本文中, 记 $\mathbb{D}$ 为复平面上的单位圆盘, $\partial\mathbb{D}$ 为单位圆周. 设 $L^2(\partial\mathbb{D})$ 为单位圆周上的 Lebesgue 平方可积函数全体, $L^\infty$ 为单位圆周 $\partial\mathbb{D}$ 上的本性有界的可测函数全体. 定义 Hardy 空间 $H^2$ 是 $L^2(\partial\mathbb{D})$ 中的解析多项式所张成的闭子空间,

其中, $\{e_n(z)=z^n,n\in \mathbb{Z}\}$ 为 $L^2(\partial\mathbb{D})$ 中的一组规范正交基.

记 $P:L^2\rightarrow H^2$ 为正交投影, 对于 $\varphi\in L^\infty$, $H^2$ 上的符号为 $\varphi$ 的 Toeplitz 算子 $T_\varphi$ 定义为

Toeplitz 算子理论在物理学, 概率论等领域有着重要的应用, 有众多学者对此进行研究, 目前已有十分丰富的结果^[1⇓-3]. 在 Hardy 空间上, Brown 和 Halmos^[4]给出了一个有界线性算子 $A$ 是 Toeplitz 算子当且仅当 $UAU^*=A$ 的结论, 其中 $U$ 是 $H^2$ 上的单侧移位算子, 并利用 Toeplitz 算子满足该方程的特性, 得到了经典 Hardy 空间上 Toeplitz 算子的一些重要的代数性质. Volterra 算子^[5]是Hardy空间上另一个重要的线性算子且是没有特征值的紧算子, 其在线性微分方程的初值问题、优化、种群动态等问题上有着重要应用, 因此, 该算子受到相关领域学者们的广泛研究.

Hardy 空间 $H^2$ 上的 Volterra 算子定义为

Pommerenke 在 70 年代左右研究 BMOA 函数的增长性时首次引进了一般型的 Volterra 算子^[6], 同时证明了在一定条件下 Volterra 算子在 $H^2$ 空间上是有界的. 在 Pommerenke 的工作基础上, Aleman 等人将其结论推广到了 $0<p<\infty$ 的 Handy 空间 $H^p$ 以及 Bergman 空间 $A^p$ 上, 同时得到了紧性等相关性质^[7⇓-9]. Donoghue 于 1957 年给出了 Hardy 空间上的 Volterra 算子的不变子空间的刻画^[10]: $M$ 是 $V$ 的不变子空间当且仅当 $M=z^nH^2(\mathbb{D})$, 这里$n\in\mathbb{N}$. 2015 年, Čučković 和 Paudyal 给出了 Hardy 空间 $H^2$ 上的移位算子加上复 Volterra 算子的不变子空间的完整刻画^[11]. 2018 年, Čučković 和 Paudyal 进一步刻画了 Hardy 空间 $H^2$ 上的移位算子加上正整数倍的复 Volterra 算子的不变子空间^{[12, 13]}. 之后, Lin给出了一般的 Hardy 空间 $H^p(1\leq p<+\infty)$ 上的移位算子加上正整数倍 Volterra 算子的不变子空间的完全刻画, 推广了 Čučković 和 Paudyal 的结果.

本文中, 对于 $\varphi\in L^\infty$, 我们定义Hardy空间 $H^2$ 上的左 Volterra-Toeplitz 算子 $L_\varphi$ 为

类似的, 将右 Volterra-Toeplitz 算子 $R_\varphi$ 定义为

本文主要研究了与左 Volterra-Toeplitz 算子 $L_\varphi$ 和右 Volterra-Toeplitz 算子 $R_\varphi$ 有关的一些基本性质, 例如: 紧性、有限秩、奇异值等的刻画, 并给出了 $L_\varphi$ 类似于 Toeplitz 算子的 Coburn 定理的结果、 $V$ 与 $T_\varphi$ 的可交换性及$L_\varphi$ 与 $R_\varphi$ 以 $z^jH^2$ 为不变子空间的符号刻画.

在本节中我们给出了左、右 Volterra-Toeplitz 算子的一些相关性质, 得到了有关零空间的类似 Coburn 定理以及奇异值的相关结果.

命题 2.1 设 $\varphi\in L^\infty$, 则 $L_\varphi$ 是 $H^2$ 上的紧算子.

证 由

又因为 $V$ 是紧算子, 从而可得 $L_\varphi$ 也是紧算子. 证毕.

命题 2.2 设 $x(s)$ 是多项式且 $x(0)=0$, 则 $L_\varphi x'(z)=T_\varphi x(z)$.

证 事实上

由此得证. 证毕.

命题 2.3 设 $\varphi \in L^\infty$, 若 $L_\varphi$ 是有限秩算子, 则 $\varphi=0$.

证 设 $L_\varphi$ 是有限秩算子, 则 $M=L_\varphi H^2$ 是有限维空间, 即 $\dim M<\infty$. 对于 $zH^2$ 中的任意多项式 $x$,由命题 2.2 知

故$T_\varphi (zH^2)\subset M$.

由 $H^2=\mathbb{C}\oplus zH^2$, 可得

其中 $S^v$ 表示由集合 $S$ 张成的线性闭子空间, $c$ 为常数, $\varphi_+=P\varphi$, 所以

即 $T_\varphi$ 为有限秩算子, 从而 $\varphi=0$.

设 $A$ 是 $H^2$ 上的有界线性算子, 记 $\ker A=\{x\in H^2: Ax=0\}$ 且称其为 $A$ 的核或零空间. 本节我们得到了算子 $L_\varphi$ 有类似于 Toeplitz 算子的 Coburn 定理形式的结果. 首先, 我们引用 Coburn 定理^[14]如下

引理 2.1^[14] 若 $\varphi$ 是 $L^\infty$ 中一个非几乎处处为零的函数, 则要么 $\ker T_\varphi=\{0\}$, 要么 $\ker T_\varphi^*=\{0\}$.

下述结论给出了算子 $L_\varphi$ 的零空间刻画.

定理 2.1 设 $\varphi\in L^\infty$ 为非零函数, 则要么 $\ker L_\varphi=\{0\}$, 要么 $\ker L_\varphi ^*=\{0\}$.

证 设 $\ker L_\varphi\neq\{0\}$, 下证 $\ker L_\varphi ^*=\{0\}$.

由 $\ker L_\varphi\neq\{0\}$ 知: 存在 $x\in H^2$ 且 $x\neq0$, 使得 $L_\varphi x=0$, 即 $T_\varphi Vx=0$. 由于 $V$ 是单射, 因此 $Vx\neq 0$, 从而$\ker T_\varphi \neq\{0\}.$由 Coburn 定理, $\ker T_\varphi ^*=\{0\}$. 下面应用反证法证明 $\ker L_\varphi^*=\{0\}$.

假若 $\ker L_\varphi^*\neq \{0\}$, 则存在 $y\in H^2$ 且 $y\neq0$ 使$L_\varphi^*y=V^*T_\varphi^*y=0,$而 $\ker T_\varphi^*=\{0\}$, 故 $T_\varphi^*y\neq0$, 从而

因此

其中 $c$ 为常数, 从而

即 $P\overline{z\varphi}y=0$, $\overline{z\varphi}y=\overline{\eta}$, 其中 $\eta\in H^2$ 且 $\eta(0)=0$, 从而

记 $\overline{u}=z\overline{\eta}$, 则 $u\in H^2$. 又 $\ker T_\varphi\neq\{0\}$, 所以 $\exists x\in H^2$, $x\neq0$, 使得 $T_\varphi x=0$, 即 $P\varphi x=0$, $\varphi x=\overline{\gamma}$, $\gamma\in H^2$ 且 $\gamma(0)=0$. 于是我们有

结合 (2.1) 式可推得

将 (2.2) 式和 (2.3) 式相乘可得

由上述等式右边是共轭解析的, 而左边是实值的, 故 $\overline{\gamma yux}$ 为常值, 记$\overline{\gamma yux}=c_{0}$,由 $\gamma(0)=0$, 故 $c_{0}=0$, 因此 $\varphi xy=0$, 这是不可能的, 所以必有 $\ker L_\varphi^*=\{0\}$.

同理可得: 若 $\ker L_\varphi^*\neq\{0\}$, 则必然有 $\ker L_\varphi=\{0\}$.

对于 Hardy 空间上经典的 Volterra 算子 $V$, 由

可知 $V$ 是一个右侧加权移位算子, 其共权序列为 $\{\frac{1}{n+1}\}_{n=0}^\infty$, $V^*$ 是一个左侧加权移位算子,

若 $\varphi\in H^\infty$ 且对几乎处处 $z\in \partial\mathbb{D}$, $|\varphi(z)|=1$, 则称 $\varphi$ 为内函数. 下面, 我们给出算子 $L_\varphi$ 的奇异值刻画.

定理 2.2 设 $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的内函数, 则 $L_\varphi$ 的奇异值为 $\{\frac{1}{n}\}^\infty_{n=1}$.

证 由于

其中 $V^*V$ 是对角算子, 即

从而 $V^*V$ 的对角线为

故 $(V^*V)^{\frac{1}{2}}$ 的特征值是 $\{\frac{1}{n}\}^\infty_{n=1}$. 又因为$(L_\varphi^*L_\varphi)^{\frac{1}{2}}=(V^*V)^{\frac{1}{2}},$及 $(L_\varphi^*L_\varphi)^{\frac{1}{2}}$ 的特征值是 $L_\varphi$ 的奇异值, 故 $L_\varphi$ 的奇异值为 $\{\frac{1}{n}\}^\infty_{n=1}$.

对于右 Volterra-Toeplitz 算子 $R_\varphi=VT_\varphi$, 我们得到以下的一些结论.

命题 2.4 设 $\varphi \in L^\infty$, 则 $R_\varphi$ 是紧算子. 若 $R_\varphi$ 是有限秩算子, 则 $\varphi=0$.

证 由于$R_\varphi=VT_\varphi,$ 而 $V$ 是紧的, 从而可得 $R_\varphi$ 也是紧的.

若 $R_\varphi$ 是有限秩算子, 由于 $R_\varphi=VT_\varphi$, 故 $R_\varphi H^2=VT_\varphi H^2$ 是有限维空间, 而 $V$ 是单射, 所以 $T_\varphi H^2$ 是有限维空间, 即 $T_\varphi$ 是有限秩算子, 所以 $\varphi=0$.

定理 2.3 设 $\varphi\in L^\infty$ 且 $\varphi$ 为非常值函数, 若 $\ker R_\varphi\neq\{0\}$, 则 $\ker R_\varphi ^*\subset\mathbb{C}$.

证 设 $x\in H^2$ 且 $x\neq0$, 使得 $R_\varphi x=0$, $VT_\varphi x=0$. 由于 $V$ 是单射, 所以 $T_\varphi x=0$, 即$x\in\ker T_\varphi$, 由引理 2.1 知

在 $\ker R_\varphi\neq\{0\}$ 的条件下, 若存在 $y\in H^2$ 且 $y\neq0$, 使得

由 $\ker T_\varphi^*=\{0\}$, 可得 $V^*y=0$, 即 $y\in\ker V^*$, 又 $\ker V^*=\mathbb{C}$, 故 $y\in{\mathbb{C}}$, 从而 $\ker R_\varphi^{*}\subset{\mathbb{C}}$.

本节我们主要刻画了 $V$ 和 $T_\varphi$ 可交换的充要条件, 也即 $L_\varphi=R_\varphi$ 成立的条件, 以及给出了 $L_\varphi$ 与$R_\varphi$ 以 $z^jH^2 (j \geq 1)$ 为公共不变子空间的符号刻画.

问题 1 在一般情况下, $L_\varphi=R_\varphi$ 是否成立? 即 $V$ 和 $T_\varphi$ 是否可交换?

我们先考虑特殊符号的情形, 设 $\varphi\in H^\infty$, 对 $\forall x\in H^2$,由于

及

若 $L_\varphi x=R_\varphi x$, 则

两边同时关于 $z$ 求导, 得

化简得

由 $x$ 的任意性可得$\varphi'(z)=0,$ 故 $\varphi=c,$其中 $c$ 为常数, 由此我们得到下述结论.

定理 3.1 设 $\varphi\in H^\infty$, 则 $L_\varphi=R_\varphi$ 成立当且仅当 $\varphi$ 为常值函数.

由以上可知, 在一般情况下, $L_\varphi =R_\varphi$ 是不可能成立的. 下面我们考虑, 在一般情况下, $\varphi$ 满足什么条件, 有 $L_\varphi=R_\varphi$, 即 $T_\varphi V=VT_\varphi$ ? 在此我们设

其中$\varphi_+=P\varphi=\sum\limits^\infty_{k=0}\widehat{\varphi}(k)z^k$, $\varphi_-=(I-P)\varphi=\sum\limits^\infty_{k=1}\widehat{\varphi}(-k)z^{-k}$.

若 $T_\varphi V=VT_\varphi$, 则有 $T_\varphi Vz^n=VT_\varphi z^n$, $\forall n\in\mathbb{N}$. 由于

根据 $T_\varphi Vz^n=VT_\varphi z^n$, 则可得

当 $n=0$ 时, $T_\varphi V1=VT_\varphi 1$, 即

得到

比较等式两端常数项的系数, 从而

当 $n\geq1$ 时, 由等式 (3.1), 比较两边的常数项可以得到$\widehat{\varphi}(-(n+1))=0,$故 $\varphi\in H^\infty$.

结合上述分析及定理 3.1, 我们得到下述结论, 由此给出了问题 1 的完全解答.

定理 3.2 设 $\varphi\in L^\infty$, 则 $L_\varphi=R_\varphi$ 当且仅当 $\varphi=c$, 其中 $c$ 为常数.

不变子空间问题一直是算子理论中的重要问题之一. 设 $M$ 是 Hilbert 空间 $H$ 的闭子空间, $T$ 是 $H$ 上的有界线性算子, 若 $TM\subset M$, 则称 $M$ 是 $T$ 的不变子空间. 易知, $M_j=z^jH^2$ 是 $V$ 的不变子空间. 很自然地, 我们考虑如下问题

问题 2 设 $\varphi\in L^\infty$, 若 $M_j(j\geq1)$ 是 $L_\varphi$ 或者 $R_\varphi$ 的不变子空间, $\varphi$ 应该满足什么条件?

下面的结果给出了问题 2的完全解答.

定理 3.3 设 $\varphi\in L^\infty$, 则对 $\forall j\geq1$, $M_j=z^jH^2$ 都是 $L_\varphi$ 或者都是 $R_\varphi$ 的不变子空间的充分必要条件是 $\varphi=\varphi_++c\overline{z}$, 其中 $\varphi_+=P\varphi$, $c$ 为常数.

证 设 $\varphi=\varphi_++\varphi_-$, 其中

因为 $L_\varphi M_j\subset M_j \; (j\geq1)$ 及 $z^j\in M_j$, 所以 $L_\varphi z^j\in M_j=z^jH^2$. 又由于

而 $\varphi_+\frac{z^{j+1}}{j+1}\in z^jH^2=M_j$, $\widehat\varphi(-1)\frac{z^j}{j+1}\in M_j$,$\sum\limits^{j+1}_{k=2}\widehat\varphi(-k)\frac{z^{j+1-k}}{j+1}$ 中各项 $z$ 的次数低于 $z^j$ 且

所以

即 $2\leq k\leq j+1$ 时,

所以 $\varphi=\varphi_++\widehat\varphi(-1)\overline{z}$, 即 $\varphi=\varphi_++c\overline{z}$, 这里$c=\widehat\varphi(-1)$.

同理, 由于 $R_\varphi M_j\subset M_j \; (j\geq1)$ 及 $z^j\in M_j$, 故 $R_\varphi z^j\in M_j=z^jH^2$.

根据计算知

对任意的 $j \geq 2$, 由 $z^{j}\sum\limits^{\infty}_{k=0}\widehat\varphi(k)\frac{z^{k+1}}{j+k+1}\in M_j$, $\widehat\varphi(-1)\frac{z^j}{j}\in M_j$, 而 $\sum\limits^{j}_{k=2}\widehat\varphi(-k)\frac{z^{j-k+1}}{j-k+1}$ 中各项 $z$ 的次数低于 $z^j$, 故对 $2 \leq k \leq j$, 总有 $\widehat\varphi(-k)=0$. 再由 $j \geq 2$, 可得 $\widehat\varphi(-k)=0, k \geq 2$.从而 $\varphi=\varphi_++\widehat\varphi(-1)\overline{z}$, 即 $\varphi=\varphi_++c\overline{z}$, 这里 $c=\widehat\varphi(-1)$.故必要性得证.

下面证明充分性. 设 $\varphi\in L^\infty$ 且 $\varphi=\varphi_++c\overline{z}$, 因为

所以 $L_\varphi M_j\subset M_j$ ($j\geq1$). 又因为 $R_\varphi=VT_\varphi$, 故有

而 $V\varphi_+z^j\in M_j$, $c\frac{z^j}{j}\in M_j$, 所以 $R_\varphi z^j\in M_j$, $R_\varphi M_j\subset M_j$, 从而对任意的 $j\geq1$, $M_j$ 均为 $L_\varphi$ 及 $R_\varphi$ 的不变子空间.