自 20 世纪 80 年代以来, 学者们对经典二阶微分算子特征值的依赖性问题进行了大量的研究, 并取得了一些重要的成果^{[1⇓⇓⇓-5]}. 后来, 学者们将这些成果推广到了四阶及更高阶情形, 也得到了类似的结论^{[6⇓⇓⇓-10]}. 另外, 许多实际问题, 如热传导问题, 质量转移问题都可以转变为内部不连续的微分算子问题, 即具有转移条件的 Sturm-Liouville 问题. 于是, 从 2015 年开始, Zhang 和 Wang 对具有转移条件的二阶微分算子特征值的依赖性, 单调性等进行了研究^[11,12].

最近, 对于边界条件含有谱参数(即特征参数)的微分算子特征值的依赖性问题也有一些研究成果. 2020 年, Zhang 和 Li 考虑了边界条件一端点含有谱参数的二阶正则 Sturm-Liouville 问题特征值的依赖性^[13]. 2022 年, Zhang 将上述结果推广到了边界条件两端点带有谱参数且具有转移条件的情形^[14]. 同时, 关于边界条件含有谱参数的三阶, 四阶问题也取得了丰硕的成果^{[15⇓⇓-18]}.

在以上的研究中, 谱参数只出现在了微分方程和边界条件中, 其实还可以出现在内部点条件中. 1995 年, Robert^[19] 考虑了一类内部点条件含有谱参数的奇异 Sturm-Liouville 问题的逆问题. 2007 年, Akdogan^[20] 研究了边界条件和内部点条件均含有谱参数的正则 Sturm-Liouville 问题, 得到了特征函数的渐近式, 格林函数和预解算子. 同一时期, Erdogan 将上述问题推广到了有多个内部点的情形, 并给出了方程的基本解和特征值的渐近式^[21]. 郭永霞^[22] 在 2015 年证明了内部点条件含有谱参数的二阶微分算子是自伴的, 并给出了特征函数的展开定理, 特征值的渐近式和逆问题. 之后, 学者们对于内部点条件含有谱参数的二阶微分算子特征值的渐近式和逆问题又进行了一些推广^[23,24].

由上可知, 目前对于内部点条件含有谱参数的微分算子的研究主要集中在特征值的渐近式, 格林函数, 预解算子及逆问题等方面, 而对这类问题特征值依赖性的研究较少, 因此该文考虑了具有一个内部点且内部点条件含谱参数的二阶微分算子特征值的依赖性问题.

本文, 我们将考虑二阶微分方程

边界条件为

带有特征参数的内部点条件为

其中 $-\infty<M'<M<a<N<N'<+\infty$, 且令 $J=[M,a)\cup (a,N]$, $\lambda\in\mathbb{C}$ 为谱参数,

在第 2 节中, 我们利用自伴算子的定义直接证明了算子的自伴性, 这与文献[22]中利用算子的亏指数为零来证明算子是自伴的方法有所不同. 第 3 节考虑了特征值和特征函数的连续性问题. 第 4 节给出了特征值关于相关参数的微分表达式, 其中包括特征值关于方程系数函数, 边界条件相关参数和边界点的微分表达式. 特别地, 也给出了特征值关于内部点条件中参数的导数及不连续点左右两侧的一阶导数表达式. 另外, 在可微性的基础上, 还考虑了特征值关于部分参数的单调性.

为了研究问题(1.1)-(1.3), 首先在 $L^{2}(J)$ 中定义内积

易知 $H_{1}=(L^{2}(J),\langle \cdot,\cdot\rangle_{1})$ 是 Hilbert 空间.

在二维向量的乘积空间 $\mathcal{H}=H_{1}\times \mathbb{C}$ 中定义一种新的内积为

可知 $\mathcal{H}$ 为 Hilbert 空间, 其中 $F,G\in \mathcal{H}, F=(f,f_{1})^{T}, G=(g,g_{1})^{T}$.

在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 定义线性算子 $T$ 如下

$\forall F=(f,f_{1})^{T}\in \mathcal{H}$. 其中, 算子 $T$ 的定义域为

对于任意的两个函数 $x,y\in D_{l}$, 有

其中 $[x,y]_{t_{1}}^{t_{2}}=[x,y](t_{2})-[x,y](t_{1})$, 且

这样, 就可以在空间 $\mathcal{H}$ 中利用算子谱理论的方法通过线性方程 $TF=\lambda F$ 来研究问题(1.1)-(1.3).

引理 2.1^[25] 对于任意给定的$\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2},\gamma_{1},\gamma_{2},\delta_{1},\delta_{2}\in \mathbb{C}$, 一定存在一个函数 $f\in D_{l}$ 有

引理 2.2 算子 $T$ 的定义域 $D(T)$ 在 $\mathcal{H}$ 中是稠密的, 且算子 $T$ 是对称的.

证 参考文献[22,引理 5.2.1]. 虽然本文问题只含有一个转移点, 但证明过程类似.

接下来, 我们证明算子 $T$ 是自伴的, 文献[22]虽然已经给出了证明过程, 但是本文采用了与其不同的定义法来证明.

定理 2.1 算子 $T$ 是定义在 $\mathcal{H}$ 中的自伴算子.

证 由引理 $2.2$ 可知算子 $T$ 是对称的, 接下来证明算子 $T$ 是自伴的. 下面只需证: 若对任意的 $F=(f(x),f_{1})^{T}\in D(T)$, 有 $(TF,G)=(F,W)$ 成立, 则 $G\in D(T)$ 且 $TG=W$, 其中 $G=(g(x),g_{1})^{T},W=(w(x),w_{1})^{T}$, 即

(1) $g,g'\in AC(J), lg\in H_{1};$

(2) $w_{1}=\frac{1}{m}[c^{-1}g'(a-)-g'(a+)+bg(a-)];$

(3) $w=-g''+qg;$

(4) $g'(M)-hg(M)=0, g'(N)+Hg(N)=0;$

(5) $g(a+)=cg(a-).$

设 $\widetilde{ C_{0}^{\infty}}$ 表示

函数的集合, 其中 $\varphi_{1}(x)\in C_{0}^{\infty}[M,a)$, $\varphi_{2}(x)\in C_{0}^{\infty}(a,N]$.

对任意 $F\in \widetilde{C_{0}^{\infty}}\oplus{0}\subset D(T)$, 由 $(TF,G)=(F,W)$ 知

即

由标准的 Sturm-Liouville 理论和算子 $T$ 的对称性可知 (1) 和 (3) 成立.

由边界条件(1.2)及(2.5)式可知 $[f,g](M)=[f,g](N)=0$, 所以

由引理 $2.1$, 令 $f(M)=1, f'(M)=h, f(N)=1, f'(N)=-H$, 可得 (4) 成立.

由 $( TF, G)=( F, W)$ 及 (2.1)-(2.2) 式可知

故

因此

由引理 $2.1$, 令 $f_{1}=f(a-)=1, f(a+)=c, f'(a+)=0$, 可得 $(2)$ 成立.

将 (2) 中 $\overline{w}_{1}$ 代回 (2.9) 式, 化简得

由引理 2.1, 令 $f(a-)=f(a+)=0, f'(a+)=1$, 即可得 $(5)$ 成立.

综上所述, 算子 $T$ 是自伴的, 且问题(1.1)-(1.3) 的特征值是实的. 证毕.

推论 2.1 若 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是算子 $T$ 的两个不同的特征值, 则相应的特征函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在下述意义下是正交的, 即

但是, 在通常意义下, 算子 $T$ 对应的两个不同特征值的特征向量不是正交的.

本节, 我们主要考虑了特征值和特征函数关于问题参数的连续依赖性. 首先, 给出了算子 $T$ 特征值存在的充分必要条件, 为了方便, 记边界条件(1.2) 为

其中$C=\left( \begin{array}{cc} -h & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right), D=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ H & 1 \\ \end{array} \right), Y=\left( \begin{array}{c} y \\ y' \\ \end{array} \right).$

记内部点条件 (1.3) 为

其中$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right), B_{\lambda}=\left( \begin{array}{cc} c & 0 \\ b-\lambda m & c^{-1} \\ \end{array} \right).$

设 $\varphi_{11}, \varphi_{12}$ 是方程(1.1) 在区间 $[M,a)$ 上满足如下初始条件的线性无关解

其中 $E$ 是 $2$ 阶单位矩阵, $\Psi_{1j}=(\varphi_{1j}, \varphi'_{1j})^T(j=1, 2)$.

设 $\varphi_{21},\varphi_{22}$ 是方程(1.1) 在区间 $(a,N]$ 满足如下初始条件的线性无关解

其中 $\Psi_{2j}=(\varphi_{2j}, \varphi'_{2j})^T(j=1, 2)$. 且令

定理 3.1 一个复数 $\lambda$ 是算子 $T$ 的特征值当且仅当 $\lambda$ 满足

称 $\Delta(\lambda)$ 为判别函数.

证 设 $\lambda$ 是算子 $T$ 的特征值, $u(x)$ 是相应的特征函数, 则 $u(x)$ 可以表示为

其中, $c_{1},c_{2}$ 至少有一个不为 $0$. 因为 $u(x)$ 满足边界条件 (3.1), 所以我们有

根据 (3.3) 式可得

又因为 $c_{1},c_{2}$ 不全为 $0$, 所以$\Delta (\lambda)=0.$

另一方面, 若 $\Delta (\lambda)=0$, 则线性方程 (3.5) 关于 $c_{1},c_{2}$ 的齐次系统有非零解 $(c'_{1},c'_{2})$. 设

则 $u(x)$ 是方程(1.1) 满足内部点条件 (3.1) 和转移条件 (3.2) 的非平凡解. 因此, $\lambda$ 是算子 $T$ 的特征值.

接下来, 我们考虑在任意参数发生微小变化时不同问题的特征值和特征函数对问题 $(1.1)$-$(1.3)$ 是连续依赖的, 为此令$\Omega=\{w=(q,H,h,b,c,m,a-,a+,M,N)\}.$

引入一个 Banach 空间

及范数

定理 3.2 令 $w_{0}=(q_{0},H_{0},h_{0},b_{0},c_{0},m_{0},a_{0}-,a_{0}+,M_{0},N_{0})\in\Omega,$ 设 $\mu=\lambda (w_{0})$ 为由 $w_{0}$ 确定的问题 $(1.1)$-$(1.3)$ 的特征值, 则 $\lambda$ 在 $w_{0}$ 处是连续的, 即对 $\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0$, 使得对任意的 $w\in\Omega$, 当$\parallel w-w_{0} \parallel < \delta$ 时, 有

证 令$\Delta (\lambda)=\Delta (w,\lambda)=\det(C+D \Phi(N, \lambda)).$ 由定理 $3.1$ 可知, 问题的特征值正是判别函数的零点, 对 $w \in \Omega$, $\lambda(w)$ 是算子 $T$ 的特征值当且仅当$\Delta(w,\lambda(w))=0$, 且 $\Delta(w,\lambda)$ 是 $\lambda$ 的整函数. 又由算子的自伴性可知, $\mu$ 是孤立特征值, 从而$\Delta(w_0,\mu)=0$, 且 $\Delta(w_0,\lambda)$ 关于 $\lambda$ 不是常数, 因此, $\exists \rho>0$, 对 $\lambda\in S_{\rho}:=\{\lambda\in \mathbb{C}:|\lambda-\mu|=\rho\}, \Delta(w_0,\lambda)\neq 0$. 由方程解对初值和参数的连续性定理^[26], 即可得结论成立.

引理 3.1 设 $t_{0}\in J\cup \{a+,a-\}, d,k\in \mathbb{C}$, 考虑初值问题

则满足以上初始条件和转移条件 (1.3) 的唯一解 $y=y(\cdot,t_{0},d,k,q)$ 是关于任一变量的连续函数, 即对 $\forall \varepsilon >0, \exists\delta>0$, 若

则对 $\forall x\in J$ 有

证 可参考文献[11, 引理 4], 虽然本文问题中的转移条件含有谱参数, 但方法类似.

引理 3.2 假设 $w_{0}=(q_{0},H_{0},h_{0},b_{0},c_{0},m_{0},a_{0}-,a_{0}+,M_{0},N_{0}) \in\Omega, \lambda=\lambda(w)$ 是算子$T$ 的一个特征值. 若 $\lambda(w_0)$ 是单重特征值, 则在 $\Omega$ 中存在 $w_0$ 的邻域 $\mathcal{M}$, 满足对 $\forall w\in \mathcal{M}, \lambda(w)$ 是单重特征值.

证 若 $\lambda(w_0)$ 是单重特征值, 则 $\Delta' (\lambda(w_0))\neq0$. 因为 $\Delta (\lambda)$ 是 $\lambda$ 的整函数, 由定理 $3.2$ 可知结论成立.

定义 3.1 设 $u$ 满足问题(1.1)-(1.3), $u_1=u(a-)$, 且有

成立, 则称 $(u,u_1)^T$ 为正规化特征向量.

定理 3.3 假设记号同定理 $3.2$. 设特征值 $\lambda(w_{0})$ 在 $w_{0}\in \Omega$ 内是单重的, 令 $(u(x,w_{0}),$$u_{1}(w_{0}))^T \in \mathcal{H}$ 是 $\lambda(w_{0})$ 的一个正规化特征向量, 则存在一个对应于特征值 $\lambda(w)$ 的正规化特征向量 $(u(x,w), u_{1}(w))^T\in \mathcal{H}$, 使得在 $\Omega$ 中当 $w\rightarrow w_{0}$ 时, 有

在区间 $J$ 上一致成立.

证 设 $\lambda(w_{0})$ 是算子 $T$ 的单重特征值, $(y,y_1)^T\in\mathcal{H}$ 是其对应的特征向量, 且满足

由引理 3.2 可知, 存在一个 $w_0$ 的邻域 $\mathcal{M}$ 使得对任意的 $w\in \mathcal{M}, \lambda(w)$ 是单重的. 根据定理 3.2 可知$\lambda(w) \rightarrow \lambda(w_{0})$ 成立. 当 $w\rightarrow w_0$ 时, 内部点条件矩阵满足

由文献[4,定理 3.2] 可知, 当 $w\rightarrow w_0$ 时, 存在特征值 $\lambda(w)$ 对应的特征向量 $(y(x,w),y_{1}(w))^T\\ \in\mathcal{H}$, 使其第一个分量 $y(x,w)$ 在区间 $J$ 上满足

所以当 $w\rightarrow w_{0}$ 时,

令 $\lambda(w_{0})$ 的正规化特征向量 $(u(x,w_{0}),u_{1}(w_{0}))^T$ 和第一个分量导数 $u'(x,w_{0})$ 分别为

于是, 对于 $\lambda(w)$ 对应的正规化特征向量 $(u(x,w),u_{1}(w))^T$ 及其第一个分量的导数 $u'(x,w)$ 形式与 (3.11) 类似. 再由 (3.9)-(3.10) 式知 (3.8) 式成立.

本节在特征值关于问题参数连续的条件下给出了特征值关于方程系数函数, 区间端点, 不连续点两侧, 边界条件及转移条件中相关参数的可微性和部分参数的单调性, 考虑当这些参数发生微小变化时, 相应的微分表达式和特征值的变化趋势. 为此, 我们将用到 Frechet 导数, 定义如下

定义 4.1^[4] 设 $\mathcal{T}$ 是从 $\mathrm{Banach}$ 空间 $\mathcal{X}$ 到 $\mathrm{Banach}$ 空间 $\mathcal{Y}$ 的映射, 若存在一个有界线性算子$d\mathcal{T}_{x}:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{Y}$ 使得对 $p\in \mathcal{X}$, 当 $p\rightarrow 0$ 时, 有

则称映射 $\mathcal{T}$ 在点 $x\in\mathcal{X}$ 是 $\mathrm{Frechet}$ 可微的.

引理 4.1 设函数 $u$ 和 $v$ 分别为方程 $(1.1)$ 对应于特征值 $\lambda=\mu$ 和 $\lambda=\nu$ 的特征函数, 则

证 由分部积分法可证.

引理 4.2^[5] 设实值函数 $f\in L_{\rm loc}(a,b)$, 则

证 见文献[5,引理 3.2].

定理 4.1 令 $w=(q,b,h,H,c,m,a+,a-,M,N)\in \Omega, \lambda=\lambda(w)$ 是算子 $T$ 的特征值, $(u,u_{1})^{T}$ 是相应的正规化特征向量. 若 $\lambda(w)$ 在 $w$ 的某邻域 $\mathcal{M}\subset\Omega$ 内的几何重数不变, 则 $\lambda$ 关于方程系数函数 $q$, 边界条件参数 $h,H$ 以及转移条件参数 $b,c,m$ 是可微的且导数公式如下

(1) 固定 $w$ 中除 $q$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(q)$, 则 $\lambda$ 是 $\mathrm{Frechet}$ 可微的且有

(2) 固定 $w$ 中除 $h$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(h)$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

(3) 固定 $w$ 中除 $H$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(H)$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

(4) 固定 $w$ 中除 $b$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(b)$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

(5) 固定 $w$ 中除 $c$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(c)$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

(6) 固定 $w$ 中除 $m$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(m)$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

证 (1) 取$\tau$ 充分小, 令特征值 $\mu=\lambda(q), \nu=\lambda(q+\tau)$ 对应的正规化特征向量分别为 $(u,u_1)^T, (v,v_1)^T$, 其中 $u=u(x,q), v=u(x,q+\tau)$, 由 (4.1) 式可知

由转移条件 (1.3) 和 (2.5) 式可得

由边界条件 (1.2) 和 (2.5) 式可得

由 (4.9) 及 (4.10) 式可得

综上所述, 有

令 $\tau \rightarrow 0$, 由定义 3.1, 定理 3.3 和定义 4.1 即可得结果(4.2).

(2) 取 $\varepsilon$ 充分小, 令特征值 $\mu=\lambda(h), \nu=\lambda(h+\varepsilon)$ 对应的正规化特征向量分别为 $(u,u_1)^T, (v,v_1)^T,$其中 $u=u(x,h), v=u(x,h+\varepsilon)$, 由(1.1) 式我们有

根据 (4.14) 式和 (4.15) 式有

将 (4.16) 式分别从 $M$ 到 $a$ 和 $a$ 到 $N$ 积分并使用分部积分法, 由 (4.10) 式和 (4.12) 式有

由转移条件 (1.3) 我们得到

因此, 将 (4.18) 式进行整理并根据 (2.5) 式和 (4.10) 式有

综合 (4.17) 式和 (4.19) 式, 可知

两边同时除以 $\varepsilon$ 并令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 由定义 3.1 和定理 3.3 即可得结果(4.3). (4.4)式的证明类似, 故省略.

(3) 取 $\varepsilon$ 充分小, 令特征值 $\mu=\lambda(b), \nu=\lambda(b+\varepsilon)$ 对应的正规化特征向量分别为 $(u,u_1)^T,$$(v,v_1)^T$, 其中 $u=u(x,b), v=u(x,b+\varepsilon)$, 由 (2.5) 式及 (4.10)-(4.12) 式计算可得

故

两边同时除以 $\varepsilon$ 并令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 由定义 3.1 和定理 3.3 即可得结果 (4.5) 式.

(4) 取 $\varepsilon$ 充分小, 令特征值 $\mu=\lambda(c), \nu=\lambda(c+\varepsilon)$ 对应的正规化特征向量分别为 $(u,u_1)^T,$$(v,v_1)^T$, 其中 $u=u(x,c), v=u(x,c+\varepsilon)$, 根据转移条件 (1.3), (4.1) 及 (4.10)-(4.12) 式计算可得

和

综上所述

两边同时除以 $\varepsilon$ 并令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 由定义 3.1 和定理 3.3 即可得结果 (4.6) 式.

(5) 取 $\varepsilon$ 充分小, 令特征值 $\mu=\lambda(m), \nu=\lambda(m+\varepsilon)$ 对应的正规化特征向量分别为 $(u,u_1)^T, (v,v_1)^T$, 其中 $u=u(x,m), v=u(x,m+\varepsilon)$, 根据转移条件 (1.3), (4.1) 及 (4.10)-(4.12) 式计算可得

和

所以

两边同时除以 $\varepsilon$ 并令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 由定义 3.1 和定理 3.3 即可得结果 (4.7) 式.

下面, 我们给出 $\lambda$ 关于 $a+, a-$ 的微分表达式, 令 $a_{1}=a-, a_{2}=a+$, 然后有

定理 4.2 令$w=(q,b,h,H,c,m,a+,a-,M,N)\in \Omega, \lambda=\lambda(w)$ 是算子 $T$ 的特征值, $(u,u_{1})^{T}$ 是相应的正规化特征向量. 若 $\lambda(w)$ 在 $w$ 的某邻域 $\mathcal{M}\subset\Omega$ 内的几何重数不变, 则 $\lambda$ 关于内部不连续点 $a$ 左右两侧是可微的且有如下表达式

(1) 固定 $w$ 中除 $a_{1}$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(a_{1})$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

(2) 固定 $w$ 中除 $a_{2}$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(a_{2})$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

证 因为 (4.22) 式和 (4.23) 式的证明过程类似, 我们只证明 (4.22) 式, 让 $|l|$ 充分小 $(l<0)$, 令特征值 $\mu=\lambda(a_{1}), \nu=\lambda(a_{1}+l)$, 其对应的正规化特征向量分别为 $(u,u_1)^T, (v,v_1)^T$, 其中 $u=u(x,a_{1}), v=u(x,a_{1}+l)$, 由 (4.1), (4.11) 及 (4.12) 式可得

和

而

所以$[\lambda(a_{1}+l)-\lambda(a_{1})]cmu_{1}\overline{v}_{1}=[u,v](a_{1})-[u,v](a_{1})=0.$

综上所述, 可得

其中

及

当 $l\rightarrow 0$ 时, $\overline{u}(s,a_{1})-\overline{u}(s,a_{1}+l)\rightarrow 0$, $\overline{u}'(s,a_{1})-\overline{u}'(s,a_{1}+l)\rightarrow 0$, 由引理 4.2 可知

对 (4.24) 式两边同时除以 $l$, 并且取极限 $l\rightarrow 0$, 即可得到 (4.22) 式.

最后, 我们给出 $\lambda$ 关于边界点 $M,N$ 的微分表达式.

定理 4.3 令 $w=(q,b,h,H,c,m,a+,a-,M,N)\in \Omega, \lambda=\lambda(w)$ 是算子 $T$ 的特征值, $(u,u_{1})^{T}$ 是相应的正规化特征向量. 若 $\lambda(w)$ 在 $w$ 的某邻域 $\mathcal{M}\subset\Omega$ 内的几何重数不变, 则 $\lambda$ 关于边界点 $M,N$ 是可微的且有如下表达式

(1) 固定 $w$ 中除 $M$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(M)$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

(2) 固定 $w$ 中除 $N$ 以外的所有变量, 令 $\lambda=\lambda(N)$, 则 $\lambda$ 是可微的且有

证 因为 (4.27) 式和 (4.28) 式的证明过程类似, 所以我们只证明 (4.27) 式, 让 $\varepsilon$ 充分小, 令特征值 $\mu=\lambda(M), \nu=\lambda(M+\varepsilon)$, 对应的正规化特征向量分别为 $(u,u_1)^T, (v,v_1)^T$, 其中 $u=u(x,M), v=u(x,M+\varepsilon)$, 由 (4.1), (4.10) 以及 (4.12) 式可得

其中, 与 (4.25) 和 (4.26) 式类似, 当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时, $\overline{u}(s,M)-\overline{u}(s,M+\varepsilon)\rightarrow 0$, $\overline{u}'(s,M)-\overline{u}'(s,M+\varepsilon)\rightarrow 0$, $u(M,M)\overline{u}'(M+\varepsilon,M+\varepsilon)-u'(M,M)\overline{u}(M+\varepsilon,M+\varepsilon)\rightarrow 0$, 由引理 4.2 可知

对 (4.29) 式两边同时除以 $\varepsilon$, 并且取极限 $\varepsilon\rightarrow 0$, 即可得到 (4.27) 式. 证毕.

最后, 我们考虑 $\lambda$ 关于参数 $q,h,H,b$ 的单调性.

定理 4.4 令 $w=(q,c,m,b,h,H,a+,a-,M,N)\in \Omega, \lambda=\lambda(w)$ 是算子 $T$ 的特征值, 若 $\lambda(w)$ 在 $w$ 的某邻域$\mathcal{M}\subset\Omega$ 内的几何重数不变, 则 $\lambda$ 关于边界条件参数 $h,H$, 转移条件参数 $b$ 以及方程系数函数 $q$ 是单调的且单调性如下(1) 固定 $w$ 中除 $q$ 之外的所有参数, 特征值 $\lambda=\lambda(q)$ 是单调递增的, 即若存在一个函数 $Q\in L^{1}(J,\mathbb{R})$ 且 $Q>q$, 则有

(2) 固定 $w$ 中除 $h$ 之外的所有参数, 特征值 $\lambda=\lambda(h)$ 是单调递增的, 即若存在一个实数 $\widetilde{h}$ 且$\widetilde{h}>h$, 则有

(3) 固定 $w$ 中除 $H$ 之外的所有参数, 特征值 $\lambda=\lambda(H)$ 是单调递增的, 即若存在一个实数 $\widetilde{H}$ 且$\widetilde{H}>H$, 则有

(4) 固定 $w$ 中除 $b$ 之外的所有参数, 特征值 $\lambda=\lambda(b)$ 是单调递增的, 即若存在一个实数 $\widetilde{b}$ 且$\widetilde{b}>b$, 则有

证 根据定理 4.1, (4.31)-(4.33) 式显然成立, 因此我们只证明 (4.30) 式, 定义函数

则 $s(t)$ 在区间 $[0,1]$ 是勒贝格可积的. 由链式求导法则和 (4.2) 式可知

所以 $f$ 在区间 $J$ 上是递增的, 故 $f(1)=\lambda(Q)>f(0)=\lambda(q)$.