本文研究了下面一类含有 Dirac 位势的非线性 Schrödinger-Poisson 方程

其中 $\alpha \ne 0$, $\beta>0$ 是参数, ${\delta _0}$ 是 Dirac 位势, $2 < p < \frac{8}{3}$.

近年来, 含有 Dirac 位势的非线性 Schrödinger 方程的研究正受到越来越多学者的关注^{[2,3,7,9⇓⇓-12,16⇓-18]}. 例如,文献[14]研究了含有 Dirac 位势的一维非线性 Schrödinger 方程驻波的存在性及其稳定性. 文献[2,9⇓-11]研究了含有 Dirac 位势的二维或者三维非线性 Schrödinger 方程基态解的存在性与稳定性. 最近, Adami 和 Boni 等^[3] 研究了受点相互作用扰动的非线性 Schrödinger 方程

并证明了基态的存在性和解的渐近行为.

根据文献[4]的结论, 我们可以通过 Hermite 算子的自伴随扩张理论构造算子 $- \Delta + \alpha {\delta _0}$, 确保 $- \Delta$ 所有点扰动的自伴随算子族 ${\left( {{H_\alpha }} \right)_{\alpha \in \mathbb{R}}}$ 的存在性. 记 $- \Delta + 1$ 的格林函数为 ${\cal G}(x)$, 则

${H_\alpha }$ 的定义域记为 $D({H_\alpha })$, 则

且

设 ${H_\alpha }$ 对应的二次型 $Q(v)$ 定义域 $D$, 则

最后, 我们记 $- {\omega _\alpha }$ 为 ${H_\alpha }$ 的谱下界

方程 (1.1) 的另一形式为

我们考虑 (1.7) 式的驻波 $\psi = {{\rm e}^{{\rm i}\omega t}}u(x),$ 其中 $\omega \in \mathbb{R}$. 则

其中 ${\varphi _u}(x) = \frac{1}{{\left| x \right|}} * {u^2}$.

定义 1.1 任意给定 $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, (1.9) 式对应的 $\delta$-NLS 能量泛函 $E:D \to \mathbb{R}$ 定义为

注 1.1 若 $v$ 属于 $D$, 根据 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式得

可知 $E$ 定义的合理性.

注 1.2 如果 $v$ 属于 ${H^1}({\mathbb{R}^3})$, 等价于 $v$ 不带电荷, 则 $v$ 的能量降低为标准 NLS 能量, 定义为

因此, $\delta$-NLS 能量是 NLS 能量的延拓.

定义 1.2 给定 $\mu > 0$, 若函数 $u$ 属于空间

且满足

则 $u$ 是含点缺陷的 NLSE 在固定质量 $\mu$ 处的一个基态.

定理 1.1 ($\delta$-NLS 的基态) 如果 $p \in (2,\frac{8}{3})$, $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, $\beta > 0$, 则存在 ${\mu _0} > 0$, 使得当 $0 < \mu < {\mu _0}$ 时, (1.11) 式存在极小元.

引理 2.1 若 $u$ 是 $\delta$-NLS 在质量为 $\mu$ 处的基态, 则存在 $\omega \in \mathbb{R}$, 使得 (1.8) 和(1.9)} 式成立.

证 根据 Lagrange Multipliers 定理, 如果 $u$ 是 $\delta$-NLS 在质量为 $\mu$ 处的基态, 则有

其中, $\omega = {\mu ^{ - 1}}(\left\| u \right\|_p^p - Q(u))$. 在 (2.1) 式中, 令 $\xi=0$, 有 $\chi = {\widetilde \chi } \in {H^1}(\mathbb{R}^{3})$, 则

因此, 由于 $\omega {\phi } + (\omega-1 )q{{\cal G} } - {{\left| u \right|}^{p - 2}}u + \beta \varphi _u u \in {L^2}({\mathbb{R}^3}),{\phi } \in {H^2}({\mathbb{R}^3})$, 通过稠密性, 在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 中有

这就是 (1.9) 式. 在 (2.1) 式中, 令 ${\widetilde \chi } = 0$ 和 $\xi = 1$, 有 $\chi = {{\cal G} }$, 则

通过 (2.2) 式, 我们有

即 ${\phi }(0) = q(\alpha + \frac{{1 }}{{4\pi }})$, 所以 (1.8) 式成立. 证毕.

接下来我们证明定理 1.1. 首先记 ${{\cal E} ^0}(\mu )$ 是 NLS 能量泛函在质量 $\mu$ 处的下确界, 等价于

其中

随后, 我们建立 $E$ 限制在 ${D_\mu }$ 中的有界性. $u$ 可以被分解为正则部分和奇异部分, 则泛函 $E$ 可写成

引理 2.2 对于任意固定的 $p \in (2,\frac{8}{3})$, $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ 和 $\beta > 0$, 当 $0 < \mu < {\mu _0}$ 时, ${\cal E}(\mu ) > - \infty$.

证 令 $u \in {D_\mu }$, 如果 $u \in {H^1}({\mathbb{R}^3})$, 通过 Hölder 不等式和 Gagliardo-Sobolev 不等式^[8] 有

如果 $u \in {D_\mu }\backslash H_\mu ^1({\mathbb{R}^3})$, 则有

因此 $E$ 在 ${D_\mu }$ 中存在下界. 证毕.

引理 2.3 令 $p \in (2,\frac{{8}}{3})$, 则对于任意固定质量 $\mu>0$ 的 NLS 都存在一个基态^[13,15]. 这样的极小值是唯一的, 我们记为孤立子 ${g_\mu }$.

引理 2.4 对于任意固定的 $p \in (2,\frac{8}{3})$, $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ 和 $\beta > 0$, 存在 ${\mu _0} > 0$ 有

证 对任意 $0 < \mu < {\mu _0}$, ${g_\mu }$ 不是质量为 $\mu$ 时 $\delta$-NLS 的基态. 首先 $\delta$-NLS 的基态满足 (1.8) 式, 但是 ${g_\mu } \in {H^1}({\mathbb{R}^3}),\ q = 0,\ {g_\mu } \equiv {\phi }$, 所以 ${g_\mu }(0) = 0$ 与 ${g_\mu }$ 的正定性矛盾. 则必存在 $v \in {D_\mu }$ 使得 $E(v) < E({g_\mu }) = {{\cal E}^0}(\mu )$, 即 ${\cal E}(\mu ) < {{\cal E}^0}(\mu )$.

固定 $0 < \mu < {\mu _0}$ (参见文献[5]) 和 $v \in H_\mu ^1({\mathbb{R}^3})$, 通过变换

我们可以得到

因此, 可以选择足够小的 $\sigma$ 得到 ${{\cal E}^0}(\mu ) \le {E^0}({v_\sigma }) < 0$. 证毕.

引理 2.5 令 $p \in (2,\frac{8}{3})$, $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ 和 $\beta > 0$, 对于 $\delta$-NLS 能量泛函在质量 $\mu$ 处的任意极小化序列 $\left\{ {{u_n}} \right\} \subset {D_\mu }$, 即 ${u_n} = {\phi _{n}} + {q_n}{\cal G }$ 有, 存在 $\overline n \in \mathbb{N}$ 和 $\widetilde C>0$, 使得

证 反证法, 假设存在一串 $\delta$-NLS 能量泛函在质量 $\mu$ 处的极小化序列使得 ${q_n} \to 0$. 因为 $\left\| {{\phi _{n}}} \right\|_2^2$ 收敛到 $\mu$, 则 $\left\| {{\phi _{n}}} \right\|_2^2$ 是有界的. 当 $n \to + \infty$ 时, 我们可以得到

因为 $E({u_n}) - \frac{\beta }{4}\int_{{\mathbb{R}^3}} {{\varphi _{u_n}}u_n^2{\rm d}x}$ 是有界的, 则 $\left\| {\nabla {\phi _{n}}} \right\|_2^2$ 是有界的.

定义 ${\xi _n}: = \frac{{\sqrt \mu }}{{{{\left\| {{\phi _{n}}} \right\|}_2}}}{\phi _{n}}$, $\left\| {{\xi _n}} \right\|_2^2 = \mu$, $\xi _n^2 = \phi _{n}^2$, 对于任意 $n \in \mathbb{N}$, $\left\| {\nabla {\xi _n}} \right\|_2^2 = \frac{\mu }{{\left\| {{\phi _{n}}} \right\|_2^2}}\left\| {\nabla {\phi _{n}}} \right\|_2^2$ 是有界的. 然而, 对任意的 $r \in \left[ {2,3} \right)$, 在 ${L^r}({\mathbb{R}^3})$ 中, ${\phi _{n}} - {u_n} \to 0$, 可以得到当 $n \to + \infty$ 时

因此, 通过取极限有

与 (2.4) 式矛盾. 即可得 ${q_n} \nrightarrow 0$. 证毕.

引理 2.6 令 $p \in (2,\frac{8}{3})$, $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, $\beta > 0$ 和 $0 < \mu < {\mu _0}$, ${({u_n})_n}$ 是 $\delta$-NLS 能量泛函在质量 $\mu$ 处的一串极小化序列. 对任意的 $r \in \left[ {2,3} \right)$, ${({u_n})_n}$ 在 ${L^r}({\mathbb{R}^3})$ 中有界, 且存在 $u \in D\backslash {H^1}({\mathbb{R}^3})$, 使得在子列的意义下有: 在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 中, ${u_n}$ 弱收敛到 $u$, 在 $\mathbb{R}^3$ 中, ${u_n}$ 几乎处处收敛到 $u$.

进一步, 如果作分解 ${u_n} = {\phi _{n}} + {q_n}{\cal G}$, 则 ${({\phi _{n }})_n}$ 和 ${({q_n})_n}$ 分别在 ${H^1}({\mathbb{R}^3})$ 和 $\mathbb{C}$ 中有界. 同时, 存在 ${\phi } \in {H^1}({\mathbb{R}^3})$ 和 $q \in \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\}$ 使得 $u = {\phi } + q{\cal G}$ 在子列的意义下有: 在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 中, ${\phi _{n }}$ 弱收敛到 ${\phi }$, $\nabla {\phi _{n }}$ 弱收敛到 $\nabla {\phi }$, 在 $\mathbb{C}$ 中, ${q_n}$ 收敛到 $q$.

证 令 ${({u_n})_n}$ 是 $\delta$-NLS 能量泛函在质量 $\mu$ 处的一串极小化序列, 根据 Banach-Alaoglu 定理, 在子列的意义下, ${u_n}$ 在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 中弱收敛到 $u$. 不失一般性假设对于任意 $n$, 电荷 ${q_n}$ 满足 $\left| {{q_n}} \right| > \widetilde C > 0$.

通过 (2.3) 式, 我们可以得到

我们注意到在 (2.5) 式中, ${\left( {\nabla {\phi _n}} \right)_n}$ 和 ${({q_n})_n}$ 分别在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 和 $\mathbb{C}$ 中有界, 因此在子列的意义下, 由于 $\left| {{q_n}} \right| > \widetilde C > 0$ 可得 ${q_n} \to q$ 和 $q \ne 0$.

我们作分解 ${u_n} = {\phi _n} + {q_n}{{\cal G}}$, 该分解确保了对于任意 $n$ 有^[1]

则序列 ${\phi _n}$ 在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 中有界.

因此, 根据 Banach-Alaoglu 定理, 在子列的意义下, ${\phi _{n}}$ 弱收敛到 ${\phi }$, $\nabla {\phi _{n }}$ 弱收敛到 $\nabla {\phi }$, 且 $u = {\phi } + q{\cal G }$. 根据 Rellich-Kondrakov 定理, 对于任意的 $r>2$, 在 ${L^r}({\mathbb{R}^3})$ 中 ${\phi _{n }}$ 局部收敛到 ${\phi }$. 即得在 ${\mathbb{R}^3}$ 中, ${u_n}$ 几乎处处收敛到 $u$. 证毕.

定理 1.1 的证明 令 ${({u_n})_n}$ 是 $\delta$-NLS 能量泛函在质量 $\mu$ 处的一串极小化序列, 不失一般性可得该序列是 ${D_\mu }\backslash {H^1}({R^3})$ 的子集, 所以我们可以假设 ${u_n} = {\phi _{n }} + {q_n}{\cal G }$, 其中 ${q_n} \ne 0$. 则引理 2.6 的全部结论均满足. 令 $m: = \left\| u \right\|_2^2$, 通过 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 范数的弱下半连续性, $m \le \mu$. 当 $q \ne 0$ 时暗示 $m \ne 0$. 则通过反证法, $m \in \left( {0,\mu } \right)$. 对于 $n$ 充分大时有 $\frac{\mu }{{\left\| {{u_n} - u} \right\|_2^2}} > 1$, 即可得

因此

另一方面, 又因为

所以

因为在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 中, ${u_n} \rightharpoonup u,{\phi _{n }} \rightharpoonup {\phi },\nabla {\phi _{n }} \rightharpoonup \nabla {\phi }$ 且 ${q_n} \to q$, 可得当 $n \to + \infty$ 时

和 ${u_n}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中几乎处处收敛到 $u$, 通过 Brezis-Lieb 引理^[6], 可得当 $n \to + \infty$ 时

所以我们也可证得当 $n \to + \infty$ 时

结合 (2.6)-(2.8) 式可以得到

是矛盾的. 因此, $m=\mu$, 所以 $u \in {D_\mu }$. 特别地, 在 ${L^2}({\mathbb{R}^3})$ 中, ${u_n} \to u,{\phi _{n }} \to {\phi }$.

又因为

可得

即证毕.