(t){\rm d}t=0$, 而方程 (1.1) 中的阻力项 $f(t,u'(t))$ 不满足 $\int^{T}_{0}f(t,u'(t)){\rm d}t=0$. 综上所述, 方程(1.1) 周期解的先验界估计是更加困难的, 本文的结论是对文献 [10,13,15,17,18] 的推广和改进. 在文章的最后, 我们给出了两个例子来阐明我们的定理.

首先, 考虑方程 (1.1) 的同伦方程

其中 $\lambda\in(0,1]$.

为了方便起见, 我们定义

利用 Mawhin 连续性定理 (文献 [19, 定理 3.1]{Mawhin}), 我们可以得到下面的引理.

引理 2.1 假设存在正常数 $E_1, E_2, E_3$, 且 $E_1<E_2$, 使得下列条件成立

(i) 对 $\forall t\in[T]$, 方程 (2.1) 的每一个可能的周期解 $u(t)$ 满足

(ii)

则方程 (1.1) 至少存在一个周期解.

应用引理 2.1, 我们研究方程 (1.1) 在强排斥型奇性条件下周期解的存在性,

具体结论如下.

定理 2.1 假设方程 (1.1) 满足下列条件

$(H_1)$ 存在正常数 $D_1$ 和 $D_2$, 且 $D_1<D_2$, 使得在 $(t,u)\in[T]\times(0,D_1)$ 上, 有 $h(t,u)-e(t)<0$, 同时在 $(t,u)\in[T]\times(D_2,+\infty)$ 上, 有 $h(t,u)-e(t)>0;$

$(H_2)$ 存在常数 $\alpha>0$ 和 $ m>1$, 使得在 $(t,v)\in[T]\times\mathbb{R}$ 上, 有

$(H_3)$$h(t,u)=h_{0}(u)+h_{1}(t,u)$, 其中 $h_{0}\in C((0,+\infty),\mathbb{R})$ 为奇性项, $h_{1}\in C([T]\times[0,+\infty),\mathbb{R})$ 为一般项, 并且存在正常数 $\sigma$ 和 $\rho$, 使得

$(H_4)$ 存在正常数 $\beta$ 和 $\gamma$, 使得在 $(t,v)\in[T]\times\mathbb{R}$ 上, 有

$(H_5)$ (强排斥型奇性条件): $\lim\limits_{u\to 0^+}h_0(u)=-\infty, \int^1_0h_{0}(u){\rm d}u=-\infty.$

如果 $\frac{\sigma T^{m-1}}{2^{m-1}}<\alpha$, 那么方程 (1.1) 至少存在一个周期解.

证 首先, 我们断言方程 (2.1) 的所有可能的 $T$-周期解是有先验界的,

令 $u(t)\in C^{1}_{T}:=\{u\in C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R}):u(t+T)\equiv u(t), u'(t+T)\equiv u'(t), \forall t\in\mathbb{R}\}$ 是方程 (2.1) 的任意一个周期解, $t_{\ast}, t^{\ast}\in[T]$ 分别表示 $u(t)$ 的最小值点和最大值点, 则有 $u'(t_{\ast})=u'(t^{\ast})=0$, 我们推断

事实上, 假设 (2.2) 式不成立, 即 $(\phi(u'(t_{\ast})))'<0$, 则存在一个 $\varepsilon>0$ 使得对于所有的 $t\in(t_{\ast}-\varepsilon,t_{\ast}+\varepsilon)$, 都有 $(\phi(u'(t)))'<0$. 因此, 对于所有的 $t\in(t_{\ast}-\varepsilon,t_{\ast}+\varepsilon)$, $\phi(u'(t))$ 是严格单调递减的. 进一步, 由性质 $(A_{1})$ 可知, 对于所有的 $t\in(t_{\ast}-\varepsilon,t_{\ast}+\varepsilon)$, $u'(t)$ 也是严格单调递减的, 这与 $t_{\ast}$ 的定义矛盾, 故 (2.2) 式是正确的. 同理, 可得

将 (2.2) 式和 (2.3) 式分别代入方程 (2.1) 中, 可以得到

和

由条件 $(H_1)$, (2.4) 式和 (2.5)式, 得到 $u(t_*)\leq D_2, u(t^*)\geq D_1$. 接下来, 我们分两种情况讨论

情况一 如果 $u(t^*)\in[D_1,D_2]$, 令 $\eta=t^*$, 则有 $D_1\leq u(\eta)\leq D_2$.

情况二 如果 $u(t^*)\in(D_2,+\infty)$, 由 $u(t_*)\leq D_2$ 和 $u(t)$ 的连续性可知, 存在 $\eta\in[T]$, 使得 $u(\eta)=D_2$.

结合上面两种情况, 我们可以知道, 存在 $\xi\in[T]$, 使得

由 (2.6) 式, 我们有

同时有

利用上面的两个不等式和 Hölder 不等式可得

其中 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$, 且 $m,n>1$.

由方程 (2.1) 和 $h(t,u)=h_{0}(u)+h_{1}(t,u)$ 可得

对方程 (2.8) 左右两边同乘以 $u'(t)$ 并在区间 $[T]$ 上进行积分, 可得

根据 $u'(0)=u'(T)$, 我们有

将 (2.10) 式和 $\int_0^T h_{0}(u(t))u'(t){\rm d}t=0$ 代入 (2.9) 式, 有

由条件 $(H_2)$ 可得

进一步, 根据条件 $(H_3)$, 将 (2.7) 式和 (2.12) 式代入 (2.11) 式可得

下面介绍一个经典不等式, 存在只依赖于 $m$ 的正常数 $k(m)$, 使得

接下来, 我们考虑以下两种情况

情况一 如果 $\frac{2D_{2}}{T^{\frac{1}{n}}\left(\int_0^T|u'(t)|^{m}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{m}}}<k(m)$, 由 (2.14) 式可将 (2.13) 式转化为

从上式可以很容易地看出当 $\frac{\sigma T^{\frac{m}{n}}}{2^{m-1}}=\frac{\sigma T^{m-1}}{2^{m-1}}<\alpha$ 时, $\int_0^T|u'(t)|^m{\rm d}t$ 有界, 即存在一个常数 $M'_{11}>0$, 使得

情况二 如果 $\frac{2D_{2}}{T^{\frac{1}{n}}\left(\int_0^T|u'(t)|^{m}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{m}}}\geq k(m)$, 那么有

令 $M'_{1}=\mathrm{\max}\{M'_{11},M'_{12}\}$, 则有

由 (2.7) 式和 (2.16) 式可得

另一方面, 对方程 (2.1) 左右两边在区间 $[T]$ 上进行积分, 可得

将 $\int^{T}_{0}(\phi(u'(t)))'{\rm d}t=\left[\phi(u'(t))\right]^{T}_{0}=0$ 代入上式, 可得

根据条件 $(H_4)$ 和 (2.16) 式, 并利用 Hölder 不等式, 可得

我们定义

由 (2.18) 式和 (2.19) 式可得

其中 $(h(t,u(t))-e(t))^+:=\max\left\{h(t,u(t))-e(t),0\right\}.$

由于 $(h(t,u(t))-e(t))^+\geq0$, 结合条件 $(H_1)$, 可知存在一个正常数 $D_2^*>D_1$, 使得 $u(t)\geq D_2^*$. 于是根据 (2.20) 式, 我们有

其中 $\|H_{M_1}^+\|:=\max\limits_{(t,u)\in[T]\times[D_2^*,M_1]}(h(t,u(t))-e(t))^+$.

因为 $u(0)=u(T)$, 故存在一点 $t_0\in[T]$, 使得 $u'(t_0)=0$, 然而 $\phi(0)=0$. 因此, 由 (2.1) 式, (2.19) 式和 (2.21) 式可得

接下来, 我们断言存在一个正常数 $M_{2}>M'_{2}+1$, 使得

事实上, 如果 $u'$ 是无界的, 那么由 $\varphi$ 的定义可知, 存在一个正常数 $M''_{2}$, 使得对于某些 $u'\in\mathbb{R}$, 有 $\varphi\left(|u'|\right)> M''_{2}$ 成立. 然而,

根据性质 $(A_{2})$, 我们有

由上式可得, 对所有的 $u'\in\mathbb{R}$, 有 $\varphi\left(|u'|\right)\leq M'_{2}$, 二者相互矛盾, 于是 (2.23) 式成立.

我们对方程 (2.8) 左右两边同乘以 $u'(t)$ 并在区间 $[\xi,t] (\xi\leq t\leq T)$ 上进行积分, 这里 $\xi$ 被定义在 (2.6) 式中, 可得

进一步, 我们有

由 (2.22) 式和 (2.23) 式, 可得

同时, 我们有

将上述不等式代入 (2.24) 式, 可得

由强排斥型奇性条件 $(H_5)$, 我们推断存在一个正常数 $M''_3$, 使得

同理, 我们可证 $u(t)\geq M'''_3, \forall t\in[\xi]$, 取 $M_3:=\max\{M''_3,M'''_3\}$, 可得

令 $E_1<\min\{D_1,M_3\}$, $E_2>\max\{D_2,M_1\}$, $E_3>M_{2}$, 这里 $E_1, E_2, E_3$ 是正常数. 由 (2.17) 式, (2.23) 式和 (2.25) 式可得, 对 $\forall t\in[T]$, 方程 (2.1) 的每一个可能的周期解 $u(t)$ 都满足 $E_1<u(t)<E_2, \|u'\|<E_3$, 满足引理 2.1 中的条件 (i). 此外, 我们有 $E_1<D_1, E_2>D_2$, 于是根据条件 $(H_1)$ 可得

满足引理 2.1 中的条件 (ii). 因此, 由引理 2.1 可知, 方程 (1.1) 至少存在一个周期解.

注 2.1 在定理 2.1 中, 我们考虑了具有强排斥型奇性 $($即 $\lim\limits_{u\to 0^+}h_0(u)=-\infty, \int^1_0h_{0}(u){\rm d}u=-\infty$$)$ 的方程 (1.1) 周期解的存在性. 然而对于弱排斥型奇性 $($即 $\lim\limits_{u\to 0^+}h_0(u)=-\infty, \int^1_0h_{0}(u){\rm d}u\\<-\infty)$ 条件下方程 (1.1) 周期解的存在性, 利用目前已知的方法, 我们无法得到相应的结论. 这是因为当 $\int^1_0h_{0}(u){\rm d}u<-\infty$ 成立时, 无法通过定理 2.1 中的方法寻找 $u(t)$ 的先验下界. 此外, 根据 (2.15) 式, 我们无法得出 $\int_0^T|u'(t)|^m{\rm d}t$ 具体的上界形式, 因此利用文献 [14] 中

求先验上界的方法也将不再适用, 这里 $\xi$ 和 $m,n$ 分别被定义在 (2.6) 和 (2.7) 式中.

接下来, 我们研究方程 (1.1) 在强弱吸引型奇性 (既适用于强吸引型奇性也适用于弱吸引型奇性) 条件下周期解的存在性, 具体结论如下.

定理 2.2 假设条件 $(H_2)$,$(H_4)$ 成立, 并且方程 (1.1) 满足下列条件

$(H_6)$ 存在正常数 $D_3$ 和 $D_4$, 且 $D_3<D_4$, 使得在 $(t,u)\in[T]\times(0,D_3)$ 上, 有 $h(t,u)-e(t)>0$, 同时在 $(t,u)\in[T]\times(D_4,+\infty)$ 上, 有 $h(t,u)-e(t)<0$;

$(H_7)$ 强弱吸引型奇性条件$:$$\lim\limits_{u\to 0^+}h(t,u)=+\infty, \int^1_0h(t,u){\rm d}u\leq+\infty$ 对$\forall t\in[T]$.

则方程 (1.1) 至少存在一个周期解.

证 与定理 2.1 的证明方法类似, 由条件 $(H_6)$, (2.4) 式和 (2.5) 式, 我们可以得到 $u(t_*)\geq D_3, u(t^*)\leq D_4$, 即对 $\forall t\in[T]$ 有

接下来, 我们考虑 $u'(t)$ 的先验界. 对方程 (2.1) 左右两边同乘以 $u'(t)$ 并在区间 $[T]$ 上进行积分,

将 (2.10) 式代入 (2.27) 式, 有

进一步, 将(2.12) 式代入 (2.28) 式可得

其中 $\|H_D\|:=\max\limits_{(t,u)\in[T]\times[D_3,D_4]}|h(t,u(t))|$. 由于 $\alpha>0$ 和$\big(\int_0^T|u'(t)|^m{\rm d}t\big)^\frac{1}{m}>0$, 上面这个不等式可以转化为

再根据条件 $(H_4)$, (2.22) 式和 (2.29) 式可得

其余部分的证明与定理 2.1 相似, 此处不再赘述. 证毕.

注 2.2 对比排斥型和吸引型两种情形. 在定理 2.1 中, 由条件 $(H_1)$, 我们首先得到的是方程 (1.1) 的解 $u(t)$ 在一点处的先验界, 需借助条件 $(H_3)$, 将非线性项 $h(t,u)$ 分为奇性项 $h_0(u)$ 和一般项 $h_1(t,u)$ 两个部分, 进而得到 $u(t)$ 的先验界. 然而在定理 2.2 中, 由条件 $(H_6)$, 便可得到方程 (1.1) 的解 $u(t)$ 的先验界, 无需满足条件 $(H_3)$. 因此, 从数学角度来看, 具有排斥型奇性的 $\phi$-Laplacian Rayleigh 型方程处理起来要比具有吸引型奇性的 $\phi$-Laplacian Rayleigh 型方程更加困难.

最后, 通过下面两个例子来阐明我们的定理.

例 2.1 考虑下列具有强排斥型奇性的 $\phi$-Laplacian Rayleigh 型方程

这里 $\phi(v)=v{\rm e}^{v^2}$, 其中 $m, \kappa$ 是常数, 并且有 $m>1, \kappa\geq1$.

对比方程 (2.31) 和方程 (1.1), 可知 $f(t,v)=(40-36\cos4t)v^{m-1}$, $h(t,u)=\frac{1}{4}(\sin^2 2t+3)u^{m-1}-\frac{1}{u^{\kappa}}$, $e(t)=\sin^22t$, 周期 $T=\frac{\pi}{2}$. 首先, 我们可以得到

满足性质 $(A_{1})$ 和 $(A_{2})$. 接下来, 我们考虑条件 $(H_1)$-$(H_5)$. 取 $D_1=1$, $D_2=2$, 满足定理 2.1 中的条件 $(H_1)$. 取 $\alpha=4, \beta=76, \gamma=1$, 有 $f(t,v)v=(40-36\cos4t)v^{m}\geq4|v|^{m}$, $|f(t,v)|=\left|(40-36\cos4t)v^{m-1}\right|\leq76|v|^{m-1}+1$, 满足定理 2.1 中的条件 $(H_2)$ 和 $(H_4)$. 取 $\sigma=\rho=1$, 有 $|h_1(t,u)|=\left|\frac{1}{4}(\sin^2 2t+3)u^{m-1}\right|\leq u^{m-1}+1$, 并且有 $\lim\limits_{u\to 0^+}h_0(u)=-\infty, \int^1_0 h_0(u){\rm d}u=-\int^1_0\frac{1}{u^{\kappa}}{\rm d}u=-\infty$, 满足定理 2.1 中的条件 $(H_3)$ 和 $(H_5)$. 此外, 由上述分析可知

成立. 因此, 根据定理 2.1, 方程 (2.31) 至少存在一个周期解.

例 2.2 考虑下列具有强弱吸引型奇性的 $\phi$-Laplacian Rayleigh 型方程

这里 $\phi(v)=\phi_{p,q} (v)=\left(|v|^{p-2}+|v|^{q-2}\right)v$, 其中 $p, q, m, \kappa$ 是常数, 并且有$p, q, m>1, \kappa>0$.

对比方程 (2.32) 和方程 (1.1), 可知 $f(t,v)=(25+10\sin^2t)v^{m-1}$, $h(t,u)=-(\cos^2t+2)u^{m}+\frac{\sin^2t+1}{u^{\kappa}}$, $e(t)={\rm e}^{\cos2t}$, 周期 $T=\pi$. 首先, 我们可以得到

满足性质 $(A_{1})$ 和 $(A_{2})$. 接下来, 我们考虑条件 $(H_2)$,$(H_4)$,$(H_6)$ 和 $(H_7)$. 取 $D_1=0.01$, $D_2=3$, 满足定理 2.2 中的条件 $(H_6)$. 取 $\alpha=35, \beta=25, \gamma=1$, 满足定理 2.2 中的条件 $(H_2)$ 和 $(H_4)$. 由 $\kappa>0$, 显然有条件 $(H_7)$ 成立. 因此, 根据定理 2.2, 方程 (2.32) 至少存在一个周期解.