1971 年, Väisälä [1]介绍了 $n$ 维空间中的拟共形映射理论, 书中指出了拟共形映射的分析定义、度量定义和几何定义是等价的. 1976 年, Gehring 和 palka^[2] 提出了欧氏空间中区域上的拟双曲度量的定义. 1990 年, Väisälä [3] 将拟共形映射的度量定义推广到无限维空间中, 借助拟双曲度量定义了 Banach 空间中区域上的自由拟共形映射. 并在文献 [3⇓⇓-6] 中系统的讨论了自由拟共形映射的性质, 建立了 Banach 空间中的自由拟共形映射理论, 本文研究一般拟凸度量空间中的自由拟共形映射.

设 $X$ 是一个度量空间, $x,y\in X$, 我们用符号 $|x-y|$ 来表示点 $x$ 和 $y$ 在 $X$ 中的距离.

度量空间 $X$ 中的一条曲线表示一个连续映射 $\gamma:[a,b]\rightarrow X$, 其长度定义为

这里的上确界是对所有分割 $a=t_0<t_1<...<t_n=b$ 取的. 如果 $l(\gamma)<\infty$, 则称曲线 $\gamma$ 是可求长的.

对可求长曲线 $\gamma:[a,b]\rightarrow X$ 定义长度函数 $s_\gamma:[a,b]\rightarrow [l(\gamma)]$, 满足 $s_\gamma(t)=l(\gamma|_{[a,t]})$. 对任意的可求长曲线 $\gamma:[a,b]\rightarrow X$, 都存在唯一的曲线 $\gamma_s:[l(\gamma)]\rightarrow X$ 使得 $\gamma=\gamma_s\circ s_\gamma$. 曲线 $\gamma_s$ 称为 $\gamma$ 的弧长参数化. 此时对任意的 $0\leq t_1<t_2\leq l(\gamma)$, 有 $l(\gamma_s|_{[t_1,t_2]})=t_2-t_1$ (文献 [7]).

定义 1.1 设 $X$ 是一个度量空间, $c\geq1$ 是一个常数, 如果对任意的 $x,y\in X$, 都存在一条可求长曲线 $\gamma$ 连接 $x$ 和 $y$, 且 $l(\gamma)\leq c|x-y|$, 则称 $X$ 是 $c$-拟凸的, 简称拟凸的.

设 $G$ 是拟凸的度量空间 $X$ 上的一个真子区域. 设 $x\in G$, 用 $\delta_G (x)$ 表示 $x$ 到 $X\backslash G$ 的距离. 设 $\gamma$ 是 $G$ 中一条可求长曲线, $\gamma$ 在 $G$ 中的拟双曲长度定义为

对任意的 $x,y\in G$, 定义

这里下确界是关于所有 $G$ 中连接点 $x$ 和 $y$ 的可求长曲线取的. 如果 $G$ 中不存在连接 $x$ 和 $y$ 的可求长曲线, 定义 $k_G(x,y)=+\infty$. 显然 $k_G$ 是 $G$ 上的一个度量, 称为 $G$ 中的拟双曲度量. 这样就得到了一个新的度量空间 $(G,k_G)$, 这个度量空间的性质引起了大家的广泛关注 (见文献 [3,7⇓-9]).

黄和刘在文献 [7] 中介绍了曲线的拟双曲长度和在拟双曲度量下的长度是相等的, 即 $l_{qh}(\gamma)=l_{k_G}(\gamma)$.

定义 1.2 设 $X$, $Y$ 是两个度量空间, $G\varsubsetneq X$, $G' \varsubsetneq Y$ 是两个区域, $f:G\rightarrow G'$ 是一个同胚映射, $\varphi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 是一个满足 $\varphi(t)\geq t$ 的同胚映射.

(1) 如果对任意的 $x,y\in G$, 都有 $k_{G'}(f(x),f(y))\leq\varphi(k_{G}(x,y))$, 则称同胚映射 $f$ 为 $\varphi$-semisolid 映射. 如果 $f$ 与 $f^{-1}$ 都满足上述条件, 则称 $f$ 为 $\varphi$-solid 映射.

(2) 如果 $f$ 是 $\varphi$-solid 映射, 且 $\varphi(t)=Mt$($M\geq1$), 则称 $f$ 为拟双曲映射.

(3) 如果 $f$ 在 $G$ 的每一个子区域上都是 $\varphi$-semisolid (或 $\varphi$-solid) 映射, 则称 $f$ 为全局 $\varphi$-semisolid (或全局 $\varphi$-solid) 映射. 全局 $\varphi$-solid 映射也被称为 $\varphi$-自由拟共形映射, 简记为 $\varphi$-FQC 映射.

定义 1.3 设 $X$, $Y$ 是两个度量空间, $G\varsubsetneq X$, $G' \varsubsetneq Y$ 是两个区域, $f:G\rightarrow G'$ 是一个同胚映射.

(1) 称 $f$ 是 $(M,C)$-粗的拟双曲映射 (简称 $(M,C)$-$CQH$), 如果存在常数 $M\geq1$, $C\geq0$, 使得对任意的 $x,y\in G$,

(2) 称 $f$ 是全局 $(M,C)$-粗的拟双曲映射, 如果存在常数 $M\geq1$, $C\geq0$, 使得 $f$ 在 $G$ 的每一个子区域上都是 $(M,C)$-粗的拟双曲映射.

本文证明了拟凸度量空间中自由拟共形映射和粗的拟双曲映射是等价的.

定理 1.1 设 $X$, $Y$ 分别是 $c_1$, $c_2$-拟凸的度量空间, $G\varsubsetneq X$, $G' \varsubsetneq Y$ 是两个区域, $f:G\rightarrow G'$ 是一个同胚映射, 则 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射当且仅当 $f$ 是全局 $(M,C)$-CQH 映射.

V$\ddot{a}$is$\ddot{a}$l$\ddot{a}$ 证明了 Banach 空间中的自由拟共形映射是全局粗的拟双曲映射; 是 $\theta$-相对映射; 是 $q$-局部 $\eta$- 拟对称映射; 也是 $\eta'$-拟双曲拟对称 (简称为 $\eta'$-QHQS) 映射. 本文将这些结论推广到一般的拟凸度量空间中.

定理 1.2 设 $X$ 是一个 $c_1$-拟凸且完备的度量空间, $G\varsubsetneq X$ 是一个满足非单一点分离条件的局部 $a$-John 域, $Y$ 是一个 $c_2$-拟凸的度量空间, $G' \varsubsetneq Y$ 是一个区域, 如果同胚映射 $f:G\rightarrow G'$ 是一个 $\varphi$-FQC 映射, 则

(1) 存在 $0<q=q(c_1)<1$, 存在同胚 $\eta:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$, 使得 $f$ 是 $q$-局部 $\eta$- 拟对称映射.

(2) 存在同胚 $\eta_1:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$, 使得 $f$ 是 $\eta_1$-拟双曲拟对称映射.

(3) 存在同胚 $\eta_2:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$, 使得对任意的 $z\in G$, $r>0$, $f$ 在 $\overline{B}_{k_G}(z,r)$ 上是 $\eta_2$-拟对称映射, 这里 $B_{k_G}(z,r)=\{x\in G:k_G(x,z)<r\}$ 表示以 $z$ 为球心, $r$ 为半径的拟双曲球.

这一节主要介绍本文会用到的定义、记号和引理. 我们先给出拟对称映射和弱拟对称映射的定义^[10].

定义 2.1 设 $X$, $Y$ 是两个度量空间, $f:X\rightarrow Y$ 是一个同胚.

(1) 如果存在一个同胚 $\eta:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$, 使得对任意三个不同的点 $a,b,x\in X$, 都有

则称 $f$ 为 $\eta$-拟对称映射, 简记为 $\eta$-$QS$.

(2) 如果存在常数 $H\geq1$, 使得对任意三个不同的点 $a,b,x\in X$, 当 $|x-a|\leq |x-b|$ 时,

则称 $f$ 为 $H$-弱拟对称映射, 简记为 $H$-WQS.

显然, 拟对称映射是弱拟对称映射. 反之, 拟凸度量空间中的弱拟对称映射是拟对称映射, 即有以下引理.

引理 2.1 (文献 [3, 定理 5.5]) 设 $f:X\rightarrow Y$ 是 $H$-弱拟对称映射, $X$ 和 $fX$ 是 $c$-拟凸的. 则 $f$ 是 $\eta$-拟对称映射, 这里 $\eta$ 取决于 $H$ 和 $c$.

称度量空间 $X$ 中的一个非空开集 $G$ 是可求长连通的, 如果对任意的 $x,y\in G$, 都存在 $G$ 中的一条可求长曲线连接 $x$ 和 $y$.

设 $X$ 是一个拟凸度量空间, $G\varsubsetneq X$ 是一个区域, 则 $G$ 是可求长连通的^[7]. 这时我们可以在 $G$ 上定义拟双曲度量, 对于得到的度量空间 $(G,k_G)$, 有以下性质.

引理 2.2 (文献 [7,8]) 设 $X$ 是一个 $c$-拟凸的度量空间, $G\varsubsetneq X$ 是一个区域, 则

(1) 对任意的 $x,y\in G$,

(2) 如果 $z\in G, 0<t<1$, 则对任意的 $x,y\in \overline{B}(z,\frac{t\delta_G(z)}{4c})$, 有

(3) 对任意的 $x,y\in G$, 如果有 $|x-y|\leq \frac{\delta_G(x)}{8c}$ 或 $k_G(x,y)\leq \frac{1}{4}$ 成立, 则

(4) $(G,k_G)$ 是 $c_0$-拟凸的, 其中 $c_0$ 可以是任意的大于 1 的常数.

(5) 对任意的 $z\in G, r>0$, $x,y\in \overline{B}_{k_G}(z,r)$, 有

其中 $M=\max\{2c{\rm e}^r,8{\rm e}^{2r},16cr{\rm e}^r\}.$

定义 2.2 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拟凸的度量空间, $G\varsubsetneq X$, $G' \varsubsetneq Y$, $f:G\rightarrow G'$ 是一个同胚.

(1) 如果 $f$ 在拟双曲度量下是 $\eta$-拟对称映射, 则称 $f$ 是 $\eta$-拟双曲拟对称映射, 简称为 $\eta$-QHQS 映射.

(2) 如果 $f$ 在拟双曲度量下是弱 $H$-拟对称映射, 则称 $f$ 是弱 $H$-拟双曲拟对称映射, 简称为 $H$-QHWQS 映射.

下面定理说明了 Banach 空间中的自由拟共形映射是拟双曲拟对称映射.

定理 2.1 (文献 [3, 定理 5.14]) 设 $X$ 和 $Y$ 是 Banach 空间, $G\varsubsetneq X$, $G' \varsubsetneq Y$ 是两个区域, 如果同胚 $f:G\rightarrow G'$ 是 $\varphi$-FQC 映射, 则 $f$ 是 $\eta$-QHQS 映射, 且 $\eta=\eta_\varphi$.

由引理 2.1 及引理 2.2 (4) 中拟凸度量空间的子空间 $(G,k_G)$ 的拟凸性, 容易得出以下引理.

引理 2.3 设 $X$, $Y$ 分别是 $c_1$, $c_2$-拟凸的度量空间, $G\varsubsetneq X$, $G' \varsubsetneq Y$ 是两个区域, $f:G\rightarrow G'$ 是一个同胚映射. 如果 $f$ 是 $H$-QHWQS 映射, 则 $f$ 是 $\eta$-QHQS 映射, 这里 $\eta$ 取决于 $H,c_1,c_2$.

定义 2.3 (1) 设 $a>0$, $G$ 是一个区域, 如果对任意的 $x,y\in G$, 都存在一条可求长曲线 $\gamma\subseteq G$, 使得对任意的 $z\in \gamma$, 有

则称 $G$ 是一个 $a$-John 域.

(2) 一个区域 $G$ 被称之为局部 $a$-John 域, 如果对常数 $a>0$, 任意的 $x\in G$, $0<r<\delta_G(x)$, $B(x,r)$ 都是 $a$-John 域.

1990 年 V$\ddot{a}$is$\ddot{a}$l$\ddot{a}$ 在文献 [3] 首次提出相对映射的概念.

定义 2.4 设 $X$, $Y$ 是两个度量空间, $G\varsubsetneq X$,$G' \varsubsetneq Y$ 是两个区域, $f:G\rightarrow G'$ 是一个同胚映射. 设 $0<t_0\leq1$, $\theta:[0,t_0)\rightarrow [0,\infty)$ 是一个嵌入, 满足 $\theta(0)=0$.

(1) 称 $f$ 是 $(\theta,t_0)$-相对映射, 如果对任意的 $x,y\in G$ 且 $|x-y|<t_0\delta_G(x)$, 有

特别地，如果 $t_0=1$, 称 $f$ 是 $\theta$-相对映射.

(2) 称 $f$ 是全局 $(\theta,t_0)$-相对映射, 如果 $f$ 在 $G$ 的每一个子区域上都是 $(\theta,t_0)$-相对映射.

下面这个引理说明局部 John 域上的自由拟共形映射是相对映射 (见文献 [9]).

引理 2.4 设 $X$ 是 $c_1$-拟凸的度量空间, $G\varsubsetneq X$ 是局部 $a$-John 域, $Y$ 是度量空间, $G' \varsubsetneq Y$ 是一个区域, 如果同胚映射 $f:G\rightarrow G'$ 是 $\varphi$-FQC 映射, 则 $f$ 是全局 $\theta$-相对映射.

度量空间中的 $G$ 称为非单一点分离域, 如果对于任意的点 $x\in G$, 集合 $G\backslash\{x\}$ 仍然是 $G$ 的一个子域.

设 $f:G\rightarrow G'$ 是一个同胚, $0<q<1$. 如果对任意的 $x\in G$, 映射 $f|_{B_{x,q}}: B_{x,q}\rightarrow f(B_{x,q})$ 是 $\eta$-拟对称映射, 则称 $f$ 为 $q$- 局部 $\eta$-拟对称映射. 其中 $B_{x,q}=B(x,q\delta_G(x))$.

引理 2.5 (文献 [11, 定理 1.2.2]) 设 $X$ 是一个 $c_1$-拟凸且完备的度量空间, $G\varsubsetneq X$ 是非单一点分离域, $Y$ 是一个 $c_2$-拟凸的度量空间, $G' \varsubsetneq Y$ 是一个区域, 如果同胚映射 $f:G\rightarrow G'$ 是全局 $\theta$-相对映射, 则 $f$ 是 $q$-局部 $\eta$-拟对称映射, 这里 $q$ 是取决于 $c_1$, $\theta$ 的常数.

设 $x\in G$, $r>0$, 记 $B=B(x,r)$. 设 $\alpha>1$, 记 $\alpha B=B(x,\alpha r)$. 记 $r_{x,\alpha}=\frac{\delta_G(x)}{\alpha}$.

定义 2.5 (文献 [8]) 设 $M>0$, $\alpha>1$, $f:G\rightarrow G'$ 是同胚映射, 若

则称映射 $f$ 具有 $(M,\alpha)$-环性质.

由环性质的定义, 容易得出: $L$-双李普希茨映射具有 $(3L^2,3)$-环性质, 弱 $H$-拟对称映射具有 $(3H,3)$-环性质.

本节证明定理 1.1.

证 (必要性) 设 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射. 任给 $G$ 的子域 $D$, 由引理 2.2(4), $(D,k_D)$ 是 $c_0$-拟凸的 ($c_0>1$), 从而对任意的 $x,y\in D$, 存在连接 $x$ 和 $y$ 的可求长曲线 $\gamma\subseteq D$, 使得

由 $l_{k_{D}}(\gamma)$ 的定义, 对给定的 $C>0$, 存在 $m\geq 1$, 存在 $\gamma$ 的一个分割: $x=x_0, x_1, \cdot\cdot\cdot, x_{m+1}=y$, 使得 $k_D(x_{j-1},x_j)\leq \varphi^{-1}(C)$, 且

又由 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射得

对于 $f^{-1}$ 同理可证得

综上得 $f$ 是全局 $(\frac{c_0C}{\varphi^{-1}(C)},C)$-CQH 映射.

(充分性) 设 $f$ 是全局 $(M,C)$-CQH 映射. 下面分三个步骤证明 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射.

步骤一 证明 $f$ 和 $f^{-1}$ 具有 $(3{\rm e}^{M+C},6c_1)$-环性质.

对任意的 $x\in G$, $r>0$ 满足 $6c_1r<\delta_G(x)$, 记 $B=B(x,r)$. 对任意的 $a\in \overline{B}$, 存在 $b\in \overline{B}$, 使得

记 $B_1=B(x,6c_1r)$, 显然 $B_1\subseteq G$. 对 $a,b\in B_1$, 由引理 2.2(2) 有

结合引理 2.2 (1) 和 $f$ 是 $(M,C)$-CQH 映射可得

结合 (3.2) 和 (3.3) 式得

因此证明了 $f$ 具有 $(3{\rm e}^{M+C},6c_1)$-环性质, 对 $f^{-1}$ 的证明类似.

步骤二 证明 $f$ 和 $f^{-1}$ 是全局 $(\theta,\frac{1}{(6c_1)^3(6c_1+1)})$-相对映射. 其中

步骤一证明了 $f$ 具有环性质, 这一步中以环性质为工具, 通过多次利用环性质构造不等式来证明 $f$ 是相对映射. 任取 $D\subseteq G$, 记 $D'=f(D)$. 对任意 $x,y\in D$ 且满足 $0<\frac{|x-y|}{\delta_D(x)}<\frac{1}{(6c_1)^3(6c_1+1)}$. 记 $t=\frac{|x-y|}{\delta_D(x)}$, 则有 $(6c_1)^3(6c_1+1)t<1$. 设 $m$ 为满足 $(6c_1)^m(6c_1+1)t<1$ 的最大整数, 则 $m\geq3$.

设 $r_j=(6c_1)^jt\delta_D(x)$, $B_j=B(x,r_j)$, $0\leq j\leq m$. 因为 $6c_1+1>1$, 所以有 $(6c_1)^jt<1$, $r_j<\delta_D(x)$($0\leq j\leq m$), 故 $B_j\subseteq D$. 又因为 $(6c_1)^{m+1}t<1$, 则有 $6c_1r_m<\delta_D(x)$, 即 $6c_1B_m\subseteq D$.

选取点 $z'\in Y\backslash D'$, 使得

因为 $Y$ 是 $c_2$-拟凸的, 存在连接 $f(x)$ 和 $z'$ 的可求长曲线 $\gamma:[a,b]\rightarrow Y$, 满足

对任意的 $1\leq j\leq m$, 由于 $f$ 具有 $(3{\rm e}^{M+C},6c_1)$-环性质, 则有

故 $\gamma\bigcap G'\backslash f(\overline{B_j})\neq\emptyset$.

对任意的 $1\leq j\leq m$, 设

由 $f$ 具有 $(3{\rm e}^{M+C},6c_1)$-环性质, 有

且对任意的 $2\leq j\leq m$, 由 $f$ 的环性质得

由 (3.5), (3.6) 和 (3.9) 式可得

再由 (3.8) 及 (3.10) 式, 可得

最后再利用 $(6c_1)^{m+1}(6c_1+1)t\geq1$, 得出 $m-1$ 的范围为

综合 (3.11) 和 (3.12) 式, 可得

这里

是一个满足 $\theta(0)=0$ 的嵌入, 完成了 $f$ 是全局 $(\theta,\frac{1}{(6c_1)^3(6c_1+1)})$-相对映射的证明, 对 $f^{-1}$ 的证明类似.

步骤三 证明 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射.

在步骤二证明了 $f$ 是相对映射的基础上, 这一步中利用相对映射的定义以及引理 2.2(3), 找到满足定义 1.2(3) 中的同胚映射 $\varphi:[\infty]\rightarrow[\infty]$ 即可. 这里只给出右边不等式的证明, 左边不等式对于 $f^{-1}$ 类似可证.

令 $t_0=\frac{1}{(6c_1)^3(6c_1+1)}$, 则必然存在 $t_1<\frac{t_0}{2}$, 使得 $\theta(2t_1)<\frac{1}{8c_2}$.

任取 $x,y\in D$ 满足 $k_D(x,y)<t_1<\frac{1}{4}$, 由 $X$ 是 $c_1$-拟凸的, 结合引理 2.2(3) 得

又由步骤二知 $f$ 是 $(\theta,t_0)$-相对映射, 则有

又 $Y$ 是 $c_2$-拟凸的, 在 $Y$ 中使用引理 2.2(3), 有

所以 $f$ 是 $(\varphi,t_1)$-一致连续的, 又 $(D,k_D)$, $(D',k_{D'})$ 都是拟凸的, 故 $f$ 是 $\varphi$-一致连续的, 这就证明了 $f$ 是 $G$ 上的全局 $\varphi$-semisolid 映射, 同理可证 $f^{-1}$ 是 $G'$ 上的全局 $\varphi$-semisolid 映射.

因此 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射. 完成了定理 1.1 的证明.

本节证明定理 1.2.

证 (1) 由引理 2.4 和引理 2.5 容易得到.

(2) 由定理 1.1, 存在 $M\geq1, C\geq0$, 使得 $f$ 是全局 $(M,C)$-CQH 映射.

由 (1), 取 $q_0=\rm{min}\{\frac{1}{3},q\}$, 对任意的 $x\in G$, $f$ 在 $B(x,q_0\delta_G(x))$ 上是 $\eta$-$QS$ 的. 对任意的 $y\in B_{k_G}(x,\frac{q_0}{2})$, 有 $k_G(x,y)<\frac{q_0}{2}<\frac{1}{4}$, 则由引理 2.2(3) 有 $|y-x|\leq2k_G(x,y)\delta_G(x)\leq q_0\delta_G(x),$ 故 $y\in B(x,q_0\delta_G(x))$, 即

因此 $f$ 限制在 $B_{k_G}(x,\frac{q_0}{2})$ 上是 $\eta$-$QS$ 的.

取 $r_0=\rm{min}\{\frac{q_0}{2},\varphi^{-1}(\frac{1}{4})\}$, 则 $f$ 在 $B_{k_G}(x,r_0)$ 上是 $\eta$-$QS$ 的. 由 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射, 则对任意的 $z\in B_{k_G}(x,r_0)$, 有

所以 $f(B_{k_G}(x,r_0))\subseteq B_{k_{G'}}(f(x),\frac{1}{4})$.

对任意不同的三个点 $x,a,b\in G$, 满足 $k_G(a,x)\leq k_G(b,x)$.

情形 1 $k_G(b,x)<r_0$

由于 $f$ 在 $B_{k_G}(x,r_0)$ 上是 $\eta$-QS 的, 且 $f(B_{k_G}(x,r_0))\subseteq B_{k_{G'}}(f(x),\frac{1}{4})$, 两次利用引理 2.2(3) 得

情形 2 $r_0\leq k_G(b,x)<2C$

此时有 $k_G(a,x)\leq k_G(b,x)<2C$, $k_G(b,x)\geq r_0$, 则

情形 3 $k_G(b,x)\geq2C$

取 $H={\rm{max}}\{4c_2\eta(4c_1),\frac{\varphi(2C)}{\varphi^{-1}(r_0)},2M^2+M\}$, 则 $f$ 是 $H$-QHWQS 映射. 又 $X$, $Y$ 是 $c_1, c_2$- 拟凸的, 由引理 2.3, 存在同胚 $\eta_1:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$, $f$ 是 $\eta_1$-QHQS 映射.

(3) 任取三个不同的点 $x,a,b\in \overline{B}_{k_G}(z,r)$, $|a-x|\leq t|b-x|$.

因为 $X$ 是 $c_1$-拟凸的, 则由引理 2.2(5) 可知, 存在 $M_1=M_1(c_1,r)$, 使得

因此有

由 $f$ 是 $\eta_1$-QHQS 映射, 则

又因为 $f$ 是 $\varphi$-FQC 映射, 有

同理可得

故 $f(x),f(a),f(b)\in \overline{B}_{k_{G'}}(f(z),\varphi(r))$. 因为 $Y$ 是 $c_2$-拟凸的, 由引理 2.2(5) 知, 存在 $M_2=M_2(c_2,\varphi,r)$, 使得

因此有

由 (4.4) 和 (4.5) 式, 可得

因此证明了 $f$ 在 $\overline{B}_{k_G}(z,r)$ 上是 $\eta_2$-$QS$ 映射, 这里 $\eta_2(t)=M_2^2\cdot\eta_1(M_1^2t)$. 完成了定理 1.2 的证明.