本文研究了下面一类含有 Dirac 位势的非线性 Schrödinger-Poisson 方程

其中 $ \alpha \ne 0 $, $ \beta>0 $ 是参数, $ {\delta _0} $ 是 Dirac 位势, $ 2 < p < \frac{8}{3} $.

近年来, 含有 Dirac 位势的非线性 Schrödinger 方程的研究正受到越来越多学者的关注^{[2,3,7,9⇓⇓-12,16⇓-18]}. 例如,文献[14]研究了含有 Dirac 位势的一维非线性 Schrödinger 方程驻波的存在性及其稳定性. 文献[2,9⇓-11]研究了含有 Dirac 位势的二维或者三维非线性 Schrödinger 方程基态解的存在性与稳定性. 最近, Adami 和 Boni 等^[3] 研究了受点相互作用扰动的非线性 Schrödinger 方程

并证明了基态的存在性和解的渐近行为.

根据文献[4]的结论, 我们可以通过 Hermite 算子的自伴随扩张理论构造算子 $ - \Delta + \alpha {\delta _0} $, 确保 $ - \Delta $ 所有点扰动的自伴随算子族 $ {\left( {{H_\alpha }} \right)_{\alpha \in \mathbb{R}}} $ 的存在性. 记 $ - \Delta + 1 $ 的格林函数为 $ {\cal G}(x) $, 则

${H_\alpha }$ 的定义域记为 $ D({H_\alpha }) $, 则

且

设 $ {H_\alpha } $ 对应的二次型 $ Q(v) $ 定义域 $ D $, 则

最后, 我们记 $ - {\omega _\alpha } $ 为 $ {H_\alpha } $ 的谱下界

方程 (1.1) 的另一形式为

我们考虑 (1.7) 式的驻波 $ \psi = {{\rm e}^{{\rm i}\omega t}}u(x), $ 其中 $ \omega \in \mathbb{R} $. 则

其中 $ {\varphi _u}(x) = \frac{1}{{\left| x \right|}} * {u^2} $.

定义 1.1 任意给定 $ \alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} $, (1.9) 式对应的 $ \delta $-NLS 能量泛函 $ E:D \to \mathbb{R} $ 定义为

注 1.1 若 $ v $ 属于 $ D $, 根据 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式得

可知 $ E $ 定义的合理性.

注 1.2 如果 $ v $ 属于 $ {H^1}({\mathbb{R}^3}) $, 等价于 $ v $ 不带电荷, 则 $ v $ 的能量降低为标准 NLS 能量, 定义为

因此, $ \delta $-NLS 能量是 NLS 能量的延拓.

定义 1.2 给定 $ \mu > 0 $, 若函数 $ u $ 属于空间

且满足

则 $ u $ 是含点缺陷的 NLSE 在固定质量 $ \mu $ 处的一个基态.

定理 1.1 ($ \delta $-NLS 的基态) 如果 $ p \in (2,\frac{8}{3}) $, $ \alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} $, $ \beta > 0 $, 则存在 $ {\mu _0} > 0 $, 使得当 $ 0 < \mu < {\mu _0} $ 时, (1.11) 式存在极小元.

引理 2.1 若 $ u $ 是 $ \delta $-NLS 在质量为 $ \mu $ 处的基态, 则存在 $ \omega \in \mathbb{R} $, 使得 (1.8) 和(1.9)} 式成立.

证 根据 Lagrange Multipliers 定理, 如果 $ u $ 是 $ \delta $-NLS 在质量为 $ \mu $ 处的基态, 则有

其中, $ \omega = {\mu ^{ - 1}}(\left\| u \right\|_p^p - Q(u)) $. 在 (2.1) 式中, 令 $ \xi=0 $, 有 $ \chi = {\widetilde \chi } \in {H^1}(\mathbb{R}^{3}) $, 则

因此, 由于 $ \omega {\phi } + (\omega-1 )q{{\cal G} } - {{\left| u \right|}^{p - 2}}u + \beta \varphi _u u \in {L^2}({\mathbb{R}^3}),{\phi } \in {H^2}({\mathbb{R}^3}) $, 通过稠密性, 在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 中有

这就是 (1.9) 式. 在 (2.1) 式中, 令 $ {\widetilde \chi } = 0 $ 和 $ \xi = 1 $, 有 $ \chi = {{\cal G} } $, 则

通过 (2.2) 式, 我们有

即 $ {\phi }(0) = q(\alpha + \frac{{1 }}{{4\pi }}) $, 所以 (1.8) 式成立. 证毕.

接下来我们证明定理 1.1. 首先记 $ {{\cal E} ^0}(\mu ) $ 是 NLS 能量泛函在质量 $ \mu $ 处的下确界, 等价于

其中

随后, 我们建立 $ E $ 限制在 $ {D_\mu } $ 中的有界性. $ u $ 可以被分解为正则部分和奇异部分, 则泛函 $ E $ 可写成

引理 2.2 对于任意固定的 $ p \in (2,\frac{8}{3}) $, $ \alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} $ 和 $ \beta > 0 $, 当 $ 0 < \mu < {\mu _0} $ 时, $ {\cal E}(\mu ) > - \infty $.

证 令 $ u \in {D_\mu } $, 如果 $ u \in {H^1}({\mathbb{R}^3}) $, 通过 Hölder 不等式和 Gagliardo-Sobolev 不等式^[8] 有

如果 $ u \in {D_\mu }\backslash H_\mu ^1({\mathbb{R}^3}) $, 则有

因此 $ E $ 在 $ {D_\mu } $ 中存在下界. 证毕.

引理 2.3 令 $ p \in (2,\frac{{8}}{3}) $, 则对于任意固定质量 $ \mu>0 $ 的 NLS 都存在一个基态^[13,15]. 这样的极小值是唯一的, 我们记为孤立子 $ {g_\mu } $.

引理 2.4 对于任意固定的 $ p \in (2,\frac{8}{3}) $, $ \alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} $ 和 $ \beta > 0 $, 存在 $ {\mu _0} > 0 $ 有

证 对任意 $ 0 < \mu < {\mu _0} $, $ {g_\mu } $ 不是质量为 $ \mu $ 时 $ \delta $-NLS 的基态. 首先 $ \delta$-NLS 的基态满足 (1.8) 式, 但是 $ {g_\mu } \in {H^1}({\mathbb{R}^3}),\ q = 0,\ {g_\mu } \equiv {\phi } $, 所以 $ {g_\mu }(0) = 0 $ 与 $ {g_\mu } $ 的正定性矛盾. 则必存在 $ v \in {D_\mu } $ 使得 $ E(v) < E({g_\mu }) = {{\cal E}^0}(\mu ) $, 即 $ {\cal E}(\mu ) < {{\cal E}^0}(\mu ) $.

固定 $ 0 < \mu < {\mu _0} $ (参见文献[5]) 和 $ v \in H_\mu ^1({\mathbb{R}^3}) $, 通过变换

我们可以得到

因此, 可以选择足够小的 $ \sigma $ 得到 $ {{\cal E}^0}(\mu ) \le {E^0}({v_\sigma }) < 0 $. 证毕.

引理 2.5 令 $ p \in (2,\frac{8}{3}) $, $ \alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} $ 和 $ \beta > 0 $, 对于 $ \delta $-NLS 能量泛函在质量 $ \mu $ 处的任意极小化序列 $ \left\{ {{u_n}} \right\} \subset {D_\mu } $, 即 $ {u_n} = {\phi _{n}} + {q_n}{\cal G } $ 有, 存在 $ \overline n \in \mathbb{N} $ 和 $ \widetilde C>0 $, 使得

证 反证法, 假设存在一串 $ \delta $-NLS 能量泛函在质量 $ \mu $ 处的极小化序列使得 $ {q_n} \to 0 $. 因为 $ \left\| {{\phi _{n}}} \right\|_2^2 $ 收敛到 $ \mu $, 则 $ \left\| {{\phi _{n}}} \right\|_2^2 $ 是有界的. 当 $ n \to + \infty $ 时, 我们可以得到

因为 $ E({u_n}) - \frac{\beta }{4}\int_{{\mathbb{R}^3}} {{\varphi _{u_n}}u_n^2{\rm d}x} $ 是有界的, 则 $ \left\| {\nabla {\phi _{n}}} \right\|_2^2 $ 是有界的.

定义 $ {\xi _n}: = \frac{{\sqrt \mu }}{{{{\left\| {{\phi _{n}}} \right\|}_2}}}{\phi _{n}} $, $ \left\| {{\xi _n}} \right\|_2^2 = \mu $, $ \xi _n^2 = \phi _{n}^2 $, 对于任意 $ n \in \mathbb{N} $, $ \left\| {\nabla {\xi _n}} \right\|_2^2 = \frac{\mu }{{\left\| {{\phi _{n}}} \right\|_2^2}}\left\| {\nabla {\phi _{n}}} \right\|_2^2 $ 是有界的. 然而, 对任意的 $ r \in \left[ {2,3} \right) $, 在 $ {L^r}({\mathbb{R}^3}) $ 中, $ {\phi _{n}} - {u_n} \to 0 $, 可以得到当 $ n \to + \infty $ 时

因此, 通过取极限有

与 (2.4) 式矛盾. 即可得 $ {q_n} \nrightarrow 0 $. 证毕.

引理 2.6 令 $ p \in (2,\frac{8}{3}) $, $ \alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} $, $ \beta > 0 $ 和 $ 0 < \mu < {\mu _0} $, $ {({u_n})_n} $ 是 $ \delta $-NLS 能量泛函在质量 $ \mu $ 处的一串极小化序列. 对任意的 $ r \in \left[ {2,3} \right) $, $ {({u_n})_n} $ 在 $ {L^r}({\mathbb{R}^3}) $ 中有界, 且存在 $ u \in D\backslash {H^1}({\mathbb{R}^3}) $, 使得在子列的意义下有: 在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 中, $ {u_n} $ 弱收敛到 $ u $, 在 $ \mathbb{R}^3 $ 中, $ {u_n} $ 几乎处处收敛到 $ u $.

进一步, 如果作分解 $ {u_n} = {\phi _{n}} + {q_n}{\cal G} $, 则 $ {({\phi _{n }})_n} $ 和 $ {({q_n})_n} $ 分别在 $ {H^1}({\mathbb{R}^3}) $ 和 $ \mathbb{C} $ 中有界. 同时, 存在 $ {\phi } \in {H^1}({\mathbb{R}^3}) $ 和 $ q \in \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\} $ 使得 $ u = {\phi } + q{\cal G} $ 在子列的意义下有: 在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 中, $ {\phi _{n }} $ 弱收敛到 $ {\phi } $, $ \nabla {\phi _{n }} $ 弱收敛到 $ \nabla {\phi } $, 在 $ \mathbb{C} $ 中, $ {q_n} $ 收敛到 $ q $.

证 令 $ {({u_n})_n} $ 是 $ \delta $-NLS 能量泛函在质量 $ \mu $ 处的一串极小化序列, 根据 Banach-Alaoglu 定理, 在子列的意义下, $ {u_n} $ 在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 中弱收敛到 $ u $. 不失一般性假设对于任意 $ n $, 电荷 $ {q_n} $ 满足 $ \left| {{q_n}} \right| > \widetilde C > 0 $.

通过 (2.3) 式, 我们可以得到

我们注意到在 (2.5) 式中, $ {\left( {\nabla {\phi _n}} \right)_n} $ 和 $ {({q_n})_n} $ 分别在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 和 $ \mathbb{C} $ 中有界, 因此在子列的意义下, 由于 $ \left| {{q_n}} \right| > \widetilde C > 0 $ 可得 $ {q_n} \to q $ 和 $ q \ne 0 $.

我们作分解 $ {u_n} = {\phi _n} + {q_n}{{\cal G}} $, 该分解确保了对于任意 $ n $ 有^[1]

则序列 $ {\phi _n} $ 在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 中有界.

因此, 根据 Banach-Alaoglu 定理, 在子列的意义下, $ {\phi _{n}} $ 弱收敛到 $ {\phi } $, $ \nabla {\phi _{n }} $ 弱收敛到 $ \nabla {\phi } $, 且 $ u = {\phi } + q{\cal G } $. 根据 Rellich-Kondrakov 定理, 对于任意的 $ r>2 $, 在 $ {L^r}({\mathbb{R}^3}) $ 中 $ {\phi _{n }} $ 局部收敛到 $ {\phi } $. 即得在 $ {\mathbb{R}^3} $ 中, $ {u_n} $ 几乎处处收敛到 $ u $. 证毕.

定理 1.1 的证明 令 $ {({u_n})_n} $ 是 $ \delta $-NLS 能量泛函在质量 $ \mu $ 处的一串极小化序列, 不失一般性可得该序列是 $ {D_\mu }\backslash {H^1}({R^3}) $ 的子集, 所以我们可以假设 $ {u_n} = {\phi _{n }} + {q_n}{\cal G } $, 其中 $ {q_n} \ne 0 $. 则引理 2.6 的全部结论均满足. 令 $ m: = \left\| u \right\|_2^2 $, 通过 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 范数的弱下半连续性, $ m \le \mu $. 当 $ q \ne 0 $ 时暗示 $ m \ne 0 $. 则通过反证法, $ m \in \left( {0,\mu } \right) $. 对于 $ n $ 充分大时有 $ \frac{\mu }{{\left\| {{u_n} - u} \right\|_2^2}} > 1 $, 即可得

因此

另一方面, 又因为

所以

因为在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 中, $ {u_n} \rightharpoonup u,{\phi _{n }} \rightharpoonup {\phi },\nabla {\phi _{n }} \rightharpoonup \nabla {\phi } $ 且 $ {q_n} \to q $, 可得当 $ n \to + \infty $ 时

和 $ {u_n} $ 在 $ \mathbb{R}^3 $ 中几乎处处收敛到 $ u $, 通过 Brezis-Lieb 引理^[6], 可得当 $ n \to + \infty $ 时

所以我们也可证得当 $ n \to + \infty $ 时

结合 (2.6)-(2.8) 式可以得到

是矛盾的. 因此, $ m=\mu $, 所以 $ u \in {D_\mu } $. 特别地, 在 $ {L^2}({\mathbb{R}^3}) $ 中, $ {u_n} \to u,{\phi _{n }} \to {\phi } $.

又因为

可得

即证毕.