量子纠缠是量子最突出的特征之一^[1], 可以表示为: 如果两个系统在过去相互作用, 则不可能将单个状态向量分配给两个子系统中的任何一个, 这就是我们所说的不可分割原则. 在实际应用中, 确定给定状态是否为纠缠是非常重要的, 因此纠缠检测方法也非常重要. 例如, 局部正转置准则^[2⇓-4]、重排准则^[5]、协方差矩阵准则^[6]和量子 $\alpha$- 熵不等式^[7]可以区分纠缠态和可分态. 纠缠态的一个常见例子是单重态^[8]

显然, 它不能表示成描述子系统状态的单个向量的乘积.

纠缠首先由 Einstein, Podolski, Rosen (EPR) 和 Schrödinger 发现. Schrödinger 首先考虑了纠缠的信息理论方面, 他认识到纠缠为我们提供了整个系统和子系统的信息之间深刻的非经典关系. 量子信息论的最新发展表明, 纠缠具有重要的实际应用^[9]. 例如, 纠缠可以用作量子隐形传态中量子态通信的资源^[10], 纠缠还可以提高量子密码协议中量子计算的效率^[11]. 为了进一步研究纠缠, 韩琦等人构造了高维系统中混合量子态的不可扩展乘积基^[12].

我们上面提到的量子系统都是开放的, 与外部世界有多余的相互作用. 开放量子系统动力学通常比封闭量子系统动力学复杂得多. 量子运算是描述开放量子系统动力学最重要的数学工具之一, 它适用于描述离散时间内离散态的变化. 引入量子运算最常见的方式是使用完全正映射 (通常缩写为 CP 映射)^[13]. 设 $\mathcal{H}$ 表示量子系统的 Hilbert 空间. 如果 $\mathcal{H}$ 上的线性映射 $\Lambda$ 总是将一个正算子映射到另一个正算子, 则 $\Lambda$ 是正的; 如果映射 $I\otimes\Lambda$ 也是正的, 则 $\Lambda$ 是完全正的, 其中 $I$ 是恒等映射. 另一方面, 量子纠缠检验是描述量子纠缠的一种有效方式. 纠缠检验 $W$ 是一个块正但非正的 Hermitian 算子^[14]. 二分态 $\rho$ 是可分离的当且仅当对于所有的纠缠检验满足 ${\rm tr}(\rho W)\geq0$.

本文的主要目的是寻找基于一类线性映射的纠缠检验的构造, 这是二维量子系统中量子运算的充要条件. 为了解决这个问题, 我们使用 Bloch 球的几何工具来表示一个量子比特. 仿射映射在 Bloch 球上的一般形式是

其中 $\overrightarrow{r}$ 和 $\overrightarrow{r'}$ 分别为原向量和映射下的向量, $M$ 为 $3\times3$ 阶矩阵, $\overrightarrow{c}=(c_{x},c_{y},c_{z})$ 为位移向量.

本文的组织结构如下: 第二节我们回顾了 Bloch 球上量子比特的几何表示, 以及接下来论文中使用的预备知识; 第三节我们考虑一个特殊的带有对角转换矩阵 $M$ 的仿射映射, 有趣的是, 这种映射与 Hadamard 门密切相关; 第四节我们用仿射映射构造了纠缠检验; 第五节, 我们进行了简短的总结.

在本节中, 我们首先回顾了量子比特在 Bloch 球上的几何表示, 即可以写出量子比特的密度矩阵

其中 $\overrightarrow{r}=(r_{x},r_{y},r_{z})$ 是三维实向量且满足 $\|\overrightarrow{r}\|\leq1$. $\overrightarrow{\sigma}=(X,Y,Z)$ 是 Pauli 矩阵的形式向量且$\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{\sigma}=r_{x}X+r_{y}Y+r_{z}Z$, 其中 $X,~Y,~Z$ 是 Pauli 矩阵,

值得注意的是, 当且仅当 $\rho$ 为纯态时, $\|\overrightarrow{r}\|=1$; 当 $\|\overrightarrow{r}\|<1$ 时, $\rho$ 为混合态. 关键是存在一个矩阵 $\{X,Y,Z\}$ 与单位向量 $I$ 构成了 $2\times2$ 阶空间的基.

这里我们介绍最重要的数学概念: 量子运算和仿射映射.

设 $\{|\ell\rangle\}$ 为二维 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 的标准正交基, 如果我们定义 $X$ 为 $X|\ell\rangle=|\ell+1\rangle$, 其中加法为模 2 加法, 定义 $Z$ 为 $Z|\ell\rangle=\omega^{\ell}|\ell\rangle$, 其中 $\omega=\exp(-\frac{2\pi i}{d})$ 是 $d$ 次单位根, $d=1,2$. 则二维 Hilbert 空间中的 Pauli 矩阵可以表示为 $\{\sigma_{p,q}:p,q=0,1\}$. 关于广义 Pauli 矩阵性质的详细介绍, 见文献 [15]. 这里我们只列出了与我们的结果相关的结果 (为了简单起见, 我们定义 $X_{i}=X^{i},~Z_{i}=Z^{i}$)

(1) (乘法关系)

(2) (Hermitian 关系)

(3) (交换关系)

(4) (正交关系) 设 $d\times d$ 维线性空间的内积为 $(A,B)={\rm tr}(A^{\dagger}B)$, 则

其中 $\delta$ 是 Kronecker 函数.

现在我们考虑 $\rho=(I+\overrightarrow{r_{i,j}}\overrightarrow{\sigma_{i,j}})/2$, 其中 $\overrightarrow{r_{i,j}}=(r_{0,0}, r_{0,1}, r_{1,0}, r_{1,1})$ 是四维列向量, $\overrightarrow{\sigma_{i,j}}=(\sigma_{0,0}, \sigma_{0,1}, \sigma_{1,0}, \sigma_{1,1})=(I, Z, X, XZ)$ 是 Pauli 矩阵的形式向量. 设二维 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的量子运算 $\Lambda$ 将 $\rho$ 映射到 $\rho^{\prime}$, 表示为

通过验证我们知道, 存在一个四阶矩阵 $M$ 满足

即, 每个量子运算 $\Lambda$ 都会产生以下形式的仿射映射

接下来我们研究转移矩阵 $M$ 和向量 $\overrightarrow{r}$ 所满足的一些性质. 如果 $\Lambda(I)=I$, 则称量子运算 $\Lambda$ 是酉的, 否则称为非酉的. 设转移矩阵 $M$ 对应一个保迹量子运算 $\Lambda$, 则 $M$ 具有块形式

其中 $M^{\prime}$ 是 $3\times3$ 阶矩阵, $c$ 是三维向量 (我们通常称为位移向量). 此外, 如果 $\Lambda$ 是酉的, 则 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$. 由于 $\rho$ 是迹为 $1$ 的正算子, 则有 $\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{\sigma}=(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{\sigma})^{\ast}$ 并且 $r_{0,0}=1$.

如果量子运算将具有向量 $\overrightarrow{r}$ 的 $\rho$ 映射到具有向量 $M\overrightarrow{r}$ 的 $\Lambda(\rho)$, 其中

是对角的, 则必须满足以下条件^[13]

和

在本文中, $\lambda_{0,1}, \lambda_{1,0}, \lambda_{1,1}$ 大于 $\lambda_{0,0}$.

在本节中, 我们首先考虑具有对角转移矩阵 $M$ 和没有位移向量的特殊仿射映射. 这些映射是 $\lambda_{p,q}$ 在 $\sigma_{p,q}$ 方向上的标量乘法, 或

其中 $M=\rm{diag}(\overrightarrow{\lambda})$ 是对角矩阵, 也可以写为

其中 $\sigma_{0,0}=I, \sigma_{0,1}=Z, \sigma_{1,0}=X, \sigma_{1,1}=XZ$, 并且 $X,Y,Z$ 为 Pauli 矩阵.

我们讨论了仿射映射成为量子运算的充要条件. 如引言中所述, 量子运算的一个关键特征是其完全正性. 为了确定 $\Lambda$ 的完全正性, 我们需要以下引理

引理 3.1^[16] 设 $\Lambda$ 是 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的线性运算, $\{|k\rangle\}$ 是 $\mathcal{H}$ 的标准正交基. 则 $\Lambda$ 是 $CP$ 映射当且仅当算子 $(I\otimes\Lambda)(|\alpha\rangle\langle\alpha|)$ 是正的, 其中 $|\alpha\rangle=\sum\limits_{k}|k\rangle|k\rangle/\sqrt{d}$ 是复合系统的最大纠缠态.

利用引理 3.1, 我们可以通过检查算子 $(I\otimes\Lambda)(|\alpha\rangle\langle\alpha|)$ 的特征值的正性来确定给定的线性映射是否为 $CP$ 映射.

我们现在给出了用对角转换矩阵和没有位移向量的仿射映射 $\Lambda$ 的 $CP$ 条件. 令人惊讶的是, 这种情况本质上是和 Hadamard 门有关的. 具体来说, 有以下命题

命题 3.1 (3.1) 式中定义的线性映射是 $CP$ 映射当且仅当

其中$\overrightarrow{\lambda}=(\lambda_{0,0},\lambda_{0,1},\lambda_{1,0},\lambda_{1,1})$ 且 $H=(X+Z)/\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right).$

证 运用引理 3.1, 我们需要计算 $(I\otimes\Lambda)(|\alpha\rangle\langle\alpha|)$ 的特征值. 首先我们将 $|k\rangle\langle l|$ 展开为 $\{\sigma_{i,j}:i,j=0,1\}$ 的线性组合. 通过 $\sigma_{i,j}$ 的正交性, 得到

事实上

因此, 我们有

(3.5) 式中的最后一个方程是运用欧拉公式分成 $q=-n$ 和 $q=n$ 两部分得到的. 关键问题是 $\{\sigma_{m,-n}\otimes\sigma_{m,n};~m,n=0,1\}$ 形成一个 4 阶的阿贝尔群. 下面我们证明这一事实

因此，我们将矩阵 $\{\sigma_{m,-n}\otimes\sigma_{m,n};~m,n=0,1\}$ 对角化为

其中 $D(m,n)$ 是对角矩阵, $U$ 是酉矩阵. 所以我们有

对角线项是 $(I\otimes\Lambda)(|\alpha\rangle\langle\alpha|)$ 的特征值, 定义

可以检查

通过 (3.5) 式我们得到

其中

或者用矩阵表示

$(I\otimes\Lambda)(|\alpha\rangle\langle\alpha|)$ 是一个 Hermitian 矩阵, 当且仅当它的所有特征值都非负时, 它是正的. 这就引出了以下关系

命题得证.

现在我们考虑一个更一般的仿射映射

其中 $M={\rm \rm{diag}}(\overrightarrow{\lambda})+\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ c & 0 \\ \end{array} \right).$

我们称 $\overrightarrow{c}$ 为位移向量, 这种仿射映射实际上对应于非酉量子运算. 因此我们有下面这个命题.

命题 3.2 (3.8) 式中定义的线性映射是 CP 映射当且仅当

证 根据 (3.2) 式, 有

用类似于命题 3.1 的方式, 得到

然后根据引理 3.1 可知 $(I\otimes\Lambda)(|\alpha\rangle\langle\alpha|)$ 为正, 命题得证.

由于矩阵 $\{\sigma_{m,-n}\otimes\sigma_{m,n}; m,n=0,1\}$ 可以同时对角化, 则我们可以将命题 3.2 中的条件改写为

其中 $D=\rm{\rm{diag}}((H\otimes H^{\ast})\overrightarrow{\lambda})/2$.

在本节中, 我们考虑基于前一节中提到的仿射映射的纠缠检验. 首先, 给出以下定义.

定义 4.1^[17] 观测 $W$ 被称为纠缠检验当且仅当 $W$ 不是正算子, 但在所有可分态上的平均值是非负的.

现在, 我们通过构造一个映射 $\Lambda$ 给出一个基于仿射映射的纠缠检验. 映射 $\Lambda$ 是正的, 当且仅当 $\Lambda$ 将秩一投影映射到以最大混合态为中心的球 $\mathcal{B}$ 中 (即 $\rho\in\mathcal{B}\Leftrightarrow {\rm tr}(\rho^{2})\leq\frac{1}{d-1}$). 根据参考文献 [15] 中的相关定理, 我们使用以下命题来证明纠缠检验.

命题 4.1 对于 $i,j=0,1$, $\overrightarrow{r_{i,j}}$ 是四维列向量, $\overrightarrow{\sigma_{i,j}}$ 是 Pauli 矩阵的形式向量, 使得$(r_{0,1}\lambda_{0,1})^{2}+(r_{1,0}\lambda_{1,0})^{2}\leq(r_{1,1}\lambda_{1,1})^{2}-(\lambda_{0,0}r_{0,0})^{2}$, 我们有以下映射

为正, 其中 $M=\rm{diag}(\lambda_{0,0},\lambda_{0,1},\lambda_{1,0},\lambda_{1,1})$ 且 $\lambda_{0,1},\lambda_{1,0},\lambda_{1,1}\geq\lambda_{0,0}$.

因此

证 已知 $\overrightarrow{r_{i,j}}\overrightarrow{\sigma_{i,j}}=(r_{0,0}\sigma_{0,0}+r_{0,1}\sigma_{0,1}+r_{1,0}\sigma_{1,0}+r_{1,1}\sigma_{1,1})$, 则有

和

得到

结合 $(r_{0,1}\lambda_{0,1})^{2}+(r_{1,0}\lambda_{1,0})^{2}\leq(r_{1,1}\lambda_{1,1})^{2}-(\lambda_{0,0}r_{0,0})^{2}$, 得到 $Tr(\Lambda(\rho)^{2})<1$.

因此, $\Lambda$ 是一个正映射. 证毕.

现在, 我们用两个例子来证明纠缠检验 $W_{\Lambda}$ 的有效性.

例 4.1 在二维空间中考虑最大纠缠态 $|\varphi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum\limits_{i=0}^{1}|ii\rangle$. 有

其中最后一个等式是由于 $\lambda_{0,1},\lambda_{1,0},\lambda_{1,1}\geq \lambda_{0,0}=1$. 因此, 检验算子检测了状态 $|\varphi\rangle$ 的纠缠.

例 4.2 将上述例子扩展到 $d$ 维空间中, 考虑最大纠缠态 $|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum\limits_{i=0}^{d-1}|ii\rangle$. 有

其中第三个和第四个等式成立是因为当 $i=j$ 时, $\langle i|j\rangle=1$, 当 $i\neq j$ 时, $\langle i|j\rangle=0$. 最后的不等式成立也是由于 $\lambda_{0,1},\lambda_{1,0},\lambda_{1,1}\geq \lambda_{0,0}=1$. 因此, 检验算子检测了状态 $|\psi\rangle$ 的纠缠.

众所周知, PPT 准则只适用于二维情形, 对于高维空间中的算子并不适用. 也就是说 PPT 准则只能检测例 4.1 中状态的纠缠, 而不能检测例 4.2 中状态是否纠缠. 但是我们给出的纠缠检验不仅能检测二维的, 还能检测高维的算子, 这也是我们给出这个纠缠检验的意义.

在本文中, 我们证明了二维 Hilbert 空间中两个特殊仿射映射的完全正性, 并在最后一章给出了基于该仿射映射的纠缠检验. 这些结果对进一步研究高维 Hilbert 空间有一定的帮助, 即, 我们给出的纠缠检验不仅能检测二维空间中算子的纠缠, 还能检测高维空间中算子的纠缠.