我们考虑如下一类双曲型微分不等式 Dirichlet 外问题

给出 Dirichlet 边界条件及初始条件

其中 ${\rm D}=\overline{{\rm B}(0,1)}$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ 中的闭单位球, $N\geq2$, $\theta>-2$, $p>1$, $a\in L_{loc}^{1}([0,\infty))$, $a\not\equiv0$, $f\in L^{1}(\partial {\rm D})$, $\int_{\partial {\rm D}}f(x){\rm d}S_{x}>0$ 且非负函数 $u_{i}(x)\in L_{loc}^{1}(\overline{{\rm D}^{c}})(i=0,1)$.

迄今为止, 许多学者致力于半线性双曲型微分方程及不等式中解的存在性与非存在性临界值的行为研究已有许多进展和成果, 比如在整体空间中的问题^{[1⇓⇓⇓⇓⇓⇓-8]}、在半平面上的问题^[9]、在锥形区域中的问题^[10]、在流形上的问题^[11]、在外区域中的问题^[12⇓-14]等. 粗略地讲, 双曲型微分方程及不等式整体解的存在性与非存在性的临界指标依赖于齐次或非齐次, 初值的大小和行为、区域的形状与大小等. 本文中, 我们特别感兴趣于在外区域中具有一大类时变系数非齐次 Dirichlet 边界条件的半线性双曲型微分不等式整体解的存在性与非存在性问题. Zhang^[12] 首次考虑了具有非齐次 Dirichlet 或 Neumann 边界条件的波动方程外问题

其中 ${\rm D}$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中有界闭区域, $N\geq3$, $\theta>-2$, $f\in L^{1}(\partial {\rm D})$且$f\geq0$, 他利用试验函数法得到了 Kato 型临界指标^[2] 为 $p_{KC}=\frac{N+\theta}{N-2}$ 且与相应的稳态问题的临界指标一致. 但是, 他未讨论临界情形是否属于爆破情形的问题. 之后, Laptev^[13] 研究了具有齐次 Dirichlet 边界条件的高阶发展型微分不等式

其中 $R>0$, $k\in {\rm N}$, $\theta>-2$, $\Omega=\mathbb{R}^{N}\backslash {\rm B}_{R}$ 且证明了当$1<p\leq\frac{N+\theta+\frac{2}{k}}{N-2+\frac{2}{k}}$ 时非平凡整体弱解的非存在性. 实际上, 在 (1.4) 式中取 $\theta=0$, 则临界指标为 $\frac{N}{N-2}$, 这与相应的齐次 Dirichlet 边界问题 (在 (1.5) 式中取 $k=2$) 的 Kato 型临界指标 $p_{KC}=\frac{N+1}{N-1}$ 相比大. 最近, Jleli 等^[14] 分别在非齐次 Dirichlet 或 Neumann 或 Robin 边界条件下考虑了退化双曲不等式

其中 ${\rm D}={\rm B}(0,1)$ 为 $\mathbb{R}^{N}(N\geq2)$ 中的闭单位球, $p>1$, $N+l-2\geq0$, $\theta>l-2$, $f\in L^{1}(\partial {\rm D})$ 且给出了 Kato 型临界指标为 $p_{KC}=\frac{N+\theta}{N+l-2}$. 此外, 关于具有齐次 Dirichlet 边界条件的半线性波动方程外问题中局部解的生命跨度估计方面的最新文献, 我们参考了 [15⇓-17] 及其相关的文献.

由前所述, 含有一大类时变系数非齐次边界条件的半线性双曲型微分不等式 Dirichlet 外问题 (1.1)-(1.3) 整体解的存在性与非存在性的研究还未得到展开. 主要难点在于 (i) 不等式 (1.1) 右端含有空变系数; (ii) 在非齐次边界条件 (1.2) 中含有时变系数; (iii) 找出适当的参数范围, 使其正好出现 Kato 型等. 由此启发, 本文将利用由 Mitidieri 和 Pohozaev^[18,19] 发展起来的适当选择试验函数的方法, 得到精细的先验估计值, 并以此为依据建立微分不等式外问题 (1.1)-(1.3) 的整体弱解的非存在性定理且导出一些存在性结论. 其结果表明, 涵盖现有的文献给出的 Kato 型临界指标. 此方法有 (1) 无需初始迹; (2) 无需讨论径向解; (3) 无需给无穷远处的行为等优点. 更详细的结果如下

为了描述简便, 我们简记

我们的第一个结论是关于问题 (1.1)-(1.3) 的一般非存在性条件.

定理 1.1 令 $N\geq2$, $p>1$, $\theta>-2$, $a\in {\rm A}$, $f\in {\rm F}$且$u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$. 若

或

则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解.

进一步, 讨论函数 $a\in {\rm A}$ 的一些特殊情形. 首先考虑函数集

定理 1.2 令 $\theta>-2$.

(i) 令 $a\in {\rm B}$, $f\in {\rm F}$ 且 $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$. 若 $N=2$, $p>1$, 则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(ii) 令 $a\in {\rm B}$, $f\in {\rm F}$ 且 $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$. 若 $N\geq3$, $1<p\leq\frac{N+\theta}{N-2}$, 则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(iii)

若 $N\geq3$, $p>\frac{N+\theta}{N-2}$, 则对于一些 $a\in {\rm B}$, $f\in {\rm F}$ 且 $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$, 问题 (1.1)-(1.3) 存在整体正解.

注 1.1 在定理 1.2 中, 取 $a(t)=1\in {\rm B}$, 易知, 问题 (1.1)-(1.3) 的 Kato 型临界指标为

这表明, 定理 1.2 涵盖文献 [2,12,13] 以及文献 [14] 中 $l=0$ 情形.

下面, 再考虑函数集

定理 1.3 令 $N=2$, $\theta>-2$, $a\in {\rm C}_{\sigma}$, $\sigma\in\mathbb{R}$, $f\in {\rm F}$ 且 $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$.

(i) 若 $\sigma\leq-1$, $1<p<3+\theta$, 则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(ii) 若 $-1<\sigma<0$, $1<p<1-\frac{\theta+2}{\sigma}$, 则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(iii) 若 $\sigma\geq0$, 则对所有 $p>1$, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解.

定理 1.4 令 $N\geq3$, $\theta>-2$, $a\in {\rm C}_{\sigma}$, $\sigma\in\mathbb{R}$, $f\in {\rm F}$且$u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$.

(i) 若 $\sigma\leq-1$ 且

则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(ii) 若 $-1<\sigma<N-2$ 且 $1<p<1+\frac{\theta+2}{N-\sigma-2}$, 则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(iii) 若 $\sigma\geq N-2$, 则对所有 $p>1$, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解.

最后, 导出依赖于初值的临界指标.

定理 1.5 令 $N\geq3$, $\theta>-2$, $a\in {\rm A}$, $f\in L^{1}(\partial {\rm D})$, $f\geq0$, $u_{i}(x)\in{\rm G}(i=0,1)$ 且满足

其中常数 $C>0$.

(i) 若 $\beta\geq0$, 则对于任意 $p>1$, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(ii) 若 $2-N<\beta<0$, 且 $1<p<1-\frac{2+\theta}{\beta}$, 则问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解;

(iii) 若 $2-N<\beta<0$, 且 $p>1-\frac{2+\theta}{\beta}$, 则问题 (1.1)-(1.3) 存在整体正解.

注 1.2 当 $\beta\leq2-N$ 时, 我们有

且由定理 1.2 (ii) 易知, 定理 1.5 (ii) 成立.

注 1.3 在适当的条件下定理 $1.2$ 中得到的 Kato 型临界指标 $\frac{N+\theta}{N-2}$ 和在定理 $1.5$ 中对初值给出行为时导出的临界指标$1-\frac{2+\theta}{\beta}$ 之间可比较大小. 事实上, 当 $2-N<\beta<0$ 时, 显然满足 $\frac{N+\theta}{N-2}<1-\frac{2+\theta}{\beta}$.

本文的剩余部分结构如下: 第 2 节, 引入解的定义、试验函数的构造、主要结论的证明所需的一些引理; 第 3-7 节, 给出定理 1.1-1.5 的详细证明过程.

首先, 介绍问题 (1.1)-(1.3) 解的定义.

定义 2.1 令 $N\geq2$, $\theta>-2$, $p>1$, $a\in L_{loc}^{1}([0,\infty))$, $f\in L^{1}(\partial {\rm D})$ 且 $u_{i}(x)\in L_{loc}^{1}(\overline{{\rm D}^{c}})(i=0,1)$. 如果 $u\in L_{loc}^{p}\left(\overline{{\rm D}^{c}}\times[0,\infty)\right)$ 满足

其中任意非负函数 $\varphi\in C_{x,t}^{2,2}\left({\rm D}^{c}\times(0,\infty)\right)\cap C\left(\overline{{\rm D}^{c}}\times[0,\infty)\right)$ 且满足

(i) 存在 $T>0$ 使得 $\varphi(\cdot,t)\equiv0$, $t\geq T$;

(ii) 存在 $R>1$ 使得 $\varphi(x,\cdot)\equiv0$, $|x|\geq R$;

(iii) $\varphi|_{\partial {\rm D}}\equiv0$;

(iv) $\partial_{t}\varphi(\cdot,0)\leq0$, $\partial_{t}\varphi(\cdot,0)\in C(\overline{{\rm D}^{c}})$, $\partial_{tt}\varphi$, $\triangle\varphi\in C\left(\overline{{\rm D}^{c}}\times[0,\infty)\right)$;

(v) $\frac{\partial\varphi}{\partial n^{+}}\in L^{\infty}(\partial{\rm D}\times(0,\infty))$, $\frac{\partial\varphi}{\partial n^{+}}\leq0$,

其中 $n^{+}$ 表示 $\partial{\rm D}$ 的单位外法向量 $($相对于 ${\rm D}^{c}$ 来讲$)$, 则称 $u$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的整体弱解.

接下来, 构造辅助函数. 令 $N\geq2$, $H$ 是 ${\rm D}^{c}$ 上的调和函数且

对于给定的 $0<T<\infty$, 我们记

同时, 引入截断函数

和

其中函数 $\Phi\in C_{0}^{\infty}([0,\infty))$ 且满足

再令

为了得到临界情形的结论, 介绍新的试验函数

其中

且标准的光滑截断函数 $\xi:\mathbb{R}\rightarrow[0,1]$ 满足

下面, 引入主要结论证明所需的一些引理.

引理 2.1 当 $N\geq2$, $T\gg1$ 时, 函数 $\varphi_{T}$ 满足定义 2.1 中的条件 (i)-(v).

证 由 $\varphi_{T}$ 的定义显知其满足定义 2.1 中的条件 (i) 和 (iii). 由 $\Phi$ 的定义, 我们有 $\psi_{T}(x)=0$, $|x|\geq\sqrt{2}T^{r}$, 即 $\varphi_{T}(x,t)=0$, $t\geq0$, $|x|\geq\sqrt{2}T^{r}$, 因此, 当 $R=\sqrt{2}T^{r}$ 时, 条件 (ii) 满足. 再由 $\varphi_{T}$ 和 $H(x)$ 的定义, 对 $(x,t)\in\overline{{\rm D}^{c}}\times(0,\infty)$, 有

和

且

其中 $\cdot$ 表示数量积, 由上面的式子易知函数 $\varphi_{T}$ 满足 ${\rm (iv)}$. 对 $(x,t)\in\partial{\rm D}\times(0,\infty)$, 有

再结合 $\eta_{T}(t)$ 的定义易知满足条件 ${\rm (v)}$. 证毕.

引理 2.2 令 $N\geq2$, $p>1$, $\theta>-2$, $a\in {\rm A}$, $f\in {\rm F}$ 且 $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$. 若 $u\in L_{loc}^{p}\left(\overline{{\rm D}^{c}}\times[0,\infty)\right)$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的整体弱解, 则对 $T\gg1$, 有

其中 $C>0$ 是不依赖于 $T$ 的常数, 且 $I_{T}(u)=\int_{Q_{T}}|x|^{\theta}|u|^{p}\varphi_{T}{\rm d}x{\rm d}t$.

证 令 $T\gg1$. 利用引理 2.1 且在 (2.1) 式中取试验函数 $\varphi=\varphi_{T}(x,t)$, 得到

由于 $u_{i}(x)\geq0(i=0,1)$, $\varphi_{T}\geq0$, $\partial_{t}\varphi_{T}(x,\cdot)\leq0$ 且 $\varphi_{T}(\cdot,t)\equiv0$, $t\geq T$, 有

现在, 处理 (2.3) 式左端第二项. 利用 (2.2) 式, 得到

且由 $a$, $\eta_{T}\geq0$ 易知

利用 (2.4), (2.5) 式及 $\int_{\partial {\rm D}}f(x){\rm d}S_{x}>0$, 得到

其中

因此, 结合 (2.3) 和 (2.6) 式, 得到引理 2.2.

引理 2.3 假设 $N\geq2$, $p>1$, $p'=\frac{p}{p-1}$, 则当 $T\rightarrow\infty$ 时, 有

其中 $r$ 是试验函数 $\psi_{T}(x)$ 中 $T$ 的次幂.

证 利用 $\varphi_{T}$ 的定义, 得到

下面, 处理 (2.7) 式右端的第一和第二积分式子. 利用 $\eta_{T}(t)$ 的定义, 经过简单计算, 易知: 当 $T\rightarrow\infty$ 时,

当 $N=2$ 时, 由 $\psi_{T}$ 和 $\Phi$ 的定义和变量变换, 我们有

即: 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

当 $N\geq3$ 时, 类似于 $N=2$ 时讨论过程, 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 我们有

因此, 结合 (2.7)-(2.10) 式, 我们易得引理 2.3.

引理 2.4 假设 $N\geq2$, $p>1$, $p'=\frac{p}{p-1}$, 则当 $T\rightarrow\infty$ 时, 我们有

其中 $r$ 是试验函数 $\psi_{T}(x)$ 中 $T$ 的次幂.

证 利用 $\varphi_{T}$ 的定义, 我们得到

下面, 处理 (2.11) 式右端的第一和第二积分式子. 利用 $\eta_{T}(t)$ 的定义, 经过简单计算, 我们易知: 当 $T\rightarrow\infty$ 时,

利用 $H(x)$, $\psi_{T}(x)$ 的定义和下面不等式

我们计算得

其中 $C_{p}$ 是仅依赖于 $p$ 的常数, 将上式代入 (2.11) 式右端第二积分式子中, 我们得

其中

其中 $C$ 是仅依赖于 $p$ 的常数. 当 $N=2$ 时, 我们分别估计 $I$ 和 $J$. 利用 $\Phi$ 的定义和变量变换, 我们有

当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

类似地, 对 $J$ 进行相应的处理, 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 我们得到

当 $N\geq3$ 时, 类似于 $N=2$ 时讨论过程, 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 有

和

因此, 结合 (2.11)-(2.17) 式, 我们得到引理 2.4.

为了讨论临界情形, 引入如下几个关键引理.

引理 2.5 当 $N\geq2$, $T\gg1$ 时, 函数 $\overline{\varphi}_{T}$ 满足定义 2.1 中的条件 (i)-(v).

证 类似于引理 2.1 的证明, 显知 $\overline{\varphi}_{T}$ 满足定义 2.1 中的条件 (i)-(v). 引理 2.5 证毕.

引理 2.6 假设 $N\geq3$, $p=\frac{N+\theta}{N-2}>1$, $p'=\frac{p}{p-1}$, 则当 $T\rightarrow\infty$ 时, 我们有

证 利用 $\overline{\varphi}_{T}$ 的定义, 得到

首先, 处理 (2.18) 式右端的第二个积分式子. 由 $\overline{\psi}_{T}$ 和 $\xi$ 的定义和变量变换, 我们易知, 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

再由 (2.8) 和 (2.18)-(2.19) 式可得到引理 2.6 的结论.

引理 2.7 令 $N\geq3$, $p=\frac{N+\theta}{N-2}>1$, $p'=\frac{p}{p-1}$, $w>2p'$, 则当 $T\rightarrow\infty$ 时, 有

证 由 $\overline{\varphi}_{T}(x)$ 的定义, 有

接下来, 处理 (2.20) 式右端的第二个积分式子. 利用

和 $\overline{\psi}_{T}$ 的定义, 当 $T\gg1$ 时, 有

其中对于给定集合 $A$, $1_{A}$ 表示 $A$ 的特征函数. 即当 $w>2p'$, $T\rightarrow\infty$ 时, 可得

结合 (2.12), (2.20) 和 (2.21) 式易得到引理 2.7 的结论.

令 $N\geq2$, $p>1$, $\theta>-2$, $a\in {\rm A}$, $f\in {\rm F}$, $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$ 且假设 (1.6) 和 (1.7) 成立. 利用反证技巧, 假设 $u\in L_{loc}^{p}\left(\overline{{\rm D}^{c}}\times[0,\infty)\right)$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的整体弱解, 对于 $T\gg1$, 利用引理 2.2 知

对于 (3.1) 式右端第一项和第二项, 利用 Young 不等式, 得到

和

其中 $C_{\varepsilon,p}>0$ 是仅依赖于 $\varepsilon$ 和 $p$ 的常数, $p'=\frac{p}{p-1}$. 结合 (3.1)-(3.3) 式导出

在上式中, 选取 $0<\varepsilon\leq\frac{1}{2}$ 得

于是, 利用引理 2.3 和 2.4, 并取极限 $T\rightarrow\infty$ 有

在上式中, 选取 $r=1$, 并整理得: 当 $T\rightarrow\infty$ 时,

再由 (3.4) 和 (3.5) 式知

和

其中 $\widetilde{C}>0$ 是不依赖于 $T$ 的常数, 这与当 $T\rightarrow\infty$ 时分别与假设 (1.6) 和 (1.7) 矛盾. 定理 1.1 证毕.

令 $N\geq2$, $\theta>-2$, $a\in {\rm B}$, $f\in {\rm F}$, $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$.

(i) 的证明 令 $N=2$, $p>1$, 对$T>0$, 有

其中 $C=\operatorname*{ess\,inf}_{s>0} a(s)>0.$

现在, 由条件 $p>1$, $\theta>-2$ 易知

且在 (4.1) 式中取极限 $T\rightarrow\infty$, 我们得到定理 1.1 中的假设 (1.6), 因此, 由定理 1.1 可知, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解. 定理 1.2(i) 证毕.

(ii) 的证明 令 $N\geq3$, 首先考虑 $1<p<\frac{N+\theta}{N-2}$ 情形. 对 $T>0$, 我们有

其中 $C=\operatorname*{ess\,inf}_{s>0} a(s)>0.$

现在, 由条件 $\theta>-2$, $1<p<\frac{N+\theta}{N-2}$ 易知

且在 (4.2) 式中取极限 $T\rightarrow\infty$, 我们得到定理 1.1 中的假设 (1.7), 因此, 由定理 1.1 可知, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解.

接下来, 考虑临界情形 $p=\frac{N+\theta}{N-2}$. 由引理 2.5 可知, 在引理 2.2 中, 当 $\varphi_{T}=\overline{\varphi}_{T}$ 时, (2.3)-(2.5) 式仍然成立并整理得

由 (3.2), (202) 和 (4.3) 式, 我们有

在上式中, 选取 $0<\varepsilon\leq\frac{1}{2}$ 并直接计算可得

下面, 我们处理 (4.4) 式左端第一个积分式子. 利用 $a(t)\in {\rm B}$ 并直接计算得到

利用 (4.4)-(4.5) 式, 引理 2.6 和引理 2.7, 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 我们有

在 (4.6) 式中, 当 $j>\frac{|N(p-1)-\theta|}{p}$ 时, 我们可得 $\int_{\partial {\rm D}}f(x){\rm d}S_{x}\leq0$ 且与 $\int_{\partial {\rm D}}f(x){\rm d}S_{x}>0$ 矛盾. 定理 1.2 (ii) 证毕.

(iii) 的证明 令

其中

由 $p>\frac{N+\theta}{N-2}$ 可知

经过直接计算并利用 (4.7) 式我们得到

另一方面, 我们有

因此, 当 $a(t)\equiv1\in{\rm B}$, $f(x)\leq\varepsilon$, $x\in\partial{\rm D}$, $u_{0}(x)=\varepsilon|x|^{-\delta}$, $u_{1}(x)=0$, $x\in{\rm D}^{c}$ 时, $u(x)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的一个整体解.

定理 1.2 (iii) 证毕.

令 $N=2$, $\theta>-2$, $a\in {\rm C}_{\sigma}$, $\sigma\in\mathbb{R}$, $f\in {\rm F}$ 且 $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$.

(i) 的证明 当 $a\in {\rm C}_{\sigma}$ 时, 存在 $T_{0}>0$ 使得

其中 $C$ 是大于 0 的常数, 因此, 当 $T>T_{0}$ 时, 我们有

于是, 若 $\sigma=-1$, $1<p<3+\theta$, 则由 (5.1) 式得: 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

类似地, 若 $\sigma<-1$, $1<p<3+\theta$, 则由 (5.1) 式得: 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

且由定理 1.1 可知, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解. 定理 1.3 (i) 证毕.

(ii) 的证明 若 $-1<\sigma<0$, $1<p<1-\frac{\theta+2}{\sigma}$, 则由 (5.1) 式得: 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

且由定理 1.1 可知, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解. 定理 1.3 (ii) 证毕.

(iii) 的证明 当 $\sigma\geq0$, $\theta>-2$ 时, 则对于所有 $p>1$, 都有 $\sigma+\frac{\theta+2}{p-1}>0$, 因此, 当 $p>1$ 时, (5.2) 式恒成立, 且由定理 1.1 可得, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解. 定理 1.3 (iii) 证毕.

令 $N\geq3$, $\theta>-2$, $a\in {\rm C}_{\sigma}$, $\sigma\in\mathbb{R}$, $f\in {\rm F}$ 且 $u_{i}(x)\in {\rm G}(i=0,1)$.

(i) 的证明 当 $a\in {\rm C}_{\sigma}$ 时, 存在 $T_{0}>0$ 使得

其中 $C$ 是大于 0 的常数, 因此, 当 $T>T_{0}$ 时, 我们有

于是, 若 $\sigma=-1$, $1<p\leq1+\frac{\theta+2}{N-1}$, 则由 (6.1) 式得: 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

类似地, 若 $\sigma<-1$, $1<p<1+\frac{\theta+2}{N-1}$, 则由 (6.1) 式得: 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

且由定理 1.1 可知, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解. 定理 1.4 (i) 证毕.

(ii) 的证明 若 $-1<\sigma<N-2$, $1<p<1+\frac{\theta+2}{N-2-\sigma}$, 则由 (6.1) 式得: 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 满足

且由定理 1.1 可知, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解. 定理 1.4 (ii) 证毕.

(iii) 的证明 当 $\sigma\geq N-2$, $\theta>-2$ 时, 则对于所有 $p>1$, 都有 $\sigma+2+\frac{\theta+2}{p-1}-N>0$, 因此, 当 $p>1$ 时, (6.2) 式恒成立, 且由定理 1.1 可得, 问题 (1.1)-(1.3) 无整体弱解. 定理 1.4(iii) 证毕.

(i) 的证明 利用反证技巧, 假设 $u\in L_{loc}^{p}\left(\overline{{\rm D}^{c}}\times[0,\infty)\right)$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的整体弱解, 利用引理 2.2, 对于足够大的 $T$, 我们有

由 $f\geq0$, $a\geq0$, $u_{i}\geq0(i=0,1)$ 和 $\varphi_{T}\geq0$, $x\in{\rm D}^{c}$, 我们导出

利用与定理 1.1 的证明中相同的讨论, 我们得到

另一方面, 由 $\varphi_{T}$ 的定义, 有

利用变量替换 $y=\frac{x}{T^{r}}$ 和函数 $\varphi_{T}$ 的定义, 计算得

利用函数 $H(x)$ 的定义和 (1.8) 式, 得到

利用 Lebesgue 控制收敛定理, 有

其中

结合 (7.2)-(7.4) 式, 对于足够大的 $T$, 我们得到

因此, 利用 (7.1) 和 (7.6) 式, 导出

接下来, 在式 (7.7) 中取 $\varepsilon=\frac{1}{2}$, $r=1$, 得到

即

由 $-\frac{\theta+2}{p-1}-\beta<0$, 令 $T\rightarrow\infty$, 则显然产生矛盾. 定理 1.5(i) 证毕.

(ii) 的证明 由 $-N<2-N<\beta$, 易知

其中 $J_{\beta}$ 为式 (7.5) 中给出的. 利用与定理 1.5(i) 相同的证明思路, 得到

利用 $1<p<1-\frac{\theta+2}{\beta}$, 我们知 $-\frac{2+\theta}{p-1}-\beta<0,$ 因此, 令 $T\rightarrow\infty$, 则显然产生矛盾. 定理 1.5(ii) 证毕.

(iii) 的证明 由于 $p>1-\frac{\theta+2}{\beta}$, 我们有

此外, 由 $\beta>2-N$ 易知 $1-\frac{\theta+2}{\beta}>1+\frac{\theta+2}{N-2},$ 且我们得到 $\frac{\theta+2}{p-1}<N-2$, 因此, 由定理 1.2(iii) 的证明可知, 定义在 (4.7) 式中的 $u(x)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的一个整体正解. 定理 1.5(iii) 证毕.

在试验函数理论框架内, 本文考虑了高维外区域中 ($N\geq2$) 的一类半线性双曲型微分不等式非齐次 Dirichlet 外问题. 在依赖于时空变量的非齐次 Dirichlet 边界条件下, 主要采用适当选取试验函数的方法和反证技巧, 我们导出了新的非存在性定理和一些解的存在性结论, 如我们的结论与第一、第二类 Kato 型临界指标相关, 包含临界情形等. 同时, 新的第一类 Kato 型临界指标涵盖现有文献 [2,12,13] 以及文献 [14] 中 $l=0$ 情形. 实际上, 这些证明技巧和结论可延伸到变系数 Laplacian 问题、全空间或有界区域问题等且对试验函数理论及演化方程临界指标理论的发展有着一定的科学意义.