1 引言
在量子信息的研究中, 纠缠是一种重要的物理资源, 是区分量子世界和经典世界的一种量子关联. 然而纠缠仅仅是量子关联的一个子集, 在量子信息处理过程中, 许多没有纠缠的量子态仍然可以表现出独特的量子特性. Ollivier, Zurek[1 ] 以及 Henderson, Vedral[2 ] 提出了区别于纠缠的量子关联—量子失协. 在量子任务中有极其重要的作用, 特别是在量子通信和计算任务中实现了量子优势[3 ,4 ] . 最近, 量子失协得到了广泛的研究, 如量子关联的量化、量子失协的动力学行为以及其他量子特性等[5 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -12 ] .
对于两体系统, 量子失协被定义为两个经典等效互信息表达式在量子世界中的最小差异[13 ,14 ] . 两体量子态 $ \rho_{AB} $ $ I(\rho_{AB})=S(\rho_{A})+S(\rho_{B})-S(\rho_{AB}) $ $ S(\rho)=-\mathrm{Tr}\rho\log_{2}\rho $ $ \rho_{A(B)}=\mathrm{Tr}_{B(A)}\rho_{AB} $ . 若对子系统 $ A $ $ \{\Pi^{A}_{j}\} $ $ \Pi^{A}(\rho_{AB})=\sum_{i}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B})\rho_{AB}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B}) $ . 量子态 $ \Pi^{A}(\rho_{AB}) $ $ C(\rho_{AB})=\max_{\Pi^{A}}I(\Pi^{A}(\rho_{AB})) $ . 这样, 两体态 $ \rho_{AB} $ $ D_{A; B}(\rho)=I(\rho_{AB})-C(\rho_{AB}) $ . 两体量子态量子失协得到了广泛研究. 最近, Radhakrishnan 等人[15 ] 提出了多体量子失协. 多体量子失协问题激发了人们广泛的兴趣, 但由于优化过程复杂, 只能对一类特殊的态进行研究. 为此, Zhu 等人[16 ] 基于两体量子几何失协度量提出了多体几何量子失协度量, 给出了一类含有三个实参变量的 X 态的几何量子失协.
在此基础上, 本文研究一类含有四个实参的三量子比特 X 态几何量子失协给出其解析表达式, 进一步研究在相位翻转信道下该类态几何量子失协的动力学行为.
2 预备知识
本节给出多体量子和几何失协的定义. 此外, 陈述一类三量子比特 X 态在条件测量下几何失协的结果.
Radhakrishnan 等人基于信息论提出多体量子失协. 这种方法的主要特征之一就是使用了条件测量, 其中每个连续的测量都与先前测量有条件地相关. 对于希尔伯特空间 $ H=H_{A_{1}}\otimes H_{A_{2}}\otimes \cdots \otimes H_{A_{N}} $ $ \rho $ $ N-1 $ $ k-1 $
$ \sum_{j_1=1}^{d_1}\Pi^{A_{1}}_{j_{1}}=\mathrm{I}_{A_1}, \sum_{j_2=1}^{d_2}\Pi^{A_{2}}_{j_{2}|j_{1}}=\mathrm{I}_{A_2}(1\le j_1\le d_1),\cdots, $ $ $ $ \sum_{j_{k-1}=1}^{d_{k-1}}\Pi^{A_{k-1}}_{j_{k-1}|j_{1}\cdots j_{k-2}}=\mathrm{I}_{A_{k-1}} (1\le j_{s}\le d_s(s=1,2,\cdots,{k-1})).$
(2.1) $\begin{equation}\label{PM} \Pi^{A_{1}\ldots A_{k-1}}=\left\{\Pi^{A_{1}\cdots A_{k-1}}_{j_{1}\cdots j_{k-1}}:1\le j_{s}\le d_s(s=1,2,\cdots,{k-1})\right\}, \Pi=\Pi^{A_{1}\ldots A_{N-1}}.\end{equation}$
定义 $ N $ $ \rho $
(2.2) $\begin{eqnarray*}\label{eq:1.1} D_{A_{1}; A_{2}; \cdots; A_{N}}(\rho) &=&\min_{\Pi^{A_{1}\cdots A_{k-1}}(1\le k\le N)}\Big[-S_{A_{2}\cdots A_{N}|A_{1}}(\rho)+S_{A_{2}|\Pi^{A_{1}}}(\rho)\nonumber\\ &&+S_{A_{3}|\Pi^{A_{1} A_{2}}}(\rho)+\cdots+S_{A_{N}|\Pi^{A_{1}\ldots A_{N-1}}}(\rho)\Big], \end{eqnarray*}$
其中 $ S_{A_{2}\ldots A_{N}|A_{1}}(\rho)=S(\rho)-S(\rho_{A_{1}}) $
用符号 $ D(H) $ $ H $ $ \Omega $ $ H $
设量子态 $ \rho $ $ \Pi(\rho) $
易见, 对任意的 $ \rho\in D(H) $ $ \Pi^2(\rho)=\Pi(\rho) $ $ \Pi(\rho) $ $ \chi $ $ \rho $ $ \chi=\Pi(\rho) $ . 因此
定义 2.1 几何量子失协定义为已知量子态 $ \rho $
(2.3) $\begin{equation}\label{eq:2.1} D_{G}^{(N)}(\rho)=\min_{\chi\in\Omega}\|\rho-\chi\|^{2} =\min_{\Pi^{A_{1}\cdots A_{k-1}}(1\le k\le N)}\|\rho-\Pi(\rho)\|^{2}, \end{equation}$
其中, $ \|T\|=\sqrt{\mathrm{Tr}[(T^{\dagger}T)]} $ $ T $
希尔伯特空间 $ H=H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}=\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{2} $ $ s,c_{1},c_{2},c_{3} $ $ \rho $
(2.4) $\begin{equation}\label{eq:www} \rho=\frac{1}{8}\bigg(\mathrm{I}+s\mathrm{I}\otimes \sigma_{3}\otimes \mathrm{I}+\sum^{3}_{i=1}c_{i}\sigma_{i}\otimes\sigma_{i}\otimes\sigma_{i}\bigg). \end{equation}$
其中 $ \mathrm{I} $ $ \{{\sigma}_{i}\}^{3}_{i=1} $ $ D_{G}^{(3)} $ $ \|\rho\|^{2} $ $ -2\mathrm{Tr}(\rho \chi) $ $ \|\chi\|^{2} $ . 由定义可得
(2.5) $\begin{equation}\label{eq:2.4} \|\rho\|^{2}=\mathrm{Tr}(\rho^{2})=\frac{1}{8}\left(1+c^{2}_{1}+c^{2}_{2}+c^{2}_{3}-s^{2}\right). \end{equation}$
对 $ A $ $ A_{j}=V_{A}\Pi_{j}V^{\dagger}_{A},(j=0,1) $ $ \Pi_{0}=|0\rangle\langle 0|,\Pi_{1}=|1\rangle\langle 1| $ $ V_{A}=t_{A}\mathrm{I}+i\vec{y}_{A}\cdot\vec{\sigma} $ $ t_{A}\in\mathbb{R} $ $ \vec{y}_{A}=(y_{A_1},y_{A_2},y_{A_3})\in\mathbb{R}^{3} $ $ \vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}) $ $ t^{2}_{A}+y_{A_1}^{2}+y_{A_2}^{2}+y_{A_3}^{2}=1 $ . 若对子系统 $ A $ $ \{A_{j}\}^{1}_{j=0} $ $ \tilde{\rho}=\sum_{i=0,1} p_{i}\rho_{i} $ $ p_{0}=p_{1}=\frac{1}{2} $
(2.6) $\begin{align*} \rho_{0}&=\frac{1}{4}\left(V_{A}\Pi_{0}V^{\dagger}_{A}\right)\otimes\bigg(\mathrm{I}+\sum^{3}_{i=1}c_{i}z_{i}\sigma_{i}\otimes\sigma_{i}+s\sigma_{3}\otimes \mathrm{I}\bigg),\label{eq:A0} \end{align*}$
(2.7) $\begin{align*} \rho_{1}&=\frac{1}{4}\left(V_{A}\Pi_{1}V^{\dagger}_{A}\right)\otimes\bigg(\mathrm{I}-\sum^{3}_{i=1}c_{i}z_{i}\sigma_{i}\otimes\sigma_{i}+s\sigma_{3}\otimes \mathrm{I}\bigg),\label{eq:A1} \end{align*}$
(2.8) $z_{1}=2(-t_{A}y_{A_2}+y_{A_1}y_{A_3}),$
(2.9) $z_{2}=2(t_{A}y_{A_1}+y_{A_2}y_{A_3}),$
(2.10) $z_{3}=t^{2}_{A}-y_{A_1}^{2}-y_{A_2}^{2}+y_{A_3}^{2}.$
显然 $ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=1 $ $ A $ $ B $ . 采用相同的方法, 子系统 $ B $ $ \{{B_{k}^{j}=V_{B^{j}}\Pi_{k}V^{\dagger}_{B^{j}}: k=0,1}\} (j=0,1) $ $ V_{B^{j}}=t_{B^{j}}I+i\vec{y}_{B^{j}}\cdot\vec{\sigma} $ $ t_{B^{j}}\in\mathbb{R} $ $ \vec{y}_{B^{j}}=(y_{B^{j}_1},y_{B^{j}_2},y_{B^{j}_3})\in\mathbb{R}^{3} $ $ t^{2}_{B^{j}}+y_{B^{j}_1}^{2}+y_{B^{j}_2}^{2}+y_{B^{j}_3}^{2}=1 $ . 子系统 $ B $ $ \{B_{k}^{j}\} $ $ A $ $ A $ $ 0 $ $ \rho_{0} $ $ B $ $ \{B^{0}_{0},B^{0}_{1}\} $
(2.11) $\begin{align*}&\rho_{00}=\frac{1}{2(1+sl_{3})}V_{A}\Pi_{0}V^{\dagger}_{A}\otimes V_{B^{0}}\Pi_{0}V^{\dagger}_{B^{0}}\otimes\bigg(\mathrm{I}+\sum^{3}_{i=1}c_{i}z_{i}l_{i}\sigma_{i}+sl_{3}\mathrm{I}\bigg),\end{align*}$
(2.12) $\begin{align*}&\rho_{01}=\frac{1}{2(1-sl_{3})}V_{A}\Pi_{0}V^{\dagger}_{A}\otimes V_{B^{0}}\Pi_{1}V^{\dagger}_{B^{0}}\otimes\bigg(\mathrm{I}-\sum^{3}_{i=1}c_{i}z_{i}l_{i}\sigma_{i}-sl_{3}\mathrm{I}\bigg), \end{align*}$
与之对应的概率分布 $ p_{00}=\frac{1+sl_{3}}{4} $ $ p_{01}=\frac{1-sl_{3}}{4} $
(2.13) $l_{1}=2(-t_{B^{0}}y_{B^{0}_2}+y_{B^{0}_1}y_{B^{0}_3}),$
(2.14) $l_{2}=2(t_{B^{0}}y_{B^{0}_1}+y_{B^{0}_2}y_{B^{0}_3}),$
(2.15) $l_{3}=t^{2}_{B^{0}}-y_{B^{0}_1}^{2}-y_{B^{0}_2}^{2}+y_{B^{0}_3}^{2}.$
若子系统 A 上的测量结果为 $ 1 $ $ \rho_{1} $ $ B $ $ \{{B^{1}_{0}},{B^{1}_{1}}\} $
(2.16) $\begin{align*} &\rho_{10}=\frac{1}{2(1+sm_{3})}V_{A}\Pi_{1}V^{\dagger}_{A}\otimes V_{B^{1}}\Pi_{0}V^{\dagger}_{B^{1}}\otimes\bigg(\mathrm{I}-\sum^{3}_{i=1}c_{i}z_{i}m_{i}\sigma_{i}+sm_{3}\mathrm{I}\bigg),\end{align*}$
(2.17) $\begin{align*} &\rho_{11}=\frac{1}{2(1-sm_{3})}V_{A}\Pi_{1}V^{\dagger}_{A}\otimes V_{B^{1}}\Pi_{1}V^{\dagger}_{B^{1}}\otimes\bigg(\mathrm{I}+\sum^{3}_{i=1}c_{i}z_{i}m_{i}\sigma_{i}-sm_{3}\mathrm{I}\bigg) \end{align*}$
与之对应的概率分布为 $ p_{10}=\frac{1+sm_{3}}{4} $ $ p_{11}=\frac{1-sm_{3}}{4} $
(2.18) $m_{1}=2\left(-t_{B^{1}}y_{B^{1}_2}+y_{B^{1}_1}y_{B^{1}_3}\right)$
(2.19) $m_{2}=2\left(t_{B^{1}}y_{B^{1}_1}+y_{B^{1}_2}y_{B^{1}_3}\right),$
(2.20) $m_{3}=t^{2}_{B^{1}}-y_{B^{1}_1}^{2}-y_{B^{1}_2}^{2}+y_{B^{1}_3}^{2}.$
显然 $l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{3}^{2}=1 $ $ m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}=1 $
(2.21) $\begin{equation} -2\mathrm{Tr}(\rho\chi)=-\frac{1}{4}\left[1+\frac{1}{2}\left(\sum^{3}_{i=1}c_{i}^{2}z_{i}^{2}l_{i}^{2} +\sum^{3}_{i=1}c_{i}^{2}z_{i}^{2}m_{i}^{2}+s^{2}l_{3}^{2}+s^{2}m_{3}^{2}\right)\right]. \end{equation}$
设 $ q $ $ AB $ $ C $
(2.22) $q_{00}=(1+sl_{3})\mathrm{I}+c_{1}z_{1}l_{1}\sigma_{1}+c_{2}z_{2}l_{2}\sigma_{2}+c_{3}z_{3}l_{3}\sigma_{3},$
(2.23) $q_{01}=(1-sl_{3})\mathrm{I}-c_{1}z_{1}l_{1}\sigma_{1}-c_{2}z_{2}l_{2}\sigma_{2}-c_{3}z_{3}l_{3}\sigma_{3},$
(2.24) $q_{10}=(1+sm_{3})\mathrm{I}-c_{1}z_{1}m_{1}\sigma_{1}-c_{2}z_{2}m_{2}\sigma_{2}-c_{3}z_{3}m_{3}\sigma_{3},$
(2.25) $q_{11}=(1-sm_{3})\mathrm{I}+c_{1}z_{1}m_{1}\sigma_{1}+c_{2}z_{2}m_{2}\sigma_{2}+c_{3}z_{3}m_{3}\sigma_{3}.$
(2.26) $\mathrm{Tr}(q_{00}^{2})=2\left[(1+sl_{3})^{2}+c_{1}^{2}z_{1}^{2}l_{1}^{2}+c_{2}^{2}z_{2}^{2}l_{2}^{2}+c_{3}^{2}z_{3}^{2}l_{3}^{2}\right],$
(2.27) $\mathrm{Tr}(q_{01}^{2})=2\left[(1-sl_{3})^{2}-c_{1}^{2}z_{1}^{2}l_{1}^{2}-c_{2}^{2}z_{2}^{2}l_{2}^{2}-c_{3}^{2}z_{3}^{2}l_{3}^{2}\right],$
(2.28) $\mathrm{Tr}(q_{10}^{2})=2\left[(1+sm_{3})^{2}-c_{1}^{2}z_{1}^{2}m_{1}^{2}-c_{2}^{2}z_{2}^{2}m_{2}^{2}-c_{3}^{2}z_{3}^{2}m_{3}^{2}\right],$
(2.29) $\mathrm{Tr}(q_{11}^{2})=2\left[(1-sm_{3})^{2}+c_{1}^{2}z_{1}^{2}m_{1}^{2}+c_{2}^{2}z_{2}^{2}m_{2}^{2}+c_{3}^{2}z_{3}^{2}m_{3}^{2}\right].$
(2.30) $\begin{align*} \mathrm{Tr}(\chi^{2})&=\frac{1}{8^{2}}\mathrm{Tr}(V_{A}\Pi_{0}V^{\dagger}_{A})^{2} \mathrm{Tr}(V_{B^{0}}\Pi_{0}V^{\dagger}_{B^{0}})^{2}\mathrm{Tr}(q_{00}^{2})\notag\\ & ~~~ +\frac{1}{8^{2}}\mathrm{Tr}(V_{A}\Pi_{0}V^{\dagger}_{A})^{2} \mathrm{Tr}(V_{B^{0}}\Pi_{1}V^{\dagger}_{B^{0}})^{2}\mathrm{Tr}(q_{01}^{2})\notag\\ &~~~ +\frac{1}{8^{2}}\mathrm{Tr}(V_{A}\Pi_{1}V^{\dagger}_{A})^{2} \mathrm{Tr}(V_{B^{1}}\Pi_{0}V^{\dagger}_{B^{1}})^{2}\mathrm{Tr}(q_{10}^{2})\notag\\ &~~~ +\frac{1}{8^{2}}\mathrm{Tr}(V_{A}\Pi_{1}V^{\dagger}_{A})^{2} \mathrm{Tr}(V_{B^{1}}\Pi_{1}V^{\dagger}_{B^{1}})^{2}\mathrm{Tr}(q_{11}^{2})\notag\\ &=\frac{1}{16}\left(2+\sum^{3}_{i=1}c_{i}^{2}z_{i}^{2}l_{i}^{2}+ \sum^{3}_{i=1}c_{i}^{2}z_{i}^{2}m_{i}^{2}+s^{2}l_{3}^{2}+s^{2}m_{3}^{2}\right). \end{align*}$
(2.31) $\begin{align*}\label{eq:2.29} \|\rho-\chi\|^{2}&=\|\rho\|^{2}-2\mathrm{Tr}(\rho\chi)+\|\chi\|^{2}\notag\\ &=\frac{1}{8}\left\{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+s^{2}-\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{2}z_{i}^{2}(l_{i}^{2}+m_{i}^{2})+s^{2}(l_{3}^{2}+m_{3}^{2})\right)\right\}. \end{align*}$
3 三量子比特 X 态的几何量子失协
本节运用拉格朗日乘数法解决优化问题, 获得几何量子失协的解析表达式.
定理 3.1 希尔伯特空间 $ H=H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}=\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{2} $ $ \rho $
(3.1) $\begin{align*} D_{G}^{(3)}(\rho)=\frac{1}{8}(c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+s^{2}-2c),\label{D} \end{align*}$
其中 $ c=\max\left\{\frac{1}{2}c_{1}^{2},\frac{1}{2}c_{2}^{2},\frac{1}{2} (c_{3}^{2}+s^{2})\right\} $ .
(3.2) $\begin{align*}\label{OOOO} \min_{\chi\in\Omega} \|\rho-\chi\|^{2} &=\min_{z_{i},l_{i},m_{i}}\Big\{\frac{1}{8}\left\{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2} +s^{2}-\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^3 c_{i}^{2}z_{i}^{2}(l_{i}^{2}+m_{i}^{2})+s^{2}(l_{3}^{2}+m_{3}^{2})\right]\right\}\Big\}\notag\\ &=\frac{1}{8}\Big\{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+s^{2}- \max_{z_{i},l_{i},m_{i}}\left\{\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^3 c_{i}^{2}z_{i}^{2}(l_{i}^{2}+m_{i}^{2})+s^{2}(l_{3}^{2}+m_{3}^{2})\right]\right\}\Big\}. \end{align*}$
现在我们只需考虑 $ \max_{z_{i},l_{i},m_{i}}\left\{\frac{1}{2}[\sum_{i=1}^3 c_{i}^{2}z_{i}^{2}(l_{i}^{2}+m_{i}^{2})+s^{2}(l_{3}^{2}+m_{3}^{2})]\right\} $ . 由于子系统 $ B $ $ A $ $ z_{1},z_{2},z_{3} $ . 同时我们也注意到 $ l_{i} $ $ m_{i} $
(3.3) $\begin{align*} G(z_{1},z_{2},z_{3})=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^3 c_{i}^{2}z_{i}^{2}l_{i}^{2}+s^{2}l_{3}^{2}\right).\label{G} \end{align*}$
是关于 $ z_{1},z_{2},z_{3} $ $ z_{1},z_{2},z_{3} \in [0,1] $ .
由 $ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=1 $
(3.4) $\begin{align*} \varphi(z_{1},z_{2},z_{3})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-1 \end{align*}$
设拉格朗日函数 $ H(z_{1},z_{2},z_{3})=G(z_{1},z_{2},z_{3})+\lambda\varphi(z_{1},z_{2},z_{3}) $ $ \lambda $
(3.5) $\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial H}{\partial z_{1} }=c_{1}^{2}l_{1}^{2}z_{1}+2\lambda z_{1}=0,\\ &\frac{\partial H}{\partial z_{2} }=c_{2}^{2}l_{2}^{2}z_{2}+2\lambda z_{2}=0,\\ &\frac{\partial H}{\partial z_{3} }=c_{3}^{2}l_{3}^{2}z_{1}+2\lambda z_{3}=0,\\ &\frac{\partial H}{\partial \lambda }z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-1=0. \end{aligned} \right.\label{w6} \end{align*}$
(3.6) $\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} (c_{1}^{2}l_{1}^{2}-c_{2}^{2}l_{2}^{2})z_{1}z_{2}=0,\\ (c_{2}^{2}l_{2}^{2}-c_{3}^{2}l_{3}^{2})z_{2}z_{3}=0,\\ (c_{1}^{2}l_{1}^{2}-c_{3}^{2}l_{3}^{2})z_{1}z_{3}=0,\\ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-1=0. \end{aligned} \right. \end{align*}$
情况 1 若 $ c_{1}^{2}l_{1}^{2}\neq c_{2}^{2}l_{2}^{2}\neq c_{3}^{2}l_{3}^{2} $ $ z_{1},z_{2},z_{3} $ $ 0 $ $ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-1=0 $ $ z_{1},z_{2},z_{3} $
(a) 若 $ z_{1}=1,z_{2}=z_{3}=0 $
(3.7) $\begin{align*} F(l_{1},l_{3}):=G(1,0,0)=\frac{1}{2}(c_{1}^{2}l_{1}^{2}+s^{2}l_{3}^{2}).\label{w7} \end{align*}$
(b) 若 $ z_{2}=1,z_{1}=z_{3}=0 $
(3.8) $\begin{align*} F(l_{2},l_{3}):=G(0,1,0)=\frac{1}{2}(c_{2}^{2}l_{2}^{2}+s^{2}l_{3}^{2}).\label{w8} \end{align*}$
(c) 若 $ z_{3}=1,z_{1}=z_{2}=0 $
(3.9) $\begin{align*} F(l_{3}):=G(0,0,1)=\frac{1}{2}(c_{3}^{2}l_{3}^{2}+s^{2}l_{3}^{2}).\label{w9} \end{align*}$
情况 2 若 $ c_{1}^{2}l_{1}^{2}=c_{2}^{2}l_{2}^{2}\neq c_{3}^{2}l_{3}^{2} $ $ z_{1}z_{3}=z_{2}z_{3}=0 $
(a) $ z_{1}=z_{2}=0 $ $ z_{3}=1 $
(b) $ z_{3}=0 $ $ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-1=0 $ . 将 $ c_{1}^{2}l_{1}^{2}=c_{2}^{2}l_{2}^{2} $ $ G(z_{1},z_{2},0) $
情况 3 若 $ c_{1}^{2}l_{1}^{2}=c_{3}^{2}l_{3}^{2}\neq c_{2}^{2}l_{2}^{2} $ $ z_{1}z_{2}=z_{2}z_{3}=0 $
(a) $ z_{1}=z_{3}=0 $ $ z_{2}=1 $
(b) $ z_{2}=0 $ $ z_{1}^{2}+z_{3}^{2}-1=0 $ . 同理可得 $ G(z_{1},0,z_{3}) $
情况 4 若 $ c_{2}^{2}l_{2}^{2}= c_{3}^{2}l_{3}^{2}\neq c_{1}^{2}l_{1}^{2} $ $ z_{1}z_{2}=z_{1}z_{3}=0 $
(a) $ z_{2}=z_{3}=0 $ $ z_{1}=1 $
(b) $ z_{1}=0 $ $ z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-1=0 $ . 同理可得 $ G(0,z_{2},z_{3}) $
情况 5 若 $ c_{1}^{2}l_{1}^{2}=c_{3}^{2}l_{3}^{2}= c_{2}^{2}l_{2}^{2} $ $ G(z_{1},z_{2},z_{3}) $
综上 $ \max G(z_{1},z_{2},z_{3}) $ $ z_{1},z_{2},z_{3}\in[0,1] $ $ \max\left\lbrace F(l_{1},l_{3}),F(l_{2},l_{3}),F(l_{3})\right\rbrace $ . 由 (3.7) 式, (3.8) 式, (3.9) 式, 知 $ F $ $ l_{1},l_{2},l_{3} $ $ l_{1},l_{2},l_{3}\in[0,1] $ . 分为以下几种情况:
情况 6 对 $ F(l_{1},l_{3}) $
(3.10) $\frac{\partial F(l_{1},l_{3})}{\partial l_{1}}=c_{1}^{2}l_{1},$
(3.11) $\frac{\partial F(l_{1},l_{3})}{\partial l_{3}}=s_{1}^{2}l_{3}.$
由上可知 $ F(l_{1},l_{3}) $ $ (0,0) $ $ (1,0) $ $ (0,1) $ . 分别带入 (3.7) 式可得
(3.12) $\begin{equation} \max_{l_{1},l_{3}} F(l_{1},l_{3})=\max\left\{\frac{1}{2}c_{1}^{2},\frac{1}{2}s^{2}\right\}. \end{equation}$
情况 7 对 $ F(l_{2},l_{3}) $
(3.13) $\begin{equation} \max_{l_{2},l_{3}} F(l_{2},l_{3})=\max\left\{\frac{1}{2}c_{2}^{2},\frac{1}{2}s^{2}\right\}. \end{equation}$
情况 8 对 $ F(l_{3}) $
(3.14) $\begin{align*} \frac{\partial F(l_{3})}{\partial l_{3}}&=(c_{1}^{2}+s^{2})l_{3}. \end{align*}$
由上可知 $ F(l_{3}) $
(3.15) $\begin{equation} \max_{l_{3}} F(l_{3})=\frac{1}{2}(c_{3}^{2}+s^{2}). \end{equation}$
综上可知, c:= $ \max\left\lbrace F(l_{1},l_{3}),F(l_{2},l_{3}),F(l_{3})\right\rbrace=\max\left \{\frac{1}{2}c_{1}^{2},\frac{1}{2}c_{2}^{2},\frac{1}{2}(c_{3}^{2}+s^{2})\right\} $ . 由于 $ l_{i} $ $ m_{i} $
(3.16) $\begin{align*} D_{G}^{(3)}(\rho)=\frac{1}{8}\left(c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+s^{2}-2c\right). \end{align*}$
记 $ D_{G}^{(3)}(\rho)=D_{G}^{(3)}(c_{1},c_{2},c_{3},s) $ . 根据 (3.1) 式, 绘制了该类态几何量子失协等高图如图1 所示. 由图1 可以看出与量子失协的等高图不同, 几何量子失协是由三个相交“圆柱体”组成, 并且表面收缩率会随着 $ s $ $ D_{G}^{(3)}(c_{1},c_{2},c_{3},s)=D_{G}^{(3)}(-c_{1},-c_{2},-c_{3},s) $ $ s $ $ c_{3}=0 $ 图1(b) , 图1(d) .
图1
图1
几何量子失协等高图 $ D_{G}^{(3)}(c_{1},c_{2},c_{3},s)=D $ $ s=0.2 $ $ D=0.01 $ $ s=0.4 $ $ D=0.01 $ $ s=0.2 $ $ D=0.05 $ $ s=0.4 $ $ D=0.05 $ .
4 相位翻转下几何量子失协的动力学行为
假设 (2.4) 式给出的三量子比特 X 态 $ \rho $ $ \varepsilon(\cdot) $ [17 ] , 其中 Kraus 算子
(4.1) $\Gamma^{(A_{1})}_{0}=\mathrm{diag}(\sqrt{1-p/2},\sqrt{1-p/2})\otimes {\mathrm{I_2}}\otimes{\mathrm{I_2}},$
(4.2) $\Gamma^{(A_{1})}_{1}=\mathrm{diag}(\sqrt{p/2},-\sqrt{p/2})\otimes {\mathrm{I_2}}\otimes {\mathrm{I_2}},$
(4.3) $\Gamma^{(A_{2})}_{0}={\mathrm{I_2}}\otimes \mathrm{diag}(\sqrt{1-p/2},\sqrt{1-p/2})\otimes{\mathrm{I_2}}, $
(4.4) $\Gamma^{(A_{2})}_{1}={\mathrm{I_2}}\otimes \mathrm{diag}(\sqrt{p/2},-\sqrt{p/2})\otimes {\mathrm{I_2}},$
(4.5) $\Gamma^{(A_{3})}_{0}={\mathrm{I_2}}\otimes{\mathrm{I_2}}\otimes \mathrm{diag}(\sqrt{1-p/2},\sqrt{1-p/2}), $
(4.6) $\Gamma^{(A_{3})}_{1}={\mathrm{I_2}}\otimes {\mathrm{I_2}}\otimes \mathrm{diag}(\sqrt{p/2},-\sqrt{p/2}),$
其中 $ p=1-\exp(-\gamma t) $ $ \gamma $ [18 ] .
若初始态 $ \rho $
(4.7) $\begin{align*} \varepsilon(\rho)&=\frac{1}{8}\Big[{\mathrm{I_2}}\otimes {\mathrm{I_2}}\otimes {\mathrm{I_2}}+{\mathrm{I_2}}\otimes s\sigma_{3}\otimes {\mathrm{I_2}}+(1-p)^{3}c_{1}\sigma_{1}\otimes\sigma_{1}\otimes\sigma_{1} \notag\\ &~~~+(1-p)^{3}c_{2}\sigma_{2}\otimes\sigma_{2}\otimes\sigma_{2} +c_{3}\sigma_{3}\otimes\sigma_{3}\otimes\sigma_{3}\Big]. \end{align*}$
该类态 $ \rho $
(4.8) $\begin{align*} D_{G}^{(3)}(\varepsilon(\rho))=\frac{1}{8}\left\{(1-p)^{6}(c_{1}^{2}+c_{2}^{2})+c_{3}^{2}+s^{2} -\max\left\{(1-p)^{6}c^{2}_{1},(1-p)^{6}c^{2}_{2},c^{2}_{3}+s^{2}\right\}\right\}. \end{align*}$
图2 给出了当参数 $ s=\frac{1}{8} $ $ c_{1}=\frac{4}{5} $ $ c_{2}=\frac{c_{1}}{2} $ $ c_{3}=\frac{1}{2} $ $ \rho $ $ p $ $ p=0.136329 $
图2
图2
相位翻转下的几何量子失协: $ s=\frac{1}{8} $ $ c_{1}=\frac{4}{5} $ $ c_{2}=\frac{c_{1}}{2} $ $ c_{3}=\frac{1}{2} $ .
参考文献
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Classical, quantum and total correlations
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Experimental quantum computing without entanglement
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... 在量子信息的研究中, 纠缠是一种重要的物理资源, 是区分量子世界和经典世界的一种量子关联. 然而纠缠仅仅是量子关联的一个子集, 在量子信息处理过程中, 许多没有纠缠的量子态仍然可以表现出独特的量子特性. Ollivier, Zurek[1 ] 以及 Henderson, Vedral[2 ] 提出了区别于纠缠的量子关联—量子失协. 在量子任务中有极其重要的作用, 特别是在量子通信和计算任务中实现了量子优势[3 ,4 ] . 最近, 量子失协得到了广泛的研究, 如量子关联的量化、量子失协的动力学行为以及其他量子特性等[5 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -12 ] . ...
The power of discord: Physicists have always thought quantum computing is hard because quantum states are incredibly fragile
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Total versus quantum correlations in quantum states
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Sudden transition between classical and quantum decoherence
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... 在量子信息的研究中, 纠缠是一种重要的物理资源, 是区分量子世界和经典世界的一种量子关联. 然而纠缠仅仅是量子关联的一个子集, 在量子信息处理过程中, 许多没有纠缠的量子态仍然可以表现出独特的量子特性. Ollivier, Zurek[1 ] 以及 Henderson, Vedral[2 ] 提出了区别于纠缠的量子关联—量子失协. 在量子任务中有极其重要的作用, 特别是在量子通信和计算任务中实现了量子优势[3 ,4 ] . 最近, 量子失协得到了广泛的研究, 如量子关联的量化、量子失协的动力学行为以及其他量子特性等[5 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -12 ] . ...
Multipartite nonlocality without entanglement in many dimensions
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Classical correlation and quantum discord in critical systems
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Global quantum discord in multipartite systems
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2011
... 对于两体系统, 量子失协被定义为两个经典等效互信息表达式在量子世界中的最小差异[13 ,14 ] . 两体量子态 $ \rho_{AB} $ $ I(\rho_{AB})=S(\rho_{A})+S(\rho_{B})-S(\rho_{AB}) $ $ S(\rho)=-\mathrm{Tr}\rho\log_{2}\rho $ $ \rho_{A(B)}=\mathrm{Tr}_{B(A)}\rho_{AB} $ . 若对子系统 $ A $ $ \{\Pi^{A}_{j}\} $ $ \Pi^{A}(\rho_{AB})=\sum_{i}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B})\rho_{AB}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B}) $ . 量子态 $ \Pi^{A}(\rho_{AB}) $ $ C(\rho_{AB})=\max_{\Pi^{A}}I(\Pi^{A}(\rho_{AB})) $ . 这样, 两体态 $ \rho_{AB} $ $ D_{A; B}(\rho)=I(\rho_{AB})-C(\rho_{AB}) $ . 两体量子态量子失协得到了广泛研究. 最近, Radhakrishnan 等人[15 ] 提出了多体量子失协. 多体量子失协问题激发了人们广泛的兴趣, 但由于优化过程复杂, 只能对一类特殊的态进行研究. 为此, Zhu 等人[16 ] 基于两体量子几何失协度量提出了多体几何量子失协度量, 给出了一类含有三个实参变量的 X 态的几何量子失协. ...
Geometric measure of quantum discord
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2010
... 对于两体系统, 量子失协被定义为两个经典等效互信息表达式在量子世界中的最小差异[13 ,14 ] . 两体量子态 $ \rho_{AB} $ $ I(\rho_{AB})=S(\rho_{A})+S(\rho_{B})-S(\rho_{AB}) $ $ S(\rho)=-\mathrm{Tr}\rho\log_{2}\rho $ $ \rho_{A(B)}=\mathrm{Tr}_{B(A)}\rho_{AB} $ . 若对子系统 $ A $ $ \{\Pi^{A}_{j}\} $ $ \Pi^{A}(\rho_{AB})=\sum_{i}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B})\rho_{AB}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B}) $ . 量子态 $ \Pi^{A}(\rho_{AB}) $ $ C(\rho_{AB})=\max_{\Pi^{A}}I(\Pi^{A}(\rho_{AB})) $ . 这样, 两体态 $ \rho_{AB} $ $ D_{A; B}(\rho)=I(\rho_{AB})-C(\rho_{AB}) $ . 两体量子态量子失协得到了广泛研究. 最近, Radhakrishnan 等人[15 ] 提出了多体量子失协. 多体量子失协问题激发了人们广泛的兴趣, 但由于优化过程复杂, 只能对一类特殊的态进行研究. 为此, Zhu 等人[16 ] 基于两体量子几何失协度量提出了多体几何量子失协度量, 给出了一类含有三个实参变量的 X 态的几何量子失协. ...
Multipartite generalization of quantum discord
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... 对于两体系统, 量子失协被定义为两个经典等效互信息表达式在量子世界中的最小差异[13 ,14 ] . 两体量子态 $ \rho_{AB} $ $ I(\rho_{AB})=S(\rho_{A})+S(\rho_{B})-S(\rho_{AB}) $ $ S(\rho)=-\mathrm{Tr}\rho\log_{2}\rho $ $ \rho_{A(B)}=\mathrm{Tr}_{B(A)}\rho_{AB} $ . 若对子系统 $ A $ $ \{\Pi^{A}_{j}\} $ $ \Pi^{A}(\rho_{AB})=\sum_{i}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B})\rho_{AB}(\Pi^{A}_{i}\otimes \mathrm{I}_{B}) $ . 量子态 $ \Pi^{A}(\rho_{AB}) $ $ C(\rho_{AB})=\max_{\Pi^{A}}I(\Pi^{A}(\rho_{AB})) $ . 这样, 两体态 $ \rho_{AB} $ $ D_{A; B}(\rho)=I(\rho_{AB})-C(\rho_{AB}) $ . 两体量子态量子失协得到了广泛研究. 最近, Radhakrishnan 等人[15 ] 提出了多体量子失协. 多体量子失协问题激发了人们广泛的兴趣, 但由于优化过程复杂, 只能对一类特殊的态进行研究. 为此, Zhu 等人[16 ] 基于两体量子几何失协度量提出了多体几何量子失协度量, 给出了一类含有三个实参变量的 X 态的几何量子失协. ...
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2006
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