本文中, 记 $ \mathbb{D} $ 为复平面上的单位圆盘, $ \partial\mathbb{D} $ 为单位圆周. 设 $ L^2(\partial\mathbb{D}) $ 为单位圆周上的 Lebesgue 平方可积函数全体, $ L^\infty $ 为单位圆周 $ \partial\mathbb{D} $ 上的本性有界的可测函数全体. 定义 Hardy 空间 $ H^2 $ 是 $ L^2(\partial\mathbb{D}) $ 中的解析多项式所张成的闭子空间,

其中, $ \{e_n(z)=z^n,n\in \mathbb{Z}\} $ 为 $ L^2(\partial\mathbb{D}) $ 中的一组规范正交基.

记 $ P:L^2\rightarrow H^2 $ 为正交投影, 对于 $ \varphi\in L^\infty $, $ H^2 $ 上的符号为 $ \varphi $ 的 Toeplitz 算子 $ T_\varphi $ 定义为

Toeplitz 算子理论在物理学, 概率论等领域有着重要的应用, 有众多学者对此进行研究, 目前已有十分丰富的结果^[1⇓-3]. 在 Hardy 空间上, Brown 和 Halmos^[4]给出了一个有界线性算子 $ A $ 是 Toeplitz 算子当且仅当 $ UAU^*=A $ 的结论, 其中 $ U $ 是 $ H^2 $ 上的单侧移位算子, 并利用 Toeplitz 算子满足该方程的特性, 得到了经典 Hardy 空间上 Toeplitz 算子的一些重要的代数性质. Volterra 算子^[5]是Hardy空间上另一个重要的线性算子且是没有特征值的紧算子, 其在线性微分方程的初值问题、优化、种群动态等问题上有着重要应用, 因此, 该算子受到相关领域学者们的广泛研究.

Hardy 空间 $ H^2 $ 上的 Volterra 算子定义为

Pommerenke 在 70 年代左右研究 BMOA 函数的增长性时首次引进了一般型的 Volterra 算子^[6], 同时证明了在一定条件下 Volterra 算子在 $ H^2 $ 空间上是有界的. 在 Pommerenke 的工作基础上, Aleman 等人将其结论推广到了 $ 0<p<\infty $ 的 Handy 空间 $ H^p $ 以及 Bergman 空间 $ A^p $ 上, 同时得到了紧性等相关性质^[7⇓-9]. Donoghue 于 1957 年给出了 Hardy 空间上的 Volterra 算子的不变子空间的刻画^[10]: $ M $ 是 $ V $ 的不变子空间当且仅当 $ M=z^nH^2(\mathbb{D}) $, 这里$ n\in\mathbb{N} $. 2015 年, Čučković 和 Paudyal 给出了 Hardy 空间 $ H^2 $ 上的移位算子加上复 Volterra 算子的不变子空间的完整刻画^[11]. 2018 年, Čučković 和 Paudyal 进一步刻画了 Hardy 空间 $ H^2 $ 上的移位算子加上正整数倍的复 Volterra 算子的不变子空间^{[12, 13]}. 之后, Lin给出了一般的 Hardy 空间 $ H^p(1\leq p<+\infty) $ 上的移位算子加上正整数倍 Volterra 算子的不变子空间的完全刻画, 推广了 Čučković 和 Paudyal 的结果.

本文中, 对于 $ \varphi\in L^\infty $, 我们定义Hardy空间 $ H^2 $ 上的左 Volterra-Toeplitz 算子 $ L_\varphi $ 为

类似的, 将右 Volterra-Toeplitz 算子 $ R_\varphi $ 定义为

本文主要研究了与左 Volterra-Toeplitz 算子 $ L_\varphi $ 和右 Volterra-Toeplitz 算子 $ R_\varphi $ 有关的一些基本性质, 例如: 紧性、有限秩、奇异值等的刻画, 并给出了 $ L_\varphi $ 类似于 Toeplitz 算子的 Coburn 定理的结果、 $ V $ 与 $ T_\varphi $ 的可交换性及$ L_\varphi $ 与 $ R_\varphi $ 以 $ z^jH^2 $ 为不变子空间的符号刻画.

在本节中我们给出了左、右 Volterra-Toeplitz 算子的一些相关性质, 得到了有关零空间的类似 Coburn 定理以及奇异值的相关结果.

命题 2.1 设 $ \varphi\in L^\infty $, 则 $ L_\varphi $ 是 $ H^2 $ 上的紧算子.

证 由

又因为 $ V $ 是紧算子, 从而可得 $ L_\varphi $ 也是紧算子. 证毕.

命题 2.2 设 $ x(s) $ 是多项式且 $ x(0)=0 $, 则 $ L_\varphi x'(z)=T_\varphi x(z) $.

证 事实上

由此得证. 证毕.

命题 2.3 设 $ \varphi \in L^\infty $, 若 $ L_\varphi $ 是有限秩算子, 则 $ \varphi=0 $.

证 设 $ L_\varphi $ 是有限秩算子, 则 $ M=L_\varphi H^2 $ 是有限维空间, 即 $ \dim M<\infty $. 对于 $ zH^2 $ 中的任意多项式 $ x $,由命题 2.2 知

故$ T_\varphi (zH^2)\subset M $.

由 $H^2=\mathbb{C}\oplus zH^2 $, 可得

其中 $ S^v $ 表示由集合 $ S $ 张成的线性闭子空间, $ c $ 为常数, $ \varphi_+=P\varphi $, 所以

即 $ T_\varphi $ 为有限秩算子, 从而 $ \varphi=0 $.

设 $ A $ 是 $ H^2 $ 上的有界线性算子, 记 $ \ker A=\{x\in H^2: Ax=0\} $ 且称其为 $ A $ 的核或零空间. 本节我们得到了算子 $ L_\varphi $ 有类似于 Toeplitz 算子的 Coburn 定理形式的结果. 首先, 我们引用 Coburn 定理^[14]如下

引理 2.1^[14] 若 $ \varphi $ 是 $ L^\infty $ 中一个非几乎处处为零的函数, 则要么 $ \ker T_\varphi=\{0\} $, 要么 $ \ker T_\varphi^*=\{0\} $.

下述结论给出了算子 $ L_\varphi $ 的零空间刻画.

定理 2.1 设 $ \varphi\in L^\infty $ 为非零函数, 则要么 $ \ker L_\varphi=\{0\} $, 要么 $ \ker L_\varphi ^*=\{0\} $.

证 设 $ \ker L_\varphi\neq\{0\} $, 下证 $ \ker L_\varphi ^*=\{0\} $.

由 $ \ker L_\varphi\neq\{0\} $ 知: 存在 $ x\in H^2 $ 且 $ x\neq0 $, 使得 $ L_\varphi x=0 $, 即 $ T_\varphi Vx=0 $. 由于 $ V $ 是单射, 因此 $ Vx\neq 0 $, 从而$\ker T_\varphi \neq\{0\}.$由 Coburn 定理, $ \ker T_\varphi ^*=\{0\} $. 下面应用反证法证明 $ \ker L_\varphi^*=\{0\} $.

假若 $ \ker L_\varphi^*\neq \{0\} $, 则存在 $ y\in H^2 $ 且 $ y\neq0 $ 使$L_\varphi^*y=V^*T_\varphi^*y=0,$而 $ \ker T_\varphi^*=\{0\} $, 故 $ T_\varphi^*y\neq0 $, 从而

因此

其中 $ c $ 为常数, 从而

即 $ P\overline{z\varphi}y=0 $, $ \overline{z\varphi}y=\overline{\eta} $, 其中 $ \eta\in H^2 $ 且 $ \eta(0)=0 $, 从而

记 $ \overline{u}=z\overline{\eta} $, 则 $ u\in H^2 $. 又 $ \ker T_\varphi\neq\{0\} $, 所以 $ \exists x\in H^2 $, $ x\neq0 $, 使得 $ T_\varphi x=0 $, 即 $ P\varphi x=0 $, $ \varphi x=\overline{\gamma} $, $ \gamma\in H^2 $ 且 $ \gamma(0)=0 $. 于是我们有

结合 (2.1) 式可推得

将 (2.2) 式和 (2.3) 式相乘可得

由上述等式右边是共轭解析的, 而左边是实值的, 故 $ \overline{\gamma yux} $ 为常值, 记$ \overline{\gamma yux}=c_{0} $,由 $ \gamma(0)=0 $, 故 $ c_{0}=0 $, 因此 $ \varphi xy=0 $, 这是不可能的, 所以必有 $ \ker L_\varphi^*=\{0\} $.

同理可得: 若 $ \ker L_\varphi^*\neq\{0\} $, 则必然有 $ \ker L_\varphi=\{0\} $.

对于 Hardy 空间上经典的 Volterra 算子 $ V $, 由

可知 $ V $ 是一个右侧加权移位算子, 其共权序列为 $ \{\frac{1}{n+1}\}_{n=0}^\infty $, $ V^* $ 是一个左侧加权移位算子,

若 $ \varphi\in H^\infty $ 且对几乎处处 $ z\in \partial\mathbb{D} $, $ |\varphi(z)|=1 $, 则称 $ \varphi $ 为内函数. 下面, 我们给出算子 $ L_\varphi $ 的奇异值刻画.

定理 2.2 设 $ \varphi $ 是 $ \mathbb{D} $ 上的内函数, 则 $ L_\varphi $ 的奇异值为 $ \{\frac{1}{n}\}^\infty_{n=1} $.

证 由于

其中 $ V^*V $ 是对角算子, 即

从而 $ V^*V $ 的对角线为

故 $ (V^*V)^{\frac{1}{2}} $ 的特征值是 $ \{\frac{1}{n}\}^\infty_{n=1} $. 又因为$(L_\varphi^*L_\varphi)^{\frac{1}{2}}=(V^*V)^{\frac{1}{2}},$及 $ (L_\varphi^*L_\varphi)^{\frac{1}{2}} $ 的特征值是 $ L_\varphi $ 的奇异值, 故 $ L_\varphi $ 的奇异值为 $ \{\frac{1}{n}\}^\infty_{n=1} $.

对于右 Volterra-Toeplitz 算子 $ R_\varphi=VT_\varphi $, 我们得到以下的一些结论.

命题 2.4 设 $ \varphi \in L^\infty $, 则 $ R_\varphi $ 是紧算子. 若 $ R_\varphi $ 是有限秩算子, 则 $ \varphi=0 $.

证 由于$R_\varphi=VT_\varphi,$ 而 $ V $ 是紧的, 从而可得 $ R_\varphi $ 也是紧的.

若 $ R_\varphi $ 是有限秩算子, 由于 $ R_\varphi=VT_\varphi $, 故 $ R_\varphi H^2=VT_\varphi H^2 $ 是有限维空间, 而 $ V $ 是单射, 所以 $ T_\varphi H^2 $ 是有限维空间, 即 $ T_\varphi $ 是有限秩算子, 所以 $ \varphi=0 $.

定理 2.3 设 $ \varphi\in L^\infty $ 且 $ \varphi $ 为非常值函数, 若 $ \ker R_\varphi\neq\{0\} $, 则 $ \ker R_\varphi ^*\subset\mathbb{C} $.

证 设 $ x\in H^2 $ 且 $ x\neq0 $, 使得 $ R_\varphi x=0 $, $ VT_\varphi x=0 $. 由于 $ V $ 是单射, 所以 $ T_\varphi x=0 $, 即$ x\in\ker T_\varphi $, 由引理 2.1 知

在 $ \ker R_\varphi\neq\{0\} $ 的条件下, 若存在 $ y\in H^2 $ 且 $ y\neq0 $, 使得

由 $ \ker T_\varphi^*=\{0\} $, 可得 $ V^*y=0 $, 即 $ y\in\ker V^* $, 又 $ \ker V^*=\mathbb{C} $, 故 $ y\in{\mathbb{C}} $, 从而 $ \ker R_\varphi^{*}\subset{\mathbb{C}} $.

本节我们主要刻画了 $ V $ 和 $ T_\varphi $ 可交换的充要条件, 也即 $ L_\varphi=R_\varphi $ 成立的条件, 以及给出了 $ L_\varphi $ 与$ R_\varphi $ 以 $ z^jH^2 (j \geq 1) $ 为公共不变子空间的符号刻画.

问题 1 在一般情况下, $ L_\varphi=R_\varphi $ 是否成立? 即 $ V $ 和 $ T_\varphi $ 是否可交换?

我们先考虑特殊符号的情形, 设 $ \varphi\in H^\infty $, 对 $ \forall x\in H^2 $,由于

及

若 $ L_\varphi x=R_\varphi x $, 则

两边同时关于 $ z $ 求导, 得

化简得

由 $ x $ 的任意性可得$\varphi'(z)=0,$ 故 $\varphi=c, $其中 $ c $ 为常数, 由此我们得到下述结论.

定理 3.1 设 $ \varphi\in H^\infty $, 则 $ L_\varphi=R_\varphi $ 成立当且仅当 $ \varphi $ 为常值函数.

由以上可知, 在一般情况下, $ L_\varphi =R_\varphi $ 是不可能成立的. 下面我们考虑, 在一般情况下, $ \varphi $ 满足什么条件, 有 $ L_\varphi=R_\varphi $, 即 $ T_\varphi V=VT_\varphi $ ? 在此我们设

其中$ \varphi_+=P\varphi=\sum\limits^\infty_{k=0}\widehat{\varphi}(k)z^k $, $ \varphi_-=(I-P)\varphi=\sum\limits^\infty_{k=1}\widehat{\varphi}(-k)z^{-k} $.

若 $ T_\varphi V=VT_\varphi $, 则有 $ T_\varphi Vz^n=VT_\varphi z^n $, $ \forall n\in\mathbb{N} $. 由于

根据 $ T_\varphi Vz^n=VT_\varphi z^n $, 则可得

当 $ n=0 $ 时, $ T_\varphi V1=VT_\varphi 1 $, 即

得到

比较等式两端常数项的系数, 从而

当 $ n\geq1 $ 时, 由等式 (3.1), 比较两边的常数项可以得到$\widehat{\varphi}(-(n+1))=0,$故 $ \varphi\in H^\infty $.

结合上述分析及定理 3.1, 我们得到下述结论, 由此给出了问题 1 的完全解答.

定理 3.2 设 $ \varphi\in L^\infty $, 则 $ L_\varphi=R_\varphi $ 当且仅当 $ \varphi=c $, 其中 $ c $ 为常数.

不变子空间问题一直是算子理论中的重要问题之一. 设 $ M $ 是 Hilbert 空间 $ H $ 的闭子空间, $ T $ 是 $ H $ 上的有界线性算子, 若 $ TM\subset M $, 则称 $ M $ 是 $ T $ 的不变子空间. 易知, $ M_j=z^jH^2 $ 是 $ V $ 的不变子空间. 很自然地, 我们考虑如下问题

问题 2 设 $ \varphi\in L^\infty $, 若 $ M_j(j\geq1) $ 是 $ L_\varphi $ 或者 $ R_\varphi $ 的不变子空间, $ \varphi $ 应该满足什么条件?

下面的结果给出了问题 2的完全解答.

定理 3.3 设 $ \varphi\in L^\infty $, 则对 $ \forall j\geq1 $, $ M_j=z^jH^2 $ 都是 $ L_\varphi $ 或者都是 $ R_\varphi $ 的不变子空间的充分必要条件是 $ \varphi=\varphi_++c\overline{z} $, 其中 $ \varphi_+=P\varphi $, $ c $ 为常数.

证 设 $ \varphi=\varphi_++\varphi_- $, 其中

因为 $ L_\varphi M_j\subset M_j \; (j\geq1) $ 及 $ z^j\in M_j $, 所以 $ L_\varphi z^j\in M_j=z^jH^2 $. 又由于

而 $ \varphi_+\frac{z^{j+1}}{j+1}\in z^jH^2=M_j $, $ \widehat\varphi(-1)\frac{z^j}{j+1}\in M_j $,$\sum\limits^{j+1}_{k=2}\widehat\varphi(-k)\frac{z^{j+1-k}}{j+1} $ 中各项 $ z $ 的次数低于 $ z^j $ 且

所以

即 $ 2\leq k\leq j+1 $ 时,

所以 $ \varphi=\varphi_++\widehat\varphi(-1)\overline{z} $, 即 $ \varphi=\varphi_++c\overline{z} $, 这里$ c=\widehat\varphi(-1) $.

同理, 由于 $ R_\varphi M_j\subset M_j \; (j\geq1) $ 及 $ z^j\in M_j $, 故 $ R_\varphi z^j\in M_j=z^jH^2 $.

根据计算知

对任意的 $ j \geq 2 $, 由 $ z^{j}\sum\limits^{\infty}_{k=0}\widehat\varphi(k)\frac{z^{k+1}}{j+k+1}\in M_j $, $ \widehat\varphi(-1)\frac{z^j}{j}\in M_j $, 而 $ \sum\limits^{j}_{k=2}\widehat\varphi(-k)\frac{z^{j-k+1}}{j-k+1} $ 中各项 $ z $ 的次数低于 $ z^j $, 故对 $ 2 \leq k \leq j $, 总有 $ \widehat\varphi(-k)=0 $. 再由 $ j \geq 2 $, 可得 $ \widehat\varphi(-k)=0, k \geq 2 $.从而 $ \varphi=\varphi_++\widehat\varphi(-1)\overline{z} $, 即 $ \varphi=\varphi_++c\overline{z} $, 这里 $ c=\widehat\varphi(-1) $.故必要性得证.

下面证明充分性. 设 $ \varphi\in L^\infty $ 且 $ \varphi=\varphi_++c\overline{z} $, 因为

所以 $ L_\varphi M_j\subset M_j $ ($ j\geq1 $). 又因为 $ R_\varphi=VT_\varphi $, 故有

而 $ V\varphi_+z^j\in M_j $, $ c\frac{z^j}{j}\in M_j $, 所以 $ R_\varphi z^j\in M_j $, $ R_\varphi M_j\subset M_j $, 从而对任意的 $ j\geq1 $, $ M_j $ 均为 $ L_\varphi $ 及 $ R_\varphi $ 的不变子空间.