分裂可行问题 (Split Feasibility Problem, 记作 SFP) 是最优化领域的一个研究热点, 并在 LASSO 问题、信号处理、图像去噪问题等领域有着广泛的应用^{[2,9,10,16,19,27,32,37]}. 因此, 该问题的理论算法及应用得到了广泛的关注和研究^{[3,4,6,11,14,17,20,25,27,28,31]}. 1994 年, Censor 和 Elfving^[5] 首次介绍了分裂可行问题模型, 其用于模拟反问题. 此后, 文献 [3,4] 建立了求解该模型的经典算法称之为 Byrne CQ 算法, 并将其推广到求解分裂可行问题更广义的临近分裂可行问题^[22] (Proximal Split Feasibility Problem, 记作 PSFP). 针对 PSFP, 文献 [1,22,29⇓-31,35] 给出了相关的算法及其收敛性的推证. 即展开来讲, Moudafi 和 Thakur^[22]构造了无需 Armijo 搜索^{[12,13,18,24,28,34]} (该搜索常常计算额外的临近算子) 的自适应步长策略, 并讨论了分裂临近算法的弱收敛性. 基于惯性思想 (其用于加速算法的收敛性^{[2,16,20,27,28,32]}), Shehu 等^[31]修正了 Moudafi 等人的算法, 并证明了其弱收敛性. 为了研究其强收敛性, 众多学者给出了经典的强收敛算法, 例如, Abbas 等^[1]设计了两种不同的一步迭代算法;随后, Shehu 等^[29,30]结合 Mann-type, 加速混合粘滞类算法^[21], 并提出了最速下降法; Wang 和 Xu^[35]提出了分裂临近梯度法; Ma 和 Liu^[20]构造了一种惯性分裂临近算法. 以上算法存在一个共同点: 在单调算子的 Lipschitz 连续的条件下, 步长趋近于零, 导致算法的效率较差. 此外, 算法的强收敛性证明需要较强的条件如临近算子的完全非扩张性. 针对这些因素, 本文提出了如下问题.

如何在算法^[31]的基础上, 提出一个有界远离零的步长策略, 并通过弱化临近算子的完全非扩张性和单调算子的 Lipschitz 连续性来获得算法的强收敛性?

受文献 [20,31] 的启发, 本文给出了一种非 Lipschitz 步长策略, 并结合惯性技巧、粘滞类算法及分裂临近算法, 提出了一种惯性粘滞类算法, 在无需单调算子的 Lipschitz 连续性和临近映射的完全非扩张性的条件下, 证明所修正算法的强收敛性. 在算法的应用方面, 主要考虑了分裂均衡问题. 最后数值结果验证了算法的有效性.

文章的结构如下. 第 2 节给出了一些基本概念和结论; 第 3 节给出了本文的主要结论; 第 4 节考虑了算法的应用; 第 5 节提供了数值实验.

符号“$\rightharpoonup$”代表弱收敛性, “$\to$”代表强收敛性. 令 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是实 Hilbert 空间. 对于真、弱下半连续函数 $F:H_{1}\to \left] {-\infty, \infty} \right]$, 其有效域记作 $\rm{dom}F$, 即, ${\rm{dom}F}:=\{x\in H_{1}: F(x)<\infty\}$. 临近算子 ${\rm{prox}}_{\tau G}: H_{2} \to H_{2}$定义为

其中 $\tau>0$, $G:H_{2}\to \mathbb{R}\cup \left\{ { + \infty } \right\}$是真凸下半连续函数 (lsc). 文献 [9] 证明了临近映射 $\rm{prox}_{\tau G}$ 是完全非扩张性. 令 $C\subset H_{1}$ 为非空闭凸集, 则 $x$ 在 $C$ 上的正交投影定义为

另外, 示性函数定义为

在其作用下, 临近算子 ${\rm{prox}}_{\tau}$ 等价于正交投影算子 $P_{C}$, 详细内容参见文献 [7,33].

定义 2.1 令 $h:H_{1}\to H_{1}$ 为一映射, 若

(i) $h$ 称之为非扩张性, 则即有

(ii) $h$ 称之为完全非扩张性, 则即有

(iii) 令 $D\subset H_{1}$ 为一集合, $h:D\to \mathbb{R}\cup \left\{ { + \infty }\right\}$ 称之为弱下半连续函数, 如果$x_{n}\rightharpoonup x, $ 蕴含如下关系:

引理 2.1 令 $\nu \in \left[ {0, 1} \right]$, 对所有的 $x, y, z\in H_{1}$, 则

(i) $\|\nu x+(1-\nu)y\|^2=\nu\|x\|^2+(1-\nu)\|y\|^2-\nu(1-\nu)\|x-y\|^2;$

(ii) $\|x+y\|^2\leq \|x\|^2+2\langle y, x+y\rangle;$

(iii) $\langle x-y, x-z\rangle=\frac{1}{2}\|x-y\|^2+\frac{1}{2}\|x-z\|^2-\frac{1}{2}\|y-z\|^2. $

引理 2.2^[15] 令 $C \subset H_{1}$ 为非空闭凸集, 则 $H_{1}$在 $C$上的投影 $P_{C}$性质概述如下

(i) $\langle x-P_{C}x, y-P_{C}x\rangle\leq 0 \forall x \in H_{1}, y \in C;$

(ii) $\| P_{C}x-P_{C}y\|\leq \|x-y\| \forall x, y \in H_{1};$

引理 2.3^[26] 令 $\{s_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负实数序列, 使得

其中

(i) $\{ \alpha_{n} \}_{n=1}^{\infty}\subset\left( {0, 1} \right)$, 并满足 $ \sum\limits_{n = 1}^\infty { \alpha_{n}=\infty }$,

(ii) 若对于序列 $\{n\}$ 的子列 $\{n_{k}\}$, 都有 $\mathop {\limsup}\limits_{k\rightarrow\infty}\delta_{n_{k}}\leq0$. 另外, 序列 $\{s_{n}\}$ 的子列 $\{s_{n_{k}}\}$ 满足

$\mathop {\liminf}\limits_{k\to\infty}\|s_{n_{k}+1}-s_{n_{k}}\|\geq0$.

则 $ \mathop {\lim}\limits_{n\to\infty} s_{n}=0. $

引理 2.4^[23] 令 $\{ \varphi_{n}\}$ 是一个非负实数序列, 并满足

其中 $\{\phi_{n}\}$ 和 $\{\psi_{n}\}$ 是非负实数列, 并满足$\{\phi_{n}\} \subset [1, +\infty), $$\sum\limits_{n = 1}^\infty ({\phi_{n}-1)<\infty }$ 和 $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\psi_{n}<\infty }$. 则 $ \underset{n\rightarrow \infty}\lim \varphi_{n}$存在.

在本节, 首先, 令 $H_{1}$和$H_{2}$ 为实 Hilbert 空间, $A:H_{1}\rightarrow H_{2}$ 是有界线性算子及其共轭算子为 $A^*, $$F:H_{1}\to \mathbb{R}\cup \left\{ { + \infty } \right\}$ 和 $G:H_{2}\to \mathbb{R}\cup \left\{ { + \infty } \right\}$ 是真凸下半连续函数.

现在, 本节引入如下 PSFP^[22]

其中 $\tau>0$ 和 $G_{\tau}(x):=\mathop {\min }\limits_{y \in H_{2}}\left\{ {G\left( y\right) + \frac{1}{{2\tau }}{{\left\| {y -x } \right\|}^2}} \right\}$ 看作参数 $\tau$ 和函数 $G$ 的 Moreau-Yosida 近似函数. 若点$z^{*}$存在, PSFP 的解集记作 $\Gamma$. 接下来, 文献 [1,22,31] 给出了本节需要的定义.

任给 $\tau>0$ 和 $x\in H_{1}$, 定义

则上述函数的 Lipschitz 梯度分别为

其 Lipschitz 常数分别为 $\|A\|^2$ 和 $1$, $I$ 是恒等映射. 在阐述算法之前, 本节首先给出了收敛性分析需要的条件.

(A1) 问题 PSFP 的解集是非空的, 即 $\Gamma\neq \emptyset. $

(A2) 令$ \{\tilde{\tau}_{n}\} \subset \big[{0, \tilde{\theta}}\big)$ 且 $\tilde{\theta}>0$ 是正的序列并满足 $ \tilde{\tau}_{n}=o(\gamma_{n})$, 即, $\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty} \frac{\tilde{\tau}_{n}}{\gamma_{n}}=0$, 其中序列 $\{\gamma_{n}\}\subset\left({0, 1}\right)$ 满足$\sum_{n=1}^{\infty} \gamma_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} \gamma_{n}=0$

(A3) 映射 $f:H_{1}\to H_{1}$ 是 $\tilde{\rho}$-压缩的及其常数为 $\tilde{\rho}\in \left[{0, 1}\right). $

本节的算法框架如下:

算法 1

步骤 0 固定 $x_{0}, x_{1}\in H_{1}$. 选择序列 $\{\sigma_{n}\}\subset\left[{0, \sigma}\right)\subset\left[{0, 1}\right)$ 和 $0<\gamma_{n}<1$.

步骤 1 给定 $x_{n-1}$, $x_{n} (n\geq 1)$ 并计算

其中步长 $\lambda_{n}$ 更新如下

其中 $\theta(w_{n})=\sqrt{\|\nabla E(w_{n})+\nabla L(w_{n})\|^2}$.

步骤 2 若 $\nabla E(w_{n})=\nabla L(w_{n})=0$ 和 $w_{n}=x_{n}$, 则停止, $x_{n}$ 是 PSFP 的解. 否则, 设 $n: = n + 1$并返回步骤 1.

注 3.1 若 $\Gamma\neq \emptyset$, $\nabla E(w_{n})=\nabla L(w_{n})=0$ 和 $w_{n}=x_{n}$, 则 $x_{n}\in \Gamma$. 这是由于 $A^*(I-\mbox{prox}_{\tau G})Aw_{n}=(I-\mbox{prox}_{\tau F})w_{n}=0$, 进一步推证 $w_{n}\in \Gamma$. 此外, $A^*(I-\mbox{prox}_{\tau G})Aw_{n}=(I-\mbox{prox}_{\tau F})w_{n}=0$ 结合算法 1 的 (3.1) 式可推出 $y_{n}=w_{n}. $ 再由 $w_{n}=x_{n} $ 可得 $y_{n}=x_{n} \in \Gamma$. 因此, $x_{n}\in \Gamma. $

注 3.2 在算法 1 中, 惯性参数 $\sigma_{n}$ 的选取方式如下

接下来, 本节的引理和定理的证明无需映射 $I-\mbox{prox}_{\tau}$ 的完全非扩张性.

引理 3.1 令步长序列 $\{\lambda_{n}\}$ 是由算法 1 生成的. 则有

证 假设情形 $\nabla E(w_{n})\neq0$ 和 $\nabla L(w_{n})\neq0$, 则有

进一步推出

同理, 可得

上式整理后, 即得

由数学归纳法知, 序列 $\{\lambda_{n}\}$ 有下界 $\mbox{min}\left\{\min\left\{\frac{\delta}{2\|A^*A\|}, \frac{\delta}{2}\right\}, \lambda_{1}\right\}$. 根据 $\lambda_{n+1}$ 的定义, 则有

由引理 2.4 知, $\underset{n\rightarrow\infty}\lim \lambda_{n}$ 存在, 并记作

由于序列 $\{\lambda_{n}\}$ 有下界 $\mbox{min}\left\{\min\left\{\frac{\delta}{2\|A^*A\|}, \frac{\delta}{2}\right\}, \lambda_{1}\right\}$, 则 $\lambda>0$.

现在, 在无需梯度算子 $\nabla E$, $\nabla L$ 的 Lipschitz 连续性和映射 $I-\mbox{prox}_{\tau}$ 完全非扩张性的条件下, 证明本节的主要定理.

定理 3.1 假设条件 (A1)-(A3) 成立. 则由算法 {1} 产生的序列 $\{x_{n}\}$ 强收敛于一点 $z \in \Gamma $, 其中 $z=P_{\Gamma}o f(z)$.

证 令 $z\in \Gamma$. 由于 $\mbox{prox}_{\tau}$ 是非扩张映射, 元素 $z$ 是 PSFP 的解, 并且, 任意函数的极小值点是临近映射的不动点, 结合引理 2.1(iii), 可得

同理, 可得${\langle w_{n}-z, -\nabla L(w_{n})\rangle}\leq -L(w_{n}),$ 结合 (3.1}) 和 (3.2) 式, 可证

其中 $\|\nabla E(w_{n})+\nabla L(w_{n})\|^2\leq 2\|\nabla E(w_{n})\|^2+2\|\nabla L(w_{n})\|^2$. 由于

其中 $\delta \in (0, \mu)\subset(0, 1)$. 则 $ \exists N\geq 0$ 使得 $ \forall n\geq N$, $1-\frac{\delta\lambda_{n}}{\lambda_{n+1}}> 1-\mu$. 因此, $ \forall n\geq N$,

由上式可知, $\forall n\geq N$,

根据 $w_{n}$ 的表达式, 可知

依据 (3.3) 式, 则有$\sigma_{n}\|x_{n}-x_{n-1}\|\leq\tilde{\tau}_{n}\forall n\geq 1$, 进一步结合 $ \mathop {\lim }\limits_{n\to\infty}\frac{\tilde{\tau}_{n}}{\gamma_{n}}=0$, 即证

那么存在一个常数 $M_{1}>0$ 使得

上式结合 (3.5) 和 (3.6) 式, 可知

上式结合 (3.1) 式, 可知 $ \forall n\geq N$,

上式表明序列 $\{x_{n}\}$ 是有界的. 因此, 序列 $\{y_{n}\}$, $\{ f(x_{n})\}$ 和 $\{w_{n}\}$ 也是有界的. 现在, 结合 $\|\cdot\|^2$ 的凸性和 (3.1) 式, 可知存在 $M_{2}>0$,

再结合 (3.5) 式上面的式子, 可得 $\forall n\geq N$,

把 (3.7) 式代入上式, 则存在 $ M_{3}>0$ 使得 $ \forall n\geq N$,

即, $\forall n\geq N$,

运用引理 2.1(i)-(ii) 和 (3.7) 式, 即证 $ \forall n\geq N$,

由 $w_{n}$ 的定义, 可知

令 $M=\underset{n\geq N}\sup \{ \sigma\|x_{n}-x_{n-1}\|, 2\|x_{n}-z\| \}$. 结合 (3.9) 式和 (3.10) 式, 可得 $ \forall n\geq N$,

接下来, 需证 $ \{ \|x_{n}-z\|^2 \}$ 趋近于零.

假设 $ \{ \|x_{n}-z\|\}$ 的子列为 $ \{ \|x_{n_{k}}-z\|\}$, 并满足$\underset{k\rightarrow \infty}\liminf (\|x_{n_{k}+1}-z\|-\|x_{n_{k}}-z\|)\geq0. $ 则有

上式结合 $\underset{k\rightarrow \infty}\lim \gamma_{n_{k}}=0$ 和 $\underset{k\rightarrow \infty}\lim \lambda_{n_{k}}=\lambda>0$, 有

故

由迭代公式 (3.1) 和 (3.2) 可知

其中 $\|\nabla E(w_{n_{k}})+\nabla L(w_{n_{k}})\|^2\leq 2\|\nabla E(w_{n_{k}})\|^2+2\|\nabla L(w_{n_{k}})\|^2. $ 上式结合$\underset{k\rightarrow \infty}\lim \lambda_{n_{k}}=\lambda>0$, 有

依据 $\underset{k\rightarrow\infty}\lim \gamma_{n_{k}}=0$ 和 (3.1) 式, 可得

利用 (3.13) 和 (3.14) 式, 可知

由 (3.1) 式和 $\underset{k\rightarrow\infty}\lim \gamma_{n_{k}}=0$, 可推出

上式可推出

由于序列 $\{ x_{n_{k}}\}$ 是有界的, 则存在 $\{ x_{n_{k}}\}$ 的子列 $\{ x_{n_{k_{i}}}\}$ 弱收敛于一点 $z_{0} \in H$ 使得

此外, 由 (3.14) 式, 可得

利用函数 $E$ 的弱下半连续性, 所得的结论是

上式意味着 $E(z_{0})=\frac{1}{2}\|(I-\mbox{prox}_{\tau G})Az_{0}\|^2=0, $ 即, $Az_{0}$ 是函数 $G$ 的临近映射的不动点, 或者等价于 $0\in \partial G(Az_{0}). $ 换句话说, $Az_{0}$ 是 $G$ 的极小点. 同理, 根据 $L$ 的弱下半连续性, 可得

进一步可知, $L(z_{0})=\frac{1}{2}\left\|(I-\mbox{prox}_{\tau F})z_{0}\right\|^2=0, $ 即, $z_{0}$ 是函数 $F$ 的临近映射的不动点, 或者等价于 $0 \in \partial F(z_{0}). $ 也就是说, $z_{0}$ 是 $F$ 的极小点. 因此, $z_{0}\in \Gamma. $ 那么由投影性质对 $z=P_{\Gamma}of(z)$ 展开得

结合 (3.16) 式, 即证

因此

运用引理 2.3, 可证 $ \underset{n\rightarrow \infty}\lim\|x_{n}-z\|=0$.

若 $F\equiv\delta_{C}$ (若 $x \in C$, 则 $\delta_{C}(x)=0$, 否则, $+\infty$), $G\equiv\delta_{Q}$, 分别为非空闭凸集 $C\subset H_{1}$ 和 $Q\subset H_{2}$ 上的示性函数, 则 PSFP退化为如下的 SFP.

进一步, 由定理 3.1 获得如下强收敛推论.

推论 3.1 令 $\Gamma\neq\emptyset$, $\lambda_{1}>0$, $\delta \in (0, \mu)\subset(0, 1)$, $\{\sigma_{n}\}\subset[0, \sigma)\subset[0, 1)$, $\{\phi_{n}\}$ 和 $\{\psi_{n}\}$ 是满足引理 2.4 的两个序列, 条件 (A2) 和 (A3) 成立. 令 $x_{0}, x_{1}\in H_{1}$, 则序列 $\{x_{n}\}$ 生成的迭代格式如下

其中 $\sigma_{n}$ 定义在 (3.3) 式, $\nabla E(w_{n})=A^*(I-P_{Q})Aw_{n}$, 步长 $\lambda_{n}$ 的更新方式如下

则上式生成的迭代序列 $\{x_{n}\}$ 强收敛于一点 $z \in \Gamma$, 其中 $z=P_{\Gamma}of(z)$.

文献 [31] 介绍了分裂均衡问题属于变分包含问题, 并且, 其是临近分裂可行问题的特例. 接下来, 本节给出的分裂均衡问题 (Split Equilibrium Problem, 记作 SEP) 是指

其中 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是实 Hilbert 空间, $g_{1}: H_{1}\times H_{1}\rightarrow \mathbb{R}$ 和 $g_{2}: H_{2}\times H_{2} \rightarrow \mathbb{R}$ 是双边函数. 该问题的解集记作 $\Gamma$ 且 $\Gamma\neq\emptyset. $ 在给出算法之前, 现给出如下假设

对于双边函数 $g_{i}: H_{i}\times H_{i}\rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2, $ 并给出相关条件

(i) $g_{i}(x, x)=0, \forall x\in H_{i};$

(ii) $g_{i}$ 是单调的, 即, $g_{i}(x, y)+g_{i}(y, x)\leq 0,$ for all $x, y \in H_{i};$

(iii) 对每一个 $ x, y \in H_{i}$, $\underset{\alpha\rightarrow 0}\lim g_{i}(\alpha z+(1-\alpha)x, y)\leq g_{i}(x, y)$;

(iv) 对每一个 $ x \in H_{i}, $$y\mapsto g_{i}(x, y)$ 是凸的且为下半连续函数. 对每一个满足上述条件的双边函数, 其临近算子 $J_{i}^{\tau}: H_{i}\rightarrow H_{i}$ 定义为

另外, 文献 [8,36] 证明了 $J_{i}^{\tau}$是单值的且为完全非扩张性映射. 即可获得如下推论.

推论 4.1 令$\Gamma\neq\emptyset$, $\lambda_{1}>0$, $\delta \in (0, \mu)\subset(0, 1)$, $\{\sigma_{n}\}\subset[0, \sigma)\subset[0, 1)$, $\{\phi_{n}\}$和$\{\psi_{n}\}$ 是满足引理 2.4 的序列, 条件 (A2) 和 (A3) 成立. 令$x_{0}, x_{1}\in H_{1}$, 序列 $\{x_{n}\}$ 生成的迭代格式如下

其中 $\sigma_{n}$ 的定义见 (3.3) 式, $\nabla E(w_{n})=A^*(I-J_{2}^{\tau})Aw_{n}$, $\nabla L(w_{n})=(I-J_{1}^{\tau})w_{n}$, 步长 $\lambda_{n}$ 更新如下

则如上方案生成的迭代序列 $\{x_{n}\}$ 强收敛于一点 $z \in \Gamma$, 其中 $z=P_{\Gamma}of(z)$.

本节提供与 PSFP 相关的数值算例. 在第一个算例中, 算法 1 与算法 3.1-3.2^[1], 算法 3.1^[29]及算法^[30]进行比较. 所有的实验执行于 MATLAB R2017a, 其安装在运行内存为 RAM 8.00 GB, 型号为 PC Desktop Intel(R) Core(TM) i7-6700 CPU @3.40 GHZ 的计算机上.

在下面算例中, 本节主要研究 PSFP 的情形为 $\mbox{arg}\min F\cap A^{-1}(\mbox{arg}\min G) \neq\emptyset$, 换句话说, 寻找函数 $F$ 的一个极小点 $z^*$ 使得 $Az^*$ 是函数 $G$ 的极小点, 即

其中 $F:H_{1}\rightarrow \mathbb{R}$ 和 $G:H_{2}\rightarrow \mathbb{R}$ 是真凸下半连续函数, $\mbox{arg}\min F=\{ z^*\in H_{1} : F(z^*)\leq F(x), \forall x\in H_{1}\}$ 和 $\mbox{arg}\min G=\{ y^*\in H_{2} : G(y^*)\leq G(x), \forall x\in H_{2}\}$, 该问题的解集记为 $\Gamma$.

例 5.1^[9] 设 $H_{1}=H_{2}=\mathbb{R}^{N}$ 和 $F(x)=\frac{1}{2}d_{C}^{2}(x)$,

其中 $C\subset \mathbb{R}^{N}$ 是一个单位球, $ d_{C}(x)=\inf_{z\in C}\|x-z\|. $

函数 $G(x)=\frac{1}{2}\|x\|^2$. 令 $Ax=x$, $x\in \mathbb{R}^{N}$. 观察到 $0\in \Gamma$, 则 $\Gamma\neq\emptyset$.

对于算法 3.1-3.2^[1]和算法 3.1^[29], 选取 $\kappa_{n}=1. 9$, $\alpha_{n}=\frac{1}{n+1}$ 和 $\alpha_{n}=\frac{1}{10^4(n+1)}$.

对于算法^[30], 设参数 $\tau_{n}=10^{-4}$, $\alpha_{n}=\frac{1. 99}{n+1}$, $\mu=1$, $\tilde{F}=I$ (在文献 [30] 中指出, $\tilde{F}$ 是压缩映射, $I$ 是 $H_{1}$ 上的恒等映射)和 $\beta_{n}=\frac{0. 001}{(n+1)^2}$.

对于算法 1, 固定 $\kappa_{n}=1. 9$, $\alpha_{n}=\frac{1}{n^2}$, $\sigma=0. 3$ 和 $\tilde{\tau}_{n}=\frac{1}{n^3}$.

对于所有算法, 选择初始点 $x_{0}=[\cdots,0]$ 和 $x_{1}=[\cdots,1] \in \mathbb{R}^{N}$ 和 $\tau=5$. 所有算法的准止条件是 $ \|x_{n}-\mbox{prox}_{\tau, F}(x_{n})\|+\|Ax_{n}- \mbox{prox}_{\tau, G}(Ax_{n})\|<\epsilon. $ 为了保证所对比算法有相同的收敛点, 则设 $f(x)=0$.

数值结果参见表1和表2.

注 5.1 从表1-2可知, 算法 1 数值效果较好, 主要体现在两个方面: 一是迭代次数较少, 二是 CPU 时间较短.

对于问题 (SFP), 我们列举了如下无限维空间的数值算例, 其用于算法 1 与算法 3.1^[32]、算法 3.1^[14] 进行对比.

例 5.2^[9] 设 $H_{1}=H_{2}=L^2([0,1])$, 则范数$\|x\|_{L^2}=\big( \int_{0}^{1} x(t)^2{\rm d}t\big)^\frac{1}{2}$ 和内积 $\langle x, y\rangle=\int_{0}^{1} x(t)y(t){\rm d}t, x, y \in L^2([0,1])$. 令 $C=\{ x\in L^2([0,1]): \|x\|_{L^2}\leq 1 \}$ 和 $Q=\{ x\in L^2([0,1]):\langle x, t\rangle=0\}$, $Ax(t)=\frac{x(t)}{2}$. 观察到 $0 \in \Gamma$. 因此, $\Gamma\neq\emptyset$.

对于算法 3.1^[32] 和算法 3.1^[14], 固定$\sigma=0. 3$, $\tilde{\tau}_{n}=\frac{1}{n^2}$, $\alpha_{n}=\frac{1}{10^4n}$, $\kappa_{n}=1. 6$, $f(x)=0. 01x$, $\beta_{n}=0. 7$ 和 $\chi_{n}=\max(0, \chi_{n}-0. 1)$.

对于算法 1, 选取 $\kappa_{n}=1. 6$, $\sigma=0. 3$, $f(x)=0. 01x$, $\alpha_{n}=\frac{1}{10^4n}$, $\tilde{\tau}_{n}=\frac{1}{n^2}$.

对于 LópezAlg. 5.1, 采取$\kappa_{n}=9\times10^{-5}$ 和 $\alpha_{n}=\frac{10^{-5}}{n}. $

所有算法的准止条件为 $ \|x_{n+1}-x_{n}\|_{L^2}<\epsilon$. 初始点的选取有以下两种情形

情形 1 $x_{0}=t^4, x_{1}=t+1$;

情形 2 $x_{0}={\rm e}^t, x_{1}=3{\rm e}^t$.

接下来, 集合 $C$ 和 $Q$ 上的投影公式为

实验结果详见表3和表4.

注 5.2 由表3-4的实验结果可知, 算法 1 的收敛速度较快于其它算法, 主要体现在算法 1 的迭代次数较少及执行时间较短.