一类奇性 ϕ -Laplacian Rayleigh 型方程周期解的存在性
Existence of Periodic Solutions for ϕ -Laplacian Rayleigh Equations with a Singularity
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收稿日期: 2023-09-12 修回日期: 2024-02-16
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Received: 2023-09-12 Revised: 2024-02-16
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该文考虑了一类
关键词:
In this paper, we consider a class of
Keywords:
本文引用格式
钱玉婷, 周学良, 程志波.
Qian Yuting, Zhou Xueliang, Cheng Zhibo.
1 引言
本文研究了一类奇性
其中
显然, 这里的
(i)
(ii)
应用时间映射, 他们证明了方程 (1.3) 至少存在一个周期解.
其中
首先, 本文研究的
2 主要结论
首先, 考虑方程 (1.1) 的同伦方程
其中
为了方便起见, 我们定义
利用 Mawhin 连续性定理 (文献[17,定理 3.1]), 我们可以得到下面的引理.
引理 2.1 假设存在正常数
(i) 对
(ii)
则方程 (1.1) 至少存在一个周期解.
2.1 排斥型情形
应用引理 2.1, 我们研究方程 (1.1) 在强排斥型奇性条件下周期解的存在性, 具体结论如下.
定理 2.1 假设方程 (1.1) 满足下列条件
证 首先, 我们断言方程 (2.1) 的所有可能的
事实上, 假设 (2.2) 式不成立, 即
将 (2.2) 式和 (2.3) 式分别代入方程 (2.1) 中, 可以得到
和
由条件
情况一 如果
情况二 如果
结合上面两种情况, 我们可以知道, 存在
由 (2.6) 式, 我们有
同时有
利用上面的两个不等式和 Hölder 不等式可得
其中
由方程 (2.1) 和
对方程 (2.8) 左右两边同乘以
根据
将 (2.10) 式和
由条件
进一步, 根据条件
下面介绍一个经典不等式, 存在只依赖于
接下来, 我们考虑以下两种情况
情况一 如果
从上式可以很容易地看出当
情况二 如果
令
由 (2.7) 式和 (2.16) 式可得
另一方面, 对方程 (2.1) 左右两边在区间
将
根据条件
我们定义
由 (2.18) 式和 (2.19) 式可得
其中
由于
其中
因为
接下来, 我们断言存在一个正常数
事实上, 如果
由上式可得, 对所有的
我们对方程 (2.8) 左右两边同乘以
进一步, 我们有
由 (2.22) 式和 (2.23) 式, 可得
同时, 我们有
将上述不等式代入 (2.24) 式, 可得
由强排斥型奇性条件
同理, 我们可证
令
满足引理 2.1 中的条件 (ii). 因此, 由引理 2.1 可知, 方程 (1.1) 至少存在一个周期解.
注 2.1 在定理 2.1 中, 我们考虑了具有强排斥型奇性
求先验上界的方法也将不再适用, 这里
2.2 吸引型情形
接下来, 我们研究方程 (1.1) 在强弱吸引型奇性 (既适用于强吸引型奇性也适用于弱吸引型奇性) 条件下周期解的存在性, 具体结论如下.
定理 2.2 假设条件
证 与定理 2.1 的证明方法类似, 由条件
接下来, 我们考虑
将 (2.10) 式代入 (2.27) 式, 有
进一步, 将 (2.12) 式代入 (2.28) 式可得
其中
再根据条件
其余部分的证明与定理 2.1 相似, 此处不再赘述.
注 2.2 对比排斥型和吸引型两种情形. 在定理 2.1 中, 由条件
最后, 通过下面两个例子来阐明我们的定理.
例 2.1 考虑下列具有强排斥型奇性的
这里
对比方程 (2.31) 和方程 (1.1), 可知
满足性质
成立. 因此, 根据定理 2.1, 方程 (2.31) 至少存在一个周期解.
例 2.2 考虑下列具有强弱吸引型奇性的
这里
对比方程 (2.32) 和方程 (1.1), 可知
满足性质
参考文献
Rayleigh equation for evolution of stable isotope ratios in contaminant decay chains
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